Ejercicios de Análisis Matemático Números complejos

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1 Ejercicios de Aálisis Matemático Números complejos. Calcula la parte real e imagiaria de dode C fi; ig. C Solució. Todo lo que hay que hacer es realiar las operacioes idicadas. Pogamos para ello x C iy co x; y R. Teemos que C x iy C.x C iy/ x iy C x y C xyi.x iy/. C x y xyi/. C x y / C 4x y Luego Re C x C x3 3xy C i. y 3x y C y 3 /. C x y / C 4x y x C x 3 3xy. C x y / C 4x y C i y 3x y C y 3. C x y / C 4x y x C x 3 3xy. C x y / C 4x y ; Im C y 3x y C y 3. C x y / C 4x y. C i p 5/. C i p 3/ 3. Calcula p p ˇˇˇˇˇ. ˇ 5 C i 3 Solució. Como lo que os pide es el módulo o es preciso realiar las operacioes idicadas. Basta teer e cueta que el módulo de u producto es el producto de los módulos y, por tato, el módulo de u cociete es el cociete de los módulos. E cosecuecia: ˇ. C i p 5/. C i p 3/ 3 p 5 C i p 3 ˇˇˇˇˇ 3. Calcula los úmeros complejos tales que w i C i es a) U úmero real; b) U úmero imagiario puro. Solució. Pogamos x C iy co x; y R. Teemos que w x C i.y / y C ix Por tato, w es real si, y sólo si ˇ p p ˇˇ3 ˇ C i 5 ˇˇˇˇ C i 3 ˇ ˇp5 C i p 3 ˇˇ 6 p.x C i.y //. y ix/ 3x C i. x y C 5y /. y/ C x. y/ C x x y C 5y 0 x C.y 5=4/ 9=6 Es decir, está e la circuferecia de cetro.0; 5=4/ y radio 3=4. Aálogamete, w es imagiario puro si, y sólo si, x 0, es decir, está e el eje imagiario. pto. de Aálisis Matemático

2 Ejercicios de Aálisis Matemático 4. Calcula los úmeros complejos tales que w i C C i a) Es u úmero real; b) Tiee módulo. Solució. Pogamos x C iy co x; y R. Teemos que w i x C i.y / C C i x C C i.y C / Por tato, w es real si, y sólo si, y x primero y tercero y. C i/. Es claro que jwj si, y sólo si x C i.y / x C i.y C /.x C / C.y C / x C y C i.y x/.x C / C.y C /, es decir, está e la bisectri de los cuadrates j i j j C C i j.x / C.y /.x C / C.y C / x C y 0 Es decir, está e la bisectri de los cuadrates segudo y cuarto. 5. Comprueba que el argumeto pricipal de x C iy 0 viee dado por 8 arc tg.y=x/ si y < 0, x < 0 ˆ< = si y < 0, x 0 # arc tg.y=x/ si x > 0 = si y > 0, x 0 ˆ: arc tg.y=x/ C si y > 0, x < 0 Solució. Teiedo e cueta que para t < 0 es = < arc tg t < 0 y para 06t es 0 6 arc tg t < =, se sigue que el úmero # defiido por las igualdades ateriores verifica que < # 6. Por tato, para probar que # arg./ bastará que comprobemos la igualdad jj.cos # Ci se #/, es decir, las igualdades x jj cos #, y jj se #. Para #, # = y # = dichas igualdades so evidetes. Sea x > 0 e cuyo caso # arc tg.y=x/. E este caso, como = < # < =, teemos que tg # y=x y deducimos cos # C tg # C y x x C y x x.x C y / cos # x jj cos # dode, e la última implicació, hemos teido e cueta que x > 0 y cos # > 0. educimos tambié que y x tg # x se # jj se # cos # Cosideremos x < 0 e y > 0. Teemos que = < # arc tg.y=x/ C <, por lo que = < # < 0, y deducimos tg # tg.# / y=x. Raoado como ates obteemos que x.x Cy / cos #. Como x < 0 y cos # < 0, se sigue que xjj cos #. e esta igualdad deducimos, al igual que ates, que y jj se #. Cosideremos x < 0 e y < 0. Teemos que < # arc tg.y=x/ < =, por lo que 0 < # C < =, y deducimos tg # tg.# C / y=x. Raoado como e el caso aterior volvemos a obteer las igualdades x jj cos #, y jj se #. 6. Expresa e forma polar los siguietes úmeros complejos. a) C i b) p 3 C i C i c) C i p 3 pto. de Aálisis Matemático

3 Ejercicios de Aálisis Matemático 3 Solució. a) Teemos que arg. C i/ arc tg. / C 3=4, por lo que C i p cos.3=4/ C i se.3=4/ b) Teemos que arg. p 3 C i/ arc tg. = p 3/ C arc tg.= p 3/ C =6 C 5=6 arg. C i/ arc tg./ =4 arg =4 C i deducimos que p! 3 C i Arg. Por tato C i p 3 C i C i p cos.7=/ C i se.7=/ c) arg. C i p 3/ arc tg. p 3/ C arc tg. p 3/ C =3 C =3, por lo que arg C i p =3. Por tato 3 C i p 3 cos. =3/ C i se. =3/ 7. Calcula arg.w/ y arg supuestos coocidos arg y arg w. w Solució. Sabemos que arg C arg w Arg.w/; además las siguietes posibilidades: < arg C arg w 6. Teemos < arg C arg w 6 0 < arg C arg w C 6 arg.w/ arg C arg w C < arg C arg w 6 arg.w/ arg C arg w < arg C arg w 6 < arg C arg w 60 arg.w/ arg C arg w Para calcular arg se procede de forma aáloga teiedo e cueta ahora que w arg arg w Arg y que < arg arg w <. w 8. Calcula los úmeros complejos tales que w a) Tiee argumeto pricipal igual a =; b) Tiee argumeto pricipal igual a =. Solució. Pogamos x C iy co x; y R. Como x C yi x C iy.x C yi/.x iy/ x C y 5x C 3yi.x / C y.x / C y deducimos que arg w = si, y sólo si, x C y 5x C 0 e y < 0. Como x C y 5x C 0.x 5=4/ C y 9=6 deducimos que arg w = cuado está e la semicircuferecia de cetro.5=4; 0/ y radio 3=4 que está coteida e el semiplao iferior. Tambié Tambié deducimos que arg w = cuado está e la semicircuferecia de cetro.5=4; 0/ y radio 3=4 que está coteida e el semiplao superior. pto. de Aálisis Matemático

4 Ejercicios de Aálisis Matemático 4 9. Resuelve la ecuació cuadrática a CbCc0 dode a; b; c, so úmeros complejos coocidos y a 0. Solució. Teemos que a C b C c 0 C b a C c a 0 C b a C b b 4ac 0 a 4a " C b p b 4ac a a 8 ˆ< b C p b 4ac a ˆ: b p b 4ac a Las dos solucioes obteidas suele expresarse e la forma C c a # " C b a b 4a 0 p b C 4ac a a C b C c 0 b pb 4ac a Observa que hemos seguido el mismo procedimieto que e el caso real. ebes eteder bie la igualdad b pb 4ac () a Aquí b 4ac es u úmero complejo (e particular, puede ser real), p p b 4ac es su raí cuadrada pricipal y b 4ac es la otra raí cuadrada (todo úmero complejo tiee dos raíces cuadradas: la pricipal y su opuesta). Aquí o hay positivos i egativos, i ada parecido estamos trabajado co úmeros complejos! Cometo esto para volver a isistir e que los símbolos C y tiee u carácter puramete algebraico: o idica positivo y egativo. E geeral, para resolver ecuacioes co úmeros complejos o es buea estrategia separar la ecuació e su parte real y su parte imagiaria y resolver éstas por separado, sio que debes trabajar co la variable compleja. No olvides que co los úmeros complejos puedes hacer las mismas operacioes que co los úmeros reales y alguas más que o siempre puedes hacer co los úmeros reales, como extraer raíces y otras que proto estudiaremos. 0. Calcula las solucioes de la ecuació 4 C. C i/ C 5i 0. Solució. Poiedo w, la ecuació queda w C. C i/w C 5i 0, cuyas solucioes so # 0. C i/ p. C i/ 0i. C i/ p 8i. C i/ p8.cos. =4/ C i se. =4//. C i/ p8.= p i= p /. C i/ 3. i/ Las solucioes de la ecuació dada so las raíces p i C i i y p C i. Teemos que arg. i/ arc tg y arg. C i/ arc tg.=/. Usado que cos.x C =/ se x y se.x C =/ cos x, obteemos: p i 4p arc tg arc tg 5 cos i se p C i 4p arc tg.=/ arc tg.=/ 5 se C i cos pto. de Aálisis Matemático

5 Ejercicios de Aálisis Matemático 5 Observa que las solucioes so úmeros complejos pero o so complejos cojugados. La ecuació dada tiee coeficietes complejos.. Calcula las solucioes de las ecuacioes: a) 4 C 3 C 7 8 C 6 0I b) 4 C.5 C 4i/ C 0i 0 Sugerecia. El úmero C i es raí de la ecuació del apartado a). Solució. Haremos el apartado a). Para ello usaremos u resultado, que se supoe que debes coocer, segú el cual si u poliomio P.x/ se aula para u valor, P. / 0, etoces es divisible por x, es decir P.x/.x /Q.x/ dode Q.x/ es u poliomio de u grado meor que P.x/. Como la ecuació dada es poliómica co coeficietes reales y os dice que C i es raí, tambié es raí i. Por tato, el poliomio dado debe de ser divisible por: Haciedo la divisió, obteemos que.. C i//.. i// C : 4 C 3 C 7 8 C 6. C 4 C 3/. C / Lo que queda ya es imediato.. emuestra la llamada igualdad del paralelogramo : y explica su sigificado geométrico. j C wj C j wj.jj C jwj /.; w C/ () Solució. Basta realiar las operacioes idicadas. Teemos que: j C wj. C w/. C w/ C ww C w C w jj C jwj C Re.w/ (3) j wj. w/. w/ C ww w w jj C jwj Re.w/ (4) Sumado estas igualdades se obtiee la igualdad del euciado. Su sigificado geométrico es que la suma de los cuadrados de las logitudes de las diagoales de u paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las logitudes de sus lados. w C w w Figura : Igualdad del paralelogramo 3. ados dos úmeros complejos y ˇ, calcula el míimo valor para C de la catidad j j C j ˇj : Sugerecia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil. pto. de Aálisis Matemático

6 Ejercicios de Aálisis Matemático 6 Solució. La sugerecia y u poco de ituició debe ser suficietes para hacer este ejercicio. La ituició lo que dice es que el puto que buscamos debe ser la el puto medio del segmeto de extremos y ˇ, es decir el puto u C ˇ. Ahora debemos relacioar la catidad que os da co j uj. Usado la igualdad del paralelogramo () co sustituido por y w por ˇ y escribiédola de derecha iquierda, teemos que j j C j ˇj j ˇj C jˇ j de dode j j C j ˇj ˇ ˇ C ˇ ˇ C jˇ j educimos que j j C j ˇj > jˇ j para todo C y la igualdad se da si, y sólo si, C ˇ. 4. Prueba las desigualdades: a) jjj jwjj 6 j wj b) j C wj > ˇˇˇˇ.jj C jwj/ jj C w jwjˇ dode ; w so úmeros complejos o ulos. Estudia tambié cuádo se da la igualdad e cada ua de dichas desigualdades. Sugerecia. Ua estrategia básica para probar desigualdades etre módulos de úmeros complejos cosiste e elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad. Solució. Siguiedo la sugerecia, es muy fácil hacer el apartado a). Haremos el apartado b). Siguiedo la sugerecia, elevamos al cuadrado y comprobamos que la diferecia es positiva. j C wj.jj C jwj/ 4 ˇjj C w jwjˇ jj C jwj C Re.w/ jj C jwj C Re.w/.jj C jwj 4.jj C jwj C jjjwj/ jj jwj jjjwj C Re.w/ jjjwj jj C jwj C jjjwj Re.w/ jjjwj jjjwj/ C Re.w/ jjjwj jjjwj jj C jwj C jjjwj Re.w/ jjjwj.jj jwj/ jj C jwj jjjwj Re.w/ jjjwj.jj jwj/ Re.w/ > 0 jjjwj Porque Re.w/ 6 jwj jjjwj. La igualdad se da si, y sólo si, jj jwj o Re.w/ jwj lo que equivale a que w R C que equivale a que y w esté e ua misma semirrecta a partir del orige, o sea, que tega los mismos argumetos. 5. Expresa e forma biómica los úmeros. C i/ 5 ;. p 3 C i/ 37 ; C i p! 4 3 C i pto. de Aálisis Matemático

7 Ejercicios de Aálisis Matemático 7 Solució. Naturalmete, se trata de aplicar la fórmula de e Moivre y para ello todo lo que hay que hacer es expresar los úmeros e su forma polar. Cosideremos el úmero C ip 3 C i. Teemos que jj p (cociete de los módulos) y u argumeto de es Por tato arg. C i p 3/ arg. C i/ arc tg. p 3/.arc tg. / C / 3 C i p! 4 3. p / 4 cos C i 4 5 C i se 6. Haciedo uso de la fórmula de e Moivre prueba que: a) se 3' 3 se ' 4 se 3 '. b) cos 4' 8 cos 4 ' 8 cos ' C. c) se 5' 5 se ' 0 se 3 ' C 6 se 5 ' Solució. La fórmula de e Moivre es ua herramieta excelete para obteer idetidades trigoométricas. Lo úico que hay que hacer es usar la igualdad.cos x C i se x/ cos.x/ C i se.x/. N; x R/ esarrollado la potecia del lado iquierdo por medio del biomio de Newto y agrupar la parte real, que será igual a cos.x/ y la parte imagiaria, que será igual a se.x/. Por ejemplo, para se obtiee imediatamete que cos.x/ cos x se x y se.x/ se x cos x. Haciedo 3 obteemos cos 3 x C 3i cos x se x 3 cos x se x i se 3 x cos.3x/ C i se.3x/ Igualado partes imagiarias, resulta: se.3x/ 3 cos x se x se 3 x 3. se x/ se x se 3 x 3 se x 4 se 3 x Esta es la igualdad a). Las otras dos igualdades b) y c) se obtiee de forma parecida. 7. Sea N, >, y w cos C i se. ado u úmero etero, m Z, calcula el valor de las expresioes: a) C w m C w m C C w. /m. b) w m C w m C. / w. /m. Solució. Necesitamos la expresió de la suma de ua progresió geométrica. Sea u úmero complejo distito de y N. Pogamos S C C C 3 C C. Teemos que S C C C 3 C C S C C 3 C C C C S. / C Y deducimos que C C C 3 C C C La suma e a) es ua progresió geométrica de raó w m. ebemos distiguir el caso e que w m, lo que ocurre cuado m es u múltiplo de, e cuyo caso la suma e a) es igual a. E los demás casos, teemos que C w m C w m C C w. /m wm w m 0 E particular, haciedo m, deducimos que la suma de las raíces -ésimas de la uidad es igual a 0. El apartado b) se hace de forma parecida. (5) pto. de Aálisis Matemático

8 Ejercicios de Aálisis Matemático 8 8. Sea w u úmero complejo de módulo. Expresa los úmeros w y w C e forma polar. Solució. Sea w cos t C i se t co t arg.w/. Pogamos u cos.t=/ C i se.t=/. Co lo que u w y uu. Teemos que w u uu u.u u/ i se.t=/u (6) educimos que jw j jse.t=/j. Supodremos e lo que sigue que w. Observa que w es producto de 3 úmeros: el úmero i, cuyo argumeto pricipal es =, el úmero u, cuyo argumeto pricipal es t= y el úmero se.t=/ cuyo argumeto pricipal es 0 cuado se.t=/ > 0, y cuado se.t=/ < 0. U argumeto de w será =Ct=Carg.se.t=//. Observa que < t 6 y t 0. istiguiremos dos casos: 0 < t 6 se.t=/ > 0 arg.w / C t t C w se.t=/ se.t=/ C i cos.t=/ < t < 0 se.t=/ < 0 arg.w / C t w se.t=/ se.t=/ i cos.t=/ t Fíjate e que si e (6) hacemos el producto iu y distiguimos los casos se.t=/>0 y se.t=/<0, obteemos las mismas expresioes para w. 9. Sea x u úmero real que o es múltiplo etero de. Prueba las igualdades C se x a) C cos x C cos x C C cos x cos x x se C se x b) se x C se x C C se x se x x se Solució. Si llamamos A a la primera suma y B a la seguda, podemos calcular A C ib haciedo uso de la fórmula de e Moivre. Solució. Pogamos wcos x Ci se x; ucos.x=/ci se.x=/. Teemos que w porque x Z. A C ib C w C w C w 3 C C w wc w (por (6)) wc i se.x=/u Teiedo e cueta que w C cos. C /x C i se. C /x es u úmero complejo de módulo y que u C cos. C /x= C i se. C /x=, podemos usar la igualdad (6) para obteer que: w C i se. C /x= u C educimos que C se x A C ib u C x se se C C cos x C i se x C x se Igualado partes real e imagiaria, se obtiee las dos igualdades del euciado. x pto. de Aálisis Matemático

9 Ejercicios de Aálisis Matemático 9 0. ados dos úmeros complejos distitos a; b C, justifica que para b el úmero a b es real si, y sólo si, está e la recta que pasa por a y por b; y es real egativo si, y sólo si, está e el segmeto que ue a co b. Solució. Sea t R, t. Teemos que a b t a bt a C t.a b/ t t La recta que pasa por a y b tiee la ecuació paramétrica a C.a b/, co R, por lo que la igualdad aterior os dice que a es real si, y sólo si, está e dicha recta. b Si t < 0, la igualdad aterior puede escribirse, cambiado t por s, e la forma a b s a C bs C s s C s b C C s a Lo que os dice que es de la forma b C. /a co 0 < s < pero esos so C s justamete los putos del segmeto que ue a co b (excluidos los extremos).. a) Sea j j j j j 3 j. Prueba que,, 3 so vértices de u triágulo equilátero si, y sólo si, C C 3 0. b) educe de lo aterior que si el baricetro y el circucetro de u triágulo coicide, dicho triágulo debe ser equilátero. Solució. a) Si,, 3 so vértices de u triágulo equilátero, etoces cada uo debe estar girado u águlo de =3 radiaes respecto de otro. Sabemos que multiplicar por u complejo, u, de módulo es u giro de amplitud igual a arg.u/. efiamos u cos.=3/ C i se.=3/. Los tres vértices los podemos escribir como, u, u y, por tato: C C 3. C u C u / u3 u 0 Supogamos ahora que j j j j j 3 j, y que C C 3 0. Para probar que dichos úmeros so vértices de u triágulo equilátero, lo que vamos a hacer es comprobar que so las raíces cúbicas de u úmero complejo. Es decir, se trata de probar que hay u úmero tal que, y 3 so las raíces de la ecuació poliómica 3 0. Para esto es ecesario y suficiete que el producto. /. /. 3 / puede escribirse e la forma 3. Teemos:. /. /. 3 / 3. C C 3 / C. C 3 C 3 / 3 3 C. C 3 C 3 / 3 Poiedo 3, lo que hay que probar es que C 3 C 3 0. Todavía o hemos usado la hipótesis de que j j j j j 3 j. Vamos a usarla ahora para itetar sacar factor comú e la suma C 3 C 3 0 la expresió C C 3. Teemos que: C 3 C C 3 C 3. C C 3 / 3 0 Pues C C 3 C C 3 0: El apartado b) se deduce fácilmete de a) siempre que sepas lo que es el baricetro y el circucetro de u triágulo.. Si 0 6 arg w arg <, prueba que el área del triágulo de vértices 0, y w viee dada por Im.w/. Solució. El área de todo triágulo es la mitad de la base por la altura. E la figura () se ha tomado como base el vector co logitud jj y la altura es h. Observa que se.' #/ h jwj. Por tato área jjh jjjwj se.' #/ pto. de Aálisis Matemático

10 Ejercicios de Aálisis Matemático 0 w h ' # Figura : Área de u triágulo Esto ya deberías saberlo: el área de cualquier triágulo es igual a la mitad del producto de las logitudes de dos lados por el seo del águlo que forma. Pogamos x C iy, w u C i v. Como # arg./ y ' arg.w/, teemos que área jjjwj se.' #/ jjjwj se.'/ cos.#/ cos.'/ se.#/ v jjjwj x u y jwj jj jwj jj.vx uy/ Im.w/ 3. Estudia, para C y N, las igualdades: a) log e I b/ exp.log.// I c/ log p log./ I d/ log. / log./: Solució. a) Es evidete que es u logaritmo de e y será el logaritmo pricipal si, y sólo si, < Im 6. E cosecuecia: log e < Im 6 b) Los logaritmos de se defie como los úmeros cuya expoecial es, luego, e particular, exp.log.// cualquiera sea C. c) log p log ˇˇ p ˇˇ p C i arg logjj log./ logjj C i arg La igualdad e c) se verifica siempre. d) C i arg log. / log.j j/ C i arg. / log.jj/ C i arg. / log./ log.jj/ C i arg./ La igualdad e d) equivale a que arg. / arg./. Como arg./ es u argumeto de, para que sea el argumeto pricipal deberá ser < arg./ Estudia codicioes para que a b c a bc. Solució. Teemos que a b c exp.c log.a b //I a bc exp.bc log a/ pto. de Aálisis Matemático

11 Ejercicios de Aálisis Matemático Por otra parte exp.c log.a b // exp c log.e b log a / exp c.b log a C ik/ exp.bc log a C ick/ ode k es u etero que hay que elegir por la codició de que < Im.b log a C ik/ 6 Cocluimos que si k 0, lo que ocurre solamete cuado < Im.b log a/ 6, etoces la igualdad del euciado se cumple para todo c. E otro caso, la igualdad del euciado se cumple solamete cuado c es u úmero etero. 5. Co ua iterpretació adecuada de la suma justifica que: a) Arg.w/ Arg./ C Arg.w/; b) Log.w/ Log./ C Log.w/ Solució. La forma raoable de iterpretar la igualdad Arg.w/ Arg./ C Arg.w/, es que sumado cada uo de los elemetos de Arg./ co cada uo de los elemetos de Arg.w/ obteemos todos los elemetos de Arg.w/. Que efectivamete esto es así es fácil de probar. Sea s Arg./ y t Arg.w/. Etoces, sabemos que sct es u argumeto de w, esto es sct Arg.w/. Luego hemos probado la iclusió Arg./CArg.w/ Arg.w/. Recíprocamete, sea ' Arg.w/. Elijamos cualquier elemeto s Arg./ y pogamos t ' s. Etoces t es u argumeto de w w, esto es, t Arg.w/; luego ' s C t Arg./ C Arg.w/. Lo que prueba la otra iclusió Arg.w/ Arg./ C Arg.w/. Aálogamete, La forma raoable de iterpretar la igualdad Log.w/ Log./ C Log.w/, es que sumado cada uo de los elemetos de Log./ co cada uo de los elemetos de Log.w/ obteemos todos los elemetos de Log.w/. Teiedo e cueta que Log./ logjj C i Arg./, la igualdad b) se deduce de a). Observació. Quie haya estudiado el cocepto de grupo cociete, puede iterpretar la suma Arg./ C Arg.w/ e el grupo cociete del grupo aditivo de los úmeros reales respecto del subgrupo de los múltiplos eteros de, esto es, el grupo G R=Z. Si es u complejo o ulo, se tiee que Arg./ G y, por defiició de suma e u grupo cociete, teemos que Arg./CArg.w/ es la clase que cotiee a arg./carg.w/ y, como arg./carg.w/ Arg.w/, obteemos que Arg.w/ Arg./ C Arg.w/. 6. Idica el error e los raoamietos siguietes:. / ; por tato Log. / Log./ y, por cosiguiete, Log. / Log./. Solució. e la igualdad Log.w/ Log./ C Log.w/, probada e el ejercicio aterior, se deduce que Log. / Log./ C Log./. Es decir, que sumado de todas las formas posibles dos logaritmos de obteemos todos los logaritmos de. Pero eso es muy distito a sumar cada logaritmo de cosigo mismo. Es decir, el cojuto Log./ es solamete ua parte del cojuto Log./ C Log./. pto. de Aálisis Matemático