4.- Aproximación Funcional e Interpolación
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- Aarón Alarcón Espejo
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1 4- Aproximació Fucioal e Iterpolació 4 Itroducció Ua de las mayores vetajas de aproximar iformació discreta o fucioes complejas co fucioes aalíticas secillas, radica e su mayor facilidad de evaluació y maipulació Las fucioes de aproximació se obtiee por combiacioes lieales de elemetos de familias de fucioes deomiadas elemetales E geeral tedrá la forma: a g ( x + a g ( x + + a g ( x e dode a i, i, so costates por determiar y g i (x, i fucioes de ua familia particular Los moomios e x (x, x, x, costituye la familia o grupo más empleado; sus combiacioes geera aproximacioes del tipo poliomial a + a x + a x + + a x El grupo coocido como fucioes de Fourier, se x, cos x, se x, cos x,, Al combiarse liealmete, geera aproximacioes del tipo a + ai cosix + i i b seix i El grupo de fucioes expoeciales,e x,e x, Tambié puede usarse del modo siguiete i a i e ix De estos tres tipos de aproximacioes fucioales, las más comues por su facilidad de maejo e evaluacioes, itegracioes, derivacioes, etc, so las aproximacioes poliomiales Sea ua fució f(x dada e forma tabular Putos X x x x x f(x f(x f(x f(x f(x Tabla 4
2 Para aproximar a f(x por medio de u poliomio de tipo 4, se aplica alguo de los criterios siguietes: el del ajuste exacto o el de míimos cuadrados La técica del ajuste exacto cosiste e ecotrar ua fució poliomial que pase por los putos dados e la tabla El método de míimos cuadrados cosiste e hallar u poliomio que pase etre los putos y que satisfaga la codició de miimizar la suma de las desviacioes (di elevadas al cuadrado; es decir, que se cumpla: ( i d i míimo Cuado la iformació tabular de que se dispoe es aproximada hasta cierto úmero de cifras sigificativas, por ejemplo las tablas de logaritmos o de fucioes de Bessel, se recomieda usar ajuste exacto E cambio si la iformació tiee errores cosiderables, como e el caso de datos experimetales, o tiee setido ecotrar u poliomio que pase por esos putos sio más bie que pase etre ellos; etoces, el método de míimos cuadrados es aplicable Ua vez que se obtiee el poliomio de aproximació, éste puede usarse para obteer putos adicioales a los existetes e la tabla, mediate su evaluació, lo que se cooce como iterpolació Tambié puede derivarse o itegrarse a fi de obteer iformació adicioal de la fució tabular A cotiuació se describe distitas formas de aproximar co poliomios obteidos por ajuste exacto y su uso e la iterpolació 4 Aproximació poliomial simple Supógase que se tiee las siguietes tablas Putos T( C P(atm Tabla 4 Temperatura de ebullició de la acetoa a diferetes presioes Putos 3 T( C P(atm 5 4 Tabla 43 Temperatura de ebullició de la acetoa a diferetes presioes Supógase que sólo se tiee la seguda tabla (43 y se desea calcular la temperatura de ebullició de la acetoa a atm de presió Ua forma muy comú de resolver este problema es sustituir los putos ( y ( e la ecuació de la líea recta: p(x a + a x, de tal modo que resulta dos ecuacioes co dos icógitas que so a y a Co la solució del sistema se cosigue ua aproximació de primer grado, lo que permite efectuar iterpolacioes lieales; es decir se sustituye el puto ( e la ecuació de la líea recta y se obtiee 565 a + *a y al sustituir el puto (
3 3 a + 5*a Sistema que al resolverse da a 4375 y a 45 Por lo tato, estos valores geera la ecuació p(x x La ecuació resultate puede emplearse para aproximar la temperatura cuado la presió es coocida Al sustituir la presió x atm se obtiee ua temperatura de 76 C A este proceso se le cooce como iterpolació Gráficamete la tabla 43 puede verse como ua serie de putos (, (, ( y (3 e u plao P vs T, e dode si se ue co ua líea los putos ( y (, por búsqueda gráfica se obtiee T 76 C, para P atm E realidad, esta iterpolació sólo ha cosistido e aproximar ua fució aalítica descoocida [Tf(P dada e forma tabular por medio de ua líea recta que pasa por los putos ( y ( Si se quisiera ua aproximació mejor al valor verdadero de la temperatura buscada, podría uierse más putos de la tabla co ua curva suave (si picos, por ejemplo tres (, ( y ( y gráficamete obteer T correspodiete a P atm Aalíticamete el problema se resuelve al aproximar la fució descoocida [Tf(P co u poliomio que pase por los tres putos (, ( y ( Este poliomio es ua parábola y tiee la forma geeral ( x a + a x a p + x Dode los parámetros a, a y a se determia sustituyedo cada uo de los tres putos e la ecuació aterior es decir 565 a + a + a 3 a 8 a + a 5 + a 5 + a + a Al resolver el sistema se obtiee A 3985, a75, a-548 De tal modo que la ecuació poliomial queda ( x x x p 548 Y puede emplearse para aproximar algú valor de la temperatura correspodiete a u valor de presió Por ejemplo si x atm, etoces ( ( 548( 7 C T p
4 La aproximació a la temperatura correcta es obviamete mejor e este caso Obsérvese que ahora se ha aproximado la fució descoocida [Tf(P co u poliomio de segudo grado (parábola que pasa por los tres putos más cercaos al valor buscado E geeral, si se desea aproximar ua fució co u poliomio de grado, se ecesita + putos, sustituidos e la ecuació poliomial de grado : p ( x a + ax + ax + + ax Geera u sistema de + ecuacioes lieales e las icogitas ai, i,,, Ua vez resuelto el sistema se sustituye los valores de ai e la ecuació co lo cual se obtiee el poliomio de aproximació poliomial simple Por otro lado, como se dijo al pricipio de este capítulo, puede teerse ua fució coocida pero muy complicad, por ejemplo f o f ( x kxl x + x m x ( x si x c x m m La cual coviee, para propósitos prácticos, aproximar co otra fució más secilla, como poliomio El procedimieto es geerar ua tabla de valores mediate la fució origial y a partir de dicha tabla aplicar el método descrito arriba 43 Poliomios de Lagrage El método de aproximació poliomial requiere la solució de u sistema de ecuacioes algebraicas lieales que, cuado el grado del poliomio es alto, puede presetar icoveietes Existe otros métodos de aproximació poliomial e que o se requiere resolver u sistema de ecuacioes lieales y los cálculos se realiza directamete, etre éstos se ecuetra el de aproximació poliomial de Lagrage Se parte uevamete de ua fució descoocida f(x dada e forma tabular y se asume que u poliomio de primer grado puede escribirse: pxa x x a x x dode x y x so los argumetos de los putos coocidos [x,f(x, [x,f(x y a y a so dos coeficietes por determiar Para ecotrar el valor de a, se hace x x e la ecuació aterior que al despejar da : a px x x f x x x y para hallar el valor de a, se sustituye el valor de x co el de x, co lo que resulta
5 a px x x f x x x de tal modo que al sustituir las ecuacioes os queda px f x x x x x f x x x x x o e forma más compacta p xl x f x L x f x e dode L x x x x x y L x x x x x de igual maera, u poliomio de segudo grado puede escribirse p xa x x x x a x x x x a x x x x de dode x, x y x so los argumetos correspodietes a los tres putos coocidos [x,f(x, [x,f(x y [x,f(x ; los valores de a, a y a se ecuetra sustituyedo x x, x x y x x respectivamete, e la ecuació aterior para obteer: f x a x x x x, a f x x x x x y a f x x x x x Cuyo remplazo e dicha ecuació geera el siguiete poliomio p xl x f x L x f x L x f x dode: L ( ( x x ( x x x, ( ( x x ( x x L x y L ( x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x Por iducció el lector puede obteer poliomios de tercer, cuatro o -ésimo grado; este último queda como se idica a cotiuació ( x L ( x f ( x + L ( x f ( x + L ( x f ( x p + Dode ( ( x x ( x x ( x x L x x x x x x x ( ( (
6 L L ( x ( x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x ( x x que e forma más compacta y útil para programarse quedaría p ( x L ( x f ( x dode i x x L i x j j, j x i x j i i Al combiarse liealmete co f(x, los poliomios L i (x, deomiados poliomios de Lagrage, geera ua aproximació poliomial de Lagrage a la iformació dada e forma tabular 44 Diferecias Divididas Por defiició de derivada e el puto x de ua fució aalítica f(x se tiee f ' xlim x x o f x f x x x Si embargo cuado la fució es defiida de forma tabular la ecuació 4x o se puede aplicar E este caso la derivada solo puede obteerse de maera aproximada Por ejemplo si se desea la derivada e el puto x, tal que x < x < x, etoces esta se puede obteer a traves de la siguiete ecuació: f ' x f x f x x x, x < x < x El lado derecho de 4x se cooce como la primera diferecia dividida de f(x respecto a los argumetos x y x, y se deota geeralmete por: f [ x, x f x f x x x La relació etre la primera diferecia dividida y la primera derivada queda establecida por el teorema del valor medio f x f x x x f ', ξ (x, x Siempre y cuado f(x satisfaga las codicioes de aplicabilidad de dicho teorema
7 Para obteer aproximacioes a derivadas de orde más alto, se usa uevamete el cocepto de diferecias divididas Así la seguda diferecia dividida quedaria como: f [ x, x, x f [ x x f [ x x,, x x La tercera diferecia dividad como: f [ x, x, x, x 3 f [ x x x f [ x x x,, 3,, x 3 x De esta maera la diferecia dividida de orde i es: f [ x, x, x,, x i f [ x, x,, x i f [ x, x,, x i x i x De aquí se puede observar que: a Se requiere i + putos b El umerador es la resta de dos diferecias de orde i - y el deomiador es la resta de los argumetos o comues e el umerador 45 Aproximació poliomial de Newto Sea f(x ua fució dada e forma tabular: Putos X x x x x f(x f[x f[x f[x f[x Se desea aproximar a f(x por medio de u poliomio de grado uo que pase por los putos ( y ( Dicho poliomio puede ser represetado por: pxa a x x ev dode x es la abscisa de puto ( y a y a so costates por determiar Para ecotrar el valor de a se hace x x de dode a p(x f[x y a fi de ecotrar el valor de a se hace x x, de dode a (f[x f[x /(x x o sea la primera diferecia dividida f[x, x Al sustituir los valores co estas costates e la ecuació aterior queda: p x f [ x x x f [ x, x O sea u poliomio de primer grado e térmios de diferecias divididas Si se desea aproximar f(x por u poliomio de grado, etoces se requiere tre putos (, ( y (, y p(x tiee la forma: p xa a x x a x x x x
8 De dode x y x vuelve a ser las abscisas de los putos ( y ( y a, a y a so costates por determiar Procediedo como e el caso aterior se tiee: si x x, si x x, a p x f [ x a f [ x f [ x x x f [ x, x si x x, a f [ x f [ x x x f [ x f [ x x x x x x x Al desarrollar algebraicamete el umerado y el deomiador de a se llega a a f [ x f [ x x x f [ x f [ x x x x x f [ x, x, x Que es la seguda diferecia dividida respecto a x, x y x Co la sustitució de estos coeficietes e la ecuació aterior se obtiee p x f [ x x x f [ x, x x x x x f [ x, x, x Que es u poliomio de segudo grado e térmios de diferecias divididas Por iducció se establece que e geeral para u poliomio de grado e la forma p xa a x x a x x x x a x x x x x x Y que pasa por los putos (, (, (,, (; los coeficietes a, a,, a está dados por: a f [ x a f [ x, x a f [ x, x, x a f [ x, x, x,, x Esta arpoximació poliomial se cooce como aproximació poliomial de Newto, la cual se puede esprexar siteticamete como
9 p x k k a k x x i i
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