12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS

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1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 1.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS UTILIZACIÓN DE LA TABLA DE LA NORMAL N(0,1) E la distribució N(0,1), a la variable se le suele represetar por la letra z. La tabla os da las probabilidades P[z k] para valores de k de 0 a 4, de cetésima e cetésima. A estas probabilidades se las llama φ (k) : φ (k) P[z k] z se distribuye N(0,1) φ(k) es la fució de distribució de esta variable aleatoria. El valor de k se busca así: - Uidades y décimas e la columa de la izquierda - Cetésimas e la fila de arriba - El úmero que os da la tabla es el valor de : φ (k) P[z k] Ejemplo 1: Sea Z N(0,1) calcula: a) P[z 0,83] φ(0,83) 0,7967 b) P[z,3] φ(,30) 0,9893 c) P[z 1] φ(1,00) 0,8413 Ejemplo : Sea Z N(0,1) calcula e valor de k : a) P[z k] 0,7190 k 0,58 b) P[z k] 0,8645 k 1,1 0,13 + 0,14 c) P[z k] 0,5537 k 0, 135 Ejercicio 3 : Sea Z N(0,1) calcula: a) P[z 0,45] φ(0,45) 0,6736 b) P[z 1,] φ(1,) 0,8849 c) P[z 7] 1 Ejercicio 4 : Sea Z N(0,1) calcula e valor de k : a) P[z k] 0,5040 k 0,01 b) P[z k] 0,6 k 0,31 1,93 + 1,94 c) P[z k] 0,9735 k 1, 935 CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN N(0,1) - Si k 0, las probabilidades φ (k) P[z k] P[z < k] se ecuetra directamete e la tabla. - P [z k] 1 P[z < k] 1 - φ (k) - Para abscisas egativas: P[z -k] P[z k] 1 - φ (k) - P[a z b] P[z b] P[z a] Ejemplo 5 : Sea Z N(0,1) calcula: a) P[z 1,86] 1 P[z < 1,86] 1 - φ(1,86) ,0314 b) P[0,18 < z 1,9] P[z 1,9] P[z 0,18] φ(1,9) - φ(0,18) 0,9015 0,5714 0,3301 c) P[-0,56 < z 1,9] P[z 1,9] P[z -0,56] φ(1,9) P[z 0,56] φ(1,9) [1 - P[z < 0,56]] φ(1,9) 1 + φ(0,56) 0, ,713 0,6836 d) P[-1,83 < z < -1] P[z < -1] P[z -1,83] P[z > 1] P[z > 1,83] [1 P[z 1]] [1 P[z 1,83] 1 - φ(1) φ(1,83) - φ(1) + φ(1,83) -0, ,9664 0,151

2 Ejemplo 6 : Sea Z N(0,1) calcula k a) P[z < k] 0,8365 k 0,98 b) P[z > k] 0,8365 P[z k] 0,1635 (No está e la tabla, k es egativo) k -s P[z > -s] 0,8365 P[z < s] 0,8365 s 0,98 k -0,98 c) P[z < k] 0,1894 (No está e la tabla, k es egative) k -s P[z < -s] P[z > s] 0,1894 P[z s] 0,9106 s 1,34 k -1,34 Ejercicio 7 : Halla las siguietes probabilidades e ua distribució N(0,1) a) P[z >,8] 1 P[z,8] 1 - φ(,8) 1 0,9974 0,006 b) P[z -1,8] P[z 1,8] 1 P[z < 1,8] 1 - φ(1,8) 1 0,9641 0,0359 c) P[z > -1,8] P[z < 1,8] φ(1,8) 0,9641 d) P[1,6 z <,3] P[z <,3] P[z < 1,6] φ(,3) - φ(1,6) 0,9893 0,9474 0,0419 e) P[1 z ] P[z < ] P[z < 1] φ() - φ(1) 0,977 0,8413 0,1359 f) P[-0,61 z 1,4] P[z < 1,4] P[z < -0,61] φ(1,4) P[z > 0,61] φ(1,4) [1 P[z 0,61] φ(1,4) 1 + φ(0,61) 0, ,791 0,6483 g) P[-1 z ] P[z ] P[z < -1] φ() P[z > 1] φ() [1 P[z 1] φ() 1 + φ(1) 0, ,8413 0,8185 h) P[-,3 < z <-1,7] P[z <-1,7] P[z < -,3] P[z > 1,7] P[z >,3] [1 P[z 1,7] [1 P[z,3] 1 - φ(1,7) 1 + φ(,3) -0, ,9893 0,0339 i) P[- z -1] P[z <-1] P[z < -] P[z > 1] P[z > ] [1 P[z 1] [1 P[z ] 1 - φ(1) 1 + φ() -0, ,977 0,1359 Ejercicio 8 : Calcula el valor de k (exacta o aproximadamete) e cada uo de los siguietes casos: a) P[z k] 0,5 k 0 b) P[z k] 0,879 k 1,14 c) P[z k] 0,9 k 1,8 d) P[z k] 0,33 (0,33 o está e la tabla, k es egativo) k -s P[z -s] 0,33 P[z s] 0,33 P[z < s] 0,67 s 0,44 k -0,44 e) P[z k] 0, (0, o está e la tabla, k es egativo) k -s P[z -s] 0, P[z s] 0, P[z < s] 0,8 s 0,84 k -0,84 f) P[z > k] 0,1 P[z k] 0,88 k 1,175 g) P[z k] 0,9971 P[z < k] 0,009 (o está e la tabla, k es egativo) k -s P[z -s] 0,9971 P[z s] 0,9971 s,76 k -,76 h) P[z k] 0,6 P[z < k] 0,4 (o está e la tabla, k es egativo) k -s P[z -s] 0,6 P[z s] 0,6 s 0,5 k -0,5 CALCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN N( μ, σ ) Como ya sabemos, las probabilidades e dos distribucioes ormales cualesquiera se reparte de forma aáloga. Por tato, para calcular probabilidades e ua distribució N( μ, σ ), la relacioaremos co la N(0,1) para la cual dispoemos del recurso de las tablas. Si x es N( μ, σ ), para calcular la probabilidad P[b < x < k] se procede del siguiete modo: P[b < x < b μ k μ k μ k] P < z < σ σ. El cambio k se llama tipificació de la variable. La variable ya σ tipificada sigue ua distribució N(0,1)

3 Ejemplo 9 :E ua distribució N(66,8), calcular: x μ a) P[x < 70] P < σ 8 P[z < 0,5] φ(0,5) 0,6915 x μ b) P[x > 80] P > σ 8 P[z > 1,75] 1 P[z < 1,75] 1 - φ(1,75) 1 0,9599 0, x μ c) P[70 < x < 80] P < < 8 σ 8 P[0,5 < z < 1,75] P[z < 1,75] P[z 0,5] φ(1,75) - φ(0,5) 0,9599 0,6915 0,684 Ejemplo 10 :E ua distribució N(66,8), calcula k para que se de las siguietes igualdades: x μ k 66 k 66 a) P[x k] 0,9788 P σ 8 0,9788,3 k 8., ,4 8 x μ k 66 k 66 b) P[x k] 0,15 P σ 8 0,15 (0,15 o está e la tabla s 8 k 66 P[z -s] 0,15 P[z s] 0,15 P[z < s] 0,85 s1,04 1, 04 k-1, ,68 8 x μ k 66 k 66 c) P[x k] 0,6808 P[x<k]0,319 P < σ 8 0,319 (o está e la tabla) s 8 k 66 P[z<-s]0,319 P[z s]0,319 P[z<s]0,6808 s0,47 0, 47 k-0, ,4 8 Ejercicio 11 : E ua distribució N(18,4), halla las siguietes probabilidades: x μ 0 18 a) P[x 0] P σ 4 P[z 0,5] φ(0,5) 0,6915 x μ 16,5 18 0, ,6480 b) P[x 16,5] P σ 4 P[z -0,375] P[z 0,375] 0,64615 x μ c) P[x 11] σ 4 P[z -1,75]P[z 1,75]1 P[z < 1,75]1 - φ(1,75)1 0,95990, x μ 3 18 d) P[19 x 3] 4 σ 4 P[0,5 z 1,5] P[z 1,5] P[z < 0,5] φ(1,5) - φ(0,5) 0,8944 0,5987 0, x μ 5 18 e) P[11 x < 5] 4 σ 4 P[-1,75 z 1,75] P[z 1,75] P[z < -1,75] φ(1,75) P[z 1,75] φ(1,75) [1 + P[z < 1,75]] φ(1,75) 1 + φ(1,75) 0, ,9198 Ejercicio 1 : E ua distribució N(6;0,9), calcula k para que se de las siguietes igualdades: x μ k 6 k 6 a) P[x k] 0,977 P 0,977 k 7,8 σ 0,9 0,9 x μ k 6 k 6 b) P[x k] 0,8 P 0,8 0,84 k 8,756 σ 0,9 0,9 x μ k 6 k 6 c) P[x k] 0,3 P 0,3 (No está e la tabla) -s σ 0,9 0,9 k 6 P[z -s] 0,3 P[z s] 0,3 P[z < s] 0,7 s 0,5-0,5 k 5,53 0,9

4 x μ k 6 d) P[x k] 0,6331 P[x < k] 0,3669 P 0,3669 (No está e la tabla) σ 0,9 k 6 k 6 -s P[z -s]0,3669 P[z s]0,3669 P[z < s]0,6331 s0,34-0,34 k5,694 0,9 0,9 1. INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Si la variable x tiee ua distribució de media μ, se llama itervalo característico correspodiete a ua probabilidad p a u itervalo cetrado e la media, (μ - k, μ + k) tal que la probabilidad de que x perteezca a dicho itervalo es p: P[μ - k < x < μ + k] p INTERVALOS CARACTERÍSTICOS EN DISTRIBUCIONES N(0,1) E ua distribució ormal N(0,1), si (-k,k) es el itervalo característico correspodiete a ua probabilidad p, es decir, si P[-k < z < k] p 1 - P[z > z / ] / P[z z / ] 1 - / Itervalo característico (-z /, z / ) Ejemplo 13: Si Z N (0,1) calcular el itervalo característico co ua probabilidad del 90% 1 p 1 0,9 0,1 /] 1-0,1 /] 1-0,95 Z TablaN(0,1) / 1,645 (-Z /, Z /) Itervalo característico (-1,645, 1,645) Sigificado: Z está e el itervalo (-1,645, 1,645) co ua probabilidad del 90% Ejercicio 14: Si Z N (0,1) calcular el itervalo característico co ua probabilidad del 99% 1 p 1 0,99 0,01 /] 1-0,01 /] 1-0,995 Z TablaN(0,1) /,575 (-Z /, Z /) Itervalo característico (-,575,,575) Sigificado: Z está e el itervalo (-,575,,575) co ua probabilidad del 99% (Lógicamete el itervalo es mayor que el obteido e el ejemplo 1) INTERVALOS CARACTERÍSTICOS EN DISTRIBUCIONES N(μ,σ) E ua distribució ormal N(μ,σ), si (μ - k, μ + k) es el itervalo característico correspodiete a ua probabilidad p, es decir, si P[μ - k < X < μ + k] p 1 - P[z > z / ] / P[z z / ] 1 - / Itervalo característico (μ - z /.σ, μ + z /.σ) Ejemplo 15: Si X N (173,6) calcular el itervalo característico co ua probabilidad del 90% 1 p 1 0,9 0,1 /] 1-0,1 ] 1-0,95 Z 1,645 μ σ μ+ σ ( -Z / TablaN(0,1) / /., Z /. ) Itervalo característico (173-1,645.6,173 +1,645.6) (163,13; 18,87) Sigificado: X está e el itervalo (163,13; 18,87) co ua probabilidad del 90%

5 Ejercicio 16: Si X N (173,6) calcular el itervalo característico co ua probabilidad del 95% 1 p 1 0,95 0,05 /] 1-0,05 /] 1-0,975 Z TablaN(0,1) / 1,96 ( -Z /., Z /. ) μ σ μ+ σ Itervalo característico (173-1,96.6,173 +1,96.6) (161,4; 184,76) Sigificado: X está e el itervalo (161,4; 184,76) co ua probabilidad del 95% Ejercicio 17: El peso de las cajas de leche sigue ua distribució ormal de media 1 Kg y desviació típica 50 gr. Hallar el itervalo característico co ua probabilidad del 95% X N(1; 0,05) 1 p 1 0,95 0,05 /] 1-0,05 ] 1-0,975 Z 1,96 ( -Z / TablaN(0,1) / /., Z /. ) μ σ μ+ σ Itervalo característico (1-1,96.0,05,1 +1,96.0,05) (0,90; 1,098) Sigificado: Ua caja de leche pesa etre 0,90 y 1,098 Kg co ua probabilidad del 95% 1.3 DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES Dada ua població de media μ y desviació típica σ, o ecesariamete ormal, la distribució de las medias de las muestras de tamaño : - Tiee la misma media, μ, que la població. - Su desviació típica es σ/ y, por cosiguiete, desmiuye al aumetar. - Cuado 30 es prácticamete ormal. Si X N( μ, σ) ó X N(μ, Si > 30 σ ) P[z z / ] 1 - / Itervalo característico (μ - z /. σ, μ + z/. σ ) Ejemplo 18: E ua distribució N(0,6), tomamos muestras de tamaño 64. a) Cuál es la distribució de las medias de la muestra? σ 6 Como X N(0,6) X N( μ, ) N(0, ) N(0; 0,75) 64 Es decir, es ua Normal de media 0 y desviació típica 0,75 b) Cuál es la probabilidad de extraer ua muestra cuya media esté compredida etre 19 y 1? P 19 X 1 P Z P[ 1,33 Z 1,33] X N(0;0,75) Tipìficamos 0,75 0,75 P[Z 1,33] P[Z < -1,33] P[Z 1,33] P[Z>1,33] P[Z 1,33] (1 - P[Z 1,33]) 0, ,908 0,8164 Miramos e la tabla de la N(0,1)

6 Ejercicio 19 : Los parámetros de ua variable so μ 16,4 σ 4,8. Nos dispoemos a extraer ua muestra de 400 idividuos. a) Halla el itervalo característico para la media muestral correspodiete a ua probabilidad p 0,99. 1 p 1 0,99 0,01 ] 1 0,01 μ σ μ + σ ] 1 0,995 Z,575 ( Z, Z ) TablaN(0,1) Itervalo característico (16 -,575.4,8, 16 +,575.4,8) (3,64; 8,36) b) Calcula P [16 < x < 17] σ 4,8 Como 400 > 30 X N( μ, ) N(16, ) N(16; 0,4) X 17 P Z P 0 Z 4,17 x N(16;0,4)Tipificamos 0,4 0,4 φ(4,17) - φ(0) 1 0,5 0,5 Miramos e la tabla de la N(0,1) P [ ] [ ] P[Z 4,17] P[Z < 0] DISTRIBUCIÓN DE LA SUMA DE TODOS LOS INDIVIDUOS DE LA MUESTRA Puesto que x i 1 i σ σ Si X N( μ, σ) ó Si > 30 x i 1, sabemos que x i se distribuye ormal de media μ y desviació típica i i 1 x N(μ, σ ) P[z z / ] 1 - / Itervalo característico (μ - z /. σ, μ + z /. σ ) Ejemplo 0 : Los sueldos, e euros, de los empleados de ua fábrica se distribuye N(100, 400). Se elige al azar ua muestra de 5 de ellos. Cuál es la probabilidad de que la suma de sus sueldos sea superior a euros? Si X N(100,400) i 1 x N(5.100, ) N(30.000,000) i P x i > PZ > P[Z >,5] 1 P[Z,5] 1 - φ(,5) 1 0,9938 i ,006 Halla el itervalo característico para las sumas de 5 idividuos, correspodietes a ua probabilidad del 0,9. 1 p 1 0,9 0,1 ] 1 μ σ μ + σ 0,1 P[Z Z ] 1 0,95 Z 1,645 ( Z., Z ) TablaN(0,1) Itervalo característico ( , , , ) (6710; 3390) Sigificado: La suma de los sueldos de 5 empleados está etre 6710 y 3390 euros co ua probabilidad del 90%

7 Ejemplo 1: Las bolsas de azúcar evasadas por ua cierta máquia tiee de media 500 gr y desviació típica 35 gr. Las bolsas se empaqueta e cajas de 100 uidades. a) Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de u paquete sea meor que 495 gr. X N(500, 35) P[ X < 495] σ 35 Como X N(500,35) X N( μ, ) N(500, ) N(500;3,5) Tipificamos 100 P[Z < P[Z > 1,43] 1 P[Z 1,43] 1 0,936 0,0764 Miramos e la tabla de la N(0,1) ,5 ] P[Z < -1,43] b) Hallar el itervalo característico de la media muestral para ua probabilidad del 95% /] 1-1 p 1 0,95 0,05 0,05 σ σ /] 1-0,975 Z TablaN(0,1) / 1,96 ( -Z /., Z /. ) μ μ+ 35 Itervalo característico (500 1, ; , ) (493,1; 506,9) 100 Sigificado: La media de los pesos está e el itervalo (493,1;506,9) co ua probabilidad del 95% c) Calcular la probabilidad de que ua caja de 100 bolsas pese más de 51 Kg. P[ Xi > ] P[Z > Como X N(500,35) Xi N( μ, σ. ) N( , ) N(50.000;350) Tipificamos ] P[Z >,86] 1 P[Z,86] 1 0,9979 0, Miramos e la tabla de la N(0,1) d) Cuál es la probabilidad de que ua caja pese más de 550 gr? P[X > 550] P[Z > ] P[Z > 1,43] 1 P[Z 1,43] X N(500,35) Tipificamos 35 Miramos e la tabla de la N(0,1) 1 0,936 0,0764 Ejercicio : Los pesos e kilogramos de los soldados de ua promoció sigue ua distribució ormal N(69,8). Las guardias e u regimieto está formadas por 1 soldados. a) Hallar la probabilidad de que la media de los pesos de los soldados de ua guardia sea superior a 71 Kg. σ Como X N(69,8) X N( μ, ) N(69, P[ X > 71] P[Z > 8 ) N(69;,31) ] P[Z >0,87] 1 P[Z 0,87] 1 - φ(0,87) 1 0,8078 0,19,31 b) Obteer el itervalo característico para x correspodiete a ua probabilidad de 0,9 ] 1 1 p 1 0,9 0,1 σ σ 0,1 ( μ Z μ + ] 1 0,95 Z 1,645, Z ) TablaN(0,1) 8 8 Itervalo característico (69-1,645., 69 +1,645. ) (65,; 7,8) 1 1 Sigificado: La media de los pesos está e el itervalo (65,; 7,8) co ua probabilidad del 90%

8 c) Cuál es la probabilidad de que la suma de los pesos de los soldados de ua guardia sea meor que 800 Kgs? Si X N(69,8) i 1 x N(1.69, 8 1 ) N(88,7,71) i P x i < 800 PZ < P[Z < -1,01] P[Z > 1,01] 1 P[Z 1,01] 1 - φ(1,01) i 1 7, ,8438 0,156 d) Cuál es la probabilidad de que u miembro de la guardia, elegido al azar, pese más de 93 Kg? P[X > 93] P Z > 8 P[Z > 3] 1 P[Z 3] 1 - φ(3) 1-0,9987 0, EN QUÉ CONSISTE LA ESTADÍSTICA INFERENCIAL ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Los parámetros de la població se puede estimar a partir de los de la muestra. Así: La media muestral, x, sirve para estimar la media poblacioal, μ. La desviació típica muestral, s, es u estimació de la desviació típica poblacioal, σ La estimació putual (el valor de μ es aproximadamete x ), sirve de poco mietras descoozcamos cuál es el grado de aproximació de x a μ. La estimació por itervalos: A partir de ua muestra de tamaño podemos estimar el valor de u parámetro de la població del siguiete modo: - Dado u itervalo detro del cual cofiamos que esté el parámetro. Se llama itervalo de cofiaza. - Hallado la probabilidad de que tal cosa ocurra. A dicha probabilidad se le llama ivel de cofiaza. Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, mayor eficacia tedremos e uestra estimació. La eficacia de esta estimació se maifiesta de dos formas: - E el tamaño del itervalo (cuato más pequeño, más precisos estamos siedo) - E el ivel de cofiaza (más ivel de cofiaza sigifica más seguridad e la estimació). Tamaño de la muestra, logitud del itervalo y ivel de cofiaza so tres variables estrechamete relacioadas. Coocidas dos de ellas obtedremos la tercera. 1.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Se desea estimar la media, μ, de ua població cuya desviació típica, σ, es coocida. Para ello se recuerde a ua muestra de tamaño e la cual se obtiee ua media muestral, x. Si la població de partida es ormal, o si el tamaño de la muestra es 30, etoces el itervalo σ σ de cofiaza de μ co u ivel de cofiaza de (1-).100% es: x z, x + z

9 Ejemplo 3 : Deseamos valorar el grado de coocimietos e historia de ua població de varios miles de alumos. Sabemos que la desviació típica es,3. Nos propoemos estimar la media poblacioal pasado ua prueba a 100 alumos. a) Calcular el itervalo característico para la media muestral correspodiete a ua probabilidad de 0,95. Como 100 > 30 /] 1-1 p 1 0,95 0,05 0,05 σ σ /] 1-0,975 Z TablaN(0,1) / 1,96 ( -Z /., Z /. ) μ μ+,3 Itervalo característico (μ 1, ; μ + 1,96.,3 ) (μ-0,45; μ+0,45) 100 Sigificado: La media muestral dista meos de 0,45 de la poblacioal co ua probabilidad del 95% b) Ua vez realizada la prueba a 100 alumos cocretos, se ha obteido ua media de 6,3. Hallar el itervalo de cofiaza co u ivel de sigificació del 95% /] 1-1 p 1 0,95 0,05 0,05 σ σ /] 1-0,975 Z TablaN(0,1) / 1,96 (X-Z /.,X Z /. ) +,3 Itervalo de cofiaza (6,3 1, ; 6,3 + 1,96.,3 100 ) (5,87;6,77) Sigificado: La media poblacioal está e el itervalo (5,87;6,77) co u ivel de cofiaza del 95% Ejemplo 4 : Para estimar la media de los resultados que obtedrá al resolver u cierto test los alumos de 4º de ESO de toda ua comuidad autóoma, se les pasa dicho test a 400 de ellos escogidos al azar. Los resultados obteidos viee recogidos e la siguiete tabla x i f i A partir de ellos, estima co u ivel de cofiaza del 95% el valor de la media poblacioal. σ σ Como 400 > 30 El itervalo de cofiaza μ (X-Z /.,X + Z /. ) Hallamos al media y la desviació típica de la muestra: x i f i x i.fi x i.f i x.f i i 199 X 3, N i i x.f 473 σ X 3,475 1,6 1, N 400 N /] 1-1 0,95 0,05 0,05 σ σ /] 1-0,975 Z TablaN(0,1) / 1,96 (X-Z /.,X Z /. ) + 1,1 1,1 μ (3, 475 1,96. ;3, ,96. ) (3,14; 3,36) Sigificado: Teemos ua cofiaza del 95% de que la ota media de la població total esté compredida etre (3,14; 3,36).

10 Ejercicio 5 : De ua variable estadística, coocemos la desviació típica 8, pero descoocemos la media. Para estimarla, extraemos ua muestra de tamaño 60 cuya media es 37. Estima la media poblacioal mediate u itervalo de cofiaza del 99%. Como 60 > 30 ] 1 1 p 1 0,99 0,01 (X Z. σ, X + Z σ. ] 1 0,01 0,995 TablaN(0,1) Z, Itervalo de cofiaza (37,575. ; 37+,575. ) (34,34;39,66) Sigificado: La media poblacioal está e el itervalo (34,34;39,66) co u ivel de cofiaza del 99% 1.6 RELACIÓN ENTRE NIVEL DE CONFIANZA, ERROR ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA σ El valor E z se llama error máximo admisible. Depede de y de del siguiete modo: - Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, meor es E (más estrecho es el itervalo, es decir, más afiaremos e la estimació). - Cuato mayor sea 1 a (es decir, cuato más seguros queramos estar de uestra estimació), mayor es E. Cuato mayor es 1 -, mayor es z / y, por tato, mayor es E. E, y so tres variables estrechamete relacioadas. Coocidas dos de ellas obtedremos la σ tercera despejado de la fórmula: E z Ejemplo 6 : La desviació típica de los resultados de las distitas medicioes que se realiza para calcular la duració de u proceso es 0,5 sg. Cuál es el úmero de medidas que hay que realizar para que co u 99% de cofiaza, el error de la estimació o exceda de 0,1 sg.? σ 0,5 σ E Z /.? 1 0,99 0,01 / ] 1 1 0,995 Z/,575 E 0,1 < 0,1,575. 0,5 1, , Debemos tomar 166 medidas Ejemplo 7 : Al medir el tiempo de reacció, u psicólogo sabe que la desviació típica de las distitas medicioes del mismo es 0,5 sg. Desea estimar el tiempo medio de reacció co u error máximo de 0,1 sg, para lo cual realiza 100 experiecias. Dí co que ivel de cofiaza podrá dar el itervalo ( X -0,1; X +0,1) σ 0,5 E Z /. 0,1 Z /. Z/ σ 0, /] 1 1? E 0,1 P[Z ] 0,977 Miramos e la tabla de la N(0,1) 1 0,977 0, , ,44% El ivel de cofiaza es del 95,44%

11 Ejemplo 8 : U gaadero de reses bravas quiere estimar el peso medio de los toros de su gaadería co u ivel de cofiaza del 95%. Para ello toma ua muestra de 30 toros y los pesa. Obtiee ua media de 507 Kg y ua desviació típica de 3 Kg. Cuál es el error cometido? σ 3 σ E Z / ,95 0,05 / ] 1 1 0,975 Z/ 1,96 E? 3 E 1,96. 11,45 Kg El error es de 11,45 Kg. 30 Ejercicio 9: U coroel desea estimar la estatura media de todos los soldados de su regimieto co u error meor que 0,5 cm utilizado ua muestra de 30 soldados. Sabiedo que σ 5,3 cm. Cuál será el ivel de cofiaza co el que se realiza la estimació? σ 5,3 E Z. 0,5 Z. Z 0,5 σ 5, P[ Z Z ] 1 1? E 0,5 P[ Z 0,5] 0,6985 MiramoslatabladeN(0,1) , 0, ,397 39,7% El ivel de cofiaza es del 39,7% Ejercicio 30 : El cociete itelectual de u cierto colectivo tiee ua media μ descoocida y ua desviació típica σ 8. De qué tamaño debe ser la muestra co la cual se estime la media co u ivel de cofiaza del 99% y u error admisible E 3? σ 8 0,01 P[ Z Z ] 1 1 0,995 Z,575? 1 0,99 0,01 σ 8 E Z. 3,575. 6,87 47,15 E 3 El tamaño de la muestra debe ser de 48. EJERCICIOS REPASO (Libro págias 94-97)

12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN N(0,1) - Si k 0, las probabilidades φ (k) P[z k] P[z < k] se ecuetra directamete e la tabla. - P [z k] 1 P[z < k] 1 - φ (k) - Para abscisas egativas: P[z -k] P[z k] 1 - φ (k) - P[a z b] P[z b] P[z a] CALCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN N( μ, σ ) b μ k μ P[b < x < k] P < z < σ σ Tipificar Tabla N(0,1) z x μ σ 1. INTERVALOS CARACTERÍSTICOS INTERVALOS CARACTERÍSTICOS EN DISTRIBUCIONES N(0,1) X N(0,1) p 1 - P[z > z / ] / P[z z / ] 1 - / I.C. (-z /, z / ) INTERVALOS CARACTERÍSTICOS EN DISTRIBUCIONES N(μ,σ) X N(μ,σ) p 1 - P[z > z / ] / P[z z / ] 1 - / I.C. (μ - z /.σ, μ + z /.σ) 1.3 DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES Si X N( μ, σ) σ ó X N(μ, ) P[z z/ ] 1 - / I.C. (μ - z /. Si > 30 σ, μ + z/. σ ) DISTRIBUCIÓN DE LA SUMA DE TODOS LOS INDIVIDUOS DE LA MUESTRA Si X N( μ, σ) ó x i N(μ, σ ) P[z z / ]1-/ I.C.(μ - z /.σ, μ + z /.σ. ) Si > 30 i INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Si la població de partida es ormal, o si el tamaño de la muestra es 30, etoces el itervalo σ σ de cofiaza de μ co u ivel de cofiaza de (1 - ).100% es: x z, x + z 1.6 RELACIÓN ENTRE NIVEL DE CONFIANZA, ERROR ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA El valor E σ / se llama error máximo admisible. z

13 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA DISTRIBUCIÓN NORMAL EJERCICIO 1 : Los pesos, e kilogramos, de u grupo de persoas se distribuye segú ua N(70, 10). Calcula, e este grupo de persoas, la probabilidad de: a) Pesar más de 85 kg. b) Pesar etre 65 y 75 kg. Solució: X es N(70, 10) a) P 10 X 85 P Z PZ 1,5 1 PZ 1,5 1 0,933 0, b) Z X 75 P Z P 0,5 0, 5 P P[Z < 0,5] - P [Z -0,5] P[Z < 0,5] P[Z 0,5] P[Z < 0,5] [1 P[Z < 0,5]] 0, ,6915 0,383 EJERCICIO : E ua distribució N(18, 4), halla la probabilidad de que X valga: a) Más de 5. b) Etre 15 y 30. Solució: X es N(18, 4) 5 18 a) P 4 X 5 P Z PZ 1,75 1 PZ 1,75 1 0,9599 0, b) P15 X 30 P Z P 0,75 X 3 P[Z < 3] - P [Z -0,75] 4 4 P[Z < 3] P[Z 0,75] P[Z < 3] [1 P[Z < 0,75]] 0, ,7734 0, 771 INTERVALO CARACTERISTICO EJERCICIO 3 : Obté el itervalo característico para el 95%, e ua distribució N(10, 5). Solució: El itervalo característico es de la forma: ( z /, z / ) Para el 95%, 1-0,95 ; 0,05 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,975 z / 1,96 Por tato, el itervalo será: (10 1,96 5; 10 1,96 5), es decir: (71; 169) Esto sigifica que el 95% de los idividuos está e este itervalo. EJERCICIO 4 : E ua distribució ormal co media 15 y desviació típica 3,, obté u itervalo cetrado e la media, ( k, k), de forma que el 90% de los idividuos esté e ese itervalo. Solució: Se trata de hallar el itervalo característico correspodiete al 90%. Este itervalo es de la forma:( z /, z / ) Para el 90%, 1-0,9 ; 0,1 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,95 z / 1,645 Por tato, el itervalo será: (15 1,645 3,; 15 1,645 3,), es decir: (9,736; 0,64)

14 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA EJERCICIO 5 : E ua determiada població, los pesos se distribuye segú ua ormal de media 65 kg y variaza 49. Si extraemos muestras de tamaño 64: a) Cuál es la distribució de la variable aleatoria media muestral, x? b) Cuál es la probabilidad de que la media de los pesos e ua de esas muestras sea mayor de 66,5 kg? Solució: 85, 49 7, 64 7 a) X N(, ) N(65,7) x N(, ) N65;. 8 66, b) P x 66,5 P z Pz 1,71 1 Pz 1,71 1 0,9564 0, 0436 EJERCICIO 6 : La media de edad de los lectores de ua determiada revista es de 17, años, y la desviació típica,,3 años. Si elegimos muestras de 100 lectores: a) Cuál es la probabilidad de que la media de la edad de la muestra está compredida etre 16,7 y 17,5 años? b) Cuál es la distribució de las medias muestrales? Solució: 17,;,3 ; 100 a) X N(, ) N(17,;,3) x N(, P 16,7 17, 0,3 17,5 17, 0,3 ) N 17,; 0,3. 16,7 x 17,5 P z P,17 z 1, 30 z 1,30 Pz,17 Pz 1,30 Pz,17 Pz 1,30 1 Pz, P 17 0,903 (1 0,9850) 0,888 b) Ya hemos hallado, e el apartado aterior, que las medias muestrales, x, se distribuye N (17,; 0,3). INTERVALO CARACTERÍSTICO PARA LA MEDIA EJERCICIO 7 : La duració de cierto tipo de batería sigue ua distribució ormal de media 3 años y desviació típica de 0,5 años. Si se toma muestras de tamaño 9, halla u itervalo e el que esté compredidos el 99% de las duracioes medias de las baterías de cada muestra. Solució: X N 3; 0,5., 9 El itervalo característico es de la forma: z ; z Para el 99%, 1-0,99 ; 0,01 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,995 z /,575. 0,5 0, Por tato, el itervalo será:,575 ; 3,575 ; es decir :(,57; 3,43) Por tato, las duracioes medias de las baterías e el 99% de las muestras estará compredidas etre,57 y 3,43 años.

15 EJERCICIO 8 : La edad de los alumos de o de Bachillerato de cierto istituto sigue ua distribució N (17,6; 0,5). Los agrupamos al azar de 10 e 10 para ua competició. Halla el itervalo característico del 95% correspodiete a las edades medias de los grupos. Solució: X N 17,6; 0,5., 10 El itervalo característico es de la forma: z ; z Para el 95%, 1-0,95 ; 0,05 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,975 z / 1,96 0,5 0,5 Por tato, el itervalo será: 17,6 1,96 ; 17,6 1,96 ; es decir : (17,9; 17,91) Por tato, las edades medias e el 95% de los grupos está etre 17,9 y 17,91 años. INTERVALO DE CONFIANZA EJERCICIO 9 : La estatura de los habitates mayores de edad de ua determiada ciudad sigue ua distribució ormal de media descoocida y variaza 36 cm. E ua muestra aleatoria de 80 idividuos de esta ciudad, hemos obteido ua estatura media de 17 cm. Determia u itervalo de cofiaza del 95,44% para la estatura media de los habitates mayores de edad de dicha ciudad. Solució: X N(,6), 80, x 17 s s El itervalo de cofiaza es de la forma: x z ; x z Para el 95,44%,1-0,9544 ; 0,0455 P[ Z z / ] 1-/ P[ Z z / ] 0,977 z / 6 6 Por tato, el itervalo será: 17 ; 17 ; es decir, 170,66; 173, Teemos ua cofiaza del 95,44% de que la estatura media de toda la població está etre 170,66 y 173,34 cm. EJERCICIO 10 : La media de las medidas de los diámetros de ua muestra aleatoria de 00 bolas de rodamieto, fabricadas por cierta máquia, fue de 0,84 cm, y la desviació típica fue de 0,04 cm. Halla los límites de cofiaza al 95% para el diámetro medio de las bolas fabricadas por esa máquia. Solució: X N(;0,04), 00, x 0,84 s s El itervalo de cofiaza es de la forma: x z ; x z Para el 95%, 1-0,95 ; 0,05 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,975 z / 1,96 0,04 0,04 Por tato, el itervalo será: 0,84 1,96 ; 0,84 1,96 ; es decir: (0,818; 0,830) Teemos la cofiaza del 95% de que la media de la població está compredida etre 0,818 y 0,830 cm.

16 ERRORES EJERCICIO 11 : El peso, e kilogramos, de u determiado colectivo se distribuye segú ua ormal de desviació típica igual a 5 kg. Cuátos idividuos debemos seleccioar e la muestra si queremos que la media de la muestra o difiera e más de 1kg de la media de la població, co probabilidad 0,95? Solució: 5 kg y E 1 kg. El error máximo admisible es E z. Para el 95%, 1-0,95 ; 0,05 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,975 z / 1,96 Sustituimos e la expresió aterior y despejamos : 5 1 1,96 1,96 5 9,8 96,04 Habrá que tomar ua muestra de, al meos, 97 idividuos. EJERCICIO 1 : E ua muestra de persoas, mayores de 18 años, de ua ciudad, hemos obteido ua estatura media de 1,7 m y ua desviació típica de 0,4 m. Co estos datos, hemos cocluido que, la estatura media de los habitates mayores de 18 años de esa ciudad está etre 170 cm y 174 cm. Co qué ivel de cofiaza hemos llegado a dicha coclusió? Solució: Sabemos que E cm 0,0 m Como o coocemos, tomamos s 0,4 m. Y sabemos que La expresió que os da el error máximo admisible es E z. Sustituyedo e la expresió aterior, teemos que: 0,4 0,0 z z , ,4 / 1,58 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z 1,58] 0, ,949 0, , 8858 El ivel de cofiaza es del 88,58%. REPASO EJERCICIO 13 : El peso de ua carga de arajas, e gramos, sigue ua distribució N(175, 1). Calcula la probabilidad de que ua araja elegida al azar pese: a) Más de 00 gramos. b) Etre 150 y 190 gramos. Solució: x a) px 00 p pz, 08 1 pz,08 1 0,981 0, 0188 b) p x x 190 p p,08 z 1, 5 pz 1, 5 pz, pz 1,5 pz,08 pz 1, 5 1 pz, 0, , 981 0,

17 EJERCICIO 14 : Las putuacioes obteidas e u test que se ha pasado a persoas se distribuye segú ua N (50, 5). Si tomamos muestras de 100 de esas persoas: a) Cómo se distribuye las medias muestrales, x? b) Calcula la probabilidad de que la media de las putuacioes e ua de esas muestras esté compredida etre 49 y 51 putos. Solució: 100 a) X N(50;5) x N(, ) N 50; 0,5. b) Como sabemos que x es N50; 0, P 49 0,5 0,5 P [z < ] (1 P [z ]) 0, ,977 0,9544 x 51 P z P z Pz Pz Pz Pz EJERCICIO 15 : E ua paadería se ha pesado 60 paecillos de u determiado tipo, obteiedo ua media de 100 gramos y ua desviació típica de 9. Halla el itervalo de cofiaza al 95% para el peso medio de los paecillos de ese tipo. Solució: X N(100;9) 60 s s El itervalo de cofiaza es de la forma: x z ; x z Para el 95%, 1-0,95 ; 0,05 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,975 z / 1, E este caso sería: 100 1,96 ; 100 1,96, es decir: (97,7; 10,8) Teemos ua cofiaza del 95% de que el peso medio de ese tipo de paecillos esté compredido etre 97,7 y 10,8 gramos. EJERCICIO 16 : E u test de iteligecia, las putuacioes se distribuye segú ua ormal co desviació típica 15. Se desea estimar el valor de la putuació media poblacioal, co u error meor de 3 putos, y co u ivel de cofiaza del 95%. De qué tamaño, como míimo, debemos seleccioar la muestra? Solució: Sabemos que 15 y que E 3 putos. El error máximo admisible es E z. Para el 95%, 1-0,95 ; 0,05 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,975 z / 1,96 Sustituimos e la expresió aterior y obteemos el valor de : 15 1, ,96 9,8 96,04 3 Habrá que tomar muestras de, al meos, 97 idividuos. EJERCICIO 17 : E ua muestra de 150 persoas de u determiado colectivo, hemos obteido ua edad media de 38 años y ua variaza de 36. Co estos datos, hemos cocluido que la edad media de la població (de ese colectivo) está compredida etre 37,04 y 38,96 años. Cuál es el ivel de cofiaza co el que se ha llegado a dicha coclusió? Solució: Como o coocemos, tomamos s 36 6 años, y sabemos que 150 persoas.

18 La expresió que os da el error máximo admisible es E z. 38,96 37,04 Sabemos que E 0,96 años. Sustituyedo e la expresió aterior, obteemos el valor de z / : 6 0, ,96 z z 1,96 z / P[Z < z / ] 1 - / P[Z < 1,96] 1 - / P[Z < 1,96] 0, / 0,975 0,05 1-0,95 El ivel de cofiaza es del 95% EJERCICIO 18 : La duració de las bombillas de cierta marca sigue ua distribució ormal de media 780 horas, co desviació típica 00. Si cosideramos muestras de 50 de esas bombillas, halla el itervalo característico del 95% correspodiete a las medias muestrales. Solució: X N(780;00) El itervalo característico es de la forma: z ; z Para el 95%, 1-0,95 ; 0,05 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,975 z / 1, Por tato, el itervalo será: 780 1,96 ; 780 1,96, es decir: (74,56, 835,44) EJERCICIO 19 : Se sabe que la presió sistólica de los idividuos de ua determiada població sigue ua distribució N (17, 4). Si extraemos muestras de tamaño 5: a) Cuál es la distribució de la variable aleatoria media muestral, x? b) Calcula la probabilidad de que la media de las presioes sistólicas e ua de esas muestras esté compredida etre 16,5 y 18. Solució: 5 a) X N(, ) N(17;4) x N(, 16,5 17 4,8 1,96 ) N 17; 4, ,8 b) P 16,5 x 18 P z P 0,10 z 0, 1 z 0,1 Pz 0,10 Pz 0,1 Pz 0,10 Pz 0,1 1 Pz 0, P 10 0,583 (1 0,5398) 0,13 EJERCICIO 0 : El ivel de colesterol e ua persoa adulta saa sigue ua distribució ormal N(19, 1). Calcula la probabilidad de que ua persoa adulta saa tega u ivel de colesterol: a) Superior a 00 uidades. b) Etre 180 y 0 uidades. Solució: x a) px 00 p pz 0, 67 1 pz 0, , , 514 b) p x x 0 p p 1 z,33 pz,33 pz p z,33 pz 1 pz,33 1 pz 1 1 0, ,8413 0, 8314

19 EJERCICIO 1 : Las vetas diarias, e euros, e u determiado comercio sigue ua distribució N(950, 00). Calcula la probabilidad de que las vetas diarias e ese comercio: a) Supere los 100 euros. b) Esté etre 700 y 1000 euros. Solució: x a) px 100 p pz 1, 5 1 pz 1, 5 1 0,8944 0, b) p x x 1000 p p 1 z 0, 5 pz 0, 5 pz p z 0,5 pz 1 pz 0, 5 1 pz 1 1 0, ,8413 0, 44 EJERCICIO : E u campameto de verao, hemos pesado a 49 iñas y iños, obteiedo ua media de 60 kg y ua desviació típica de 6 kg. Halla los límites de cofiaza al 99% para el peso medio de las iñas y iños del campameto. Solució: 49, x 60, s 6 s s El itervalo de cofiaza es de la forma: x z ; x z Para el 99%, 1-0,99 ; 0,01 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,995 z /, E este caso será: 60,575 ; 60,575 ; es decir : (57,79; 6,1) Teemos la cofiaza del 99% de que el peso medio de las iñas y iños del campameto esté etre 57,79 kg y 6,1 kg. EJERCICIO 3 : El peso de los adultos de ua població umerosa se distribuye ormalmete co variaza 9. Cuátos idividuos debemos seleccioar e la muestra si queremos que la media muestral o difiera e más de 1 kg de la media de la població, co probabilidad 0,99? Solució: Sabemos que 9 3 y que E 1kg. El error máximo admisible es E z. Para el 99%, 1-0,99 ; 0,01 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,995 z /,575 Sustituyedo e la expresió aterior, obteemos el valor de : 3 1,575, ,75 59,68 Habrá que tomar ua muestra de al meos, 60 idividuos. EJERCICIO 4 : Los sueldos de las empleadas y empleados de ua empresa se distribuye segú ua ormal de media euros y de desviació típica 300 euros. Si cosideramos muestras de tamaño 40, halla el itervalo característico del 99% para los sueldos medios de las muestras. Solució: X N(1500,300) 40 El itervalo característico es de la forma: z ; z Para el 99%, 1-0,99 ; 0,01 P[ Z z / ] 1 - / P[ Z z / ] 0,995 z /, Por tato, el itervalo será: 1 500,575 ; 1 500,575, es decir: (1 377,86; 1 6,14) 40 40

20 INFERENCIA ESTADÍSTICA ESTIMACIÓN DE LA MEDIA DISTRIBUCIÓN NORMAL EJERCICIO 1 : El ivel de colesterol e ua persoa adulta saa sigue ua distribució ormal N(19, 1). Calcula la probabilidad de que ua persoa adulta saa tega u ivel de colesterol: a) Superior a 00 uidades. b) Etre 180 y 0 uidades. EJERCICIO : Las vetas diarias, e euros, e u determiado comercio sigue ua distribució N(950, 00). Calcula la probabilidad de que las vetas diarias e ese comercio: a) Supere los 100 euros. b) Esté etre 700 y 1000 euros. EJERCICIO 3 : El tiempo empleado, e horas, e hacer u determiado producto sigue ua distribució N(10, ). Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde e hacer: a) Meos de 7 horas. b) Etre 8 y 13 horas. EJERCICIO 4 : La edad de u determiado grupo de persoas sigue ua distribució N(35, 10). Calcula la probabilidad de que ua persoa de ese grupo, elegido al azar, tega: a) Más de 40 años. b) Etre 3 y 47 años. EJERCICIO 5 : El peso de ua carga de arajas, e gramos, sigue ua distribució N(175, 1). Calcula la probabilidad de que ua araja elegida al azar pese: a) Más de 00 gramos. b) Etre 150 y 190 gramos. INTERVALOS CARACTERÍSTICOS EJERCICIO 6 : E ua distribució ormal co media 8, y desviació típica,1, halla el itervalo característico para el 90%. EJERCICIO 7 : E ua distribució N (5, 8), halla el itervalo característico correspodiete a ua probabilidad p 0,99. EJERCICIO 8 : E ua distribució N (5, ), obté u itervalo cetrado e la media, ( k, k), tal que: P [ k < x < k] 0,95 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA EJERCICIO 9 : La edad de los miembros de ua determiada asociació sigue ua distribució N (, ). Sabemos que la distribució de las medias de las edades e muestras de tamaño 36 tiee como media 5 años y como desviació típica 0,5. a) Halla la media y la desviació típica de la edad de los miembros de la asociació. b) Cuál es la probabilidad de que u miembro de la asociació, elegido al azar, sea mayor de 60 años?

21 EJERCICIO 10 : E ua distribució N (35, 6), tomamos muestras de tamaño 49. a) Cuál es la distribució de las medias de las muestras? b) Cuál es la probabilidad de extraer ua muestra cuya media esté compredida etre 33 y 36? EJERCICIO 11 : La duració de u determiado tipo de pilas sigue ua distribució ormal co ua media de 50 horas y ua desviació típica de 5 horas. Empaquetamos las pilas e cajas de 16: a) Cuál es la probabilidad de que la duració media de las pilas de ua de las cajas sea iferior a 48 horas? b) Cuál es la distribució de la duració media de las pilas de las cajas? INTERVALO CARACTERÍSTICO PARA LA MEDIA EJERCICIO 1 : El peso de las truchas de ua piscifactoría se distribuye segú ua ormal de media 150 gramos y variaza 1 5. Halla u itervalo e el que se ecuetre el 95% de las medias de pesos de las muestras de tamaño 50. EJERCICIO 13 : E u test de matemáticas que se pasó a alumos de o de Bachillerato, se observó que las putuacioes obteidas seguía ua distribució N (67, 0). Si cosideramos muestras de 15 alumos de los que hiciero el test, halla u itervalo e el que se ecuetre el 99,73% de las putuacioes medias de los alumos de cada muestra. EJERCICIO 14 : E u exame de oposició al que se presetaba persoas, la ota media ha sido de 4, putos, co ua desviació típica de,1. Si se toma muestras de 60 opositores, halla el itervalo característico del 90% para las otas medias de las muestras. INTERVALO DE CONFIANZA EJERCICIO 15 : E ua muestra aleatoria de 00 estudiates de o de Bachillerato, se ha observado que la asistecia media a ua serie de actos culturales celebrados durate el mes de mayo fue igual a 8, co ua desviació típica igual a 6. Determia el itervalo de cofiaza para la asistecia media de los alumos de o de Bachillerato a los actos culturales celebrados durate el mes de mayo, co u ivel de sigificació del 5%. EJERCICIO 16 : E ua determiada empresa, se seleccioó al azar ua muestra de 100 empleados cuya media de igresos mesuales resultó igual a 705 euros, co ua desviació típica de 10 euros. Halla u itervalo de cofiaza al 99% para la media de los igresos mesuales de todos los empleados de la empresa. EJERCICIO 17 : Los pesos e ua determiada població sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica igual a 5 kg. Pesado a 10 idividuos de dicha població, se obtuviero los siguietes resultados medidos e kilogramos: Halla u itervalo de cofiaza al 90% para el peso medio de la població.

22 ERRORES EJERCICIO 18 : La edad de los alumos que se preseta a las pruebas de acceso a la uiversidad sigue ua distribució ormal co variaza 0,36. Deseamos estimar la edad media de dichos estudiates co u error meor de 0, años y co ua cofiaza del 99,5%. De qué tamaño, como míimo, debemos seleccioar la muestra? EJERCICIO 19 : E u determiado lugar, se seleccioó al azar ua muestra de 100 persoas cuya media de igresos mesuales resultó igual a euros co ua desviació típica de 00 euros. Si se cosidera u ivel de sigificació igual a 0,01, cuál es el tamaño muestral ecesario para estimar la media de igresos mesuales co u error meor de 30 euros? EJERCICIO 0 : Se sabe que el coteido de fructosa de cierto alimeto sigue ua distribució ormal cuya variaza es coocida, teiedo u valor de 0,5. Se desea estimar el valor de la media poblacioal mediate ua muestra, admitiédose u error máximo de 0, co ua cofiaza del 95%. Cuál ha de ser, como míimo, el tamaño de la muestra? REPASO EJERCICIO 1 : El tiempo empleado, e horas, e hacer u determiado producto sigue ua distribució N(10, ). Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde e hacer: a) Meos de 7 horas. b) Etre 8 y 13 horas. EJERCICIO : E ua determiada gaadería hemos pesado a 100 toros, obteiedo ua media de 500 kg y 45 kg de desviació típica. Halla u itervalo de cofiaza al 95% para el peso medio de los toros de la gaadería. EJERCICIO 3 : La duració media de u lavavajillas sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 0,5 años. Cuátos lavavajillas teemos que seleccioar e la muestra si queremos que la media muestral o difiera e más de 0,5 años de la media de la població, co u ivel de cofiaza del 90%? EJERCICIO 4 : El tiempo empleado por los estudiates para completar cierta prueba se distribuye ormalmete co media 30 miutos y desviació típica 5. Si cosideramos muestras de 81 estudiates: a) Cuál es la distribució de las medias muestrales? b) Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos empleados por los estudiates de la muestra sea mayor de 31 miutos? EJERCICIO 5 : El peso de las truchas de ua piscifactoría sigue ua distribució ormal de media 500 gramos y desviació típica 50 gramos. Si extraemos muestras de tamaño 36: a) Cuál es la distribució de las medias muestrales? b) Halla la probabilidad de que la media de los pesos e ua de esas muestras sea mayor de 510 gramos.

23 EJERCICIO 6 : Las alturas de las alumas de u istituto respode a ua distribució ormal de media 165 cm y desviació típica 5 cm. Si tomamos muestras de 36 alumas, halla u itervalo e el que esté compredidas el 95% de las medias de las estaturas de las muestras. EJERCICIO 7 : E ua muestra de 64 bombillas de u determiado tipo hemos obteido ua duració media de 305 días, co ua desviació típica de 40 días. Co estos datos, hemos cocluido que la duració media de este tipo de bombillas está etre 95, y 314,8 días. Halla el ivel de cofiaza co el que hemos llegado a dicha coclusió. EJERCICIO 8 : La edad de u determiado grupo de persoas sigue ua distribució N(35, 10). Calcula la probabilidad de que ua persoa de ese grupo, elegido al azar, tega: a) Más de 40 años. b) Etre 3 y 47 años. EJERCICIO 9 : La edad de u determiado colectivo de persoas sigue ua distribució ormal, de media 38, y variaza 36. Si tomamos muestras de 16 de esas persoas, halla el itervalo característico del 99% correspodiete a las edades medias de las muestras. EJERCICIO 30 : El peso de las arajas sigue ua distribució ormal de media 175 gramos y desviació típica 1 gramos. Si las metemos e bolsas de 10 arajas: a) Cuál es la distribució de la media de los pesos de las arajas de las bolsas? b) Cuál es la probabilidad de que e ua de esas bolsas la media del peso de las arajas esté compredida etre 170 y 180 gramos? EJERCICIO 31 : Los pesos de los idividuos de ua població se distribuye ormalmete, co media 70 kg y desviació típica 5 kg. Si cosideramos muestras de tamaño 64: a) Describe la distribució a la que se ajusta las medias muestrales b) Cuál es la probabilidad de que la media de ua de esas muestras sea mayor de 71 kg? EJERCICIO 3 : Se sabe que la talla de la població e edad escolar de u determiado lugar sigue ua distribució ormal de media y de desviació típica 1 cm. E ua muestra de 0 idividuos, hemos obteido ua media de 165 cm. Halla el itervalo de cofiaza al 90% para la talla media de la població. EJERCICIO 33 : Se sabe que la talla de la població escolar de u determiado lugar sigue ua distribució ormal co ua variaza de 144 cm. Se desea estimar el valor de la talla media poblacioal mediate ua muestra, co u error meor de cm; y co u ivel de cofiaza del 95%. Cuál ha de ser, como míimo, el tamaño de la muestra?