Tema 3.- Números Complejos.

Transcripción

1 Álgebra Igeieros Idustriales. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Tema 3.- Números Complejos. Los úmeros complejos. Operacioes. Las raíces de u poliomio real. Aplicacioes geométricas de los úmeros complejos: trasformacioes e el plao. Históricamete los úmeros complejos fuero itroducidos para tratar ecuacioes poliomiales, tales como x = 0, que o tiee solució real. E esta direcció, el resultado pricipal de esta lecció es el teorema fudametal del Álgebra que asegura que toda ecuació poliomial co coeficietes complejos tiee, al meos, ua solució. Previamete habremos defiido el úmero complejo, sus operacioes más importates y la iterpretació geométrica de las mismas, cuyo maejo os permite describir trasformacioes sobre el plao complejo. 1. Los úmeros complejos. Defiició. Uúmero complejo es u úmero de la forma = a + bi (o = a + ib) dode i verifica que i 2 = 1 ya y b so úmeros reales. A i se le llama uidad imagiaria. Los úmeros reales a y b se cooce, respectivamete, como parte real y parte imagiaria del úmero complejo y se suele escribir Re() = a así como Im() = b. Dos úmeros complejos y so iguales si, y sólo si, Re() =Re() y Im() =Im(). Al cojuto de los úmeros complejos lo deotaremos por C, es decir, C = { = a + bi : a, b R}. Sea = a + bi. Sib = 0 escribiremos simplemete a para deotar a, sia = 0 escribiremos bi para deotar a. E este último caso diremos que es u úmero imagiario puro. E lo que sigue idetificaremos el úmero real a co el úmero complejo a +0i. De esta forma se puede eteder que el cojuto de los úmeros reales es u subcojuto de los úmeros complejos. 2. Operacioes Suma Dados dos úmeros complejos = a + bi y = c + di defiimos la suma + así: Propiedades de la suma. Si,,v C se verifica: 1. Comutativa: + = Asociativa: ( + )+v = +( + v). + =(a + c)+(b + d) i. 3. Existe u elemeto ulo para la suma, el 0 = 0 + 0i tal que +0=0+ = para todo C. 4. Cada úmero complejo = a + bi tiee u elemeto opuesto = a +( b) i tal que +( ) =0. 1

2 2.2. Producto Dados dos úmeros complejos = a + bi y = c + di se defie el producto así: =(ac bd)+(ad + bc) i. Propiedades del producto. Si,,v C se verifica: 1. Comutativa: =. 2. Asociativa: () v = (v). 3. Existe u elemeto uidad para el producto, el 1 = 1 + 0i tal que 1 =1 = para todo C. 4. Cada úmero complejo = a + bi 0 tiee u elemeto iverso 1 tal que 1 = 1 =1.Dehecho, si = a + bi 0setieeque 1 a = a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 i. Tambié se verifica ua propiedad que relacioa la suma y el producto: la propiedad distributiva del producto respecto de la suma ( + v) = + v. El iverso de lo represetaremos por 1 ypor1/ y = (1/)= 1. Para obteer la parte real y la imagiaria e ua divisió de úmeros complejos podemos hacer lo siguiete. Si = a + bi 0y = c + di = c + di a + bi =(c + di)(a + bi) 1 =(c + di) ( a a 2 + b 2 + b ) a 2 + b 2 i (c + di)(a bi) = a 2 + b 2. De cualquier modo, tras estudiar la cojugació y el módulo veremos otra técica más eficiete para calcular el iverso de u úmero complejo o dividir úmeros complejos. Observació. No es posible establecer e el cojuto de los úmeros complejos ua relació de orde que verifique las mismas propiedades que verifica la relació de orde que coocemos etre los úmeros reales Cojugado de u úmero complejo Sea = a + bi u úmero complejo. Se defie el cojugado de yserepresetapor como el úmero a bi. Propiedades del cojugado de u úmero complejo = (Egeeral: = ). 1 2 = 1 2.(Egeeral: 1 2 = 1 2 ). + =2Re() =2iIm() =(Re()) 2 +(Im()) 2. Por ello, si 0 etoces >0. Demostraremos esta última propiedad: Si = a + bi, etoces = a bi y =(a + bi)(a bi) = ( a 2 b ( b) ) +(a ( b)+ba) i = a 2 + b 2 =(Re()) 2 +(Im()) 2. 2

3 2.4. Módulo de u úmero complejo Se defie el módulo del úmero complejo = a + bi yserepresetapor, comoelúmero real Observacioes. = a 2 + b Nótese que =. Deahísededuce ahora que 1 = Podemos observar tambié que para dividir dos úmeros complejos /, basta co multiplicar umerador y deomiador por el cojugado del deomiador Propiedades del módulo de u úmero complejo. = 0 si, y sólo si, =0. =. = = = 1 2.(Egeeral: 1 2 = 1 2 ). Re(), Im() (Egeeral: ). Desigualdad triagular. Demostraremos esta última propiedad: = ( ) ( )=( )( ) = = Re( 1 2 ) Re( 1 2 ) = =( ) e la cuarta igualdad os basamos e que 1 2 = 1 2 = 1 2 y, por tato, =2Re( 1 2 ) Represetació de los úmeros complejos e el plao. Hemos defiido los úmeros complejos como úmeros de la forma = x + yi para x, y R. Estoospermite represetar al úmero complejo por el puto P del plao que tiee por coordeadas cartesiaas (x, y). A veces tambié lo respresetaremos por el vector que tiee su orige e O, el orige de coordeadas del plao, y por extremo el puto P. Iterpretado de esta maera, al plao cartesiao se le deomia tambié plao complejo. De esta forma la suma y la diferecia que hemos defiido se puede iterpretar e el plao complejo así: El producto que hemos defiido o tiee ua fácil iterpretació, por ahora, pero más adelate daremos ua iterpretació geométrica. Si el úmero complejo = x + yi se represeta por el puto P (x, y), su cojugado = x yi se represeta por el puto P (x, y) que es el simétrico de P respecto del eje X de abscisas (ver la figura siguiete). 3

4 El módulo del úmero complejo = x + yi, que hemos defiido como = x 2 + y 2,serepresetapor la logitud del segmeto OP (ver figura). Por tato, el módulo os puede ser útil para represetar distacias, logitudes de segmeto. Así, si los úmeros complejos 1 = x 1 + y 1 i y 2 = x 2 + y 2 i se represeta e el plao por los putos P 1 (x 1,y 1 )yp 2 (x 2,y 2 ), respectivamete, etoces ysumódulo 1 2 =(x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i)=(x 1 x 2 )+(y 1 y 2 ) i 1 2 =+ (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 represeta la distacia que existe etre los putos P 1 y P 2. Teiedo e cueta lo aterior, el cojuto de putos P (x, y) del plao que equidista del orige O ua catidad costate r, es decir, los putos P (x, y) que verifica x 2 + y 2 = r so los de ua circuferecia co cetro e el orige de coordeadas y radio r. Usado los úmeros complejos dicho cojuto se puede represetar por = r (ver figura). De la misma forma, si el úmero complejo 0 = x 0 + y 0 i se represeta e el plao por el puto C (x 0,y 0 ), etoces el cojuto de putos P (x, y) del plao que equidista de C ua catidad costate r, es decir, los putos P (x, y) que verifica (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = r, so los de ua circuferecia co cetro e C yradio r. Ésta, mediate los úmeros complejos, se escribe como 0 = r (ver figura). 0 0 = r 0 = r 2.6. Forma polar o trigoométrica de u úmero complejo. Como acabamos de ver, al úmero complejo = a + bi le correspode el puto P del plao de coordeadas (a, b). Si represetamos por r la logitud del segmeto OP, que ue el orige O de coordeadas y P,yporθ el águlo que forma OP co el semieje positivo de abscisas, se dice que (r, θ) so las coordeadas polares del puto P.Sir = 0, es decir, si P O, etoces el águlo θ o está defiido. Cosideraremos, por tato, que 0. Se etiede que θ es positivo si es medido e setido atihorario, y egativo e caso cotrario. Al úmero θ lo llamaremos argumeto de y lo represetaremos por arg (). Se sigue fácilmete que r =+ a 2 + b 2 = yquetgθ = y x. 4

5 Como a = r cos θ y b = r seθ, etoces se puede escribir así = a + ib = r (cos θ + iseθ) que deomiaremos forma polar o trigoométrica de. Los úmeros complejos 1 = r 1 (cos θ 1 + iseθ 1 )y 2 = r 2 (cos θ 2 + iseθ 2 ) so iguales 1 = 2 r 1 = r 2 y θ 1 θ 2 =2kπ co k Z. Iterpretació geométrica del producto de dos úmeros complejos. Si 1 = r 1 (cos θ 1 + iseθ 1 )y 2 = r 2 (cos θ 2 + iseθ 2 ), etoces 1 2 = r 1 (cos θ 1 + iseθ 1 ) r 2 (cos θ 2 + iseθ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 seθ 1 seθ 2 )+i(seθ 1 cos θ 2 +cosθ 1 seθ 2 )] = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 )+ise (θ 1 + θ 2 )] que os permite dar ua iterpretació geométrica del producto de dos úmeros complejos: cuado se multiplica dos úmeros complejos, se obtiee otro que tiee por módulo el producto de los módulos y por argumeto la suma de los argumetos. El iverso del úmero complejo = r (cos θ + iseθ) se puede obteer e forma trigoométrica del siguiete modo: 1 = 1 = 1 r (cos θ + iseθ) = 1 r cos θ iseθ (cos θ + iseθ)(cosθ iseθ) = 1 r = r 1 (cos θ iseθ) =r 1 (cos( θ)+ise( θ)). Del mismo modo podemos deducir que 1 = r 1 [cos (θ 1 θ 2 )+ise (θ 1 θ 2 )]. 2 r La fórmula de Euler. Observamos e los cálculos ateriores que el térmio f (θ) =cosθ + iseθ tiee las mismas propiedades que ua fució expoecial, pues f (θ 1 + θ 2 )=f (θ 1 )+f (θ 2 ). cos θ iseθ (cos θ) 2 +(seθ) 2 Es posible mostrar, auque está fuera del alcace de este curso, que la fució expoecial real e x puede extederse de maera raoable al caso de expoetes complejos y que dicha extesió es ecesariamete e iθ =cosθ + iseθ. Co esto se puede represetar = r (cos θ + iseθ) =re iθ. Propiedades: e iθ = e iθ e iθ =1 e iθ1 e iθ2 = e i(θ1+θ2) Se sigue que 1 = 1 = 1 r (cos θ + iseθ) = 1 r que coicide co el valor de 1 obteido ates. cos θ iseθ cos 2 θ +se 2 θ = 1 r e iθ 5

6 2.8. Potecias de úmeros complejos. Si = re iθ teemos: 0 = 1 (por coveio). 1 = = re iθ. 2 = r 2 e i2θ y, e geeral, = r e iθ para =1, 2, 3,... Se observa que la iterpretació geométrica de la potecia -ésima de u úmero complejo es secilla. Simplemete hay que elevar el módulo a y multiplicar el argumeto por. E la figura se observa dos ejemplos: para módulos mayor y meor que Si = 1, 2, 3,... llamamos m = y defiimos Etoces teemos = = ( 1) m. ( ) m ( ) m 1 1 = r e iθ = ( r 1) m e imθ = r e iθ. Fórmula de De Moivre: De lo aterior se sigue que si = e iθ, etoces (cos θ + iseθ) =cos(θ)+ise (θ), co Z. Potecias de la uidad imagiaria. Como caso particular de lo aterior teemos que i 0 =1 i 4 =1 i 8 =1 i 1 = i i 5 = i i 9 = i i 2 = 1 i 6 = 1 i 10 = 1 i 3 = i i 7 = i i 11 = i es decir, las potecias de la uidad imagiaria se repite de cuatro e cuatro. Por tato, para calcular, por ejemplo, i 1397 lo que haríamos sería dividir el expoete etre cuatro, hallar el resto, (e este caso se tedría 1397 = ) y expresar: i 1397 = i = ( i 4) 349 i 1 = i. 6

7 2.9. Raíces -ésimas de u úmero complejo. Se dice que el úmero complejo = re iθ es raí -ésima de 0 = r 0 e iθ0 0 si, y sólo si, = 0 : 0 = 0 =. Veamos cuátas raíces -ésimas tiee u úmero complejo. Segú la defiició dada deberá ser 0 = r 0 e iθ0 = ( re iθ) = r e iθ y de acuerdo co la defiició de igualdad de úmeros complejos dados e forma polar, { { r0 = r r = r 0 θ = θ 0 +2kπ θ = θ0+2kπ k =0, ±1, ±2,... Ahora bie, al dar valores a k obteemos Para k =0obteemoslaraí 1 = r 0 e i θ 0 Para k =1obteemoslaraí 2 = r 0 e i θ 0 +2π Para k = 1 obteemos la raí = r 0 e i θ 0 +2( 1)π Para k = obteemos la raí +1 = r 0 e i θ 0 +2π = r 0 e i( θ 0 +2π) yestaúltima raí +1 = r 0 e iθ 0 = 1. Por cosiguiete todo úmero complejo o ulo tiee raíces -ésimas. Represetació gráfica de las raíces. Observamos que todas las raíces -ésimas del úmero complejo 0 = r 0 e iθ0 tiee el mismo módulo r 0,ylosargumetosdedosraíces obteidas para k = p y k = p +1,se diferecia e θ 0 +2(p +1)π θ 0 +2pπ = 2π. Por tato, los putos que represeta a esas raíces so los vértices de u polígoo regular de lados iscrito e ua circuferecia co cetro e el orige de coordeadas y radio r 0. E la siguiete figura hemos represetado las raíces cuartas, quitas y sextas de u úmero complejo de módulo mayor que 1 y argumeto π/ Caso particular: Raíces -ésimas de la uidad. Elúmero 0 =1esuúmero complejo que tiee módulo uidad y argumeto cero, es decir, escrito e forma polar 0 =1=e i0. Etoces 1 = e i0 =cos0+ise0 = 1 1=e i 0+2kπ =cos 2kπ 2kπ +ise, para k =0, 1, 2,..., 1 que se deomia las raíces -ésimas de la uidad. 2 = e i2π/ =cos 2π + ise 2π 3 = e i4π/ =cos 4π + ise 4π = e i2( 1)π/ =cos 2( 1)π + ise 2( 1)π 7