Estimación e Intervalos de Confianza.

Transcripción

1 Capítulo 5 Estimació e Itervalos de Cofiaza. Co la ayuda de muestras aleatorias simples y co el uso de los estadísticos estamos ya e disposició de describir auque de maera somera, dos de los métodos fudametales de la Iferecia Estadística. E la primera secció utilizamos los estadísticos como estimadores de aquellos parámetros e los que estamos iteresados. Se cosidera el riesgo o error cometido como ua variable aleatoria y por tato tratamos de asegurar que el valor esperado de dicha variable sea lo más pequeño posible. E cuato a Itervalos de cofiaza diremos que la filosofía es más o meos la misma, quizás la úica diferecia esté e que para cotrolar el riesgo lo que se hace el miimizar la logitud del itervalo - al cual perteece el parámetro a estimar Estimadores y riesgo. Tratamos de perfilar alguas de las propiedades más iteresates de los estimadores así como de presetar los métodos más importates de costrucció de dichos estimadores Estimació y riesgo. Al estudiar cierto feómeo se platea ormalmete u modelo e el que itervedrá ua o varias variables. E geeral se supodra que iterviee ua sólamete. Digamos que ξ, cuya fució de distribució es F ξ (x), fu- 133

2 134 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. ció que se supoe depede de u parámetro descoocido θ (que a su vez puede ser uidimesioal o multidimesioal). Acerca de θ sólo sabemos que perteece a cierto cojuto Θ llamado espacio paramétrico. Para recordar esta depedecia etre F ξ y θ deotaremos por F θ (x) a dicha distribució. A cotiuació realizamos ua m.a.s. ξ 1,...ξ de distribució F θ (x) yapartir de esta pretedemos iferir o cojeturar sobre cual es el valor de θ. Para realizar esto se costruye los estimadores putuales, éstos se costruye de los estadísticos y como ya hemos dicho estimará o aproximará al parámetro θ. Es frecuete el que θ coicida co la esperaza o la variaza poblacioal del modelo (ver ejemplos más abajo). Hemos hablado de ua v.a. ξ que modeliza al feómeo, co ξ F θ ; se toma ua m.a.s. ξ 1,...ξ co la misma ley y fabricamos u estadístico θ = θ (ξ 1,...ξ ).θ es ua ueva v.a. que depede de la muestra y que elegido apropiadamete será el estimador de θ. Para realizar tal estimació se ha de realizar previamete la muestra y sustituir e θ :dadaξ 1,...ξ, ésta se realiza y se obtiee uos valores (uméricos, ya o so v.a.) x 1,...x que so llevados a θ para dar θ (x 1,...x ), aproximació o estimació del parámetro θ. A θ (x 1,...x ), resultate de sustituir los valores de la realizació de la m.a.s. x 1,...x e el estadístico θ = θ (ξ 1,...ξ ), se le llama realizació del estadísitico θ. Hemos cometado el elegir apropiadamete el estadístico, esto sigifica que la diferecia θ (x 1,...x ) θ se lo más pequeña posible. Debemos decir que e la mayoría de las estimacioes, e lugar de cosiderar esta diferecia se toma θ (x 1,...x ) θ 2. E todo caso ambas sirve - teóricamete - para medir el error. Hemos dicho teóricamete ya que θ o se cooce. No obstate, si lo que queremos es miimizar esta diferecia, el error, podemos cosiderar la v.a. Y = θ (ξ 1,...ξ ) θ 2, la cual represeta el error aleatorio - ótese que para cada realizació de la m.a.s. se obtiee ua aproximació del parámetro θ -. Bie, pues miimizar el error puede coseguirse e setido probabilístico, haciedo que el valor esperado (la media) de la v.a. Y sealomáspequeñoposible.e relació co esto veremos seguidamete alguas propiedades deseables para losestadísticoscolosquevamosarealizarlaestimació. Defiició 5.1 Diremos que θ es u estimador isesgado o cetrado de

3 5.1. ESTIMADORES Y RIESGO. 135 parámetro θ si E [θ ]=θ. Se dirá que θ es sesgado si o es isesgado y e este caso se defie el sesgo de θ como b (θ) =E [θ ] θ. Defiició 5.2 Sea θ = θ (ξ 1,...ξ ) el estimador y supogamos que E [θ (ξ 1,...ξ )] = θ + b (θ). Se defie el error cometido o riesgo de θ como R θ (θ) =E θ θ 2. Si teemos e cueta (??) vemosque R θ (θ) = E θ θ 2 = E θ E [θ ]+E[θ ] θ 2 = E θ E [θ ] 2 + E E [θ ] θ 2 = V [θ ]+E[b(θ)], lo que sigifica que el riesgo coicide co el error cometido por ua desviació cuadrática más el debido a u error de tipo sistemático. Por tato teemos: Proposició 5.1 Si θ es isesgado etoces R θ (θ) =V [θ ]. Teemos más aú, el hecho de ser isesgado implica que se produzca u riesgo meor al elimiar el error sistemático. Esto os coduce al cocepto de eficiecia: Defiició 5.3 Diremos que θ es u estimador eficiete si 1. E [θ ]=θ (es isesgado), y 2. θ posee míima variaza. La codició de eficiecia equivale a que la media del estimador coicide co el parámetro a estimar y su desviació cuadrática es míima (míimo error), i.e. ( E [θ ]=θ V [θ ] míima etre todos los estimadores cetrados.

4 136 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. La seguda afirmació quiere dice que si T es cualquier otro estadístico del cojuto de estadísticos U θ = {T = T (ξ 1,...ξ ):E [T ]=θ}, etoces V [T ] V [θ ], cualquiera que sea θ perteeciete al cojuto de sus posibles valores, cojuto que deotamos como Θ. Saber si u estadísitico es cetrado o o, es relativamete secillo, la cuestió más delicada es saber si su variaza es míima o o. Para esto teemos el siguiete criterio. Proposició 5.2 Si θ es isesgado (esto es, θ U θ )etoces V [θ ] 1 I ξ (θ), dode ξ es la distribució que sigue el modelo, " 2# I ξ (θ) =E θ (log f θ (ξ)), y f θ es la desidad asociada a ξ. 1 Por ede si la variaza de u estimador isesgado coicide co I ξ (θ) etoces tiee míima variaza y podemos decir que es eficiete. A la esperaza I ξ (θ) se la cooce co el ombre de catidad de iformació 1 de la v.a. ξ y I ξ es la deomiada cota de Fisher-Cramer-Rao. (θ) Ejemplo 5.1 Véase los ejercicios 124 y Obteció de estimadores. Los métodos más frecuetes para la obteció de estimadores so dos, el método de los mometos yeldelamáxima verosimilitud.

5 5.1. ESTIMADORES Y RIESGO. 137 Método de los mometos. Sea ξ v.a. co distribució F θ el modelo que estamos estudiado y ξ 1,..., ξ m.a.s. Supoemos que θ =(θ 1,..., θ k ) es el parámetro (k-dimesioal) a estimar (bastará co estimar cada ua de sus compoetes θ j. El método cosiste e lo siguiete: tomamos los mometos (poblacioales) α i = E ξ i, los mometos muestrales M i = 1 P j=1 ξi j yplateamoslas ecuacioes {α i = M i, i =1,..., k ; a cotiuació se tiee e cueta que α i = α i (θ 1,..., θ k ),i=1,...,k, yse resuelve el sistema de k ecuacioes y k icógitas, θ 1,..., θ k, cuya solució se expresará e la forma θ i = θ i (M 1,..., M k ), i =1,..., k. Segú el método de los mometos, los estadísticos θ i = θ i (M 1,..., M k ) obteidos así será los estimadores de los parámetros θ i, o lo que es lo mismo, el vector aleatorio θ =(θ 1 (M 1,...,M k ),..., θ k (M 1,..., M k )) será el estimador del parámetro θ =(θ 1,..., θ k ). Obsérvese que cuado se trata de estimar los k primeros mometos poblacioales, es decir θ =(α 1,..., α k ), el estimador obteido por el método de los mometos es isesgado. Ejemplo 5.2 Sea X U (0,θ) y X 1,..., X ua m.a.s.. Hallar u estimador del parámetro θ por el método de los mometos. Segú este método hemos de resolver M 1 = X = α 1 = = Z θ 0 Z θ 0 xf X (x) dx x 1 θ dx = θ 2, por tato el estimador pedido es θ P =2X = 2 i=1 X i.

6 138 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. Ejemplo 5.3 Sea X N (μ, σ) y X 1,..., X ua m.a.s.. Hallar u estimador del parámetro (bidimesioal) θ =(μ, σ) por el método de los mometos. Plateamos para ello el sistema M 1 = X = α 1 = μ M 2 = 1 X Xi 2 = α 2 = σ 2 + μ 2. i=1 De esto se sigue que μ = X y σ = p M 2 μ 2, co lo cual el estimador es θ = (μ,σ ) v = 1 X u X i, t 1 X Xi 2 X 2 i=1 i=1 Ã r! 1 = X, S2. E el cotexto del ejemplo aterior se puede demostrar que el estimador S 2 es cosistete e probabilidad para estimar a σ 2, es decir, que cuado elegimos S 2 para aproximar el valor del parámetro σ 2 se tiee que lím P S 2 σ 2 > ª =0 (5.1) para todo mayor que cero. La demostració de esto cosiste e utilizar la desigualdad de Markov (o de Tchevichev): P S 2 σ 2 > ª S o = P 2 σ 2 2 > 2 V [S2 ] = 2 2σ 4 ( 1) 2 ; para establecer esta desigualdad hemos teido presete que 1 S 2 X σ 1, 2 2 luego E 1S 2 = 1 y V 1S 2 =2( 1), y de estas dos igualdades σ 2 σ 2 se deduce que E [S 2 ]=σ 2 y V [S 2 ]= 2σ4 ( 1).

7 5.1. ESTIMADORES Y RIESGO. 139 Para termiar de demostrar (5.1) empleamos la coocida regla de sadwich, como 0 0 P S 2 σ 2 > ª 2σ 4 0 ( 1) 2 etoces lím P S 2 σ 2 > ª =0. Ejemplo 5.4 Sea X U (a, b) y X 1,..., X ua m.a.s.. Dar u estimador por el método de los míimos cuadrados para el parámetro (bidimesioal) θ =(a, b). Sabemos que E [X] = a + b 2 yque (b a)2 V [X] =. 12 Por tato el sistema a resolver es 1 1 X i=1 X i = a + b 2 X Xi 2 = i=1 (b a)2. 12 La solució es a = M 1 p 3(M 2 M1 2 ), b= M 1 + p 3(M 2 M1 2 ), por tato el estimador buscado es µ q q θ = M 1 3(M 2 M1 2 ),M 1 + 3(M 2 M1 2 ). Ejemplo 5.5 Sea X P (θ) y X 1,..., X ua m.a.s.. El estimador para θ por el método de los mometos es θ = X. Ejemplo 5.6 Sea X B (, p) y X 1,..., X ua m.a.s.. Supogamos que tato como p so parámetros descoocidos. El estimador de éstos por el método de los mometos es θ ( 1,..., X ) = ( (X 1,..., X ),p (X 1,..., X )) µ = M 1 M 2 M1 2 +1, M 1 M1 2 + M 1 M 2

8 140 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. Método de la máxima verosimilitud. Usado desde hace doscietos años resulta ser u método de gra aceptació. La descripció del mismo es la siguiete. Supogamos u modelo co la v.a. ξ modelizado y ξ F θ. Se supoe que ha ocurrido el suceso A, podemos escribir P θ (A). = fució de verosimilitud de θ para el suceso A -tambiése deota como L (θ, A) -; ótese que θ se etiede como ua variable y A es fijo. L (θ, A) idica etoces lo creíble que es cada θ e fució de su verosimilitud,odeotramaera,comoa ha ocurrido etoces el θ que hemos de elegir como aproximació de verdadero parámetro es aquél que haga máxima la probabilidad P θ (A). Así pues, diremos que θ es estimador de máxima verosimilitud de θ para el suceso A si L (θ,a)=máx L (θ, A) θ Θ Obviamete se tedrá que θ = θ (A). Veamos como se determia este estimador segú sea el feómeo de tipo discreto o cotiuo. 1.- Caso discreto. Al realizar ua muestra ξ 1,...,ξ se obtiee u cojuto de úmeros que llamamos A, A = {x 1,...,x }. Eotces la fució de verosimilitud es L (θ, A) = P θ (A) = P θ {X 1 = x 1,...,X = x } = P θ {X 1 = x 1 }...P θ {X = x } = Pθ {x 1 }...Pθ {x }. E ocasioes resultará a efectos de cálculo mucho más secillo ecotrar el máximo para log (L (θ, A)) que para L (θ, A), elθ obteido es el mismo para ambos. 2.- Caso cotiuo. E este caso el hecho coocido es el siguiete: se supoe que si ξ 1,..., ξ es ua muestra tal que ξ i (x i,x i + ), co pequeño, para i =1,...,. A la vista de esto se iteta maximizar las probabilidades P {ξ i (x i,x i + )} y esto se logra maximizado la desidad cojuta

9 5.1. ESTIMADORES Y RIESGO. 141 del vector aleatorio (ξ 1,..., ξ ). Por cosiguiete la fució de verosimilitud es L (θ, A) = f θ (x 1,..., x ) = f θ (x 1 )...f θ (x ). Ejemplo 5.7 Si ξ B(1,p), co p parámetro descoocido, ξ 1,...,ξ es ua m.a.s. y x 1,..., x es ua realizació de la misma, la fució de verosimilitud es dode s = P j=1 x j. L (p, (x 1,...,x )) = P (x 1 )...P (x ) = p x 1 (1 p) 1 x 1...p x (1 p) 1 x = p P j=1 x j (1 p) P j=1 x j = p s (1 p) s, 1. Si s =0etoces L (p, (x 1,..., x )) = (1 p) que es máximo cuado p =0, por tato e este caso p =0. 2. Si s = L(p, (x 1,..., x )) = p que es máximo cuado p =1, por tato e este caso p =1. 3. Si s (0,) si y sólo si L p (p, (x 1,..., x )) = 0 0=sp s 1 (1 p) s p s (1 p) s 1 ( s); P de esto se sigue que p = s = j=1 x j (la estimació de máxima verosimilitud) y que por tato el estimador de máxima verosimilitud es p = P j=1 ξ j = ξ. Ejemplo 5.8 Si ξ N(μ, σ), co θ =(μ, σ) parámetro descoocido, ξ 1,..., ξ es ua m.a.s. y x 1,...,x es ua realizació de la misma, la fució de verosimilitud es f θ (x 1,..., x ) = 1 e (x 1 μ)2 1 2σ 2... e (x μ)2 2σ 2 2πσ 2πσ = µ 1 2πσ exp µ P i=1 (x i μ) 2 2σ 2.

10 142 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. E lugar de maximizar esta fució lo hacemos co log (f θ (x 1,..., x )) i.e. co µ P 1 i=1 l θ (x 1,..., x )=log (x i μ) 2. 2πσ 2σ 2 Para calcular los máximos de esta fució de dos variables μ R y σ R + determiamos sus putos críticos y vemos si estos llevados al Hessiao da lugar a ua matriz defiida positiva. Los putos críticos los obteemos resolviedo el sistema l θ μ =0. l θ σ =0 Lasecuacioesso 0= 1 X σ (x 2 i μ) i=1 X 0= σ + (x, i μ) 2 i=1 σ 3 y los putos críticos resultates so μ = X i=1 x i y σ = s X (x i μ) 2 i=1. Uos cálculos más o meos secillos asegura que la matriz Hessiaa H (μ, σ) = 2 l θ μ 2 2 l θ μ σ 2 l θ σ μ 2 l θ σ 2 cuado (μ, σ) =(μ,σ ) es defiida positiva. Probamos co esto que s X (μ,σ i=1 )= ξ, (X i μ) 2 es estimador de máxima verosimilitud de (μ, σ). Coviee observar que existe otras situacioes para este mismo modelo depediedo de los parámetros que resulte descoocidos. Si μ es descoocida y σ es coocida etoces el parámetro a estimar es uidimesioal y segu el

11 5.1. ESTIMADORES Y RIESGO. 143 pricipio de máxima verosimilitud es μ = ξ (sedejacomoejercicio).cuado μ seacoocidayσ descoocida el estimador que resulta ser de máxima verosimilitud es s X σ i=1 = (X i μ) 2 (tambié se deja como ejercicio). Ejemplo 5.9 Sea ξ U(0,θ), co θ>0 parámetro descoocido y ξ 1,..., ξ es ua m.a.s.. Demos u estimador máximo verosimil para θ. La fució de verosimilitud a maximizar es L θ (x 1,..., x ) = f θ (x 1,..., x ) = f θ (x 1 )...f θ (x ) = 1 θ I [0,θ] (x 1 )... 1 θ I [0,θ] (x ) 1 = θ si 0 mí {x i }, máx {x i } θ 0 e el resto, co lo cual se aprecia que el máximo se alcaza e la regió e la que o es cero L θ (x 1,..., x ) yeestaregióvale 1, que para maximizarlo hemos de θ elegir θ lo más pequeño posible. Esto se logra tomado θ =máx {x i } ypor tato θ =máx {ξ i } es el estimador de máxima verosimilitud. Ejemplo 5.10 Si ξ B(, p), co θ =(, p) parámetro descoocido. Se sabe que =2ó 3 yquep =1/2 ó 1/3. No obstate supodremos que sólo os está permitido realizar ua m.a.s. de tamaño 1. Se pide e estas circustacias ecotrar el estimador de máxima verosimilitud para θ. Para poder aplicar el criterio de máxima verosimilitud hemos de teer e cueta la siguiete tabla de las probabilidades P (x 1 ): x (2, 1/2) (2, 1/3) (3, 1/2) (3, 1/3) prob. máx. 0 1/4 4/9 1/8 8/27 4/9 1 1/2 4/9 3/8 12/27 1/2 2 1/4 1/9 3/8 6/27 3/ /8 1/27 1/8,

12 144 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. así, si ocurre que la realizació de la m.a.s. ξ 1 es x =0, la máxima verosimilitud se alcaza co el par (, p) = (2, 1/2), para x = 1 la elecció será (, p) =(2, 1/2), Itervalos de cofiaza. E lugar de dar ua estimació directa del parámetro descoocido lo que haremos será cotruir u itervalo, I =[θ 1 (x 1,..,x ),θ 2 (x 1,.., x )], cuyos extremos so las realizacioes de dos estadísticos, θ 1 (ξ 1,.., ξ ) y θ 2 (ξ 1,..,ξ ), y tal que, co ua probabilidad alta tegamos la certeza de que el valor real de dicho parámetro esté e este itervalo y que la logitud del mismo sea lo más pequeña posible. Defiició 5.4 Sea θ 1 (ξ 1,.., ξ ) y θ 2 (ξ 1,.., ξ ) dos estimadores de θ. Diremos que I =[θ 1 (ξ 1,..,ξ ),θ 2 (ξ 1,.., ξ )] es u itervalo de cofiaza 1 α para θ si 1. θ 1 (x 1,.., x ) θ 2 (x 1,..,x ) para toda realizació x 1,.., x de la muestra, y 2. P {θ 1 (ξ 1,..,ξ ) θ θ 2 (ξ 1,.., ξ )} =1 α para todo θ Θ. Como ya se ha cometado uestro objetivo es que α sea pequeño co u itervaloomuygrade. Observemosqueuavezqueteemoselitervalo I =[θ 1 (ξ 1,.., ξ ),θ 2 (ξ 1,.., ξ )] y se realiza la muestra x 1,.., x etoces se geera u itervalo realizado θ 1 y θ 2, i =[θ 1 (x 1,..,x ),θ 2 (x 1,.., x )]. Siésteesdecofiaza 1 α etoces idicará que para 100 itervalos realizados (para lo cual ecesitaremos realizar 100 muestras) e u 1 α % de ocasioes el valor real del parámetro estará detro de dichos itervalos, mietras que sobre el resto o sabremos ada. Veamos ahora u método bastate eficaz e la costrucció de itervalos de cofiaza. Método de la catidad pivotal.

13 5.2. INTERVALOS DE CONFIANZA. 145 Defiició 5.5 Dada ua m.a.s. ξ 1,..., ξ co distribució F θ, diremos que el estadístico Q (θ, ξ 1,..., ξ ), que depede de ξ 1,..., ξ ydeθ, es ua catidad pivotal si tiee ua fució de distribució asociada que es idepediete de θ. El método para costruir el itervalo es el siguiete: damos q 1 y q 2,dos úmeros idepedietes de θ y Q (θ, ξ 1,...,ξ ) catidad pivotal tal que P {q 1 Q (θ, ξ 1,..., ξ ) q 2 } =1 α, y de esta igualdad hemos de pasar a cosiderar ua igualdad co la forma de la dada e (ii) de la Defiició 5.3, P {θ 1 (ξ 1,..., ξ ) θ θ 2 (ξ 1,..., ξ )} =1 α. Ejemplo 5.11 Si ξ N(μ, σ), co σ coocido y μ parámetro a estimar. Buscamos para éste u itervalo de cofiaza. Hemos de hallar ua catidad pivotal e la que esté ivolucrada ua m.a.s. de tipo N(μ, σ) y el parámetro μ. Para este caso tomamos Q (μ, ξ 1,..., ξ )= ξ μ σ/ N(0, 1). Busquemos ahora dos úmeros q 1 y q 2 tales que ½ P q 1 ξ μ ¾ σ/ q 2 =1 α, es decir P ª ξ q 2 σ/ μ ξ q1 σ/ =1 α, coloqueafaltadesaberquieessoq 1 y q 2 el itervalo será I = ξ σ/ q 2, ξ σ/ q 1. La logitud del itervalo es l = σ (q 2 q 1 ), ysehacemíimacuado tomamos q 1 = q 2 (ver Figura 1). Al úmero que co ua N(0, 1) deja a su izquierda ua probabilidad 1 α (oaladerechauaprobabilidadα) lo deotamos por Z α. Co esta omeclatura tedremos que q 2 = Z α/2 ypor tato el itervalo de cofiaza 1 α para μ es I = ξ Z α/2 σ/, ξ + Zα/2 σ/. por ejemplo, para α =0,00270 se tiee que Z α = 3 y co esta elecció de α ecotraríamos u itervalo de cofiaza 0,9973.

14 146 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. Figura 5.1: Elecció de los putos q i Ejemplo 5.12 Sea ξ N(μ, σ), co σ y μ descoocidos, pero siedo μ el parámetro a estimar. Damos para μ u itervalo de cofiaza. E esta ocasió o podemos utilizar la catidad pivotal del ejemplo aterior ya que σ es u parámetro descoocido. Ahora tomaremos como catidad pivotal a Q (μ, ξ 1,..., ξ )= ξ μ S/ t 1. Busquemos ahora dos úmeros q 1 y q 2 tales que ½ P q 1 ξ μ ¾ S/ q 2 =1 α. Se repite el proceso del ejemplo aterior, icluso e la determiació de los putos q 1 y q 2 ya que la aturaleza de las desidades de ua N(0, 1) yde ua t 1 es la misma. Al úmero que co ua t 1 deja a su izquierda ua probabilidad 1 α ( o la derecha ua probabilidad α) lo deotamos por t 1,α. Co esta omeclatura tedremos que q 2 = t 1,α/2 P ξ t 1,α/2 S/ μ ξ + t 1,α/2 S/ ª =1 α. Ejemplo 5.13 Si ξ N(μ, σ), co μ descoocidoperosiedoσ 2 el parámetro a estimar. Para este terecer caso tomamos como catidad a Los putos q i so: Q (μ, ξ 1,..., ξ )= ( 1) S2 σ 2 X 2 1. y q 1 = X 2 1,1 α 2 q 2 = X 1, 2 α, 2

15 5.2. INTERVALOS DE CONFIANZA. 147 resultado ser " I = ( 1) S 2, X 1, 2 α 2 # ( 1) S2 X 1,1 2 α 2 el itervalo de cofiaza 1 α para σ 2. Ejemplo 5.14 Puede darse la circustacia de o ecotrar ua catidad pivotal al querer estimar cierto parámetro θ, correspodiete a cierto modelo. Ua alterativa cosiste e cosiderar u estimador isesgado θ de θ y buscar u >0 de forma que P { θ θ < } =1 α. Para ajustar el se procede así: e lugar de tomar la igualdad tomamos u mayor o igual(mayor cofiaza) y usamos la desigualdad de Markov: P { θ θ < } = 1 P { θ θ } 1 V [θ ] 2 =1 α, por tato bastará co tomar tal que 1 V [θ ] =1 αpara dar co u 2 itervalo de cofiaza 1 α, auque este o sea de logitud míima. Ejemplo 5.15 E este ejemplo mostramos como co la aproximació que proporcioa el Teroema Cetral del Límite (TCL) se puede costruir u itervalo de cofiaza. Aalicemos esto co el Ejercicio 123. Se trata de u modelo descrito co la ayuda de ua v.a. ξ B(1,p), pparámetro a estimar. Aplicamos el TCL para asegurar que ξ N μ, σ/ dode μ = E [ξ] =p y σ 2 = V [ξ] =p(1 p). La catidad pivotal a usar es Q = ξ μ σ/ N(0, 1), pero el problema es que o coocemos a σ. Para seguir hemos de dar ua estimació de σ, bie calculado media muestral (que e este problema es 0.2) y haciedo σ 2 (0,2) (0,8), obierealizadolacuasivariazamuestral (realizado S 2 ), σ S 2. Co la primera estimació llegamos a que I = ξ Z α/2 σ/, ξ + Zα/2 σ/

16 148 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. es u itervalo de cofiaza 1 α para p 1. Ejemplo 5.16 E este ejemplo buscamos u itervalo de cofiaza para θ = μ 1 μ 2, siedo X N(μ 1,σ 1 ), Y N(μ 2,σ 2 ),X 1,...,X m.a.s. de X e Y 1,..., Y m m.a.s. de Y (ambas idepedietes). Se supoe que las variazas σ 2 i so coocidas. La catidad pivotal a usar es Q = X Y (μ1 μ 2 ) r σ σ2 2 m Losdetallessedejaparaellector. N(0, 1) Problemas del Capítulo V 1. La distacia ξ etre u árbol cualquiera y el árbol más próximo a él e u bosque sigue ua distribució co fució de desidad de probabilidad ( 2θx exp ( θx 2 ) si x 0 f ξ (x) = 0 e el resto (θ >0). Obteer el estimador de máxima verosimilitud de θ, supuesto que se realiza ua m. a. s. de tamaño. 2. Idem para f ξ (x) = ( x 2 exp ( x/θ) si x 0 2θ 3 0 e el resto 3. El coseo ξ del águlo co el que se emite los electroes e u proceso radiactivo es ua variable aleatoria co desidad de probabilidad ( 1+θx si x [ 1, 1] 2 f ξ (x) = 0 e el resto dode θ [ 1, 1]. Dada ua m.a.s. ξ 1,..., ξ, ecotrar el estimador de θ por el método de los mometos. 1 Tambié podría itetarse despejar p de P ½ ¾ ξ p q 1 q 2 =1 α. p(1 p)/

17 5.3. PROBLEMAS DEL CAPÍTULO V Ua variable aleatoria ξ tiee defiida su desidad segú las igualdades P ξ ( 1) = 1 θ 1 2,P ξ (0) = θ 1 + θ 2 2,Pξ (1) = 1 θ 2, 2 co θ 1,θ 2 (0, 1). Estimar el parámetro θ =(θ 1,θ 2 ) por el método de los mometos. 5. Idem para ( θx θ 1 si x [0, 1] f ξ (x) = 0 e el resto co θ>0. 6. Sea ξ 1,..., ξ ua m.a.s. de tamaño y cuya distribució viee defiida como P ξ i (x) =p(1 p) x 1, x =0, 1, 2,... para i =1, 2,..., (0 <p 1). Se pide a) Estimador de p por el método de los mometos. b) Estimador de p por el método de la máxima verosimilitud. (Ayuda: E [ξ i ]= 1 p.) 7. Idem co el caso e que ξ 1,..., ξ ua m.a.s. de tamaño y cuya distribució viee defiida por la fució de desidad ( e θ x si x [θ, + ] f ξ (x) = 0 e el resto (se supoe θ>0). 8. Sea la variable aleatoria ξ cuya fució de desidad de probabilidad es θ si x 1 f ξ (x) = x θ+1 0 e el resto, dode se supoe que θ>1. Dada ua muestra aleatoria simple de ξ y tamaño, ξ 1,...ξ, se pide:

18 150 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. a) Determiar u estimador del parámetro θ por el método de los mometos. b) Obteer u estimador para θ por el método de máxima verosimilitud. 9. Sea ξ ua variable aleatoria que modeliza a cierto feómeo. Se sabe que P {ξ = 1} = 1 θ 2,P{ξ =0} = 1 2,P{ξ =1} = θ 2, dode θ es cierto parámetro del que sólo se sabe que θ (0, 1). a) Dada ua m.a.s. ξ 1,..., ξ de la v.a. ξ, determiar el estimador de máxima verosimilitud del parámetro θ. b) Si se toma =50y se realiza la muestra obteiédose los resultados, x i : i : dode i es la frecuecia del dato x i (úmero de veces que aparece x i ), realizar ua estimació del parámetro θ usado para ello el método de la máxima verosimilitud. 10. Sea ua població modelizada co ayuda de la variable aleatoria ξ, de la que se sabe que su desidad de probabilidad es ½ x f ξ (x) = θ (θ +1) si x [0, 1] 0 e el resto, co θ u parámetro tal que θ > 1. Dada ua muestra aleatoria simple, hallar u estimador para θ empleado para ello el pricipio de máxima verosimilitud. 11. Deducir de maera razoada u itervalo de cofiaza para la variaza de ua població que se distribuye ormalmete y dode se supoe que la esperaza es descoocida. Aplica el resultado obteido al siguiete ejemplo: u metalúrgico ha hecho 4 determiacioes del puto de fusió del magaeso, 1269, 1271, 1263 y 1265 grados C. Tras valorar los resultados y los posibles errores decidió que la variaza habría de ser 1 ó 2. Es posible esta afirmació co los datos experimetales obteidos, supoiedo ormalidad y a u ivel de cofiaza del 95 %?

19 5.3. PROBLEMAS DEL CAPÍTULO V Sobre la base de la realizació de ua muestra aleatoria simple de 81 observacioes, los expertos de seguridad estimaro que el tiempo de reacció de los camioeros ate ua luz roja era, e media, 2 segudos, co ua cuasivariaza muestral de (0 0 60) 2, esto es P 144 i=1 x i 81 =2 y P 144 i=1 (x i 2) 2 80 =(0 0 60) 2. Se desea calcular u itervalo de cofiaza del 99 % para el tiempo medio de reacció: a) Haciedo la hipótesis de ormalidad y tomado como variaza poblacioal la cuasivariaza muestral. b) Haciedo hipótesis de ormalidad y supoiedo descoocida la desviació típica poblacioal. 13. Se sostiee la hipótesis de que la demada diaria (e barriles) de petróleo por parte de la Comuidad Ecoómica Europea (CEE) a los países árabes, posee ua desviació típica de 200, mietras que la de EEUU a este mismo grupo de países tiee como desviació típica 100. Se ha realizado ua muestra aleatoria simple de tamaño 125 para la demadadelacee,resultadoquelademadamediahasidode300 barriles. Tambié se ha realizado u muestreo aleatorio simple de tamaño 100 para la demada de EEUU, la media ha sido de 250. Supoiedo quelademadadiariadepetróleo(tatodelaceecomodeeeuu)está regida por ua ley de probabilidad ormal, elaborar co todo detalle u itervalo de cofiaza del 95 % para la diferecia de las demadas medias. Nota: se supoe que las demadas de petróleo por parte de EEUU y la CEE so idepedietes. 14. Ua població está represetada por ua variable aleatoria ξ, cuya fució de distribució es µ θ 1 1 si x>1, F ξ (x) = x 0 e el resto, y dode θ es u parámetro real positivo. Sea ua muestra aleatoria simple ξ 1,...,ξ perteeciete a dicha població. Se pide:

20 152 CAPÍTULO 5. ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA. a) Determiar la fució de desidad de probabilidad asociada a la variable aleatoria ξ. b) Ecotar u estimador del parámetro θ usado para ello el pricipio de máxima verosimilitud. c) Idem usado el método de los mometos. 15. Sea ξ ua variable aleatoria cuya fució de desidad es f ξ (x) = ( 2a x 2a 1 a 1 si x [0, 1], 1 a 0 e el resto. dode a es u parámetro del cual se sabe que es.positivo. Sea ξ 1, ξ 2,..., ξ ua muestra aleatoria simple de ξ. Se pide: a) Hallar u estimador de máxima verosimilitud para el parámetro a. b) Obteer por el método de los mometos u estimador para a. 16. Ua empresa desea determiar la proporció de clietes dispuestos a adquirir uo de sus productos. Estima que dicha proporció es 0,4 ó 0,5. Decidir e base al Pricipio de Máxima Verosimilitud, ua estimació de dicha proporció si después de realizar ua muestra aleatoria simple de tamaño 15 etre sus clietes poteciales, 6 de ellos afirmaro estar dispuestos a la adquirir y los 9 restates o estaba dispuestos a optar por dicho producto. 17. Sea la v.a. ξ cuya fució de desidad de probabilidad es ( 1 θ e x θ si x 0 f ξ (x) = 0 e el resto. a) Dada ua m.a.s. ξ 1,..., ξ de la v.a. ξ, determiar por el método de máxima verosimilitud u estimador del parámetro θ. b) Es isesgado el estimador obteido e el apartado aterior? c) Cuál es el riesgo para este estimador?

21 5.3. PROBLEMAS DEL CAPÍTULO V Sea ua v.a. ξ cuya desidad de probabilidad es ½ (θ +1)x θ si x (0, 1) f (x) = 0 e el resto, co θ cierto parámetro descoocido del que sólo se sabe que θ> 1. Dada ua muestra aleatoria simple ξ 1,ξ 2,...,ξ se pide: a) U estimador de θ por el método de la máxima verosimilitud. b) U estimador de θ por el método de los mometos.