Mó duló 21: Sumatória

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1 INTERNADO MATEMÁTICA 16 Guía del estudiate Mó duló 1: Sumatória Objetivo: Coocer y aplicar propiedades para el cálculo de sumatorias. Para calcular alguas sumatorias es ecesario coocer sus propiedades de modo que ua expresió del tipo i pueda desarrollarse si la ecesidad de sumar cada uo de los térmios. Para este fi se preseta a cotiuació las propiedades básicas de sumatoria co alguas demostracioes. 1. Suma y resta de sumatorias (a i ± b i ) = a i ± b i Demostració: Sólo se probará para la suma. Por defiició de sumatoria se tiee (a i + b i ) = (a 1 + b 1 ) + (a + b ) + (a 3 + b 3 ) + + (a + b ) = (a 1 + a + + a ) + (b 1 + b + + b ) = a i + b i (Reagrupado térmios) (Reescribiedo como sumatoria) Observació: La demostració para la resta es aáloga. 1

2 A cotiuació alguos ejemplos: 1. (4i i) = 4i i. 300 ( ( 1)i + 3 i ) = ( 1)i i i i 5 3. Utilizado la propiedad 1 dos veces: ( 1 p p + 3 p ) = (1 p p ) + 3 p = p p + 3 p Actividad Descompoer la siguiete sumatoria e tres sumatorias: 1301 ( 1 k 5k k ). Producto por u escalar Si k R etoces k a i = k a i Demostració: Por defiició de sumatoria se tiee ka i = ka 1 + ka + ka ka = k(a 1 + a + a a ) = k a i (Factorizado por k) (Reescribiedo e otació Σ)

3 A cotiuació alguos ejemplos: ,4 i = 5,4 i = 5 3 = 5 3 =1 =1 =1 3. Utilizado la propiedad 1 y simultáeamete 13 (k + 1 k ) = 13 (k + 1 k ) = 13 ( k + 1 ) = 13 k k k Actividad Descompoer la siguiete sumatoria utilizado la propiedad 1 y : 16 ( 4 k + k ) 3. Descomposició de sumas Para 0 < p < para p N. p a i = a i + a i i=p+1 3

4 Demostració: Por defiició de sumatoria se tiee a i = a 1 + a + + a = a 1 + a + + a p 1 + a p + a p a = (a 1 + a + + a p 1 + a p ) + (a p a ) p = a i + a i i=p+1 (Para algú 0 < p < ) (Agrupado térmios) (Reescribiedo como sumatoria) A cotiuació alguos ejemplos: 1. Para p = ( 1) i = ( 1) i + ( 1) i i= k + 3 k + 3 k k=4 k=9 = 3 k Actividad Descompoer e tres la siguiete sumatoria (utilice el ídice p que usted desee): 00 k 17 4

5 4. Propiedad del reloj q q t a i = a i+t i=p i=p t E geeral esta propiedad es utilizada para trasformar ua sumatoria de ídice cualquiera e 1 para poder calcular su valor juto a otra propiedad que se verá más adelate. A cotiuació su demostració. Demostració: Expadiedo la seguda sumatoria por defiició se obtiee: q t a i+t = i=p t a (p t)+t + a (p t+1)+t + a (p t+)+t + + a (q t)+t = a p + a p+1 + a p+ + + a q q = a i i=p (Reescribiedo como sumatoria) A cotiuació alguos ejemplos dode se trasforma sumatorias de ídice iferior cualquiera a ua de ídice igual a 1: i = (i + 4) = (i + 4) i=5 i= k k + 4 = (k + 99) k + 99 = (k + 99) + 4 k m m ( 1) i = ( 1) i+m = ( 1) i+m +m +m m 5

6 4. Utilizado todas las propiedades vistas hasta el mometo: i 3 = (i + ) 3 = (i + ) 3 i=3 i=3 = (i 3 + 6i + 1i + 8) = i 3 + 6i + 1i + 8 = i i + 1 i (Propiedad del reloj) (Desarrollo de cubo de biomio) (Suma de sumatorias) (Producto por escalar) Actividad 1. Utilizar la propiedad del reloj para que la siguiete sumatoria comiece desde j = (j + 4) j=5. Utilizar todas las propiedades vistas hasta el mometo para trasformar la siguiete sumatoria e suma de sumatorias que comiece desde k = k 6 6

7 Ua forma alterativa de hacer que el ídice iferior de ua sumatoria comiece desde 1 es utilizar diferecia de sumas. 5. Diferecia de sumatorias p 1 a i = a i a i i=p Demostració: Expadiedo la parte derecha de la igualdad por defiició se obtiee: p 1 a i a i = (a 1 + a + + a p 1 + a p + + a ) (a 1 + a + + a p 1 ) = (a 1 a 1 ) + (a a ) + + (a p 1 a p 1 ) + a p + + a = a p + + a = a i i=p Alguos ejemplos a cotiuació: i = i i k = k k + 1 7

8 Actividad Utilizar diferecia de sumatorias para cada expresió: 14 (j 3 + 1) j=5 100 i 0 Hasta el mometo sólo se ha revisado propiedades de sumatoria, las cuales os ayuda a reestructurar ua sumatoria, si embargo, igua de estas propiedades os idica cómo calcular ua sumatoria si la ecesidad de desarrollarla y sumar térmio a térmio. A cotiuació las fórmulas eseciales para el cálculo de ua sumatoria: 6. Fórmulas de cálculo de sumatorias 1 = i = ( + 1) i = ( + 1)( + 1) 6 i 3 = ( + 1) A cotiuació se deducirá las primeras dos fórmulas: 1 = veces = 1 = Para la seguda fórmula utilizamos el procedimieto que e teoría utilizó Gauss, para ello descompoemos la sumatoria como suma de los primeros térmios: i = ( ) + ( 1) + Nuevamete descompoemos la sumatoria pero esta vez comezado desde el último térmio: i = + ( 1) + ( )

9 Sumado estas dos expresioes obteemos lo siguiete: i = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) veces Lo cual es equivalete a i = ( + 1) Fialmete despejado la sumatoria obteemos el resultado deseado: i = ( + 1) Para deducir las otras fórmulas se realiza u procedimieto similar pero ligeramete más complejo. Por el mometo se asumirá que so ciertas. A cotiuació alguos ejemplos: Ejemplo 1 Calcular la sumatoria defiida por 00 ( + i) Solució: Para calcular la sumatoria dada primero es ecesario desarrollar el cuadrado de biomio y luego utilizar propiedades como sigue a cotiuació: 00 ( + i) = (4 + 4i + i ) Utilizado la propiedad 1 etoces = i + i

10 Utilizado la propiedad se obtiee = i + i Utilizado las fórmulas de sumatoria 00 (00 + 1) = ( ) + Reduciedo esta última expresió se obtiee el resultado = (00 + 1) ( ) 6 Ejemplo Calcular la sumatoria dada 5 k k=6 Solució: Puesto que la sumatoria comieza desde k = 6 e este caso, para aplicar las fórmulas primero se debe aplicar la propiedad del reloj o bie diferecia de sumas. Aplicado la propiedad del reloj se obtiee: k = (k + 5) k=6 k=6 5 = (k + 5) = k + 5 = k = ( + 1) + 5 =