LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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1 LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate b ac y su relacó co las solucoes S el dscrmate era egatvo se djo que la ecuacó o teía raíces reales so que las raíces era magaras o complejas Vamos ahora a estudar los úmeros complejos que os dará la dea completa de la solucó de la ecuacó de segudo grado y ua extesó de los cojutos umércos Realaremos lo que se llama la defcó axomátca del cojuto de los úmeros complejos Seccó Defcó y operacoes e el cojuto de los úmeros complejos Defcó Llamamos cojuto de los úmeros complejos y lo deotamos co la letra al cojuto de los pares de úmeros reales a, b e el cual defmos las sguetes operacoes: Suma a, b c, d a c, b d Multplcacó a, b c, d ac bd, ad bc E el úmero complejo a, b llamaremos a a la parte real y a b la parte magara Note que la suma y producto de pares o está defda e Dos propedades que cumple los pares de úmeros reales y que se matee para los complejos so: Igualdad,, a b c d a c b d Multplcacó por u escalar ( a, b) ( a, b) dode Ejemplo Dados, y 0, 3, hallar: a), 0, 3 0, ( 3), b), 0, 3 (0) ( 3), ( 3) (0) 3, 6 c),0, 3, 3, 6, 5, 8 Como los úmeros complejos so pares de úmeros reales podemos efectuar ua represetacó de los msmos medate el plao (Gráfca ) E esta represetacó se le dce eje real (Re) al eje de las x y eje magaro (Im) al eje de las y

2 Gráfca : Represetacó del úmero complejo ( a, b ) Podemos cosderar que los úmeros reales está cotedos e los úmeros complejos puesto que e el plao el úmero complejo a,0 cocde co el úmero real a De este modo teemos a ( a, 0) cuado a Los úmeros complejos de la forma (0, b ) so llamados magaros puros Vamos a demostrar la propedad de la multplcacó por u escalar : a, b a, b Para eso escrbmos el úmero real e la forma,0 y aplcamos la defcó de multplcacó: a, b,0 a, b a 0 b, b 0 a a, b Deotaremos el úmero complejo (0,) co la letra y lo llamaremos udad magara Es fácl demostrar que (0,) (0,)(0,) 0(0) (), 0() (0) (, 0) Ahora estamos e codcoes de resolver la seclla ecuacó x 0 x 0 x x x Forma bómca de u úmero complejo Sea ( a, b) u úmero complejo Etoces podemos escrbrlo e la forma: ( a, b) ( a,0) (0, b) a (,0) b(0,) Pero como (, 0) y (0,), etoces ( a, b) a b E este caso a b se llama forma bómca o boma del úmero complejo Suma y multplcacó de úmeros complejos e la forma bómca a b c d a c b d, puesto que a, b, c, d so todos úmeros reales a bc d ac ad bc bd ac bd ad bc porque Ahora observe que los resultados so los msmos que las defcoes de suma y producto dados al co; por lo que la realacó de las operacoes de suma y multplcacó co úmeros complejos se puede realar e la forma de pares o e la forma bómca, co la vetaja a favor de la forma bómca que se trabaja co las reglas del álgebra y o es ecesaro memorar ada uevo

3 Ejemplo S (3, ) y (, ), halle y (3, ) (, ) 3 7 (3, )(, ) (3 )( ) 3 8 ( ) ( 3 8) 5 Cojugado de u úmero complejo S x y es u úmero complejo llamaremos cojugado del úmero, al úmero x y, es decr, al úmero complejo que tee la msma parte real que pero la parte magara de sgo opuesto Ejemplo S 3, etoces 3 y s 3, etoces 3 Módulo y argumeto de u úmero complejo Sea ( a, b) a b u úmero complejo cualquera Llamaremos módulo del úmero complejo, al úmero real dado por a b y lo deotaremos por El módulo se terpreta como la dstaca al orge del úmero (Gráfca ) Por otra parte, llamaremos argumeto del úmero complejo a b, al águlo compreddo etre el eje x y el rado vector que determa a El argumeto de se deota por arg( ) y se calcula medate la expresó: arg( ) arcta b a Gráfca : Módulo y argumeto de u úmero complejo Propedad: Demostracó: a b a b a ab ab y ( )( ) a b ab ab a b 0 a b Dvsó de úmeros complejos La dvsó de úmeros complejos se reala medate la multplcacó y dvsó por el cojugado del deomador: 3

4 a b a b c d ac bd ( ad bc) ac bd ( ad bc) c d c d c d c d Ejemplo Dados 3 y, halle: (a) y (b) (a) Como etoces (b) Para hallar multplcamos y dvdmos por el cojugado 3 3 ( 3 )( ) ( )( ) ( ) () Raíces complejas de la ecuacó de segudo grado S el dscrmate de la ecuacó raíces complejas de la ecuacó ax bx c 0 es egatvo, debe sustturse el sgo egatvo por y de esa forma se obtee las Ejemplo Resolver la ecuacó x x 6 0 Aplcado la fórmula de la ecuacó cuadrátca: x () ( ) ( ) ()(6) 0 Se puede ver que el dscrmate es 0 lo cual puede escrbrse como 0 Por lo tato: x 5 Así, las raíces complejas de la ecuacó so: x 5 y x 5

5 Ejerccos de la Seccó ) Dados los úmeros complejos (3, ) y w (, ), halle: (a) w, (b) w, (c) 3 w, (d) (,0)w, (e) (0, ) ) Muestre que (0,0) es el elemeto eutro para la suma de úmeros complejos 3) Muestre que (,0) es el elemeto eutro para la multplcacó de úmeros complejos ) Calcule: (a) 3, (b), (c) 5, (d), (e) 5) Calcule: (a), (b), (c), (d) 3 6) Dado el úmero complejo ( x, y ) halle el par ( u, v ) tal que ( x, y)( u, v) (,0) Al par se le llama verso multplcatvo de ( x, y ) Cocluya que el par ( u, v ) es úco y que el (0,0) o tee verso multplcatvo 7) Verfque que 8) Verfque que uv y uv so cojugados 9) Calcule: (a) 3 3, (b) 3 0) Resuelva la ecuacó ( ) 3 ) Halle tal que ( )( ) ) Calcule y represete e el plao complejo los úmeros x y, tales que: (a) 5, (b) 5 3) Calcule y represete e el plao complejo los úmeros x y tales que: (a) 5, (b), (c) ) Resuelva la ecuacó cuadrátca 5) Resuelva la ecuacó cuadrátca 6) Resuelva la ecuacó cuadrátca x 3x 3 0 x x 5 0 x 3x 8 0 7) Resuelva la ecuacó x 3x

6 Seccó Forma trgoométrca o polar de u úmero complejo La forma trgoométrca de u úmero complejo se establece observado el trágulo amarllo de la Fgura 3: E este caso se tee que r ( x, y) y que Gráfca 3: Forma trgoométrca de u úmero complejo y arg( ) ta x Luego: y s y r s r x cos x r cos r Por lo tato: ( x, y) x y r cos r s r(cos s ) Ésta es la llamada forma trgoométrca o polar del úmero complejo, la cual está e térmos del módulo y el argumeto Se deota comúmete por r cs Ejemplo: Halle la forma trgoométrca de Hallemos r () ( ) y ta Note que está e el cuarto cuadrate Por lo tato: cos s cos s cs Multplcacó de úmeros complejos e su forma trgoométrca Sea u r cs y v s cs, etoces u v rscs E otros térmos: cos( ) s( ) uv rs Demostracó: 6

7 u v r cs s cs rscs cs rscos s cos s rscos cos cos s s cos s s rscos cos s s (cos s s cos ) rscos( ) s( ) ( rs)cs( ) Por lo tato, la multplcacó de dos úmeros complejos e su forma trgoométrca da como resultado u úmero complejo cuyo módulo es gual al producto de sus módulos y cuyo argumeto es gual a la suma de los argumetos Ejemplo Sea u cs y v 3 cos se 3 cs Etoces u v 6cs(0) 6 cos(0) s(0) 6 Fórmula de Movre Empleado el resultado del Ejercco 3b de esta seccó, r cs( ), y tomado r, teemos: Esta expresó es la llamada fórmula de Movre cos s cos( ) s( ) Forma expoecal de u úmero complejo Vamos a asumr que se sgue cumpledo, como e los úmeros reales, los coceptos de fucó, dervadas, seres, etc Vamos a demostrar la fórmula de Euler: e cos s Empleemos el desarrollo e sere de potecas de la fucó úmero complejo e x x 0!, supoedo que sea váldo para cuado la varable x es u e 3!!! 3!! 0 S tomamos, os queda: e 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!! 3!! !! 3!! 5! 3 5!! 3!! 5! Agrupado tedremos: 7

8 e 3 5!!! 3! 5! Estos so los desarrollos de cos y s respectvamete Así que e cos s Sea r(cos s ) u úmero complejo dode r es su módulo y su argumeto Etoces medate el empleo de la fórmula de Euler se obtee: r(cos s ) r e Esta expresó es la llamada forma expoecal del úmero complejo Note que la forma expoecal es equvalete a la trgoométrca pues depede de los msmos elemetos: módulo y argumeto del úmero complejo Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multplcacó, dvsó y potecacó empleado las leyes del álgebra Multplcacó y dvsó de úmeros complejos e su forma expoecal Sea u re y v se Etoces: u v re se rs e ( ) u re r e ( ) v se s 6 3 Ejemplo: Sea u e y v e Etoces u v 8e 6 y u (0) e v Ejerccos de la Seccó ) Represete: (a) e la forma trgoométrca el úmero complejo 3 3 (b) e la forma bómca el úmero complejo cos s ) Represete: (a) e la forma trgoométrca el úmero complejo (b) e la forma bómca el úmero complejo cos s 3 3 3) Multplcado el msmo úmero complejo veces, efectúe y emplee detdades trgoométrcas para comprobar que s r (cos s ), r (cos s ),, r (cos s ) etoces (a) r cos( ) s( ) 8

9 (b) r cos( ) s( ) (c) r r r cs Exteda el resultado a las potecas eteras egatvas ) Calcule: (a) 3 9, (b) 7 5) Dados u y v, emplee la forma expoecal para hallar: (a) uv, (b) u v 6) Dados u y v 3, emplee la forma expoecal para hallar: (a) uv, (b) u v 7) Halle 8) Halle Seccó 3 Raíces -ésmas de u úmero complejo E la forma bómca de u úmero complejo la represetacó es úca, metras que e la forma trgoométrca o expoecal u ( k ) msmo úmero complejo tee ftas represetacoes dferetes, r e co k Para cada valor de k habrá ua represetacó dferete del úmero complejo Defamos la radcacó como la operacó versa de la potecacó, esto es: w w Supógase que w re es u úmero complejo de módulo r y argumeto y que argumeto Etoces w equvale a: se u úmero complejo de módulo s y ( k) s e re r e w De esta maera: () s r 9

10 () k Por lo tato, se dode s r y k, co k,,, Estas so las fórmulas para hallar las raíces -ésmas de cualquer úmero complejo Compruebe que para todo otro valor de k, co k, se obtee las msmas raíces que para k 0,,, Ejemplo Hallar e Por lo tato s y k, co k 0, Etoces: Para k 0, teemos Para k, teemos 8 e 9 8 e El logartmo de u úmero complejo Al gual que para los reales, vamos a defr el logartmo de u úmero complejo como la operacó versa de la expoecal, esto es: log w e w Supógase que w re es u úmero complejo de módulo r y argumeto, etoces: ( k) e r e w r k l ( ) Ejemplo Sea e (0) Por tato log () l() ( k) k, co k Ejerccos de la Seccó 3 ) Halle las raíces cuadradas de y verfque que so y ) Halle las raíces cúbcas de 3) Halle las raíces cúbcas de ) Halle las raíces cuadradas del úmero 3 y expréselas e la forma bómca 5) Halle las raíces cúbcas del úmero 3 y expréselas e la forma bómca 6) Halle las raíces cuadradas de y represételas e el plao complejo 7) Muestre que log( ) 8) Halle: (a) log( e ), (b) log( ), (c) log( e) 9) Muestre que log( ) l 0

11 Respuestas Seccó ) a) (, ), b) (5, ), c) (3, ), d) (,), e) (, 6) x y x y x y 6) u, v, 9) a) ) ) a) x y 5, círculo de rado 5 cetrado e (,0) y su teror 5) 7), 3 Seccó 3 a) 3 cs 5) a), b) 7) 0 3 e Seccó 3 3) 3 5) e, e,e 8) a) k, c) Tomado de