Tema 11. Soluciones a los ejercicios adicionales

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Ricardo Sosa Bustos
hace 5 años
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1 Tema. Solucioes a los ejercicios adicioales. El peso e Tm) de la captura diaria realizada por u barco pesquero, se aproxima a ua distribució ormal. Etre qué valores oscilará el peso medio co ua cofiaza del 98 %, si durate 0 días se recogiero los siguietes pesos? 0, 5, 30, 60, 5,, 7, 33, 36, 5 Defiimos la variable aleatoria X peso e Tm de la captura diaria Nµ, σ), dode µ y σ so parámetros descoocidos. Para calcular el itervalo de cofiaza utilizaremos como variable pivote: De maera que: T = X µ S/ t P t, X µ S/ t, ) = De dode, pivotado, obteemos el itervalo de cofiaza para µ: µ X S t, Los datos que ecesitamos para poder calcular dicho itervalo so: La media muestral: x = x i = 73 = La cuasivariaza muestral: S = x i x) x = i x = 3.34 S = El valor del percetil / de t : t 9,0.0 =.8 De modo que el itervalo pedido es 4.7, 40.33).. U uevo material está siedo cotrastado para su próximo uso e los eumáticos de automóviles. Estos eumáticos se espera que dure uos km. 5 juegos de 4 de estos eumáticos se somete a ua prueba de resistecia bajo aceleració. La v.a. X, úmero de eumáticos e cada grupo de cuatro que falla prematuramete, se supoe que se distribuye segú ua biomial. Estimar al 95 % u rago de valores para la proporció de eumáticos defectuosos, utilizado los siguietes valores muestrales de X: )

2 , 0,, 0,,, 0,, 0,, 0, 0, 0,, 0. Defiimos la variable aleatoria X úmero de eumáticos e cada grupo de 4 que falla prematuramete B4, p). Lo que os pide el euciado es u itervalo de cofiaza al 95 % para la proporció p, que viee dado por: p ) ˆp ˆp) ˆp + z / Los datos ecesarios para calcular dicho itervalo so: El úmero de idividuos de la muestra total de ruedas): = 5 4 = 60 El estimador putual de la proporció: ˆp = x = x i = 8 60 = 0.3 El percetil z / : z 0.05 =.96 Co lo que el itervalo de cofiaza al 95 % para p es: ) = , 0.93) E ua empresa de automoció se está probado dos métodos de motaje. Se escoge 0 trabajadores para hacer el motaje segú el método I y 5 para trabajar segú el método II. Los resultados del experimeto para los tiempos de motaje e miutos de los dos grupos so: Grupo I: x = 080, x = Grupo II: y = 450, y = 865 Ecotrar el itervalo de cofiaza al ivel del 95 % para la diferecia de tiempos medios. Supoer ormalidad e igualdad de variazas. Defiimos sedas variables aleatorias: X tiempo de motaje co el método I Nµ, σ) Y tiempo de motaje co el método II Nµ, σ) El problema os pide u itervalo de cofiaza al 95 % para la diferecia de medias de las variables aleatorias X e Y, por lo que utilizaremos como variable pivote: X Ȳ µ µ ) S p + t +

3 Co la que obteemos que el itervalo de cofiaza para la diferecia de medias es: µ µ X Ȳ t +,/Sp + ) Los datos que ecesitamos para calcular dicho itervalo so: Grupo I: = 0, X = xi = = 54, S = Grupo II: = 5, Ȳ = y i = = 58, S = S p = )S + )S + + = S p = 8.36 t 43, lo calculamos iterpolado) x i X = = 5.58 y i Ȳ = = Sustituyedo, el itervalo de cofiaza para µ µ al 95 % es: 9.066,.066) 4. Dos uiversidades púlicas tiee métodos distitos para matricular a sus alumos. Para comparar el tiempo medio que tarda los estudiates e completar el trámite de matriculació, se aotaro los tiempos de iscripció para 00 alumos seleccioados al azar e cada uiversidad, obteiedo los siguietes resultados: X = 35, S = 5 Ȳ =, S = 0 Supoiedo ormalidad e igualdad de variazas, obteer los itervalos de cofiaza co u ivel del 90, 95 y 99 % para la diferecia etre los tiempos medios reales de matriculació. Existe ua diferecia real etre los tiempos medios de cada uiversidad? Defiimos sedas variables aleatorias: X tiempo que tarda los estudiates de la primera uiversidad e completar el trámite de matriculació Nµ, σ) Y tiempo que tarda los estudiates de la seguda uiversidad e completar el trámite de matriculació Nµ, σ) El euciado os pide u itevalo de cofiaza para µ µ, por lo que usaremos como variable pivote: T = X Ȳ µ µ ) t + S p + Dode S p = )S + )S + = = 6.5 S p =.7475 De modo que los itervalos de cofiaza pedidos so: 3

4 90 % : = 0., t 98,0.05 = ) = 0.04, 5.96) 95 % : = 0.05, t 98,0.05 = ) = 9.47, 6.53) 99 % : = 0.0, t 98,0.005 = ) = 8.36, 7.64) De los itervalos calculados, vemos que µ µ 0 ya que iguo de los itervalos calculados cotiee el 0, co lo que hay diferecia etre los tiempos medios; además, µ µ > 0, es decir, µ > µ. 5. El precio de veta de u producto e 7 establecimietos del cetro es: 40, 990, 570, 435, 860, 750, 600. Mietras que e otros 5 establecimietos del extrarradio es: 350, 30, 400, 350, 50. Supoiedo que el precio del producto e ambas zoas está ormalmete distribuido, obteer u itervalo al 98 % para el cociete de variazas del precio e ambas zoas. Defiimos sedas variables aleatorias: X precio del producto e establecimietos del cetro Nµ, σ ) Y precio del producto e establecimietos del extrarradio Nµ, σ ) El euciado os pide u itervalo de cofiaza al 98 % para σ, para lo que usaremos σ como variable pivote: Co lo que el itervalo será: T = S σ S σ F, ) S F S,,, S F S,, Los datos que ecesitamos para calcular dicha expresió so: Cetro: = 7, X = xi = 660.7, S = Extrarradio: = 5, Ȳ = y i = 388, S = F 4,6,0.0 = 9.48 F 4,6,0.99 = F 6,4,0.0 = 5.07 = S S = x i X = = y i Ȳ = = Por lo que, sustituyedo, el itervalo de cofiaza pedido es , ) 4

5 6. Ua empresa de publicidad está iteresada e coocer la audiecia de cierto programa de TV. Después de realizar ua ecuesta a u úmero cosiderable de espectadores, deduce que la audiecia media es superior al 35 % y o sobrepasa el 43 %, co ua cofiaza del 95 %. A cuátos espectadores se les hizo la ecuesta? Defiimos la siguiete variable aleatoria que sigue ua distribució de Beroulli p): { si el espectador ve el programa de televisió X = 0 si o lo ve El euciado os dice que se ha calculado u itervalo de cofiaza para p al 95 %, X p que es 0.35, 0.43). Para hallar dicho itervalo, se utiliza la variable pivote X X) ) N0, ) por ser grade) de modo que dicho itevalo vedrá dado por X z X X) Es decir, dado que z 0.05 =.96 = 0.05), teemos que X.96 X +.96 X X) X X) Restado ambas expresioes, obteemos que: = 0.35 = X X) = 0.08 = X X) ) Y teiedo e cueta que X = = 0.78 calculamos el úmero de espectadores = 57. X = 0.39, sustituyedo, 5

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