Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......

Transcripción

1 1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros a11, a1,..., a m so, geeralmete, coocidos y se llama coeficietes. Los úmeros b1, b,..., b m so tambié coocidos y se llama térmios idepedietes. Los úmeros x1, x,..., x so descoocidos y se llama icógitas. Mietras o digamos otra cosa supodremos que todos los úmeros ateriores so reales. Obsérvese además que todas la ecuacioes lieales so de primer grado. 9x1 4x x3 x4 5 Por ejemplo, x1 x3 8x4 0, es u sistema de 3 ecuacioes lieales co 4 icógitas. 6x x3 E el resto del tema cuado hablemos de sistemas os referiremos a sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas.. Clasificació de los sistemas lieales Dado u sistema de ecuacioes lieales, se llama solució de dicho sistema a u cojuto de úmeros: 1,,..., tales que al sustituir e las igualdades x 1 por 1, x por,, x por, dichas igualdades se cumple efectivamete. Puede ocurrir que u sistema tega úica solució, que o tega igua o que tega ifiitas. Por ejemplo: x1x 7 El sistema tiee ua úica solució, que es x1 3, x (compruébalo). x1 5x 4 x13x 5 El sistema o tiee igua solució (iteta resolverlo y verás como llegas a u absurdo o x1 6x 6 cotradicció). 4x13x 5 El sistema tiee ifiitas solucioes, tales como x1, x 1, x1 5, x 5, 8x16 x 10 x1 1, x 3, etcétera. Todas las solucioes de este sistema puede obteerse dado a todos los valores reales posibles e la expresió x1 3, x 1 4 la cual se llama solució geeral del sistema. Segú el úmero de sus solucioes los sistemas se clasifica e compatibles (si tiee algua solució) e icompatibles (si o tiee igua solució). A su vez los sistemas compatibles se clasifica e determiados (si tiee solució úica) e idetermiados (si tiee ifiitas solucioes). Por otro lado, dos sistemas de ecuacioes lieales se dice equivaletes cuado tiee las mismas solucioes. 3. Matriz de los coeficietes y matriz ampliada Dado u sistema de m ecuacioes co icógitas como el de expresió (1) llamaremos matriz de los coeficietes A y matriz ampliada A ', respectivamete, a las matrices siguietes: a11 a1... a1 a11 a1... a1 b1 a1 a... a A a1 a... a b A' am1 am... am am1 am... am bm 1

2 4. Regla de Cramer a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b Dado u sistema de ecuacioes lieales co icógitas, si el determiate de... a1x1 ax... ax b a a... a la matriz de los coeficietes, y su solució es: A a a... a 1... a a... a 1, es distito de cero, el sistema es compatible determiado, b a... a a b... a a a... b b a... a a b... a a a... b b a... a a 1 b... a a 1 a... x 1 ; x ;... ; x A A A Por ejemplo, el sistema de tres ecuacioes co tres icógitas porque 1 3 A Su solució es: b x y 3z 1 3x y 7z 0, es compatible determiado 5x 4y z x ; y 3 ; z Observa que la regla de Cramer permite el cálculo de cualquier icógita si ecesidad de calcular previamete las demás. 5. Teorema de Rouché-Frobeius a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b Sea u sistema de m ecuacioes lieales co icógitas y sea tambié... am1x1 amx... amx bm a11 a1... a1 a11 a1... a1 b1 a1 a... a A a1 a... a b y A' la matriz de los coeficietes y la matriz ampliada, am1 am... am am1 am... am bm respectivamete, asociadas al sistema. Llamemos r al rago de la matriz A. Etoces: 1) Si rago de A rago de A ', el sistema es icompatible. ) Si rago de A rago de A ', el sistema es compatible. Además a) Si rago de A rago de A ' y r, el sistema es compatible determiado (solució úica). b) Si rago de A rago de A ' y r, el sistema es compatible idetermiado (ifiitas solucioes). E este caso se puede expresar r icógitas e fució de las r restates. Al úmero r se le llama grado de libertad del sistema.

3 5.1. Alguos ejemplos secillos de aplicació del Teorema de Rouché-Frobeius Dado el sistema 3 5 A' orde de A distito de cero: x3y 5 x y, la matriz de los coeficietes es 3x y 6 3 A y la matriz ampliada es. Es fácil ver que r( A) ( r( A ) es, simbólicamete, rago de A) pues hay u meor de Además ra ( ') 3 pues Etoces r( A) r( A') y, por el teorema de Rouché-Frobeius, el sistema es icompatible. 3x y 5z t E el sistema x y z t 3 x y 3z t Como teemos que A y A' , r r( A) r( A') 3 4, del teorema de Rouché-Frobeius se deduce que el sistema es compatible idetermiado (ifiitas solucioes). Como su grado de libertad es r 43 1, etoces tres de las icógitas se expresará e fució de ua restate. Como el meor distito de cero que hemos escogido para calcular el rago está formado por las tres primeras columas, tomaremos como icógita libre la última, que pasaremos al segudo miembro, y aplicaremos la regla de Cramer. Es decir si 3x y 5z llamamos t, el sistema se puede escribir así: x y z 3, cuyas solucioes so: x y 3z x 1 ; y 10 3 ; z x y z x y z Por último, e el sistema, teemos que A y A'. E x y z x y 5z este caso ra ( ) 3 pues y ra ( ') 3 ya que 0 (compruébalo) Así, r( A) r( A') 3, co lo que el sistema es compatible determiado (solució úica). Para resolverlo podemos elimiar la última ecuació pues, por ser ra ( ') 3, depederá liealmete de las demás. Utilizado la regla de Cramer las solucioes so: x 3 1, y 7 1, z 3 4 (compruébalo tambié). 3

4 6. Sistemas lieales homogéeos Decimos que u sistema de ecuacioes lieales es homogéeo cuado todos los térmios idepedietes so ulos. U sistema homogéeo siempre tiee al meos ua solució, x1 x x3... x 0, que llamaremos solució trivial. U teorema importate sobre sistemas lieales homogéeos es el siguiete: Cosideremos u sistema homogéeo de m ecuacioes co icógitas, y sea r el rago de la matriz de los coeficietes. Etoces: Si r el sistema es compatible determiado y, cosecuetemete, la úica solució es la trivial. Si r el sistema es compatible idetermiado y tiee ifiitas solucioes, además de la trivial. x y z t 0 Por ejemplo, el sistema homogéeo x 3y z 8t 0 tiee ifiitas solucioes distitas de la trivial pues x 7y z 1t 0 el rago r de la matriz de los coeficietes cumplirá r 3 y como 4, os ecotramos e el segudo de los casos ateriores ( r ). x y 4z 0 x y z 0 Si embargo, e el sistema homogéeo, el rago de la matriz de los coeficietes x y z 0 5x 3y z A vale 3 pues hay u meor de orde 3 distito de cero: , y como 3, se tiee que r, co lo que el sistema sólo tiee la solució trivial. U caso particular del teorema aterior se da cuado el sistema homogéeo tiee el mismo úmero de ecuacioes que de icógitas: U sistema homogéeo de ecuacioes co icógitas tiee solucioes o triviales si y sólo si el determiate de la matriz de los coeficietes es ulo. x y z Por ejemplo, el sistema x y z 0 tiee úicamete la solució trivial ya que x y z U caso todavía más particular es el de los sistemas homogéeos de tres ecuacioes co tres icógitas: a11x a1 y a13 z 0 a1x a y a3z 0. Supogamos que r( A), es decir, que el determiate de la matriz de los coeficietes a31x a3 y a33z 0 a11 a1 es ulo y que, ordeadas coveietemete las ecuacioes si fuera ecesario, 0. Etoces es fácil a a 1 demostrar que la solució geeral del sistema viee dada por la proporcioalidad siguiete: x y z a1 a13 a11 a13 a11 a1 a a a a a a x y 4z Para verlo vamos a resolver el sistema x 5y z 0. Se tiee que y que x 13y 5z x y z x y z Etoces. Igualado a : x 19, y 6, z

5 7. Discusió de sistemas de ecuacioes lieales Es corriete que, dado u sistema de ecuacioes lieales, alguo o alguos de los coeficietes o de los térmios idepedietes sea descoocidos y depeda de uo o más parámetros. Discutir u sistema de ecuacioes depediete de uo o más parámetros es idetificar para qué valores de los parámetros el sistema es compatible, distiguiedo los casos e que es determiado o idetermiado. Es posible discutir sistemas de ecuacioes lieales utilizado el método de Gauss. Veamos cómo hacerlo co la ayuda de los determiates. Lo mejor es hacer u ejemplo. x y z 1 Clasificar, e fució del parámetro m, el sistema de ecuacioes x3y 1. Resuélvelo, si es x y mz m 3 posible, para m 7. (PAEG UCLM Septiembre 001. Propuesta B. Ejercicio úmero 3) La matriz de los coeficietes es A 3 0, cuyo determiate es A 3 0 m 7. Como el 1 m 1 m meor , el rago de A es al meos. Además, si A 0, es decir si m 7, teemos que 3 r( A) r( A') 3 (úmero de icógitas), y el sistema será compatible determiado (solució úica). Si embargo, si A 0, es decir si m 7, se tiee que r( A). E este caso la matriz ampliada es A' 3 0 1, cuyo rago tambié es ya que todos los meores de orde 3 so ulos (compruébalo) Resumiedo, si m 7, r( A) r( A') 3, co lo que el sistema es compatible idetermiado (ifiitas solucioes). El grado de libertad del sistema es 1. Por tato dos de las icógitas depede de ua tercera. Podemos elimiar la tercera fila y, como hemos escogido el meor de orde dos distito de cero procedete de las dos primeras columas, llamaremos z y la pasaremos al segudo miembro, co lo que el sistema queda de la forma: x y 1 x 3y 1 Por la regla de Cramer: x y Dos observacioes de importacia: tipos de parámetros Para cada valor del parámetro m distito de 7, o es que haya ifiitas solucioes, sio que cada uo de ellos da lugar a u sistema distito. Es decir, para cada m distito de 7, hay ifiitos sistemas, cada uo de ellos co solució úica. E el caso m 7, observa que las solucioes depede de u parámetro:. Esto quiere decir que solamete hay u sistema y que este sistema tiee ifiitas solucioes, ua para cada valor que le queramos dar a. E el caso de los sistemas compatibles idetermiados esto siempre es así: las solucioes depede de u parámetro si el grado de libertad es 1, de dos parámetros si el grado de libertad es, etcétera. Ta importate es saber extraer las ifiitas solucioes de u sistema compatible idetermiado y expresarlas e fució de parámetros como, dadas las solucioes de u sistema compatible idetermiado, saber escribir el sistema del que procede. Esto se cooce co el ombre de elimiació de parámetros, cuestió que abordaremos a cotiuació como último puto de este tema. 5

6 8. Elimació de parámetros Ya hemos cometado que cuado u sistema de ecuacioes lieales es idetermiado, su solució geeral viee expresada e fució de ua o varias letras llamadas parámetros. Cuado dichos parámetros va tomado valores reales, se va obteiedo la solucioes del sistema. Recíprocamete, si teemos la solució geeral del sistema, el proceso cosistete e obteer el sistema cuya solució es la dada se llama elimiació de parámetros. Para realizar la elimiació de parámetros, se aplica a la solució geeral dada el método de Gauss, cosiderado los parámetros como icógitas. Las ecuacioes que queda al fial, e las cuales o figura los parámetros, so las ecuacioes buscadas. Veamos u par de ejemplos: x 3 y 1 Elimiar los parámetros y e el sistema z t 4 3 x y 1 Escribamos el sistema así: z 4 t Aplicado el método de Gauss cosiderado como icógitas y teemos: 3 x 3 x 3 f f 1 x 3y 5 x 3y 5 3 f3 f1 7 x 3z 4 f3 7 f 0 9x 1y 6z 7 3 f4 4 f 1 7 4x 3t 8 f4 7 f 0 15x 1y 6t 51 Las dos últimas ecuacioes, e las que o figura y, so las del sistema buscado. Simplificado la 3x 7y z 9 primera por 3 queda fialmete: 15 x 1y 6t 51 Cualquier otro sistema equivalete a éste tambié es solució del problema. x 4 Elimiar el parámetro e el sistema y 5 3 z 1 5 x 4 Escribamos el sistema así: 3 y 5 5 z 1 Aplicado el método de Gauss cosiderado como icógita : x 4 f 3 f1 0 3x y f35 f 1 0 5x z 3xy Por lo tato la solució es, o cualquier otro sistema equivalete. 5x z 6