ESTIMACIÓN. TEMA 5: Estimación puntual I. Propiedades de los estimadores. TEMA 6: Estimación puntual II. Métodos de estimación puntual

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1 ETIMACIÓN TEMA 5: Estimació putual I. Propiedades de los estimadores TEMA 6: Estimació putual II. Métodos de estimació putual TEMA 7: Estimació por itervalos CONTRATE DE HIPÓTEI TEMA 8: Cotrastes paramétricos TEMA 9: Cotrastes o paramétricos MODELO DE REGREIÓN TEMA 0: Itroducció a la Ecoometría

2 TEMA 7: ETIMACIÓN POR INTERVALO 7.. Cocepto de itervalo de cofiaza 7.. Métodos de costrucció de itervalos 7... Método del pivote 7... Itervalos aproximados para E( 7.3. I.C. e ua població ormal I.C. para µ co variaza coocida I.C. para µ co variaza descoocida I.C. para la variaza 7.4. I.C. e dos poblacioes ormales MUETRA INDEPENDIENTE: I.C. para µ -µ (, coocidas I.C. para µ -µ ( = descoocidas I.C. para µ -µ ( descoocidas I.C. para cociete de variazas MUETRA PAREADA : I.C. para µ -µ 7.5. Itervalos de cofiaza para proporcioes

3 ANTECEDENTE Iferecia Estadística: Teemos ua muestra (x,...,x. A partir de ella qué coclusioes podemos sacar del modelo que los geera?. Ejemplo: Ura co bolas rojas/egras Iferecias sobre p=p(roja? POBLACIÓN/MODELO xxxx MUETRA si ocurreroja p 0 si ocurrenegra p Modelo: i = v.a. i=,, Realizació de la muestra: (x,...,x =(,,0,,0,,0, pˆ? p<0.5? Estimació putual: propoer u valor plausible para el parámetro descoocido, p, calculado como ua fució de la muestra, pˆ = pˆ (,...,. 3

4 7.. CONCEPTO DE INTERVALO DE CONFIANZA Objetivo: o proporcioar sólo ua estimació putual del parámetro p, sio u rago de posibles valores para p, etre los cuales cofiamos se hallará el verdadero valor del parámetro. más vale acertar aproximadamete que equivocarse completamete límite iferior: estimador por defecto límite superior: estimador por exceso ENCUETA 4

5 Defiició: ea (,..., m.a.s. de ua distribució F(x;θ p( ϑ ˆ (,..., θ ˆ (,..., =-α ϑ [ ˆϑ, ˆϑ ] es aleatorio: depede de la muestra!! Ejemplo: (,..., 50 m.a.s. de ua distribució N(µ, _ / µ N(0, Caso particular: =0 0.95=p(-.96 µ 0/ 50.96=p( -.77 µ.77 5

6 Iterpretació: El itervalo [ -.77,.77] es ALEATORIO: depede de la muestra (,..., 50. Al cambiar la muestra (otro valor cambiaría el itervalo. Co ua muestra cocreta, (x,...,x 50, co su media muestral, p.e. x =70 itervalo umérico. 70±.77= [67.3, 7.77] cotedrá o o a µ! p.e. x =68 itervalo umérico. 68±.77= [65.3, 70.77] cotedrá o o a µ! Esto uca lo sabremos, pero teemos u ivel de cofiaza grade, 95%, e que lo cotedrá. Qué sigifica u ivel de cofiaza 0.95? i tomáramos todas las muestras de tamaño =50 posibles y costruyéramos co cada ua de ellas el itervalo [ x -.77, x.77], el 95% de estos itervalos cotedría el verdadero valor de µ. 6

7 7

8 Cofiaza y precisió (poca logitud: Aumetar el ivel de cofiaza ampliar el itervalo (más probable acertar apostado por u rago amplio de valores iformació irrelevate pero certera poca precisió. mayor ivel cofiaza meor precisió meor ivel cofiaza mayor precisió olució: Fijar (-α y buscar I.C. logitud míima 8

9 7.. MÉTODO DE CONTRUCCIÓN DE INTERVALO 7... Método del pivote PIVOTE: T(,..., ;θ Fució de la muestra y del parámetro θ Cotiua y estrictamete moótoa e θ Distribució muestral coocida que o depede del parámetro Fijado -α, ecotrar a,b tales que: p( a T(,..., ;θ b = -α y luego despejar θ p( ˆϑ (,..., ;a θ ˆϑ (,..., ;b = -α Cómo elegir a y b? Para que el itervalo sea de logitud míima i distribució de T simétrica, dejado α/ a ambos lados 9

10 Ejemplo: (,..., m.a.s. de ua N(µ,, co coocido PIVOTE: µ / N(0, α/ -α α/ -z α/ 0 z α/ -α = p(-z α/ / z α/ =p( -z α/ µ z α/ µ Itervalo de Cofiaza 00(-α%: ± z α/ imétrico, logitud = zα/ L depede de: ( α (-α z α/ más logitud meos precisió ( : si aumeta dismiuye L mayor precisió (3 : si aumeta aumeta L 0

11 7... Itervalos aproximados para la media ea (,..., m.a.s. de co E( i =µ y Var( i = µ / Teorema cetral del límite: ~ N(0, -α -z α/ 0 z α/ µ -α p(-z α/ zα/ =p( -z α/ µ zα/ / I.C. aproximado para E( = [ - z α/, zα/ ] Mejor cuato mayor y más simétrica la distribució de NOTA: si descoocida sustituir por ˆ cosistete otra fuete de error I.C. aproximado = [ - z α/ ˆ, z α/ ˆ ] más impreciso que el aterior!

12 7.3. INT. CONFIANZA EN UNA POBLACIÓN NORMAL (,..., m.a.s. de ua distribució N(µ, Itervalo de cofiaza para µ co coocida PIVOTE (I.b: µ / N(0, [ - z α/, zα/ ] = ( ± zα/ imétrico respecto a co marge de error E=z α/ z α/ E Determiació del tamaño de la muestra =

13 7.3.. Itervalo de cofiaza para µ co descoocida PIVOTE (I.c: µ / c t -, co c = ( = i i α/ -α α/ -t α/ 0 t α/ -α = p(-t α/ µ / c t α/=p( -t α/ c µ t α/ c ± t α/ c imétrico respecto a co marge de error E= t α/ α/ c E Determiació del tamaño de la muestra = t c 3

14 Ejemplo: Peña (00, p. 36 El director de ua empresa ha auciado que el año pasado los salarios creciero u promedio del 3.5%. U grupo de trabajadoras toma ua muestra de los icremetos salariales que ha recibido mujeres obteiedo los siguietes datos: 3%,3%,5%,%,%,%,%,%,5%,%,%. Itervalo de cofiaza para el aumeto salarial medio de las mujeres de esta empresa. Datos: =; =,36; c = ( i= i =,5 (-αx00=90% t α/ = t 0, 0.95 =,8 µ [,36 ±,,5 ] = [,36 ± 0.5] [.85;.87] No icluye el valor 3,5% etre los más probables (-αx00=95% t α/ = t 0, =,8 µ [,36 ±,8,5 ] = [,36 ±.0] [.35; 3.37] No icluye el valor 3,5% etre los más probables 4

15 Itervalo de cofiaza para la variaza PIVOTE (I.d: χ -, co = ( i= i α/ -α α/ a b p(a b= p( b a = -α 5

16 7.4. INT. CONFIANZA DO POBLACIONE NORMALE MUETRA INDEPENDIENTE,..., m.a.s. de ua ~N(µ,,..., m.a.s. de ua ~N(µ, idepedietes Itervalo de cofiaza para µ -µ (, coocidas α/ -α α/ PIVOTE (II.a: ( ( µ µ N(0, -z α/ 0 z α/ (µ -µ ( ± α z ( ( µ µ α = p( zα zα 6

17 Itervalo de cofiaza para µ -µ ( = PIVOTE (II.b: t ( ( µ µ ± µ µ α t ( ( / Itervalo de cofiaza para µ -µ ( PIVOTE (II.c: υ µ µ t ( ( C C ~ N(0, si, grades (µ -µ ± α t ( C C

18 8 REUMEN: Itervalo de cofiaza para µ -µ (MUETRA INDEPENDIENTE Co, coocidas (µ - µ ± α z / ( Co = descoocidas ± µ µ α t ( ( / Co descoocidas (µ - µ ± α t ( C C

19 Ejemplo: (Newbold, 998, pp Para ua muestra de 96 fumadores, el º medio de horas mesuales de absetismo laboral fue de,5 co ua desviació típica de,09 horas al mes. E ua muestra idepediete de 06 o fumadores resultó ua media de,69 horas co ua desviació típica de,9 horas al mes. I.C. al 99% para la diferecia de medias Datos: Fumadores: =.5, =96, =.09, c =.0 No fumadores: =.69, =06, =.9, c =.95, grades t υ ~ N(0, t α/ z =.575 VARIANZA DITINTA: (,5,69 ±,575 VARIANZA IGUALE:,0,95 [-0.9,.] x.09 06x.9 (.5.69 ±, [-0.7, 0.99] El valor µ -µ =0 itervalos 9

20 0 -α α/ α/ Itervalo de cofiaza para / PIVOTE (II.d:, F C C a b = α = C C C C C C a b p b a p

21 DATO PAREADO (,Y...(,Y m.a.s. de Normal bidimesioal i N Y µ ρ i µ ρ dode E( i =µ, E(Y i =µ, Var( i =, Var(Y i = Itervalo de cofiaza para µ -µ Diferecias D i = i -Y i N(µ D, D, co µ D =µ -µ Ua sóla muestra D,D,...,D de ua N(µ D, D Itervalo de Cofiaza para µ D PIVOTE (I.c: D µ D / D t - -α = p(-t α/ D µ D / D t α/=p( D D ±t α/ D, dode D D i i = = y D = (D i= i D

22 Ejemplo: (Casas, 996, pp Datos del cosumo de gasolia por 000 km de ua muestra aleatoria de 9 cohes co dos carburates e Y. upoiedo ormalidad para los cosumos, hallar itervalo de cofiaza al 99% para la diferecia de medias. D = D Coche i Y i D i = i -Y i i= i =; D = (D i= i D =5.7 (-αx00=99% t -, α/ = t 8, = ,7 5,7 [ x, 3.355x ]=[-3.78, 7.78] 9 9 Al 95% t α/ = t 8, =.306 5,7 5,7 [.306x,.306x ]=[-.974, 5.974] 9 9

23 7.4. INTERVALO DE CONFIANZA PARA PROPORCIONE Itervalo de cofiaza (aproximado para la proporció p ea,..., m.a.s de ua Beroulli b(p i = pˆ = _ = i i = = proporció muestral de éxitos Teorema Cetral límite: N(0, p ˆ p p( p ~ 0 si ocurre A (éxito p si ocurre A (fracaso p Difícil despejar p: ustituimos por estimador pˆ = _ cosistete -α= p - zα/ pˆ p pˆ ( pˆ zα/ pˆ p pˆ( pˆ ~ N(0, p p p p pˆ( pˆ ˆ( ˆ ˆ( ˆ = p pˆ - z α/ p pˆ zα/ pˆ ± z α/ 3

24 Determiació del tamaño de la muestra Determiar el tamaño muestral para teer ua precisió determiada pˆ ± z α/ pˆ( pˆ Es u itervalo de la forma pˆ ±E cetrado e pˆ y simétrico co u marge de error ±E: p ˆ( pˆ z α/( E = z α/ = E El máximo de (- es /4 que correspode a pˆ=- pˆ=0.5 (hipótesis más desfavorable de máxima idetermiació p=q=0.5 zα/ = 4 E 4

25 Ejemplo: E u determiado país se celebrará próximamete eleccioes geerales y sólo se presetará dos cadidaturas A y B. U mes ates de las eleccioes se ha realizado ua ecuesta de iteció de voto a 00 idividuos y se ha obteido los siguietes resultados: el 4% prefiere al cadidato A, el 50% prefiere a B y el 8% o cotesta. (a Hallar u I.C: para la proporció de idividuos que votará A (95%. (b i se hubiera hecho 4000 etrevistas y los % de resultados hubiera sido los mismos, cuál habría sido el I.C.? (c Cuál debería ser el tamaño muestral ecesario para poder estimar co ua precisió de ±% y ua fiabilidad del 95%? 5

26 7.4.. Itervalo de cofiaza para la diferecia de proporcioes (,..., m.a.s de b(p (,..., m.a.s de b(p idepedietes Teorema Cetral límite: ˆp ~ N(, p p ( p ; Idepedietes p ( p p( p pˆ pˆ ~ N( p - p, p ( p ˆp ~ N(, Difícil despejar p -p : ustituimos p, p por estimadores cosistetes p PIVOTE: ( pˆ pˆ ( p pˆ ( pˆ pˆ p ( pˆ N(0, (p p (ˆ p pˆ ± z α/ pˆ ( pˆ pˆ ( pˆ 6