Estimación de una proporción

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1 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Resuelve Págia 309 Cuátas caras cabe esperar? Repite el razoamieto aterior para averiguar cuátas caras cabe esperar si lazamos moedas y cosideramos casos raros al 5 % de los casos extremos. El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 95 % (cosideramos casos raros al 5 % de los casos extremos) es: 50 ± 1,96 5 = (40,; 59,8) Esto sigifica que e el 95 % de los casos e que tiremos moedas, el úmero de caras que obtedremos será mayor que 40 y meor que 60. Cualquier otro resultado será u caso raro. U saco de alubias Teemos u saco co alubias. De ellas, so blacas y 500 so egras. Está bie mezcladas. Extraemos 600 alubias. Cuátas alubias egras cabe esperar que haya etre ellas? Resuelve el problema aterior cosiderado como casos raros solo al 1 % de los casos extremos. Para ello: a) Averigua la proporció, p, de alubias egras e el saco. b) Cosidera la distribució B(600, p) y calcula su media µ = 600p y su desviació típica σ = 600 p( 1 p). c) Cosidera la distribució N(µ, σ) y halla su itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 99 %. d) Decide, como cosecuecia del resultado aterior, etre qué valores se ecuetra el úmero de alubias egras que cabe esperar. a) p = 500 = 005, b) µ = 600 0,05 = 30; σ = 600 0, 05 0, 95 = 8, 5 5, 34 c) El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 99 % es: 30 ±,575 5,34 = (16,5; 43,75) d) E el 99 % de los casos e que saquemos 600 judías de ese saco, el úmero de judías egras será mayor que 16 y meor que 44. Cualquier otro resultado será u caso raro (llamado casos raros a ese 1 % de casos extremos). 1

2 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Peces e u patao Se desea estimar el úmero total de peces que hay e cierto patao. Para ello, se procede del siguiete modo: Se pesca ua cierta catidad de ellos, por ejemplo, 349, se marca y se devuelve al patao. (Para marcarlos, existe uas titas idelebles que so resistetes al agua). Al cabo de varios días, se vuelve a pescar otro motó y se averigua qué proporció de ellos está marcados. Supogamos que e esta seguda pesca se ha obteido 514 peces, de los cuales hay 37 marcados. Co los datos ateriores, di cuátos peces crees que hay, aproximadamete, e el patao. La muestra tiee 514 peces, de los cuales hay 37 marcados. La proporció de peces marcados e la muestra es: pr = 37 = 0, El valor de la proporció de peces marcados e el patao es pr = de peces. 349, dode N es el úmero total N Auque este problema se resolverá de forma completa (mediate u itervalo de cofiaza) al termiar la uidad, podemos supoer que la proporció de peces marcados e la muestra y e el patao será aproximadamete la misma; es decir: N 4 848, 7 8 N peces 514 N (Al cosiderar ua probabilidad determiada, daremos u itervalo de cofiaza, obteiedo u resultado más preciso que este).

3 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 1 Distribució biomial. Repaso de técicas básicas para el muestreo Págia La variable x es biomial, co = 1 00 y p = 0,008. a) Calcula la probabilidad de que x sea mayor que. b) Halla el itervalo característico para ua probabilidad del 95 %. Como p = 9,6 > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = p = 9,6 y desviació típica q = = , 008 0, 99 = 3,09. Es decir: x es B (1 00; 0,008) x' es N (9,6; 3,09) z es N (0, 1) a) P [x > 10] = P [x' 10,5] = Pz = G = P [z 0,9] = 1 P [z < 0,9] = 1 0,6141 = 0, , b) Para ua probabilidad del 95 %, z α/ = 1,96. El itervalo característico será: (9,6 1,96 3,09; 9,6 + 1,96 3,09) = (3,54; 15,66) Si teemos u dado correcto y lo lazamos 50 veces: a) Cuál es la probabilidad de que el 1 salga más de diez veces? b) Cuál es la probabilidad de que salga múltiplo de 3 al meos veite veces? a) Llamamos x =. de veces que sale el 1 ; así, x es Bc50, 1 m. 6 Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = = 8,33 y desviació típica q = =,64; es decir: 6 6 x es Bc50, 1 m x' es N (8,33;,64) z es N (0, 1) 6 P [x > 10] = P [x' 10,5] = Pz = G = P [z 0,8] = 64, = 1 P [z < 0,8] = 1 0,7939 = 0,061 b) Llamamos x =. de veces que sale múltiplo de 3. La probabilidad de obteer u múltiplo de 3 e ua tirada es p = = 1. Así, x es B c50, 1 m Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = = 16,67 y desviació típica q = 50 1 = 3,33; es decir: 3 3 x es B c50, 1 m x' es N (16,67; 3,33) z es N (0, 1) 3 P [x 0] = P [x' 19,5] = Pz = G = P [z 0,85] = 333, = 1 P [z < 0,85] = 1 0,803 = 0,1977 3

4 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Distribució de las proporcioes muestrales Págia Como sabemos, e u dado correcto la pro porció de veces que sale el 5 es 1/6 = 016,!. Halla cada uo de los itervalos característicos correspodietes al 90 %, 95 % y 99 % para la proporció de cicos, e tadas de lazamietos de u dado correcto. Las proporcioes de cicos e tadas de lazamietos sigue ua distribució ormal de media p = 6 1 = 0,17 y desviació típica Hallamos los itervalos característicos: Para el 90 %: (0,17 ± 1,645 0,037) = (0,109; 0,31) Para el 95 %: (0,17 ± 1,96 0,037) = (0,097; 0,43) Para el 99 %: (0,17 ±,575 0,037) = (0,075; 0,65) ( 16 / ) ( 56 / ) = = 0,037; es decir, pr es N (0,17; 0,037). 4

5 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 3 Itervalo de cofiaza para ua proporció o ua probabilidad Págia Se ha lazado u dado 400 veces y se ha obteido 7 veces el valor 4. Estima el valor de la probabilidad P[4] co u ivel de cofiaza del 90 %. Para u ivel de cofiaza del 90%, teemos que z α/ = 1,645. La proporció de cuatros obteidas e la muestra es: pr = 7 = 0, El itervalo de cofiaza para estimar P [4] será: e 018, 0, 8 018, 0, 8 018, 1, 645 ; 018, + 1, 645 o = (0,148; 0,1) Es decir, co u ivel de cofiaza del 90 %, la probabilidad de obteer 4 está etre 0,148 y 0,1. Cuátas veces tedremos que lazar u dado, que supoemos levemete icorrecto, para estimar la probabilidad de sacar 6 co u error meor que 0,00 y u ivel de cofiaza del 95 %? Para u ivel de cofiaza del 95 %, teemos que z α/ = 1,96. Como descoocemos el valor de pr, tomaremos pr = 6 1 0,17 (supoemos el dado levemete icorrecto). El error máximo admisible es: pr( 1 pr) E = z α/ 0,00 = 1,96 Deberemos lazarlo, al meos, veces. 017, 0, 83 = 13551,44 5

6 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 4 E qué cosiste u test de hipótesis estadístico? Págia a) E el ejemplo aterior, comprueba que si usamos u ivel de sigificació del 1 %, o podremos rechazar la hipótesis de que el dado es correcto. b) Lazamos ua moeda veces y obteemos 60 caras. Podremos aceptar la hipótesis de que la moeda es correcta co u ivel de sigificació del 5 %? a) Si α = 0,01 z α/ =,575 y el itervalo característico correspodiete será: (0,167,575 0,037; 0,167 +,575 0,037) = (0,07; 0,6) 0,5 (0,07; 0,6), luego o podremos rechazar la hipótesis de que el dado es correcto. b) hipótesis: La moeda es correcta. Por tato, P [cara] = 1. resultado empírico (a partir de la muestra): pr (cara) = 0,6. Si la hipótesis fuera cierta, etoces las proporcioes, pr, de caras e las muestras de tamaño seguiría ua distribució ormal: Ne , ; o= N( 05, ; 005, ) Si α = 0,05 z α/ = 1,96 y el itervalo característico correspodiete será: (0,5 1,96 0,05; 0,5 + 1,96 0,05) = (0,40; 0,598) 0,6 (0,40; 0,598), luego o podremos aceptar la hipótesis de que la moeda es correcta. 6

7 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Ejercicios y problemas resueltos Págia Distribució de las proporcioes muestrales Hazlo tú. Halla la probabilidad de que el úmero de microcircuitos defectuosos e u paquete sea superior a 5. Si hay más de 5 defectuosos, etoces la proporció de defectuosos es mayor que 5 = 0, P [pr > 0,05] = Pz = > G = P [z > 1,14] = 1 P [z 1,14] = 1 0,879 = 0,171 0, Estimació de ua probabilidad Hazlo tú. Hemos fabricado, toscamete, u dado de madera. Lo lazamos 400 veces y obteemos 90 veces el 6. Estima la probabilidad de sacar 6 mediate itervalos co ivel de cofiaza: a) del 90 %. b) del 95 %. c) del 99 %. pr = 90 =0, La desviació típica es: s = a) 1 α = 0,90 z α/ = 1,645 0, 5 0, 775 = 0, La cota de error es: E = 1,645 0,01 = 0,03455 Co lo que el itervalo de cofiaza correspodiete a u ivel de cofiaza del 90 % queda: (0,5 ± 0,035) = (0,19; 0,6) b) 1 α = 0,95 z α/ = 1,96 La cota de error es: E = 1,96 0,01 = 0,041 Co lo que el itervalo de cofiaza correspodiete a u ivel de cofiaza del 95 % queda: (0,5 ± 0,041) = (0,184; 0,66) c) 1 α = 0,99 z α/ =,575 La cota de error es: E =,575 0,01 = 0,054 Co lo que el itervalo de cofiaza correspodiete a u ivel de cofiaza del 99 % queda: (0,5 ± 0,054) = (0,171; 0,79) Págia Tamaño de la muestra para estimar ua proporció Hazlo tú. Supoemos, e pricipio, que ua moeda es correcta. Cuátas veces habremos de lazarla para estimar P [C ] = p co u error meor que 0,0 y co u ivel de cofiaza del 99 %? 1 α = 0,99 z α/ =,575 E =, , 05, 0505,,, , 8 00, =, = = 4144, 1 00, Tedríamos que lazar la moeda veces para estimar la probabilidad co meos de dos cetésimas de error y co u ivel de cofiaza del 99 %. 7

8 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 4. Estimació de ua proporció (resolució del problema iicial) Hazlo tú. Estima el úmero de peces co u ivel de cofiaza del 80 %. 1 α = 0,8 z α/ = 1,8 E = 18, 0, 07 0, 98 = 0, Por tato, el itervalo de cofiaza para p, al 80 %, es: (0,07 ± 0,015) = (0,057; 0,087) 0,057 = N N 1 0,087 = N N Así, teemos u ivel de cofiaza del 80 % de que el úmero de peces del patao esté e el itervalo [4011, 613]. 8

9 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Ejercicios y problemas guiados Págia Cálculo de probabilidad e ua biomial mediate paso a la ormal E ua distribució biomial x : B (80; 0,11), hallar P [x > 4] pasado a ua ormal: x': N (μ, σ) a) tomado x' 4,5. b) tomado x' 4. µ = p = , = 8, 8 4 x ': N (8,8;,8) q = = , 0, 89 = 80, 45, 88, a) Px [ > 4] Px [ ' 4, 5] = Pz = G = Pz [ 154, ] = 0, 938 8, 4 8, 8 b) Px [ > 4] Px [ ' 4] = Pz = G = Pz [ 171, ] = 0, ,. Describir la distribució de las proporcioes muestrales a partir de la p poblacioal Sabemos que la proporció de persoas Rh + es de 0,11. Cómo se distribuye las pr e muestras de tamaño 80? Hallarla razoadamete. E 80 idividuos, el úmero de ellos que so Rh + se distribuye B (80; 0,11) y, por tato, es N (8,8;,8). La proporció de Rh + etre los 80 idividuos pr = 80 es, ;,, Ne o = N( 0135, ;, ) Itervalo de cofiaza para p a partir de ua muestra E ua muestra de 80 persoas hay 10 de ellas co Rh +. Estimar p (proporció de Rh + e la població) mediate u itervalo co u ivel de cofiaza del 95,5 %. pr = 10 =, , 15 0, 875 s = =0, ,, 8 a 8 a a = = = = = 0, a = 1 0, 05 = 0, za/ =, 005 E =,005 0,037 = 0,074 El itervalo es: (0,15 ± 0,074) = (0,051; 0,199) 9

10 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 4. Número de idividuos que debe teer ua muestra Sabemos que la proporció de persoas co Rh + es u valor próximo a 0,1. Queremos estimar esta proporció e ua etia aú o estudiada. Qué tamaño debe teer la muestra para que, co u ivel de cofiaza del 95 %, el error estadístico o sea superior a 0,00? p = 0,1 s = 01, 09, Para u ivel de cofiaza del 95 % teemos que z α/ = 1,96. Por tato, el error máximo es: 0,00 = 1,96 01, 09, La muestra debe teer u tamaño de persoas. 196, 0, 09 8 = = , Obteció del ivel de cofiaza de ua estimació ya realizada E ua muestra de 500 persoas hemos obteido ua proporció pr = 0,118 de idividuos co Rh +. Hacemos la estimació de que la proporció p de la població está e el itervalo (0,116; 0,10). Co qué ivel de cofiaza hacemos esta estimació? 0, 10 0, 116 E = = 0, 00 0, 118 0, 88 pr = 0,118 s = = 0, , 00 0,00 = z α/ 0,014 z α/ = = 014, 0, 014 a = P [z > 0,14] = 1 0,5557 = 0,4443 α = 0,4443 = 0, α = 1 0,8886 = 0,1114 El ivel de cofiaza es del 11 %. 10

11 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Ejercicios y problemas propuestos Págia 30 Para practicar Distribució de proporcioes muestrales 1 Averigua cómo se distribuye las proporcioes muestrales, pr, para las poblacioes y las muestras que se describe a cotiuació: a) b) c) d) e) f ) proporció, p, e la població 0,5 0,6 0,8 0,1 0,05 0,15 tamaño de la muestra Recordemos que, si p 5 y q 5, etoces, las proporcioes muestrales sigue ua distribució Nep, o. Aplicamos este resultado a cada uo de los casos propuestos. Observamos que e todos ellos se tiee que p 5 y q 5.,, a) N e , ; o = N (0,5; 0,158) 10 b) N e , 6; o = N (0,6; 0,110) 0 c) N e , 8; o = N (0,8; 0,073) 30 d) N e , 1; o = N (0,1; 0,04) 50 e) N e , ; o = N (0,05; 0,018) f) N e , ; o = N (0,15; 0,036) Halla los itervalos característicos para las proporcioes muestrales del ejercicio aterior, correspodietes a las probabilidades que, e cada caso, se idica: a) 90 % b) 95 % c) 99 % d) 95 % e) 99 % f ) 80 % a) z α/ = 1,645 Itervalo (0,5 1,645 0,158; 0,5 + 1,645 0,158) = (0,4; 0,76) b) z α/ = 1,96 Itervalo (0,6 1,96 0,110; 0,6 + 1,96 0,110) = (0,38; 0,8) c) z α/ =,575 Itervalo (0,8,575 0,073; 0,8 +,575 0,073) = (0,61; 0,99) d) z α/ = 1,96 Itervalo (0,1 1,96 0,04; 0,1 + 1,96 0,04) = (0,018; 0,18) e) z α/ =,575 Itervalo (0,05,575 0,018; 0,05 +,575 0,018) = ( 0,006; 0,106) f)z α/ = 1,8 Itervalo (0,15 1,8 0,036; 0,15 + 1,8 0,036) = (0,104; 0,196) 11

12 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 3 Cuatro de cada diez habitates de ua determiada població lee habitualmete el perió dico Z. Halla el itervalo característico (para u ivel de cofiaza del 95 %) de la proporció que lee el periódico Z, e muestras de tamaño 49. p = proporció de lectores del periódico Z = 10 4 = 0,4. El itervalo característico para la proporció de lectores, pr, e muestras de tamaño es de la forma: ep za/, p+ za/ o Para el 95 % 1 α = 0,95 z α/ = 1,96 El itervalo será: e 04, 06, 04, 06, 04, 196, ; 04, + 196, o = (0,6; 0,54) E u saco mezclamos judías blacas y judías pitas e la relació de 14 blacas por cada pita. Extraemos u puñado de judías. a) Cuál es la probabilidad de que la proporció de judías pitas esté etre 0,05 y 0,1? b) Halla u itervalo para el 99 % de las proporcioes de las muestras de tamaño. a) La proporció de judías pitas es p = Si extraemos u puñado de judías, teemos ua biomial B c; 1 m. 15 Ua proporció etre 0,05 y 0,1 sigifica que haya etre 0,05 = 5 y 0,1 = 10 judías pitas. Por tato, si x es B c; 1 m, teemos que calcular P [5 < x < 10]. 15 Como 1 > 5 y 14 > 5, podemos aproximar la biomial mediate ua ormal de media µ = 1 = 6,67 y desviació típica q = 1 14 =, Así, si x es B c; 1 m x' es N (6,67;,49) z es N (0, 1). 15 Calculamos: P [5 < x < 10] = P [5,5 x' 9,5] = P= z G = 49, 49, = P [ 0,47 z 1,14] = P [z 11,4] P [z 0,47] = = P [z 1,14] P [z 0,47] = P [z 1,14] (1 P [z 0,47]) = = 0,879 (1 0,6808) = 0,5537 b) Si cosideramos muestras de tamaño, el itervalo característico para la proporció muestral es de la forma: ep za/, p+ za/ o Para el 99 % 1 α = 0,99 z α/ =,575 Así, el itervalo será: e 1 ( / ) ( / ) ( / ) ( / ), ;, o = (0,004; 0,1309) 1

13 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 5 El 4 % de los habitates de u muicipio es cotrario a la gestió del alcalde y el resto so partidarios de este. Si se toma ua muestra de 64 idividuos, cuál es la probabilidad de que gae los que se opoe al alcalde? E muestras de 64, el úmero de persoas que se opoe al alcalde, x, sigue ua distribució biomial B (64; 0,4). Para ello, hemos de supoer que el muicipio es suficietemete grade como para que, al ir tomado idividuos para la muestra, la proporció o varíe sesiblemete. Es decir, cada idividuo que extraigamos modifica la proporció. Pero si el úmero total es grade, esa variació es irrelevate. Teemos que calcular P [x > 3]. Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media: µ = p = 64 0,4 = 6,88 y desviació típica: = 64 04, 0, 58 = 3,95 Así, si x es B (64; 0,4) x' es N (6,88; 3,95) z es N (0, 1). Por tato: P [x > 3] = P [x' 3,5] = Pz = G = P [z 1,4] = 395, = 1 P [z < 1,4] = 1 0,9 = 0, La probabilidad de que u bebé sea varó es 0,515. Si ha acido 184 bebés, cuál es la probabilidad de que haya varoes o más? Halla el itervalo característico correspodiete al 95 % para la proporció de varoes e muestras de 184 bebés. El úmero de varoes etre 184 bebés, x, sigue ua distribució biomial B (184; 0,515). Teemos que calcular P [x ]. Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media: µ = p = 184 0,515 = 94,76 y desviació típica: = 184 0, 515 0, 485 = 6,78 Así, si x es B (184; 0,515) x' es N (94,76; 6,78) z es N (0, 1). Por tato: P [x ] = P [x' 99,5] = Pz = G = P [z 0,70] = 678, = 1 P [z < 0,70] = 1 0,7580 = 0,40 El itervalo característico para la proporció muestral es de la forma: ep za/, p+ za/ o Para el 95 % 1 α = 0,95 z α/ = 1,96. Así, el itervalo será: e 0, 515 0, 485 0, 515 0, 485 0, , ; 0, , o = (0,448; 0,587)

14 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Itervalos de cofiaza 7 Se realizó ua ecuesta a 350 familias pregutado si poseía ordeador e casa, ecotrádose que 75 de ellas lo poseía. Estima la proporció real de las familias que dispoe de ordeador co u ivel de cofiaza del 95 %. La proporció de familias co ordeador e la muestra es pr = 75 = Para el 95 % de cofiaza, 1 α = 0,95 z α/ = 1,96. El itervalo de cofiaza para p es: e 3 ( 314 / )( 1 ( 314 / )) ( / )( ( / )) 196, ; , o = (0,17; 0,6) Se seleccioa aleatoriamete ua muestra de 600 persoas e ua ciudad y se les preguta si cosidera que el tráfico e la misma es aceptablemete fluido. Respode afirmativamete 50 persoas. Cuál es el itervalo de cofiaza de la proporció de ciudadaos de esa ciudad que cosidera aceptable la fluidez del tráfico, co u ivel de cofiaza del 90 %? La proporció muestral es: pr = 50 = pr = Para u ivel de cofiaza del 90 %, sabemos que z α/ = 1, El itervalo de cofiaza para la proporció de ciudadaos que cosidera aceptable la fluidez del tráfico es: fpr z E este caso queda: Para resolver pr( 1 pr) pr( 1 pr), pr + z p a a/ / e 5 ( 51 / )( 7/ 1) ( / )( / ) 1, 645 ; , o = (0,3836; 0,4498) Sabemos que al lazar al suelo chichetas, e el 95 % de los casos, la proporció de ellas que queda co la puta hacia arriba está e el itervalo (0,116; 0,784). Di cuál es la probabilidad p de que ua de esas chichetas caiga co la puta hacia arriba y comprueba que la amplitud del itervalo dado es correcta. p es el cetro del itervalo, es decir: 0, , 116 p = = 0, Veamos que la amplitud del itervalo dado es correcta. Para el 95 % 1 α = 0,95 z α/ = 1,96. El itervalo característico es: ep za/, p+ za/ o E este caso (p = 0,; q = 0,8; = ; z α/ = 1,96), queda: e 0, 08, 0, 08, 0, 196, ; 0, + 196, o = (0,116; 0,784) 14

15 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 10 Se desea estimar la proporció, p, de idividuos daltóicos de ua població a través del porcetaje observado e ua muestra aleatoria de idividuos, de tamaño. a) Si el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es igual al 30 %, calcula el valor de para que, co u ivel de cofiaza del 95 %, el error cometido e la estimació sea iferior al 3,1 %. b) Si el tamaño de la muestra es de 64 idividuos, y el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es del 35 %, determia, usado u ivel de cofiaza del 99 %, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de daltóicos de la població. a) Para u ivel de cofiaza del 95 % 1 α = 0,95 z α/ = 1,96. El error máximo admisible es: E = z α/ Buscamos para que E = 0,031. 1,96 pr( 1 pr) 03, 07, = 0,031 = 839,48 La muestra ha de ser de 840 idividuos. b) Para u ivel de sigificació del 1 %, teemos que: α = 0,01 1 α = 0,99 z α/ =,575 El itervalo de cofiaza para p será: e 035, 0, , 0, ,, 575 ; 035, +, 575 o = (0,196; 0,504) E ua muestra de rótulos publicitarios, se observa que aparece 6 defectuosos. a) Estima la proporció real de rótulos defectuosos, co u ivel de cofiaza del 99 %. b) Cuál es el error máximo cometido al hacer la estimació aterior? c) De qué tamaño tedríamos que coger la mues tra para obteer, co u ivel de cofiaza del 99 %, u error iferior a 0,05? a) La proporció muestral es: pr = 6 = 006, 8 1 pr = 094, Para u ivel de cofiaza del 99 %, sabemos que z α/ =,575. El itervalo de cofiaza para estimar la proporció real de rótulos defectuosos es: fpr z E este caso queda: b) E = z α/ pr( 1 pr) pr( 1 pr), pr + z p a a/ / e 006, 0, , 0, ,, 575 ; 006, +, 575 o = (0; 0,1) pr( 1 pr) =,575 c) E la expresió del error, sabemos que: Por tato: E = 0,05 006, 0, 94 0,06 z α/ =,575 (para u ivel de cofiaza del 99 %) pr = 0,06; 1 pr = 0,94 E = z α/ pr( 1 pr) 0,5 =,575 Habrá que tomar ua muestra de, al meos, 150 rótulos. 006, 0, ,58 15

16 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Págia 31 1 E ua ecuesta realizada a 800 persoas elegidas al azar del ceso electoral, 40 declara su iteció de votar al partido A. a) Estima, co u ivel de cofiaza del 95,5 %, etre qué valores se ecuetra la iteció de voto al susodicho partido e todo el ceso. b) Discute, razoadamete, el efecto que tedría sobre el itervalo de cofiaza el aumeto, o la dismiució, del ivel de cofiaza. La proporció muestral es: pr = 40 = 0,3 1 pr = 0,7 800 a) Para u ivel de cofiaza del 95,5 %, hallamos z α/ : 0,9550 0, ,9550 = 0,045; 0,05 + 0,9550 = 0,9775 0, 045 = 0,05 P [z z α/ ] = 0,9775 z α/ =,005,005 El itervalo de cofiaza para estimar la proporció e la població es: fpr z E este caso queda: pr( 1 pr) pr( 1 pr), pr + z p a a/ / e 03, 07, 03, 07, 03,, 005 ; 03, +, 005 o = (0,675; 0,335) La proporció de votates del partido A e la població se ecuetra, co u ivel de cofiaza del 95,5 %, etre el 6,75 % y el 33,5 %. b) Si aumeta el ivel de cofiaza, mayor es la amplitud del itervalo; es decir, cuato más seguros queramos estar de uestra estimació, mayor será el error máximo admisible. Si dismiuye el ivel de cofiaza, tambié lo hará la amplitud del itervalo. 13 U estudio realizado por ua compañía de seguros de automóviles establece que ua de cada cico persoas accidetadas es mujer. Se cotabiliza, por térmio medio, 169 accidetes cada fi de semaa: a) Cuál es la probabilidad de que, e u fi de semaa, la proporció de mujeres accidetadas supere el 4 %? b) Cuál es la probabilidad de que, e u fi de semaa, la proporció de hombres accidetados supere el 85 %? c) Cuál es, por térmio medio, el úmero esperado de hombres accidetados cada fi de semaa? a) x : úmero de mujeres accidetadas cada fi de semaa x B (169; 0,) La proporció de mujeres accidetadas cada fi de semaa sigue ua distribució: x' Nep, o 0 08 = N e0, ; o = N (0,; 0,03)

17 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Así: P [x' > 0,4] = Pz = 04 0 > G = P [z > 1,33] = 1 ϕ(1,33) = 1 0,908 = 0, , b) La proporció de hombres accidetados cada fi de semaa sigue ua distribució: Así: y' N e , ; o = N (0,8; 0,03) 169 P [ y' > 0,85] = Pz = > G = P [z > 1,67] = 1 ϕ(1,67) = 1 0,955 = 0, , c) El úmero de hombres accidetados cada fi de semaa sigue ua distribució y B (169; 0,8). Así, µ = p = 169 0,8 = 135, es el úmero esperado de hombres accidetados cada fi de semaa. Cuestioes teóricas 14 A partir de ua muestra de tamaño 400, se estima la proporció de idividuos que lee el periódico e ua gra ciudad. Se obtiee ua cota de error de 0,039 co u ivel de cofiaza del 95 %. a) Podríamos, co la misma muestra, mejorar el ivel de cofiaza e la estimació? A costa de qué? b) Sabrías calcular la proporció, pr, obteida e la muestra? a) Aumetado la cota de error mejoraría el ivel de cofiaza. b) La cota de error es: E = z α/ pr( 1 pr) Como E = 0,039; = 400 y 1 α = 0,95 z α/ = 1,96 teemos que: pr( 1 pr) 0, 039 pr( 1 pr) 0, 039 = 196, 8 = , 400 1± 1 064, 1± 0, 36 1± 0, 6 pr = = = pr( 1 pr) pr( 1 pr) 00, = 8 0, 0004 = , = pr( 1 pr) 0,16 = pr pr pr pr + 0,16 = 0 pr = 08, pr = 0, Podría ser pr = 0,8 o bie pr = 0,. Co los datos que teemos, o podemos decidir cuál de estos dos resultados es el válido. 17

18 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Para profudizar 15 a) U fabricate de medicametos afirma que cierta medicia cura ua efermedad de la sagre e el 80 % de los casos. Los ispectores de saidad utiliza el medicameto e ua muestra de pacietes y decide aceptar dicha afirmació si se cura 75 o más. Si lo que afirma el fabricate es realmete cierto, cuál es la probabilidad de que los ispectores rechace dicha afirmació? b) Supogamos que e la muestra se cura 60 idividuos. Di, co ua cofiaza del 95 %, cuál es el error máximo cometido al estimar que el porcetaje de efectividad del medicameto es del 60 %. a) Si lo que dice el fabricate es cierto, teemos que p = 0,8 1 p = 0,. Cosiderado ua muestra de tamaño =, las proporcioes muestrales, pr, sigue ua distribució ormal de media p = 0,8 y de desviació típica: 08, 0, = =004, es decir, pr es N (0,8; 0,04). La probabilidad de que los ispectores rechace la afirmació es P< pr < 75 F. Calculamos esta probabilidad: 1,5 P< pr < F = P[ pr < 075, ] = Pz = < G = Pz [ < 15, ] = P [z > 1,5] = 004, = 1 Pz [ 1, 5] = 1 0, 8944 = 0, 1056 b) Si la proporció muestral es pr = 60 = 0,6 1 pr = 0,4. Para z α/ = 1,96 (ivel de cofiaza del 95 %), el error máximo será: E = z α/ pr( 1 pr) = 1,96 06, 04, 0,096 El error máximo cometido es de u 9,6 %, es decir, de 10 persoas. 18

19 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Autoevaluació Págia 31 1 E ua població, la proporció de idividuos que tiee ua cierta característica C es 0,3. a) Cómo se distribuye las posibles proporcioes pr de idividuos que tiee la característica C e muestras de 00 idividuos? b) Halla el itervalo característico de pr correspodiete a u ivel de cofiaza del 95 %. c) Calcula la probabilidad de que e ua muestra la proporció sea meor que 0,3. a) E la població, p = 0,3. Las proporcioes muestrales, pr, se distribuye Nep, o. 03, 0, 68 = =0, Es decir, pr se distribuye N (0,3; 0,033). b) E ua N (0, 1), el itervalo característico correspodiete al 95 % es ( 1,96; 1,96). 0,3 1,96 0,033 = 0,55 0,3 + 1,96 0,033 = 0,647 El itervalo característico para pr (al 95 %) es (0,55; 0,647). c) P [pr < 0,3] = Pz = < G = P [z < 0,61] = 1 ϕ(0,61) = 1 0,791 = 0,709 0, 033 Se sabe que el 10 % de los habitates de ua determiada ciudad va regularmete al teatro. Se toma ua muestra al azar de habitates de esta ciudad. Cuál es la probabilidad de que, al meos, u 13 % de ellos vaya regularmete al teatro? La distribució x = úmero de persoas que va regularmete al teatro es ua B (; 0,1), dode p = 0,1 y q = 1 p = 0,9. Como 0,1 > 5 y 0,9 > 5, aproximamos co ua distribució x' Np (, ) = N (10, 3), a la que aplicamos la correcció por cotiuidad:, P [x 13] = P [x' 1,5] = Pz < F = P [z 0,83] = 3 = 1 ϕ(0,83) = 1 0,7967 = 0,033 3 E ua muestra de 60 estudiates de ua uiversidad, u tercio habla iglés. a) Halla, co u ivel de cofiaza del 90 %, u itervalo para estimar la proporció de estudiates que habla iglés e esa uiversidad. b) A la vista del resultado aterior, se va a repetir la experiecia para coseguir ua cota de error de 0,01 co el mismo ivel de cofiaza. Cuátos idividuos deberá teer la muestra? La proporció muestral es: pr = pr = 3 Para u ivel de cofiaza del 90 %, sabemos que z α/ = 1,645. a) El itervalo de cofiaza para estimar la proporció e la població es: fpr z E este caso queda: pr( 1 pr) pr( 1 pr), pr + z p a a/ / e 1 ( / ) ( / ) ( / ) ( / ), ;, o = (0,33; 0,4334)

20 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II b) E la expresió del error, E = z α/ E = 0,01 pr( 1 pr), sabemos que: z α/ = 1,645 (para u ivel de cofiaza del 90 %) pr = 1 ; 1 pr = 3 3 Por tato: 0,01 = 1, 645 ( 13 / ) ( 1 / ) , 4 Habrá que tomar ua muestra de, al meos, idividuos. 4 Ua ecuesta realizada e cierto país sobre ua muestra de 800 persoas arroja el dato de que 300 so aalfabetas. Para estimar la proporció de aalfabetos del país, hemos obteido el itervalo de cofiaza (0,3414; 0,4086). Co qué ivel de cofiaza se ha hecho la estimació? La proporció muestral es: pr = 300 = pr = El error máximo admisible es la semiamplitud del itervalo de cofiaza; es decir: 0, , 3414 E = = 0,0336 Por tato: pr( 1 pr) E = z α/ 0,0336 = z α/ 5 8 ( 38 / ) ( 58 / ) 800 z α/ = 1,96 1 a a/ a/ 1,96 El ivel de cofiaza es del 95 %. P [z 1,96] = 0,9750 a = P [z > 1,96] = 1 0,9750 = 0,05 α = 0,05 = 0,05 1 α = 0,95 0

21 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Autoevaluació Págia 31 1 E ua població, la proporció de idividuos que tiee ua cierta característica C es 0,3. a) Cómo se distribuye las posibles proporcioes pr de idividuos que tiee la característica C e muestras de 00 idividuos? b) Halla el itervalo característico de pr correspodiete a u ivel de cofiaza del 95 %. c) Calcula la probabilidad de que e ua muestra la proporció sea meor que 0,3. a) E la població, p = 0,3. Las proporcioes muestrales, pr, se distribuye Nep, o. 03, 0, 68 = =0, Es decir, pr se distribuye N (0,3; 0,033). b) E ua N (0, 1), el itervalo característico correspodiete al 95 % es ( 1,96; 1,96). 0,3 1,96 0,033 = 0,55 0,3 + 1,96 0,033 = 0,647 El itervalo característico para pr (al 95 %) es (0,55; 0,647). c) P [pr < 0,3] = Pz = < G = P [z < 0,61] = 1 ϕ(0,61) = 1 0,791 = 0,709 0, 033 Se sabe que el 10 % de los habitates de ua determiada ciudad va regularmete al teatro. Se toma ua muestra al azar de habitates de esta ciudad. Cuál es la probabilidad de que, al meos, u 13 % de ellos vaya regularmete al teatro? La distribució x = úmero de persoas que va regularmete al teatro es ua B (; 0,1), dode p = 0,1 y q = 1 p = 0,9. Como 0,1 > 5 y 0,9 > 5, aproximamos co ua distribució x' Np (, ) = N (10, 3), a la que aplicamos la correcció por cotiuidad:, P [x 13] = P [x' 1,5] = Pz < F = P [z 0,83] = 3 = 1 ϕ(0,83) = 1 0,7967 = 0,033 3 E ua muestra de 60 estudiates de ua uiversidad, u tercio habla iglés. a) Halla, co u ivel de cofiaza del 90 %, u itervalo para estimar la proporció de estudiates que habla iglés e esa uiversidad. b) A la vista del resultado aterior, se va a repetir la experiecia para coseguir ua cota de error de 0,01 co el mismo ivel de cofiaza. Cuátos idividuos deberá teer la muestra? La proporció muestral es: pr = pr = 3 Para u ivel de cofiaza del 90 %, sabemos que z α/ = 1,645. a) El itervalo de cofiaza para estimar la proporció e la població es: fpr z E este caso queda: pr( 1 pr) pr( 1 pr), pr + z p a a/ / e 1 ( / ) ( / ) ( / ) ( / ), ;, o = (0,33; 0,4334)

22 Uidad 13. Iferecia estadística. Estimació de ua proporció Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II b) E la expresió del error, E = z α/ E = 0,01 pr( 1 pr), sabemos que: z α/ = 1,645 (para u ivel de cofiaza del 90 %) pr = 1 ; 1 pr = 3 3 Por tato: 0,01 = 1, 645 ( 13 / ) ( 1 / ) , 4 Habrá que tomar ua muestra de, al meos, idividuos. 4 Ua ecuesta realizada e cierto país sobre ua muestra de 800 persoas arroja el dato de que 300 so aalfabetas. Para estimar la proporció de aalfabetos del país, hemos obteido el itervalo de cofiaza (0,3414; 0,4086). Co qué ivel de cofiaza se ha hecho la estimació? La proporció muestral es: pr = 300 = pr = El error máximo admisible es la semiamplitud del itervalo de cofiaza; es decir: 0, , 3414 E = = 0,0336 Por tato: pr( 1 pr) E = z α/ 0,0336 = z α/ 5 8 ( 38 / ) ( 58 / ) 800 z α/ = 1,96 1 a a/ a/ 1,96 El ivel de cofiaza es del 95 %. P [z 1,96] = 0,9750 a = P [z > 1,96] = 1 0,9750 = 0,05 α = 0,05 = 0,05 1 α = 0,95 0