Números complejos Susana Puddu

Transcripción

1 Números complejos Susaa Puddu 1. El plao complejo. E el cojuto C = IR IR defiimos la suma y el producto de dos elemetos de C de la siguiete maera a, b + c, d = a + c, b + d a, b.c, d = ac bd, ad + bc Dejamos como ejercicio verificar que estas operacioes so asociativas y comutativas, que 0, 0 y 1, 0 so los elemetos eutros para la suma y el producto respectivamete, que a, b es el iverso aditivo de a, b para todo a, b C y que vale la propiedad distributiva, es decir, z.w 1 + w = z.w 1 + z.w para todo z, w 1, w C. Además, todo z C, z 0, 0 tiee u iverso multiplicativo, es decir, existe w C tal que z.w es igual al elemeto eutro del producto. E efecto, si z = a, b co a 0 o b 0 etoces a +b a 0 y vale a, b. a +b, es el iverso multiplicativo de z. Notemos que, por la defiició de suma y producto, b a +b = 1, 0. Por lo tato w = a, b = a, 0 + 0, b = a, 0 + b, 0.0, 1 a a +b, b a +b Luego, deotado por i al elemeto 0, 1 resulta que i = 0, 1.0, 1 = 1, 0. Ahora, idetificado los elemetos de la forma a, 0 es decir, que tiee seguda coordeada ula co el úmero real a, de lo aterior resulta que a, b = a + bi dode i = 1. Luego, C = {a + bi / a, b IR} dode i = 1 y la suma y el producto se traduce e a + bi + c + di = a + c + b + di a + bi.c + di = ac bd + ad + bci Además los elemetos eutros para la suma y el producto so 0 y 1 respectivamete, el iverso aditivo de z = a + bi es z = a bi y, si z 0, su iverso multiplicativo es z 1 = a bi a +b. Llamaremos úmeros complejos a los elemetos de C y llamaremos forma biómica a la escritura de u úmero complejo z C e la forma z = a + bi co a, b IR. Co esta escritura puede verse a IR como u subcojuto de C: IR = {z = a + bi C/ b = 0}. Dado z = a + bi co a, b IR diremos que a es la parte real de z y que b es la parte imagiaria de z y escribiremos a = Re z, b = Im z. Notemos que la parte real y la parte imagiaria de u úmero complejo so úmeros reales. Además, dados z, w C se tiee que z = w si y sólo si Re z = Re w e Im z = Im w. 1

2 Dado z = a + bi, co a, b IR, defiimos el cojugado de z como el úmero complejo z = a bi y defiimos el módulo de z como el úmero real o egativo = a + b. Observemos que = 0 si y sólo si z = 0 y que, si z 0, etoces el iverso de z respecto del producto es z 1 = z. Notemos además que es la distacia del úmero complejo z = a, b al orige de coordeadas 0, 0. E geeral, si z, w C, z w es la distacia de z a w. Observació. Si a IR etoces el módulo de a visto como úmero complejo es igual a a + 0 = { a si a 0 a = a si a < 0 es decir, coicide co el valor absoluto de a visto como úmero real. Por lo tato la otació a o es ambigua. Ejemplos. 1 Grafiquemos e el plao complejo z = 1 + i, w = 4 + 3i, z, z, z + w y z w. z+w z w z-w _ -z z Grafiquemos e el plao complejo {z C / z 1 + i = 3}. Este es el cojuto de los z cuya distacia a 1 + i es igual a 3, es decir, la circuferecia de cetro e 1, y radio 3. 1+i

3 3 Hallar todos los z C tales que iz = z + i. Sea a = Re z y b = Im z. Etoces z = a + bi co a, b IR. Luego, z = a bi y z + i = a + b + i. Por lo tato iz = z + i ia bi = a + b + b + ai = a + b + Luego, a = 0 y b = b + de dode resulta que a = 0, b 0 y b = b +. Por lo tato a = 0 y b =. Luego, hay u úico z C que satisface lo pedido, z = i. 4 Grafiquemos el cojuto {z C/ z + 1 i y Re z + Im z 1}. Primero graficamos los z que satisface cada ua de las codicioes por separado. Los z / z 1 + i es el círculo de cetro e 1 + i y radio, los z / Re z + Im z 1 es el semiplao determiado por la recta x + y = 1 que cotiee al orige. z + 1 i Re z + Im z 1 Luego, los z C que satisface ambas codicioes simultáeamete so los que perteece a la itersecció: 5 Grafiquemos el cojuto {z C/ z 1 = z + i } Este cojuto está formado por todos los úmeros complejos z cuya distacia a 1 es igual a su distacia a i. 3

4 Primero hallemos los z que satisface lo pedido. Como z 1 y z + i so úmeros reales o egativos etoces Luego, si z = a + bi etoces z 1 = z + i z 1 = z + i z 1 = z + i a 1 + b = a + b + 1 a = b a = b Por lo tato los z que satisface lo pedido so los que perteece a la recta x = y. Notar que esta es la recta perpedicular al segmeto que ue 1 co i y pasa por el puto medio de dicho segmeto. Propiedades. Sea z, w C. Etoces se verifica i z + w = z + w ii z.w = z.w iii z = z iv z + z = Re z y z z = Im z.i v z IR si y sólo si z = z vi si z 0 etoces z 1 = z 1 vii z.z = viii = ix Re z y Im z x z.w =. w xi z + w + w desigualdad triagular xii si z 0 etoces z 1 = 1 Demostració: Sólo demostraremos vi, ix y xi y dejamos la demostració de las restates propiedades como ejercicio. 4

5 vi Debemos ver que el iverso multiplicativo de z es z 1, es decir, debemos ver que z.z 1 = 1. Usado ii se tiee que z.z 1 = z.z 1 = 1 = 1. ix Sea z = a + bi, co a, b IR. Etoces, como ambos miembros de la desigualdad so úmeros reales o egativos resulta que Re z Re z a a + b 0 b cosa que ocurre pues b IR. De maera aáloga se ve que Im z. xi Veremos que z + w + w. Gráficamete la desigualdad sigifica que e u triágulo la logitud de u lado es meor o igual que la suma de las logitudes de los otros dos: z z+w w w z+w Probemos la desigualdad. Como z+w y + w so úmeros reales o egativos etoces z + w + w z + w + w z + w + w +. w y usado ahora las propiedades ateriores resulta que z + w + w z + w.z + w z.z + w.w +. w z + w.z + w z.z + w.w +. w z.z + w.w + z.w + w.z z.z + w.w +. w z.w + w.z. w z.w + z.w. w Re z.w z.w lo que es verdadero por ix. Ejercicio. Usado la desigualdad triagular, demostrar que para todo z, w C vale w z w. Sugerecia: = z w + w. 5

6 1+i i -i -i ALGEBRA I. Forma trigoométrica. Dado z C, z 0, existe u úico águlo α [0, π tal que cos α = x = se α = y = Im z. Diremos que α es el argumeto de z y escribiremos α = argz. Re z y Imz z α Rez El argumeto de z es el águlo que forma el segmeto que ue z co el orige y el eje x positivo. { 0 si r > 0 Ejemplos. 1 Si z = r, co r IR etoces argz = π si r < 0 Si z = i etoces argz = π y si z = i etoces argz = 3π 3 Si z = 1 + i etoces argz = π 4 y si z = i etoces argz = 7π 4 6

7 Observacioes. i Sea z C, z 0. Si α = argz etoces z = cos α α. Esta expresió se llama la forma trigoométrica de z. ii Si z = r cos β β co r IR, r > 0 etoces r = y β = argz + kπ para algú k ZZ. Notar que si además β [0, π etoces debe ser β = argz. iii Dados z, w C o ulos, z = w si y sólo si = w y argz = argw. Demostració: i z = Re z + Im z i =. Re z + Im z i =.cos α α ii Si z = r cos β β co r IR, r > 0 etoces Re z = r. cos β e Im z = r.se z. Luego = r. cos β β = r. cos β + se β = r. 1 = r Además, si α = argz etoces cos α = Re z = Re z r = cos β y se α = Im z = Im z r = se β Luego, cos α = cos β y se α = se β de dode β = α + kπ para algú k ZZ iii Es cosecuecia imediata de i. Notar que, por las observacioes ateriores, u úmero complejo z o ulo queda determiado coociedo y argz. Ejemplos. Hallemos el módulo y el argumeto de z e los casos i z = 5i ii z = i iii z = i i Si z = 5i etoces = = 5. Ahora calculemos α = argz. Sabemos que Re z Im z cos α = = 0 y se α = = 1. Luego α = π ii Si z = i etoces = que cos α = Re z = 1 y se α = = 1 = 1. Calculemos α = argz. Sabemos Im z = 1. Luego α = π 4 iii Si z = i etoces = 4 =. Calculemos α = argz. Sabemos que Re z cos α = = 1 Im z y se α = = 3. Luego α = π 3 3. El teorema de De Moivre. Teorema. De Moivre Sea z, w C, o ulos. Etoces argz.w = argz+argw kπ para algú k ZZ. Demostració: Sea α = argz y sea β = argw. Etoces z = cos α α w = w cos β β 7

8 Luego, z.w = cos α α w cos β β = =. w cos α cos β se α se β + i cos α se β + se α cos β = = z.w cosα + β + i se α + β Luego, por la observació ii, α + β = argz.w + kπ para algú k ZZ, y por lo tato argz.w = argz + argw kπ para algú k ZZ. Observació. Notemos que si k ZZ satisface argz.w = argz + argw kπ etoces k debe ser tal que 0 argz + argw kπ < π. Luego, el valor de k ZZ del teorema aterior queda determiado por esta codició: k es el úico etero que satisface 0 argz + argw kπ < π Corolario 1. Sea z C, z 0, y sea IN. Etoces argz = argz kπ para algú k ZZ. Dejamos la demostració como ejercicio. Sugerecia: usar el pricipio de iducció. Corolario. Sea z C, z 0. Etoces argz 1 = argz + kπ para algú k ZZ. Dejamos la demostració como ejercicio. Sugerecia: z.z 1 = 1. Corolario 3. Sea z C, z 0 y sea m ZZ. Etoces argz m = m argz kπ para algú k ZZ. Luego, si α = argz, etoces z m = m cos mα mα. Dejamos la demostració como ejercicio. Observació. Sea z, w C, ambos o ulos. Si z = r.w co r IR, r > 0, etoces argz = argr + argw kπ = argw kπ pues argr = 0. Y como 0 argw < π etoces debe ser k = 0. Luego, como z =.z 1, etoces argz = argz 1. Por lo tato, argz = argz + kπ para algú k ZZ. Ejemplos. 1 Hallemos los argumetos de 1 3 i, 1 3 i y i. Sea z = i. Vimos ates que argz = π 3. Luego arg 1 3 i = arg z = arg 1 + argz kπ = π + π 3 kπ dode k es el úico etero que satisface 0 π + π 3 kπ < π. Etoces k = 0 y por lo tato arg 1 3 i = π + π 3 = 4π 3 Aálogamete, arg1 3 i = argz = argz + kπ = π 3 + kπ dode k es el úico etero que satisface 0 π 3 + kπ < π. Etoces k = 1 y por lo tato arg1 3 i = π 3 + π = 5π 3 8

9 Fialmete, arg i = arg z = arg 1 + argz kπ = π + 5π 3 kπ dode k es el úico etero que satisface 0 π + 5π 3 kπ < π. Etoces k = 1 y por lo tato arg i = π + 5π 3 π = π 3 Hallemos 1 + i 353 Como 1 + i = y arg1 + i = π 4 etoces 1 + i353 = 1 + i 353 = 1761 y, por el corolario 3, arg1 + i 353 = 353 arg1 + i kπ = 353π kπ = π = kπ =.440π + 3π 4 4 kπ dode k es el úico etero que satisface 0.440π + 3π 4 kπ < π. Luego k = 440 y por lo tato arg1 + i 353 = 3π 4. Luego, 1 + i 353 = 1761 cos 3π 4 3π 4 = i = i 4. Raíces eésimas de u úmero complejo. Primero veremos u ejemplo y luego veremos el caso geeral. Ejemplo. Hallemos las raíces cuartas de i, es decir, todos los z C tales que z 4 = i. Observemos que z = 0 o es solució. Dado z C, z 0, z 4 = i z 4 = i y argz 4 = arg1 + 3 i 4 = y 4 argz kπ = π 3 = 4 y argz = dode k debe satisfacer 0 cuartas de i so π 3 + kπ 4 z 0 = 4 z 1 = 4 z = 4 z 3 = 4 π 3 + kπ 4 < π. Luego, k = 0, 1, o 3. Por lo tato, las raíces cos π 1 π 1 cos 7π 1 cos 13π 1 cos 19π 1 7π 1 13π 1 19π 1 9

10 Veamos ahora el caso geeral: sea z 0 C, z 0 0 y sea IN. Queremos hallar todos los w C tales que w = z 0. Sea r = z 0 y sea α = argz 0. Como ates, w = 0 o es solució pues z 0 0. Dado w C, w 0, w = z 0 w = z 0 y argw = argz 0 w = r y argw kπ = α w = r y argw = α + kπ dode k debe satisfacer 0 α + kπ < π. Luego, k = 0, 1,,..., 1. Por lo tato, las raíces eésimas de z 0 so w k = z 0 cos argz 0 + kπ argz 0 + kπ dode k = 0, 1,,..., 1. Dejamos como ejercicio verificar que estas solucioes so todas distitas. Ejemplo. Las raíces quitas de z 0 = i so pues z 0 = y argz 0 = 3π. w 0 = 5 w 1 = 5 w = 5 w 3 = 5 w 4 = 5 cos 3π cos 7π cos 11π cos 15π cos 19π 3π 7π 11π 15π 19π 5. Raíces eésimas de la uidad. Sea IN. Cuado z 0 = 1, se tiee que z 0 = 1 y argz 0 = 0. Luego, aplicado lo aterior obteemos las raíces eésimas de la uidad, que so w k = cos kπ kπ 0 k <

11 Deotaremos por G al cojuto de raíces eésimas de 1, es decir, G = {w C/ w = 1} = {cos kπ kπ / 0 k < } Ejercicio. Verificar que i G = {1, 1} ii G 3 = {1, i, 3 i} iii G 4 = {1, i, 1, i} iv G 6 = {1, i, i, 1, 3 i, 1 3 i} Ejercicio. Sea z G y sea m ZZ. Probar que si m = q + r etoces z m = z r. Ejercicio. Sea IN. Probar que i Si z, w G etoces z.w G ii 1 G iii Si z G etoces z 1 G iv Si z G etoces z G v Si z G etoces z k = z k = z k para todo k ZZ. Observació. Las raíces eésimas de 1 so los vértices de u polígoo regular de lados iscripto e la circuferecia de cetro cero y radio 1. Por ejemplo, para = 6, las raíces sextas de la uidad so 1, i, i, 1, 3 i y 1 3 i que so los vértices de u hexágoo regular iscripto e la circuferecia de cetro cero y radio 1 Las raíces octavas de la uidad so 1, + i, i, + i, 1, i, i y i que so los vértices de u octógoo regular iscripto e la circuferecia de cetro cero y radio 1 11

12 Observació. Sea IN y sea w 1 = cos π π G. Etoces, por el corolario 3 del teorema de De Moivre, w k 1 = cos kπ kπ. Luego G = {w 1 k / 0 k < } Diremos que w Ces ua raíz eésima primitiva de la uidad si w G y z G r IN tal que z = w r. Ejercicio. Sea w C. Probar que w es ua raíz eésima primitiva de la uidad si y sólo si G = {w k / 0 k < }. Ejemplos. 1 w 1 = cos π π es ua raíz eésima primitiva de la uidad para todo IN. Las raíces cúbicas primitivas de la uidad so w 1 = i y w = 1 3 i 3 Las raíces cuartas primitivas de la uidad so w 1 = i y w 3 = i 4 Las raíces sextas primitivas de la uidad so w 1 = i y w 5 = 1 3 i 5 Las raíces octavas primitivas de la uidad so w 1 = + i, w 3 = + i, w 5 = i y w 7 = i Ejercicio. Probar que w G es ua raíz eésima primitiva de la uidad si y sólo si w = 1 y w k 1 para todo k tal que 1 k 1 Observació. Sea w k = cos kπ etoces k d y d so eteros y kπ G. Etoces w k = w k 1. Si d = k : w k d = w1 k d = w1 k d = 1 k d = 1 Luego, si d 1 etoces w k o puede ser ua raíz eésima primitiva. Ejercicio. Probar que w k = cos kπ si y sólo si k y so coprimos. kπ es ua raíz eésima primitiva de la uidad 1

13 Observació. Sea w ua raíz eésima primitiva de 1. Luego G = {1, w, w,..., w 1 } y como w = 1 etoces 1 z = w j = w 1 w 1 = 0 z G j=0 Ejemplos. 1 Calculemos la suma de las raíces oceavas primitivas de la uidad. Sea w k = cos kπ 11 kπ 11 0 k < 11. Etoces G 11 = {1, w 1, w,..., w } y las raíces primitivas so w 1, w,..., w. Luego, la suma de las raíces oceavas primitivas de la uidad es w 1 + w + + w = 1 + w 1 + w + + w 1 = Calculemos la suma de las raíces 35-avas primitivas de la uidad. Sea w k = cos kπ 35 z G 11 z 1 = 0 1 = 1 +i se kπ 35 0 k < 35. Etoces G 35 = {1, w 1, w,..., w 34 } y las raíces primitivas so todas meos w 0, w 5, w, w 15, w 0, w 5, w 30, w 7, w 14, w 1 y w 8. Notado que w 5q = cos.5qπ.5qπ = cos qπ qπ y w 7q = cos.7qπ 35.7qπ 35 = cos qπ 5 qπ 5 se tiee que {w 0, w 5, w, w 15, w 0, w 5, w 30 } = G 7 y {w 0, w 7, w 14, w 1, w 8 } = G 5. Luego, la suma de las raíces 35-avas primitivas de la uidad es z G 35 z z G 5 z z G 7 z + w 0 = 1 13