Matrices y Determinantes

Transcripción

1 I. E. S. Siete Colias (Ceuta) Departameto de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Matrices y Determiates Por Javier Carroquio CaZas Catedrático de matemáticas del I.E.S. Siete Colias Ceuta 00

2 Matrices y Determiates Javier Carroquio Cañas

3 Matemáticas de º de bachillerato Ciecias de la Naturaleza y la Salud Tecología Matrices y Determiates Por Javier Carroquio Cañas Catedrático de matemáticas I.E.S. Siete Colias (Ceuta) Departameto de Matemáticas Ceuta 00

4 Javier Carroquio Cañas I.E.S. Siete Colias (Departameto de Matemáticas) Matrices y Determiates Depósito Legal : CE&8&00 ISBN : Número de Registro : 80 Ceuta 00

5 Prólogo Ua de las partes más atigua de la matemática es el Álgebra, que ya era utilizada y desarrollada por babilóicos, egipcios y griegos, pero fue e el siglo XIX de uestra era cuado ecotró su verdadero desarrollo. Ua de sus ramas, el Álgebra Lieal, es de tremeda utilidad práctica e diversas áreas de las ciecias aturales o sociales, apareciedo las matrices y determiates como ua poderosa herramieta para el tratamieto de datos uméricos que permite esa utilidad del Álgebra Lieal. El cocepto de matriz, que fue itroducido a mitad del siglo XIX por el matemático iglés James Joseph Sylvester (8-897) y posteriormete desarrollado por rthur Cayley (8-89) y William Rowa Hamilto (80-86), tiee e la actualidad u fácil y cómodo tratamieto gracias a los potetes programas iformáticos que reduce extraordiariamete los agobiates cálculos uméricos. E estas págias itroducimos al alumo e el mudo de las matrices y determiates de ua maera práctica y útil, huyedo de coceptos y desarrollos teóricos y buscado lo suficiete para su posterior uso e los temas veideros, tales como, sistemas de ecuacioes, espacios afí, euclídeo y métrico.

6 Matemáticas de º de bachillerato I Matrices y determiates Ídice Págia.Matriz de úmeros reales de orde m... Ejemplo....Forma abreviada de expresar ua matriz de orde m... Ejemplo....Matriz fila. Matriz columa... Ejemplo... Ejemplo....Matriz cuadrada... Ejemplo... Ejemplo 6....Igualdad de matrices... Ejemplo Matriz traspuesta de otra matriz... Ejemplo Ejemplo Ejemplo Matriz simétrica... 7 Ejemplo... 8 Ejemplo Diagoal pricipal y secudaria de ua matriz cuadrada.. 8 Ejemplo Matriz diagoal... 0 Ejemplo Matriz escalar... 0 Ejemplo... 0.Matriz uidad... Ejemplo 6....Matriz triagular... Ejemplo 7....Operacioes co matrices....suma de matrices... Ejemplo 8... Propiedades de la suma de matrices.....ley de composició itera... Ejemplo Propiedad asociativa..... Propiedad comutativa.....existecia de elemeto eutro... Ejemplo Existecia de elemeto opuesto... Ejemplo....Resta de matrices... Ejemplo El grupo comutativo de las matrices del mismo orde Producto de u úmero real por ua matriz... 6 Ejemplo... 6 Propiedades del producto de u úmero real por ua matriz Ley de composició extera sociativa... 7

7 Matemáticas de º de bachillerato II Matrices y determiates Págia 7..Distributividad respecto a a la suma de úmeros reales Distributividad respecto a la suma de matrices Neutro e el producto de úmero por matriz. 8 Ejemplo El espacio vectorial de las matrices de orde m... 9 Ejemplo... 9 Ejemplo Ejemplo Matriz atisimétrica... 0 Ejemplo Producto de dos matrices... Ejemplo 9... Ejemplo 0... Ejemplo... Ejemplo... Ejemplo... Propiedades del producto de matrices Codició de existecia del producto sociativa... Ejemplo Distributividad respecto de la suma de matrices Sobre la comutatividad del producto de matrices... 6 Ejemplo... 6 Ejemplo Matriz uidad de orde... 7 Ejemplo Propiedad de la matriz uidad... 7 Ejemplo Potecia de ua matriz cuadrada... 8 Ejemplo Iversa de ua matriz cuadrada... 9 Ejemplo Ejemplo... 9.Determiate de ua matriz cuadrada... 0 Determiate de ua matriz de orde... 0 Ejemplo... 0 Determiate de ua matriz de orde... Ejemplo... Ejemplo... Determiate de ua matriz de orde... Ejemplo... Determiate de ua matriz de orde y superior.. Meor complemetario de u elemeto de la matriz... Ejemplo 6... Ejemplo 7... djuto de u elemeto de la matriz... Ejemplo 8... Ejemplo 9... Determiate de ua matriz cuadrada de orde... Ejemplo 0... Ejemplo... 6

8 Matemáticas de º de bachillerato III Matrices y determiates Págia Determiate de ua matriz cuadrada de orde... 6 Ejemplo... 7.Propiedades de los determiates... 7 Propiedad... 7 Ejemplo... 7 Propiedad... 8 Ejemplo... 8 Propiedad... 8 Ejemplo... 9 Ejemplo Propiedad... 9 Ejemplo Propiedad... 0 Ejemplo Propiedad Ejemplo 9... Propiedad 7... Ejemplo Propiedad 8... Ejemplo 6... Ejemplo 6... Propiedad 9... Ejemplo Ejemplo Ejemplo Sobre el sigo de los adjutos. Regla emotécica Cálculo de la iversa de ua matriz cuadrada... 8 Cálculo de la iversa por el método de los adjutos. 8 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 7... Cálculo de la iversa por el método de trasformacioes sobre líeas... Ejemplo 7... Ejemplo 7... Ejemplo 7... Ejemplo Ecuacioes de matrices... Ejemplo Ejemplo Propiedades de la matriz iversa... 6 Ejemplo Ejemplo Meor de ua matriz... 8 Ejemplo Propiedad de los meores de ua matriz Ejemplo Rago de ua matriz... 6 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Propiedades del rago de ua matriz... 6

9 Matemáticas de º de bachillerato IV Matrices y determiates Págia Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Cálculo del rago de ua matriz. Teorema Ejemplo Depedecia e idepedecia lieal de líeas e ua matriz Ejemplo Ejemplo

10 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Matrices y determiates. Matriz de úmeros reales de orde m.- O O Sea ú el cojuto de los úmeros reales. Sea m y dos úmeros aturales distitos de cero, es decir, m,0ù* Ua tabla formada por m úmeros reales dispuestos e m filas (alieació horizotal) y columas (alieació vertical) de la siguiete forma: a a a a... a a a... a a a a a... a a a... a m m m m Notese quehay m filas y columas se deomia matriz de orde m. Puede observarse que la hemos llamado. las matrices se les suele llamar co letras mayúsculas (, B, C, D,...). La matriz ateriormete expuesta es ua matriz geérica. Los elemetos a ij so (o represeta) úmeros reales. E la matriz aterior (de orde m ) cada fila tiee elemetos (hay m filas) y cada columa tiee m elemetos (hay columas). Localicemos las filas y columas: La fila está formada por los siguietes elemetos: La fila está formada por los siguietes elemetos: E geeral: La fila i estará formada por los elemetos: La columa está formada por los siguietes elemetos: a a a... a m a a a... a a a a... a ai ai ai... ai La columa está formada por los siguietes elemetos: E geeral, la columa j será: a a a... j j j amj a a a... a m

11 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates La expresió a ij represeta al elemeto de la matriz que ocupa la posició fila i columa j. Por ejemplo: E ua matriz de orde ( filas y columas), el elemeto es el a que está situado e la fila y columa. El elemeto o existe e esa matriz puesto que o existe la fila 6. a 6 Ejemplo.- Escribamos u matriz de úmeros reales de orde : π e E esta matriz : a ; a ; a π 9... ; a e El elemeto a 6 o existe porque o hay filas i 6 columas. l cojuto formado por todas las matrices de orde m le llamaremos M m. De este modo teemos ifiitos cojutos de matrices: M 9 : Cojuto formado por las ifiitas matrices de orde 9 ( filas y 9 columas). M 6 6 : Cojuto formado por las ifiitas matrices de orde 6 6 (6 filas y 6 columas). M : Cojuto formado por las ifiitas matrices de orde ( fila y columas). etc. La matriz del ejemplo. perteece al cojuto M. Se expresa 0M. Forma abreviada de expresar ua matriz de orde m.- Cosideremos el cojuto de las matrices de orde m, es decir M m. Hemos visto que ua forma de expresar esta matriz es: a a a a... a a a... a a a a a... a a a... a m m m m Ua forma abreviada de expresarla es : Notese quehay m filas y columas ( ij ) a siedo i,,,... m j,,,...

12 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates ( ) a ij i m Otra forma sería: Tambié: j ( ) a ij i,,,..., m j,,,..., Ejemplo.- B b ij i j 6 Ua matriz geérica B de orde 6 sería: ( ) ( ) a,,,..., M ij i m j,,,..., m E geeral:. Matriz fila. Matriz columa- Se llama matriz fila a aquella matriz que tiee ua sola fila. E forma geérica: ( ) ( j) a a a... a a es ua matriz fila de orde geerica. j Ejemplo.- Ua matriz fila geérica de orde 6 es ( 6 ) ( j ) B b b b b b b b B M Ua matriz cocreta de orde 6 es: Ua matriz fila de orde es: ( 9 ) j 6,,,,, 6 D D M 6 Se llama matriz columa a aquella matriz que tiee ua sola columa. Si tiee m filas, la matriz será de orde m. E forma geérica será: Ejemplo.- C c c c M c m ( c ) matriz columa de orde m i i m c c La matriz C c ( ) ci es ua matriz columa de orde C M i.,,

13 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates 6 La matriz es ua matriz columa de orde 7. Matriz cuadrada- Es ua matriz que tiee el mismo úmero de filas que de columas. l úmero de filas o de columas se le llama orde de la matriz. Ua matriz cuadrada de orde (para abreviar, de orde ) se expresa: a a a a... a a a... a a a a a... a a a... a ( aij ) i j Notese quehay filas y columas El cojuto de las matrices de orde se expresa M M (para abreviar) Ejemplo.- Ua matriz cuadrada geérica de orde sería: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ( ij ) a Notese º de filas º de columas i j Ejemplo 6.- Ua matriz cuadrada de orde (O de orde ) es: B 6 podemos expresar que B M 0. Igualdad de matrices- Dos matrices del mismo orde so iguales si sus elemetos so respectivamete iguales.

14 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Es decir, supogamos dos matrices,b 0M, (del mismo orde). Expresamos: i,,,..., m ( ij ) ( ij ) a co j,,,..., y B b co i,,,..., m j,,,..., Etoces: ( ) ( ) a b B a b i, j tal que ij ij ij ij i,,,..., m j,,,..., es decir: a b ; a b ; a b ; ; a b a b ; a b ; a b ; ; a b a b ; a b ; a b ; ; a b am b ; a b ; a b ; ; a b m m m m m m m Ejemplo 7.- Veamos dos matrices iguales. Recordemos que debe ser del mismo orde Se trata de dos matrices de orde. Nótese que cada elemeto de la primera matriz es igual a su respectivo de la seguda matriz. 6. Matriz traspuesta de otra matriz- a ij i,,,..., m Sea ua matriz cualquiera ( ) t ( a ) j,,,..., Se llama matriz traspuesta de a la matriz que se obtiee de cambiar las filas por las columas, es decir, la primera fila pasa a ser la primera columa, la seguda fila será la seguda columa, la tercera fila será la tercera columa, etc. La matriz traspuesta de se expresa t. Por tato: ji j,,,..., i,,,..., m

15 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates Nótese que ahora la matriz t tiee fila y m columas, es decir: E forma desarrollada: t m m M M a a a a... a a a... a a a a a... a a a... a m m m m y t a a a... a m a a a... am a a a... a m a a a... am t m m Nótese que M y M Ejemplo Sea la matriz su traspuesta es t Nótese que M y M t Es fácil observar que la traspuesta de ua matriz fila es ua matriz columa y la traspuesta de ua matriz columa es ua matriz fila. Es decir: ( ij ) a siedo ( ji ) t a siedo i j,,,..., m j,,,..., m i matriz fila matriz columa Ejemplo 9.- Sea la matriz fila 9 ( 9-7). Su traspuesta es t 7 La traspuesta de la traspuesta de ua matriz es igual a esa matriz, es decir: ( t ) Si es ua matriz, etoces t

16 Matemáticas de º de bachillerato Págia 7 Matrices y determiates Ejemplo 0.- Sea la matriz La traspuesta de la traspuesta es: t ( ) t Su traspuesta es t t Matriz simétrica- Ua matriz cuadrada se dice que es simétrica si es igual que su traspuesta. Es evidete que ua matriz o cuadrada o puede ser simétrica ya que ella y su traspuesta so de distito orde. Por tato: t M es simetrica Si ua matriz cuadrada (de orde ) es simétrica os lleva a lo siguiete: a a a... a a a a... a a a a... a m m m t a a a... a a a a... a a a a...a Es decir: Por tato: a a ; a a ; a a ;...; a a a a ; a a ; a a ;...; a a a a ; a a ; a a ;...; a a a a ; a a ; a a ;...; a a ( ij ) ij ji, {,,,..., } a M es simetrica a a i j Veamos u ejemplo:

17 Matemáticas de º de bachillerato Págia 8 Matrices y determiates Ejemplo.- La siguiete matriz cuadrada (de orde ) es simétrica: E efecto: Observamos que: t a a ; a a ; a a 0 ; a a 9 a a ; a a 8 ; a a ; a a 7 a a 0 ; a a ; a a 7 ; a a a a 9 ; a a ; a a ; a a Ejemplo.- La matriz I 0 0 es simétrica ya que I t 0 0 I 8. Diagoal pricipal y secudaria de ua matriz cuadrada.- ( ) Sea aij M ua matriz cuadrada de orde. Se llama diagoal pricipal de la matriz, al cojuto formado por los elemetos de esa matriz cuyos ídices so iguales, es decir, el cojuto formado por los elemetos a ij tales que i j. Por tato: a M ( ij ) {,,,..., ( )( ), } Diagoal pricipal de a a a a a S

18 Matemáticas de º de bachillerato Págia 9 Matrices y determiates Veamos las posicioes que ocupa detro de la matriz los elemetos de la diagoal pricipal: a... a... a... aij esta e la diagoal secudaria de i + j + ( ij ) a a M úmero de elemetos de la diagoal º de filas º de columas. Se llama diagoal secudaria de la matriz cuadrada (de orde ), al cojuto de sus elemetos tales que la suma de sus ídices es igual a. Es decir: Por tato: { ( ) ( ) ( ) } Diagoal sec udaria de a, a, a,..., a, a S Veamos las posicioes que ocupa detro de ua matriz los elemetos de la diagoal secudaria: a a( ) a( ) a úmero de elemetos de la diagoal secudaria Ejemplo.- Sea la matriz cuadrada de orde siguiete: 0 7 π M e 0 π 7 e 9 8 La diagoal pricipal es D { 0,,, 7 9 } La diagoal secudaria es {,,, e } La matriz S B o tiee diagoales por o ser cuadrada.

19 Matemáticas de º de bachillerato Págia 0 Matrices y determiates 9. Matriz diagoal.- Ua matriz cuadrada se dice que es diagoal si todos los elemetos que o está e la diagoal pricipal so iguales a cero. Es decir: ( ij ) ii 0 {,,,..., } D d M es diagoal a i Ejemplo.- Uas matrices diagoales de orde so: B C I 0 0 0,,, Uas matrices diagoales de orde so: D 0 0, E 0 0 0, I Matriz escalar.- Se llama matriz escalar a la matriz cuadrada que es diagoal y tiee todos los térmios de la diagoal pricipal iguales. Es decir: ( ij ) e k i {,,,..., } E e M es matriz escalar Es decir: E es diagoal ii R k k E 0 0 k M k es ua matriz escalar. Ejemplo.- Matrices escalares de orde so: E 0 0 ; F 0 0 ; O ; I Nótese que ua matriz escalar es tambié ua matriz diagoal.

20 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates. Matriz uidad.- Se llama matriz uidad de orde a la matriz cuadrada de orde ( ) tal que es diagoal y todos los elemetos de la diagoal pricipal so. Se expresa co la letra I o I. Por tato: Matriz uidad de orde I ( a ) M siedo a ij 0 si i j ij aij si i j Ejemplo I M es la matriz uidad de orde 0 ( ij ) 0 0 I 0 0 M es la matriz uidad de orde 0 0. Matriz triagular.- Ua matriz cuadrada se dice que es triagular si todos los elemetos que esté por ecima o por debajo de la diagoal pricipal so ceros. Es decir: a M es triagular Ejemplo Ua matriz triagular de orde es 0 7 Ua matriz triagular de orde es B 7 0 { } { } obie aij 0 i, j,,,..., co i< j obie aij 0 i, j,,,..., co i> j Nótese que ua matriz diagoal es tambié ua matriz triagular.. Operacioes co matrices.- Ya sabemos lo que es ua matriz, el orde, tipos de matrices, etc. Co las matrices se puede realizar ciertas operacioes algebraicas. Las matrices se puede sumar, restar y multiplicar. Todo ello e ciertas codicioes. Veamos qué codicioes so esas y como se opera co matrices.

21 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates. Suma de matrices.- Digamos como comiezo que para sumar dos matrices, debe ser del mismo orde. Veamos: T Sea el cojuto de las matrices de orde m, es decir, M m T Sea y B dos matrices de M m T Defiimos la suma de las matrices y B de la siguiete forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a M y B b M ij m ij m + B a + b a + b c C M ij ij ij ij ij m suma de matrices suma e R E forma desarrollada sería: a a a... a b b b... b a a a... a b b b... b + B + am am am... am bm bm bm... bm a + b a + b a + b.... a + b c c c... c a + b a + b a + b.... a + b c c c... c a + b a + b a + b... a + b c c c... c m m m m m m m m m m m m C Recuérdese que para sumar dos matrices debe ser del mismo orde. Ejemplo 8.- Vamos a sumar las matrices siguietes de orde : 0 ; B matrices de M B C M Propiedades de la suma de matrices.- Cosideremos el cojuto M m y la operació suma defiida e dicho cojuto. Esta operació verifica las siguietes propiedades:

22 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates. Ley de composició itera: La suma de dos matrices de orde m es otra matriz de orde m. Es decir: ( M 8, ) ( M, ) 6 6 B, M es + B C M m m Se dice que el cojuto M m co la operació + es ua estructura. Se expresa de la forma (M m, +). Ejemplo es la estructura de las matrices de orde 8 + es la estructura de las matrices de orde 6 6. Propiedad asociativa: La suma de matrices tiee la propiedad asociativa, es decir: E efecto: ( ij ) ( ij ) ( ij ) a M B b M C c M, B, C Mm se verifia que + B + C ( + B) + C + ( B + C) m m m so tres matrices del mismo orde ( ij ) ( ij ) ( ij ) ( ij ij ij ) (( ij ij ) ( ij )) ( aij bij ) ( cij ) ( B) C ( ij ) ( ij ) ( ij ) ( ij ij ij ) ( ij ( ij ij )) ( aij ) ( bij cij ) ( B C) + B + C a + b + c a + b + c a + b + c B + C a + b + c a + b + c a + b + c Por tato: + B +C ( + B) + C + ( B + C) c. q. d.. Propiedad comutativa: La suma de matrices tiee la propiedad comutativa. Es decir:, B M se verifica que + B B + E efecto: m

23 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates ( ) ij m Dosmatricesdeordem ( ij ) m ( ij ) ( ij ) ( ij ij ) ( ij ij ) ( ij ) ( ij ) a M B b M + B a + b a + b b + a b + a B + suma de matrices suma de umeros suma de matrices. Existecia de elemeto eutro: Si M m es el cojuto de matrices de orde m y + es la suma e M m, existe ua úica matriz de ese orde tal que es eutra para la suma. Esa matriz la expresaremos como O. Se deomia matriz cero de orde m Es decir: E efecto: O M M se verifia que + O O + ( ij ) m m ( ij ) ( ) Sea la matriz O o 0 M ( es decir, todos sus elemetos so 0) Sea a M ua matriz cualquiera de orde m Etoces: m m ( ij ) ( ij ) ( ij ij ) ( ij 0) ( ij ) + O a + o a + o a + a Ejemplo 0.- La matriz cero de orde (elemeto eutro de la suma e M ) es: O Si cosideramos ua matriz cualquiera, por ejemplo: Sumemos ambas: M m O

24 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates. Existecia de elemeto opuesto: Para cualquier matriz de orde m existe otra matriz del mismo orde tal que sumadas ambas os da el elemeto eutro O. Esa matriz se deomia opuesta de. Es decir, la suma de ua matriz y su opuesta es igual a la matriz cero. Si es ua matriz, a su opuesta la expresaremos como & ( meos ) Expresemos esta propiedad matemáticamete: E efecto: M, ( ) M + ( ) O M m m m ( ij ) Sea a ua matriz cualquiera de orde m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se defie la opuesta de como a a M Sumemos ambas: ( ) ( ) ( ) ij ij m + ( ) a + a a + a o 0 O ij ij ij ij ij Nótese que, dada ua matriz, para obteer su opuesta, basta co cambiar de sigo a cada uo de los térmios de la matriz. Ejemplo.- Sea la matriz Sumado ambas: π Su opuesta es π ( 6) ( ) 9 8 ( ) ( 9) 8+ ( 8) π π 8 7 π π O π + π ( ) Observació: Si es ua matriz y & es su opuesta, tambié es la opuesta de &.. Resta de matrices.- La resta de matrices se defie a partir de la suma. Veamos: Si y B so matrices, se defie la resta &B como la suma de y el opuesto de B. Es decir: &B +(&B) 7

25 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates Ejemplo.- Dadas las matrices y B 7 6 7, hallemos &B: 7 B B 9 ( ) El grupo comutativo de las matrices del mismo orde.- Cosideremos el cojuto de las matrices de orde m y + la suma e M m Hemos dicho que (M m, +) es ua estructura. Pues bie, (M m, +) co las propiedades vistas de la suma, se dice que es ua estructura de grupo comutativo (tambié se deomia grupo abeliao). 7. Producto de u úmero real por ua matriz.- T Sea λ u úmero real, es decir, λ0ú. T Sea ua matriz de orde m. T Se defie el producto del úmero λ por la matriz, y se expresa λ (o λ ) como la matriz que se obtiee de multiplicar cada elemeto de por el úmero λ. Es decir: ( ) ij m λ λ λ( ) ( λ ) a M λ R E forma desarrollada sería: a a M ij ij m a a a... a a a a... a λ λ a a a... a m m m m λ a λ a λ a... λ a λ a λ a λ a... λ a λ am λ am λ am... λ am Nótese que el producto de u úmero real por ua matriz es ua matriz del mismo orde. Nótese que λ λ es producto de úmero real por matriz Nótese que λ a ij es producto de úmeros reales. Ejemplo.- Multipliquemos el úmero por la matriz ( π) M

26 Matemáticas de º de bachillerato Págia 7 Matrices y determiates ( π) ( ( ) ( ) π) ( 0 0 π ) M Propiedades del producto de u úmero real por ua matriz.- Hemos visto ua ueva operació, la del producto de u úmero real por ua matriz. hora veremos las propiedades de esta operació. 7. Ley de composició extera: El producto de u úmero real por ua matriz de orde m es otra matriz de orde m. Es decir, al par (λ, ), dode λ es u úmero real y es ua matriz, le correspode el elemeto λ perteeciete al mismo cojuto que. Matemáticamete se expresa de la siguiete forma: f R M m Mm Es ua fucio de R Mm e M ( λ, ) λ cada par ( λ, ) M le correspode f ( λ, ) λ m m 7. sociativa: αβ, R ( ij ) a M m se verifia que ( α β) α ( β ) Nótese e la igualdad aterior que e el miembro izquierdo hay u producto de úmeros reales α β y ua producto de úmero por matriz el parétesis por. E el miembro derecho los dos productos que aparece so úmero real por matriz. Demostremos la propiedad: ( α β) ( α β) ( aij ) (( α β) aij ) ( α ( β aij )) α ( β aij ) α β ( aij ) α β [ ] ( ) 7. Distributividad respecto a la suma de úmeros reales: αβ, R se verifica que ( α + β) α + β ( aij ) Mm Nótese que la suma α+β es suma de úmeros reales y α+β es suma de matrices. La expresió α + β tambié puede poerse α + β (es decir, si puto) Demostremos la propiedad:

27 Matemáticas de º de bachillerato Págia 8 Matrices y determiates ( ij ) ( ij ) ( ij ij ) ( α ij ) ( β ij ) α ( ij ) β ( ij ) α β ( α + β) ( α + β) a ( α + β) a α a + β a a + a a + a + c. q. d. Nótese e esta demostració como se mezcla la suma de úmeros y de matrices. 7. Distributividad respecto a la suma de matrices: α R se verifica que α ( + B) α + α B, B Mm Observamos lo siguiete: T Las sumas que aparece e la igualdad aterior correspode a suma de matrices. T Los productos que aparece e esa igualdad correspode a úmero por matriz. Demostremos la propiedad: ( ij ) ( ij ) ( ) ( ) ( ij ) ( ij ) ( ij ) ( ij ) a y B b dos matrices de orde m [ ij ij ] ( ij ij ) ( ( ij ij )) ( ij ij ) α ( + B) α a + b α a + b α a + b α a + α b α a + α b + α a + α b α + α B c. q. d. Nótese como e la demostració aterior se combia las operacioes suma de úmeros, suma de matrices, producto de úmeros y producto de úmero por matriz. 7. Neutro e el producto de úmero por matriz: El producto del úmero real por ua matriz cualquiera es igual a. Es decir: Mm se verifia que ( recuerda que ) Demostració: ( ij ) m ( ij ) ( ij ) ( ij ) a M a a a c. q. d. Observació: El producto de u úmero real α por ua matriz, puede expresarse por la derecha o por la izquierda, es decir, es comutativo. Es decir: α α

28 Matemáticas de º de bachillerato Págia 9 Matrices y determiates Ejemplo.- Dadas las matrices + B C Veamos: 9 B y C 7 ; 7 6 0, hallar + B C + B C + B C El espacio vectorial de las matrices de orde m.- T Hemos visto el cojuto de las matrices de orde m, es decir, M m. T Hemos visto la suma de matrices del mismo orde y sus propiedades. Dijimos que (M m, +) es ua estructura de grupo comutativo. T Hemos visto el producto de u úmero real por ua matriz y sus propiedades. Pues bie: El cojuto M m co las operacioes suma y producto de u úmero real por ua matriz, se dice que tiee ua estructura de Espacio Vectorial. Se expresa (M m, +, ú). Ejemplo.- X (M, +, ú) es el espacio vectorial de las matrices de orde. X (M, +, ú) es el espacio vectorial de las matrices de orde. X (M, +, ú) es el espacio vectorial de las matrices de orde. Ejemplo 6- Vamos a demostrar que la traspuesta de ua suma de dos matrices es igual a la suma de las traspuestas. Es decir:

29 Matemáticas de º de bachillerato Págia 0 Matrices y determiates Veamos:, B M se verifica que ( + B) + B m t t ( ij ) m ( ij ) ( ji ) t t ( ij ) m ( ij ) ( ji ) t t t ( ij ) ( ij ) ij ij t t ( ji ) ( ji ) ( ij ) ( ij ) a M a a M m B b M B b b M m t t t t [ ] ( ) ( ij ) ( ji ) ( ji ji ) ( + B) a + b a + b c c a + b a + b a + b + B c. q. d. Ejemplo 7.- Vamos a demostrar que la traspuesta del producto de u úmero real por ua matriz es igual al úmero real por la traspuesta de la matriz. Es decir: t t λ R y M se verifica que λ λ E efecto: t ( ) ( ij ) m t t ( ) t t t [ ] ( ij ) ( ij ) ( ji ) ( ji ) ( ji ) λ λ a λa c c λa λ a λ c. q. d. matriz deorde m t 9 Matriz atisimétrica.- Ua matriz cuadrada se dice que es atisimétrica si es igual a la opuesta de su traspuesta. Es decir: t M es atisimetrica Para que ua matriz sea atisimétrica debe cumplirse los siguiete: ( ij ) a M es atisimetrica aii 0 i,,,..., a a i,,,..., ij ji Ejemplo 8.- La matriz cuadrada de orde es atisimétrica.

30 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates 0 0 t t E efecto: 0 7 y Producto de dos matrices.- Vamos a defiir el producto de dos matrices. S Si y B so dos matrices, llamaremos B al producto de por B y B al producto de B por. S La aclaració aterior la hemos hecho porque, e geeral, B B S E la expresió B, es el factor de la izquierda y B el factor derecho. S Tambié decimos que para poder multiplicar dos matrices, debe darse ua codició muy cocreta. Veamos cual: El úmero de columas del factor izquierdo debe ser igual al úmero de filas del factor derecho. Es decir, para poder realizar la operació B debe ocurrir que: úmero de columas de úmero de filas de B Vamos a la defiició: Sea matriz de orde m Sea B matriz de orde k Observa que º columasde º filasde B El producto por B, B es otra matriz C que se expresa B C. La matriz C tiee m filas y k columas, es decir: Mm B C Mm k B M k umero de filas de C umero de filas de Es decir umero de columas de C umero de columas de B hora vamos a ver como se obtiee la matriz C. ( ij ) ( ij ) a M B b M m k B ( a ) ( b ) ( c ) M ij ij ij m k Cada elemeto c ij de C se obtiee operado la fila i de co la columa j de B Es decir: O El elemeto c de C se obtiee a partir de la fila de y la columa de B. O El elemeto c de C se obtiee a partir de la fila de y la columa de B. O El elemeto c de C se obtiee a partir de la fila de y la columa de B.

31 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates O El elemeto c mk de C se obtiee a partir de la fila m de y la columa k de B hora veremos como se opera para ello: b j b j k c ( a a a a ) b ij i i i i K a b + a b + a b + L+ a b a b M b j Como regla emotécica, recuérdese: j i j i j i j i j ik kj k cij ( Fila i de ) ( Columa j de B) Elemeto fila i, columa j de C Ejemplo 9.- Imagiemos que es ua matriz de orde y B otra matriz de orde. Es posible el producto B? E caso afirmativo: Cómo obtedremos el elemeto que ocupa la fila y columa? Veamos: ( aij ) M B C ( cij ) M B ( bij ) M Es decir, como el úmero de columas de (factor izquierdo) coicide co el úmero de filas de B (factor derecho), el resultado es ua matriz que tiee el úmero de filas de y el de columas de B. El elemetos c existe e la matriz B C. Veamos como se obtiee: b b c ( a a a a a ) b b b E forma abreviada: k c a b k k k a b + a b + a b + a b + a b Observa que las matrices y B de este ejemplo o puede multiplicarse del modo B debido a que el úmero de columas de B () o coicide co el úmero de filas de ().

32 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Ejemplo 0.- Sea las matrices ( 8 ) y B 6. Queremos hallar B Veamos: M B C M B M B ( 8 ) ( + ( ) ( ) ( ) ) ( 6) C 6 Ejemplo.- Cosideremos las mismas matrices del ejemplo aterior. Hallar (si fuese posible) B ( ij ) B M B D d M M d Fila de B Columa de 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d Fila de B Columa de ( ) 9 d Fila de B Columa de 8 d Fila de B Columa de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d Fila de B Columa de ( ) 0 d Fila de B Columa de ( ) ( ) d Fila de B Columa de ( ) 8 0 d Fila de B Columa de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d Fila de B Columa de 6 d Fila de B Columa de 6 ( ) 8 d Fila de B Columa de d Fila de B Columa de 6 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d Fila de B Columa de d Fila de B Columa de ( ) d Fila de B Columa de 8 8 d Fila de B Columa de ( )

33 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates La matriz D queda: D M Ejemplo.- Hallar los productos B y B, siedo: 0 y B 0 B Itetemos efectuar B : úmero de columas de úmero de filas de B. Existe B C 0M M Itetemos efectuar B : úmero de columas de B úmero de filas de. No existe B Ejemplo.- 6 Dada la matriz cuadrada queremos hallar Observamos que úmero de columas de úmero de filas de. Existe Obsérvese que, auque aú o hemos defiido la potecia de ua matriz, es posible multiplicar ua matriz cuadrada por sí misma. Es decir: M M Si embargo: Si Mm ( o cuadrada ), etoces o existe 8

34 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Propiedades del producto de matrices.- El producto de matrices tiee las siguietes propiedades: 0. Codició de existecia del producto: El producto de ua matriz de orde m por otra de orde k es ua matriz de orde m k. 0. sociativa: Si, B y C so tres matrices tales que el producto (B C) está defiido, etoces ( B) C tambié lo está y se verifica que (B C) ( B) C Es decir: Mm B Mm k B M k ( B) C D Mm p C M k p Mm B M k ( B C) E Mm p B C M C M p k p Pues bie, se verifica que D E Ejemplo.- 7 Sea las matrices, B y C 0 Comprobemos la propiedad aterior: B 0 ( B) C ( B C) 0 ( B C) 8 Comprobado.

35 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates 0. Distributividad respecto de la suma de matrices: Si, B y C so tres matrices tales que (B+C) está defiida (existe), etoces se verifica que: ( B + C) B + C Es decir: Mm BC M { ( B C ) {{ B C D M, + + k m k k k m k 0. Sobre la comutatividad del producto de matrices: Si y B so dos matrices. Puede ocurrir que o exista i B i B, pero puede ocurrir que exista uo de esos productos y o exista el otro. Esto, ya, os idica que: El producto de matrices o es comutativo hora bie, puede ocurrir que exista B y B. Es e este caso B B? Vamos a ver que, e geeral, o: M k Sea las matrices B Mk Etoces B C M y B D M k k Es decir, B y B so de distito orde y por tato B B Qué ocurre si B y B existe y so del mismo orde? Será B B? Vamos a ver u ejemplo: Ejemplo.- 9 Sea las matrices y B. Hallemos B y B B B Observamos que B B Si embargo, es posible que ambos productos sea iguales. Veamos u ejemplo: Ejemplo 6.- Sea las matrices 8 7 e I Hallemos I e I

36 Matemáticas de º de bachillerato Págia 7 Matrices y determiates I I Observamos que I I. Matriz uidad de orde.- Cosideremos el cojuto de las matrices cuadradas del mismo orde, es decir, el cojuto M (o M ). Cosideremos la matriz de M tal que: X Todos los elemetos de la diagoal pricipal so iguales a. X Todos los elemetos que o so de la diagoal pricipal so iguales a 0. Esa matriz recibe el ombre de matriz uidad de orde (orde ). Se expresa I Por tato: 00LL0 00LL0 I 00LL0 M matriz uidad de orde LLLLL 000LL Cuado pueda haber cofusió, se expresa I para idicar la matriz uidad de orde Matemáticamete se defie: ij ( ij) i, j {,,, K, } I i tal que i si i j iij 0 si i j Ejemplo 7.- La matriz uidad de orde es 0 0 I y de orde es 0 I 0 Propiedad de la matriz uidad.- El producto de ua matriz cuadrada por la matriz uidad del mismo orde que aquella es comutativo e igual a. Es decir: M cojuto de las matrices cuadradas de orde ( ) a M se verifica que I I ij E efecto: Sea a M ua matriz cualquiera de orde ( cuadrada) ( ij )

37 Matemáticas de º de bachillerato Págia 8 Matrices y determiates Hallemos el producto I : ( ) ( ) ( ) I a i c C M Siedo: ij ij ij c a i + a i + a i + L+ a i a L+ 0 a c a i + a i + a i + L+ a i 0+ a + 0+ L+ 0 a c a i + a i + a i + L + a i a + L+ 0 a LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL c a i + a i + a i + L+ a i L+ a + L+ 0 a ij i j i j i j i j ij ij LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL c a i + a i + a i + L+ a i L+ a a Por tato, I Del mismo modo se demuestra que ( ) ( ) ( ) I i a a ij ij ij Ejemplo Potecia de ua matriz cuadrada.- Por la defiició de producto de matrices, deducimos que dos matrices cuadradas del mismo orde puede multiplicarse. Esto os lleva a que ua matriz cuadrada de orde puede multiplicarse por sí misma y el resultado es otra matriz de orde. Lo aterior os permite defiir el cocepto de potecia de ua matriz cuadrada. M ( matriz cuadrada): LLLLLL k L k N k factores Coveimos e defiir que 0 * I

38 Matemáticas de º de bachillerato Págia 9 Matrices y determiates E el caso particular de la potecia de la matriz uidad I teemos que: Ejemplo 9.- Dada la matriz I I I L I k N Iversa de ua matriz cuadrada k queremos hallar. Veamos: q Sea ua matriz cuadrada de orde, es decir, 0M. q Se llama matriz iversa de y se expresa -, a aquella matriz que multiplicada por es igual a la matriz I. E cocreto: - - I Hagamos las siguietes aclaracioes: s Las matrices que o so cuadradas o tiee iversa. s Ua matriz cuadrada puede teer o o teer iversa. Si existe la iversa de, la llamaremos -. s La iversa de ua matriz cuadrada, si existe, es cuadrada y del mismo orde. s Si - es la iversa de, es la iversa de -. s Es evidete que I tiee iversa y es I ya que I I I.. Es decir, I - I. Más adelate veremos qué matrices cuadradas tiee iversa y como se halla. Ejemplo 0.- La iversa de la matriz es Comprobémoslo: 0 0 NOT: Se demuestra que siempre que ocurra que B I, etoces, B I. Esto os hace ver que si - I, etoces se verifica que - I. Ejemplo.- La matriz B 7 o tiee iversa, es decir, o existe B I

39 Matemáticas de º de bachillerato Págia 0 Matrices y determiates. Determiate de ua matriz cuadrada.- Vamos a defiir u uevo cocepto relativo a las matrices cuadradas, el determiate, pero ates, recalquemos alguos putos: Úicamete las matrices cuadradas tiee determiate. Las matrices o cuadradas o tiee determiate. Todas las matrices cuadradas tiee determiate. El determiate de ua matriz cuadrada es u úmero real que puede ser positivo, egativo o cero. El determiate de ua matriz cuadrada es úico. Veamos como se expresa el determiate de ua matriz cuadrada: ( ij ) a M ua matriz cuadrada de orde ( ij ) Determiate de a a R E forma desarrollada es: esta expresio o se usa ij a a a L a a a a L a a a a L a R (el determiate es u umero) L L L L L a a a L a hora veremos como se halla el determiate de ua matriz. Determiate de ua matriz de orde.- Las matrices cuadradas y sus determiates o tiee igú iterés especial, pero aú así, veremos como se defie. ( ) Si a M es ua matriz cuadrada de orde, se defie: Determiate de a a R o cofudir co valor absoluto de a Ejemplo.- Sea las matrices ; B 9 ; I y O 0 de orde Sus determiates so: ( ) ( ) ( ) ( )

40 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates ; B 9 9 ; I y O 0 0 Determiate de ua matriz de orde.- uque o daremos la defiició matemática del determiate de ua matriz cuadrada, sí vamos a apreder a calcularlo. Veamos como se halla el determiate de ua matriz cuadrada de orde. a a Sea ua matriz cualquiera de orde. a a a a Determiate de a a a a umero a a Ejemplo.- Hallemos los determiates de las siguietes matrices cuadradas de orde : B I y O ; ; ( 6) B 6 ( 6) (. ) 0 I O Ejemplo.- Hallar el valor del úmero x sabiedo que el determiate de es &8 Veamos: x x x8 x x8 x 8 Determiate de ua matriz de orde.- Vamos a ver como se obtiee el determiate de ua matriz cuadrada de orde. Cosideremos ua matriz 0M :

41 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates a a a a a a a a a matriz cuadrada para hallar empleamos la deomiada Regla de Sarrus a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a a a a Co objeto de recordar esta complicada fórmula vamos a aalizarla: Observa que hay seis sumados co tres factores cada uo. Los tres primeros sumados lleva el sigo + delate y los tres últimos el sigo &. E cada sumado (tres factores) hay u factor de cada fila y de cada columa. Observa que los tres primeros sumados empieza por los tres elemetos de la primera columa y va pasado a la siguiete columa y fila. Observa que los tres últimos sumados (sigo & delate) empieza por la última columa y retrocede columa y avaza fila. Es decir: ( primer sumado) ; ( segudo sumado) ( tercer sumado) ; ( cuarto sumado) ( quito sumado); ( sexto sumado) Ua forma mejor de recordar la Regla de Sarrus, es la siguiete: a a a a a a a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Nótese que se ha colocado las dos primeras filas debajo de la expresió del determiate

42 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates a a o + + o Ejemplo.- Hallemos el determiate de la matriz ( ) ( ) + ( ) ( 6) + 0 ( 6) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Determiate de ua matriz de orde y superior.- La Regla de Sarrus o es válida para el cálculo de determiates de matrices cuadradas de orde superior a. E este apartado veremos como se calcula el determiate de ua matriz, siedo el método empleado aplicable a cualquier matriz de orde (icluidas las matrices y que vimos ateriormete). Supogamos ua matriz cualquiera de orde : a a a a a a a a buscamos el de a a a a determiate a a a a Para ello debemos defiir uos coceptos previos: Meor complemetario de u elemeto de la matriz.- Supogamos u elemeto cualquiera a ij de la matriz. Es decir, ese elemeto ocupa la posició fila i, columa j. Imagia que de la matiz elimiamos esa fila (fila i) y esa columa (columa j). Es evidete que obteemos otra matriz cuadrada de orde. l determiate de esa matriz se le deomia meor complemetario del elemeto a ij y se expresa α ij. Es decir:

43 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates ( ij ) a M y a u elemeto cualquiera de meor complemetario de a ij ij Determiate que resulta de αij umero real. elimiar la fila i, columa j α Ejemplo Sea la matriz y el elemeto a Hallemos α NOT: La defiició aterior es válida para las matrices cuadradas de cualquier orde. Ejemplo Sea la matriz cuadrada B. Hallemos el meor complemetario de b 6 β 0 8 ( ) ( ) djuto de u elemeto de la matriz.- Supogamos u elemeto cualquiera a ij de la matriz. Es decir, ese elemeto ocupa la posició fila i, columa j. Se defie el adjuto de a ij (se expresa ij ) del siguiete modo: i+ j ( ).α siedo α meor complemetario de a ij Nótese que : ij ij ij i + j par ij αij si i + j impar ij αij

44 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Ejemplo 8.- Cosideremos la misma matriz del ejemplo. Hallemos + ( ) α ( ) NOT: La defiició aterior es válida para matrices cuadradas de cualquier orde. Ejemplo 9.- Cosideremos la matriz B del ejemplo 6. Hallemos B + 8 ( ) ( ) 8 8 β 6 B Determiate de ua matriz cuadrada de orde.- ( ) H Supogamos ua matriz cuadrada de orde, es decir, aij M. H Queremos obteer el determiate de la matriz, es decir,. H Para ello actuamos de la siguiete forma: ± Elegimos ua líea cualquiera de la matriz, es decir, ua fila o ua columa. ± Multiplicamos cada elemeto de esa líea por su adjuto, es decir, cada elemeto a ij de esa líea por su adjuto ij. ± Los cuatro resultados obteidos (cada líea tiee cuatro elemetos) se suma y el resultado de esa suma es el determiate de la matriz. Es decir: Supogamos que elegimos la fila k (#k#). Etoces: a a + a + a + a ij k k k k k k k k Si elegimos la columa t (#t#). Etoces: a a + a + a + a a ij ij t t t t t t t t OBSERVCIONES: º Lógicamete, el determiate de será idepediete de la líea que elijamos, es decir, elijamos la líea que elijamos, el resultado será el mismo. º Nótese que para hallar u determiate de ua matriz hay que hallar cuatro determiates de orde (cada adjuto es u determiate ). º Si e ua líea (fila o columa) hay muchos ceros, coviee que esa sea la líea elegida. Esta elecció os simplifica el trabajo puesto que tedremos sumados que será 0 ij 0, ahorrado teer que hallar ij. Ejemplo 0.- Hallemos el determiate de

45 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates Lo más rápido es elegir la fila (es la que tiee más ceros) ( ) ( ) α ( ) ( ) 900 Para comparar y comprobar el resultado, vamos a elegir otra líea, por ejemplo, la columa. Veamos: ( ) ( ) ( ) α + ( ) α + ( ) α ( ) ( ) ( ) Observamos que el cálculo se reduce sesiblemete al elegir ua líea co más ceros. Ejemplo Hallemos el determiate de la matriz Eligiedo para el desarrollo la fila, teemos: OBSERVCIÓN: Si e ua matriz hay ua fila o columa que so todos ceros, su determiate es igual a cero. Determiate de ua matriz cuadrada de orde cualquiera.- El método expuesto ateriormete para el cálculo del determiate de ua matriz cuadrada de orde, es válido para cualquier matriz cuadrada de orde (icluidas de orde y ). No obstate coviee decir lo siguiete: ( Si es u úmero grade, el método es muy largo. Fíjate que si y desarrollamos por

46 Matemáticas de º de bachillerato Págia 7 Matrices y determiates ua líea, cada uo de los cico adjutos es u determiate de orde que hay que hallar por el método aterior. Imagia lo que ocurre si 0. ( Veremos más adelate u método que reduce sesiblemete el cálculo de determiates, auque o deja de ser largo. ( ctualmete los programas iformáticos especializados so capaces de realizar estos cálculos e pocos segudos (depediedo del orde de la matriz tardará algo más o meos). Ejemplo.- ( ) E el caso de ua matriz cuadrada de orde, aij M, su determiate es, supoiedo que elegimos para desarrollar la columa : a + a + a + a + a Nótese que ahora habría que desarrollar cada uo de los cico adjutos por ua líea, ya que cada adjuto es u determiate de orde.. Propiedades de los determiates.- Veremos las propiedades que tiee los determiates. lguas de ellas os servirá para establecer u método que reduce sesiblemete su cálculo. Veamos: Propiedad.- El determiate de ua matriz cuadrada es igual al determiate de su traspuesta. M matriz cuadrada t Es decir: t Etoces: M su traspuesta No vamos a demostrar esta propiedad (auque la demostració es secilla), pero sí vamos a comprobarla co u ejemplo: Ejemplo.- Cosideremos la matriz del ejemplo 9. Vimos que: Determiate de & 900 Cosideremos ahora su traspuesta: Hallemos su determiate: 8 0 t t t ( ) 8 7 ( ) 900

47 Matemáticas de º de bachillerato Págia 8 Matrices y determiates Propiedad.- Si e ua matriz cuadrada itercambiamos la posició de dos líeas paralelas (es decir, dos filas o dos columas), obteemos otra matriz B (distita de la aterior). Pues bie, sus determiates so iguales y de sigo cotrario Es decir: B Nótese que si e la matriz B itercambiamos otras dos líeas paralelas (o tiee que ser las mismas de ates), obtedremos otra matriz C. Pues bie: ( ) B C C, es decir, C No demostraremos esta propiedad, pero la comprobaremos co u ejemplo: Ejemplo.- Cosideremos la misma matriz de los ejemplos 9 y. Itercambiemos de posició las filas y. Obteemos la matriz B siguiete: B y su determiate B B ( ) β ( ) Es decir, 900 B hora, e la matriz B itercambiamos la posició de las columas y. Obteemos C: C y su C determiate C ( ) γ ( ) Es decir: B C 900 Propiedad.- Si es ua matriz cuadrada y multiplicamos todos los elemetos de ua líea (fila o columa) de por u mismo úmero k, obteemos otra matriz distita B (que tambié será cuadrada y del mismo orde). Pues bie: B k

48 Matemáticas de º de bachillerato Págia 9 Matrices y determiates Es decir, el determiate de la ueva matriz B es igual al producto de k por el determiate de la matriz. E este caso tampoco demostraremos esta propiedad, pero lo comprobaremos co u ejemplo: Ejemplo Sea la matriz 0 y k u úmero real cualquiera. 6 8 Multipliquemos la fila por k. Obteemos la matriz B k k 0 Hallemos los determiates de y B: B k k 0 k + 8k + k 8k 60k k La propiedad aterior permite sacar u factor comú se ecuetre e ua líea del determiate. Veamos u ejemplo: Ejemplo 6.- Hallemos u determiate que tiee u factor comú e la tercera columa: 9 ( ) ( ) ( ) 8 Propiedad.- Si e ua matriz cuadrada hay dos líeas paralelas (dos filas o dos columas) que so iguales, etoces su determiate es igual a cero. E efecto, supogamos que la matriz tiee dos filas iguales. Si itercambiamos la posició de esas dos filas obteemos exactamete la misma matriz. Por la propiedad, teemos que **&**, es decir, u úmero es igual a su opuesto, lo cual implica que ** 0.

49 Matemáticas de º de bachillerato Págia 0 Matrices y determiates Ejemplo Hallemos el determiate de la matriz (iguales columas ª y ª) Propiedad.- Si e ua matriz cuadrada ua líea (fila o columa) es proporcioal (múltiplo) de otra paralela, su determiate es igual a cero. Es decir: ( ij ) a M matriz cuadrada. ( α) ( β) Supogamos que Liea k Liea E efecto: aij 0 k B k 0 0 La matriz B tiee dos lieas iguales, por lo que B El factor comu k puede salir fuera ( propiedad ) 0 Ejemplo 8.- Hallemos u determiate cuya fila es la mitad de la fila ( la ª el doble de la ª) ( ) a a a K a L L L L L ai ai ai a K i L L L L L a a a K a Dos filas iguales Propiedad 6.- Si e ua matriz descompoemos cada uo de los elemetos de ua líea (Fila o columa) e suma de dos sumados cualesquiera, etoces el determiate de esa matriz puede descompoerse e suma de otros dos determiates, de tal modo que e uo de ellos aparece uo de los sumados e esa líea y e el otro determiate aparece el otro sumado de esa líea. Es decir: matriz cuadrada de orde

50 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Supogamos que los elemetos de la fila i los descompoemos e suma de dos sumados: a a a K a L L L L L b + c b + c b + c K b + c L L L L L a a a K a i i i i i i i i El determiate de se puede obteer como suma de dos determiates: a a a K a a a a K a a a a K a a a a K a a a a K a L L L L L L L L L L L L L L L bi + ci bi + ci bi + ci K bi + ci bi bi bi K bi + ci ci ci K ci L L L L L L L L L L L L L L L a a a K a Es decir: B + C Ejemplo 9.- E este ejemplo vamos a comprobar co u determiate la propiedad aterior B C Hallemos los determiates, B y C B C Observamos que 96 B + C 9 OBSERVCIÓN: Nótese que la propiedad aterior permite que u determiate

51 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates pueda descompoerse e suma de dos o más determiates. Propiedad 7.- Si e ua matriz cuadrada, ua líea (fila o columa) es combiació lieal de otras dos (o más) lieas paralelas, etoces su determiate es igual a cero. NOT: claremos el sigificado de líea combiació lieal de otras dos paralelas Lo veremos para el caso de columas. Para filas la idea es similar. Supogamos ua matriz cuadrada de cierto orde. Imagiemos tres columas: columa j, columa h y columa k. Se dice que la columa j es combiació lieal de las columas h y k si existe dos úmeros reales α y β tales que cada elemeto de la columa j es igual a α por su correspodiete de la columa h más β por su correspodiete de la columa k. Es decir: columa j columa h columa k a j α a h + β a k a j α a h + β a k a j α a h + β a k a j α a h + β a k Pues bie! Cuado esto ocurre e ua matriz cuadrada, su determiate es cero. E efecto: Supogamos ua matriz cuadrada de orde tal que la columa j es combiació lieal de las columas h y k. Hallemos su determiate: L a L a L a L j h k L a L a L a L j h k L aj L ah L ak L sustituimos la columa j por su combiacio lieal L L L L L L L L a L a L a L j h k L α a + β a L a L a L h k h k L α a + β a L a L a L h k h k L α a + β a L a L a L h k h k L L L L L L L L α ah + β a k L a h L a k L desglosamos e suma de dos determiates L α a L a L a L h h k L α a L a L a L h h k L α ah L ah L ak L + L L L L L L L L α a L a L a L h h k L β a L a L a L k h k L β a L a L a L k h k L β a L a L a L L L L L L L L k h k 0 + L β a L a L a L k h k 0 0 ya que los dos determiates ateriores tiee ua columa multiplo de otra

52 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Ejemplo 60.- Vamos a calcular el determiate de ua matriz cuya ª fila es el doble de la ª meos el triple de la ª. Veamos: 7 ( ) + 9 otese que 0 ( ) ( ) Propiedad 8.- Si es ua matriz cuadrada y ua líea de ella (fila o columa) la multiplicamos por u úmero k y posteriormete esa ueva líea se la sumamos a otra líea paralela, el resultado será otra matriz B del mismo orde y diferete de, úicamete, e esa líea sobre la que hemos sumado. Pues bie, se verifica que * * * B * Es decir, los determiates de ambas matrices so iguales. E efecto, vamos a verlo para ua fila. Para columa sería similar. L L L L L ai ai ai L ai L L L L L M Hemos resaltado las filas i y h ah ah ah L ah L L L L L hora a la fila i le sumamos el producto de k por la fila h y obteemos: B L L L L L a + k a a + k a a + k a L a + k a L L L L L ah ah ah L ah L L L L L i h i h i h i h Vamos a ver que B B L L L a + k a L a + k a L L L ah L ah L L L i h i h L L L ai L ai L L L + ah L ah L L L L L L k ah L k a L L L ah L ah L L L ** + 0 ** ya que el º sumado es u determiate co ua fila múltiplo de otra. h

53 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Ejemplo 6.- E este ejemplo comprobaremos la propiedad aterior. Para ello cosideremos la matriz: 8 7 Vamos a restar a la fila el doble de la fila : B Vamos a calcular y B B ( ) Ejemplo 6.- Cosideremos la misma matriz del ejemplo 60. hora vamos a realizar otra operació sobre otra líea, distita de la aterior. Obtedremos otra matriz C. Veremos que el determiate de C es igual que el de y el de B: a la tercera columa de le sumamos la seguda columa C + Hallemos el de C ( ) 0 determiate : + 8 C B OBSERVCIÓN: Esta propiedad es muy iteresate ya que si teemos u determiate que queremos calcular y o tiee ceros (o tiee pocos ceros), podemos operar sobre ua fila o columa y coseguir que alguos térmios se covierta e ceros, lo cual, como vimos, simplifica el cálculo del determiate (e los ejemplos 60 y 6 vemos como se crearo ceros si que el valor del determiate varíe). La siguiete propiedad se refiere a esta posibilidad, es decir, la de reducir el cálculo de u determiate de orde o superior.

54 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Propiedad 9.-Para calcular el determiate de ua matriz cuadrada, se puede calcular el de otra matriz distita que tiee todos los elemetos de ua líea, excepto uo, iguales a cero, pero de tal modo que ambos determiates so iguales. Las propiedades vista ateriormete permite ir haciedo ceros e ua líea. Es decir: Teemos ua matriz cuadrada y queremos calcular **. Ya sabemos como se hace, pero hemos visto que si o tiee muchos ceros e ua líea, el problema es fácil pero co u cálculo muy largo. Por la propiedad 8 sabemos que operado sobre ua líea (fila o columa), podemos ir haciedo ceros e ella, es decir, obteemos matrices distitas, pero todas tiee igual su determiate (que es lo que buscamos). Cuado todos los elemetos de ua líea, excepto uo, so ceros, el problema se simplifica bastate al reducirse u grado el orde de determiate (pasa de a -) El proceso lo cotiuamos hasta siguiedo el proceso hasta llegar a u último determiate de orde, e cuyo caso aplicamos la regla de Sarrus. Puede ocurrir que al operar aparezca ua líea e la que todos los elemetos se hace cero. E este caso, el determiate es igual a cero. claremos que la líea (fila o columa) sobre la que actuar para hacer ceros la elegimos osotros e fució de la facilidad que presete. Por ejemplo, si e ua líea hay dos ceros y e las demás hay uo o iguo, esa puede ser la elecció más coveiete. Es decir: L a j L L L L Teemos L a ij L L L L L a j L B mediate trasformacioes coaseguimos otra matriz L L L L L L a ij L L L L L 0 L 0 Las matrices y B so distitas (la matriz B tiee la columa j co todos los elemetos ceros excepto uo). Si embargo, ***B* NOTS: tes de ver el proceso co u ejemplo, especifiquemos la termiología que emplearemos: La expresió F i sigifica fila i. Por ejemplo: F sigifica fila La expresió C j sigifica columa j. Por ejemplo: C sigifica columa " Las expresioes α F k y α C k sigifica multiplicamos la fila k (o columa k) por α. La expresió F i + α F k sigifica a la fila i le sumamos el producto de α por la fila k (puede ser ua resta) La expresió C j + α C k sigifica a la columa j le sumamos el producto de α por la columa k (puede ser resta) La expresió F i + F k sigifica a la fila i le sumamos la fila k (puede ser columas y puede ser restas)

55 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates Ejemplo 6.- E este ejemplo vamos a calcular u determiate por el método de trasformacioes e líeas. Veamos: Queremos calcular el determiate de. No hay i u cero. 6 Hemos decidido hacer ceros e la primera columa. Para ello las operacioes que hay que realizar so sobre filas. Etre corchetes podremos el elemeto que vamos a hacer cero: 6 [ ] } [ ] ( ) } F F F+ F F F [ ] Desarrollado por la primera columa α α ( ) } OBSERVCIONES: k Recordamos que para hacer ceros e ua columa, las operacioes so sobre filas k Cuado se tiee experiecia y habilidad, es posible realizar dos operacioes (hacer dos ceros) simultáeamete (esto ahorra escritura). k Los " y -" tambié facilita mucho el proceso. Ejemplo 6.- hora vamos a calcular el determiate de la misma matriz del ejemplo aterior, pero haciedo ceros e la seguda fila. E este caso habrá que operar co columas. Veamos: [ ] [ ] 6 { C C C C [ ] { C + C

56 Matemáticas de º de bachillerato Págia 7 Matrices y determiates Desarrollado por la seguda fila: ( ) α ( ) ( 7) Vemos como el resultado obteido es idepediete de la líea y el camio elegido. hora vamos a calcular el determiate de ua matriz cuadrada de orde e el que o hay i 0" i " i -". E este caso es coveiete covertir algú úmero e ", pero recordemos la propiedad de que si multiplicamos ua líea de ua matriz por u úmero k, etoces el determiate de la ueva matriz es el de la aterior por k. Esto sigifica que si multiplicamos e el determiate ua líea por k, debemos poer fuera /k para mateer la igualdad. Veamos: Ejemplo 6.- Hallemos el siguiete determiate ** de orde. Nótese que o hay i " i 0". 7 9 ( ) [ ] } [ ] F + F F } [ ] [ ] Desarrollamos por la tercera columa F F F F } 6 8 α ( ) Destaquemos de este ejemplo que hemos ido poiedo etre corchetes aquellos úmeros sobre los que teemos iteció de actuar, es decir, covertir e 0 o e. Tambié isistimos e que al multiplicar la fila por ½ hemos multiplicado el determiate por para que la igualdad se matega ya que al multiplicar esa fila por ½ el determiate queda dividido por. 6. Sobre el sigo de los adjutos. Regla emotécica.- Hemos visto que para hallar u determiate de orde o superior desarrollamos por ua líea utilizado los adjutos ij que a su vez es igual al meos complemetario α ij co el sigo % o & delate. Ua regla emotécica secilla para recordar el sigo que debe ir delate es

57 Matemáticas de º de bachillerato Págia 8 Matrices y determiates recordar el siguiete determiate costruido co los sigos % o & que lleva delate el meor complemetario que ocupa la posició que ocupa el sigo e ese lugar: + + L + + L + + L + + L L L L L L De este modo sabemos, por ejemplo que α y &α etc. OBSERVCIÓN: Todo lo expuesto para el cálculo del determiate de ua matriz cuadrada de orde es válido para órdees, 6, 7,... El o realizar u ejemplo para calcular el determiate de ua matriz cuadrada se debe a que el proceso es excesivamete largo. Es recomedable que el alumo haga al meos u determiate para comprobarlo. 7. Cálculo de la iversa de ua matriz cuadrada.- Hemos visto el cocepto de matriz iversa de ua matriz cuadrada (las matrices o cuadradas o tiee iversa e, icluso, hay matrices cuadradas que tampoco tiee). E este apartado veremos dos métodos para calcular la iversa de ua matriz e el caso e que exista dicha iversa. Cálculo de la iversa por el método de los adjutos: Diremos paso a paso como se halla la iversa de ua matriz por este método y posteriormete haremos u Supogamos ua matriz cuadrada de orde. Queremos hallar su iversa Recordemos que se debe cumplir que & & Hallamos el determiate de, es decir, Si ** 0 la matriz tiee iversa. Si ** 0 la matriz o tiee iversa. E este caso se acabó el Hallamos todos los adjutos de la matriz, es Pues bie!, la matriz iversa de se costruye de la siguiete forma: L L L L L L L L L L L L L L L L L L

58 Matemáticas de º de bachillerato Págia 9 Matrices y determiates Nótese que la matriz costruida co los adjutos está escrita al revés, es decir, e cada columa j está puestos los adjutos de los elemetos de la fila j de la matriz. Por ejemplo, e la columa de & aparece los adjutos de la fila de. Obsérvese tambié que e todos los elemetos de la matriz & hay u factor comú que puede salir fuera (recuérdese producto de u úmero real por ua matriz ). Ejemplo 66.- Cosideremos la matriz del ejemplo 6, es decir, 6 Vimos que * * 7. hora, para costruir la matriz iversa de ecesitamos hallar todos los adjutos de los elemetos de. Veamos: ; ( ) ; ( ) ( ) 9 ; 6 6 ( ) ; ; ( ) ; ( ) 80 6 ; ; ; La matriz iversa queda:

59 Matemáticas de º de bachillerato Págia 0 Matrices y determiates Ejemplo 67.- Comprobemos que la matriz hallada e el ejemplo aterior e la iversa de. es la iversa de I Hallemos el producto I Comprobacio O. K Ejemplo Sea la matriz del ejemplo : 0. Vimos e ese ejemplo que **0 Hallemos su matriz iversa: 0 Hallemos los adjutos de la matriz : 0 0 ; 9 ; ; ; ; 8 ; 0 0

60 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Costruyamos la matriz iversa: matriz iversa de Ejemplo 69.- Comprobemos que la matriz & del ejemplo aterior es la iversa de : I Comprobacio O. K Ejemplo 70.- Hallemos la matriz iversa de B Previamete debemos hallar su determiate: B No existe B Es decir, ò B & 0M * B B & I Ejemplo 7.- La matriz C 6 o tiee iversa ya que C 6 NOT: La iversa de ua matriz I es ella misma, es decir, I I

61 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Cálculo de la iversa por el método de trasformacioes sobre líeas: Este es otro método para calcular la iversa de ua matriz cuadrada. Explicaremos úicamete el procedimieto, si etrar e detalles. Se basa e las propiedades de las matrices y determiates vistas ateriormete. Veamos: Sea ua matriz cuadrada, de orde, cuya matriz iversa & queremos ecotrar. Situamos la matriz y la matriz I jutas y de la siguiete forma: I, es decir: a a L a a a L a L L L L a a L a 0 L 0 0 L 0 L L L L 0 0 L ( ) E la matriz vamos realizado operacioes sobre sus líeas (filas y/o columas), hasta coseguir que se covierta e I. Todas las operacioes que realicemos sobre (la matriz de la izquierda), las realizamos idéticamete sobre I (la matriz de la derecha). Cuado hallamos coseguido que se covierta e I, la matriz de la derecha I se habrá covertido e otra matriz. Pues bie!, precisamete esa matriz es &. Resumiedo: Trasformacioes sobre y sobre I 678 Iicio I I Fial del proceso. Más claro: a a L a a a L a L L L L a a L a 0 ( ) ( ) 0 L 0 0 L 0 L Trasformacioes sobre e I 0 L L 0 L L L L L L L L L L L L L 0 0 L 0 0 L L Si observamos que o es posible llegar a la matriz I, por ejemplo porque aparece ua líea e que todos so ceros (ótese que e cada líea hay u e la diagoal pricipal y el resto so 0), la causa es que la matriz o tiee iversa. Veamos u ejemplo: Ejemplo 7.- Hallemos la matriz iversa de F 0 } 0 } F F F 0 } F + 0 } F 0 0 por el método de trasformacioes...

62 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates La matriz iversa es Noteseque + 0 Ejemplo 7.- Comprobemos que la matiz hallada e ele ejemplo aterior es la iversa de : Ejemplo 7.- Hallar por trasformacioes de líeas la iversa de la matriz del ejemplo 67 : } } F F F F 6 F 0 0 } 0 F } F F F F F } F ( ) F } Por tato, la matriz iversa es: ver el ejemplo 67

63 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Ejemplo 7.- Hallemos, por el método de trasformacioes de líeas, la iversa de la matriz del ejemplo 6 (su determiate se halló e el ejemplo 6) F+ F F F F F F F 9 F F F F F+ F F F F+ F F F 0 + F F F F 0 0 F F + F F F F F F Ya teemos la matriz iversa de. hora vamos a expresarla de distitas formas. E el ejemplo 6 teemos dicha matriz.

64 Matemáticas de º de bachillerato Págia Matrices y determiates Ecuacioes de matrices Las operacioes que hemos visto co matrices y el cálculo de la matriz iversa, os permite resolver alguas ecuacioes e las que la icógita, coeficietes y térmios idepedietes so matrices. Es decir:, B y C so matrices coocidas. Buscamos ua matriz X que verifique la igualdad: X + B C La forma de hallar X, supoiedo que C B y exista es: X C B llamemos C B D X D Hallamos X D I X D Como I X X X D Observa que debe ser cuadrada para que exista Ejemplo 76.- Dadas las matrices B y C, hallar la matriz X sabiedo que, 7 X + B C Veamos: M X M segu el producto de matrices C B D M ( ) C B D X D Teemos que hallar F 0 F F F F + F F F

65 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates Teemos ya la matriz iversa de : X D 8 6 Ecuacio resuelta 7 9 Ejemplo 77.- Dadas las matrices matriz X tal que: X B C Veamos: M X ( a b) M X C+ B D M X C+ B X D X D X I D Por tato X D Como la matriz es la misma del ejemplo aterior: D C+ B ( 8) + ( 6) ( ) X ( ) ( ) ( ) solucio. Por tato: ; B y C ( 6) ( 8), hallar otra 9. Propiedades de la matriz iversa.- Hemos visto el cocepto de matriz iversa de otra matriz, qué matrices o tiee iversa y cuales tiee iversa. Tambié hemos visto dos métodos para hallar la iversa de ua matriz. hora veremos las propiedades que tiee ua matriz y su iversa. ª) Sea y B dos matrices cuadradas del mismo orde. El producto B es otra matriz cuadrada del mismo orde. Pues bie, si & y B & existe, etoces: E efecto: ( B ) & B & & ( ) ( ) ( ) ( ) { B B B B B B I I I ª) La matriz iversa de ua matriz, si existe, es úica.

66 Matemáticas de º de bachillerato Págia 7 Matrices y determiates E efecto, vamos a supoer que la matriz tiee dos iversas X e Y. Demostraremos que ecesariamete debe ser X Y. X iversa de Y XX I Y iversa de Y YY I X X I X ( Y ) ( X ) Y I Y Y Y X Y c.q.d. ª) La iversa de la iversa de ua matriz es esta matriz. Es decir: ( & ) & ª) La iversa de la traspuesta de ua matriz es igual a la traspuesta de la iversa. Es decir: ( t ) & ( & ) t Ejemplo 78.- E este ejemplo vamos a comprobar la primera propiedad de las matrices iversas. Dos matrices cuadradas deorde B. Hallemos la iversa de : 0 0 Por tato F F F F F Hallemos la iversa de B: F+ F F F F F B Hallemos el producto B: B hora hallemos la iversa de B, es decir, ( B) & F + F F

67 Matemáticas de º de bachillerato Págia 8 Matrices y determiates B F F F ( B) hora hallemos el producto B & & : 7 7 Observamos que ( B) & & B & Ejemplo 79.- Este ejemplo es para comprobar la propiedad de la iversa de ua matriz. Cosideremos la matriz del ejemplo aterior. E ese ejemplo hallamos su iversa. hora vamos a hallar la traspuesta t y la iversa de la traspuesta ( t ) & t ( ) 7 7 t F + F F F F 7 7 t ( ) 7 7 Hallemos ahora la traspuesta de la iversa, es decir, ( & ) t t 7 t t Observamos que ( ) ( ) Meor de ua matriz.- E E E E Sea ua matriz de orde m, es decir, 0M m Si e la matriz elimiamos alguas filas y/o alguas columas, os queda ua matriz B de orde k t, es decir, B0M k t (evidetemete k#m y t#). La matriz B se dice que es ua submatriz de. Si B fuese ua matriz cuadrada de orde h (evidetemete h # miimo{m,}), a su determiate *B* se le llama meor de orde h de la matriz. Es evidete que e ua matriz de orde m puede haber más de u meor de orde h. Si el meor está formado por las h primeras filas y las h primeras columas de, se dice

68 Matemáticas de º de bachillerato Págia 9 Matrices y determiates que es el meor pricipal de orde h de. Ejemplo Sea la matriz 8 M Si elimiamos la fila y las columas, y teemos ua submatriz de : Submatriz de S M 8 Veamos alguos meores de la matriz, de orde (sólo podemos elimiar columas): 86 hemos elim iado las columas, y 6. 6 hemos elimiado las columas, y M Este es el meor pricipal de orde lguos meores de orde : M 0 Este es el meor primcipal de orde hemos la fila y las columas y6 suprimido,, 7 hemos suprimido la fila y las columas,, y6 9 7 hemos suprimido l a fila y las columas,, y6 0 El meor pricipal de orde es M Otros meores de orde so: ; etc. No cofudir co el valor absoluto. 6

69 Matemáticas de º de bachillerato Págia 60 Matrices y determiates. Propiedad de los meores de ua matriz.- El valor de los meores de ua matriz os da iformació sobre si ua líea (fila o columa) es combiació lieal de otra u otras líeas paralelas a ella. Es decir, podemos saber si, por ejemplo: fila h α fila k o fila h α fila k + β fila s o fila h α fila k + β fila s + γ fila t etc. siedo α, β, γ,... umeros reales Veamos como se obtiee esa iformació (lo haremos para filas, para columas es similar): Î Supogamos ua matriz de orde m y dos filas de ella, la fila k y la fila h. Queremos saber si ua de esas filas es combiació lieal de la otra (ua es múltiplo de la otra). L L L L L ak ak ak L ak L L L L L Es la fila h multiplo de la fila k? ah ah ah L ah L L L L L Ï Ð Supogamos que uo o los dos elemetos a k y a h so distitos de cero (basta co que lo sea uo solo). Cosideremos todos los meores de orde que puede costruirse co esas dos filas mateiedo fija la primera columa co esos dos elemetos: ak ak ak ak ak ak ak ak ; ; ; ; a a a a a a a a h h h h h h Si todos estos meores so iguales a cero, etoces la fila h es múltiplo de la fila k (y la fila k es múltiplo de la fila h). Se dice que ambas filas so liealmete depedietes. Si alguo de esos meores es distito de cero, etoces igua de esas dos filas es múltiplo de la otra. Se dice que las filas k y h so liealmete idepedietes Imagiemos ahora tres filas de, es decir, fila h, fila k y fila s. Queremos saber si, por ejemplo, la fila h es combiació lieal de las filas k y s. h h L L L L L ak ak ak L ak L L L L L as as as L as L L L L L ah ah ah L ah L L L L L Es la filah combiacio lieal de lask y s?

70 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates Ñ Ò ç Cosideremos la matriz formada por esas tres filas y de ella el meor pricipal de orde, es decir: a a a L a a a a L a a a a L a k k k k s s s s h h h h a a a a a a a a a k k k s s s h h h y M ak ak a a a a a a s s ; ak ak ak ak ak ak as as as ; as as as ; ; a a a a a a h h h h h h k s k s Mateiedo fijo ese meor, costruimos todos los meores de orde aumetado ua fila y ua columa del siguiete modo: a a a a a a a a a k k k s s s h h h Si M 0 y todos estos meores de orde so iguales a cero, etoces podemos asegurar que la fila h es combiació lieal de las filas k y s. Si M 0 y alguo estos meores de orde de orde es distito de cero, etoces podemos asegurar que la fila h o es combiació lieal de las otras dos, es decir, las tres filas so liealmete idepedietes. Lo visto ateriormete es extesible a cuatro, cico,... filas o columas. Ejemplo Sea la matriz Cotestemos a las pregutas: Es la fila múltiplo de la fila? Veamos: Cosideremos y calculemos todos los meores de orde formados co las filas y, mateiedo fijo elemeto a : ; ; ; Observamos que todos esos meores so cero. Por tato: La fila es múltiplo (combiació lieal) de la fila NOT: simple vista se observa que (fila )& (fila ) + 0

71 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates Es la fila combiació lieal de las filas y? Veamos: Cosideremos y calculemos el meor pricipal de orde : M 0 Esto os idica que las filasy so liealmete idepedietes hora, mateiedo los elemetos de M costruimos y calculamos los meores de orde que puede formarse co la fila : ; ; Como todos los meores so iguales a cero, podemos asegurar que: La fila es combiació lieal de las filas y. NOT: Puede observarse que (fila ) (fila ) + (fila ) E este caso tambié podemos decir que la fila es combiació lieal de las filas y ya que: (fila ) ½ (fila ) & ½ (fila ). Es la fila combiació lieal de las filas y? Veamos: ctuamos como ates: ; 0 6 ; Observamos que hay u meor (el último) distito de cero. Por tato: La fila o es combiació lieal de las filas y. Rago de ua matriz.- Sea ua matriz de orde m. Se llama rago de la matriz al úmero atural h tal que: L Existe algú meor de, de orde h, que sea distito de cero. L Todos los meores de, de orde superior a h, o existe o so iguales a cero.

72 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates Es decir: M M meor de de orde h rago h 0 (, ). N T meor de orde> h, es T 0 ( ot oexiste) Escribiremos rag h Ejemplo Sea la matriz.queremos hallar su rago Veamos: S La matriz es de orde. Esto os idica que el mayor orde posible para los meores de es, es decir, o hay meores de de orde superior a. Por tato: rag h S Observamos que hay meores de orde que so distitos de cero. Por ejemplo, el meor pricipal de orde es M ** 0. Por tato: rag, es decir, rag, o S Veamos si hay algú meor de orde que sea distito de cero: M 0 rag o Como hay u meor de orde (e este caso el pricipal) que es distito de cero, podemos asegurar que el rago es, al meos,. S Veamos si hay algú meor de orde que sea distito de cero. Si lo hubiese, el rago sería. M Hemos ecotrado u meor de orde que es distito de cero. Por tato: rag

73 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates Ejemplo 8.- Dadas las matrices B y O evidete que: rag ; rag B y rag O 0 ( 0 9) ; ( ) ( 0 0 0), es Ejemplo 8.- Es evidete que: 0 0 rag 0 rag rag rag 0 ; ; ; 0 π 0 Ejemplo 8.- C Hallemos el rago de la matriz. Observamos que C0M. rag C o. No puede ser cero al haber algú meor de orde que o es cero ; Por tato: rag C. Propiedades del rago de ua matriz.- Veamos alguas propiedades del rago de ua matriz que os permitirá hacer más fácil su cálculo. Î Si e ua matriz itercambiamos dos filas o dos columas, obteemos otra matriz distita B. Pues bie: rag rag B Ï Si ua matriz tiee ua líea (fila o columa) cuyos térmios so todos ceros y elimiamos esa líea, obteemos otra matriz B. Pues bie: rag rag B Ð Si ua matriz tiee ua líea (fila o columa) que es combiació lieal de otra u otras

74 Matemáticas de º de bachillerato Págia 6 Matrices y determiates y elimiamos esa líea, obteemos otra matriz B. Pues bie: rag rag B Ñ El rago de ua matriz es igual al rago de su traspuesta. Es decir: rag rag t Ejemplo rag 0 9 rag 6 7 rag La seguda matriz se obtiee itercambiado las filas ª y ª e la primera matriz. La tercera matriz se obtiee itercambiado las columas ª y ª e la seguda matriz. Ejemplo rag rag a simple vista 7 ( ) Ejemplo Sea la matriz 6. Obsérvese que la fila es combiació lieal de las dos primeras. Dicha combiació es: (fila ) (fila ) + (fila ) Elimiado la fila obteemos la matriz B Se verifica que: rag rag B ( se aprecia metalmete) Ejemplo 89.- Sea 7 7 y t ua matriz y su traspuesta. t rag rag ( se calcula metalmete)

75 Matemáticas de º de bachillerato Págia 66 Matrices y determiates. Cálculo del rago de ua matriz. Teorema.- } Sea ua matriz de orde m (m filas y columas). } Supogamos que su meor pricipal de orde h es distito de cero, es decir: M h a a a L a h a a a L a h a a a L ah 0 L L L L L a a a L a h h h hh } Supogamos ahora ua fila k tal que k>h (es decir, la fila k está por debajo de la fila h) y que verifica lo siguiete: Todos los meores de orde h+ que se forma mateiedo fijo M h, co la fila k y las columas siguietes a h, so ceros Pues bie! E este caso, la fila k es combiació lieal de las h primeras filas. Es decir: a a L ah ah+ a a L ah ah+ Mh + L L L L L 0 Hemos utilizado la fila k y la columa h + ah ah L ahh ahh + ak ak L akh akh + a a L ah ah+ a a L ah ah+ L L L L L ah ah L ahh ahh + ak ak L akh akh + 0 Hemos utilizado la fila k y la columa h + a a L ah ah+ a a L ah ah+ L L L L L 0 Hemos utilizado la fila k y la columa h + ah ah L ahh ahh + ak ak L akh akh +...

76 Matemáticas de º de bachillerato Págia 67 Matrices y determiates a a L a a h a a L a a h L L L L L a a L a a h h hh h a a L a a k k kh k 0 Hemos utilizado la fila k y columa ( ultima) Cuado esto ocurre, podemos asegurar que: la fila k es combiació lieal de las h primeras filas Esto os permitiría elimiar la fila k de la matriz y obteemos otra matriz B (co ua fila meos) que tiee el mismo rago que. Demostració: Para mejor compresió, vamos a demostrarlo para el caso de ua matriz de orde y para h, pero debe etederse que el proceso es extesible a cualquier orde m y cualquier valor h que sea posible segú la matriz. Veamos: a a a a a a a a a a a Sea ua matriz M a a a a a a a a a a a Supogamos que el meor pricipal de orde es distito de cero: M a a 0 a a a Cosideremos la fila de y supogamos que todos los meores de orde que costruimos mateiedo M y añadiedo los elemetos de dicha fila so cero, es decir: a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 a a a a a a a a a a a Vamos a demostrar que la fila es combiació lieal de las filas y. E efecto: demás de ser iguales a cero los tres determiates del puto aterior, tambié lo so: a a a a a a a a a 0 y a a a 0 a a a a a a El motivo es que cada uo de esos determiates tiee dos columas iguales. hora vamos a desarrollar cada uo de los cico determiates ateriores por los elemetos de la última columa. Cada desarrollo será igual a su valor, es decir, cero.

77 Matemáticas de º de bachillerato Págia 68 Matrices y determiates () a + a + a 0 ( ) a + a + a 0 () a + a + a 0 ( ) a + a + a 0 () a + a + a 0 Notese que hemos llamado: a a a a ; y a a a a a a a a Cosiderado que ( ) () () ( ) () a a a a a a a α a + β a a a a a a a a a a a α a + β a a a α a + β a a a α a + β a a 0 e las cico ecuacioes ateriores los valores a, a, a, a y a : Es decir, la fila ( a a α a + β a, podemos despejar a a a a ) es combiació lieal de las filas y c.q.d. Ejemplo 90.- Queremos hallar el rago de la matriz 0 M 8 7 Veamos: º de filas º de columas rag algu elemeto 0

78 Matemáticas de º de bachillerato Págia 69 Matrices y determiates Veamos el meor pricipal de orde : M M rag + Veamos ahora los meores de orde costruidos a partir del meor pricipal de orde : Por tato: rag demás de obteer el rago de, sacamos las siguietes coclusioes: û La fila de la matriz o es combiació lieal de las filas y. Si la fila fuese combiació lieal de las otras dos, podríamos elimiarla y obtedríamos otra matriz B cuyo rago sería, es decir, sería rag rag B. û Nigua de las tres filas de es combiació lieal de las otras dos. Si ua fila fuese combiació lieal de las otras dos, podríamos elimiarla y obtedríamos otra matriz B cuyo rago sería. û Ua de las cuatro columas es combiació lieal de las otras tres. Es posible que cada ua de ellas sea combiació lieal de las otras tres. Si elimiamos ua columa que sea combiació lieal de las otras tres, obteemos otra matriz B cuyo rago es.. Depedecia e idepedecia lieal de líeas e ua matriz.-. Sea ua matriz de orde m.. Supogamos que ua fila de es combiació lieal de otras filas. Por ejemplo: Supogamos que la fila es combiació lieal de las filas, y. Es decir: F α F + β F + γ F. Etoces se dice que las filas,, y so liealmete depedietes.. Si igua de esas filas puede poerse como combiació lieal de las otras cuatro, se dice que las cico filas so liealmete idepedietes.. Todo lo dicho para filas es válido para columas. E defiitiva: rag umero de filas liealmete idepedietes umerodecolumas liealmete idepedietes. { filas columas} rag mi º, º

79 Matemáticas de º de bachillerato Págia 70 Matrices y determiates Ejemplo 9.- Imagiemos ua matriz que tiee 6 filas. Supogamos que la fila es combiació lieal de las filas, y, de tal modo que dicha combiació es: F F F+ F Etoces la fila tambié es combiació lieal de las filas, y. E efecto: F F + F F ; F F + F F Del mismo modo obtedríamos que la fila es combiació lieal de las otras. Ejemplo 9.- Sea la matriz 8 M rag o o 6 8 M M úmero de filas y de columas liealmete idepedietes. Veamos: Sabemos que rag º filas li. idep. º colum. li. idep. Hallemos el rago de : Hallemos los meores de orde costruidos a partir de M : Queremos saber el Por tato: La fila es combiació lieal de las dos primeras Es decir: Las filas, y so liealmete depedietes. Es posible poer algua (o todas) de esas tres filas como combiació lieal de las otras dos.

80 Matemáticas de º de bachillerato Págia 7 Matrices y determiates Elimiado la fila de obteemos otra matriz B tal que rag rag B 8 B 6 0 co rag rag B o o 6 9 Cosideremos el meor pricipal de orde de B (es el mismo de ates): M Por tato: La fila de B (fila de ) es combiació lieal de las filas y de B ( y de ) Elimiado la fila de B obteemos otra matriz C tal que: 8 C M ra g rag B rag C o 6 0 Como hemos visto que M Coclusió: 8 0 ragc 6 rag º de filas li. idep. º de columas li. idep.