TEMA 4: NÚMEROS COMPLEJOS

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1 TEMA : COMPLEJOS 1 EN FOMA BINÓMICA 1.1 DEFINICIONES Sabemos que la resolucó de alguas ecuacoes de º grado coduce a ua raíz cuadrada de u º egatvo. Dcha raíz o tee setdo e el cojuto de los úmeros reales. Por ejemplo; x 0 x x 8x 5 0 x 9 E prcpo se creyó que era mposble darle u setdo a los símbolos y empezó a operar co estas expresoes como s fuera reales, del sguete modo: 9, pero se x 1 x y se seguía maejado 1 como u o real. Deftvamete, se hzo ecesaro amplar el cojuto de los úmeros reales, defedo u º magaro cuyo cuadrado fuera gual a -1. Se llama udad magara al º Se represeta co la letra. 1, y se defe como u o que multplcado por sí msmo da -1. E geeral, s a y b so dos úmeros reales, al o a+b se le llama úmero complejo, sedo a su parte real y b su parte magara. La forma a+b del º complejo se deoma forma bómca: s b=0, el o complejo es u o real. s a=0, el o complejo queda e la forma b, y se dce que es u o magaro puro. El cojuto de los úmeros complejos se represeta co la letra C, y es ua amplacó del cojuto de los úmeros reales. 1 C = { a+b / a,b } Ejemplos: So úmeros complejos los sguetes: +3, l+5, (magaro puro), -3(º real) 1 3, Ejerccos: 1º) esuelve las sguetes ecuacoes e el cojuto de los úmeros complejos: x 6x 13 0 d) x x 5 0 b) x x 1 0 e) x 1 0 x x 7 0 f) x 3 x x 8 0 1/7 IB IES LA NÍA

2 1. EPESENTACIÓN GÁFICA. AFIJOS U o real a puede represetarse por u puto A stuado e ua recta XX', llamada precsamete recta real. Hacedo grar el segmeto OA, que represeta al o a, alrededor del puto O 180, se obtee el segmeto OA', que represeta al º -a. Luego, la multplcacó de u º por -1 se puede terpretar geométrcamete como ua rotacó de 180º. Puesto que, esto sugere que la multplcacó por la mtad de la ateror, es decr, ua rotacó de 90º puede terpretarse como Así, se ha covedo, que los úmeros magaros vee represetados e ua recta perpedcular al eje XX'. U o complejo cualquera a+b se represeta gráfcamete por u puto P del plao, de coordeadas (a,b). Dcho puto se cooce co el ombre de afjo del º complejo. Afjo del úmero complejo a+b Así pues, represetaremos los úmeros complejos e u sstema de coordeadas cartesaas, e el cual el eje de abscsas se llama eje real, y el eje de ordeadas eje magaro. MODULO Y AGUMENTO DE UN Nº COMPLEJO. FOMA POLA S represetamos e u sstema de coordeadas el o complejo escrto e la forma a+b, el puto P, y por tato el o complejo a+b, queda també defdo por la logtud, r, del vector OP, y por el águlo. La logtud r se llama módulo, y el águlo que forma llama argumeto del º complejo. OP co el eje OX se Teemos las relacoes: complejo a la forma polar. Por tato, el º complejo puede expresarse e la forma: r, llamada forma polar r a b b tg a /7 del o complejo. que os permtrá pasar de la forma bómca del o El módulo es sempre postvo y el valor de queda restrgdo a la prmera crcufereca; el cuadrate de dcho águlo depederá de los sgos de a y b.

3 ecíprocamete, s teemos u º complejo e forma polar r : b se b r se r a cos a r cos r Luego: a+b = r.cos +.r.se = r.(cos + se) que se llama forma trgoométrca, y permte pasar de polar a bómca Ejerccos: º) Expresa e forma polar los sguetes úmeros complejos: a. b. c. d º) Expresa e forma bómca: a. 3 30º b. c. d. 6 5º 1 90º 50º e. f. g. h e º f. g IGUALES, OPUESTOS Y CONJUGADOS 3.1 IGUALES S vee dados e forma bómca y so guales, debe teer guales, respectvamete, sus partes reales y sus partes magaras. z 1 =a+b, z =c+d: S z 1 =z a=c y b=d S vee dados e forma polar, debe teer el msmo módulo, y, los argumetos, debe ser guales o dferr e u o etero de vueltas de crcufereca. z r z r' : S z z r r' y k 1, 1 3. OPUESTOS: E forma bómca: z = a+b z = ab, es el opuesto del complejo z. los complejos opuestos está represetados por putos smétrcos respecto del orge de coordeadas. E forma polar: sus módulos debe ser guales y sus argumetos dfere e π radaes. Geométrcamete, calcular el opuesto de u complejo equvale a sumarle a su argumeto 180º: z r z r 180º 3/7

4 3.3 CONJUGADOS; E forma bómca:, es el cojugado del º complejo z. Dfere e el sgo de sus compoetes magaras y está represetados por putos smétrcos respecto al eje X. z r z a b E forma polar: sus módulos debe ser guales y sus argumetos suma π radaes, o lo que es lo msmo, so águlos opuestos: z r z r360º r Nota: S ua ecuacó de grado co coefcetes reales, tee raíces complejas, éstas so cojugadas. Ejerccos º) Calcula los opuestos y los cojugados de: 5 b) 10º 5º) Cosdera el º complejo z = +3. Se pde; Su opuesto b) Su cojugado El cojugado de su opuesto d) El opuesto de su cojugado Justfca gráfcamete la relacó que exste etre estos dos últmos. 6º) Obté la solucó de las sguetes ecuacoes y represétalas: x + = 0 b) 3x + 7 = 0 x + 6x + 10 = 0 OPEACIONES CON.1 SUMA La suma de úmeros complejos debe realzarse sempre e forma bómca. Se defe de la sguete maera: z a b y z c d z z ( a ( b d) 1 1 Es decr, se suma por separado las partes real e magara: ( 3 ) (6 7) 9 5 S los úmeros está expresados e forma polar, prmero deberá pasarse a bómca, se sumará y se volverá a pasar a polar.. PODUCTO E bómca: Dos úmeros complejos se multplca aplcado la propedad dstrbutva: (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd = ac+ad+bcbd = (acbd)+(ad+b E forma polar: Para ver cómo se multplca dos complejos e forma polar vamos a usar la forma trgoométrca: S z 1 r y z r' : r r' ( r. r' ) : /7

5 = z1 z r r' r(cos se) r'(cos se) r r' (coscos cosse se cos sese ) r r' (coscos sese) ( se cos cosse) ( r. r' ) = r r' (cos( ) se( )) El producto de dos úmeros complejos e forma polar es otro o complejo que tee por módulo el producto de los módulos, y por argumeto la suma de los argumetos. Ejerccos: 7º) Multplca los sguetes úmeros complejos: ( 3 )(1 ) b) ( 1 )(1 ) 3 30 º 150º d) ( 1 3 ) 5 e) f) ( 3 ) ( 1 5 )(6 3 ) ( ) 8( 3 3) 5 ( ) 8º) Cosdera el trágulo cuyos vértces so los afjos de los úmeros complejos z z 1 z 3 3 1, z 3 6. Qué le ocurre al trágulo s multplcamos los tres úmeros complejos por? Por qué deberíamos multplcar para hacer grar el trágulo 30º?, 9º) Escrbe ua ecuacó de º grado co coefcetes reales, de modo que ua solucó sea 3 300º.3 COCIENTE E bómca: Para dvdr úmeros complejos hay que hacer desaparecer el o del dvsor; para ello se suele usar las msmas téccas que e la racoalzacó de deomadores co raíces cuadradas. E geeral, el proceso que se sgue es multplcar umerador y deomador por el cojugado del deomador. S el dvsor es magaro puro, basta co multplcar por. a b ( a b)( c d) ac ad bc bd c d ( c d)( c d) c d ac bd c d bc ad c d a b ( a b) a b d d d E polar: Vamos a usar també la expresó trgoométrca: S z 1 r y z r' : b d r r r' r' a d z1 z r(cos se) r'(cos se) r(cos se)(cos se) r'(cos se)(cos se) 5/7

6 r(coscos cosse se cos sese) r'(cos se ) r(cos cos sese) ( se cos cosse) r' r. cos( ) se( ) = r' El cocete de dos complejos e forma polar es otro º complejo de módulo el cocete de los módulos, y de argumeto la dfereca de los argumetos. r r' Ejercco: 10º) Calcula b) (1 ) 6 d) (1 ) 1 (3 3 )( ) (3 ). POTENCIACIÓN E bómca: Se hace desarrollado la poteca del bomo (a+b) multplcado por sí msmo. Para ello vamos a estudar cómo so las potecas del o : Los valores de las potecas de se repte después de, luego las potecas de tee sólo valores posbles; 1, 1,,. Para calcular potecas de muy elevadas dvdmos el expoete etre, = c+ c c ( ) c 1, sedo =0,l,,3 Así pues, dvdremos el expoete de etre, y, la poteca pedda, es la msma que la que tee por expoete el resto de esa dvsó. Como evdetemete sólo tomará los valores 0,1,,3, el valor de la poteca sempre será: l, l,,. E polar: La poteca -ésma del complejo se obtedrá como ua geeralzacó del producto: ( ) r r... r ( r ). r Este resultado se llama fórmula de Moívre. Para elevar u o complejo e forma polar a ua poteca, se eleva el módulo a esa poteca y el argumeto se multplca por ella. 6/7

7 Ejerccos: 11º) Calcula las sguetes potecas: 1) ) 3) ) ( 5) ( 3 ) ( 6 6 ) ( 3) 5) 6) 7) 8) ) 10) 11) 1 ( 1 ) º) Calcula u úmero complejo z, sabedo que su parte magara es 3 es u úmero real. 3, y que su producto por 13º) Halla dos complejos cojugados tales que el trágulo que tee como vértces sus afjos y el orge de coordeadas, sea equlátero y su área valga. 1º) Calcula el cocete a 3u y determa a para que el módulo del cocete sea 15º) Halla dos úmeros complejos tales que su suma sea l+, el cocete de ambos sea u º real, y la parte real del 1 sea...5 ADICACIÓN No es coveete, secllo hacerlo e forma bómca, metras que e forma polar es muy fácl: S z es el o del cual queremos calcular la raíz -ésma: r ( r ) ( r ). r k r k Dádole a k los valores: 0,1,...., ( -1) se obtee argumetos dsttos etre sí, y ya o hay más raíces uevas. Luego, u úmero complejo tee raíces -ésmas dsttas, todas del msmo módulo (la raíz -ésma del módulo), y por argumeto (β+kπ)/. Se puede represetar geométrcamete los valores de la raíz -ésma de u º complejo, y ver que so los vértces del polígoo regular de lados scrto e ua crcufereca de rado la raíz - ésma de. EJECICIOS: 16º) Calcula las sguetes raíces y represeta sus afjos: 3, º) Comprueba que 3 es solucó de la ecuacó: x 1 0,,,, 3 8,, 6,,, 18º) S (1-) es ua raíz cúbca de u º complejo z, calcula el complejo z y sus restates raíces cúbcas º) esuelve las sguetes ecuacoes: x 3 0, x x 0, x x 8 0, x 1 0 7/7