TEMA 14. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de Raíces

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1 TEMA 14. Ecuacoes. Resolucó de ecuacoes. Aproxmacó umérca de Raíces 1. Itroduccó La exsteca de ecuacoes es muy remota, así como la búsqueda de sus solucoes. Surge de la ecesdad de resolver problemas práctcos. Hace uos años, los babloos coocía la maera de ecotrar la solucó postva de certos tpos de ecuacoes cuadrátcas. E los sglos VIII y XIX matemátcos árabes desarrolla el álgebra y permte que el leguaje de las matemátcas sea mucho más práctco. De etre todos los matemátcos árabes cabe destacar al llamado padre del álgebra Al-Juarsm, al cual etre otras cosas le debemos la palabra algortmo y álgebra. E su tratado de álgebra se pretede eseñar u álgebra aplcada a la resolucó de problemas de la vda cotdaa del mpero slámco de etoces y aborda las solucoes de las ecuacoes leales y cuadrátcas. Ua vez superadas la resolucó de las ecuacoes de 2º grado la resolucó de las ecuacoes de tercer grado llego de la mao de Scpoe del Ferro y de Tartagla e el sglo XVI. No fue hasta el sglo XIX cuado el matemátco Abe demuestra la mposbldad de resolver co u método geeral las ecuacoes de grado mayor a cuatro. La época de los ordeadores y de la programacó hace que hoy e día sea muy fácl ecotrar las raíces de cualquer ecuacó co la aproxmacó que se desee, s más que utlzar los métodos de aproxmacó de raíces que veremos e este tema. 2. Defcó de ecuacoes. Clasfcacó Dada ua fucó real f:[a,b] R (dode [a,b] puede ser todo R) llamamos ecuacó real de ua varable a toda expresó de la forma f(x)=0. A la letra x se la llama cógta. Llamamos solucó de ua ecuacó f(x)=0 al cojuto de valores reales que hace que se verfque la ecuacó, es decr x 0 R tal que f(x 0 )=0. Resolver ua ecuacó es ecotrar las solucoes de dcha ecuacó. Las ecuacoes se puede clasfcar segú como sea la aturaleza de la fucó f(x): 1. Algebraca: f(x) es ua expresó polómca cuyas úcas operacoes so la suma el producto y la poteca. Segú los expoetes dstgumos: a. Racoales: s expoetes fraccoaros, y por tato s raíces, puede ser:. Etera:el expoete so N y o aparece deomadores (polomos). Fraccoara: expoetes Z por lo que hay algú deomador. b. Irracoales: cuado tee expoetes fraccoaros y aparece raíces. 2. Trascedetes: cuado o so racoales y aparece expresoes como fucoes crculares, expoetes, logartmos E este tema desarrollaremos las ecuacoes algebracas racoales eteras, o smplemete ecuacoes algebracas eteras. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 1

2 . Ecuacoes algebracas eteras. Raíz de ua ecuacó..1. Defcoes. Para dar las prmeras defcoes, vamos a fjar los coefcetes de los polomos e el cuerpo de los úmeros reales. Así pues llamaremos: Ecuacó algebraca etera co ua cógta: a toda expresó de la forma p(x)=0, dode p(x) es u polomo co coefcetes e el cuerpo de los reales y de varable x també es real: a x + +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 sedo a R Raíz o solucó de la ecuacó: a cualquer valor x 0 R para la varable x, tal que al evaluar el polomo e dcho valor obtegamos resultado cero, p(x 0 )=0. Multplcdad de la raíz: decmos que x 0 tee multplcdad s se cumple que p(x 0 )=0, f 1 (x 0 )=0, f 2 (x 0 )=0,, f -1 (x 0 )=0 y f (x 0 ) 0 sedo f (x)=p(x)/(x-x o ). Grado de la ecuacó: Es el orde de la mayor poteca de la x que aparece e la ecuacó, es decr el grado del polomo p(x). Proposcó 1: s x 0 es raíz de la ecuacó p(x)=0 p(x) es dvsble por (x-x 0 ) La dvsó etera de polomos os permte poer p(x)=h(x)(x-x 0 )+R co h(x) P(R) y R R. Como x 0 raíz 0=p(x 0 )=R P(x)=h(x)(x-x 0 ), es decr p(x) es dvsble por (x-x 0 ) Sea p(x)=h(x)(x-x 0 ) p(x 0 )=h(x 0 )(x 0 -x 0 )=0 Proposcó 2: S x 0 tee multplcdad de grado s y solo sí etoces p(x) es dvsble por (x-x 0 ) y o por (x-x 0 ) +1. Demostracó: S p(x) dvsble por (x-x 0 ) p(x)=c(x) (x-x 0 ), etoces p(x 0 )=0, f 1 (x)=c(x)(x-x 0 ) -1, f 1 (x 0 )=0,... f -1 (x)=c(x) (x-x 0 ), f -1 (x 0 )=0; f (x)=c(x) y f (x 0 )=c(x 0 ) 0, pues sería dvsble por (x-x 0 ) +1. p(x) tee raíz x 0 de grado. Al ser raíz multplcdad f -1 (x 0 )=0, luego f -1 (x)=(x-x 0 ) c(x), como f -1 (x)=p(x)/(x-x 0 ) -1 p(x)=(x-x 0 ) c(x). Por otro lado c(x) o es dvsble por (x-x 0 ), pues so f (x 0 )=c(x 0 )=0 y al ser raíz de grado se cumple que es dstto de cero..2. Teorema fudametal del álgebra. Teorema fudametal de álgebra: toda ecuacó algebraca etera tee tatas raíces complejas cotado cada ua co su multplcdad como el grado,, de la ecuacó. Demostracó: la demostracó realzada e el sglo XIX por matemátcos de la época etre los que destacamos a Gauss y Argad. Es ua demostracó larga y complcada, basada e el aálss complejo, por lo que o la realzaremos, asumedo el teorema como certo. Corolaro: a partr de teorema 1, 2 y el teorema fudametal y dado que p(x) tee raíces (cotado la multplcdad) el polomo p(x) se puede poer de forma úca como producto de factores de la sguete forma: 1 2 m px) = a ( x x) ( x x )...( x x ), co = ( 1 2 m 1 m Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 2

3 sedo x C las raíces, I la multpldad de las msmas y a el coefcete de mayor grado de p(x). Demostracó: 1. Exsteca: S p(x) tee por el teorema fudametal del álgebra tatas raíces como el grado cotado la multplcdad, sea estas raíces x co su multplcdad ( 1 + m =). Se cumple por teorema 1 y 2 que p(x) dvsble por ( x x ) por lo que p(x)= ( x x ) c(x). Así tedremos que p(x) se podrá poer como producto de todos estos factores que so rreducbles etre sí, p ) 1 2 m ( x) = c( x) ( x x1) ( x x2)...( x xm. Pero el polomo c(x) ha de ser de grado cero, c(x)=c R, pues el grado de p(x) es teedo que ser el grado del producto de los factores també ( m = ). Dado que el coefcete de mayor grado de p(x) es a y el del producto de los factores es c se tee que cumplr etoces que a =c para que la gualdad sea certa. m1 m2 mm 2. Ucdad: supogamos otra descomposcó p ( x) = k( x a) ( x a )...( x a ) se cumple que p(x 1 )=f 1 (x 1 )= f -1 (x 1 )=0 1 2 p ) m m2 mm ( x1) = k( x1 a1) 1 ( x1 a2)...( x 1 am =0 por lo que algua a ha de ser gual a x 1 y su expoete m = 1 para asegurar que se cumpla f 1 (x 1 )= f -1 (x 1 )=0 y f -1 (x 1 ) 0. Reptedo para las demás raíces tedremos que se cumple p(x)=k ( 1 2 m x x1) ( x x2)...( x xm). El valor de k ha de ser oblgatoramete a para que la gualdad sea certa pues so los dos polomos dstto coefcete de mayor grado y por tato dsttos. Teorema: sea p(x) P(R) y z=a+b ua raíz compleja (b 0) de la ecuacó p(x)=0, etoces su complejo cojugado =a-b també es raíz del polomo y co la msma multplcdad. 1 s = 4k s = 4k + 1 Demostracó: recordemos que = por lo que 1 s = 4k + 2 s = 4k + p(a+b )=a (a+b) + +a 1 (a+b)+a 0 =A(a,b)+B(b) =0 sedo A(a,b) u polomo de varables a y b A( a, b) = 0 y B(b) otro de varable b. Como p ( a + b) = 0. B( b) = 0 1 s = 4k Por otro lado p(a-b )= a (a-b) s = 4k a 1 (a-b)+a 0 =A(a,b)-B(b) =0 pues ( ) = 1 s = 4k s = 4k + A( a, b) = 0 y ha de cumplrse p ( a b) = 0 que so las msma que debía cumplr B( b) = 0 p(a+b)=0, por tato s z=a+b solucó també =a-b. Para demostrar la multplcdad de las raíces basta co repetr el procedmeto co f (x). m Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara

4 Corolaro: todo polomo p(x) P(R) se puede poer como producto de polomo de grado uo de la forma (x-x ), deomados factores, y polomos de grado dos de la forma x 2 j +bx+c co solucoes complejas cojugadas. p ( x) = a ( x x) ( x + bjx + cj) co + 2 = j = grado( p( x)). j Demostracó: sólo teemos que ver que el producto de dos factores (x-z) (x- ) es u polomo real de segudo grado (cuyas solucoes será z y ). Veámoslo: (x-(a+b)) (x-(a-b))=x 2 +x(-a-b-a+b)+(a+b)(a-b)=x 2-2ax+a 2 +b 2 =(x-a) 2 +b 2. Nota: los polomos de prmer grado y los de segudo grado co solucoes complejas cojugadas se llama polomos rreducbles. Otra forma de eucar el teorema fudametal del álgebra es todo polomo real se puede poer de forma úca como producto de polomos rreducbles. Corolaro: S u polomo p(x) es de grado mpar, exste al meos u polomo de grado uo e la factorzacó y por tato al meos ua raíz real. Demostracó: s p(x)= a ( x) co a (x) rreducble de segudo o de prmer grado. Supogamos que a (x) es de segudo grado para todos los polomos y llegaremos a ua cotradccó. E el producto el grado es gual a la suma de los grados de los dos polomos multplcados y por tato el grado de p(x) será para al ser suma de grados de valor 2. Ecuacoes equvaletes: dos ecuacoes se dce equvaletes s tee msmas solucoes co msma multplcdad. Proposcó: dos ecuacoes algebracas aturales p(x)=0 y q(x)=0 so equvaletes s y sólo s p(x)=λ q(x) co λ R, es decr so proporcoales. Sea p(x) y q(x) equvaletes, co x sus solucoes co multplcdad, por el teorema fudametal del álgebra tedremos que p(x)= a ( x x) y q(x)= b ( x x) cum- a plédose que p(x)= q(x) = λ q(x) b S p(x)=λ q(x) las solucoes de p(x) lo so de q(x) y al revés, ya que p(x )=λ q(x ) y por tato lo que vale cero e u lado de la gualdad també es cero e el otro. 4. Resolucó de ecuacoes algebracas eteras de grado 1, 2, y 4. Todas las ecuacoes polómcas de grado meor o gual que 4 tee ua forma sstemátca de resolverse. E este apartado vemos los 4 métodos para resolverlas segú el grado Ecuacoes de prmer grado S la ecuacó es de prmer grado será de la forma a x+b=0 co a y b R. Podemos obteer ua ecuacó equvalete dvdedo etre a: x+b/a=0. Despejado la x obtedremos su úca solucó: x=-b/a j Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 4

5 4.2. Segudo grado S la ecuacó es de segudo grado será de la forma ax 2 +bx+c=0. Para su resolucó vamos a aplcar la sguete trasformacó que matee la equvaleca de la ecuacó: 1. Multplcamos por 4 a y sumamos b 2 a ambos lados: 4 a 2 +4abx+4ac+b 2 =b 2 2. Pasamos restado 4ac al otro lado de la gualdad: 4 a 2 +4abx+b 2 =b 2-4ac.. Utlzamos el cuadrado de ua suma e la zquerda de la ecuacó: (2ax+b) 2 =b 2-4ac 4. Utlzamos la defcó de raíz: 2ax+b= b 2 4ac 5. Despejamos x y obteemos las dos solucoes: = ± Se llama dscrmate a Δ=b 2-4ac y os marca el tpo de raíz que tee la ecuacó: - S Δ>0 la raíz tee 2 solucoes reales y la ecuacó dos solucoes reales dsttas - S Δ=0 la raíz vale 0 y la ecaucó dos raíces reales guales, ua raíz real doble. - S Δ<0 la raíz solucó magara b 2 + 4ac. Y la ecuacó dos solucoes complejas cojugadas. Casos partculares: a) s b=0 x 1 = c a c x2 = b) S c=0 x a 1 =0, x 2 =-b/a Propedad de las solucoes de la ecuacó de 2º grado cumple: x 1 x 2 =c/a y x 1 +x 2 =-b/a 4.. Tercer grado Toda ecuacó de tercer grado se puede poer como x +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 =0, pues s o es el coefcete de mayor grado 1 se dvde la ecuacó por este valor obteédose la señalada. 1. Hacemos el cambo x=y-a 2 / y se aula x 2 2 : a 2 a2 a1 2 a 2 y + a1 + 0 = 0 x a + 9 o lo que es equvalete y 2 +px+q=0 co p= a 2 a y a 2 a1 2 a2 1 q = a Hacemos el cambo y=(u+v) y la ecuacó es u +v +(uv+p)(u+v)+q=0. Esta gualdad es certa s se cumple que u +v =-q y u v=-p/. Las solucoes de estas ecuacoes so u també solucoes del sstema u + v = q (al elevar al cubo sale solucó a ma- p v = 27 yores). Vemos que aplcado las propedades de las solucoes de la ecuacoes de 2º grado u y v cumple ser solucó de z 2 +qz-p /27=0. As los valores de u y v so 2 4p q ± q + 27 u, v = ±. Teemos para u y para v tres solucoes complejas que 2 geera para x deshacedo los cambos más solucoes. A partr del teorema fudametal del álgebra sólo so váldas, el resto las debemos descartar. Al elevar al cubo sale uevas solucoes o váldas Cuarto grado El método de resolucoes de ecuacoes de 4º grado cosste e aplcar trasformacoes que matega las solucoes y trasformar la ecuacó e ua resolucó de ua ecuacó de er grado. Resulta bastate laboroso por lo que merece la pea aplcar métodos geerales. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 5

6 5. Raíces eteras y fraccoaras e ua ecuacó co coefcetes e Q Cada raíz, x 0, que ecotremos e ua ecuacó algebraca etera os smplfca la resolucó de la ecuacó, pues dvdedo por el factor (x-x 0 ) bajamos e u grado la ecuacó a resolver. Resulta bueo, por tato, obteer s exste raíces secllas y smplfcar la ecuacó bajado el grado tato como el úmero de solucoes hayamos ecotrado. Cuado la ecuacó algebraca tee coefcetes racoales podemos, multplcado por el mímo comú múltplo de los deomadores trasformarla e ua ecuacó equvalete co coefcetes eteros de la forma p(x)=a x + +a 1 x+a 0 co a Z. Esta ecuacó es fácl ver cuáles puede ser sus solucoes eteras o racoales, lo veremos e los sguetes dos apartados 5.1. Raíces eteras Veamos ates de calcular las raíces eteras de la ecuacó s exste Proposcó 1: S p(x) es polomo co coefcetes eteros s p(0) y p(1) mpares el polomo o tee raíces eteras. Demostracó: Hagamos el desarrollo de Taylor e x=a de p(x) de grado : ( a) ( a) ( a) p( x) = p( a) + ( x a) ( x a) = p( a) + ( x a) a( x a) 1!! 1! La raíz x 0 Z puede ser par x 0 =2 o mpar x 0 =2+1: 1. Supogamos x 0 =2 y lo susttumos e p(x) desarrollado e a=0 (0) p( 2) = p(0) + (2 0) a (2 0) dode todos térmos pares meos p(0) 1! 2. Supogamos x 0 =2+1 y lo susttumos e p(x) desarrollado e a=1 (1) p( 2 + 1) = p(1) + ( ) a ( ), todos pares meos p(1) 1! Luego s p(0) y p(1) mpares etoces s x o Z p(x 0 ) 0 pues da u úmero mpar Proposcó 2: S x 0 Z es raíz de p(x)=a x + +a 1 x+a 0 etoces x 0 es dvsor de a 0. Demostracó: Por reduccó a lo absurdo, supogamos que es raíz y o dvsor de a 0 : se cumplrá que p(x 0 )=a x o + +a 1 x 0 +a 0 =0, redstrbuyedo los térmos de la gualdad y sacado factor comú a x 0 : -a 0 =x 0 ( a x o a 1 ) =a x o a 1 Z luego x 0 dvsor de a 0. De esta forma para ver las posbles raíces eteras sólo teemos que probar co los dvsores del térmo depedete. S gua es raíz o habrá raíces eteras Raíces fraccoaras Proposcó: S x 0 =p/q (rreducble) es raíz de p(x)=a x + +a 1 x+a o co a Z etoces el umerador, p, dvsor de a 0 y el deomador, q, dvsor de a. Demostracó: Sea x 0 =p/q raíz a + +a 1 +a o=0, multplcamos por q y teemos a p + +a 1 p q -1 +a 0 q =0: a)-a p =q (a -1 p -1 +a 1 p q -2 +a 0 q -1 ) = a -1 p -1 +a 1 p q -2 +a 0 q -1 Z a = b) )-a 0 q =p (a p -1 +a 1 q -1 ) = a p -1 +a 1 q -11 Z a 0 = Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 6

7 6. Método de cálculo aproxmado de las raíces de ua ecuacó Los matemátcos Ruff y Abe demostraro la mposbldad de resolver medate gú algortmo las ecuacoes co grado mayor que cuatro. Los métodos que tedremos que usar cuado o es posble ecotrar las raíces exactas por los métodos vstos aterormete se llama Métodos de Resolucó Numérca de Ecuacoes. Auque se utlzaro desde haces sglos, e la actualdad gracas a las herrametas formátcas se puede calcular las solucoes aproxmadas a cualquer ecuacó co la aproxmacó deseada. Los métodos umércos costa de tres fases: 1) La acotacó de las raíces, 2) La separacó de las raíces, ) El cálculo aproxmado de la raíz. Cada ua de estas etapas puede hacerse a su vez por dferetes métodos Acotacó de raíces. Acotar las raíces es determar u tervalo de la recta real dode podamos asegurar que se ecuetra todas las raíces de la ecuacó algebraca p(x)=0 (grad(p(x))=. Dos métodos 1. Método de acotacó de Newto: cosste e la utlzacó del sguete teorema. Teorema: sea la ecuacó p(x)=0 s ecotramos u valor L tal que p(l), p (L),, p (L)>0 etoces L será cota superor de las raíces postvas de la ecuacó. Demostracó: S hacemos el desarrollo de Taylor e x=l el polomo se expresa como: '( L) ( L) p ( x) p( L) ( L)( x L) ( x L)... ( ) 2!! '( L) 2 ( L) p( x ) = { p( L) + ( L)( xo L) + ( x0 L) ( x0 L) !! > = x L. Supogamos que x 0 >L: 0 > > 0 > 0 0. Luego o solucó. Corolaro 1 : la cota feror de las raíces postvas de p(x)=0 será 1/K dode K se obtee como la cota superor de las raíces postvas de p(1/x). Demostracó: S a la ecuacó p(x)=0 hacemos el cambo de varable y=1/x os quedará ua ecuacó p(y)=0. Sea K la cota superor de p(y), es decr y <K co y las raíces de p(y)=0. Se cumple por tato que las raíces e x que será deshacedo el cambo x =1/y. Se cumple 1/x <k x >1/k. De esta forma las raíces postvas queda acotadas ferormete. Corolaro 2: La cota feror de las raíces egatvas de p(x)=0 será L sedo L la cota superor de las raíces de p(-x)=0. Y la cota superor de las raíces egatvas es -1/K sedo K la cota superor de las raíces postvas de p(-1/x)=0. Demostracó: de forma equvalete al ateror corolaro hacedo cambo y=-x, y=-1/x. 2. Método de crecmeto y decrecmeto: método váldo també para ecuacoes o algebracas f(x)=0. Basado e las propedades de la cotudad y dervabldad de f(x). Teorema: Sea f(x)=0 co f(x) cotua y dervable, s se cumple a) f(k)>0 y f (x)>0 para x>k o b)f(k)<0 y f (x)<0 co x>k etoces K es cota superor de las raíces de la ecuacó. Demostracó: S f(k)>0 (K,f(K)) ecma del eje OX y además como f (x)>0 para x>k la fucó crece y por tato o cortará uca co el eje (solucó) después de x=k. Lo msmo ocurrrá s f(k)<0 y f (x)<0 para x>k pues ahora la fucó por debajo del eje después de x=k. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 7 > 0

8 Corolaro: Sea f(x)=0 co f(x) cotua y dervable, s se cumple a) f(m)>0 y f (x)>0 para x<m o b)f(m)<0 y f (x)<0 co x<m etoces m es cota feror de las raíces de la ecuacó. f(x) E el ejemplo de la gráfca vemos que f(5)>0 y que f (x>5)>0 pues la fucó crece, así x=5 será ua cota superor a las raíces de f(x)=0. Por otro lado f(-4)>0 y també f (x<-4)>0 luego x=-4 será ua cota feror a la ecuacó f(x)= Separacó de raíces. E este apartado tratamos de explcar cómo ecotrar u tervalo e dode podamos asegurar que sólo hay ua raíz de la ecuacó, asládola así de las demás posbles solucoes. 1. Método de Sturm: este método os dce el úmero de raíces e u tervalo (a,b). Así s queremos aslarlas tedremos que acotar el tervalo hasta que sólo haya ua raíz. Paso 1: costrumos la sucesó de Strum f 1 (x), f 2 (x),, f k (x) como sgue: f 1 (x)=p(x); f 2 (x)=p (x); los sguetes f (x) so los resto cambados de sgo de las dvsoes de f +2 (x) etre f +1 (x) (por ejemplo f (x) es el resto cambado de sgo de f 1 (x) etre f 2 (x)). Repetmos el procedmeto hasta que f k (x)=k R. Paso 2: Evaluamos las fucoes de Strurm e los extremos del tervalo, obteedo así dos sucesoes de úmeros reales: {f 1 (a), f 2 (a),,f k (a)} y {f 1 (b), f 2 (b),,f k (b)}. Calculamos las varacoes de sgo de las dos sucesoes, 1 de la prmera y 2 de la seguda. Paso : se cumple que el úmero de raíces de f(x)=0 e el tervalo (a,b) es gual a 1-2 Ejemplo: x -x 2 +x+1=0 e (-2,0). Sucesó de Sturm { x -x 2 +x+1, x 2-2x+, -4x-, 99 } dode hemos multplcado los restos por eteros postvos para qutar deomadores (o camba los sgos). {-17, 19, 5,99}, {1,,-,99}, luego 1 =1, 2 =2, por tato ºraces= 1-2 =1 2. Método de crecmeto y decrecmeto: método váldo també para ecuacoes o algebracas f(x)=0. Basado e las propedades de la cotudad y dervabldad de f(x). Proposcó: Sea el tervalo (a,b) y la ecuacó f(x)=0 co f(x)cotua y dervable e (a,b) s: 1) f(a)<0 y f(b)>0 y f (a<x<b)>0 ó 2) f(a)>0 y f(b)<0 y se cumple f (a<x<b)<0 etoces e el tervalo (a,b) hay ua úca raíz. Demostracó: tato e 1) como 2) cumple f(x) Bolzao luego al meos ua solucó, pero además e 1) oblgamos a que la fucó sea crecete e el tervalo y por tato o pueda bajar y volver a cortar al eje y e 2) lo msmo pero oblgado a que sea decrecete. a b Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 8

9 6.. Métodos de aproxmacó de raíces. Ua vez aslada la raíz e u tervalo procederemos al cálculo aproxmado del valor de la raíz co tata precsó como deseemos. Exste dversos métodos para el cálculo aproxmado de la raíz, todo ellos teratvos, de forma que e cada teracó os aproxmemos al valor exacto de la solucó. Los métodos puede estar basados e 1. Dos putos (los extremos del tervalo): Método de Bseccó y Método Régula Fas. 2. U puto (puto medo del tervalo): Método de Newto y Método de Puto Fjo. Veamos u método de cada uo 1. Método de la Bseccó: teemos ua ecuacó p(x)=0 y u tervalo (a,b) dode sabemos que hay ua úca raíz (hecho e las dos etapas aterores). Procedmeto: Tomamos el puto medo como prmera aproxmacó x 1 =(a+b)/2 co error E 1 =(b-a)/2. Tedremos que hay dos tervalos (a, x 1 ) y (b,x 1 ), aplcado Bolzao os quedamos co el tervalo que camba de sgo e sus extremos. Calculamos la seguda aproxmacó tomado el puto medo del uevo tervalo: x 2 =(a+x 1 )/2 ó x 2 =(x 1 +b)/2 sedo ahora el error máxmo la mtad del ateror E 2 =(b-a)/4. Repetmos el procedmeto las veces que se desee, dsmuyedo así el error máxmo. Podemos calcular el úmero de teracoes s os fja el error, pues E <(b-a)/2 >log 2 ((b-a)/e) (al despejar como log 2 es decrecete < pasa a ser >) 2. Método de Newto: Teemos la ecuacó p(x)=0 y ua prmera aproxmacó de ua solucó de la msma x 0. Veamos el procedmeto basado e el cálculo de la recta tagete de la fucó f(x)=p(x): Calculamos la recta tagete a p(x) por x 0, y-p(x 0 )=p (x 0 ) (x-x 0 ), esta recta cortará e el eje OX (y=0) e el puto x 1 =x 0 - ( ). Repetmos el procedmeto trazado ahora la tagete por ( ) ( x 1,p(x 1 )) que corta co el eje de abscsas e el valor x 2 =x 1 - ( ). De forma recurrete x ( ) +1=x - ( ). Para cotrolar la covergeca hay que ver que e cada teracó x +1 -x ( ) < x -x -1. Para termar el método podemos fjar el úmero de teracoes o be fjar el error x -x < ε Por lo geeral el método de Newto coverge mucho más rápdo que el de la Bseccó, pero puede ocurrr que o coverja. Teorema de covergeca de Método de Newto: para que coverja f(x) tee que cumplr 1. La fucó f(x) dervable e el tervalo (a,b) dode está las solucoes 2. f(a) f(b)<0 (Bolzao, es decr exste ua raíz). f (x) y f (x) o cambe el sgo e [a,b]. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 9

10 7. Cotexto co secudara y Bachllerato. E 1º de la ESO se empeza a trabajar co el álgebra, a terpretar el sgfcado de las letras; además se resuelve ecuacoes y problemas de prmer grado. E 2º se sgue trabajado co el álgebra y se amplía la resolucó de ecuacoes a las de 2º grado. E º de la ESO además de las ecuacoes de 1 er y 2º grado se trabaja ecuacoes polómcas. Por últmo e 4º de la ESO se trabaja ya ecuacoes bcuadradas, co radcales y fraccoaras e cluso expoecales y logarítmcas. Jose Lus Lorete (preparador oposcoes secudara 10