TEMA 6.- INTERVALOS DE CONFIANZA

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1 TEMA 6.- INTERVALOS DE CONFIANZA 6.1. Distribucioes asociadas a la Normal Distribució Chi cuadrado de Pearso o Gi dos Distribució t de Studet 6.. Itroducció a itervalos de cofiaza 6.3. Método de costrucció de itervalos de cofiaza: Método de la Catidad Pivotal 6.4. Itervalos de cofiaza para los parámetros de ua característica Toma de decisioes sobre los parámetros de ua variable mediate itervalos de cofiaza 6.6. Comparació de dos parámetros e el caso de dos características e Y mediate itervalos Itervalo para comparar medias. Muestras pareadas de e Y Itervalos para comparar medias y variazas. Muestras idepedietes de e Y Casos para abordar los problemas.

2 6.1 DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA NORMAL A partir de ahora, las variables se clasificará e ormales y o ormales. Vamos a comezar viedo dos distribucioes cotiuas asociadas a la distribució ormal que os hará falta e el desarrollo de este tema: 1.Distribució Chi cuadrado o gi dos.distribució t de Studet Veremos: Defiició. Gráfico de la fució de desidad Propiedades. Cálculo de probabilidades usado las tablas correspodietes DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO DE PEARSON O GI - DOS

3 Defiició: Si,, 1 so v.a. idepedietes N 0,1, etoces la v.a. Y i1 i se dice que sigue ua distribució CHI CUADRADO o GI DOS de Pearso co grados de libertad o parámetro. La otació es Y OBSERVACIONES: 1) El parámetro es el úmero de sumados que iterviee e la defiició de la variable. ) La variable aleatoria chi-cuadrado es ua variable de tipo cotiuo. Se puede demostrar que 1,. Por tato, el gráfico de su fució de desidad es: 0,4 0,3 0, 0, x 0 3) Para calcular probabilidades de esta distribució, usaremos TABLAS. Ejemplo 1: Calcular P ( ) y P( ).

4 Del tema aterior sabemos que si es ua variable aleatoria co parámetros descoocidos E y V, LOS MEJORES ESTIMADORES para estos parámetros so y S. Si es ua variable N(, ), sobre estos estimadores se puede afirmar que TEOREMA DE FISHER Si,, 1 es ua m.a.s. de ua v.a. co distribució N(, ), etoces (1) Los estadísticos o estimadores 1 1 i y S ( i ) 1 1S so v. a. idepedietes. i1 i1 () N, 1. (Ya sabemos que, por la reproductividad) Obs: Si N(, ) coocemos las distribucioes de los estadísticos y S.

5 Defiició: Si variable aleatoria DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT N 0,1, Y so v.a. idepedietes, etoces la Z se dice que sigue ua distribució t de Studet de parámetro o co grados de libertad. La otació es Z t. Observacioes: 1) El parámetro o úmero de grados de libertad de la t es el parámetro de la que iterviee e su defiició. ) La distribució t de Studet es u modelo de tipo cotiuo. Y

6 La distribució t de Studet toma valores e todo, es simétrica respecto del 0 y su gráfica tiee la misma forma que la de la distribució N(0,1) pero es u poco más achatada que la distribució N(0,1). 0,4 0,3 N(0,1) 0, 0,1 t 0 0 3) El cálculo de probabilidades de esta distribució se hará mediate tablas, teiedo e cueta que: o Para calcular probabilidades de itervalos egativos usaremos la simetría de la distribució (como e el caso ormal). o Al crecer, la t de Studet se parece a la N(0,1). Por tato, para realizar cálculos de la variable t de Studet co > 10 aproximaremos a la N(0,1) y termiaremos el cálculo usado las tablas de la N(0,1). 0

7 Ejemplo : a) Calcular P ( 1.37 t ) y P( t ). b) Ecotrar x y c tal que P(t 0 < x) = 0.8 y P(t 15 < c) = TEOREMA: Si,, 1 es ua m.a.s. de ua v.a. co distribució (, ) etoces, la distribució de la variable aleatoria: N, T t 1 S / dode 1 1 y S= S siedo S ( ) i i i1 1 i1. Demostració: (hacer) La demostració de este teorema se basa e usar: 1. El teorema de Fisher para variables co distribució ormal.. La defiició de la distribució t de Studet co parámetro.

8 6.. INTRODUCCIÓN A INTERVALOS DE CONFIANZA OBJETIVO EN ESTE TEMA: Si es el parámetro descoocido y ˆ Tx,,..., 1 x x es la estimació para, se quiere dar ua cota del error, K, cometido al estimar, es decir, ˆ FORMA DE TRABAJO: Esta cota de error, K, se obtiee costruyedo u itervalo que cotega al parámetro. Ejemplo 3: Sea P. Tomamos ua m.a.s. para estimar, co valores 4.1, 3.7,.15, Ua estimació razoable para es ˆ x Supogamos que la cota de error e esta estimació es K = 0.. Veamos que esto es equivalete a dar u itervalo que cotiee al valor descoocido λ. ˆ ,. K

9 DEFINICIÓN: Sea F, llamaremos INTERVALO DE CONFIANZA para co ivel de cofiaza 1- (co ua cofiaza del 100(1-)%) a u itervalo (a, b) tal que Observacioes: 1, P a b P a b 1. Los itervalos que vamos a costruir SIEMPRE viee dados e térmios de probabilidad. La probabilidad 1- la fija la persoa que hace el estudio. El valor 1- suele ser mayor o igual que Los extremos del itervalo a y b so variables aleatorias. 3. Itervalos de logitud meor SIEMPRE está asociados a meores cotas de error y, por tato, mejores estimacioes del parámetro.

10 Ejemplo 4: E el ejemplo 3 para ua cota de error K = 0., el itervalo para era ,. Si la cota de error fuese meor, por ejemplo K = 0.1, teemos u itervalo para λ de logitud meor: ˆ ,. A cotiuació vemos el método geeral de costrucció de itervalos de cofiaza para u parámetro descoocido θ, que se llama MÉTODO DE LA CANTIDAD PIVOTAL.

11 6.3. MÉTODO LA CANTIDAD PIVOTAL Paso 1: F, parámetro descoocido. Sea T 1,,..., el mejor estimador para y ˆ T x,,..., 1 x x su estimació. Obteemos la distribució del estadístico T. Paso : La distribució de T va a depeder del parámetro descoocido. Se hace ua trasformació de T, que dará lugar a U = f(t). A la variable U la llamaremos PIVOTE. U tiee que cumplir: a. La distribució de U tiee que ser coocida y o depeder de i de igú otro parámetro descoocido. b. El parámetro tiee que aparecer e la expresió del pivote U. Paso 3: Elegir ua probabilidad alta, 1-. Buscar dos costates h 1 y h tal que Ph1 U h 1, usado la distribució del pivote U. Paso 4: Ua vez coocidas h 1 y h, a partir de Ph1 U h 1, despejar de la fórmula de U el valor hasta obteer ua expresió del tipo Pa b 1. El itervalo (a, b) obteido es el itervalo de cofiaza para a ivel 1-. A partir del mismo se obtiee la cota del error cometido e la estimació de mediate ˆ.

12 P h U h Observació: E el paso 3 la ecuació plateada tiee ifiitas solucioes. Se puede demostrar que: Si la distribució de U es simétrica (N(0,1), t -1 ), se obtiee itervalos de logitud míima si elegimos h h1 h. Etoces, buscaremos h que cumpla 1 P hu h..si la distribució de U o es simétrica( χ -1), se obtiee itervalos de logitud míima al elegir h 1 y h que resuelva las ecuacioes: PU h / y PU h / 1

13 Ejemplo 5: El tiempo de impresió de ua declaració del IRPF sigue ua distribució ormal. Se observa ua muestra de dicho tiempo y se obtiee (e segudos): a) Estimar el tiempo medio de impresió de ua declaració, e segudos. b) Costruir u itervalo de cofiaza al 95% (1-α = 0.95) para el tiempo medio de impresió de ua declaració. A partir del mismo, ecotrar ua cota del error cometido e la estimació del tiempo medio de impresió Es admisible que dicho tiempo medio sea de 0 segudos? c) Ecotrar el tamaño de la muestra,, ecesario para que el error e la estimació del tiempo medio de impresió sea meor que 1 segudo. Supoer que o varía la cuasivariaza muestral. d) Costruir otro itervalo de cofiaza al 99% (1-α = 0.95) para el tiempo medio de impresió. Compararlo co el obteido e el apartado b)

14 OBSERVACIONES 1.-Si aumetamos el tamaño de la muestra SIEMPRE dismiuye la logitud del itervalo de cofiaza y, por tato, dismiuye la cota de error e la estimació del parámetro..- Si aumetamos la probabilidad 1- que se usa para costruir el itervalo (mateiedo la muestra), SIEMPRE aumeta la logitud del itervalo y, por tato, aumeta cota de error e la estimació. 3.- Los itervalos que se obtiee so PROBABILÍSTICOS. Si ab, co probabilidad 1- sigifica que e 100 itervalos que costruyamos para θ co 100 muestras diferetes: E (1-)100% de los itervalos está seguro el parámetro. E el resto de los itervalos, 100%, o es seguro que esté el valor. 4.- Si e el itervalo probabilístico sustituimos la muestra cocreta pasamos a teer u INTERVALO NUMÉRICO, I. E este mometo ya NO se puede hablar de probabilidad: sólo puede suceder que perteezca a I o que o perteezca a I.

15 6.4. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS PARÁMETROS DE UNA CARACTERÍSTICA. Cuado se estudia ua v.a. sus pricipales parámetros so: µ = E[], la media que. σ = V(), la variaza de ( ó σ, su desviació típica) p = proporció de idividuos que posee ua cierta propiedad. Estos so los parámetros para los que haremos estimacioes y obtedremos las correspodietes cotas de error para esas estimacioes mediate la obteció de itervalos de cofiaza. Los mejores estimadores para estos parámetros (tema 5) so: para µ es ˆ. para σ es ˆ S. para p es Pˆ R º de elemetos de la muestra que tiee la propiedad tamaño muestra

16 CASO 1. N, cofiaza 1-α: CASOS A ESTUDIAR, itervalo para co descoocida, ivel de Estimació para µ: ˆ U t S/ Pivote: 1 x (Formulario) S h Itervalo para µ: saber llegar a este itervalo a partir del pivote) co Cota de error e la estimació de : s ˆ x K co K h Ejemplo 6: Problema 1, apartados a) y b) ya realizados. P t 1 h 1 / (Hay que

17 CASO. N, cofiaza 1-α:, itervalo para, µ descoocida, ivel de Estimació para : ˆ s 1 S Pivote: 1 (Formulario) Itervalo para : P S S, h h1, dode P h 1 1 /, h1 /. (Hay que saber llegar a este itervalo a partir del pivote) Cota de error e la estimació de : 1 1 s s ˆ s K siedo K max s, s h h1 Ejemplo 7: Problema 1, apartado c)

18 CASO 3. co distribució cualquiera, itervalo para, variaza descoocida, muestra de tamaño 100, ivel de cofiaza 1-α: Estimació para µ: ˆ x Pivote: U N0,1 S/ si 100 (TCL) Itervalo aproximado para µ si 100: (Formulario) S h dode P N 0,1 h 1 / (Hay que saber llegar a este itervalo a partir del pivote) s ˆ x K co K h Cota de error e la estimació de : Observació: E este caso NO se puede hacer itervalos para al o teer la variable distribució ormal salvo e los casos e que la variaza tiee ua relació directa co la media (por ejemplo, si tiee distribució de Poisso o es expoecial) Ejemplo 8: problema de la hoja de problemas.

19 CASO 4. B 1, p, itervalo para la media µ = p, variaza descoocida = p(1-p), muestra de tamaño 100, ivel de cofiaza 1-α. Este caso es u caso particular del caso 3. Vamos a ver que p represeta el porcetaje o proporció de idividuos que posee ua cierta propiedad. Defiimos la variable que toma los valores: 1 cuado el idividuo SI tiee la propiedad e estudio 0 cuado elidividuo NO tiee la propiedad e estudio Etoces, la probabilidad de cada valor es que B 1, p. P 0 1 P 1 p p, y esto sigifica

20 Estimació para p: 1 r º de idividuos de la muestra que SI posee la característica e estudio pˆ x xi tamaño muestra i1 Pˆ p U N Pivote: S / Pˆ1 Pˆ Itervalo aproximado para p si 100: 0,1 si 100 (TCL) (Formulario) co ˆ R P Pˆ 1 Pˆ ˆ P h dode PN0,1h1 / (Hay que saber llegar a este itervalo a partir del pivote) Cota de error aproximada e la estimació de p: p pˆ K siedo K h Ejemplo 9: Problema 3 de la hoja de problemas pˆ 1 pˆ

21 6.5. TOMA DE DECISIONES SOBRE LOS PARÁMETROS DE UNA VARIABLE MEDIANTE INTERVALOS DE CONFIANZA 1.- Los itervalos de cofiaza para u parámetro, además de dar ua cota del error cometido e la estimació de mediate ˆ, permite tomar decisioes sobre del tipo 0 ó 0, 0, co ua cofiaza 1-. o Si 0 Itervalo Aceptamos que = 0 (o podemos rechazar que = 0 ), co ua cofiaza 1-. o Si 0 Itervalo Diremos que 0, co ua cofiaza Las decisioes sobre hipótesis del tipo 0, 0, 0 o 0 NO se puede tomar de forma defiitiva co itervalos auque se puede ituir lo que podría suceder e alguos casos. Este tipo de decisioes so objeto de estudio del tema siguiete.

22 Ejemplo 10: Supogamos que el itervalo obteido para, co u ivel de cofiaza de 0.95 fuese, por ejemplo, (1.3, 4.7). Ate las pregutas: i. Puede ser = 6? diríamos que o, co ua cofiaza del 95%, porque perteece al itervalo (1.3, 4.7), al 95% y el valor 6, o. ii. Puede ser =? respoderíamos que sí puede ser, co ua cofiaza del 95%, porque perteece al itervalo (1.3, 4.7), al 95%,y el valor, tambié. iii. Puede ser = 3? respoderíamos que sí, co ua cofiaza del 95%, porque perteece al itervalo (1.3, 4.7), al 95% y el valor 3, tambié Qué haríamos e este caso? Aumetar el tamaño de la muestra. iv. Podríamos decidir que > 1? NO podríamos tomar la decisió co u itervalo de cofiaza. Decisioes de este tipo se verá e el tema siguiete.

23 6.6. COMPARACIÓN DE DOS PARÁMETROS EN EL CASO DE DOS CARACTERÍSTICAS e Y MEDIANTE INTERVALOS Al estudiar dos características e Y el objetivo habitual suele ser COMPARARLAS. La comparació se hace a través de sus medias y variazas. Alguas de estas decisioes las tomaremos utilizado itervalos de cofiaza. Notació: coe yv, YcoEY yvy Y Y 1.- La comparació de las medias y Y se hace a través de Y: a. Ocurrirá que Y Y 0. b. Ocurrirá que Y Y 0. c. Ocurrirá que Y Y 0. Observacioes: 1.- Co itervalos SOLAMENTE se puede tomar decisioes del tipo a)..- Tambié tomaremos decisioes del tipo Y c ó Y c, c. 3.- El orde de la resta es importate: Y Y

24 .- La comparació de variazas a. Ocurrirá que Y Y b. Ocurrirá que Y Y c. Ocurrirá que Y Y y Y / 1. / 1. / 1. se hace a través de / : Y Observacioes: 1.- Co itervalos SOLAMENTE se puede tomar decisioes del tipo a). E el tema siguiete estudiaremos la toma de decisioes de los tipos b) y c)..-tambié tomaremos decisioes del tipo Y có Y / / c, c 3.- El orde del cociete es importate: / / Y Y

25 Para obteer los itervalos de cofiaza que ecesitamos partiremos de ua muestra de la variable y otra de la variable Y, 1,,..., e Y1, Y,..., Y m de tamaños y m, respectivamete. Nuestros parámetros ahora so 1 y siedo 1 Y y / Y. Igual que para ua variable, el METODO DE LA CANTIDAD PIVOTAL permite calcular INTERVALOS DE CONFIANZA para estos parámetros 1 y Distiguiremos etre dos tipos de muestras: MUESTRAS PAREADAS: sigifica que las muestras de las variables e Y so DEPENDIENTES y que se observa las dos características, e Y sobre los mismos idividuos. E este caso, calcularemos los itervalos para el parámetros 1 Y a mao. No se calculará itervalos para. MUESTRAS INDEPENDIENTES: e este caso los itervalos para los parámetros 1 Y y / Y se obtedrá co Statgraphics.

26 E los casos de dos variables e Y dode se toma ua muestra de cada ua de ellas, lo primero que hay que hacer es distiguir si las muestras tomadas so pareadas o so muestras idepedietes porque el procedimieto a seguir para costruir el itervalo correspodiete es diferete. Ejemplo 11: 1. Para comparar los tiempos medios de ejecució de dos programas A y B que resuelve sistemas de ecuacioes, lo lógico es resolver los mismos sistemas de ecuacioes co ambos programas. Este sería u caso de muestras pareadas (depedietes) al trabajar co las variables : tiempo de ejecució del programa A para resolver u sistema de ecuacioes. Y: tiempo de ejecució del programa B para resolver el mismo sistema.. Para comparar los cosumos medios de dos modelos de coche A y B trabajaríamos co muestras idepedietes de las variables e Y porque los coches testados sería diferetes. : cosumo de combustible de u modelo de coche A. Y: cosumo de combustible de u modelo de coche B.

27 INTERVALO PARA COMPARAR Y Y. MUESTRAS PAREADAS. Hipótesis: La variable D Y tiee que verificar que D ND Y,. Forma de trabajo: Al defiirse la variable D Y y verificarse que siedo solamete teemos u parámetro que es D, D Y, os ecotramos e el CASO 1 que vimos para ua sola variable D co distribució ormal (6.4) Muestra de D: d x y dode x y es la muestra de Y i i i, i, i i1,. La muestra de y la muestra de Y tiee el mismo tamaño. ˆ 1 d d D i Estimació para µ D : i1 D D 1 U t 1 dode SD di d S / 1 Pivote: D Itervalo para µ: S D h D co i1 P t 1 h 1 / SD ˆ Cota de error e la estimació de D : D D K co K h Obs: Si restamos al revés, es decir, D = Y-, la muestra cambia: di yi xi.

28 Ejemplo 1: (Problema 4 hoja) Se trata de compara dos algoritmos de iversió de matrices. Para ello se mide los tiempos de ejecució, e segudos, co el algoritmo A de 8 matrices (variable ) y los tiempos de de ejecució, e segudos, co el algoritmo B de esas mismas 8 matrices (variable Y): Algoritmo A Algoritmo B Supoiedo ormalidad e la diferecia de tiempos de ejecució, se pide: (a) Hallar u itervalo de cofiaza al 97% para la diferecia etre los tiempos medios de ejecució de los dos algoritmos. (b) Se puede aceptar que los tiempos medios de ejecució de ambos algoritmos so iguales? (c) Puede ituirse algua relació etre el tiempo medio de ejecució del algoritmo A y el tiempo medio de ejecució del algoritmo B?

29 6.6.. INTERVALOS PARA COMPARAR MEDIAS Y VARIANZAS. MUESTRAS INDEPENDIENTES DE e Y CASO 1. N,, Y N Y, Y : LO PRIMERO que hay que saber es si las variazas de e Y (que so descoocidas) so iguales o distitas. Para ello se calcula el Itervalo para / : Permite tomar de decisioes del tipo Y c ó Y Y c, co c. Para c = 1, permite decidir si Y / Y 1 o si. Y

30 Ejemplo 13: Toma de decisioes del tipo c ó Y Y Si, por ejemplo, el itervalo obteido para / Y, co ua cofiaza del 90%, fuese (0.56, 1.50): Podría ser Y 1? Sí, co ua cofiaza del 90%, porque , Podría ser Y , Y Y c? Sí, co ua cofiaza del 90%, porque Si embargo, si el itervalo obteido para / Y, co ua cofiaza del 90%, fuese (3.45, 5.3): Podría ser Y 1? No, co ua cofiaza del 90%, porque , 5.3 Y. La decisió sería que las variazas so distitas.

31 Volviedo al caso 1, si co el itervalo de cofiaza para / Y La decisió es Y, se calcula el correspodiete itervalo de cofiaza para Y (co Statgraphics). La decisió ha sido Y, se calcula el correspodiete itervalo de cofiaza para Y (co Statgraphics). Co ellos tomaremos decisioes del tipo Y c ó Y c co c. Si c = 0 tomaríamos decisioes del tipo Y ó Y. CASO. e Y variables co distribució cualquiera, medias y Y: Aquí las variazas se cosidera distitas puesto que si Se obtiee el itervalo para Y (co Statgraphics), cosiderado Y distitas y descoocidas (al o ser y/o Y ormales NO se puede hacer itervalos para / Y). Este itervalo sólo es válido si los tamaños muestrales,, m 100 y permite tomar decisioes del tipo Y c ó Y c.

32 Ejemplo 14: Toma de decisioes del tipo c ó Y Y c Si ua vez tomada la decisió sobre si las variazas so iguales o distitas, el itervalo costruido para Y es, por ejemplo, (.34, 4.45), co ua cofiaza del 97%: Puede ser Y Y 0? Podemos asegurar, co ua 0.34, cofiaza del 97%, que o porque Puede ser Y 3? Podemos aceptar, co ua cofiaza del 97%, que sí porque 3.34, Puede ser Y 4? Cuidado porque, co ua cofiaza del 97%, 4.34, tambié aceptaríamos esta hipótesis porque Podríamos decidir qué Y 0 Y? Este tipo de decisioes NO se toma co u itervalo, sio e el tema siguiete.

33 6.7. CASOS PARA ABORDAR LOS PROBLEMAS itervalo para la media distribució ormal itervalo para la variaza itervalo aproximado para la media distribució cualquiera, 100 itervaloaproximado para la proporció p si = Y, itervalopara e ormales itervalopara Y Y muestras idepedietes Y si Y, itervalopara Y e Y cualquiera, 100,m 100 itervalo aproximado para Y e Y muestras pareadas ite rvalopara D Ysi DYes ormal (depedietes) Los casos de ua variable y de dos variables e Y, muestras pareadas, se resolverá a mao. El resto de casos se resolverá co Statgraphics.