CÁLCULO NUMÉRICO (0258)

Transcripción

1 CÁLCULO NUÉRICO (58) Tema 4. Apromacó de Fucoes Juo. Ecuetre los polomos de meor grado que terpola a los sguetes cojutos de datos plateado y resolvedo u sstema de ecuacoes leales: 7 y y y - y -. Ecuetre las formas de Lagrage y Newto para los polomos de las tablas aterores y verfque que so equvaletes.. Establezca la relacó que guarda el método de falsa poscó co la terpolacó de fucoes. 4. Sea la sguete tabla de datos y - a. Ecuetre el polomo de meor grado que terpola los datos e la base caóca b. Ecuetre la forma de Lagrage para el polomo de terpolacó c. Ecuetre la forma de Newto para el polomo de terpolacó 5. La ecuacó 9 tee ua solucó e [,]. Ecuetre el polomo de terpolacó sobre,.5, para la fucó e el lado zquerdo de la ecuacó. Igualado a cero el polomo de terpolacó y resolvedo dcha ecuacó, ecuetre ua solucó apromada de la ecuacó. 6. Supoga que f() tee u cero e el tervalo [-,] y que además f( ) 9, f() y f(). Dar ua estmacó de la localzacó del cero. 7. Se desea apromar la fucó f() cos() e el tervalo π π [, ], por u polomo de grado dos. Utlzado los dos etremos del tervalo y el puto medo de ambos, obteer el polomo terpolador medate el método de dferecas dvddas. Prof. José Lus Qutero

2 8. S se terpola la fucó e f() co u polomo p de grado, utlzado odos e [-,], cuál es ua buea cota superor para f() p() e [-,]?. 9. Se desea efectuar ua terpolacó cuadrátca (grado ) de la fucó f() e. Los putos, y está gualmete espacados, es decr, h y + h. S el puto y los putos y se ecuetra e el tervalo [,], calcule el mámo valor de h para que el error cometdo e la terpolacó sea a lo sumo /6.. Use el polomo de Lagrage de grado tres o meor, para apromar cos(.75) utlzado los valores: cos(.698).766, cos(.768).79, cos(.7).74, cos(.8) Determe ua cota del error para la apromacó. El valor real de cos(.75) es.77 (co cuatro cfras decmales). Eplque la dscrepaca etre el error real y la cota del error.. Sea {,,..., } putos dsttos e R, y sea l los correspodetes polomos de Lagrage. Demuestre que para toda k k l().. Sea l los polomos de Lagrage. Demuestre que para toda l().. Demuestre que s p es u polomo de grado que terpola a la fucó f e,, putos dsttos e R etoces f() p() [f() f( )]l()....,, 4. Demuestre que la forma del polomo de terpolacó de Lagrage de prmer grado puede epresarse e otacó de determates como dode p () f( ) y p () f( ). p, () p () p () 5. Demuestre que p,() p,,(). p (), 6. Sea j. j w() ( ) Prof. José Lus Qutero

3 Demuestre que la forma de Lagrage del polomo que terpola a la fucó f e,,..., puede epresarse como p () w() f( ) ( )w'( ) 7. Sea j. j,j w ( ) Tome e cueta la forma de Lagrage para demostrar que s o es u odo, etoces el polomo de terpolacó se puede calcular medate la fórmula f( ).w.( ) p (). w.( ) Esto se llama la forma barcétrca del proceso de terpolacó de Lagrage. 8. Sedo j P,,,(.5). j para j,,,,, P,() +, P,() y P,,(.5) 4, ecuetre 9. Se sospecha que grades catdades de tao e las hojas de robles maduros, hbe el crecmeto de la pollla de vero (Operophtera L., Geometrdae) larva que daña etremadamete estos árboles e certos años. La sguete tabla muestra el peso promedo de dos muestras de larvas e los prmeros 8 días de haber acdo. La prmera muestra fue tomada de las hojas jóvees de u roble, metras que la seguda muestra fue tomada de las hojas maduras del msmo árbol. a. Use la terpolacó de Lagrage para apromar la curva del peso promedo para cada muestra. b. Ecuetre ua apromacó al valor mámo del peso promedo de cada muestra determado el mámo del polomo de terpolacó. Día uestra, Peso promedo (mg) uestra, Peso promedo (mg) Demuestre que s g es ua fucó (o ecesaramete u polomo) que terpola a la fucó f e los odos,,..., y s h es ua fucó tal que s < h( ) ( ), s etoces para algua c la fucó g() + c.h() terpola a f e,,...,. Prof. José Lus Qutero

4 . Determe el polomo de terpolacó correspodete a los sguetes datos: f( ) 4. Dada la sguete tabla geerada por dferecas dvddas, complétela y costruya el polomo de terpolacó de meor grado posble: f( )???. Para la fucó f() l( ): a. Costruya la forma de terpolacó de Lagrage que pasa por los putos.,.,.,.4 de f(). b. Aprome el valor de la fucó e.7 usado el polomo del apartado ateror. 4. Para ua fucó f() se tee la sguete formacó:...4 f() a. Aprome f(.) usado la forma de Lagrage de grado dos. b. Aprome f(.) usado la forma de Newto de grado dos. c. Determe el mámo error que se puede cometer e las apromacoes calculadas aterormete s el mámo de la tercera dervada de f() (e valor absoluto) e [.,,4] es Use los valores sguetes para costrur ua apromacó polómca de Lagrage de tercer grado para f(.9). f(.).94, f(.5).44, f(.).9, f(.5).49 La fucó que se está apromado es log(tg()). Use esta formacó para ecotrar ua cota para el error e esta apromacó. 6. Sea la sguete tabla de datos y Ecuetre la forma de Newto del polomo de terpolacó de estos datos utlzado las dferecas dvddas. 7. De f se cooce los sguetes datos: a. + sedo f() p (), p u polomo cuadrátco. Prof. José Lus Qutero 4

5 f( )???? b.???, correspodete a ua tabla de dferecas dvddas.? c. f[,,]. Utlce las propedades para completar el arreglo del cso b y determe a f. 8. Demuestre que s g terpola a la fucó f e,,..., y s h terpola a f e,,...,, etoces la fucó ( )g() + ( )h() k() terpola a f e,,...,. 9. Sea Demuestre que Q() a. l() ( )Q'( ) b. ' Q''( ) l( ) Q'( ) j Q() ( ). j. Respoda cada ua de las sguetes afrmacoes co ua y sólo ua de las posbles respuestas: sempre, uca o alguas veces, acompañada de ua justfcacó. a. Dados + putos dsttos e R y sus correspodetes mágees, este u úco polomo de grado que terpola los datos b. Dados putos dsttos e R y sus correspodetes mágees, este u úco polomo de grado + que terpola los datos c. Cuado se terpola u polomo Q() de grado co + putos dsttos, el polomo terpolador P () es gual a Q() g() l() l (), ( ), ( k ), k tee raíces reales d. k e. Sea los odos,,..., tal que < <... <, l ' ( ) >. Sabedo que demuestre que: a. b. α α f,,..., f( ) ( j), j,j α Prof. José Lus Qutero 5

6 c. α. Ecuetre la recta que mejor se ajusta a los sguetes datos: y Ajuste a ua líea recta los valores de y y e las dos prmeras columas de la tabla aea y Ecuetre la curva del tpo mímos cuadrados. b y a.e que mejor se ajusta a los putos de la tabla usado 4 y Demuestre que el sstema que se forma al ajustar ua tabla de + putos a la curva b y (a) por mímos cuadrados, tomado el logartmo eperao, es:.l(y ) b. ( ).l(a ).l(a ).l(y ) b. (.l(a )) 6. Se desea ajustar el cojuto de putos {(,y ) /,,...,} a la curva * y b((a) + ). Demuestre que s el ajuste se realza por mímos cuadrados, el cálculo de los parámetros a * y b de y queda determado por el sstema o leal: (a ) (y b(a ) b) ( + )b y (a ) (y b(a ) b) Prof. José Lus Qutero 6

7 RESPUESTAS a. p() b. p() ( )( ) ( )( ) + ( )( ) c. p () + ( ) ( )( ) h Demostracó 4. Demostracó 5. Demostracó 6. Demostracó 7. Demostracó P (.5) ,,, p () + ( 5) + ( 5)( + 7) + 4( 5)( + 7)( + 6) 7. f() + 8. Demostracó 9. Demostracó. a. b. c. d. Sempre e. Sempre. Demostracó.. y y 4.48.e Demostracó 6. Demostracó Prof. José Lus Qutero 7