TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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1 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado y opuesto de u úmero complejo Igualdad de úmeros complejos Módulo de u úmero complejo. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA Suma. producto de u º complejo por u º real, producto, cocete de úmeros complejos e forma bómca Potecas de la udad magara Poteca de úmeros complejos e forma bómca 3. NÚMERO COMPLEJO EN FORMA POLAR 4. COMPLEJO EN FORMA TRIGONOMÉTRICA 5. PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 6. COCIENTE DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR 7. POTENCIA DE UN NÚMERO COMPLEJO EN FORMA POLAR 8. RADICACIÓN DE UN Nº COMPLEJO EN FORMA POLAR 9. FÓRMULA DE MOIVRE. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Aproxmadamete e el año 75 d.c., el matemátco grego Dofato, plateó el sguete problema: Dado u trágulo de área 7 udades cuadradas y de perímetro udades, calcular sus lados.

2 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo S embargo, o teía setdo, e aquella época, las raíces cuadradas de úmeros egatvos, las raíces reales o exactas El matemátco suo Leohard Euler ( ), fue posblemete el prmero e utlar la letra, para desgar, de este modo, s teemos por ejemplo, lo expresaremos así: Las solucoes de la ecuacó ateror sería: De esta forma se defe UN NUEVO CONJUNTO DE NÚMEROS, el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS como los úmeros de la forma: C a b / a, b R Se deoma forma bómca del º complejo a a b sedo: ( ) ( ) se le deoma udad magara. Nota: Los úmeros reales so úmeros complejos cuya parte magara b es ula, esto es: Los úmeros magaros puros so los que tee la parte real ula. Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u º complejo Defmos {( ) } esto es el cojuto de putos del plao. Al úmero complejo le asocamos la pareja ( ), que se deoma AFIJO del º complejo. De éste modo, podemos represetar el úmero complejo a través del par (a, b) e uos ejes coordeados Represeta el úmero complejo =6+4 (6,4) Dagrama de Argad para represetar u úmero complejo = a + b ( )

3 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo Cojugado y Opuesto de u úmero complejo Dado u úmero complejo, el úmero complejo cojugado y se escrbe, tee la prmera compoete gual y la seguda cambada de sgo. Los afjos de u úmero complejo y su cojugado so smétrcos respecto del eje OX. 3 3, 3 3, Propedades del cojugado: Dado u úmero complejo, el úmero complejo opuesto y se escrbe, tee las dos compoetes cambadas de sgo. Los afjos de u úmero complejo y su opuesto so smétrcos respecto del orge O = (0,0). 3 3, 3 3, Igualdad de úmeros complejos Dos úmeros complejos y so guales s sus respectvas compoetes lo so, esto es: a b a, b Será guales a a y b b a b a, b Módulo de u úmero complejo Sea a b a, b, se defe el módulo de como: El módulo represeta la logtud del segmeto OP, basta para ello aplcar el Teorema de Ptágoras. a b O a b P = El módulo de u úmero complejo, de su cojugado y de su opuesto Calcular el módulo de, Propedades del módulo: so guales. 3

4 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo Nota: E el caso e que el complejo sea u úmero real su módulo cocde co su valor absoluto, pues sería a 0 a 0 a lo que os permte utlar el msmo símbolo para ambos coceptos: el módulo de u complejo es ua geeralacó del valor absoluto.. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA Suma de úmeros complejos Sea a b a b etoces: a a b b Iterpretacó geométrca: se suma medate la regla del paralelogramo. Producto de u úmero real por u úmero complejo Sea a b R etoces: a b Potecas de la udad magara ( ) se repteel bloque,,-,- Para hallar la poteca -ésma de la udad magara: se reala la dvsó etera de ""etre 4, r sedo "r" el restode la dvsó etoces calcular Producto de úmeros complejos e forma bómca Sea a a a b a b etoces se defe: ( a b ) ( a b b ( a b b ) a a b a ) a b b a b b a a a b b a b b ( 3 ) ( ) ( ) 6 8 4

5 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo Cocete de úmeros complejos e forma bómca Sea ( a ( a aa a b a b etoces se defe: b ) ( a b ) ( a a b ) ( a b ) ( a a b b a bb b aa b) aa b ) a b b ( b a b a b b a bb ( b a a b ) ) Poteca de úmeros complejos e forma bómca m m! Se defe el úmero combatoro!( m )! 5 5!!(5 )! 5!!3! 54 0 Para obteer los úmeros combatoros podemos hacer uso del trágulo de Tartagla: La poteca de u bomo: 0 0 ( x y) x y x y x y... x y 0 k k e geeral u sumado será de la forma: x y k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo 3. NÚMERO COMPLEJO EN FORMA POLAR Sea el úmero complejo ( a, b) a b Hemos defdo aterormete el módulo de : Módulo del º complejo como la dstaca del puto (a, b) al orge, vee dado por Ahora además defmos el argumeto de : Argumeto del º complejo como el águlo que forma el vector de poscó co el semeje postvo real. Ates de cotuar hay que darse cueta de que el módulo de u complejo queda uívocamete determado pero el argumeto o del todo, ya que s teemos que α es el argumeto de u umero complejo, etoces α+kπ, dode k es u umero etero, es també argumeto del complejo. Es por ello que, lo que vamos a hacer, es quedaros co u tervalo de logtud π, el tervalo [ π, π] y al úco águlo que esté e ese tervalo es lo que llamaremos el argumeto prcpal de y lo deomamos arg() y al cojuto de todos los argumetos Arg(). El ARGUMENTO PRINCIPAL de u complejo = a + b 0 será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Arg() = { cojuto de todos los argumetos } = {α+kπ dode α = arg() = argumeto prcpal α [ π, π] } S ( a, b) a b etoces e forma polar se escrbe: r sedo r y el argumeto pasar a la forma polar los sguetes complejos (, ) módulo ( ) argumeto prcpal arcta arcta( ) 4 4 6

7 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo 3 (, 3) módulo ( ) ( 3) 3 argumeto arcta arcta( 3) ( 3, ) módulo ( 3) ( ) 4 5 argumeto arcta arcta( ) COMPLEJO EN FORMA TRIGONOMÉTRICA S os fjamos e la fgura observamos que: Tedremos: a b r cos ( r se ) r (cos se ) se deoma forma trgoométrca. Resumedo, las formas que hemos vsto de represetar u úmero complejo so:. E forma de Par: a, b. E forma Bómca: a b 3. E forma Polar: r dode r a b y el argumeto prcpal 4. E forma Trgoométrca: r cos se sedo r módulo y el argumeto prcpal Expresar e todas las formas el úmero complejo, : Par:, Bómca: 7

8 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo Polar: r dode r 8 y arcta arcta 4 por tato 4 Trgoométrca: cos se 4 4 S se desarrolla la trgoométrca se obtee la forma bómca: cos se ( ) PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Sea los úmeros complejos r y r etoces el producto es u úmero complejo que tee de módulo el producto de los módulos y de argumeto la suma de los argumetos, esto es: Demostracó: ( r r ) Expresemos el producto co los úmeros complejos y expresados e forma trgoométrca y desarrollamos el producto r cos se r cos se r r cos se cos se r r (cos cos cos se se cos se se ) r r ((cos cos se se ) (cos se se cos ) ) r r (cos( ) se ( )) ( r r ) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA S multplcamos u º complejo = r β por otro º complejo de módulo y argumeto α, lo que estamos hacedo es GIRAR u águlo α el º complejo, pues recordemos que s realamos el producto e forma polar teemos: r β α = r β+α α α β β 8

9 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo 6. COCIENTE DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Sea los úmeros complejos r y r etoces el cocete es u úmero complejo que tee de módulo el cocete de los módulos y de argumeto la dfereca de los argumetos, esto es: Demostracó: r r Expresemos el cocete co los úmeros complejos y expresados e forma trgoométrca y multplcamos y dvdmos por el cojugado del deomador: r cos se r cos se cos se r cos se r cos se cos se cos se cos se cos cos r r se se r (cos cos cos se se cos se se ) r (cos ) ( se ) r (coscos se se ) ( se cos cos se )) r cos se r cos( ) se( ) r cos( ) se( ) r cos se r r cos( ) se( ) r r r 7. POTENCIA DE UN NÚMERO COMPLEJO EN FORMA POLAR Sea el úmero complejo r etoces la poteca es u úmero complejo que tee de módulo elevado a el argumeto multplcado por, esto es: r Demostracó: r r r... r r 8. RADICACIÓN DE UN Nº COMPLEJO EN FORMA POLAR Sea el úmero complejo R etoces la raí -ésma e forma polar será u úmero complejo m tal que: R r r R Etoces para obteer y, teedo e cueta lo ateror: 9

10 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo r R r R de dode : r R r R el módulo " r " será la raí ésma de R la dfereca de k k Z arg umetos será u múltplo etero de vueltas : k de dode : k 0,,,...( ) exstrá raíces dst tas de arg umetos,,... para los dst tos valores de k Las raíces de R se obtee grado la raí ésma prcpal co gros sucesvos de ampltud π/. Es decr, s represetamos todas las raíces ésmas de obteemos putos sobre ua crcufereca de cetro (0,0) y rado que forma u polígoo regular de lados EJEMPLO: Calcular 3 sedo k k k 0,, k 6 3 k k k k 0 3 3(cos se ) , k 3 3(cos se ) , k 3 3(cos se ) , 3 0

11 Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo Represetemos gráfcamete los afjos de las raíces y veamos qué fgura forma: k 3 k k co k 0,, Luego cada raí se obtee de la ateror grado 0 grados: Los afjos de las raíces so los vértces de u trágulo equlátero. 9. FÓRMULA DE DE MOIVRE Sea el úmero complejo e forma polar Y por otra parte: De dode resulta: M M, sabemos que: M M M se cos M M se cos cos se M cos se Smplfcado se obtee la fórmula de De Movre: cos se cos se Esta fórmula srve para calcular raoes trgoométrcas de águlos múltplos de uo dado.