Unidad I: Números Complejos

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1 Uidad I: Números Complejos INTRODUCCIÓN Desde Al'Khwarimi (800 DC), quie fuera precursor del Álgebra, sólo se obteía las solucioes de las raíces cuadradas de úmeros positivos El matemático italiao Girolamo Cardao (50-576) mecioa por primera ve e su libro Ars Maga (55) la ecesidad de defiir y utiliar úmeros que respoda a la forma a co a<0 E el libro aparece el siguiete problema: dado u segmeto de 0 uidades, dividirlo e dos partes de maera tal, que el área del rectágulo que se obtega co esas dos partes sea de 0 uidades cuadradas La solució debía ser fácil Si ua parte es x la otra parte es y x-0, tal que xy 0 Reemplaado: x(0-x) 0, operado x 0 x Al resolver la ecuació queda x, 5 ± -5 A tales solucioes el filósofo y matemático alemá Descartes ( ) las llamó imposibles o imagiarios, y e 67 dedujo que las solucioes o reales de las ecuacioes, so úmeros de la forma a+bi, co a y b reales Pero fue Karl F Gauss ( ) físico, matemático y astróomo alemá quie usó los úmeros complejos e forma realmete cofiable y cietífica CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Defiició: U úmero complejo es u par ordeado de úmeros reales, por lo tato se defie el cojuto de úmeros complejos de la siguiete maera: C {(a; b) / a R b R } Represetació gráfica de u úmero complejo De la defiició se deduce que, cada complejo se represeta e el plao real como u úico puto y a su ve cada puto del plao real represeta u úico úmero complejo Por lo tato, existe ua relació biuívoca etre el cojuto de los úmeros complejos y el cojuto de los putos del plao real A dicho puto se lo deomia afijo Tambié, se puede represetar a u úmero complejo mediate u vector deomiado vector posició que tiee su orige e el orige de coordeadas y su extremo e el afijo Im b Dado el complejo (a; b) o es el vector posició 0 a Re el puto de coordeadas (a; b) es el afijo

2 El eje de abscisas recibe el ombre de eje real y el de ordeadas de eje imagiario Parte real e imagiaria de u complejo Dado u complejo (a; b), la parte real es la primer compoete y la parte imagiaria es la seguda compoete, es decir: Parte real de Re () a Si (a; b) Parte imagiaria de Im() b Los complejos de la forma (a; 0) recibe el ombre de complejos reales puros, se los idetifica co C R y se ecuetra situados e el eje real; mietras que los complejos de la forma (0;b) se deomia complejos imagiarios puros y se ubica sobre el eje imagiario Igualdad etre complejos Sea los complejos (a; b) y (c; d), resulta a c b d Ejercicio: Hallar el valor de k y h reales para que los complejos ( k +; k h) y ( k; ) resulte iguales k + k Por defiició de igualdad de complejos, resulta k h resulta k - y reemplaado e la seguda ecuació h - De la primer ecuació Complejo ulo (a; b) el es complejo ulo, si y sólo si a b 0, aotádose (0; 0) 0 Complejo opuesto y complejo cojugado su opuesto es - (- a; - b) Si (a; b) su cojugado es (a; - b) Observar que e el complejo cojugado, la parte real queda igual y que la parte imagiaria cambia su sigo

3 Geométricamete Im (a; b) Im (a; b) - (-a;-b) Re Re (a; -b) Etre u complejo y su opuesto, existe ua simetría putual de cetro e el orige Etre u complejo y su cojugado existe ua simetría axial de eje real Ejemplo: Dado (-; 6) el opuesto es (; -6) y el cojugado es _ (-; -6) OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS )Adició: Dados los complejos (a; b) y (c; d), se defie: + (a; b)+(c; d) (a+c; b+d) La sustracció etre úmeros complejos se obtiee sumado al miuedo el opuesto del sustraedo: - +(- ) (a; b)+(- c; - d) (a - c; b - d) Propiedades: Ley de composició itera:, C : ( + ) C Comutatividad:, C : + + Existecia de elemeto eutro: (a;b) C, 0 (0;0) C / Existecia de elemeto opuesto: C, ( ) C / + ( ) + 0 Asociatividad:,, C : ( + ) + + ( ) ) Producto por u escalar: + Dado el complejo (a; b) y α R, se defie: α α(a; b) ( αa;α b) Propiedades: Ley de composició extera: α R, C : (α ) C Distributividad co respecto a la adició de complejos:

4 α R, +, C : α ( + ) α α Distributividad co respecto a la adició de escalares: α, β R, C : (α + β ) α + β Asociatividad mixta: α, β R, C : (α β ) α ( β ) De la uidad: C, R / ) Multiplicació: Dados los complejos (a; b) y (c; d): (a; b)(c; d) (ac- bd; ad+bc) Propiedades: Ley de composició itera:, C : ( ) C Comutatividad:, C : Existecia de elemeto eutro: (a;b) C, e (;0) C / e e Existecia de elemeto iverso: (a;b) 0 C, ' C / ' ' e (;0) Asociatividad:,, C : ( ) ( ) La poteciació de u úmero complejo co potecia atural, se resuelve como ua multiplicació reiterada: (a; b) (a; b)(a; b)(a; b) asociado de a dos los pares ordeados Ejercicio : Calcular : - ( ; ) + ) (; ) (; Cuado u cojuto co las operacioes adició y producto por u escalar cumple co las propiedades euciadas se dice que tiee estructura de Espacio vectorial a b El iverso multiplicativo de (a;b), a + b a + b

5 - ( ; ) + ) (; ) ( ; ( ) ) + ( ( )( );( ) + ( )) (; ( ;) +(8-; --) ( ;) +(5; -) ( ) ( + 5; + ( ) ; ) ( ; ) Ejercicio : Calcular (-; ) (-; ) (-; ) (-; ) [(-; )(-; )](-; ) [-(-)-; -+(-)](-; ) (-; --)(-; ) (-; -)(-; ) [-(-) - (-); -+(-)(-)] (+8; -6+) (; -) (; -) _ ISOMORFISMO ENTRE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS REALES PUROS Y LOS NÚMEROS REALES Existe ua fució biyectiva f:c R R deomiada isomorfismo etre el cojuto C R y los úmeros reales, de maera tal que f (a; 0) a Sea (a; 0) y (b; 0) se debe verificar que : a) f ( + ) f ( ) +f ( ) b) f ( ) f ( ) f ( ) D) a) f ( + ) f [(a; 0)+(b; 0)] f (a+b; 0) a+b por defiició del isomorfismo f ( )+ f ( ) b) f ( ) f [(a; 0)(b; 0)] f [(ab - 0; a0+b0)] f (ab; 0) ab f ( )f ( ) Ejercicio: Calcular el producto etre u úmero complejo y su cojugado _ (a; b)(a;-b) (aa -b(-b); a(-b)+ba) (a + b ; 0) a +b por defiició del isomorfismo etre C R y R De acuerdo al resultado obteido se eucia la siguiete propiedad: El producto etre u complejo y su cojugado es igual a la suma de los cuadrados de sus respectivas partes reales y partes imagiarias 5

6 UNIDAD IMAGINARIA Defiició: la uidad imagiaria es el úmero imagiario puro (0;) y se lo represeta co la letra i o j Ejercicio: Verificar que i - i (0;) (0;)(0;) (0-;0+0) (-;0) - por el isomorfismo etre C R y R Potecias sucesivas de la uidad imagiaria Se calcula alguas potecias N 0 de la uidad imagiaria i: i 0 i i i i 8 i i i i i 5 i i i i - i 6 (i ) - i i i -i i 7 i i 6 -i Se observa que cada cuatro potecies sucesivas de la uidad imagiaria se repite las solucioes, por lo tato, cuado se desea elevar i a ua potecia N 0 cualquiera, se puede proceder de la siguiete maera: r c Tal que c+r siedo r {0;;;}(posibles restos de la divisió por ) Luego i i (c+ r) i c i r ( i ) c i r c i r i r Ejercicio: Calcular i 60 Luego, i i i FORMA BINÓMICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Dado el úmero complejo (a;b) se lo puede escribir: (a; b) (a; 0)+(0; b) por defiició de adició (a; 0) +b(0;) por producto de u escalar por u complejo a+bi por el isomorfismo etre C R y R y por defiició de uidad imagiaria 6

7 Por lo tato, la forma biómica de u complejo (a; b) es a+ bi Ejemplo: Dado el complejo (-;6) su forma biómica es -+ 6i, su opuesto es - 6i y su cojugado es _ - - 6i OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA Sea los complejos a + bi y c + di ) Adició: + (a + bi) + (c + di) (a + c) + (b + d) i ) Producto por u escalar : α R : α α (a+ bi) α a + α bi ) Multiplicació: (a + bi) (c + di) (ac bd) + (ad + bc)i E efecto: (a + bi) (c + di) ac+ adi +bci +bdi ac + (ad+bc)i bd (ac bd) + (ad + bc)i ) Divisió : si 0 Al multiplicar el deomiador por el cojugado de, de acuerdo a la propiedad del producto de u complejo por su cojugado, queda la fracció dividida por u úmero real + i Ejercicio: Calcular ( ) i ( + i) El complejo elevado al cuadrado se lo desarrolla como u biomio poliómico elevado al cuadrado ( i + 9i ) ( + i) ( ) -5 i ( + i) 0 0 i 8 i i 58 i i i i i 58 i -+ i i + i - + i+ 58 i i i ( ) PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Sea los complejos a + bi y w c + di 7

8 ) El cojugado del cojugado de u úmero complejo es el mismo complejo: D) ( a + bi) ( a bi) a + bi ) La adició de dos complejos cojugados es igual al duplo de la parte real + Re() D) + (a + bi) + (a - bi) a Re() ) El producto de u complejo por su cojugado es u úmero real ( ) R ) U úmero complejo es real, si y sólo si es igual a su cojugado: R D) Codició ecesaria : R Si R a + 0i a por el isomorfismo etre R y C R a Codició suficiete : R Si a + bi a - bi bi - bi b 0 a R 5) El cojugado de ua adició de complejos es igual a la adició de los respectivos cojugados: D) + + w w _ + w (a + b i) + (c + d i) (a + c) + (b + d) i (a + c) (b + d) i a + c b i d i (a bi) + (c d i) + w _ 6) El cojugado del producto de u escalar por u complejo es igual, al producto del escalar por el cojugado del úmero complejo: D) α α _ α α (a + b i) αa + αb i αa αb i α (a bi) α 7) El cojugado de ua multiplicació de complejos es igual a la multiplicació de los respectivos cojugados: w w Esta propiedad ya fue demostrada co aterioridad e u ejercicio 8

9 D) w (a + b i) (c + d i) ac+ ad i + bc i + bd i (ac bd) + (ad+ bc) i (ac bd) (ad+ bc) i (ac bd) ad i bc i (ac ad i) (bd+ bc i) a(c d i) b(d+ c i) a(c d i) b i(c d i) (a b i) (c d i) w 8) El iverso del cojugado es igual al cojugado del iverso del complejo dado _ a _ a + b i _ a + b a b + b ( a b i) _ a a bi a b i a a b i a b i i i i a + b (a b ) (a + b ) + b i a + b i + b i a + b a _ a + b i a + b _ + a b + b i 9) El cojugado de ua divisió etre úmeros complejos, es igual a la divisió de los respectivos cojugados del umerador y del deomiador Sea w o ulo : w w D) w _ ( ) ( w ) w w w ( ) por w por propiedad propiedad 8 w MÓDULO DE UN COMPLEJO Dado el complejo (a; b) El módulo del vector o se represeta co o ρ Para calcularlo se emplea el teorema de Pitágoras e el triágulo 0a: ρ a + b luego ρ 7 a + b b θ 0 a 9

10 De acuerdo a la fórmula, el módulo de u complejo es igual a la raí cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte imagiaria Ejercicios: Calcular el módulo de los siguietes complejos -+i ( ) i 0 5i 0 + ( 5) 5 5 PROPIEDADES DEL MÓDULO DE UN COMPLEJO Dados los complejos a + bi y w c + di ) El módulo de todo complejo es mayor o igual que su parte real Re() D) a R : a a a a + b a a a a Re() ) El módulo de todo complejo es mayor o igual que su parte imagiaria Im() D) b R : b b b a + b b b b b Im() ) El producto de u complejo por su cojugado es igual al cuadrado de su módulo D) (a + b i )(a bi) a (b i) a + b ) El módulo del producto de dos úmeros complejos es igual al producto de sus módulos w w D) Por la propiedad aterior: w ( w) ( w) w w w w w primer y último miembro : w w simplificado cuadrados 5) El módulo de la suma de dos complejos es meor o igual que la suma de los módulos + w + w del 0

11 D) + w cetrales so w+ w por la propiedad luego : Re( + w + w ( + w) ( + w) ( + w) ( + w) + w + w + w w + w + w + w + w + + w complejos w) w w+ w Re( w) reemplaado : + w, Re( w) + + Re( w) cojugados w w + w + w + w (II) + w y su sumado miembro a miembro (I) y (II) : + Re( w) + w ( suma + + w ) es el w + duplo de cacelado simplificado w + w + w w Re( w) w la parte w Re( w) cuadrados : real,es decir : los térmios + Re( w) + w w (I) 5) El módulo de ua potecia de expoete atural es igual a la potecia del módulo D) veces ARGUMENTO DE UN COMPLEJO El águlo determiado etre el semieje positivo de abscisas y el vector o se deomia argumeto Cuado el argumeto está compredido detro del primer giro se lo llama argumeto pricipal represetádolo θ Coocidos los valores de la parte real e imagiaria b de u complejo, resulta que: tg θ luego b θ arc a tg a Coocido el argumeto pricipal, existe ifiitos águlos cogruetes co él y todos difiere e giros completos, es decir e k co k etero, luego θ θ + k Para facilitar el cálculo del argumeto se tiee presete que si α º Cuadrate, los águlos equivaletes e los restates cuadrates cuyas fucioes trigoométricas se matiee ivariates se obtiee haciedo:

12 equivalete e º cuad: º Cuad: º Cuad : α + α α Ejercicio Hallar los argumetos de los siguietes complejos: -+ i ; -- i ; - i ; ; 5 i ; 6-5 ; 7 -i -+ i º Cuad θ arc tg arc tg θ -- i º Cuad θ arc tg arc tg + - i º Cuad θ arc tg θ θ 6 Cuado el complejo perteece al eje real o al eje imagiario, el cálculo del argumeto se facilita observado el águlo formado etre el semieje real positivo y el vector posició del complejo: 5 Im Re El semieje positivo real determia co el vector posició de u águlo de 0 grado θ 0 5 i Im Re El semieje positivo real determia co el vector posició de 5 u águlo de 90 grado θ 6-5 Im -5 Re El semieje positivo real determia co el vector posició de 6 u águlo de 80 grado θ 7 -i Im - Re El semieje positivo real determia co el vector posició de 7 u águlo de 70 grado θ

13 Forma trigoométrica de u complejo Dado el complejo (a; b) a+ bi, de acuerdo a la figura: a cos θ a ρ cosθ ( I ) ρ b se θ b ρ se θ (II) ρ b Im θ a Re Reemplaado (I) y (II) e la forma biómica : ρ cos θ + ρ seθ i ρ( cosθ + iseθ ) Para facilitar el trabajo e forma trigoométrica coviee teer presete lo siguiete: a) Sigo de las fucioes (seo, coseo, tagete) e los distitos cuadrates: cuadrate Fucioes positivas I Todas II seo III tagete IV coseo b) Reducció de u águlo al º cuadrate: Si β º Cuad: β γ º Cuad : γ δ º Cuad : -δ Hay autores que a la forma trigoométrica la llama tambié forma polar, otros e cambio a la escritura ρ ( ρ; θ ) la deomia expresió polar θ Ejercicio Hallar la expresió trigoométrica de -+5i θ ρ arc tg ( ) º57'9'', rad Luego, ( cos, rad + ise, rad)

14 Ejercicio Hallar la expresió biómica de (cos + i se ) El argumeto represeta a u águlo de 5º co lo cual º Cuad, luego el coseo resulta egativo y el seo positivo, siedo el águlo equivalete e el º Cuad, luego se puede escribir: (cos + i se )(- cos + i se ) (- + i ) + i Los resultados trigoométricos se podría haber obteido directamete empleado ua máquia de calcular Igualdad de complejos e forma trigoométrica Sea los complejos ρ( cosθ + iseθ ) y ρ ( cosθ + iseθ ) resulta: ρ ρ θ θ OPERACIONES EN FORMA TRIGONOMÉTRICA ) Multiplicació: el producto de dos complejos e forma trigoométrica es igual a otro complejo e forma trigoométrica cuyo módulo es igual al producto de los módulos y su argumeto es igual a la suma de los argumetos de los complejos dados θ ( θ H) ρ ( cosθ + ise ) T) ρ ρ [cos( θ + θ) + i se ( θ + θ) ] ρ cosθ + ise ) θ θ D) ρ cosθ + ise ) ρ cosθ + ise ) ( ( ρ (cosθ cosθ + i cosθ seθ + iseθ cosθ seθ seθ ρ (cosθ cosθ seθ seθ + i (cosθ seθ seθ cosθ ρ ) ρ + )) E el parétesis, la parte real es el desarrollo del coseo de la suma de dos águlos, es decir cos ( θ + θ ) y la parte imagiaria es el desarrollo del seo de la suma de dos águlos: se( θ + θ ) Reemplaado: ρ ρ [cos( θ + θ ) + i se ( θ + θ ) ]

15 ) Divisió: la divisió etre dos complejos e forma trigoométrica es igual a otro complejo e forma trigoométrica cuyo módulo es igual al cociete de los módulos y su argumeto es igual a la diferecia de los argumetos de los complejos dados H) ρ cosθ + ise θ ) T) ( θ ρ cosθ + ise ) o ulo ( ρ [ cos( θ θ ) + i se( θ θ )] ρ D) ρ θ + θ (cos ise ) ρ (cosθ + ise ) ρ ρ θ ρ (cosθ + iseθ ) (cosθ iseθ ) ρ (cosθ + ise ) (cosθ iseθ ) θ cosθ i cosθ seθ + i seθ cosθ i seθ seθ ) cos θ + se θ ( cosθ E el deomiador se aplicó la propiedad de producto de u complejo por su cojugado y por la relació pitagórica trigoométrica resulta cos θ + se θ ρ ρ cosθ cosθ i cosθ seθ + iseθ cosθ + seθ seθ ) ( ρ ρ (cosθ cos se se (se cos cos se )) θ + θ θ + i θ θ θ θ E el parétesis, la parte real es el desarrollo del coseo de la diferecia de dos águlos, es decir cos ( θ θ ) y la parte imagiaria es el desarrollo del seo de la diferecia de dos águlos: se( θ θ ) Reemplaado: θ ρ [ cos( θ θ) + i se( θ ) ] ρ ) Poteciació Fórmula de De Moivre Dado ρ (cosθ + iseθ ) si N, resulta: [ ρ (cosθ + iseθ ) ] pero, es decir, calcular es lo mismo que multiplicar a por sí mismo veces, veces luego de acuerdo a la multiplicació de complejos e forma trigoométrica, se debe multiplicar su módulo veces y sumar veces su argumeto: [ ρ (cosθ + iseθ ) ] ρ ρ ρ [cos( θ + θ + + θ ) + i se( θ + θ + + θ ) ] ρ (cos θ + i se θ ) Fórmula de De Moivre 5

16 Se aalia que sucede cuado la potecia es ula o etera egativa Si 0, reemplaado e la fórmula: 0 ρ 0 ( cos0 θ + i se0 θ ) (cos0 + ise 0) (+ i0), solució que verifica el primer miembro Si la potecia es u úmero etero egativo se puede escribir: - k co k atural, reemplaado e la fórmula de De Moivre: k - k ρ [cos ( k θ ) + i se ( k θ ) ] por relacioes trigoométricas del águlo opuesto queda - k k ρ [cos (k θ ) i se (k θ ) ] Luego la fórmula de De Moivre puede aplicarse a cualquier potecia etera Ejercicio: Siedo + i y -, calcular y 8 Se calcular primero las expresioes trigoométricas de cada complejo: + i ρ + θ arc tg ρ θ ( ) cos + ise ( cos ) 5 + i se 5 ( i ) [ (cos + ise ) ] i cos i se cos + + i se i se (cos + ise (cos + ise ) [ cos( ) + ise ( ) ] 8 8 (cos 8 + ise 8 ) (cos + ise (cos + ise ) (cos + ise ) 6 6 (cos + ise ) 6

17 ) Radicació: Sea ρ (cosθ + iseθ ) 0 se quiere calcular w r (cos δ + i se δ ) (I ) w w reemplaado queda : ρ (cos θ + ise θ ) [ r (cosδ + i seδ ) ] aplicado e el segudo miembro De Moivre: ρ (cosθ + iseθ ) r (cos δ + i se δ ) Por igualdad de complejos e forma trigoométrica se tiee que: ρ r θ + k δ r ρ θ + δ k reemplaado r y δ e θ + k θ k ρ (cos + i se ) co k 0;;;; (-) + (I) El úmero de solucioes complejas de es, por este motivo al argumeto pricipal se le suma giros completos, los cuales está limitados por los valores que toma la variable k que es la que represeta el úmero de giros completos Si k toma valores superiores a (-), los argumetos que se va obteiedo resulta coicidetes co los hallados para valores iferiores o iguales a (-) E efecto: θ + k E la expresió se reemplaa k por 0;;; y se compara co los obteidos de reemplaar k por ; +; +; θ + 0 θ k 0 θ + θ k + se compara co el argumeto obteido para: θ θ + θ + θ + θ k + para: se compara co el argumeto obteido θ + ( + ) θ + + θ θ θ k

18 θ + θ + θ k + obteido para: se compara co el argumeto θ + ( + ) θ + + θ θ θ k E cada ua de las comparacioes ateriores se observa la repetició del valor del argumeto Por otro lado se puede hallar los argumetos para k ; ; ; (-) e fució del obteido para k 0 pues a partir del primer argumeto obteido para k 0 los demás argumetos forma ua progresió aritmética de raó E efecto: Si al argumeto hallado para k 0 se le suma, se obtiee el calculado para k Si al argumeto hallado para k se le suma, se obtiee el calculado para k Las solucioes de la raí -sima de u complejo represeta gráficamete los vértices de u polígoo regular iscripto e ua circuferecia que tiee el cetro e el orige de coordeadas y su radio es r ρ Cuado se quiere calcular las raíces -simas de u complejo real puro, se ecierra al úmero co doble parétesis para difereciar el comportamieto complejo del real Si C R se escribe (()) Ejercicio : Hallar todas las solucioes de la ecuació : x x x (( 7)) de esta forma 7 o es cosiderado como u úmero real sio como u complejo Luego -7 7 y θ, reemplaado e la fórmula de radicació: + k + k ((-7)) 7 (cos + i se ) co k 0;; A cada ua de las solucioes de la raí se la desiga co w k (cos + i se ) (cos + ise ) ( + w 0 + i k 0 W 0 i) k 8

19 + + w (cos + i se ) (cos + i se ) (cos + ise ) w - k w (cos + i se ) (cos + i se ) (cos ise ) w Gráficamete: i E este caso queda determiado u triágulo equilátero iscripto e u circuferecia de cetro e el orige de coordeadas y radio _ FORMA EXPONENCIAL E los cursos de Aálisis se demuestra que la fució f(x) e x co x real, se puede expresar mediate el siguiete desarrollo e series: e x x x x + x !!! Asimismo, la fució f(x) e x, coserva las propiedades básicas de los úmeros reales, es decir: a) e 0 b) e x e y e x + y 9

20 Para preservar estas propiedades reales, se defie la forma expoecial compleja de la siguiete maera: Fórmula de Euler Se emplea la fórmula de Euler para demostrar las propiedades reales euciadas: e 0i cos 0 + ise 0 e xi cos x + i se x e xi e yi (cos x+ i se x)( cos y+ i se y) cos (x+y) + i se (x+y) por producto de complejos e forma trigoométrica e ( x + y)i E cosecuecia, ρ (cos θ + ise θ ) ρ e θ i ρ e θ i Forma expoecial del complejo Igualdad de complejos e forma expoecial Dados los complejos ρ e θ i y w r e δ i w ρ r θ δ Ejemplo: El complejo -i tiee módulo ρ 8 siedo su argumeto θ 7 i tato, la forma expoecial de -i es e 7, por lo OPERACIONES EN FORMA EXPONENCIAL: Dados los complejos ρ (cosθ + ise θ ) ρ e θ i y w r (cos δ + ise δ ) r e δ i ) Producto: w ρ e θ i r e δ i ( θ + δ )i ρ r e ) Cociete: θ i ρ e ρ ( θ -δ ) i e co w o ulo w δ i r e r ) Potecia: ( ρ e θ i ) θi ρ e Si o es ulo, la fórmula de poteciació sirve para los eteros egativos

21 LOGARITMACIÓN EN C Dado el complejo o ulo ρ (cosθ + ise θ ) ρ e θ i, se quiere calcular el logaritmo de De acuerdo a la defiició de logaritmo e reales se tiee: ( I ) L w e w ( II ), dode w es u complejo de la forma w x + yi Reemplaado y w e ( II ): ρ e θ i e ( x +yi) ρ e θ i e x e yi por igualdad de complejos e forma expoecial: e x ρ ; y θ ρ e x l ρ le x l ρ xle l ρ x y θ + k co k Z (IV) (III) Reemplaado (III) y (IV) e (I) teiedo e cueta que w x+yi: L l ρ + ( θ + k) i Co k etero De la fórmula del l se deduce que so ifiitas las solucioes, siedo éstas pares ordeados de la forma (l ρ ; θ +k ), tal que la parte real es costate y la imagiaria difiere e Gráficamete, las solucioes está alieadas respecto de la recta vertical x l ρ, e efecto: θ + w solució para k θ + w solució para k θ w 0 solució e el primer giro θ - w - solució para k - Cuado k 0 se obtiee el valor pricipal de l, aotádose: VPl l ρ +θ i Ejemplo: Hallar el l (- + i) y el valor pricipal

22 - + i ρ + 6 θ arc tg (- ) Luego l l + + k i siedo VP l l + i EXPONENCIAL COMPLEJA GENERAL Dados los complejos y, tal que o sea el complejo ulo; se desea calcular el complejo Los valores de se obtiee mediate la siguiete defiició: e l Ejemplo: Calcular el valor pricipal de (-+i) i De acuerdo a la defiició : (-+i) i e i l (-+i) ( I ) Se calcula el Vp l (-+i): l ρ l + θ arc tg pues +i perteece al º Cuad Vp l (-+i): l +i Reemplaado e ( I ): (-+i) i e i l (-+i) e i[ l + i ] e i l e l i - 9