Mirando las gráficas, justifica estas afirmaciones: Cuantos más dados intervienen, más se parece la distribución de sus promedios a la curva normal.

Transcripción

1 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Resuelve Págia 85 Lazamieto de varios dados Comprueba e la tabla aterior ue: DESV. TÍPICA DESV. TÍPICA PARA UNDADO = PARA DADOS ( = = 3 o = 4) A cotiuació comparamos las cuatro gráficas: = = 3 = = Mirado las gráficas justifica estas afirmacioes: Cuatos más dados iterviee más se parece la distribució de sus promedios a la curva ormal. Todas las distribucioes tiee la misma media. Cuatos más dados iterviee meor desviació típica tiee la distribució. Observamos ue al aumetar el úmero de dados la forma de la curva se parece cada vez más a la de la ormal. So todas curvas simétricas. La media de todas ellas coicide: 35. A medida ue aumeta hay más resultados e la parte cetral (próxima a la media) y meos e los extremos; por tato meor es la desviació típica. 1

2 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 1 Distribució ormal. Repaso de técicas básicas Págia 87 1 Calcula las siguietes probabilidades e ua distribució N (0 1): a) P[z > 8] b) P[z 18] c) P[z > 18] d) P[16 z < 3] e) P[1 z ] f ) P[ 061 z 14] g) P[ 1 z ] h) P[ 3 < z < 17] i ) P[ z 1] a) P [z > 8] = 1 P [z 8] = = 0006 b) P [z 18] = P [z 18] = 1 P [z < 18] = = c) P [z > 18] = P [z < 18] = d) P [16 z < 3] = P [z < 3] P [z 16] = = e) P [1 z ] = P [z ] P [z 1] = = f ) P [ 061 z 14] = P [z 14] P [z 0061] = P [z 14] P [z 061] = = P [z 14] (1 P [z 061]) = 0919 (1 0791) = g) P [ 1 z ] = P [z ] P [z 1] = P [z ] P [z 1] = = P [z ] (1 P [z 1]) = 0977 ( ) = h) P [ 3 < z < 17] = P [17 < z < 3] = P [z < 3] P [z < 17] = = i ) P [ z 1] = P [1 z ] = P [z ] P [z 1] = = Calcula el valor de k (exacta o aproximadamete) e cada uo de los siguietes casos: a) P[z k] = 05 b) P[z k] = 0879 c) P[z k] = 09 d) P[z k] = 033 e) P[z k] = 0 f ) P[z > k] = 01 g) P[z k] = h) P[z k] = 06 a) P [z k] = 05 k = 0 b) P [z k] = 0879 k = 114 c) P [z k] = 09 k 18 d) P [z k] = 033 P [z k] = 033 P [z k] = = 067 k = 044 k = 044 k 0 k e) P [z k] = 0 P [z k] = 1 0 = 08 k 084 k 084 f ) P [z > k] = 01 P [z k] = 1 01 = 088 k 1175 g) P [z k] = P [z k] = k = 76 k = 76 h) P [z k] = 06 P [z k] = 06 k 05 k 05

3 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Págia 88 3 E ua distribució N (18 4) halla las siguietes probabilidades: a) P[x 0] b) P[x 165] c) P[x 11] d) P[19 x 3] e) P[11 x < 5] a) P [x 0] = Pz < 0 18F = P [z 05] = b) P [x 165] = Pz < F = P [z 038] = P [z 038] = c) P [x 11] = Pz < 11 18F = P [z 175] = P [z 175] = 1 P [z 175] = = d) P [19 x 3] = P< z 3 18 F = P [05 z 15] = 4 4 = P [z 15] P [z 05] = = 0957 e) P [11 x < 5] = P< z 5 18 F = P [ 175 z 175] = 4 4 = P [z 175] P [z 175] = P [z 175] P [z 175] = = P [z 175] 1 = = E ua distribució N (6; 09) calcula k para ue se de las siguietes igualdades: a) P[x k] = 0977 b) P[x k] = 08 c) P[x k] = 03 d) P[x k] = a) P [x k] = 0977 P [x k] = Pz = k 6G = b) P [x k] = 08 k 6 = k = P [x k] = Pz = k 6G = c) P [x k] = 03 k k P [x k] = Pz = k 6G = 03 ek 6 o 05 k d) P [x k] = P [x k] = Pz = k 6G = ek 6 o = 034 k =

4 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Itervalos característicos Págia 89 1 Calcula razoadamete los valores críticos correspodietes a las probabilidades 095 y 099. Para ua probabilidad de 095: a = = 005; = 0975 a/ 095 a/ P [z z α/ ] = 0975 z α/ = 196 z a/ z a/ Para ua probabilidad de 099: a/ 099 a/ a = = 0005; = 0995 P [z z α/ ] = 0995 z α/ = 575 z a/ z a/ Calcula los valores críticos correspodietes: a) α = 009 b) α = 01 c) α = 000 a) α = α = 091 a 009 = = 0045; = 0955 P [z z α/ ] = 0955 z α/ 170 b) α = 01 1 α = 079 a 01 = = 0105; = 0895 P [z z α/ ] = 089 z α/ 15 c) α = α = 0998 a = 0001; = 0999 P [z z α/ ] = 0999 z α/ = 308 Págia 90 3 E ua distribució N (173 6) halla los itervalos característicos para el 90 % el 95 % y el 99 %. Para el 90 %: ( ; ) = (16313; 1887) Para el 95 %: ( ; ) = (1614; 18476) Para el 99 %: ( ; ) = (15755; 18845) 4 E ua distribució N (18 4) halla los itervalos característicos para el 95 % y el 998 %. Para el 95 %: ( ; ) = (1016; 584) Para el 998 %: 1 α = 0998 α = 000 a = = 0999 z α/ = 308 ( ; ) = (568; 303) 4

5 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 3 Distribució de las medias muestrales Págia 93 1 Los parámetros de ua variable so: μ = 164; σ = 48. Nos dispoemos a extraer ua muestra de = 400 idividuos. a) Halla el itervalo característico para las medias muestrales correspodietes a ua probabilidad p = 099. b) Calcula P [16 < x < 17]. Como > 30 las medias muestrales se distribuye segú ua ormal de media μ = 164 y de desviació típica = = = 04; es decir: x es N (164; 04) a) Para p = 099 z α/ = 575 El itervalo característico es: ( ; ); es decir: (1578; 170) b) P [16 < x < 17] = P= < z < G = P [ 167 < z < 5] = = P [z < 5] P [z < 167] = P [z < 5] P [z > 167] = = P [z < 5] (1 P [z 167]) = (1 0955) = Los sueldos e euros de los empleados de ua fábrica se distribuye N ( ). Se elige al azar ua muestra de 5 de ellos. Cuál es la probabilidad de ue la suma de sus sueldos sea superior a ? Halla el itervalo característico para las sumas de 5 idividuos correspodietes a ua probabilidad del 09. La suma de los sueldos sigue ua distribució ormal de media: μ = = y de desviació típica σ = = = 000 ; es decir: Por tato: Σx es N ( ) P [Σx > ] = P< z> F = P [z > 5] = 1 P [z 5] = = Itervalo característico Para ua probabilidad del 09 es: ( ; ) = ( ) 5

6 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 5 Itervalo de cofiaza para la media Págia 97 1 De ua variable estadística coocemos la desviació típica σ = 8 pero descoocemos la media μ. Para estimarla extraemos ua muestra de tamaño = 60 cuya media obteemos: x = 37. Estima μ mediate u itervalo de cofiaza del 99 %. Para u ivel de cofiaza del 99 % teemos ue z α/ = 575. El itervalo de cofiaza para μ será: e ; o = (3434; 3966) Por tato teemos ua cofiaza del 99 % de ue μ esté compredida etre 3434 y

7 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 6 Relació etre ivel de cofiaza error admisible y tamaño de la muestra Págia 98 1 La desviació típica de las estaturas de los soldados es de 53 cm. Qué tamaño ha de teer la muestra para estimar la estatura media μ de la població co u error meor ue 05 cm y co u ivel de cofiaza del 95 %? Para u ivel de cofiaza del 95 % (α = 005) teemos ue z α/ = 196. El error máximo admisible es: E = z a/ Queremos ue E < 05 cm. Despejamos : < 05 8 > = > La muestra ha de ser de al meos 43 soldados. Págia 99 Sabemos ue la desviació típica de los pesos de los pollos adultos es 300 g. Queremos estimar el peso medio de los pollos adultos de ua graja co u error meor ue 100 g y para ello tomamos ua muestra de 50 idividuos. Co ué ivel de cofiaza podremos realizar la estimació? Despejamos z α/ e la fórmula del error: E = z a/ 100 = z α/ Hallamos el ivel de cofiaza: P [z < z α/ ] = P [z < 36] = zα/ = 50 a = P [z 36] = = α = 0091 = α = El ivel de cofiaza es del 9818 % zα/ =

8 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Ejercicios y problemas guiados Págia Itervalo característico El peso e kilos de los cachorros recié acidos de ua cierta raza de perros se distribuye N (06; 013). Hallar el itervalo característico correspodiete a ua probabilidad p = 08 e iterpretar su sigificado. Hemos de hallar el valor de a coociedo p = 1 α = 08: 1 α = 08 α = 0 a = 01 P [z z α/ ] = 09 z α/ = 18 El radio del itervalo es: σ z α/ = = El itervalo característico es: ( ; ) = (04536; 07864) El 80 % de los cachorros ace co u peso mayor ue 045 kg y meor ue 079 kg.. Distribució de las medias muestrales La media de edad de las persoas ue se preseta a ua prueba es de 181 años y su desviació típica 06 años. Se toma al azar 100 de ellas. Cuál es la probabilidad de ue su edad media esté compredida etre 179 y 18 años? Las medias de las muestras de tamaño 100 extraídas de la població se distribuye así: 06 N f18 1; p = N (181; 006) 100 Por tato: P [179 < x < 18] = P= < x < G = = P [ 333 < x < 167] = 0955 ( ) = 0951 La probabilidad pedida es Itervalo de cofiaza para la media Para coocer el ivel de iglés de todos los estudiates de u cetro docete se pasa ua prueba a ua muestra de ellos. Estos so los resultados: otas úmero de estudiates Estimar la media de la població co u ivel de cofiaza del 90 %. otas marca de clase. de estudiates

9 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II = 100 x = 558 s = 37 Las medias de las muestras de tamaño 100 > 30 extraídas de la població se distribuye así: 37 N e558; o= N( ; ) 100 Puesto ue descoocemos la desviació típica σ de la població la estimamos a partir de la desviació típica de la muestra. α = 01 a = 005 P [z z α/ ] = 095 z α/ = 1645 El itervalo de cofiaza para μ es: ( ; ) = (519; 597) 4. Tamaño de la muestra Se sabe ue la desviació típica de los pesos de las mazorcas de maíz ue se produce e ua platació es σ = 31 g. Deseamos estimar su media co u error máximo admisible de 6 g y co u ivel de cofiaza del 95 %. Cuátas mazorcas hemos de tomar aleatoriamete para efectuar la estimació? Hemos de hallar el valor de a coociedo p = 1 α = 095: 1 α = 095 α = 005 P [z z α/ ] = 0975 z α/ = 196 a = 005 Utilizamos ahora la expresió del error máximo admisible E : 6 = = c m = Hay ue tomar ua muestra de 103 mazorcas. 5. Nivel de cofiaza De ua muestra de 400 mazorcas hemos hallado su media x = 193 g y su desviació típica s = 33 g. Co estos resultados afirmamos ue la media de la població μ está e el itervalo ( ). Co ué ivel de cofiaza efectuamos la afirmació? El error es la mitad de la amplitud del itervalo: E = = 3 Por tato: 3 = z α/ = z α/ 165 z α/ = = 1818 a = P [z > z α/ ] = P [z > 18] = 1 P [z 18] = = α = = α = = 0931 El ivel de cofiaza es del 931 %. 9

10 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Ejercicios y problemas propuestos Págia 304 Para practicar Itervalos característicos 1 E las distribucioes ormales cuyos parámetros se da halla el itervalo característico ue e cada caso se idica: a) b) c) d) e) f) g) h) i) media μ desviació típica σ probabilidad 1 α El itervalo característico es de la forma: (μ z α/ σ; µ + z α/ σ) a) z α/ = 196; µ = 0; σ = 1 Itervalo ( 196; 196) b) z α/ = 575; µ = 0; σ = 1 Itervalo ( 575; 575) c) z α/ = 1645; µ = 0; σ = 1 Itervalo ( 1645; 1645) d) z α/ = 18; µ = 0; σ = 1 Itervalo ( 18; 18) e) z α/ = 196; µ = 11; σ = 15 Itervalo (86; 1414) f) z α/ = 575; µ = 3 51; σ = 550 Itervalo ( 09575; 4 985) g) z α/ = 196; µ = 3 51; σ = 550 Itervalo ( 434; 4 590) h) z α/ = 1645; µ = 3 51; σ = 550 Itervalo ( 6075; ) i) z α/ = 18; µ = 3 51; σ = 550 Itervalo ( 808; 4 16) E ua distribució ormal co media μ = 5 y desviació típica σ = 53; obté u itervalo cetrado e la media (μ k μ + k) de forma ue el 95 % de los idividuos esté e ese itervalo. El itervalo será de la forma: (µ z α/ σ; µ + z α/ σ) Como 1 α = 095 etoces z α/ = 196. Así el itervalo será: ( ; ) = (1461; 35388) 3 E ua distribució N (10 4) obté u itervalo cetrado e la media (μ k μ + k) tal ue: El itervalo será de la forma: (µ z α/ σ; µ + z α/ σ) P[μ k < x < μ + k] = 090 Como 1 α = 090 etoces z α/ = Así el itervalo será: ( ; ) = (34; 1658) 10

11 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 4 E ua distribució ormal de media μ = 95 y variaza σ = 144 halla el itervalo característico para el 99 %. Para el 99 % 1 α = 099 z α/ = 575 El itervalo será de la forma: (µ 575 σ; µ σ) E este caso como µ = 95 y σ = 144 = 1 ueda: ( ; ) = (641; 159) Teorema cetral del límite 5 De ua variable aleatoria x de distribució descoocida media µ = 3 y desviació típica σ = 35 se extrae muestras de tamaño. Qué se puede decir de la distribució de las medias muestrales x : a) e el caso de ue = 49? b) e el caso de ue = 5? a) Por el teorema cetral del límite como = 49 > 30 sabemos ue x se distribuye segú ua ormal de media µ = 3 y de desviació típica = = = Es decir x es N (3; 05). b) Como = 5 < 30 solo podemos decir ue x se distribuye co media µ = 3 y desviació típica = = = Si la població de partida x fuera ormal etoces x tambié sería ormal. 6 Ua variable aleatoria x se distribuye ormal N(10 30). Qué se puede afirmar de la distribució de las medias x de las muestras de tamaño : a) si = 36? b) si = 16? Como la població de partida es ormal N (10 30) por el teorema cetral del límite sabemos ue x es N cµ m para cualuier valor de. Por tato: a) Si = 36 x es ormal co µ = 10; b) Si = 16 x es ormal co µ = 10; Distribució de las medias muestrales = 30 = 30 = 5; es decir x es N (10 5) = 30 = 30 = 75; es decir x es N (10; 75) Di cómo se distribuye las medias muestrales e cada uo de los siguietes casos: a) b) c) d) e) f) g) distribució Norm. Desc. Norm. Desc. Norm. Desc. Desc. media μ desv. típica σ tamaño muestra població Recordemos ue si la població se distribuye segú ua ormal N (µ σ) o bie seleccioamos ua muestra de tamaño 30 e ua població cualuiera (o ecesariamete ormal) co media µ y desviació típica σ etoces las medias muestrales sigue ua distribució N cµ m. Aplicamos este resultado e cada uo de los casos propuestos: 11

12 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II a) N e0 4 o; es decir N (0 1). 16 b) N e0 4 o; es decir N (0; 04) c) N e375; o; es decir N (375; 06). 4 1 d) N e375; o; es decir N (375; 017). 50 e) N e11 15 o; es decir N (11; 15). 100 f) N e11 15 o; es decir N (11; 15). 100 g) N e o; es decir N (351; 8696) Ua variable aleatoria se distribuye N (µ σ). Si se extrae muestras de tamaño : a) Qué distribució tiee la variable aleatoria media muestral x? b) Si se toma muestras de tamaño = 4 de ua variable aleatoria x co distribució N (165 1) calcula P[x > 1737]. a) x sigue ua distribució ormal de media µ y desviació típica 1 es decir x es N c µ m. b) Las medias muestrales e muestras de tamaño = 4 se distribuye segú ua ormal de media µ = 165 y desviació típica = 1 = 1 = 6; es decir x es N (165 6). Así: 4 P [ x > 1737] = Pz < > F = P [z > 145] = 1 P [z 145] = = E ua distribució N (0 6) tomamos muestras de tamaño 64. a) Cuál es la distribució de las medias de las muestras? b) Cuál es la probabilidad de extraer ua muestra cuya media esté compredida etre 19 y 1? a) Las medias muestrales x se distribuye segú ua ormal de media µ = 0 y desviació típica = 6 = 6 = 075; es decir x es N (0; 075) b) P [19 < x < 1] = P< 19 0 < z < 1 0F = P [ 133 < z < 133] = = P [z < 133] P [z < 133] = P [z < 133] (1 P [z < 133]) = = P [z < 133] 1 = = Se sabe ue el cociete itelectual de los alumos de ua uiversidad se distribuye segú ua ley ormal de media 100 y variaza 79. a) Halla la probabilidad de ue ua muestra de 81 alumos tega u cociete itelectual me dio iferior a 109. b) Halla la probabilidad de ue ua muestra de 36 alumos tega u cociete itelectual me dio superior a 109. El cociete itelectual sigue ua distribució ormal de media µ = 100 y desviació típica σ = 79 = 7; es decir x es N (100 7).

13 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II a) Las medias e muestras de 81 alumos se distribuirá segú ua ormal de media µ = 100 y desviació típica = 7 = 7 = 3; es decir x es N (100 3) Así: P [x < 109] = P< z< F = P [z < 3] = b) Las medias e muestras de 36 alumos se distribuye segú ua ormal de media µ = 100 y desviació típica = 7 = 7 = 45; es decir x es N (100; 45) Así: Px [ > 109] = Pz < < F = Pz [ > ] = 1 Pz [ ] = = El tiempo de espera e miutos de los pacietes e u servicio de urgecias es N (14 4). a) Cómo se distribuye el tiempo medio de espera de 16 pacietes? b) E ua media jorada se ha atedido a 16 pacietes. Cuál es la probabilidad de ue el tiempo medio de su espera esté compredido etre 10 y 15 miutos? a) El tiempo de espera x de 16 pacietes se distribuye segú ua ormal de media µ = 14 y desviació típica = 4 = 4 = 1; es decir x es N(14 1) b) P [10 < x < 15] = P< < z < F = P [ 4 < z < 1] = 1 1 = P [z < 1] P [z < 4] = = Págia E ua ciudad la altura de sus habitates tiee ua desviació típica de 8 cm. Si la altura media de dichos habitates fuera de 175 cm cuál sería la probabilidad de ue la altura media de ua muestra de 100 idividuos tomada al azar fuera superior a 176 cm? La altura e la població x sigue ua distribució ormal N (175 8). Si cosideramos muestras de tamaño = 100 las medias muestrales se distribuye segú ua ormal de media µ = 175 y desviació típica = 8 = 8 = 08; es decir x es N (175; 08). Así: P [x > 176] = Pz = > G = P [z > 15] = 1 P [z 15] = = Itervalo de cofiaza para la media 13 La desviació típica de ua variable estadística es σ = 5. Extraemos ua muestra aleatoria de tamaño = 100 y obteemos x = 8. Obté u itervalo de cofiaza del 95 % para estimar la media de la població µ. Para el 95 % 1 α = 095 z α/ = 196 El itervalo de cofiaza para µ al 95 % es: e ; o = (18; 378)

14 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 14 E ua muestra de 50 jóvees ecotramos ue la dedicació media diaria de ocio es de 400 miutos y su desviació típica de 63 miutos. Calcula el itervalo de cofiaza de la media de la població al 95 % de ivel de cofiaza. Para el 95 % 1 α = 095 z α/ = 196 El itervalo de cofiaza para µ al 95 % es: e ; o = (3854; 41746) Para resolver 15 Las otas e u cierto exame se distribuye ormal co media µ = 53 y desviació típica σ = 4. Halla la probabilidad de ue u estudiate tomado al azar tega ua ota: a) Superior a 7. b) Iferior a 5. c) Compredida etre 5 y 7. Tomamos al azar 16 estudiates. Halla la probabilidad de ue la media de sus otas: d) Sea superior a 7. e) Sea iferior a 5. f) Esté compredida etre 5 y 7. g) Halla k para ue el itervalo (53 k ; 53 + k) cotega al 95 % de las otas. h) Halla b para ue el itervalo (53 b ; 53 + b) cotega al 95 % de las otas medias de las muestras de 16 idividuos. x es N (53; 4) z es N (0 1) a) P [x > 7] = Pz = > G = P [z > 071] = 1 P [z 071] = = b) P [x < 5] = Pz = < G = P [z < 013] = P [z > 013] = 1 P [z 013] = = c) P [5 < x < 7] = P= < x < G = P [ 013 < z < 071] = 4 4 = P [z < 071] P [z < 0013] = = Las medias de las otas de 16 estudiates se distribuye N f53 ; p; es decir x es N (53; 06). 16 d) P [x > 7] = Pz = > G = P [z > 83] = 1 P [z 83] = = e) P [x < 5] = Pz = < G = P [z < 05] = P [z > 05] = 1 P [z 05] = = f) P [5 < x < 7] = P= < z < G = P [ 05 < z < 83] = = P [z < 83] P [z < 05] = = 0689 g) Es u itervalo característico para la media de la població por tato: k = z α/ σ. Como 1 α = 095 z α/ = 196. Así: k = = h) Es u itervalo característico para las medias muestrales e muestras de tamaño 16 por tato: b = z α/ 06. Como 1 α = 095 z α/ = 196. Así: b = =

15 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 16 La estatura de los jóvees de ua ciudad sigue ua distribució N (µ σ). Si el 90 % de las medias de las muestras de 81 jóvees está e (1734; 1758) halla µ y σ. Para el 90 % 1 α = 090 z α/ = 1645 El itervalo característico para las medias de las muestras de 81 jóvees (para el 90 %) es: cµ ; µ m El cetro del itervalo es µ: µ = = 1746 La semiamplitud del itervalo es: = = 1 8 = 81 = El peso de los pauetes recibidos e u almacé se distribuye ormal co μ = 300 kg y σ = 50 kg. Cuál es la probabilidad de ue 5 de los pauetes elegidos al azar exceda el límite de carga del motacargas dode se va a meter ue es de 8 00 kg? Sabemos ue la suma de los pesos de de esas bolsas tomadas al azar sigue ua distribució ormal de media μ y desviació típica σ es decir: x i i =1 E este caso: / es N ( μ σ ) 5 x i i = 1 / es N (5 300; 50 5) = N ( ) Teemos ue calcular: 5 P> / x > 8 00 P z i H = < > F = P[ z > 8 ] = 50 i = 1 = 1 Pz [ 8] = = El peso de los perros adultos de ua cierta raza es ua variable aleatoria ue se distribuye ormalmete co ua media de 74 kg y ua desviació típica de 06 kg. Si cosideramos muestras de 30 de estos aimales: a) Cuál es la distribució de la media muestral x? b) Calcula P[65 < x < 75]. c) Cuál es la distribució de la suma de los pesos de los 30 aimales de las muestras? 30 d) Calcula P> / x > 5H. i = 1 i Si llamamos x = peso de los perros teemos ue x es N (74; 06). a) x sigue ua distribució ormal de media µ = 74 kg y de desviació típica decir x es N (74; 011). 06 = 011; es 30 b) P [65 < x < 75] = P= < z < G = P [ 818 < z < 091] = P [z < 091] =

16 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 30 c) / x i sigue ua distribució ormal de media µ = = kg y desviació típica i = 1 σ = ; es decir x i i = 1 / es N (; 39). d) P > / xi > 5H = Pz = > 5 G = P [x > 091] = 1 P [z 091] = = i = 1 19 El peso medio de las sadías de cierta variedad sigue ua distribució ormal co µ = 6 kg y σ = 1 kg. Si empauetamos las sadías e cajas de 8 uidades: a) Halla la probabilidad de ue la media de los pesos de las sadías de ua caja sea meor ue 55 kg. b) Calcula la probabilidad de ue etre las 8 sadías de ua de las cajas pese más de 50 kg. a) Si llamamos x = peso de las sadías teemos ue x es N (6 1). Si cosideramos muestras de tamaño = 8 teemos ue x sigue ua distribució ormal de media µ = 6 kg y desviació típica = 1 035; es decir x es N (6; 035). 8 Por tato: P [ x < 55] = Pz = 55 6 < G = P [z < 143] = P [z > 143] = 035 = 1 P [z 143] = = b) Si / x i sigue ua distribució ormal de media µ = 8 6 = 48 kg y desviació típica i = 1 σ = 1 Por tato: ; es decir / x i es N (48; 83). i = 1 P> / x 50 P z i > H = = > G = P[ z > 071 ] = 1 P[ z 071 ] = = i = 1 0 Para estimar la estatura media de los jóvees etre 15 y 5 años de ua localidad se ha medido a 40 de estos jóvees obteiédose los siguietes resultados: estatura (cm) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ).º de jóvees Estima co u ivel de cofiaza del 99 % el valor de la estatura media de los jóvees etre 15 y 5 años de dicha localidad. Hallamos x y s para la muestra obteida: estatura (cm) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) marca de clase (x i ) frecuecia (f i ) x = 164 y s = 64 Para u ivel de cofiaza del 99 % se tiee: 1 α = 099 z α/ = 575 Así el itervalo de cofiaza para estimar µ al 99 % es: f ; p = (16146; 16654) Hemos usado la desviació típica muestral s = 64 e vez de la σ poblacioal descoocida. 16

17 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 1 Se ha tomado ua muestra aleatoria de 100 idividuos a los ue se ha medido el ivel de glucosa e sagre obteiédose ua media muestral de 110 mg/cm 3. Se sabe ue la desviació típica de la població es de 0 mg/cm 3. a) Obté u itervalo de cofiaza al 90 % para el ivel de glucosa e sagre e la població. b) Qué error máximo se comete e a)? a) Para el 90 % 1 α = 090 z α/ = 1645 El itervalo de cofiaza para µ al 90 % es: e ; o = (10671; 1139) b) El error máximo es la mitad de la logitud del itervalo de cofiaza es decir: E = = 1645 = La duració de las bombillas fabricadas por ua empresa sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 50 horas. Para estimar la duració se experimeta co ua muestra de tamaño. Calcula el valor de para ue co u ivel de cofiaza del 95 % se cosiga u error e la estimació iferior a 5 horas. Para el 95 % 1 α = 095 z α/ = 196 El error máximo admisible es: E = z α/. Buscamos para ue E < 5 horas. Como z α/ = 196 y σ = 50 ueda: < < 5 8 > 98 = 196 > Debemos tomar ua muestra de al meos 385 bombillas. Págia La media de las estaturas de ua muestra aleatoria de 400 persoas de ua ciudad es 175 m. Se sabe ue la estatura de las persoas de esa ciudad es ua variable aleatoria ue sigue ua distribució ormal co variaza σ = 016 m. a) Costruye u itervalo de u 95 % de cofiaza para la media de las estaturas de la població. b) Cuál sería el míimo tamaño muestral ecesario para ue pueda decirse ue la verdadera media de las estaturas está a meos de cm de la media muestral co ua cofiaza del 90 %? a) = 400; x = 175 m; σ = 016 = 016 = 0 4 Para el 95 % 1 α = 095 z α/ = 196 El itervalo de cofiaza es: f ; p = (17108; 1789) b) Para el 90 % de cofiaza 1 α = 090 z α/ = 1645 El error máximo admisible es: E = z α/. Buscamos para ue E < 00 m: < 00 8 < 00 8 > > 8 > > Debemos tomar ua muestra de al meos 1083 persoas. 17

18 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 4 Las medidas de los diámetros de ua muestra al azar de 00 cojietes de bolas diero ua media de cm y ua desviació típica de 01 cm. Halla los itervalos de cofiaza del 686 % 9544 % y 9973 % para el diámetro medio de todos los cojietes. a) Para el 686 % 1 α = 0686 z α/ = 1 El itervalo de cofiaza para µ es: e 1 ; + 1 o = (1993; 007) b) Para el % 1 α = z α/ = El itervalo de cofiaza para µ es: e ; + o = (1986; 014) c) Para el 9973 % 1 α = z α/ = 3 El itervalo de cofiaza para µ es: e 3 ; + 3 o = (1979; 01) El peso e kg de los jóvees etre 16 y 0 años de ua cierta ciudad es ua variable aleatoria x ue sigue ua distribució ormal co σ = 5. a) Si cosideramos muestras formadas por 5 jóvees cuál es la distribució ue tiee la variable aleatoria media muestral? b) Si se desea ue la media de la muestra o difiera e más de 1 kg de la media de la població co probabilidad 095 cuátos jóvees se debería tomar e la muestra? a) Por el teorema cetral del límite sabemos ue x sigue ua distribució ormal de media µ y desviació típica = 5 = 5 = 1; es decir x es N (µ 1). 5 5 b) El error máximo admisible es: E = z α/ Sabemos ue: 1 α = 095 z α/ = 196 E = 1 kg σ = 5 kg Por tato: 1 = = 98 = 9604 Se deberá tomar ua muestra de al meos 97 jóvees. 6 Si el cosumo e litros de leche por persoa al mes sigue ua distribució ormal co σ = 6 litros: a) Qué tamaño muestral se ecesita para estimar el cosumo medio co u error meor ue u litro y u ivel de cofiaza del 96 %? b) Si la media del cosumo mesual de leche por persoa fuese igual a 1 litros halla la probabilidad de ue la media de ua muestra de 16 persoas sea mayor ue litros. a) El error máximo admisible es: E = z α/ 18

19 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II A ua cofiaza del 96 % le correspode u z α/ = 05: z a/ = 05 E = z α/ 1 = = = El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual ue 15. b) La media muestral sigue ua distribució N cµ Ne1 6 o= N( ; ) m; e este caso x es: Px ( > ) = Pcz > 1 m = Pz ( > 067 ) = 1 Pz ( < 067 ) = = E ua muestra de 64 turismos de gasolia se observó ue el cosumo medio fue de 936 l cada 100 km co ua desviació típica de 14 l. a) Obté u itervalo de cofiaza del cosumo medio e los turismos de gasolia al 96 %. b) De ué tamaño debería ser la muestra si co la misma cofiaza ueremos ue el error máximo cometido e la estimació sea 05 l? a) Los itervalos de cofiaza para la media tiee la forma: cx z a/ ; x + za/ m A u ivel de cofiaza del 96 % le correspode u z α/ = 05: z a/ = 05 El itervalo pedido es: f ; p = (9; 97) b) El error máximo es: E = z α/ = 05 = 05 = 1148 = La muestra debería ser de tamaño Ua máuia de refrescos está ajustada de tal maera ue el líuido ue despacha se distribuye de forma ormal co σ = 015 dl. a) Halla u itervalo de cofiaza al 97 % para la media de los refrescos ue sirve esta máuia si ua muestra aleatoria de 36 refrescos tiee u coteido promedio de 5 dl. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. a) Los itervalos de cofiaza para la media tiee la forma: cx z ; x + z a/ a/ m 19

20 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II A u ivel de cofiaza del 97 % le correspode u z α/ = 17 ya ue: z a/ = 17 El itervalo pedido es: e5 17 ; o = (; 3) b) El resultado obteido e el apartado aterior sigifica ue la probabilidad de ue la media (descoocida) de la població esté e el itervalo (; 3) es del 97 % es decir la media de la catidad de líuido despachado por la máuia del 97 % de las posibles muestras de 36 refrescos está etre (; 3) decilitros. 9 El úmero de horas semaales ue los jóvees co edades etre 14 y 18 años dedica a ver la televisió es ua variable N(µ ). Ecuestados 56 de estos jóvees la media de horas semaales dedicadas a ver la televisió resultó igual a 6. a) Da u itervalo de cofiaza al 99 % para µ. b) Si α = 005 a cuátos jóvees es ecesario hacer la ecuesta para ue el error máximo de la estimació de µ sea de 05 horas? a) Los itervalos de cofiaza para la media tiee la forma: cx z a/ x + z a/ m A ua cofiaza del 99 % le correspode u z α/ = 575: z a/ 0995 Sustituyedo: e o = (568; 63) b) El error máximo admisible es E = z α/ Si α = 005 z α/ = 196: z a/ 0975 E = 05 z α/ = 196 σ = Por tato: 05 = 196 = 784 = 6147 El tamaño de la muestra ha de ser mayor o igual ue 6. 0

21 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 30 El úmero de pulsacioes por miuto e reposo de los habitates de ua regió sigue ua variable N (µ 10). Se toma ua muestra de 11 habitates y se obtiee u úmero medio de pulsacioes por miuto igual a 70. a) Halla u itervalo de cofiaza para µ co α = 00. b) Co la aterior muestra cuáto valdría α para estimar la media µ co u error iferior a pulsacioes por miuto? a) Los itervalos de cofiaza para la media tiee la forma: cx z a/ x + z a/ m A u α = 00 le correspode u z α/ = 075: z a/ = 075 El itervalo pedido es: e ; o = (681; 719) co u ivel de cofiaza del (1 α) 100 = 98 %. b) El error máximo admisible es E = z α/ = z α/ 10 z α/ = z a/ = a = = α = Esto sigifica ue si se estima el úmero de pulsacioes mediate el itervalo (68 7) el ivel de cofiaza es del (1 α) 100 = 97 %. 31 E ua població ua variable aleatoria sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació típica. a) Observada ua muestra de tamaño 400 tomada al azar se ha obteido ua media muestral igual a 50. Calcula u itervalo co el 97 % de cofiaza para la media de la població. b) Co el mismo ivel de cofiaza ué tamaño míimo debe teer la muestra para ue la amplitud del itervalo ue se obtega sea como máximo 1? a) Los itervalos de cofiaza para la media poblacioal tiee la forma: cx z a/ x + z a/ m A ua cofiaza del 97 % le correspode u z α/ = 17: z a/ = 17 1

22 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II El itervalo pedido es: e50 17 ; o = (49783; 5017) b) Si la amplitud del itervalo ha de ser como máximo 1 el error máximo admisible será 05. Así: E = z α/ 05 = = = = El tamaño de la muestra ha de ser como míimo E u periódico se lee la siguiete iformació: Se ha tomado ua muestra aleatoria de 36 uidades de cosumo mesual de teléfoo móvil y el itervalo de cofiaza al 95 % para el cosumo medio ha sido [18 ]. a) Cuál fue el cosumo medio muestral e teléfoo móvil? b) Cuál fue la desviació típica? c) Cuál sería el itervalo de cofiaza al 90 % para el cosumo medio? a) La media muestral x es el puto medio del itervalo de cofiaza. Por tato x = (se supoe ue so euros: x = 0 ). b) Si el itervalo de cofiaza es [18 ] etoces E =. La expresió de E es: E = z α/ ; E = = 36 Calculamos z α/ : 18 + = z a/ = Sustituimos e la expresió aterior para calcular σ: 196 = σ = c) A ua cofiaza del 90 % le correspode u z α/ = 1645: z a/ = 1645 Págia 307 El itervalo de cofiaza para la media al 90 % es: c ; m = (183; 168) 6 6 Cuestioes teóricas 33 Verdadero o falso? Los parámetros de ua variable aleatoria x so μ = 65 σ = 10. a) Auue x o sea ormal las medias de las muestras de tamaño 16 sí se distribuye segú ua ormal es decir x es N (65; 5). b) Auue x o sea ormal las medias x de las muestras de tamaño 100 se distribuye ormal N (65 1).

23 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II c) Si x se distribuye N (65 10) etoces las medias x de las muestras de tamaño 16 se distribuye tambié N (65 10). d) Si x se distribuye N (65 10) las medias x de las muestras de tamaño 16 se distribuye N (65; 5). e) Si co la misma muestra uiero afiar la estimació de la media reduciedo el itervalo etoces pierdo cofiaza e la estimació. f ) Si deseo afiar la estimació de ua media poblacioal si perder cofiaza e ella deberé aumetar el tamaño de la muestra. g) U ivestigador a partir de ua muestra ha estimado mediate u itervalo la media de ua població co u ivel de cofiaza del 9 %. Co esos datos podremos averiguar el valor de la media y de la desviació típica de la muestra. a) Falso. Para ue podamos hacer esa afirmació el tamaño de la muestra tiee ue ser al meos de 30 idividuos. b) Verdadero. Podemos hacer esa afirmació porue el tamaño de la muestra es mayor de 30 idividuos. c) Falso. La desviació típica de las medias x de las muestras de tamaño 16 sería 10 = 5 = d) Verdadero. Podemos hacer esa firmació porue auue el tamaño de la muestra es meor de 30 idividuos la distribució de partida es ormal y 10 = e) Verdadero puesto ue la amplitud es directamete proporcioal a z α/. Para ue la amplitud del itervalo sea meor si modificar el tamaño de la muestra hay ue dismiuir z α/ y por tato aumeta a y dismiuye el ivel de cofiaza. f ) Verdadero puesto ue la amplitud es iversamete proporcioal a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Para ue la amplitud del itervalo sea meor si modificar z α/ el tamaño de la muestra tiee ue aumetar. g) La desviació típica se obtiee a partir del radio del itervalo de cofiaza obteido ue es el error E E: σ =. za/ La media o se puede calcular pero sí podemos hallar su valor co u error meor ue la mitad de la amplitud del itervalo de cofiaza obteido. 34 Co ua muestra de 500 idividuos hemos estimado co u ivel de cofiaza del 90 % ue la estatura media de los soldados de u cierto cuartel está etre 1743 cm y 1751 cm. a) Si la desviació típica de la població era descoocida averigua la media x y la desviació típica s de la muestra. b) Cuál sería el itervalo si la muestra fuera de tamaño la cuarta parte c 500 = 15my matuviéramos el ivel de 4 cofiaza? a) La media muestral es el puto medio del itervalo de cofiaza: x = = 1747 cm La semiamplitud del itervalo es: = 04 ue coicide co: z α/ s 04 = 04 s = z a/ Para u 90 % de cofiaza teemos ue z α/ = Por tato la desviació típica de la muestra es: s = =

24 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II b) Si z α/ = 1645 y mateemos las codicioes del problema salvo el tamaño muestral ue es /4 el itervalo tedría el doble de amplitud ue el aterior pues: E = z α/ Es decir el itervalo sería: s 500/ 4 = z α/ s = 04 = ( ; ) = (1739; 1755) 35 Supogamos ue a partir de ua muestra aleatoria de tamaño = 5 se ha calculado el itervalo de cofiaza para la media de ua població ormal obteiédose ua amplitud igual a ± 4. Si el tamaño de la muestra hubiera sido = 100 de forma ue hubiera permaecido ivariables todos los demás valores ue iterviee e el cálculo cuál habría sido la amplitud del itervalo? La semiamplitud del itervalo es igual al error máximo admisible: E = z α/ Para = 5 sabemos ue E = 4. Si = 100 tedríamos ue: E = z α/ = zα/ 100 La amplitud del itervalo sería ±. = 1 cz 1 a/ m= 4 = Mediate ua muestra de 100 idividuos estimamos la estatura media de u colectivo de persoas co u ivel de cofiaza del 95 %. El error máximo admisible obteido es E = 174. Cuál es la desviació típica de la muestra obteida? Para u ivel de cofiaza del 95 % teemos ue z α/ = 196. El error máximo admisible es: E = z α/ s. Como E = 174; = 100 y z α/ = 196 teemos ue: 174 = 196 s 100 s = 1 74 = 65 s =

25 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II Autoevaluació Págia Halla el itervalo característico al 85 % para: a) Ua N(0 1). b) Ua N( ). a) P[ k< z < k] = Pz [ < k] = 0 95 k 0 k f() k = k= El itervalo característico del 85 % para la N (0 1) es ( 144; 144). b) E ua N ( ): = = 8136 El itervalo característico es ( 664; 8136). El peso de los huevos de gallia producidos por cierta graja sigue ua ormal de media 65 g y desviació típica 6 g. Los huevos se clasifica e P (peueños) M (mediaos) y G (grades). Si P supoe el 10 % del total y G otro 10 % ué pesos marca los límites de cada categoría? X es N (65 6). E ua distribució N (0 1): P [ k < z < k] = 08 P [z < k] = ϕ(k) = 09 k = 18 k 09 k Como z sigue ua distribució N (0 1): Z x x 57 3 x µ ] = 1 = 6 z = 8 [ x 65 ] 18 = 8 x = 7 68 \ 6 Los pesos ue marca los límites de cada categoría so 573 g y 768 g. 5

26 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II 3 Los precios de u producto se distribuye ormal de variaza 5 y media descoocida. Estos so los precios e 16 comercios elegidos al azar: a) Cuál es la distribució de las medias de las muestras de tamaño 16? b) Determia el itervalo de cofiaza al 95 % para la media poblacioal. a) Los precios se distribuye segú N(µ σ). Como la variaza es 5 σ = 5 = 5 la distribució de las medias de las muestras de tamaño 16 es: N µ N µ 5 c m 8 e o 8 N( µ ; 15 ) 16 b) Ua cofiaza del 95 % implica ue el valor crítico es z c = 196. Mirado e las tablas P [z z c ] = % 95% 5% z c z c = P[z Ì z c ] = Tomamos como cetro del itervalo el valor de x obteido a partir de los 16 valores de la muestra. El itervalo pedido es: 104 ± (10155; 10645) La media poblacioal µ perteece al itervalo (10155; 10645) co u ivel de cofiaza del 95 %. 4 U agricultor uiere estimar el peso medio de las arajas ue produce co u error meor ue 10 g utilizado ua muestra de 81 arajas. Sabiedo ue la desviació típica poblacioal es de 36 g cuál será el máximo ivel de cofiaza co ue realizará la estimació? El error máximo admisible es E = z α/. Coocemos: E = 10 = 81 σ = 36 Calculamos z α/ :. 9876% 5 z α/ = E = 10 9 = 5 36 ϕ(5) = 09938; = 0006 P [ 5 z 5] = = El ivel de cofiaza es del 9876 %. 5 Se uiere estimar el sueldo medio de los trabajadores del trasporte público. Se toma para ello ua muestra de 65 de estos trabajadores y se obtiee u sueldo medio muestral de Si la desviació típica es igual a 50 : a) Co u ivel de cofiaza del 90 % determia el itervalo de cofiaza para el sueldo medio de u trabajador del trasporte público. b) Si se uiere ue el error máximo de la estimació sea de 10 halla el tamaño de la muestra ue se debe tomar cosiderado u ivel de cofiaza del 99 %. a) Los itervalos de cofiaza para la media tiee la forma: cx z a/ x + z a/ m 6

27 Uidad 1. Iferecia estadística. Estimació de la media Matemáticas aplicadas a las Ciecias Sociales II A u ivel de cofiaza del 90 % le correspode u z α/ = 1645 ya ue: z a/ = 1645 El itervalo pedido es: e ; o = (146355; ) b) El error máximo admisible es E = z α/. A u ivel de cofiaza del 99 % le correspode u z α/ = 575 pues: z a/ = 575 Así: = 8 = 10 8 = = Se debe tomar ua muestra de tamaño