GUIA TEORICO-PRACTICA II

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1 GUIA TEORICO-PRACTICA II CONTENIDOS.. Sucesoes. Progresoes: artmétcas y geométrcas.. Ejerccos Propuestos... Sumatora: propedades. Prcpo de Iduccó Completa..4 Ejerccos Propuestos..5. Factoral de u úmero atural.. Ejerccos propuestos..7. Combatora Smple: permutacoes, varacoes y combacoes..8 Ejerccos Propuestos..9. Número combatoro. Bomo de Newto..0. Ejerccos Propuestos.. SUCESION Es toda fucó cuyo domo es el cojuto de úmeros aturales. N S : N B B E partcular, ua sucesó umérca de úmeros reales es u cojuto ordeado de ftos úmeros reales: a, a, a, a 4, a 5,..., a,... Cada uo de los úmeros reales se llama térmo de la sucesó. Ejemplo: a a a a 4 a 5.. Cualquera sea ua sucesó S, la deotamos: S = a, a, a,..., a, a +,... O bé S = {a } N = (a ) El cojuto ordeado de úmeros mpares es ua sucesó de úmeros reales Lo otamos co: S ={, 5, 7,..., +,...}, Tambe: S = {+} N N dode: S =, S = 5, S = 7, y + recbe el ombre de térmo geeral. Las sucesoes puede ser: Crecetes: s cada térmo es mayor o gual que el ateror. Ejemplo: a ={,,,,...} Decrecetes: s cada térmo es meor o gual que el ateror. Ejemplo: b ={, 5,,,,...} Pág.

2 Alteradas: s u térmo y el sguete tee sgos opuestos. Ejemplo: c =,,, Costates: s todos sus térmos so guales. Esto es: N : a a Ejemplo: a ={5, 5, 5, 5...} Los ejemplos so de sucesoes ftas, pero també puede ser ftas. Sucesó Fta (arreglo): toda fucó cuyo Domo es u subcojuto fto de úmeros aturales. El cojuto formado por los térmos del cojuto Image recbe el ombre de arreglo. ( se puede repetr elemetos) Ejemplo: S: I 5 R / I 5 N sedo: I 5 = {,,, 4, 5} La sucesó fta resulta: S = { B, B, C, E, D } Esto es u Arreglo de 5 elemetos Las progresoes costtuye ejemplos práctcos de sucesoes. Puede ser Artmétcas y geométrcas. * Ua progresó artmétca es ua sucesó de úmeros reales que a cada térmo después del prmero, se obtee sumado ua costate d al térmo ateror (d es la dfereca e comú). Ua progresó artmétca queda determada por completo cuado se cooce el º y la dfereca d. Ejemplo : a ={, 7,, 5,...} dode el prmer térmo es y la dfereca 4 Ejemplo : Por el alquler de ua casa se acuerda pagar $ 000 al mes durate el prmer año, y cada año se aumetará el alquler e $ 400 mesuales mas. Cuáto se pagará mesualmete al cabo de 0 años? Rta: Completamos la tabla co la sucesó de térmos: * Ua progresó geométrca es ua sucesó de úmeros e que a cada térmo después del prmero se obtee multplcado por ua costate r llamada razó geométrca. Ua progresó geométrca queda determada por completo cuado se cooce el º térmo y la razó r. Ejemplo: b ={,, 8, 54,...} El º térmo es y la razó es Ejemplo : c =,,,,... El º térmo es y la razó es ½ 4 8 Pág.

3 . - EJERCICIOS PROPUESTOS: - Escrbe los prmeros térmos de las sucesoes y luego el térmo geeral: a) A cada úmero atural le correspode su sguete al cuadrado S = {,,,,,,.} = { } N b) A cada úmero atural le correspode su trple dsmudo S = {,,,,,,.} = { } N - Escrbe los cco prmero térmos de las sucesoes cuyos térmos geerales se Idca. E cada caso dca s es crecete, decrecete, alterada o costate. a) a b) a. a c) - Obteer deducedo el térmo a de ua progresó artmétca de dfereca d y prmer termo a ( ayuda: completa las gualdades sguedo la formacó): a = a a = a = a 4 = a 5 =. a = 4- Para cada progreso, ecuetra el térmo geeral: a), 7,, 7,,... b) 50,, 7, 89,.. c) -5, -, -, -9,. 5- Obteer deducedo el térmo a de ua progresó geométca de razó r y prmer termo a ( ayuda: completa las gualdades sguedo la formacó): a = a a = a = a 4 =. a = - Para cada progreso, ecuetra el térmo geeral: a),, 48, 44,... b) 0,, /0, /00,. Pág.

4 . SUMATORIA- PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA: Dada ua sucesó fta { a, a, a, a 4,...,a,..., a }, es frecuete sumar sus térmos : a + a + a + a a a Este desarrollo de suma se puede expresar e forma abrevada, otado: que sgfca : Sumatora desde = asta, de los a a El símbolo ( letra grega sgma) es u operador que tee u ídce ( també puede ser j o ) y u lmte, a los cuales se les asoca úmeros: de valor cal y de valor fal respectvamete. Ejemplos: a) =( j ) b) (-) +. = (-). + (-). + (-) 4. + (-) (-).5 = Propedades de la sumatora: ).a. a ) ( a b ) a b ) Sea ua costate:. 9 j Método de Iduccó Completa: Ua sucesó elemetal coocda es la de los prmeros úmeros aturales, cuya suma es: = Sea a su vez la sguete fucó proposcoal P():.( ) P(): La suma de los prmeros úmeros aturales es gual a.( ) Es decr: =. o lo que es lo msmo: Podemos realzar pruebas co alguos úmeros aturales a ambos membros:.( ) Para =, es fácl ver que: = Pág. 4

5 Para =, + = = Para =, ++ = =.( ).( ) Esta propedad es certa para todo úmero atural? No se puede geeralzar a partr de estas úcas pruebas. Para respoder la preguta, aplcaremos el prcpo de duccó matemátca que os proporcoa u método de demostracó para probar para cualquer úmero atural. Prcpo de Iduccó Completa (P.I.C.): Sea P() ua fucó proposcoal o propedad que depede del úmero atural N. P() es verdadera, N s se tee que: - la proposcó P() es verdadera - S la proposcó P() es verdadera etoces la proposcó P(+) es també verdadera. Smbólcamete: [ P() es V ( P() es V P(+) es V ) ] P() es V, N Aplcamos el método a uestro ejemplo:., de la sguete forma: ) Probaremos para =, s la propedad es verdadera. O sea aalzamos s P() es V. ( reemplazamos = e = e ambos membros y comparamos ) y, el resultado es el msmo. Es Verdadero ) P() es V P ( +) es V Para probar la verdad de este codcoal, supodremos V el atecedete o Hpótess y probaremos ( o o) el valor de V del cosecuete o tess. Para ello desarrollaremos la propedad e tres partes: º, Supogamos que P() es verdadero,es decr para = se cumple la pótess: es V º Teemos que probar que P ( +) es verdadero. Es decr, para = +, ay que demostrar: ( probar esta gualdad) ( ).( ) Pág. 5

6 Pág. º Demostr.) Partmos del prmer membro de la últma expresó y desarrollamos la sumatora. Luego medate susttucoes y recursos algebracos procuramos llegar al segudo membro. ) ( ) (... = Luego se puede afrmar que P() :. es V para todo úmero atural..4 - EJERCISIOS PROPUESTOS: 7- Desarrolle las sguetes sumatoras: a) 7 b) 5 - j j j c) 5 0 d) 5 e) f) 4 0 x g) 5 j j j ) 0 8- Aplca las propedades de la sumatora: a) 5 90 b) ) (7 c) ).( d) 9- Exprese, bajo el operador sumatora, las sguetes sumas: a) ( 0 térmos) b) c) / + / + + 4/ + 5/+... térmos d) e) a 0 x 0 + a x + a x a x f) g) ) 4 + 8/ + + 8/5 + 4/ + 8/7

7 0- Probar aplcado el P.I.C. : P(): La suma de los prmeros úmeros aturales mpares es - Demuestre, aplcado el prcpo de duccó, la valdez de la sguetes expresoes: a) ( ).( ) b) ( ) ( ) J J.( ).( ) c) ( ), para todo - Aplcar prcpo de ducco para demostrar las sguetes gualdades: a) 5 b) ( -) c) j 4. d) 5 e) j ( -) ( ) f) j j ( j ) - Aplcado propedades y el resultado de sumatoras coocdas, determar: a) 0 ( - 5) 0 b) j 0 j p c) d) 7 e) f) ( ) (. ) 4 ( - ) p ( p ( 4 -) ) ( p ) ( ) ( ).( ) a a ( a -) a - Pág. 7

8 .5 FUNCIÓN FACTORIAL: Defcó: Se deoma factoral de u úmero y se smbolza co! a la fucó defda: s = 0! : N 0 N /! = s = co N 0.(-)! s > Ejemplos: 0! = ;! = (por defcó)! =. (-)! =.! =. = 5! = 5. 4! Pero debemos calcular 4! Aplcado e forma recurrete la tercera parte de la defcó resulta: 5! = 5. 4! = 5.4.! = ! = = 0 Propedad : El factoral de u úmero es gual al producto de los prmeros úmeros aturales. E símbolos:! =.(-)! =. (-). (-). (-) ( Co calculadora cetífca, usar la tecla! ). - EJERCICIOS PROPUESTOS: 4- Expresar como u úco factoral : a). 5! = b)! = c).(+).(-)! = d) ( )!. ( ). = 5- Smplfcar y calcular cuado sea posble:! a) 9! (8 ).! c)!.0! 0! e).! (0 )! - Smplfcar: a) ( )!.! b) 8! (8 )!! d) ( )!.!!! f) 9!.( m )! b)!.(9 )!. m! 7- Demostrar que: a) ( )!!!!! ( ) c) 0 b)! ( )! ( )! Pág. 8

9 .7 COMBINATORIA SIMPLE: Hay problemas cuya solucó requere de téccas de coteo más elaboradas que las desarrolladas e la guía ateror. Estos problemas se cooce como problemas de la combatora. Ejemplos: I ) De cuátas formas puede quedar clasfcados cuatro equpos de fútbol que partcpa e u toreo? II) Se sabe que u códgo admte cuatro úmeros dferetes del 0 al 9 S se descooce el msmo, Cuátas pruebas será ecesaras para cequear todos los casos? III) Se desea formar ua comsó de tres persoas y para el caso se preseta oco. Cuátas comsoes se puede formar? So tres problemas que se resuelve co téccas dferetes. Pero todos todas ellas se basa e dos prcpos o reglas fudametales: Regla del producto: Regla del producto y Regla de la suma. Supógase que ua tarea T se puede realzar de formas, ua tarea T se puede efectuar de maeras, y falmete ua tarea T se pueda llevar a cabo de formas dsttas e depedetes, etoces el úmero de formas e que puede realzar las tareas T, T,..y T e orde, está dado por el producto: Ejemplo:.. Ua casa de comdas tee e su meú del día: dos tpos de etradas, cuatro platos prcpales y tres postres. Cuátos meús dferetes puede armarse co las opcoes? Rta: T : elegr etrada : tpos T : elegr plato prcpal : 4 T : elegr postres : Luego exstrá e total:.4. = 4 meús dferetes. També se puede llegar al msmo resultado exbedo todas las rutas posbles medate u dagrama de árbol. Dode se puede aprecar todos las formas ordeadas: Pág. 9

10 Regla de la Suma : Supógase que ua tarea T se puede realzar de formas o ua tarea T se puede efectuar de maeras, o falmete ua tarea T se pueda llevar a cabo de formas.. Supogamos además que o es posble que todas las maeras se realce smultáeamete, etoces el úmero total de maeras dferetes e que el proceso puede ocurrr es: Ejemplo: Ua Srta tee 5 polleras y pataloes todos dsttos Rta: De cuátas formas podrá vestr co pollera o co pataló? Como o so procesos smultáeos, sumamos: 5 + = formas de vestr Los problemas de la combatora se reduce a las sguetes tres tpos: I) Permutacó II) Varacó III) Combacó O ua combacó de alguas de ellas. E este apute veremos las smples - Permutacó Smple. Defcó: Dado u cojuto fto de elemetos, llamamos permutacó smple a todo arreglo o cojuto ordeado formado co los objetos s repetr. Para u cojuto de elemetos se presetara dferetes arreglos, co los msmos elemetos pero e orde dferete. La formula que permte calcular todas las permutacoes de u cojuto de elemetos es: P =! Ejemplo: De cuátas formas se puede ordear e fla u grupo de cco persoas para sacarse ua fotografía? Respuesta: Supogamos sea A el cojuto de persoas: A = {a, b, c, d, e} Ua presetacó es: a b c d e otra será a b c e d, otra a b d c e,.. Para obteer el total de formacoes magemos Como se ubcaría e el sguete cuadro: E el º casllero puede r cualquera de las 5 persoas, E el º cualquera de las 4 restates, el º cualquera de las que queda, y así sucesvamete. Aplcado el prcpo de la multplcacó, tedremos: = 5! = 0 formas O aplcado la fórmula: P 5 = 5! = 0 E geeral: ay! maeras de ordear elemetos Pág. 0

11 II- Varacoes s Repetcó: Defcó: Dado u cojuto fto de elemetos, agrupados de a elemetos ( ), llamamos varacó smple de elemetos de orde, a todo sub cojuto ordeado formado por objetos cualesquera elegdos etre ellos, covedo e cosderar como dsttas dos varacoes cuado: dfere e algú elemeto ó s tee los msmos elemetos etoces está e dstto orde. La fórmula que permte calcular todas las varacoes de elemetos agrupados de a elemetos es:! II V(, ) co ( )! Ejemplo: Se sabe que u códgo admte cuatro úmeros dferetes del 0 al 9, pero es descoocdo, Cuátas pruebas será ecesaras para cequear todos los casos? Respuesta: Desgemos al cojuto de dígtos co A: A = { 0,,,, 4, 5,, 7, 8, 9 }, su cardal = 0 y las opcoes co = 4. Determaremos de cuatas formas se puede llear esos 4 caslleros. Lo razoamos: Para el º tedremos todas las posbldades o sea = 0 Para el º los restates 9 ( o sea ) Para el º 8 ( o sea ) Para el 4º 7 ( o sea ) Aplcado el prcpo de la multplcacó, resulta: = 5040 códgos Smbólcamete: V ( 0, ) = = 5040 códgos S aplcamos la expresó II, resulta: 0! ! V ( 0,) 5040 (0 4)!! Observacó: Es mportate destacar la dfereca etre cada códgo formado. Veamos alguos de ellos: 4 Se puede observar que metras el prmer códgo dfere del segudo e el º casllero, el tercero y el prmero dfere e el orde e que está ubcados los msmos úmeros. Es por ello que: e este tpo de problemas, la coformacó de los arreglos depede de la preseca de al meos u elemeto dferete, y además del orde que vaya cambado los elemetos elegdos. Pág.

12 III- Combacó s repetcó Defcó: Dado u cojuto fto de m elemetos, agrupados de a elemetos, ( < combacó smple de m elemetos de orde, a todo sub cojuto ordeado formado por m objetos cualesquera elegdos etre ellos, covedo e cosderar como dsttas dos combacoes cuado: dfere e al meos algú elemeto. La fórmula que permte calcular todas las combacoes de m elemetos agrupados de a es C (, )! co < * ( )!.! Ejemplo: Javer, Gozalo, Mauel, Pamela y Paola se a postulado a la drectva de su curso, pero solo de ellos puede quedar, Cuátas drectvas posbles ay?. Rta: llamamos co al úmero total de caddatos y co a las comsoes ( =, = 5) Por el tpo de problema, estas comsoes va a dferr etre s co solo cambar al meos ua persoa, o mporta el orde como se vaya formado pues o esta defda la fucó que va a cumplr cada ua de ellas ( dferete del caso ateror). Luego aplcado la fórmula: 5! 5.4.! C( 5,) 0 comsoes drectvas (5 )!.!!.! Hay problemas que se preseta e forma combada. Por ejemplo: Cuáto úmeros dferetes de tres cfras se puede formar co los dígtos:,8,4,,5, co la codcó de que sea pares? Rta: Covee reducr º el problema a u caso más smple: Formar úmero de tres cfras que terme e 4. El caso es el de varacó 5! ! de = 5, tomados de a = : V ( 5, ) 0 ( 5 )!! Formamos úmeros de cfras que terme e 8. Es el msmo caso: 0 ros Luego por la regla de la Adcó, sumamos y obteemos: 70 úmeros pares Pág.

13 .8 - EJERCICIOS PROPUESTOS: 8- Aplca las reglas dadas a los sguetes problemas: a) U comercate tee 5 marcas dferetes de desodorates y 4 tpos dsttos de perfumes. Plaea lazar ua promocó de u desodorate y u perfume Cuátas ofertas será posbles? b) Se desea realzar u vaje drecto de Rosaro a Bs As. Se dspoe de líeas dsttas de empresas de colectvos, líeas de avó y ua líea de tre. De cuátas formas dferetes se puede vajar? c) Para u castg, de ua famla formada por u varo, ua mujer y u ño, se preseta 4 ombres, 5 mujeres y ños. Cuatas teras posbles exstrá? d) Ua empresa de tursmo tee como oferta para vajar a Puta del Este, cuatro posbles oteles de dferetes categorías y tarfas ; y la posbldad de elegr para el traslado, e forma aérea, e colectvo o e forma partcular. Cuátos paquetes de oferta dsttos se puede armar? 9- De cuátas formas se puede ubcar alumos e ua fla de asetos? 0- Cuátas baderas trcolores se puede cofeccoar co tres frajas de tela, ua de color verde, otra blaca y otra amarlla? - Cuátas palabras dferetes, co o s sgfcado, se puede formar co las Letras de la palabra BIENES, s que gua letra se repta falte? - Cuátas permutacoes smples puede acerse co las letras de la palabra HABER que comece co la letra A? Cuátas comezará co ua vocal? E el msmo problema Cuátas comezará co ua cosoate? -Problemas de umeros: a) Cuátos úmeros de 4 cfras dsttas se puede formar co los dígtos:,,,4,5? b) Cuátos úmeros de cfras s repetr puede formarse co los dígtos del úmero: 5.78? c) Cuátos úmeros de dos cfras pares puede formarse co los dez dígtos? d) Cuátos úmeros de tres cfras dferetes se puede formar co los dígtos: 0,,,, 4, 5, que o empece co 0? 4- A u grupo de cuatro persoas les a regalado dos etradas, ua mejor y otra peor, para r al teatro. De cuátas formas se las puede repartr? 5- A u cocurso lteraro se a presetado 0 caddatos co sus ovelas. El cuadro de oor lo forma el gaador, el falsta y lo edto. Cuátos cuadros de oor se puede formar? - U pastelero dspoe de 7 gredetes para armar sus tortas, Cuátas tortas dsttas de gredetes (s que se repta los gredetes), podrá acer?. 7 De cuátas maeras dferetes se puede elegr ua comsó de 5 membros a partr de 8 de persoas s ua persoa determada debe estar sempre cluda? Pág.

14 8- Resuelve los sguetes problemas dcado el tpo que correspode. Se puede presetar casos e que tegas que aplcar e u msmo problema mas de ua vez algua de las tres fórmulas, tal vez juto co el prcpo de la multplcacó o adcó: a) De cuátas formas puede ser colocados 0 automóvles e u stoc, s de ellos so Fat, 4 so Ford, so Toyota y es BMW? b) Cuátas palabras de letras se puede formar co las letras m,, p, a,, o de tal maera que o aparezca vocales cosoates jutas? c) La computadoras fabrcadas por certa compañía tee u úmero de sere que costa de ua letra del alfabeto seguda de u úmero de cco dígtos. S se a utlzado todos los úmeros de sere de este tpo, Cuátos cojutos de computadoras se a fabrcado? d ) Cuátas comsoes dferetes, compuestas por ombres y mujeres, puede formarse, a partr de 0 ombres y mujeres? e) Se tee los úmeros 5874 y 9. Cuátos úmeros eteros dferetes puede formarse co cfras o repetdas del prmero y o repetdas del segudo? f) Cuatos úmeros ay etre.000 y.000, que cotega los dígtos 0,,,5,7 s repetcó?. 9- Señala la opcó correcta de las respuestas a los problemas que se platea:. Cuátos cables de coexó so ecesaros para que pueda comucarse drectamete ofcas de las 8 que ay e u edfco? A) 0 B) 5 C) 8 D) 4 E). Cuátos úmeros múltplos de 5, meores que 4000 y de cfras dferetes se puede formar co los dígtos del 0 al 9? A) 08 B) 49 C) 58 D) 9 E) 7. Cuátos úmeros de cfras que sea mpares, se puede escrbr co los dígtos: 4, 5, 7, 9 y 8, s o se puede repetr los dígtos? A) 0 B) 5 C) 8 D) 4 E) 4. Hay 5 caddatos para presdete de u club, para vcepresdete y para secretaro. De cuátas maeras se puede ocupar estos tres cargos? A) 08 B) 4 C) 8 D) 7 E) De ses úmeros postvos y 5 úmeros egatvos, se escoge 4 úmeros al azar y se multplca. Calcular el úmero de formas que se puede multplcar, de tal maera que el producto sea postvo A) 0 B) 9 C) 8 D) 40 E) 70. E u exame de matemátcas, u estudate debe respoder sete pregutas de las dez dadas. De cuátas formas dferetes debe seleccoar, s el debe respoder por lo meos, tres de las cco prmeras pregutas? A) 4 B) 55 C) 50 D) 0 E) 0 Pág. 4

15 Pág NUMERO COMBINATORIO: Sea, N 0, co Se llama úmero combatoro sobre y se escrbe al úmero atural defdo como: def=! ( )!.! Ejemplo: 5 4! ! )!.! (7 7! 7 Números Combatoros Complemetaros: Dos úmeros combatoros so complemetaros cuado tee gual umerador y la suma de los deomadores cocde co el umerador. Ejemplo: y 4 so complemetaros Propedades de los úmeros combatoros Propedad : Dos úmeros combatoros complemetaros so guales = Ej.: 4 7 = 7 Propedad : (Fórmula de Steffel) E geeral la suma de dos úmeros combatoros o da otro úmero combatoro, salvo cuado los umeradores so guales y los deomadores so cosecutvos. + = Ej. : = 4 Trágulo Artmétco La propedad de úmero combatoro y los resultados dados e la actvdad 5, permte el cálculo rápdo de los úmeros combatoros de umerador, coocdos los Partmos de = 0 y los posbles deomadores, y los completamos: = 0 ( =0) 0 0 = ( = 0 o = ) 0 = 0 = = 4 S resolvemos cada º combatoro, teedo e cueta que los extremos de cada fla vale y que cada úmero combatoro restate, es la suma de los dos que fgura e la fla ateror sobre él ( segú P), resulta el sguete trágulo Artmétco: (atrbudo a Tartagla).

16 4 4. Y así sucesvamete Veamos la aplcacó que le podemos dar a este trágulo artmétco POTENCIA DE UN BINOMIO: Tratemos de deducr la fórmula de la poteca -sma de u bomo, o sea (a+b). Recordado alguos casos coocdos, tetemos completar para = 4 y = 5 : Para = 0, (a + b) 0 = ( térmo) Para =, (a + b) = a + b ( térmos) =, (a + b) = a + a. b + b ( térmos) =, (a + b) = a +.a.b +.a.b + b ( 4 térmos) Para = 4, Para = 5, De acuerdo a los desarrollos realzados y sus respectvos expoetes, se observa que: El úmero de térmos es uo más que el expoete. S es, so + térmos. Los coefcetes de cada térmo so los úmeros del trágulo artmétco. Es decr los úmeros combatoros desde = asta = El er térmo del bomo (a) está elevado a la eésma poteca y luego va decrecedo co -, -,..., asta 0 ; metras que el º térmo (b) va aumetado desde 0 asta. ( Por ej. : a = a.b 0 + a.b...+ b = a 0. b ) E geeral para u expoete, se cumple: (a + b) = a.b 0 + a -.b + a -.b a.b Bomo de Newto: a 0.b (III) Sea a, b y N. Etoces, para la poteca -ésma del bomo ( a+b) se tee (a + b) =. a. b 0 Observacoes: (IV) * La expresó (IV) es gual a la ( III ) y se puede demostrar por el método de duccó completa ( o la aremos). Cuado desarrollamos la expresó (III), ates de aplcar las potecas e cada térmo, la suma de los expoetes e cada térmo, es sempre. Pág.

17 S es par, se puede determar el Térmo Cetral T c drectamete, de la forma: T c =.a /.b / / Ejemplo: de bomo de Newto: Dode el 5º térmo del desarrollo resulta:.0 - EJERCICIOS PROPUESTOS: 0- a) Obteer los sguetes úmeros: ) 5 = ) 4 = ) 8 = v) 4 = Calcula: a) 9 b) 00 c) Verfcar los resultados sguetes cualquera sea úmero atural: a) Escrbe el complemetaro de: 0 y comprobar la propedad 8 b) Aplcar la propedad y resolver: = 5 c) Demostrar las propedades de umeros combatoros - - Determa el valor de x que satsface las sguetes gualdades: ) 7 7 x x ) ) x x x Calcular: V( 5, ). C(, 5 ) Pág. 7

18 5- Aplcado la fórmula de la poteca de u bomo obteer el desarrollo de: a) ( x + y) 4 = b) (x + y ) 4 = c) (m p ) 5 = d) (x y y ) 5 = - Obteer el térmo cetral de los desarrollos e. Luego el termo de grado 8 de los restates: ) ( 5x + x ) 4 = ) (x y ) = ) (m 0,5p ) 5 = v) (xy y ) 4 = 7- E las sguetes potecas obtega los cuatro prmeros térmos: a) ( x ) 0 c) ( x y + z ) 9 b) 8- Calcula el valor de : 9 a b d) ( /m + / p b ) 5 c d a) C, = b) 5 = V +, c) V, = 9. V, 4 d) 4. C, = e) V, = 0. V, f ) C, 5 = C, g). V 5, = 4!. C, ) V, + V, + V 4, = Desarrollado los bomos, determar: a) ( - t b c) : el térmo cetral b) ( 4m ½ p ) 4 : el o los térmo/s de grado 8. c) el septmo térmo de (4x y ) 9 d) T 8 de (x y z 4 ) e) ( ½ ) 5 : el térmo de grado 8 f) ( x t 5/ z 4 ) 4 : el coefcete del térmo de grado 40- Expresar el producto del º por el 8º térmo e el desarrollo: d d 4- Hallar y el resultado de la poteca del bomo (+5) 4, s el termo cetral es 90. Pág. 8