ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS:

Transcripción

1 SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS: Teorema S G={v, v,, v } es u sstema fto de geeradores de u subespaco S V K-EV, etoces G`= {v, v,, v,w} sedo w combacó leal de vectores de G, també geera a S. Demostracó : Supogamos S`geerado por G`. Probaremos que S`= S v S v = v S` v = = = α.v α.v v = α.v + βw = = α.v + α.v + β = α δ.v = =.v +.w v S` ( α + βδ ).v v S S=S` Corolaro: S G={v, v,, v } es u sstema geeradores LD de u subespaco S V K-EV, etoces exste algú v G tal que G`=G-{v } geera S. Álgebra B Facultad de Igeería UNMdP Copyrght

2 SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS: Ejemplo: Hallar, s es posble, codcoes sobre a y b reales para que G={(,-,),(,,-)} y G`={(,-,),(,,-),(,a,b)} geere el msmo subespaco S R. G es LI o LD? (,a,b) = α(,,) + β(,, ) Por qué? Exste codcoes sobre a y b? Etoces G` se puede escrbr G`=.. Cuál es la forma explícta del subespaco S? Álgebra B Facultad de Igeería UNMdP Copyrght

3 BASES: Hemos defdo a V como K-espaco vectoral de tpo fto s está geerado por u úmero fto de vectores. Es decr, s exste u sstema de geeradores G={v,..., v r }. Ejemplo: E R, G = {u = (,, ), u = (,, ), u =(,, )} es lealmete depedete, pues el sstema asocado a la combacó leal trval tee la sguete represetacó matrcal A: el rago de la matrz escaloada A es máxmo: Se verfca que v R, v se escrbe como c.l. de G. Luego G geera R S embargo, el cojuto T = {u =(,, ), u =(,, ), u =(,, )} es lealmete depedete, pues su represetacó matrcal B es: Se verfca que T o geera R. el rg (B)=< (o es máxmo). Álgebra B Facultad de Igeería UNMdP Copyrght

4 BASES: Defcó: Sea V u K-espaco vectoral y S Vsubespaco. B={v,..., v } es base de S s B es u sstema de Geeradores LI. Ejemplo : B = {(,)} es base de S= {(x,y)/ x=} R a) (,) S pues x= y sea v=(x,y) S v = (,y) = α(,) α=y/. Luego B geera a S. b) α(,)=o α=, luego B es u cojuto LI. Ejemplo : C={(,),(,)} es base de R. Se llama BASE CANÓNICA, C es u cojuto LI y además para todo (x,y) R, α=x y β=y coordeadas de la c.l. e la base C. OBSERVACIÓN: Las bases so ORDENADAS. La base caóca de R está formada por los vectores {e,..., e }, sedo Álgebra B Facultad de Igeería UNMdP Copyrght e = } (,,...,,,... )

5 SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS: Observacó: a) de todo sstema de geeradores se puede obteer ua Base seleccoado los vectores LI. b) S v es u vector o ulo, v perteece a ua base. c) Dado u cojuto de vectores lealmete depedetes, sempre es posble añadr vectores LI hasta teer ua base (completacó). Ejemplo : Sea G={ (,,),(,,),(,-,),(,,)} R. Obteer u sstema de geeradores de S = {(x, x, x ) / x = x + x } que sea LI. Es Base?, es úca? Ejemplo 4: Es B =,, R x x base de S = {(a? j ) / a + a = } R Teorema: Sea V u K-espaco vectoral fto, y sea B sstema de geeradores de V. Etoces B es ua base s y sólo s todo vector de V se puede expresar de ua úca maera como combacó leal de los vectores de B. Álgebra B Facultad de Igeería UNMdP Copyrght 5

6 BASES y DIMENSIONES: E el Ejemplo, podemos seleccoar como bases de S por ejemplo a B={(,,),(,-,)} R y B`={ (,,),(,,)} R Las coordeadas e la base B: x =α, x =β y x =α+β. Las coordeadas e la base B`: x =α, x - x = β y x =α+β. Ambas bases tee la msma catdad de geeradores LI. Dcho úmero se llama CARDINAL. Teorema (Teorema de la base). Sea V u K-espaco vectoral fto. Todas las bases de V tee el msmo cardal (úmero de elemetos). A este úmero se le llama dmesó de V. Observacó: a) S V={}, etoces dm V=. b) Ua base de u K- espaco vectoral V {} co dmv= está formada por cualesquera vectores lealmete depedetes. c) V {} es u K- espaco vectoral co ua base formada por vectores, etoces cualquer cojuto de + vectores es lealmete depedete. Álgebra B Facultad de Igeería UNMdP Copyrght 6

7 BASES y DIMENSIONES: Dmesó de u subespaco: Es el úmero de vectores que coforma ua base del subespaco S V K-EV. S B={v,..., v r } es base de S, etoces dm S= r. Observacó: Sea V u K-EV de dmesó. S teemos las ecuacoes mplíctas que caracterza u subespaco S V, es decr, u sstema homogéeo que caracterza los elemetos de S. S A es la matrz de coefcetes del sstema homogéeo, se demuestra que: dm S = rg(a)= dm V º de codcoes LI. Álgebra B Facultad de Igeería UNMdP Copyrght 7

8 BASES: Ejemplos: Dado el subespaco S R / S={(x,y,z)/x-y=}. Determar dm S, B S y exteder dcha base al espaco total. Iterpretacó geométrca de subespacos Sea V = R y S R es u subespaco vectoral:. S dm S =, S = {} es u puto (el orge).. S dm S =, B S = {u} es la recta que pasa por el orge co vector de dreccó u.. S dm S =, B S = {u; v} es el plao que pasa por el orge co vectores de dreccó u y v. 4. S < k = dm S < -, S es u k-plao que pasa por el orge. 5. S dm S = -, S es u hperplao que pasa por el orge. 6. S dm S =, S = R es todo el espaco. Álgebra B Facultad de Igeería UNMdP Copyrght 8

9 BASES: Ejemplos: ) dmr = Es B={(,), (,)} base caóca? ) S S = {(x,x,x ) / x = x x = 5x } dm S=. Justfque. R 4 ) S = {(x,x,x,x4 ) / x = x = x + x = } R Determe la dm S y ua base de S. a b x 4) S = /a + b + c = d = R Determe la dm S, c d ua base de S y luego extédala a ua base del espaco total. Álgebra B Facultad de Igeería UNMdP Copyrght 9