Como se ha podido apreciar en los módulos anteriores, La estadística trata con recolección de datos, su análisis e interpretación.

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1 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares 7. QUINTO MÓDULO 7. Iferecia Estadística Como se ha podido apreciar e los módulos ateriores, La estadística trata co recolecció de datos, su aálisis e iterpretació. E Iferecia clásica y Teoría de decisioes, las observacioes so postuladas tomado valores e forma aleatoria, la ley ó distribució de la(s) variable(s) aleatoria(s) observable(s), P, se asume perteece a ua familia paramétrica coocida e su forma geeral, pero o se cooce el(los) valor(es) de parámetro(s). U objetivo fudametal de la iferecia estadística, es determiar valor(es) factibles de parámetro(s) a partir de los datos. La utilidad de los datos, geerados a partir de muestras probabilísticas, es iferir características eseciales, de la distribució de la muestra a la població Ua de las áreas asociadas a la iferecia estadística, es la estimació de parámetros, para itroduciros e el tema se requiere alguas defiicioes. Defiició 7. Parámetro. Es ua característica umérica de la distribució de la població, que describe, parcial o completamete, la fució de masa de probabilidad de la característica de iterés, habitualmete se simboliza por la letra griega θ. Defiició 7. Espacio Paramétrico. Es el cojuto de posibles valores que puede() ser cosiderado(s) para el(los) parámetro(s). Se simboliza por la letra griega mayúscula Θ. La Figura 7., se muestra esquemáticamete el problema de estimació. Figura 7. El problema de estimació. 08

2 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Los posibles valores de la muestra aleatoria costituye el espacio de iformació, y utilizado algú resume apropiado (Estadística), costruimos u estimador de(l) parámetro(s) asociado(s) a la familia de distribució supuesta. Distiguimos dos métodos e la estimació de parámetros: el primero coocido como estimació putual, trata de especificar u valor umérico para el (los) parámetro(s) que se desea estimar; el segudo, que etrega u cojuto de posibles valores asociados al parámetro como se muestra e la Figura 7.. Pasemos a revisar alguas de las técicas de estimació. 7. Método de Mometos Es quizás el método más atiguo para la estimació putual de parámetros, cosiste e igualar los mometos apropiados de la distribució de la població co los correspodietes mometos muestrales. Este método coduce a que eista, tatas ecuacioes como parámetros se desee estimar de la població. Defiició 7.3 Mometos muestrales. Sea X, X,, X, ua muestra aleatoria co ua fució de masa de probabilidad f(; θ ). Etoces el r-ésimo mometo muestral e toro a cero se defie por: M r = X i = r i dode se puede observar, que para el caso de r =, se obtiee la media muestral, mietras que para los casos de r =, 3, 4, se obtiee idicadores que ayuda al cálculo de medidas de variabilidad y forma respectivamete. Defiició 7.4 Mometos Poblacioales. Sea X, X,, X, ua muestra aleatoria co ua fució de masa de probabilidad f(; θ ). Etoces el r-ésimo mometo poblacioal e toro a cero se defie por: µ r = [X r ] dode se puede observar, que para el caso de r =, se obtiee la esperaza matemática, mietras que para los casos de r =, 3, 4, se obstie idicadores que ayuda al cálculo de medidas de variabilidad y forma poblacioales. APLICACIÓN 7. Sea X, X,..., X ua muestra aleatoria de tamaño de ua població la cual se supoe tiee fució de cuatía de probabilidad dada por: [X = ] = p p ( ) = 0,. 09

3 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Etoces el estimador de mometos p, de p, cosiste e igualar el primer mometo muestral al primer mometo poblacioal, es decir: [X] = p +0 ( p) = p = µ µ = M p = X. APLICACIÓN 7. Supoga que el tiempo de vida [e años] de u compoete eléctrico se ecuetra represetada por: 3 4 3α α < <, α f( = > 0 ) 0 e.o.c. Supoga además que se obtiee de estos compoetes ua muestra aleatoria de de ellos, digamos, X,, X. El estimador de mometos α ~, de α, a partir de la muestra, cosiste e igualar el primer mometo muestral al primer mometo poblacioal, es decir: 3 3 [X] = 3 α = 3 α = µ µ = M α 3 α = X α~ = 3 X APLICACIÓN 7.3 Sea X,..., X ua muestra aleatoria de tamaño 00 de ua població la cual se supoe tiee fució de desidad de probabilidades: f() ep > 0, θ > 0 = θ θ 0 e.o.c. Etoces determiar el estimador de mometos θ, de θ, cosiste e igualar el primer mometo muestral al primer mometo poblacioal, es decir: [X] = ep d = θ = µ θ θ µ = M α ~ = θ X 0

4 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares 7.3 Métodos de Máima Verosimilitud Es uo de los métodos más empleados para obteer estimadores putuales, seleccioa como estimador el valor(es) del parámetro(s) que tiee() la propiedad de maimizar la probabilidad de lo observado e la muestra aleatoria. El método de máima verosimilitud cosiste e ecotrar el valor(es) del parámetro(s) que maimiza la fució de masa (desidad) de probabilidad cojuta de la muestra, llamada verosimilitud. Defiició 7.5 Fució de verosimilitud. Sea X,, X, ua muestra aleatoria co ua fució de masa (desidad) de probabilidad f(; θ ), y sea L(θ ; X, X,, X ) la verosimilitud de la muestra como fució de θ, la cuál se represeta por: L(θ ; ) = L(θ ; X, X,, X ) = f( ; θ ) f( ; θ ) f( ; θ ) El método de máima verosimilitud busca θˆ (,, ), fució que depede sólo de la muestra que maimiza L(θ ; ). Para obteer estimadores máimo verosímiles se utiliza las herramietas de cálculo matemático, además para simplificar lo cálculos se utiliza el logaritmo de verosimilitud, llamada fució de logverosimilitud, represetada por: l(θ ; ) = l (L(θ ; )). APLICACIÓN 7.4 Sea X,..., X ua muestra aleatoria de tamaño de ua població la cual se supoe tiee fució de desidad de probabilidades: ep > 0, φ > 4 f() = φ 4 φ 4 0 e.o.c. Utilizado herramietas de cálculo diferecial a la fució l(φ ; ), se obtiee estimador máimo verosímil ˆ φ, de φ. l(φ, ) = l i + l I + ( i) φ 4 φ 4 l(φ, ) φ = 0 ( φ 4) i = 0 φ 4 ˆ + ( ) φ = X + 4

5 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Para verificar que es u máimo local, la seguda derivada evaluada e ˆ φ es: l(φ,) φ φ = X ( φ 4) ( ) 3 φ 4 i ( φ ) 4 ( φ 4) 3 i φ 4 > 0 φ > 4 ; ( ) 3 Luego l( ˆ φ MV ( φ 4) i = X X= X < 0. ˆ φ MV = X + 4, ) es u máimo local, y bastara probar que es máimo global. APLICACIÓN 7.5 El úmero de clietes que llega a la fila de u cajero automático etre las 4:00 y las 4:45 es modelado por la siguiete fució de probabilidades: [X = ] = e ( φ 6) ( φ 6)! = 0,,,... ; φ > 6 Cosiderado ua muestra aleatoria de días, el estimador máimo verosímil φˆ, de φ, esta dado por. l(φ, ) = l e ( 9 6) (9 6)! ( = l e 9 6) ( 9 6) = (φ 6) + i i i! l(φ 6) + l i! d l(φ, ) d φ = ˆ = X i = 0 Dode se pude verificar que l( ˆ φ MV, ) es u máimo global.

6 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares 7.4 Propiedades de los Estimadores Para eteder las propiedades asociadas a u estimador, cosidérese ua muestra aleatoria, X, X,, X, y T = T(X, X,, X ) ua fució de la muestra, etoces T es llamada Estadística. Estimadores Isesgados Cuado ua estadística T, se utiliza co fies de estimació, recibe el ombre de estimador, es deseable que los estimadores tega alguas propiedades deseables, alguas de las cuales pasamos a revisar. Defiició 7.6 Isesgamieto. Sea T u estimador (estadística) de u parámetro θ, se dice que T es u estimador isesgado (libre de sesgo), si [T] = θ, para todos los posibles valores de θ. Básicamete lo que se desea es que el estimador, T, e promedio (promediado sobre todas las posibles muestras), sea igual a θ, lo que se desea estimar, bajo la hipótesis que la distribució de probabilidad de la població propuesta es la correcta. APLICACIÓN 7.6 El úmero de clietes que llega a la fila de u cajero automático etre las 4:00 y las 4:45 se ecuetra represetado por la siguiete fució de cuatía: [X = ] = e ( φ 6) ( φ 6)! = 0,,,... ; φ > 6 A partir de ua muestra aleatoria de días, el estimador máimo verosímil, calculado ateriormete es φˆ = X+ 6. Es φˆ u estimador isesgado de φ?. [φˆ ] = [ 6 X + ] = [ X ] + 6 = [ = X i ] + 6 [X i ] + 6= = φ Luego se tiee que φˆ, es u estimador isesgado de φ. APLICACIÓN 7.7 Supoga que el tiempo de vida [e años] de u compoete 3

7 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares eléctrico se ecuetra modelada por: 3 4 3α α < <, α f( = > 0 ) 0 e.o.c. A partir de ua muestra aleatoria de compoetes, el estimador de mometos, es ~ α = 3 X.: Es α~ u estimador isesgado de α?. X i [α ~ ] = 3 [ X] = 3 [ ] = α d. α = 3 3 α = α. Etoces se tiee que α ~, es u estimador isesgado de α. APLICACIÓN 7.8 Sea ˆφ y ˆφ dos estimadores isesgados del parámetro poblacioal φ, tal que V [ ˆφ ] = 3V [ ˆφ ]. Por razoes técicas se decide usar como estimador a ˆφ 3, dode: φˆ = α φˆ + α φˆ, α y α. 3 Para ecotrar los valores de α y α que matega la propiedad de isesgamieto de ˆφ 3, se tiee que: [ ˆφ 3 ] = [ α φˆ + α φˆ ] = α [ ˆφ ] + α [ ˆφ ] = α φ + α φ [ ˆφ 3 ] = φ ˆφ 3 es Estimador Isesgado, luego: α +α = Otro criterio de evaluació de estimadores, es el error cuadrático medio, midiedo la dispersió cuadrática media del estimador e toro lo que desea estimar. Defiició 7.7 Error Cuadrático Medio. Sea T estimador de u parámetro θ, se defie el error cuadrático medio de T, como el valor esperado del cuadrado de la diferecia etre T y θ, y se aota ECM (T). ECM (T) = [(T θ ) ] 4

8 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Desarrollado la epresió ECM (T) se obtiee: ECM (T) = [T Tθ + θ ] ECM (T) = [T ] [Tθ ] + [θ ] ECM(T) = [T ] θ [T] + θ. ECM(T) = [T ] θ [T]+ θ ] + ( [T]) ( [T]) ECM(T) = ( [T ] ( [T]) ) + (( [T]) θ [T]+ θ ) ECM(T) = [T] + ( [T]-θ ) El Error Cuadrático Medio de u estimador T, es la suma de dos catidades o egativas: ua es la variaza del estimador ( [T]), mietras que la otra es el sesgo al cuadrado (( [T]-θ ) ) U criterio para seleccioar u estimador, es que posea el error cuadrático medio más pequeño etre los posibles estimadores de θ. Estimadores Eficietes Defiició 7.8 Eficiecia relativa. Sea T y T dos estimadores de θ. Se defie la eficiecia relativa etre T y T como: ECM(T Ef(T ;T ) = ) ECM(T ) Si la eficiecia relativa es meor que uo, se cocluye que el estimador T es más eficiete que el estimador T, e caso cotrario, se cocluye que el estimador T es más eficiete que el estimador T. Resulta evidete que si u estimador es isesgado, el error cuadrático medio es la variaza del estimador, y detro de la clase de estimadores isesgados, el problema de ecotrar el mejor estimador, se reduce a ecotrar el que tega variaza más pequeña. APLICACIÓN 7.0 Sea ˆφ y ˆφ, isesgados de φ, tal que V [ ˆφ ] = 3V[ ˆφ ]. Etoces la eficiecia de los estimadores ˆφ y ˆφ es: Ef( ˆφ ; ˆφ ) = 3 ˆφ más eficiete 5

9 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Si por razoes técicas se decide usar como estimador a ˆφ 3, dado por: φˆ = α φˆ + α φˆ, α y α. 3 Para determiar los valores de α y α que matega la propiedad de isesgamieto, y que la variaza de ˆφ 3 sea míima. Se tiee que bajo el supuesto de idepedecia etre ˆφ y ˆφ : Ψ = [ ˆφ 3 ] = [ α φˆ + α φˆ ] = α [ ˆφ ] + ( α ) [ ˆφ ] = α r + ( α ) r 3 dψ dα = 0 α = 4 α = 3 4 Etoces ahora debería probarse que el estimador más eficiete de los tres presetados es ˆφ 3, como se prueba a cotiuació: [ ˆφ 3 ] = 6 r r/3 = 4 r Ef( ˆφ / ˆφ 3 ) = 4 IE( ˆφ / ˆφ 3 ) = 4 3 Cosistecia e Media Cuadrática La cosistecia mide la capacidad del estimador, de acercarse (e algú setido) cada vez más al verdadero valor de parámetro, a medida que el tamaño de muestra crece. Defiició 7.9 Cosistecia e media cuadrática. U estimador T, de u parámetro descoocido θ, se dice cosistete e media cuadrática, si se cumple: lim ECM(T ) = 0 APLICACIÓN 7. El úmero de clietes que llega a la fila de u cajero automático etre las 4:00 y las 4:45 se ecuetra modelado por la siguiete fució de cuatía: [X = ] = e ( φ 6) ( φ 6)! = 0,,,... ; φ > 6 Es el estimador, φˆ, cosistete?. Como se demostró ateriormete, φˆ es u estimador isesgado de φ, basta 6

10 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares probar que: lim ECM( ˆ φ) = lim V [ ˆ φ] = 0 [ X + 4] = [ X] = [ X i ] = V = ( φ 4 ) [ Xi ] lim ( φ 4) = 0 De dode φˆ, es u estimador cosistete. APLICACIÓN 7. Supoga que los tiempos de vida [e años] de u compoete eléctrico de u particular de tipo de automóviles se ecuetra modelada por: 3 4 3α α < <, α f( = > 0 ) 0 e.o.c. Es el estimador, α ~, cosistete?. Comoα ~ es u estimador isesgado de α, basta probar que: lim ECM( α) = lim V [ α] = 0 [ 3 X] = 4 9 [ X] = 4 9 [ X i ] = 4 9 V [ Xi ] [X ] = α = 3α [X] = 3 α α α = 3 α [X] = 3α 9 4 α = 3 4 α [α~ ] = α = α 3 α = lim 3 0 Luego α ~, es u estimador cosistete. 7

11 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares 7.5 Estimació por Itervalo La estimació putual de u parámetro poblacioal adolece del siguiete defecto: La probabilidad de que el estimador coicida co el verdadero valor del parámetro es muy pequeña y e el caso cotiuo ula. Los itervalos de cofiaza resuelve este icoveiete, ofreciédoos u rago para los posibles valores del parámetro poblacioal. Defiició 7.0 Sea X, X,..., X ua muestra aleatoria desde f(; θ ), dode f(; θ ) es ua fució de masa (desidad) de probabilidades depediedo de u parámetro descoocido θ. Sea T y T dos estadísticos tales que T () < T (), para casi todo y P(T θ T ) = γ, dode γ o depede de θ. Se dice que [ T,T ] es u itervalo de cofiaza para θ co 00γ % de cofiaza. Observacioes:.- T y T recibe el ombre de cota iferior y superior de cofiaza..- γ recibe el ombre de coeficiete de cofiaza. 3.- [ ] T es u itervalo aleatorio, ya que sus etremos so v.a.,t Defiició 7. E las mismas codicioes de la defiició 7.0. Sea T u estadístico que cumple co P (T θ ) = γ. Se dice que T es u limite iferior de cofiaza para θ co 00γ % de cofiaza. Defiició 7. E las mismas codicioes de la defiició 7.0. Sea T u estadístico que cumple co y P (T θ ) = γ. Se dice que T es u limite superior de cofiaza para θ co 00γ % de cofiaza. Eiste técicas para costruir itervalos (regioes) de cofiaza, y ua de ellas es la del pivote que pasamos a presetar. Catidad Pivotal Sea X, X,..., X ua m.a. () desde f(; θ ) y Q = Q(X,..., X ). Si la distribució de Q es idepediete de θ, se dice que Q es ua Catidad Pivotal. Aplicació : Sea X, X,..., X ua m.a.() desde familia Normal (Y N ( µ, )co media µ y variaza coocida, luego Q = X µ Q N (0, ) Q es catidad pivotal. 8

12 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Itervalo de Cofiaza para la Media Poblacioal Sea X, X,..., X ua m.a.() desde familia Normal (Y N ( µ, ), como X es el mejor estimador de µ, etoces si se cooce, se tiee que: Z = (X - µ ) N (0, ) Z es pivote Luego dado γ, se requiere determiar los valores más apropiados de q y q que cumpla co: [q (X - µ ) q ] = γ Como se puede observar de las gráficas eiste muchos (ifiitos) valores de q y q que satisface lo aterior, si embargo, se puede probar que si se desea miimizar la logitud del itervalo de cofiaza, los valores de q y q debe ser aquellos que produzca igualdad de probabilidades e las colas, es decir: q = Z + y q = - q γ Luego si tomamos α = γ, se tiee: [Z α / (X - µ ) Z α / ] = -α 9

13 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares [Z α / [Z α / X - µ Z α / X - µ Z α / [ X Z α / [ X Z α / µ X Z α / ] = -α X] = -α µ X Z α / ] = -α ] = -α Pero como Z α / = Z α / [ X Z α / µ X + Z α / ] = -α Co lo aterior se cocluye que el itervalo del (-α )% de cofiaza para la media poblacioal está dado por: IC ( µ ):= [ X Z α / ] Si se tiee ua m.a.() X, X,..., X tal que X i N( µ, ), co variaza poblacioal descoocida, como sabemos S es el mejor estimador de, luego se tiee que: T = ( X - µ ) s It-Studet ( ) T es catidad pivotal. 0

14 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Aálogo al caso aterior, dado γ (coeficiete de cofiaza), para determiar los valores de q y q que miimice la logitud del itervalo de cofiaza, se escoge co igualdad de probabilidades e las colas, es decir: [q ( X - µ ) s q = t α / ( ) = t α / ( ) q ] = γ q = t α / ( ) Se tiee que: [t α / ( ) [t α / ( ) s s X - µ t α / ( ) s ] = -α X µ t α / ( ) s X] = -α [ X t α / ( ) s µ X t α / ( ) [ X t α / ( ) s µ X t α / ( ) s ] = -α s ] = -α (t α / ( ) = t α / ( )) [ X t α / ( ) s µ X + t α / ( ) s ] = -α Luego el itervalo de cofiaza del (-α )% para la media poblacioal es: IC ( µ ):= [ X t α / ( ) s ] Si el tamaño de la muestra es grade (mayor que 50), utilizado Teorema del Limite Cetral, el itervalo de cofiaza toma de la siguiete forma: IC ( µ ):= [ X Z α / s ] Notemos que es importate distiguir cuado la variaza poblacioal es coocida o descoocida. Si a partir de la muestra aleatoria se determie ua variaza, ésta es la muestral, por lo tato lo correcto es utilizar u itervalo de cofiaza cosiderado la distribució t - Studet, si el tamaño de la muestra es superior a 40, etoces empleamos el T.L.C. para aproimar por distribució Normal.

15 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Itervalos de Cofiaza para ua Proporció Poblacioal Sea X, X,..., X ua m.a. () desde Familia Biomial (I B (, p)).el estimador de p sobre la base de la muestra es Pˆ = X. La distribució de Pˆ = X, para muestras grades (empleado el T.L.C), se puede aproimar por: Nota: Es ua aproimació útil pero o completamete satisfactoria, debe utilizarse co alguas recomedacioes etregadas e clases. U icoveiete de ésta aproimació para la costrucció de itervalos de cofiaza, es que la variaza del estimador depede del parámetro a estimar, lo cual o permite u despeje secillo, por lo que se decide estimar la variaza co los datos, co lo cuál se tiee ua doble aproimació: Co esta aproimació se obtiee la siguiete catidad pivotal: Z = (Pˆ - p) Pˆ (- Pˆ) N (0,) Z es catidad pivotal Luego dado (-α ), los valores de q y q que miimiza la logitud del itervalo so, como se observó ateriormete: Pˆ (- Pˆ) [ Pˆ Z α / p Pˆ + Z α / Pˆ (- Pˆ) ] = γ Luego el itervalo de cofiaza, del γ % para la proporció poblacioal es: IC (p):= [ Pˆ Z α / Pˆ (- Pˆ) ] Se puede apreciar que los itervalos de cofiaza ateriores está compuestos por u estimador putual, más ó meos catidad, esta catidad recibe el ombre de, error de estimació, que resultara útil para la determiació de tamaños de muestra.

16 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Itervalos de Cofiaza para la Variaza Poblacioal Como se habrá observado e itervalos de cofiaza para la media, eiste dos situacioes, depediedo si la variaza poblacioal coocida ó descoocida, siedo obviamete este último el caso más comú. Sea X, X,..., X ua m.a. () desde ua familia Normal (Y N ( µ, ), eiste dos posibilidades para la estimació de la variaza, la primera cuado la media poblacioal es coocida (caso etraño) y el segudo cuado la media poblacioal es descoocida. Ambas catidades pivotales se epresa respectivamete por: S ( -) S - I χ () I χ ( ) χ () Chi-cuadrado co grados de libertad (g.l.) χ ( ) Chi-cuadrado co g. l. dode: ( X S = i µ ) S ( X = i - - X) Como se puede apreciar de las gráficas, la distribució Chi-cuadrado o tiee la propiedad de simetría, por lo que tomar igualdad de probabilidades e las colas o coduce a itervalos de logitud míima, si embargo so ua buea aproimació cuado la muestra es grade. 3

17 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Cosiderado la catidad pivotal para el caso más realista, es decir, se descooce la media poblacioal, se obtiee: [ χ α / ( ) ( -) S - χ -α / ( )] = α χ [ α / ( ) ( -) S χ - α / ( ) ( -) S ] = α ( -) S [ χ ( ) - α / ( -) S ] = α χ α / ( ) Luego el itervalo del (-α )% de cofiaza para la variaza poblacioal está dado por: ( -) S IC( ):= [ χ ( ) - α / ; ( -) S ] χ α / ( ) APLICACIÓN 7.3 Etradas y Salidas de efectivo de u egocio. Las etradas () y salidas (y) semaales de efectivo de u egocio [e UF] so variables aleatorias. Los siguietes datos proporcioa los valores de e y durate 8 semaas. Supoga que 4

18 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares e y está ormalmete distribuidas. y y y y Defiir las variables asociadas al problema, es siempre el primer paso e el desarrollo de todo problema. X:=Etradas semaales e efectivo del egocio [UF] X N ( µ, Y:= Salidas semaales e efectivo del egocio [UF] Y N ( µ y, Datos : = 6,86 s = 0,75 = 8 y = 5, s y =,45 y = 8 Determiar itervalos del 95% de cofiaza para los parámetros. ) y ) I 95% C ( µ )= [ X t α / ( ) S ] I 95% C(. ) : [54,8 ; 70,90] Iterpretació: Co u 95% de cofiaza las etradas medias reales del egocio se ecuetra etre los límites 54,8 [UF] y 70,90 [UF]. I 95% C ( µ ) = [ Y t α / ( y ) y S y y ] I 95% C (. y ) = [43,5; 60,9] Iterpretació: Co u 95% de cofiaza las salidas medias reales del egocio se ecuetra etre los límites 43,5 [UF] y 60,9 [UF]. I 95% C ( ) = [ ( -) S χ α ( ) - / ; ( χ α / -) S ] I 95% C ( ) :[69,7 ; 797,90] ( ) Iterpretació: Co u 95% de cofiaza las variazas de las etradas medias reales del egocio se ecuetra etre los limites 69,7[UF] y 797,90 [UF]. y I 95% C ( ) = [ ( y -) S y χ - α / ( y ) ; ( y χ α / -) S y ] I 95% C ( y ) : [35,4 ; 934,6] ( ) y Iterpretació: Co u 95% de cofiaza las variazas de las etradas medias reales 5

19 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares del egocio se ecuetra etre los limites 35,44 [UF] y 934,6 [UF]. Determie mediate u itervalo del 90% de cofiaza la verdadera proporció de semaas dode se obtuvo pérdida. X: = Nº de semaas dode se obtuvo pérdida. X B (8, p) pˆ ( pˆ) pˆ N (p, ) 8 y y y y pˆ = I 90% C (p) = [ Pˆ Z α / Pˆ (- Pˆ) ] I 90% C(p) = [7,47% ; 58,4%] Iterpretació: Co u 90% de cofiaza la verdadera proporció de semaas dode el egocio tiee pérdida se ecuetra etre los límites 7,47% y 58,4%. Determie el ivel de cofiaza co el que se podría afirmar que la proporció de semaas dode hubo pérdidas se ecuetra etre los límites 7,86% y 57,86%. Notemos que L S L I = Pˆ + Z α / Pˆ (- Pˆ) Pˆ (- Pˆ) ( Pˆ Z α / ) Pˆ (- Pˆ) = Z α / Z α / = ( ) Z α / =.603 α = ( )! = 0,090 # = 89,0% Iterpretació: Co u 89,0% de cofiaza la verdadera proporció de semaas 6

20 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares dode el egocio tiee pérdidas se ecuetra etre los límites 7,86 % y 57,86%. APLICACIÓN 7.4 El especialista de mercadeo. U especialista e mercadeo de cierta uiversidad, asegura que la proporció de hombres que utiliza ua tarjeta de crédito para hacer compras superiores a US$0 es iferior a la proporció de mujeres que realiza este mismo tipo de pago. Como parte de u proyecto, el especialista, ecuesta e u cetro comercial local a 50 hombres y 00 mujeres respecto a sus hábitos de compra. De los hombres, 39 dijero que había utilizado este tipo de pago e el último mes, mietras que 84 mujeres admitiero hacer este mismo tipo de pago. X = Nº de mujeres que utiliza la tarjeta de crédito e compras superiores a US$0. X = Nº de hombres que utiliza la tarjeta de crédito e compras superiores a US$0. Supuestos: X B (00, p ) pˆ N (p, X B (50, p ) pˆ N (p, pˆ ( pˆ ) 00 pˆ ( pˆ ) 50 ) pˆ = 0, 84 ) pˆ = 0, 78 Itervalos del 90% de cofiaza para la proporció de mujeres, como para la de hombres que utiliza el medio de pago e cuestió so:. ]= I 90% C (p ) : [76,8% ; 9,9%] I 90% C (p ) : [66,5% ; 89,48%] Iterpretació: Co u 90% de cofiaza se puede decir que la verdadera proporció de mujeres que utiliza ua tarjeta de crédito para hacer compras superiores a US$0 se ecuetra etre los limites 76,8% y 9,9%, mietras que la verdadera proporció de hombres que utiliza ua tarjeta de crédito para hacer compras superiores a US$0 se ecuetra etre los limites 66,5% y 89,48%. Determie u itervalo del 95% de cofiaza para la verdadera proporció de persoas que o utiliza ua tarjeta de crédito para hacer compras superiores a US$0. X 3 :=Nº de persoas que o usa la tarjeta de crédito e compras superiores a US$0. pˆ 3( pˆ 3) X 3 B (50, p 3 ) pˆ 3 N (p 3, ) pˆ 3 = 0,8 50 Pˆ (- Pˆ ) I 90% C (p) = [ Pˆ i Z α / i i Pˆ (- Pˆ ) I 95% C (p) = [ Pˆ Z α / ] I 95% C(p 3 ) : [,84% ; 3,6%] Iterpretació: Co u 95% de cofiaza, se puede decir que la verdadera proporció persoas que o utiliza ua tarjeta de crédito para hacer compras superiores a US$0 se ecuetra coteida etre los límites,84% y 3,6%. 7

21 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares Determie el tamaño de muestra ecesario para que el error de estimació e la verdadera proporció persoas que o utiliza ua tarjeta de crédito para hacer compras superiores a US$0 o sea superior a 5% co u 95% de cofiaza. Pˆ (- Pˆ ) Z α / < 0.05 Z (- 0.8) < 0.05 Error de Estimació > Z ( 0.8) ( 0.05) 7 Iterpretació: El tamaño de muestra ecesario, para que co u 95% de cofiaza, el error de estimació de la proporció persoas que o utiliza ua tarjeta de crédito para hacer compras superiores a US$0 o sea mayor a 5%, es de al meos 7 persoas. Determie co u 96% de cofiaza, el tamaño de muestra ecesario para que la amplitud del itervalo para la proporció persoas que o utiliza ua tarjeta de crédito e compras superiores a US$0 o sea mayor al 8%. Pˆ (- Pˆ ) L S L I = Z α / < 0.08 Z (- 0.8) < 0.08 > Z 0.8 ( 0.8) ( 0.08) 390 Iterpretació: El tamaño de muestra ecesario, para que la amplitud del itervalo de la proporció persoas que o utiliza ua tarjeta de crédito e compras superiores a US$0 o sea mayor a 8%, es de u míimo de 390 persoas, co u 96% de cofiaza. APLICACIÓN 7.5 La decisió: AT&T ó Sprit. U cotador de ua corporació e los Estados Uidos, debe decidir si seleccioar a AT&T ó Sprit para maejar su servicio telefóico de llamadas a larga distacia de la empresa, El cotador seleccioó ua muestra al azar de las llamadas realizadas e cada ua de las compañías reportado la siguiete iformació: AT&T Sprit Número de llamadas 45 0 Costo promedio US$ 4.07 US$ 3.89 Desviació estádar US$ 0.97 US$

22 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares X = Costo de llamadas a larga distacia e la compañía AT&T. Y =: Costo de llamadas a larga distacia e la compañía Sprit. Supuestos: X N ( µ, ) Y N ( µ y, y ) Datos: = 4,07 [US$] s = 0,97 [US$] y = 3,89 [US$] s y = 0,85 [US$] = 45 = 0 y GRANDES Determie itervalos del 96% de cofiaza, para los parámetros de las variables defiidas. I 96% C ( µ ) = s Z α/ I 96% C( µ ) = [3,90 ; 4,4] Iterpretació: Co u 96% de cofiaza, el verdadero costo medio de llamadas a larga distacia e la compañía AT&T se ecuetra etre los limites 3,90 [US$] y 4,4 [US$]. I 96% C ( µ ) : y s y y Z α/ I 96% C( µ y ) = [3,7 ; 4,3] y Iterpretació: Co u 96% de cofiaza, el verdadero costo medio de llamadas a larga distacia co la compañía Sprit se ecuetra etre los limites 3,7 [US$] y 4,3 [US$]. I 96% C( ) : 4 s s Z α / I 96% C( ) : [0,7 ;,7] Iterpretació: Co u 96% de cofiaza, la verdadera variaza del costo de llamadas a larga distacia e la compañía AT&T se ecuetra etre los limites 0,7 [US$] y,7 [US$]. I 96% C ( y ) = 4 sy s y α Z / y I 96%C ( y ) = [0,5; 0,93] Iterpretació: Co u 96% de cofiaza, la verdadera variaza del costo de llamadas a larga distacia e la compañía Sprit se ecuetra etre los limites 0,5 [US$] y 0,93 [US$]. Determie u itervalo uilateral del 98% de cofiaza, que establezca ua 9

23 Uiversidad Técica Federico Sata María Departameto de Matemática Reato Allede Olivares cota superior para el verdadero costo medio de llamadas a larga distacias de AT&T. [ µ k] = 0.98 [ X µ X k] = [ [ ( X ( X [ µ ) µ ) ( X µ ) ( X k) ( X k) Z! ] = 0.0. ] = Z = ] = 0.0. (X - µ ) ( X k) = Z! [ X Z α µ ] = 0.0 [ µ X+ Z α ] = 0.0 (Zα = Z α ) [ µ X+ Z α ] = 0.98 I 98% C ( µ ) = S ; X + Z α I 98% C ( µ ) = ] ; 4,4] Iterpretació: Co u 98% de cofiaza se puede afirmar que, el costo medio de llamadas a larga distacia co la compañía AT&T se ecuetra bajo la cota de 4,4 [US$]. E térmios prácticos el costo o puede ser egativo. 30