La Teoría Introducción:

Transcripción

1 La Teoría Itroducció: La ecesidad de dar salida a ecuacioes del tipo x + 1=0, así como el coflicto que geera el hecho de o teer solució e el cuerpo de los úmeros reales el cálculo de radicales de ídice par co radicado egativo, motiva la itroducció de ua ueva estructura algebraica e la cual sea posible avaar e estos dos aspectos. Esta ueva estructura algebraica se va a apoyar e el cuerpo de los úmeros reales co sus dos operacioes usuales (suma y producto de úmeros reales), verificado las propiedades ecesarias. Veamos, pues. Defiició: Cosideremos el cuerpo (1) de los úmeros reales (R, +, ), a partir de éste, costruyamos el cojuto RxR, que deotaremos R, R ={ (a,b) / a y b so úmeros reales }, e este uevo cojuto defiimos dos operacioes: SUMA: (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d) PRODUCTO: (a,b) (c,d)=(ac-bd, ad+bc) Pues bie, llamaremos cuerpo de los úmeros complejos, abreviadamete (C,+, ), o, simplemete C, al cojuto R e el cual se ha defiido las dos operacioes ateriores, que, por otra parte satisface las propiedades ecesarias para dotar a dicho cojuto de estructura de cuerpo. A los elemetos de este cuerpo les llamaremos úmeros complejos, así pues: SUMA de úmeros complejos: (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d) PRODUCTO de úmeros complejos: (a,b) (c,d)=(ac-bd, ad+bc) Lógicamete, toda la operativa e el cuerpo de los úmeros complejos (C) vedrá codicioada por las operacioes ateriormete defiidas, y, sus propiedades, tedrá ua herecia directa de las propiedades de las operacioes del cuerpo (R, +, ). Veamos alguos ejemplos: (3,1)+(1,1)=(3+1, 1+1) = (4, ) (Suma de úmeros complejos) (3,1) (,4)=(3-1 4, ) = (, 14) (Producto de úmeros complejos) (0,1) (0,1)=(-1,0) (Resultado éste de eorme relevacia) Resultados obteidos segú hemos defiido ateriormete. Diferetes formas de expresar u úmero complejo. La otació (a,b) para expresar u úmero complejo recibe el ombre de forma cartesiaa. Tambié podemos expresar el complejo (a,b) de la forma a+bi (forma biómica), siedo i la llamada uidad imagiaria, es decir, u símbolo (letra i miúscula) co la siguiete propiedad: i =-1. Observemos que co la itroducció de la uidad imagiaria (i) y co las propiedades habituales de los úmeros reales, las dos operacioes ateriores quedaría de la siguiete forma: SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS: a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS: (a+bi) (c+di) = ac+adi+bci+bdi =ac+adi+bci-bd=acbd+(ad+bc)i - 1 X.B.

2 Operacioes totalmete coheretes co las defiicioes propuestas e la forma cartesiaa, y mucho más ituitivas. Es claro que e forma cartesiaa el úmero complejo i se escribiría como (0,1). E ambos casos, si llamamos =(a,b) o =a+bi, a se llama parte real del úmero complejo (Re()) y b la parte imagiaria del mismo (Im()). Así, si escribimos: =a+bi, a=re(), b=im(), observa que tato a como b so úmeros reales. Destacar dos úmeros complejos: 0=0+0i (Neutro para la SUMA) i=0+1i Supogo que ya te has dado cueta que, si i =-1, i +1=0, co lo cual x=i va a ser ua solució de la ecuació x + 1=0, e este caso ua solució compleja. De paso, justificamos la frase del curso aterior cuado idicábamos que este tipo de ecuacioes o teía solució e R, dejado abierta la posibilidad de solucioes e otras estructuras algebraicas, como así ha sido. = a + bi, a, b R Ejemplos: 3 + i, 4 3i, i, 3, -1 + i so úmeros complejos e su forma biómica (3, ), (4, -3), (0, ), (3, 0), (-1, ) so los úmeros complejos ateriores e su forma cartesiaa Revisemos: Dado el úmero complejo = a + bi a R, recibe el ombre de Parte real del complejo, otamos a = Re () b R, recibe el ombre de Parte imagiaria del complejo, otamos b = Im (). Así, e los ejemplos ateriores: 3 + i Re() = 3, Im () = 4 3i Re() = 4, Im () = -3 i Re() = 0, Im () = (Imagiario PURO) 3 Re() = 3, Im () = 0 (Real PURO) -1+ i Re() = -1, Im () = E particular, si Im () = 0, el úmero complejo se llama Real puro, y si, Re() = 0, el úmero complejo se llama Imagiario puro. Los úmeros reales puros so los úmeros reales ya coocidos. Ejemplos: 3 es u úmero Real Puro. ( 3 = 3 + 0i ) i es u úmero Imagiario Puro. (i = 0 + i ) E forma biómica C = { a + bi / a, b R }, juto co las dos operacioes (Suma y producto de úmeros complejos) tiee estructura de cuerpo. (C, +, ) Observa ua característica importate de los úmeros complejos, y es que o tiee sigo como tal úmero. No podemos hablar, pues, de úmeros complejos positivos o egativos, úicamete podemos referiros a los sigos de los úmeros reales que os permite defiir u úmero complejo, pero o al sigo de éste como tal. - X.B.

3 Tambié es muy coveiete saber, auque o lo demostremos, que o es posible ordear el cojuto de los úmeros complejos co ua relació de orde compatible co los úmeros reales, esto es, dados dos úmeros complejos cualesquiera, o podemos afirmar que uo sea mayor o meor que otro. Represetació de u úmero complejo La forma cartesiaa de u úmero complejo os permite asociar a cada úmero complejo e forma biómico a + bi, u úico par de úmeros reales (a,b), tal como hemos visto. Basta co represetar este par de úmeros reales e u Sistema de Coordeadas Rectagulares para obteer u puto (a,b) e dicho Sistema de Coordeadas, puto que llamaremos afijo del úmero complejo. E el eje de abscisas podremos la parte real del complejo, y e el eje de ordeadas la parte imagiaria. Gráficamete: =a+bi. Afijo: Puto A(a,b) a: Módulo de u úmero complejo Dado u úmero complejo = a + bi, defiimos su módulo, y lo represetamos por la letra r r = + a ² + b² Gráficamete Observa que r es la hipoteusa del triágulo rectágulo cuyos catetos so a y b. Ejemplo: Dado el úmero complejo = - + i, su módulo será: Aplicado la defiició aterior, tedremos que r = + a ² + b² = + ( )² + ( )² =. - 3 X.B.

4 Argumeto de u úmero complejo Dado u úmero complejo, = a + bi, a 0, defiimos su argumeto, y lo represetamos por la letra griega α a: α = arc tg a b, siedo α el águlo correspodiete al mismo cuadrate al que perteece el afijo del úmero complejo, Es decir, el argumeto de u úmero complejo es el águlo que forma co el semieje positivo de abscisas la semirrecta cuyo orige es el orige de coordeadas y que pasa por el puto correspodiete al afijo del úmero complejo. E caso de que a = 0, el argumeto del complejo es: π π si b>0 o - si b<0. Obviamete, puesto que los giros completos o produce variació algua e las raoes trigoométricas de u águlo, podemos cosiderar como argumeto del úmero complejo cualquier águlo obteido sumado giros completos a α, idepedietemete del α cosiderado. No obstate lo aterior, cosideraremos el águlo obteido e el primer giro (sea positivo o egativo), y compredido etre 0 α π, como el argumeto pricipal del úmero complejo, y a él os referiremos, por defecto, a lo largo de estos aputes. Ejemplo: Dado el úmero complejo = - + i, hallar su argumeto pricipal. Aplicado la defiició aterior, tedremos que α = arc tg II, ya que el afijo del complejo perteece al segudo cuadrate. Operado, llegamos a : α = arc tg 1 II, por lo tato α = 135º. Observa el dibujo propuesto. - 4 X.B.

5 Es fudametal la represetació e el plao del afijo del úmero complejo, puesto que el valor del argumeto depederá del cuadrate e el que se ecuetre éste. Debemos recordar las relacioes estudiadas e el tema TRIGONOMETRÍA: II: se ( π β ) = se β, cos ( π β ) = cos β, tg ( π β ) = tg β III: se IV: se ( π + β ) = se β, cos ( π + β ) = cos β, tg ( π + β ) = tg β ( β ) = se β, cos ( β ) = cos β, tg ( β ) = tg β, Y, a partir de éstas deducir el argumeto. Para ello, basta co cosiderar el valor de la tagete obteida e valor absoluto, idetificar este valor de la tagete a qué águlo del primer cuadrate perteece ( β ), y propoer como argumeto del úmero complejo: α = π β si α II α = π + β si α III α = π β si α IV Expresioes de u úmero complejo U úmero complejo se puede expresar de diferetes formas tal como hemos visto ateriormete (forma artesiaa y biómica ( No olvidemos las operacioes propuestas!)), revisemos y veamos otras: Forma cartesiaa =(a,b) a, b R Forma biómica = a + bi (o =a+bi), a, b R Forma polar E la forma polar, u úmero complejo se expresa a partir de su módulo y uo de sus argumetos, obviamete, para obteer la forma polar de u úmero complejo, habrá que hallar previamete módulo y argumeto de éste. = r α Forma trigoométrica Iterpretado geométricamete los coceptos módulo y argumeto del afijo del úmero complejo = a + bi, podemos deducir fácilmete que: - 5 X.B.

6 se b a α = => b = r se α y que cos α = => a = r cos α r r Sustituyedo e la forma biómica del úmero complejo, obtedremos: = a + bi = r cos α +r se α i = r (cos α + i se α ) =r (cos α + i se α ) Es la forma trigoométrica del úmero complejo. Observa! La expresió trigoométrica del úmero complejo hace de puete etre su forma polar y su forma biómica, para ello, basta co efectuar el producto que hay idicado. Igualdad de úmeros complejos Diremos que dos úmeros complejos so iguales, si: Forma cartesiaa: (a,b)=(c,d) a=c, b=d Forma biómica:a+bi=c+di a=c, b=d Forma polar: 1 = r α, = r ', 1 = r= r, β = α + k 360º, k Ζ β [Observemos a lo largo del tema, la utiliació idistita de la medida de águlos e radiaes o e Sistema sexagesimal]. Opuesto de u úmero complejo Dado u úmero complejo =a+bi, defiimos su úmero complejo opuesto (-), -= -a-bi. Por ejemplo, si =3-i, el opuesto de será, -=-3+i. Has observado que el opuesto lo expresamos co el sigo - delate del complejo. Así, para defiir la resta de úmeros complejos, - =+(- ). Secillo. U úmero complejo y su opuesto tiee el mismo módulo (demostració trivial), pero el argumeto pricipal del opuesto difiere e 180º del argumeto pricipal del complejo. Cojugado de u úmero complejo Dado u úmero complejo =a+bi, defiimos su úmero complejo cojugado ( _ ): _ = a-bi. Por ejemplo, si =3+i, el cojugado de será, _ =3-i. Has observado que el cojugado lo expresamos co ua barrita horiotal ecima del ombre del úmero complejo. U complejo y su cojugado tiee: la misma parte real, y sus partes imagiarias co sigo opuesto. Si =a+bi => _ =a +b (secillo de demostrar), es decir, _ = ρ U úmero complejo y su cojugado tiee el mismo módulo (demostració trivial), pero el argumeto pricipal del cojugado es el águlo opuesto ( α ) del complejo. Operacioes co úmeros complejos SUMA Por defiició: - 6 X.B.

7 E forma cartesiaa: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) E forma biómica: a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i Los complejos expresados e forma trigoométrica o polar debe expresarse e cualquiera de las formas ateriores para poder sumarlos. PRODUCTO Por defiició: E forma cartesiaa: (a,b) (c,d)=(ac-bd,ad+bc) E forma biómica: (a+bi) (c+di) = ac-bd+(ad+bc)i E forma trigoométrica: Si 1 =r (cos α + i se α ), =r (cos β + i se β ), 1 = r r' (cos ( α + β ) + i se ( α + β ) ) E efecto, 1 =(r(cos α + i se α )) r (cos β + i se β ) =r r (cos α cos β + i cos α se β + i se α cos β + i se α se β ) = r r (cos α cos β + i cos α se β + i se α cos β - se α se β ) =r r (cos α cos β - se α se β +i (cos α se β + se α cos β ) =r r (cos ( α + β ) + i se ( α + β ) ). E forma polar: 1 = r α, = r ' β => 1 = r r' α + β Cosecuecia directa de la propiedad aterior. COCIENTE Observemos que la expresió biómica de u úmero complejo exige la estructura a+bi, siedo a y b úmeros reales, pues bie, para efectuar el cociete de dos úmeros complejos expresados e forma biómica, recurriremos a la técica de multiplicar dividedo y divisor, o umerador y deomiador de la correspodiete fracció por u mismo úmero, e este caso el cojugado del úmero complejo del deomiador, veamos qué coseguimos E forma biómica Sea 1 =a+bi, =c+di a + bi ( a + bi)( c di) ac + bd + ( bc ad = = = c + di ( c + di)( c di) c + d 1 ) i ac + bd bc ad = + i c + d c + d Hemos coseguido expresar el cociete como u úmero complejo e forma biómica. E forma trigoométrica Si 1 =r (cos α + i se α ), =r (cos β + i se β ), 1 = r r' (cos ) ( β α + i se ( β ) α ) La demostració es muy secilla, operado igual que lo hemos hecho e forma biómica, pero co la expresió trigoométrica, y utiliado las propiedades de seo y coseo de la resta de águlos. E efecto, 1 : =(r(cos α + i se α )):r (cos β + i se β ) =(r:r )((cos α +i se α ):(cos β +ise β ))=(r:r )((cos α +ise α )(cos β - ise β )):((cos β +ise β )(cos β -ise β )=(r:r )(cos α cos β - i cos α se β + i - 7 X.B.

8 se α cos β + se α se β ) =(r:r )(cos α cos β + se α se β +i (-cos α se β + se α cos β ) =(r:r )(cos ( α β ) + i se ( α β ) ). E forma polar r, = 1 = α 1 r ' β r = r' α β Cosecuecia directa del resultado aterior. Potecia de base compleja y expoete atural E forma biómica Sea = (a+bi) y u úmero atural, =(a+bi), expresió que desarrollaremos co la técica adecuada (Idetidades otables, Biomio de Newto, etc.) E forma trigoométrica: Si =r (cos α + i se α ), = r (cos α + i se α ) (Fórmula de De Moivre) (La demostració, mediate iducció matemática excede el ivel del curso, para los más curiosos: Se comprueba para =1, se supoe para -1 y se demuestra para, co ayuda de las propiedades de las raoes trigoométricas, seo y coseo de la suma de águlos) E forma polar = ρ α, = ρ α Cosecuecia directa del resultado aterior. Radicació de u úmero complejo E forma polar = α r, buscamos úmeros complejos w de forma que w =, si expresamos w e forma polar, w= τ β, deberá cumplirse que: ( τ β ) = r α, es decir, e fució de la propiedad aterior: τ β = r α, lo cual implica que, τ =r, y β = α. La primera cosecuecia tiee ua propiedad imediata: τ = r, pero la seguda o es ta directa, puesto que si recordamos las propiedades de las raoes trigoométricas de u águlo y el cocepto de argumeto de u úmero complejo, tedremos que cosiderar la propiedad que os dice que los giros completos añadidos a u águlo (e cualquier setido) matiee ivariables sus raoes trigoométricas, así pues: k 360º β = α +k 360º, siedo k u úmero etero, operado, β = α +, k u úmero etero. E resume: r α = r α + K 360º, k Ζ, Obviamete, la fórmula aterior úicamete proporcioa raíces distitas cuado k=0, 1,, - 1, pues para los demás valores de k, es secillo comprobar que vamos obteiedo las raíces repetidas, que, por cierto o os iteresa. Pues bie, ua ve fialiada esta breve itroducció teórica, pasamos a - 8 X.B.

9 Los ejerccios 1. Represeta e el plao los afijos de los siguietes úmeros complejos: (,), (-,), (-,-3), (,-4) 1, -4, i, -3i 1+i, -+i, -3-3i, 3 3i Idica la parte real (Re()), y la parte imagiaria de cada uo de los úmeros complejos del ejercicio aterior. Idetifica, si los hay, reales puros e imagiarios puros.. Halla el módulo y el argumeto pricipal de los siguietes úmeros complejos: 1+i, -+i, -3-3i, 3 3i, 1, -4, i, -3i, (,), (-,), (-,-3), (,-4). 3. Utilia las defiicioes correspodietes para efectuar las siguietes operacioes e la forma e que se da y expresa el resultado e forma biómica: (,)+(-3,4), (1,0)+(0,1), (-,-3)+(,3) 1+i +(-+i), -3-3i+i, 1+i+(-1-i), +3i-(-3i) (,) (-3,4), (1,0) (0,1), (-,-3) (,3) (1+i) (-+i), (-3-3i) i, (1+i) (1-i), (4+3i) (4-3i), i i 4. Calcula, apoyádote e la propiedad de la uidad imagiaria: i, i 3 (i 3 =i i), i 4, i 5, i 6, i 7, i 8,i 9,i 10,i 70 (!),i (!!), i r (!!!) X.B.