2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

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1 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces u v V PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL: Si a R y u V, etoces a u V Se dice que V,, es u espacio vectorial sobre R si las operacioes cumple las siguietes propiedades: SUMA DE VECTORES: ASOCIATIVA u v w u v w CONMUTATIVA u v v u ELEMENTO NEUTRO Es u vector al que llamaremos 0 tal que si v V etoces v 0 v ELEMENTO OPUESTO. Para todo vector v V existe u vector al que llamaremos opuesto y desigaremos v V, tal que v v 0 PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL: ASOCIATIVA a b u a b u DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA DE ESCALARES a b u a u b u DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA DE VECTORES a u v a u a v ELEMENTO UNIDAD Si v V etoces 1 v v N-UPLAS DE NÚMEROS REALES A ua colecció de úmeros reales dados e u cierto orde se llama ua -upla. El cojuto de todas las -uplas de úmeros reales forma u espacio vectorial, y se desiga por R. Ua -upla de dos elemetos se llama par, ua de tres tera, y de cuatro cuatera. Ejemplo R 2 es el cojuto de todos los pares de úmeros reales como por ejemplo 2,3 ó 3, 1 5. Ejemplo R 3 es el cojuto de todas las teras como por ejemplo 2, 1, 6 ó 2,1,0 3 Ejercicio Cosidera u2, 1,3, v 1,2,0, w3,0,1, a 8,b 5 elemetos de R 3 yr. Comprueba que se cumple las ocho propiedades de espacio vectorial COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dados los vectores v 1,v 2,v 3...v y los úmeros reales a 1, a 2, a 3...a, ua combiació lieal de los vectores v 1, v 2, v 3...v, es u vector formado de la siguiete forma: a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3... a v 1

2 MATEMÁTICAS II Por ejemplo ua combiació lieal de los vectores 2,5,8, 4, 1,7,3, 1, 0,5, 1,2 sería: 32,5,8,4 21,7,3, 1 40,5, 1,2 4,9,34,18 Por tato 4,9,34,18 es combiació lieal de los vectores 2,5,8,4, 1,7,3, 1, 0,5, 1, DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL U cojuto de vectores v 1,v 2,v 3...v de V se dice que so liealmete depedietes (L.D.) si alguo de ellos se puede poer como combiació lieal de los demás. U cojuto de vectores u 1,u 2,u 3...u de V se dice que so liealmete idepedietes (L.I.) si iguo de ellos se puede poer como combiació lieal de los demás. Por ejemplo las cuateras 4,9,34,18,2,5,8,4, 1,7,3, 1, 0,5, 1,2 so liealmete depedietes, ya que, segú vimos ates la primera de ellas es ua combiació lieal de las demás. La cuatera 0,0,0,0 es combiació lieal de cualquier cojuto de cuateras, pues se obtiee sumado el resultado de multiplicar cada ua de ellas por 0. Las cuateras 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0, 0,0,0,1 so liealmete idepedietes, pues igua de ellas se puede poer como combiació lieal de las demás. Salvo e alguos casos e los que resulta evidete la depedecia o idepedecia lieal de varios vectores, el recurso más seguro para averiguar si u cojuto de vectores es LD o LI, es la aplicació de la siguiete propiedad: PROPIEDAD FUNDAMENTAL La codició ecesaria y suficiete para que los vectores u 1, u 2, u 3...u sea liealmete idepedietes, es que la igualdad x 1 u 1 x 2 u 2 x 3 u 3... x u 0 (*) sólo sea cierta cuado todos los coeficietes sea ceros: x 1 x 2 x 3... x 0 Es decir, si los vectores so L.D., existe úmeros x 1, x 2, x 3,..., x o todos ulos para los cuales se cumple la igualdad (*), mietras que si los vectores so L.I., la úica combiació lieal de ellos que da como resultado el vector 0 es 0u 1 0u 2 0u u NÚMERO DE N-UPLAS L.I. El máximo úmero posible de -uplas L.I. es. Es decir: Dos pares puede ser L.I., pero tres pares so co seguridad, L.D. Tres teras puede ser L.I., pero cuatro teras so, co seguridad, L.D. y así sucesivamete PROPIEDADES DE LA DEPENDENCIA LINEAL El cojuto v, formado por u úico vector v distito de 0 es L.I., pues av 0 sólo es cierto si a 0 El cojuto 0 formado por el vector 0 es L.D. Si u cojuto de vectores cotiee al vector 0 etoces es u cojuto L.D. Es decir, si teemos 0,u 1,u 2, u 3...u, es evidete que la combiació lieal: 1 0 0u 1 0u 2 0u u 0 siedo 1 0 Cualquier cojuto que cotega dos vectores iguales es u cojuto L.D. Todo subcojuto de vectores de u cojuto L.I. es tambié L.I Si el cojuto de vectores u 1, u 2,..., u k es L.D. y añadimos los vectores v 1, v 2,..., v j,el 2

3 cojuto resultate u 1,u 2,...,u k,v 1, v 2,..., v j es tambié L.D BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL U cojuto de vectores B v 1,v 2,...,v es u base de u espacio vectorial V si so u cojuto de vectores liealmete idepedietes de orde máximo. Así pues: E 2 dos vectores L.I. so base. E 3 tres vectores L.I. so base. Y e geeral e vectores L.I. so base 3

4 MATEMÁTICAS II MATRICES DEFINICIÓN Y TIPOS DE MATRICES Se llama matriz real de dimesió m odeordem al cojuto de m úmeros reales ordeados e m filas y columas. a 11 a a 1 a 21 a a a m1 a m2... a m Los m úmeros reales a ij se llama térmios o elemetos de la matriz. Los úmeros aturales i y j desiga, respectivamete, la fila (i) y la columa (j) a las que perteece el elemeto a ij. Las matrices se suele represetar por las letras mayúsculas, A, B,..., o A m, B pq,... cuado sea coveiete idicar su dimesió, o bie por a ij, b ij,...o a ij m, b ij pq,... A ; A Dos matrices so equidimesioales cuado tiee el mismo úmero de filas y de columas. El cojuto de matrices equidimesioales, de m filas y columas se simboliza por M m Dos matrices A sa ij y B b ij so iguales si so equidimesioales e iguales todos los elemetos correspodietes. Las matrices A e 5 y f 6. a b c d e f y B so iguales si y sólo si a 1, b 2, c 3, D 4, Matriz ula es la que tiee todos sus elemetos iguales a 0. Se simboliza por 0 mx o por 0 cuado o haya duda de su dimesió. Matriz fila es la que tiee ua sola fila y matriz columa es la que tiee ua sola columa. Matriz opuesta de la matriz A a ij es la matriz B a ij. Se escribe B A. Matriz cuadrada es la que tiee el mismo úmero de filas que de columas. Las matrices cuadradas de filas y columas, diremos que so de dimesió. Se llama diagoal pricipal de ua matriz cuadrada a la formada por los elemetos a ii.laotradiagoal se llama secudaria. Se llama traza de ua matriz cuadrada a la suma de los elemetos de la diagoal pricipal. TrA a 11 a 22 a a E ua matriz cuadrada se llama cojugado del elemeto a ij al elemeto a ji. Matriz diagoal es la matriz cuadrada cuyos térmios o situados e la diagoal pricipal so ulos. 4

5 5 0 0 Ejemplo La matriz A es diagoal Matriz escalar es la matriz diagoal que tiee iguales todos los elemetos de la diagoal pricipal. k k k k 0 Matriz uidad es la matriz diagoal que tiee todos los elemetos de la diagoal pricipal iguales a 1. La matriz diagoal de orde se simboliza por I, o por I cuado o hay duda sobre su orde La matriz es triagular superior, y es triagular iferior Matriz simétrica es la matriz cuadrada que tiee iguales sus elemetos cojugados, es decir, a ij a ji para todo i y todo j a b c b d e c e f Matriz atisimétrica es la matriz cuadrada que verifica la propiedad: a ij a ji para todo valor de i y todo valor de j. Los elemetos de la diagoal pricipal so ulos. 0 b c b 0 e c e SUMA DE MATRICES La suma de dos matrices A y B del mismo orde, m, esotramatrizc,deordem, cuyos elemetos se obtiee sumado los elemetos de A y de B que ocupe lugares homólogos. a 11 a a 1 b 11 b b 1 A B a 21 a a b 21 b b a m1 a m2... a m b m1 b m2... b m a 11 b 11 a 12 b a 1 b 1 a 21 b 21 a 22 b a 2 b a m1 b m1 a m2 b m2... a m b m Dos matrices se podrá sumar si y solo si so equidimesioales. Propiedades de la suma de matrices: La suma de matrices es ua operació itera, ya que: 5

6 MATEMÁTICAS II A,B M m A B M m verifica las siguietes propiedades: ASOCIATIVA: A B C A B C A, B, C M m CONMUTATIVA: A B B A A,B M m ELEMENTO NEUTRO: Es la matriz ula que simbolizaremos por 0 ELEMENTO OPUESTO O MATRIZ OPUESTA: A M m A M m / A A PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO El producto de la matriz A a ij, de orde m por el úmero real es la matriz A a ij, de orde m, cuyos elemetos se obtiee multiplicado todos los elemetos de A por. a 11 a a 1 A a 21 a a a m1 a m2... a m Propiedades del producto por u úmero real: ASOCIATIVA: A A DISTRIBUTIVA I: A A A DISTRIBUTIVA II: A B A B ELEMENTO UNIDAD: 1 A A Por cumplir estas cuatro propiedades y las de la suma, el cojuto M m de matrices de orde m, tiee estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los úmeros reales PRODUCTO DE MATRICES Dadas las matrices A a ij de dimesió m y la matriz B b ij de dimesió p, se llama producto de A por B alamatrizc c ij de dimesió m p, e dode el elemeto geérico c ij es: c ij a i1 b 1j a i2 b 2j a i3 b 3j... a i b j a ik b kj k1 a 11 a a 1 b 11 b b 1p a 21 a a b 21 b b 2p a m1 a m2... a m b 1 b 2... b p a 1k b k1 k1 a 2k b k1 a 1k b k2... k1 a 2k b k2... a 1k b kp k1 k1 k1 k1 a 2k b kp a mk b k1 a mk b k2... k1 k1 k1 a mk b kp Sólo será posible el producto de A por B si el úmero de columas de A es igual al úmero de filas de B. 6

7 Ejemplo a b a 3b 2a 4b Ejemplo a d g b e h c f i a 3b 5c d 3e 5f g 3h 5i 2a 4b 6c 2d 4e 6f 2g 4h 6i Propiedades del producto de matrices: ASOCIATIVA: A m B p C pq A m B p C pq DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA: A m B p C p A m B p A m C p E geeral o se verifica la propiedad comutativa: A B B A A B B A Hay casos e los que existe A B y o existe B A MATRIZ TRASPUESTA Matriz traspuesta de la matriz A m es la matriz B m que resulta de cambiar ordeadamete sus filas por sus columas. La matriz traspuesta de A se simboliza por A t o por A 7. A a d b e c f A t a b c d e f Propiedades de la matriz traspuesta: A t t A A B t A t B t ka t ka t AB t B t A t Si A es simétrica: A t A Si A es atisimétrica: A t A obiea t A MATRIZ INVERSA Sea A ua matriz cuadrada de orde. SedicequeA tiee iversa si existe ua matriz B, cuadrada se orde, tal que AB I.SedicequeB es la matriz iversa de A. La matriz iversa de A, cuado existe, se simboliza por A 1, verificádose: La matriz iversa de A, cuado existe, es úica. A A 1 A 1 A I 7

8 MATEMÁTICAS II Cálculo de la matriz iversa por el método de Gauss: Ua matriz cuadrada tiee iversa si y sólo si es posible pasar, por trasformacioes elemetales sobre las filas, del cuadro: al cuadro: A/I I/A 1 Ua trasformació elemetal sobre las filas de ua matriz es cualquiera de las operacioes siguietes: Multiplicar, o dividir, los elemetos de ua fila por u úmero. Sumar a los elemetos de ua fila, multiplicados o o por u úmero, los correspodietes elemetos de otra fila multiplicados por otro úmero. Si e alguo de los pasos del cálculo de la matriz iversa de A, e la parte izquierda de la recta vertical aparece ua fila de ceros o dos filas proporcioales, la matriz A o tiee iversa Ejercicio Calcula la matriz iversa de A Ejercicio Comprueba que la matriz A o tiee iversa. Las ecuacioes matriciales de la forma: AX B C Cuado A es ua matriz cuadrada e iversible se resuelve del siguiete modo: AX B C restamos la matriz B e los dos lados de la igualdad AX C B multiplicamos por la izquierda por A 1 A 1 AX A 1 C B utilizamos la propiedad asociativa A 1 AX A 1 C B X A 1 C B Ejercicio Ecuetra ua matriz X que satisfaga la ecuació AX B C, siedo: A ; B ; C RANGO DE UNA MATRIZ Rago de ua matriz es el úmero de filas o columas que hay liealmete idepedietes. Cálculo del rago por el método de Gauss: Las siguietes trasformacioes elemetales de filas o columas deja ivariate el rago de ua matriz: Permutar dos filas o columas. Multiplicar o dividir ua fila o columa por u úmero real o ulo. Sumar a ua fila o columa otra multiplicada por u úmero o ulo. 8

9 El rago de ua matriz o varia si se suprime: Las filas o columas ulas. Las filas o columas proporcioales a otras. Las filas o columas combiació lieal de otras. Las trasformacioes ateriores os permite calcular el rago de ua matriz. Ejercicio Calcula por el método de Gauss el rago de