Topología General Capítulo 0-2 -

Transcripción

1 Topología Geeral

2 Topología Geeral apítulo

3 Topología Geeral apítulo Breve reseña hstórca Sus orígees está asocados a la obra de Euler, ator y Möbus. La palabra topología había sdo utlzada e 847 por J.B Lstgs e u lbro ttulado Vorstude zur Topologe. Este había sdo u alumo de Gauss e el año 834. Usaba el térmo topología para lo que prefería llamar geometría de poscó, s embargo vo Staudt usaba este últmo para la geometría proyectva. Para alguos hstoradores de las matemátcas, el puto decsvo fue dado por la publcacó de Aálss Stus de Pocaré e 895. La geometría elemetal maeja las magtudes (logtud, águlos y áreas) que so varates por movmetos rígdos, (trasformacoes sométrcas o que coserva la medda), metras que la geometría proyectva trata los coceptos (putos, líea, cdeca, razó smple) que so varates por el grupo, todavía más eteso, de las trasformacoes proyectvas (proyectar, seccoar). Pero los movmetos rígdos y las proyeccoes so casos muy partculares de las trasformacoes topológcas que so correspodecas buívocas y bcotuas etre dos cojutos. La topología estuda etoces los coceptos varates frete a dchas trasformacoes. Fel Hausdorff creó ua teoría de espacos abstractos usado la ocó de vecdaro (Grudzüge der Megelehre, 94). U espaco topológco se defe como u cojuto de putos juto co ua famla de vecdaros asocados a ellos. Aquí hay varas ocoes que se establece: espaco compacto, coeo, separable. També es aquí dode etra la dea de homeomorfsmo. Ua vez establecdo esto, se formula la topología cojutsta como aquélla que estuda las propedades varates bajo homeomorfsmos. Hausdorff també do la ocó de complettud, que el msmos Fréchet había usado e 96. Usó la ocó de coectvdad, plateada ates por otros matemátcos (auque él o lo sabía), Para cosderar cojutos coeos como deas topológcas. Hausdorff formalzó la topología cojutsta medate ua ueva cocepcó de geometría e la cual u espaco tee ua estructura que cosste e relacoes que puede defrse e térmos de u grupo de trasformacoes. o el trabajo de Hausdorff se afrmó la topología cojutsta como ua dscpla propa detro de las matemátcas

4 Topología Geeral apítulo E el sglo XX, la topología se afrmó como ua ueva dscpla co toda propedad detro de las matemátcas, el gual que la geometría, el álgebra o el aálss, y partcpó de u espírtu de covergeca que ha caracterzado buea parte de las matemátcas moderas; se trata de la utlzacó de métodos de ua dscpla e las otras, potecado costatemete uevas ramas de u árbol cada vez más complejo y dversfcado

5 apítulo ojutos o el terés de detfcar u elemeto de ua coleccó de cojutos, alguas veces es coveete adjudcar u ombre a cada elemeto. Defcó. Sea A ua coleccó o vacía de cojutos. Ua fucó deada para A es ua fucó sobreyectva f de u cojuto J deomado cojuto de ídces, e A. La famla A, juto co la fucó f, se deoma famla deada de cojutos. Dado J, represetaremos el cojuto f por A Y deotamos la famla deada, propamete dcha, medate { A } J que se lee como la famla de todos los A cuado recorre J. E ocasoes escrbremos { A }, s o ofrece dudas cuál es el cojuto de ídces. Obsérvese que, auque es ecesaro que ua fucó deada sea sobreyectva, o se ecesta que sea yectva. A y A puede ser el msmo cojuto de A, cluso s β. β Ua forma de usar fucoes deadas es dar ua ueva otacó para uoes e terseccoes arbtraras de cojutos. Supogamos que f : J A es ua fucó deada para A ; represetemos f ( ) por. Etoces defmos: A y J { : al meos para u, } A = J A J { : para todo, } A = J A

6 Topología Geeral apítulo Leyes de Morga y A = A A = A Defcó. Dado u cojuto A, ua relacó R e A es u subcojuto del producto cartesao A A. ab, o a b) decmos que es ua relacó de equvaleca s se verfca tres propedades: a) Refleva a a a A b) Recíproca s a b etoces b a ab, A c) Trastva s a b y b c etoces a c abc,, A Defcó.3 Sea ~ ua relacó e A (aotamos Defcó.4 Dada ua relacó de equvaleca ~ e u cojuto A y u elemeto llamado clase de de A defmos u certo subcojuto de A que aotamos [ ] equvaleca determada por, medate la ecuacó: [ ] = { a A: a } Observacó vacías [ ] ya que es decr las clases de equvaleca so o Propedad Las clases de equvaleca tee las sguetes propedades: ) Dos clases de equvaleca o so dsjutas o so guales. Demostracó: Sea E y E dos clases de equvaleca defdas por y respectvamete etoces s o so dsjutas eso quere decr que este u elemeto e comú Etoces o sea y E y y A/ y E E y E y z E z (y como por trastva) z z E E E - 6 -

7 Topología Geeral apítulo aálogamete lo que cocluye que E E E = E ) La uó de todas las clases de equvaleca de A es todo A ya que todo elemeto de A tee asocada ua clase de equvaleca. A por defcó A A [ ] [ ] ya que s [ ] / [ ] A z A z A z A por defcó de La famla de las clases de equvaleca de A es u ejemplo de lo que se llama partcó del cojuto A. Defcó.5 Ua partcó de u cojuto A es ua famla de subcojutos dsjutos o vacíos de A cuya uó es todo A Defcó.6 Dada ua relacó de equvaleca e u cojuto A llamamos espaco cocete al cojuto formado por todas las clases de equvaleca. Y [ ] aotamos A A = {[ ] : A} Defcó.7 Ua relacó e u cojuto A se deoma relacó de orde (parcal) s verfca las sguetes propedades: ) Refleva A ) Atsmétrca y = y y, A y ) Trastva y z yz,, A y z Ejemplo. S A es u cojuto sea P(A) el cojuto de poteca de A es decr: - 7 -

8 Topología Geeral apítulo P(A) = { X : X A} Defmos la relacó de la sguete maera: X Y s X Y XY, P(A) verfca las tres propedades, por lo que es ua relacó de orde. Defcó.8 Dado u cojuto A y ua relacó de orde e A se dce que la A, es u cojuto ordeado. pareja A es u cojuto ordeado y cosderamos u subcojuto S A, defmos: ) a A es cota superor (feror) de S s a S ( a S ) ) m A es mámo s es cota superor y perteece a S Defcó.9 S (, ) Defcó. S (, ) A es u cojuto ordeado y S u subcojuto de A decmos que m es u elemeto mamal s se cumple: s S y m m= Defcó. Dado u cojuto A y ua relacó de orde decmos que es ua relacó de orde total s: a b dados ab, A o b a A llamamos cojuto totalmete ordeado. y a la pareja (, ) Observacó s A es u cojuto fto y totalmete ordeado tee mámo y mímo. Demostracó : osderemos por duccó sobre el cardal de A ) Para # A = es obvo. ) S vale para # A= y # A=, A= { a,..., a} Por hpótess el cojuto { a,..., a } tee mámo y mímo por teer - elemeto sea estos M y m respectvamete. Sea m = m { a, m} es el mímo de A ya que: m A m a y m m a =,..., De la msma forma - 8 -

9 Topología Geeral apítulo es el mámo de A M { a M} = ma, Defcó. S ( A, ) es u cojuto ordeado llamamos cadea a u subcojuto de A tal que (, ) es totalmete ordeado. A u cojuto ordeado e el que toda cadea tee ua cota superor, etoces A tee u elemeto mamal. Lema. ( Lema de Zor ) Sea (, ) Ejemplo.. osderemos el sguete cojuto que llamamos partes ftas de los aturales P F ( N) = { A N:# A es fto} o la relacó de orde dada por la clusó. B A B A P N, o tee elemeto mamal, ya que s A es mamal Etoces ( ) F ( N) y ( N) A PF B A B P F Pero para cualquer A P F (N), N co A, porque A es ftos A y obvamete { } { } es de ftos elemetos A { } P ( N) A A A o es mamal. Etoces como ( F ( N), ) P F ( N ), que o está acotada superormete, por ejemplo: = {{,,,,,3 } { } { },...,{,... },...} F P o tee elemeto mamal Zor ua cadea de es ua cadea y o está acotada ya que ua cota tee que teer a todos los aturales y eso o esta e el cojuto. A cota A= N y N P F ( N) Veamos ua aplcacó del pasado lema: Proposcó. Todo espaco vectoral V tee ua base. Demostracó: Vamos a pesar ua base de u espaco vectoral como u subcojuto L.. mamal, sea etoces L = { A V : A es L.. } co la relacó de orde defda: B A B A - 9 -

10 Topología Geeral apítulo - - Etoces ( L, ) es u cojuto ordeado y sea { } - - A L ua cadea, (subcojutos de L totalmete ordeados), vamos a probar que está acotada, sea A = A veremos que es L.. cosderemos ua -upla e A, A { }, además como { A A },..., co,..., / A fto y totalmete ordeado, etoces tee mámo A A A =,..., A =,..., { } A A { },..., y es L..,..., es L.. A es L.. es,..., y es ua cota superor de L etoces por el lema de Zor L tee elemeto mamal que V tee ua base. Defcó.3 Sea A, A,..., A cojutos,defmos u uevo cojuto llamado producto cartesao y aotamos por A A... A a: A A... A = a,..., a : a A a,..., { } a a puede pesarse como ua fucó { } f :,..., A tal que f = a =,..., Etoces e forma más geeral. Sea { A ua famla de cojutos llamamos producto cartesao de esos } I cojutos y aotamos A a: I : : I { } A = f I A f A I Aoma de eleccó Sea { A } I ua famla de cojutos o vacíos etoces el producto cartesao de ellos es o vacío. A φ I A φ Esto es equvalete a decr que dada ua famla de cojutos o vacíos podemos elegr u elemeto de cado cojuto ( e forma smultáea). Ua cuestó básca sobre u cojuto es coocer la catdad de elemetos, s grades coocmetos matemátcos para saber la catdad de elemetos de u cojuto lo que hacemos es cotarlos, pero que sgfca esto, a cada elemeto le estamos asocado u úmero co el cudado de o repetr elemetos y para aseguraros de o repetr úmeros le asocamos el,,..., e ese orde etoces lo que establecemos es ua fucó yectva (o repetmos elemetos) y sobreyectva (o dejamos gú elemeto s su correspodete). Es decr: I

11 Topología Geeral apítulo - - Este ua fucó f : A {,..., } byectva cardal de A es Defcó.4 Dados dos cojutos A y B decmos que tee el msmo cardal o que so coordables o equpotete s este ua fucó f : A B byectva. Proposcó. La relacó de ard( A) ard( B) ua relacó de equvaleca. - - = verfca las propedades de Demostracó ) A es equpotete co A ya que la detdad es ua fucó byectva de A e s msmo card( A) = card( A). ) S A es equpotete co B etoces B es equpotete co A card A = card B este f : A B byectva que f : B A es byectva card( A) card B = ) S A es equpotete co B y B es equpotete co etoces A es equpotete co. f : A B Por hpótess este byectvas g f : A també es byectva g: B Y eso mplca que A es equpotete co. Defcó.5 Dados dos cojutos A y B decmos que el cardal de A es meor o gual que el cardal de B s este ua fucó f : A B yectva. ard( A) ard( B) f : A B yectva Ejemplo.3 Sabemos que el ard( Z) ard fucó yectva. c : Z R a a Ejemplo.4 S X es u cojuto ard( X) ard( ( X) ) ϕ : X P ( X) defda { } R ya que la clusó es ua P basta tomar la fucó ϕ = es decr que a cada elemeto del cojuto X le asocamos el cojuto cuyo úco elemeto es el propo. Esta fucó claramete es yectva Observar que s X es fto co ard( X) = etoces ard P ( X ) =. Proposcó.3 Dados dos cojutos A y B etoces este ua fucó f : A B yectva s y solo s este ua fucó g: B A sobreyectva.

12 Topología Geeral apítulo - - Demostracó: Sea f : A B yectva co A φ y sea a A A f B a a b Im f Etoces : s b Im f a A tal que b= f ( a) y como f es yectva el a es úco y podemos defr: g( b) s b Im f defmos g( b) = a Defmos de esta forma ua fucó g: B A Que es sobre. g g b Dada g: B A sobreyectva { g a : a A} Etoces y a A f b s b Im f = a s b Im f establece ua partcó e B ya que: g a = B g por ser g( b) g( b) sobreyectva g a g a a a = a = a = / absurdo s = a g a g a b B a a por se g ua fucó. Por el teorema de eleccó podemos elegr u represetate por cada clase que g a ya que s aotamos etoces defmos: f : A B por f ( a) g ( a) = Por ser g sobre esta be defda para todo a A y además es yectva ya que: f ( a) f ( a) g = ( a) = g ( a) a = a - -

13 Topología Geeral apítulo f es yectva. Proposcó.4 ( Teorema de ator ) Dado X u cojuto o vacío etoces: ard X < ard P X ( ) Demostracó Ya sabemos que ard( X) ard( ( X) ) ard( X) ard( ( X) ) P Probaremos que P para ello supogamos por absurdo que so guales y por lo tato este ua fucó: osderemos: P f : X P X byectva f X B = { X : f } pero como B X B ( X) u X / B = f ( u) P por ser f sobreyectva etoces s u B u f u u B B= f( u) orolaro S N es el cojuto de los úmeros aturales aplcado lo ateror N < P N ard ard ( ) Proposcó.5 (Teorema de ator-berste) Dados dos cojutos X e Y tales que: ard( X) ard( Y) ard( X) = ard( Y) ard( Y) ard( X) Demostracó omo ard( X) ard( Y) ua fucó h: X Y yectva etoces s llamamos B= Im h la fucó h: X B es byectva. Por otro lado ard( Y) ard( X) ua fucó g: Y X yectva y s llamamos A= Im g la fucó g: Y A sera byectva. Sea f : X X la composcó f = A g B h dode A e B so las correspodetes clusoes. laramete f es yectva por ser composcó de fucoes yectvas. A X A h B Y B - 3 -

14 Topología Geeral apítulo Queremos ecotrar ua fucó ϕ : X A byectva para ello tomamos el cojuto = A f ( X) ( f ( X) = A) y el cojuto S = ( f ( X) ) co f la composcó de f cosgo msma veces. Luego S f ( S) ( ( )) f S = f f = f f = f = defmos etoces a φ de la sguete maera: s S ϕ = f s X S Por defcó ϕ ( S) = S y ( X S) f ( X S) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = además es sobreyectva ya que: X = S X S = S X S = f S f X S = f X = A Falmete probaremos que es yectva, como ϕ S y ϕ X Sso yectvas por ϕ S y ϕ X S so dsjutos, defcó, etoces bastará co ver que supogamos que o lo so, es decr que este S = f ( S) tal que = f ( ) co X S f ( S) por ser f yectva ya que s f ( S) S/ f ( ) f ( ) a cojuto dsjutos. Pero s f ( S) y por defcó de f ( X) = = = lo cual es absurdo por perteecer que es ua cotradccó pues era la mage de u por medo de f. La fucó ϕ así defda es ua byeccó y etoces ard X = ard A = ard Y ard( Y) ard X = Defcó.6 Dado u cojuto A decmos que es fto s es vacío o es + coordable co el cojuto {,..., } para algú Z. E caso cotraro se drá que el cojuto es fto. lo Defcó.7 Dado u cojuto A decmos que es umerable s es fto o de ser fto es coordable co el cojuto de los úmeros aturales. A fto A umerable card( A) = ard ( N) N P N Observacó 3 ( N) P es o umerable por ser ard ard ( ) Defcó.8 Se dce que u subcojuto A de los úmeros reales es ductvo s cotee el úmero, y s para todo de + també está e A. Sea A la famla de todos los subcojutos ductvos de R. Etoces, el cojuto Z + (úmeros aturales) de eteros postvos se defe de la forma

15 Topología Geeral apítulo Z + = A A Obsérvese que le cojuto R + de los reales postvos es ductvo, pues cotee al, + + y la afrmacó > mplca + >. Por lo tato Z R y de esta forma los + elemetos de Z so efectvamete postvos, tal y como la eleccó de la termología sugere. De echo se comprueba que es el elemeto más pequeño de + Z, ya que el cojuto de todos los úmeros reales para los cuales es ductvo. + Las propedades báscas de Z, las cuales se deduce medatamete de la defcó, so las sguetes: + () Z es ductvo. () (Prcpo de duccó ). S A es u cojuto ductvo de eteros postvos + etoces A = Z. Proposcó.6 (Prcpo del bue orde) Todo subcojuto o vacío de u mímo. A + Z tee + Demostracó E prmer lugar vamos a demostrar que, para cada Z, se verfca la sguete afrmacó: Todo subcojuto o vacío de {,...,} tee u mímo. Sea A el cojuto de todos los eteros postvos para los cuales se cumple dcha afrmacó. Etoces A cotee al, ya que s =, el úco subcojuto o vacío de {,..., } es el propo { }. Por tato, supoedo que A cotee a, vamos a demostrar que també cotee a +. Sea u subcojuto o vacío de,..., +. S está formado úcamete por +, etoces dcho elemeto es el { } meor elemeto de. E caso cotraro, cosderemos el cojuto {,..., }, que es o vacío. omo A, este cojuto tee u mímo que automátcamete + será també el mímo de. Así A es ductvo, y podemos coclur que A = Z ; y + por lo tato, la afrmacó es certa para todo Z. Ahora vamos a demostrar el teorema. Supogamos que D es u subcojuto o + vacío de Z. Eljamos u elemeto D. Etoces, el cojuto A= D {,.., } es o vacío, y A tee u mímo. El elemeto será també el mímo de D. Proposcó. 7 Todo los subcojuto de úmeros aturales so umerables

16 Topología Geeral apítulo A = φ es umerable Demostracó Dado A N s A φ a = m { a A} por proposcó.6 A= { a} es fto umerable s A { a} a = m { A\ { a} por proposcó.6} Nuevamete A= { a, a} fto umerable S A { a, a} a3 = m { A\ { a, a} } Y así sucesvamete A= { a,..., a} es fto umerable S A { a,..., a} a+ = m { A\ { a,..., a} } Sea ϕ: N A tal que ϕ = a es ua byeccó ya que: ϕ + > ϕ por eleccó yectva Ahora s a A sea = ma { : a < a} a = m { A\ { a,..., a }} = a = ϕ ( + ) Lo que quere decr que ϕ es sobreyectva. + Proposcó.8 Dado u cojuto A o vacío, es umerable s y solo sí: ) Este ua fucó ϕ : A N yectva o ) Este ua fucó ψ : N A sobreyectva. Demostracó: Sea A umerable etoces puede suceder que A sea ) fto ard( A) = ard( N) ϕ : A N byectva y por lo tato yectva. ) fto hay ua byeccó ϕ A { } etre y,..., etoces defmos: ϕ : A N tal que: ϕ( a) = ϕ ( a) es yectva Supogamos ahora que este ua fucó yectva ϕ : A N lo que sgfca ϕ: A ϕ A ard A = ard ϕ A pero que es ua byeccó, y etoces ( ) como ϕ( A) N ϕ( A) es umerable por proposcó ateror. Etoces s ϕ ( A) es fto ard( ϕ ( A) ) ard trastva ard( A) = ard ( N ) por defcó A es umerable. S ϕ ( A) es fto tal que ard( ϕ ( A) ) = ard( A) = por defcó A es umerable. = N por defcó y por N por defcó y por trastva orolaro.9 Sea B u cojuto umerable y : A B ϕ yectva etoces A es umerable

17 Topología Geeral apítulo Demostracó S B es umerable por proposcó ateror etoces ψ ϕ: A N es yectva A es umerable. ψ : B N yectva orolaro. S A es u cojuto umerable y ψ : A B sobreyectva etoces B es umerable. Demostracó S A es umerable ϕ : N A sobreyectva etoces ψ ϕ: N B es sobreyectva B es umerable. orolaro. S B es u cojuto umerable y A B A es umerable. Demostracó Sea ϕ clucó ϕ :A B que es yectva etoces por corolaro.9 A es umerable. Proposcó. N N es umerable. Demostracó Basta ver que la fucó ψ : N N N dada por: ( m) m ψ, =.3 es yectva, por tato N N es umerable. Proposcó.3 N N... N es umerable. j Demostracó Sea p,..., p prmos dsttos, etoces ψ : N N... N N dode es yectva. j ( j) ψ,..., = p... p orolaro.4 Sea A,..., A cojutos umerable A A... A es umerable Demostracó Para cada =,..., el que A sea umerable ϕ : A N yectva. Etoces s defmos: ϕ : A... A N... N por ϕ a,..., a = ϕ a,..., ϕ a j j ( ) queda aturalmete yectva. Y por lo tato este la fucó ψ ϕ : A... A N yectva lo que mplca que A... A es umerable

18 Topología Geeral apítulo Proposcó.5 Sea I u cojuto umerable, y A u cojuto umerable I etoces A es umerable. I Demostracó omo I es umerable ϕ : N I sobreyectva y por ser A umerable ψ : N A I defmos: por J : N N A I = J m, ψ ϕ m etoces a A a A para algú I y como ϕ es sobre m / =ϕ ( m) I como a su vez ψ es sobre N / a =ψ luego: a = = = J( m, ) ψ ψ ϕ m lo que sgfca que J es sobreyectva por ser N N umerable umerable. N y A es Ejemplo.5 Q es umerable I = m, : co m N, N N N que es umerable por ser u Sea { { }} subcojuto de uo umerable, etoces como: m Q = es umerable ( m, ) I Ejemplo.6 Todo cojuto fto tee u subcojuto fto umerable. Demostracó Sea A u cojuto fto. Sea A, etoces A es fto, etoces este A tal que y etoces como A {, } es fto, este A tal que co =,.,,...,,,..., es fto así que este + A tal que + co =,,...,. Etoces la fucó f : N A dada por f = { } es ua byeccó etre N y {,,...,,... } A por tato dcho subcojuto de A es umerable que es al cojuto fto umerable que buscábamos E geeral, defmos { } y teemos que A { } I

19 Topología Geeral apítulo Ejemplo.7 S A es fto y B es umerable etoces A es coodable co A B Demostracó Por la proposcó de ator-berste, basta ecotrar ua fucó yectva de A e A B y otra yectva de A B e A. Para la prmera la clusó es ua fucó yectva c: A A B ard( A) ard( A B). Para ecotrar ua fucó yectva g: A B A. omo A es fto (ver ejercco 6) tee u subcojuto fto umerable que llamaremos. Etoces como B y so umerables B es umerable lo que mplca ard( B) = ard( N) = ard B y so coordables luego este ua fucó g : B byectva osderemos la sguete fucó: g: A B A dada por : a s a A\ ( B) g( a) = g ( a) s a B a s a A\ ( B) g( a) = a = b g ( a) s a B b s b A\ ( B) g( b) = a = b por ser g g ( b) s b B etoces g es yectva, y por tato ard( A B) ard( A) cojutos so coordables g a = b que b yectva luego so guales y los Ejemplo.8 Sea u etero postvo. Sea A u cojuto y a u elemeto de A. ard A = + ard( A a ) = Etoces { } Demostracó Teemos que probar que este ua correspodeca byectva f etre,..., + s, y solamete sí, este ua correspodeca byectva A y el cojuto { } del cojuto A { a } { } co,...,. Supogamos e prmer lugar, que este ua correspodeca byectva g g: A a,..., { } { } Defmos etoces ua fucó: f : A {,..., } f = g s A { a} f ( a ) = + + de la forma: es claro que f es byectva. Recíprocamete: Supogamos que este ua correspodeca byectva :

20 Topología Geeral apítulo - - { } f : A,..., + ) S f asoca a al úmero +, todo es especalmete secllo; e este caso, la restrccó f A { a } os da la correspodeca byectva buscada etre A { a } y {,..., }. ) E caso cotraro sea f ( a ) = m y sea a el puto de A tal que + = f ( a ). Etoces a a Defmos ua ueva fucó: h: A {,..., + } Medate: h a = m ( ) = + = para {, } h a h f A a a De esta forma h es byectva y está compredda e el caso ) luego la restrccó h A a es la byeccó buscada etre A { a } y {,..., } { } + Ejemplo.9 Sea A u cojuto de cardal para algú Z. Sea B u subcojuto propo de A. Etoces el cardal de B es dstto de S B φ Etoces este algú m< tal que el cardal de B es m. Demostracó Teemos que probar que o este byeccó algua g: B {,..., } Pero s B φ sí este ua byeccó h: B {,..., m} para algú m<.. El caso de que B es vacío es trval, ya que o puede estr ua byeccó etre el cojuto vacío B y u cojuto o vacío {,..., }. Demostraremos la afrmacó por duccó. + Sea el subcojuto de Z formado por aquellos etero para los cuales la + afrmacó es certa. Vamos a probar que es ductvo =Z y por lo tato la afrmacó es certa para todo etero postvo. E prmer lugar demostramos la afrmacó para =.E este caso A está formado por u úco elemeto { a} y su úco subcojuto propo B es el cojuto vacío. Supogamos ahora que el teorema es certo para ; vamos a ver que també lo es para + Sea f : A {,..., + } ua byeccó y sea B u subcojuto propo o vacío de A. Elegmos u elemeto a de B y u elemeto de a de A B y aplcado lo del ejemplo ateror, podemos deducr que este ua byeccó: g: A a,..., { } { } Por otro lado, B { a } es u subcojuto propo de A { a } { } y o a { }, ya que a perteece a A a B a. omo la afrmacó se supoe certa para el etero, podemos coclur lo sguete: - -

21 Topología Geeral apítulo - - ) No este gua byeccó h: B { a} {,..., } ) Be B { a } = φ, be este ua byeccó { } { } : B a,..., p para algú p< El ejercco atero juto ), mplca que o este gua byeccó etre B y,..., + Esto completa la prmera mtad del resultado al que queremos llegar. { } Para demostrar la seguda parte, obsérvese que s { } etre B y el cojuto { }, metras que s B { a } φ B a = φ, este ua byeccó, podemos aplcar lo del ejercco ateror, juto co ), para coclur que este ua byeccó etre B y {,..., p + }. E cualquera de los casos, va a estr ua byeccó de B co {,...,m } para algú m< +, tal como se buscaba. El prcpo de duccó demuestra que + la afrmacó es certa para todo Z. Ejemplo. S A es u cojuto fto, o este gua byeccó de A co u subcojuto propo de sí msmo. Demostracó Supogamos que B es u subcojuto propo de A y que f : A B g: A,..., para algú. es ua byeccó. Por hpótess este ua byeccó { } La composcó g f es, por tato, ua byeccó etre B y { } cotradce la afrmacó del ejemplo ateror,...,. Esto Ejemplo. U cojuto es fto s y solo sí es coordable co u cojuto propo. Demostracó Sea A u cojuto fto, prmero observemos que por el ejemplo 6 tee u subcojuto fto umerable que llamamos B. Sea = A B etoces hay tres posbldades: ) Que = φ Quere decr que A= B y como B es umerable por costruccó A umerable ard( N) = ard( A) pero ya vmos que todo subcojuto (propo) s A A ard A = ard N que A y de ua umerable es umerable A so coordables ) Que sea fto φ. S es fto etoces A= B por ser uó de dos ard A = ard N = ard B es decr que A es umerables es umerable coordable co el cojuto B A 3) Que sea fto, como B es umerable (ver ejemplo 7) que es coordable co B= A. Recíprocamete Sea A u cojuto coordable co u subcojuto propo. - -

22 Topología Geeral apítulo - - S A fuera fto teemos ua cotradccó co lo probado e el ejemplo luego A tee que ser fto. Proposcó.6 El cojuto de las partes ftas de los aturales que aotamos N P F es umerable. P ( N) = { N: es fto} F A A Demostracó Defmos: P ( N) = A N: ard( A) = etoces P N = P N alcaza co probar que N ( N) F { } - - N P es umerable y para ello defmos la sguete fucó: ϕ : P ( N) N como sgue: S A P ( N) etoces A= { a, a,..., } a y defmos ϕ como la fucó que a cada -upla le correspode la -upla ordeada e forma crecete, es decr: ϕ ( A) = ( a,..., a) co a a... a laramete ϕ es yectva ya que s A y B so cojutos co elemetos etoces ({ }) ({ }) ϕ a,..., a = a,..., a co a... a ϕ b,..., b = b,..., b co b... b ( a,..., a) = ( b,..., b) { a,..., a } = { b,..., b } o sea A = B y como P N es umerable la uó umerable de umerables es umerable por la proposcó ateror. P N N es umerable F es umerable orolaro.7 Las partes ftas de u cojuto A umerable es umerable. P F ( A) = { X A: X es fto} Demostracó gual que el teorema defmos: P ( A) = X A: ard( X) = y ϕ : P ( A) A yectva { }

23 Topología Geeral apítulo como P A es umerable y como la uó de ua catdad umerable I de cojutos umerables es umerable. P A = P A I N I es umerable. A es umerable F (e umerable) I orolaro.8 Las partes ftas de los aturales es o umerable P ( N) = { A N: A es fto} Demostracó S fuera umerable como: P N = PF N P N Y ya vmos que es o umerable. sería umerable De la ateror proposcó se desprede que el cardal de las partes ftas de los aturales (cojuto poteca de los aturales ) o es gual al de los aturales y lo que demostraremos a cotuacó es que dcho cardal es gual al cardal de los úmeros reales. Pero co dcho propósto ates demostraremos alguos teoremas prevos. El prmero de ellos hace refereca a la posbldad de escrbr cualquer úmero real etre y como ua sere. Depededo de ua sucesó de ceros y uos (otacó bara del real e cuestó) Lema Sea t (,] etoces este ua sucesó { a : } dode a {,} todo y tal que: a t = = salvo que para alguos reales esa descomposcó o es úca Por ejemplo = Hay dos formas de elegr la sucesó,,,,,,,,... { a } = pero ua de ellas es fta. Es decr:,,,,,,,,,... a b = = que este tal que: y { a} { b} S t = = co a, b {,} para o so la msma sucesó - 3 -

24 Topología Geeral apítulo a = > y b = > o b = > y a = > { a} { b } o { a} { b } =...,,,,... =...,,,,,,... =...,,,,,,... =...,,,,,... Demostracó S < t < se defe a = S t se defe a = E ambos caso se verfca: a t ahora defmos a a s t < 4 a = a s t 4 etoces e ambos casos: a a t Y así sucesvamete teemos a, a,..., a {,} tales que: a t = se defe a + como: a s t < + = a+ = a s t + = e ambos casos: + a t + = por lo tato a a t = + t = =

25 Topología Geeral apítulo Lema S { } { } tal que: a b a b = = t y = = etoces teemos que probar que este b = > y a = > o b = > y a = > Demostracó Sea = m { : a b} se puede supoer s perder geeraldad que a = y b = Sea Teemos que: a a =... a..., b b... b... = = b b b b = + + = = = = + b a b a = + + = = + () = = + a a a = + = = = = () = b = = Lo que mplca que todas las desgualdades so gualdades y etoces: b = > a = > S hubésemos supuesto que era b = > a = > a a = = y b = hubéramos llegado a: - 5 -

26 Topología Geeral apítulo Lema 3 ((,] ) = ( P ( N) ) ard ard Demostracó Para la demostracó lo que haremos es defr ua fucó byectva etre dchos cojutos. Para ello usamos los lemas y que quere decr que todo úmero etre y se escrbe e otacó bara como ua sucesó fta de ceros y uos. A este úmero baro le asocamos el cojuto de los ídces correspodetes a los lugares e que lleva u uo su desarrollo baro. Que claramete es u subcojuto de las partes ftas de los úmeros aturales. osderemos la sguete fucó: ϕ :, P N defda de la sguete forma: ( ] S t (,] etoces este ua úca sucesó { a } tal que { : } sedo a t = = Sempre hay ua ya que s hay ua fta tal que: a t =, a = = defmos b b = a < t = dode = b =, b = > defmos: ϕ ( t) = { : a = } P ( N) Por ejemplo: 5 = ϕ t = 5 = = = = 5 4 ϕ es yectva ya que s ϕ( t) = ϕ( s) sea { a } tal que: a = s ϕ ( t ) a t = = s a = s ϕ t = además es sobreyectva ya que s P ( N) sea { } omo los a so ftos la sere coverge e (,] ( ] a = es fto {,5,6,7,8,... } A a tal que: a = s A a y sea t = a = s A = a a N = = = = es decr que t, A= ϕ t.

27 Topología Geeral apítulo Proposcó.9 El cardal del cojuto poteca de los aturales es el del R = P N cotuo. Es decr ard ard ( ) Demostracó Prmero se demuestra que ard = ard ((,] ) fucó apropada; por ejemplo por medo de la fucó y ta π π para (, ) se tee que: π π ard( R ) = ard (, ) R por medo de ua Luego por medo del segmeto de recta π π ard, = ard, () (( ]) = que es byectva Por el ejemplo.7 se tee que u cojuto es fto s, y solamete sí, es coordable co u subcojuto propo P ( N) es fto ard( P ( N) ) = ard ( P ( N) ) Ya que P ( N ) P ( N ) y como por la proposcó ateror: ard( (,] ) = ard ( P ( N) ) ard y ard ((,] ) ard ( P ( N) ) = ard = = ((,] ) ard ( R) ( R) ard ( P ( N) ) Ejemplo practco Sea la famla de tervalos de etremos racoales F Defmos la fucó {[, ]:, } F = ab ab Q ϕ : F Q Q de la sguete maera: ([ ab, ]) ( ab, ) ϕ = Q Q Es decr que a cada tervalo de etremos a,b le asocamos la pareja ordeada (a,b) Dcha fucó es yectva ya que - 7 -

28 Topología Geeral apítulo a a b b [ ab, ] [ a, b ] o ( ab, ) ( a, b ) ϕ( [ ab, ]) ϕ( [ a, b ]) y como Q es umerable que el producto cartesao Q Q es umerable Teemos ua fucó yectva del cojuto F a u cojuto umerable, como la fucó es byectva sobre su mage, que es u subcojuto de uo umerable, luego umerable; etoces como podemos defr ua byeccó de F a u cojuto umerable, este F es umerable

29 apítulo Espacos Métrcos Defcó. Sea E u cojuto o vacío ua dstaca o métrca es ua fucó d: E E R tal que verfca: d y, y, E ) ) d( y, ) = = y 3) d( y, ) = d( y, ) y, E 4) Al par ( Ed, ) le llamamos espaco métrco d z, d y, + d yz, yz,, E desgualdad tragular Defcó. Sea E e las msmas codcoes que ates pero s la propedad, es decr se puede dar el caso e que la dstaca es cero y o se trate de la detdad, llamamos e dcho caso seudo dstaca o seudo métrca. Ejemplo. E = R y d y, = y es ua métrca. S Ejemplo. Sea E = R = (,..., ), y = ( y,..., y) etoces podemos defr la sguete dstacas ) Dstaca ta ) Dstaca eucldaa 3) Dstaca del mámo d y = y (, ) = d y y = (, ) = ( )

30 Topología Geeral apítulo = { } d y y, ma =,..., Ejemplo.3 Dstaca dscreta Dado E φ defmos s d( y, ) = s fáclmete se comprueba que es ua métrca. = y y Ejemplo.4 Dstaca dscreta Dado E φ defmos d y, = y, E Ejemplo.5 Sea E = R [ ab, ] = { f :[ ab, ] R / f es cotua} etoces defmos la dstaca que llamamos dstaca fto o del supremo de la sguete maera: d ( f, g) = sup [ ab, ] { f g } umple co las propedades,, 3 [ ab, ] y f, gh, R [ ab, ] la propedad 4 se tee f g = f h + h g f h + h g y los supremos també cumple dcha desgualdad luego se cumple la desgualdad tragular La dstaca del supremo se puede defr para el espaco de las fucoes cotuas, f : ab, (complejos) represetamos dcho e el tervalo [ ab ] sedo [ ] cojuto como ab. [, ] Sea E = ( R) = { f : R cot. y acotadas} b b, R ( R) { f : R R cot. y acotadas} = = Defmos la dstaca gual que ates: d f, g = sup R f g Dcha defcó es cosstete ya que: f es tal que f M R S y tal que g g M R { } f g f + g M + M R y esto mplca que Etoces f g está acotado tee supremo - 3 -

31 Topología Geeral Espacos Métrcos Observacó. Para u msmo cojuto podemos teer dsttos espacos métrcos asocados, segú la métrca que estemos cosderado, así s la métrca es la dscreta al espaco llamamos dscreto, s la métrca es la dscreta al espaco llamamos dscreto, s la métrca que estamos cosderado es la eucldea al espaco llamamos eucldeo. Defcó.3 Sea V u espaco vectoral sobre K ( R o ) ua orma sobre el espaco vectoral es ua fucó propedades: ) V y = ) λ = λ λ K, y V 3) + y + y y, V :V R que cumple co las sguetes Defcó.4 Teemos u espaco vectoral ormado cuado sobre el espaco vectoral teemos defda ua orma. Ejemplo.6 El producto tero, e V os defe ua orma medate la sguete relacó: =, Observacó. Todo espaco V vectoral ormado se trasforma e u espaco métrco por medo de la dstaca defda de la sguete forma: d( y, ) = y y, V Demostracó d y, = y por defcó de orma (, ) = = = = (, ) = = ( ) = = = (, ) (, ) = = + + = (, ) + (, ) d y y y y d y y y y y d y d z z z y y z y y d yz d y Defcó.5 Sea = R,..., defmos las sguetes tres ormas: ) ) = = = =

32 Topología Geeral apítulo - 3-3) = ma { : =,..., } Todos so ormas que duce las respectvas dstacas d, d, d co la gualdad. d( y, ) = y Ejemplo.7 ab, es u espaco vectoral co las operacoes puto a puto o sea s [ ] etoces: [ ] ( λf ) = λf f, g ab, defmos : f + g = f + g [ ab, ] { } es ua orma e [ ] La msma vale e R[ ab, ], b( R), b, R( R ) Sea l el cojuto de las sucesoes complejas { } f = sup f ab, que duce la dstaca habtual. l R el cojuto de las sucesoes reales. Tales que < (coverge) l es u espaco vectoral co las operacoes { } { y } = l y = l λ como y está be defda Y se defe que es ua orma e l ( λ) + y = + y = λ + y + y < λ λ = < = Ejemplo.8 Sea l el cojuto de las sucesoes complejas acotadas l el cojuto de las sucesoes reales acotadas R l es u espaco vectoral sobre los complejos ( l R sobre los reales) co las operacoes defdas de la msma forma que e el ejemplo ateror - 3 -

33 Topología Geeral Espacos Métrcos { } { y } = l y = l λ Defmos ( λ) + y = + y = λ { } = sup s = N = e y = y etoces s { } { } + y + y + y como dcha gualdad se cumple para todo, e partcular se debe cumplr para el supremo: + y = sup + y + y Lo que mplca que es ua orma. Defcó.6 Sea (, ) Ed u espaco métrco, E, ε > llamamos bola aberta de cetro y rado ε al sguete cojuto: B = y E: d y, < ε ε { } Que també aotamos B(, ε ) Ejemplo.9 E l R B ε B l ε B l ε

34 Topología Geeral apítulo S tomamos las fucoes cotuas e [ ab, ], R[ ab, ], f R [ ab, ] B ( f ) = g [ ab] [ ] f g < ε ε { R, :ma ab, } f + ε a b g B f ab, f g < ε y el gráfco de g cae e la zoa S ( ) [ ] ε rayada lmtad por f + ε y f ε. Ejemplo Espaco dscreto Sea ( Ed, ) co la dstaca dscreta es el espaco que llamaremos dscreto, es decr: s y d( y, ) = s = y B, = y E: d y, < = E Sea { } B( ε) E Sea B(, ) = { y E: d( y, ) < } = { } B( ε) { } f ε, = s ε >, = s ε Es decr que las bolas so todo el espaco o los putos. Proposcó. Dado ua espaco métrco ( Ed, ), E, ε >,sea la bola (, ) S y B(, ε ) etoces : δ > tal que B( y, δ) B(, ε) f B ε. Demostracó δ ε d y, etoces Sea S z B( y, δ ) d( z, ) d( y, ) d( yz, ) + < δ (, ) ε (, ε) (, ) (, ) (, ) (, ) (, δ) B(, ε) d z < z B d z < d y + δ d y + ε d y = ε B y ε y δ

35 Topología Geeral Espacos Métrcos Ed y u subcojuto F E, F φ Etoces la restrccó de d a F F o sea: d F F: F F R esto es ua métrca que llamaremos métrca relatva Defcó.7 Dado u espaco métrco (, ) Observacó.3 S F, ε, sea B F (, ε) co la métrca e E etoces: E > la bola co la métrca relatva y sea: B (, ) E (, ε) (, ε) F B = B F Ya que: F B, ε = y F : d y, < ε = y E: d y, < ε y F { } { } { } Ejemplo. Así por ejemplo s e R co la métrca habtual F = [,) F S [ ) ( ) [ R, B, =, ) y B (, ) = (, ) Etoces: Defcó.8 Sea (, ) [, ) = [, ) (, ) ε la bola Ed u espaco métrco y A Eo vacío, decmos que A es u cojuto aberto s: A ε > tal que B(, ε) A E el caso que A es vacío lo defmos como aberto. orolaro. Las bolas abertas e u espaco métrco cualquera so cojutos abertos Demostracó Es cosecueca medata de la proposcó ateror. Ejemplo. E los espacos dscretos todo cojuto A E es aberto ya que s A etoces: B, = A Ejemplo.3 { } E [, ] A= { f [, ]: f > } s f A tomado R R teemos B f, ε A ya que s g B f, ε por defcó que: ma [,] { f g } ε (e partcular) f g < < ε f ε = >

36 Topología Geeral apítulo o sea f g ε < g ε < < ε f y s tomamos f f ε = < < g g A por defcó de A luego B f, ε A Proposcó.3 Sea (, ) Ed u espaco métrco etoces se cumple las sguetes propedades: ) E y φ so abertos ) S { A } I es ua famla de subcojutos abertos de E etoces: A es aberto I 3) S A, A,..., A so ua catdad fta de subcojutos abertos de E etoces: = A es aberto Demostracó ) B(, ε) E E, ε > E es aberto φ es aberto por defcó. ) S A I tal que A que es aberto, luego 3) I o sea que ε > tal que B, ε A como A A B, ε A I I A es aberto I ε ( ε) sea S A A co A aberto =,..., tal que B, A = = m { : =,..., } B(, ) B(, ) A =,..., B(, ε ) ε ε ε ε Proposcó.4 Sea (, ) = A es aberto = Ed u espaco métrco y A Eo vacío etoces A es aberto s y solo sí, es uó de bolas abertas. A

37 Topología Geeral Espacos Métrcos Demostracó ya vmos que la uó de bolas abertas es u cojuto aberto. S A es aberto s (, ε ) B( ε ) A B A y os tomamos: además como s A B(, ε ) B(, ε ) es decr que, A A A A B, ε A A= B(, ε ) A A es aberto A B ε = A, Ed u espaco métrco y u F E subcojuto, A Fes aberto co la métrca relatva ( aberto e F) s y solo sí A= U Fdode U es aberto e E. Proposcó.5 Sea (, ) Demostracó F B, ε E = B, ε F F, ε > Se sabe que F S A es aberto e F (, ε ) A= B por teorema ateror I E E ( (, ε) ) (, ε) A= B F = B F I I = U aberto e E luego A= U F co U aberto e E E S U E es aberto U = B (, ε ) I E E F (, ε) (, ε), ε I I I que es aberto A= U F = B F = B F = B e F. Ejemplo.4 Sea E = R co la métrca habtual F =,,3 3 y [ ) A = [,) es aberto e F ya que

38 Topología Geeral apítulo (,3 ) es aberto ya que (,) A= F aberto e E (,3) (,3) = F aberto e E Defcó.9 Sea (, ) es cerrado s Ejemplo.5 Ed u espaco métrco y el subcojuto A E se dce que A A es aberto ( A E\ A = ). omo e el ejemplo ateror [,) es aberto e F y su complemeto que es por defcó es cerrado. Al gual que el complemeto de (,3 ) que es [ ) decr aberto o es oposcó de cerrado ,3 es, ambos so abertos y cerrados es Proposcó.6 Sea d y d dos métrcas e E las sguetes afrmacoes so equvaletes. ) Todo aberto e ( Ed, ) es aberto e ( Ed, ) ) Dados ε >, E este δ > tal que d (, δ) (, ε) d B B Demostracó d ) ) B (, ε ) es aberto co d que es aberto co d por defcó de aberto d d d S B (, ε) δ > tal que B (, δ) B (, ε) como se quería. ) ) Sea A E aberto e ( Ed, ) lo que quere decr por defcó que: para cada elemeto de A > tal que y además ya vmos que ε d B, ε a A A d A= B, ε etoces aplcado la hpótess ) para cada etoces por otro lado A A δ > d (, δ ) (, ε ) B B d d (, δ ) (, ε ) B B B = A d A tal que

39 Topología Geeral Espacos Métrcos luego d (, δ ) (, δ ) A B A B d A d A B, δ A = lo que quere decr que A es aberto e (, ) Ed. Este teorema os lleva a realzar las sguetes defcoes. Defcó. Dos métrcas d y d e u msmo cojuto E decmos que so métrcas equvaletes s : A E es aberto e d es aberto e d Ejemplo.6 Las métrcas d, d y d so equvaletes e Demostracó Dado ε δ ε tal que R B d (, ε ) > = R d (, ) d d B (, δ ) B (, ε) d y B (, δ) d ( y, ) < δ Ya que s y < δ y + y < δ B ε y + y y + y = y + y < ε y etoces Luego d( y, ) = ( y ) y = d( y, ) < ε = = (, ε) (, ε) (, ε) d d d y B B B Etoces por proposcó ateror teemos que: Todo aberto e ( Ed, ) es aberto e (, ) Y recíprocamete ε Dado ε >, δ = > tal que Ed B d (, ε ) R B d (, δ ) d d B (, δ) B (, ε) d ya que s y B (, δ ) d ( y, ) < δ

40 Topología Geeral apítulo ε d( y, ) = ( y ) + ( y ) < δ = etoces se prueba aalítcamete que d y + y < ε d ( y, ) < ε y B (, ε) como queríamos demostrar. Observado lo que probamos es que dado u cuadrado podemos ecotrar ua bola detro del msmo como e la fgura Luego los abertos e ( Ed, ) so abertos e ( Ed, ) d d e R e R es totalmete aálogo. Aálogamete se demuestra que d d o d d ya que se puede scrbe u cuadrado e ua crcufereca o e u cuadrado. d B d B d B d B Ejemplo.7 S E = Z y sea d la dstaca relatva a la eucldea y d la métrca dscreta. es aberto e Z co d ya que: { } ( ε) { } B d, = s ε < pero també es aberto co d ya que: { } = (, + ) Z S A y A φ A= { a} a A aberto e R Z es aberto por ser uó de abertos. Etoces los abertos co d so todos los subcojutos de Z, y co Por la tato d, y d so métrcas equvaletes d també. Ejemplo.8 Sea ( Ed, E) y ( Fd, F) dos espacos métrcos y d, d y d las métrcas e E F dadas por:

41 Topología Geeral Espacos Métrcos [ ( )] = ( ) + ( ) d e, f, e, f de ee, df f, f [ ( )] = ( ( E )) + ( F( )) d [( e, f ),( e, f )] = ma { d ( ee, ), d ( f, f )} d e, f, e, f d ee, d f, f E F es fácl ver de que se trata de dstacas métrcas, vamos a probar de que so equvaletes. d B d ε e, f Bε e, f ya que s de + df < ε cada ua es meor que ε y d d Bε e, f Bε e, f ya que s: F ( (, )) ( (, )) de ee + d f f < ε d ee, + d f, f < ε ( ) ( ) E cada uo es meor que ε d O sea que s B B ε F d ε d B d B ( de( ee, )) ε de( ee, ) ( d ( f, f )) ε d ( f, f ) < < ε F < F < ε Por otro lado d d B (, ) ε e f B ( e, f ) ε ya que s de y df < ε de + df < ε y d d B e, f B e, f ya que: ε ε d B d B de ( ee, ) < ε ( de( ee, )) ( df( f, f )) ( ε ) ε df ( f, f ) ε + < = < < ε < ε Etoces d, y d so equvaletes y d, y d so equvaletes y por defcó es trastva d, y d so equvaletes

42 Topología Geeral apítulo Ejemplo.9 Sea (, ) Dadas por : E d espacos métrcos =,..., y d, d y d las métrcas e [(,..., ),(,..., )] = (, ) d e e e e d e e = = E d[ ( e,..., e),( e,..., e ) ] = ( d( e, e ) ) = d [( e,..., e),( e,..., e ) ] = ma { d( e, e ) : =,..., } el razoameto a segur es el msmo que e el ejemplo ateror solo modfcamos ε por y por ε ε ε etoces: d (,..., ) ε (,..., ) d (,..., ) ε (,..., ) d (,..., ) (,..., ) d Bε d Bε e e e e B B e e e e d Bε e e Bε e e d Bε e e Bε e e d (,..., ) (,..., ) d d y d y d so equvaletes so equvaletes - 4 -

43 apítulo Espacos Topológcos E este capítulo troducremos el cocepto de espaco topológco, rescatado de los espacos métrcos las propedades báscas que estos cumple. Es decr que se trata de ua abstraccó de los msmos. Defcó. Sea X u cojuto o vacío. Ua topología τ e X es ua famla cluda e las partes de X es decr τ P ( X ) tal que: ) X, φ τ ) S { A } I τ A τ I 3) S A,..., A τ A τ = A los membros de τ llamamos abertos Al par formado por τ y X llamamos espaco topológco. Ejemplo. Sea ( Ed, ) u espaco métrco, etoces { : aberto e } τ d = A A E τ d es ua topología por los propedades que ya vmos se cumple,,3. Además d, d so equvaletes s y solo sí: τ = τ d d Decmos que las métrcas equvaletes duce las msma topologías. Todo espaco métrco puede ser vsto como u espaco topológco co la topología ducda por la métrca. No es casualdad que ua métrca defa ua topología ya que la dea es abstraer las propedades de los espacos métrcos e espacos dode o hay defda ua métrca, tratamos de defr u aberto s teer ua dstaca, por eso, s decmos que u cojuto es aberto e realdad estamos queredo decr que está e la topología.

44 Topología Geeral apítulo X τ u espaco topológco se dce que τ es metrzable s este ua métrca d e X tal que: τ = τ d es ua espece de recíproco del ejemplo. Defcó. Sea (, ) Ejemplo. Topología dscreta Dado X τ = P ( X) es ua topología y es u caso partcular del ejemplo ateror co la métrca d dscreta. Es decr se s d es la métrca dscreta e X etoces: τ = P X d Ejemplo.3 Topología dscreta X, d u espaco seudométrco co d dscreta etoces: Sea { φ, X} τd = es ua topología llamada dscreta. laramete o es metrzable porque o este ua métrca asocada (seudemétrca s). Ejemplo.4 ofto Sea X φ la topología τ defda como: τ { A X : A es fto} { φ} = veremos que es ua topología llamada de complemetos ftos ) φ, X τ ) S { A } τ I etoces: I etoces: A A es fto por cada A I I = 3) Sea A,..., A τ etoces: I A τ A = = = es fto A que es fto por ser uó de ua catdad fto de cojutos ftos Luego: = A τ Además se e vez de fto poemos umerable sgue sedo ua topología A

45 Topología Geeral Espacos Topológcos Ejemplo.5 E Z defmos: { A Z: A A Z } τ = τ es ua topología ya que: S { A } τ y Z dem co la terseccó S A A para algú I A A La forma de los abertos de τ so {, },,,3,4,..., { } { 3,4,3,4,5,6,..., } { } { 5,6 },.. etc. ada vez que u par perteece al cojuto el ateror també y cada vez que u mpar perteece al cojuto su sguete també, así { 5,6,, } es u aberto. I Ejemplo.6 E R defmos: també es ua topología. τ { φ} { A R : A} = Defcó.3 Sea (, ) X τ u espaco topológco e Y relatva e Y a: τy = { U Y : U τ} Sea { U } τ U Y I τ Y I etoces: ( U Y) = U Y τ I I ídem co la terseccó Defcó.4 Sea (, ) τ Y τ por ser τ ua popología es u topología. X llamamos topología X τ u espaco topológca y X N X es u etoro de s este u aberto U τ tal que: U N Sea N la famla de etoros de es decr: { : es etoro de } N = N X N Ejemplo.7 S ( Ed, ) es u espaco métrco, E etoces N E es u etoro de s y solo sí : Y

46 Topología Geeral apítulo ( ε) ε > tal que B, N Demostracó Se toma A= B(, ε ) S N N por defcó este u aberto U tal que U N omo U es aberto e u espaco métrco por defcó ε > tal que: B, ε U B, ε N Ejemplo.8 Sea ( X, τ ) el espaco topológco dscreto N N N Ejemplo.9 Sea ( X, τ ) espaco topológco dscreto, los abertos ya vmos que so etoces: = Ejemplo.,τ N { } Sea ( Z ) co τ = { A Z : A A} {,} N N = { A Z :, { } A} {,,3} N Ejemplo. Sea ( X, τ ) co τ topología de complemetos ftos. Sea X etoces: s N N este U τ tal que U N etoces N U N es fto N τ es decr: fto { τ : } N = U U φ y todo X Proposcó. Sea (, ) X τ es u espaco topológco, X etoces: ) N N y N M M N ) S NM, N N M N 3) N φ 4) U X es aberto U N U es decr s U es etoro de todos sus putos

47 Topología Geeral Espacos Topológcos Demostracó ) S N N U τ tal que U N y como N M U M M N ) Sea U, U tal que: N M UN N UN UM N M UM M y como UN UM τ N M N 3) X N X N? 4) S U es aberto y para todo U U U U N S U N para todo U que para cada U este U τ tal que: U U U U U pero como U U U U U U U = U y como U τ U τ por propedad de la defcó de topología y luego U U τ U (es aberto) Observacó. De la defcó de etoro y de la propedad ateror podemos teemos: A es aberto A U τ tal que U A Es decr que u cojuto es aberto s para todo puto de él se puede ecotrar u elemeto de la topología cludo e él. S susttumos elemeto de la topología por bolas es la msma propedad que teíamos para espacos métrcos. Lo que era de esperar ya que los elemetos de la topología e el caso de espacos métrcos so las bolas. U Defcó.5 Sea (, ) X τ u espaco topológco, A X. Se dce que A es u puto teror a A, s A es etoro del puto, es decr A N. Y llamaremos teror de A al cojuto de los putos terores de A A = X : es teror de A { } Observacó. De la msma defcó se desprede que

48 Topología Geeral apítulo A A Proposcó. Dado (, ) A Betoces: X τ espaco topológco y AB, A B X dos cojutos co Demostracó Que A mplca que A es etoro de y por defcó de etoro: U τ tal que U A y como A B se tee: U τ tal que U B luego B es etoro de y eso mplca que es teror a B A B Proposcó.3 Sea (, ) se tee que A = A. X τ e espaco topológco A X Etoces s A es aberto Demostracó Por defcó sabemos que se cumple A A. Para probar la otra clusó S A como A es aberto, es etoro de todos sus putos es decr A N lo que mplca por defcó que A luego A A y se da la gualdad. X τ e espaco topológco A aberto cotedo e A. Proposcó.4 Sea (, ) X Etoces A es el mayor Demostracó Prmero probaremos que A es aberto, para ello probaremos que es etoro de todos sus putos. Sea A por defcó A N U τ tal que: U A Pero esto o alcaza trataremos de ver que U A y para ello: S y U y U A A N por defcó y A luego: es decr que U τ tal que: y U A

49 Topología Geeral Espacos Topológcos U A A N Esto msmo se tee para todo puto de A etoces por proposcó. 4) A es aberto. Para probar de que es el mayor probamos que cualquer otro aberto cludo e A está cotedo e A Sea etoces B A por proposcó. B A y como B es aberto se tee por proposcó.3 B = B luego: B A Observacó. Uedo las proposcoes. y.3 se tee que: A es aberto A= A Ejemplo. Sea ( R, τ) τ = { A R: A} { φ} A Dado A R A = φ s A s A Defcó.6 Dado (, ) X τ espaco topológco decmos que es T s se verfca que s dados y N Ny Ejemplo.3 Z, τ co τ = A Z: A A φ Sea { } { } N = { A Z :, { } A} N = { A Z :, { } A} Luego N = N pero que o es T Proposcó.5 U espaco topológco ( X, τ ) es T s y solo sí dados N N tal que y N o este: M N y tal que M N y Demostracó s N N tal que y N N Ny N Ny por defcó es T M Ny tal que M M N y este

50 Topología Geeral apítulo X T y N N etoces puede suceder al meos ua de las S es y sguetes posbldades: ) N N tal que N N por ser N etoro Y etoces y U τ tal que U N s y U y U N N N lo cual es absurdo o sea que y U y como U es aberto es y etoro de todos sus putos o sea ecotramos u U N tal que y U. ) M N tal que M N al gual que lo ateror V N tal que V. y y Ejemplo.4 Dado el espaco topológco ( R, τ) co τ = { A R: A} { φ} Sea dos putos y cualesquera dsttos e prcpo de cero. y etoces, τ que es etoro de todos sus putos e partcular de o { } sea que {, } N dode y {, }. Ahora s uo de ellos es el cero. Sea = etoces claramete { } { } N y { } τ o sea : Luego este espaco topológco es T. A pesar de que todos los etoros de y cotee al cero es decr al cero lo podemos separar del y por etoros pero o al y del cero. Nuestro prómo aoma de separacó cotemplará que tato uos como otros so separables por etoros. Defcó.7 Dado u espaco topológco decmos que es T s se verfca que: N = N N { } Proposcó.6 Dado el espaco topológco (, ) y cualesquera este N y M co: N N tales que y N M N tales que M y X τ este es T s y solo sí, dados y Demostracó S X, τ es u espaco topológco T, y etoces por defcó lo que sgfca que: { } y como N = y y N N N N N N N tal que y N - 5 -

51 Topología Geeral Espacos Topológcos S N N tal que y N esto mplca: y { } y N = N N N N N orolaro.7 Dado u espaco topológco ( X, τ ) s es T es T Demostracó La proposcó.6 mplca la proposcó.5 que es más débl y por lo tato se cumple que es T Ejemplo.5 R, τ co τ = A R: A φ como Sea { } { } N = {, } s o es T N N Ejemplo.6 Sea X co la topología de complemeto fto. Dados dos putos { } y y N e y { y} luego X es T. Defcó.8 Dado el espaco topológco (, ) X τ decmos que es T Hausdorff ) s dados y este: N N, M N tales que N M = φ Observacó.3 Todo espaco topológco que es T T laramete por defcó. y N M (o de y Ejemplo.8 Sea X fto co la topología de complemeto fto. S AB, τ tal que A B = φ co A y B o vacíos etoces: X = A B X sería fto fto fto co esta topología o teemos abertos dsjutos, y como: N = { A τ : A} S A N, B N tales que A B= φ sería dos abertos o vacíos dsjutos que y ya vmos que e esta topología o los hay X o es T auque sí T como ya vmos. Ejemplo.9 Todo espaco métrco es de Hausdorff

52 Topología Geeral apítulo Demostracó S y Sea ε < d( y, ) Etoces : B(, ε) B( y, ε) = φ Ya que s estera z tal que: z B(, ε) B( y, ε) se tedría: d y, d z, + d zy, < ε < d y, d y X τ espaco topológco decmos que es adherete a u subcojuto A de X s todo etoro de cotee putos de A. Es decr que es adherete a A N N N A φ Defcó.9 Dado (, ) X, τ, A X, la clausura de A es el cojuto de todos los putos adheretes a A. A= X : N N es N A φ Defcó. Dado u espaco topológco { } además decmos que A es cerrado s y solo sí A= A Proposcó.8 A A Demostracó S A N N N A A luego: uedo esto co A A A A teemos: A A A Proposcó.9 S A B A B Demostracó S A N N N A φ y como A B se tee: o sea N B φ N N B A B - 5 -

53 Topología Geeral Espacos Topológcos Ejemplo. R, τ dode τ = A R: A φ A Sea { } { } S A= { } A= { } ya que: s {, } A= φ Sea A= { } A=R E geeral e esta topología para u subcojuto A cualquera teemos: R s A A = A s A Ejemplo. Sea (, ) cetro y rado ε como: Ed u espaco métrco defmos bola cerrada, y aotamos B (, ε ) probaremos que es cerrada es decr: Demostracó (, ε) = { : (, ) ε} B y E d y (, ε) = (, ε) B B Teemos que la clusó B (, ε) B (, ε) Para probar la otra clusó se cumple sempre. B, ε B, ε probaremos B, ε B, ε Sea y B (, ε) d( y, ) > ε δ > tal que δ < d( y, ) ε ver fgura S z B (, ε) B( y, δ) etoces: d( y, ) d( z, ) + d( zy, ) < ε + δ < d( y, ) luego O sea que: ε < δ (, ) < d( y, ) d y (, δ) tal que (, δ) (, ε) =? lo que sgfca que y B (, ε ) B y N B y B como queríamos probar. y (, ε) (, ε) B B δ ε y de

54 Topología Geeral apítulo X τ espaco topológco A solo sí el complemeto es aberto: Proposcó. Sea (, ) X.Etoces A es cerrado s y A es cerrado A es aberto Demostracó S A es cerrado A= A Sea y A y A= A N N y tal que N A= φ N A y por defcó de etoro: U τ tal que y U N A Es decr que y A U τ tal que y U A por observacó. A es aberto. Recíprocamete: A es aberto aplcado otra vez la observacó. y A U τ tal que y U A y como U es aberto es etoro de todos sus putos U N y A U = φ luego y y A y ( A) A A omo la otra clusó se cumple sempre. A = A X τ u espaco topológco etoces se cumple: ) X, φ so cerrados orolaro. Sea (, ) ) Sea { A } I ua famla de cerrados 3) Sea A,..., A cerrados A I A es cerrado. = es cerrado. Demostracó Todas se demuestra e forma aáloga usado las leyes de Morga y la proposcó ateror, veamos a modo de ejemplo la ) omo cada A es cerrado A es aberto A es aberto luego: I A = I I A es aberto

55 Topología Geeral Espacos Topológcos etoces. I A es cerrado Proposcó. Dado u espaco topológco ( X, τ ), es T s y solo sí : { } es cerrado X Demostracó Sea ( X, τ ) espaco topológco T etoces por defcó dado y X : N = y N N y lo que sgfca s y N N N y { } N N tal que N etoces: N y omo esto es váldo para cada y de X se tee: = e { } y { } = φ { } { } { } es cerrado y pero como el y es arbtraro e realdad se tee X Recíprocamete: Dado y, X co y s, y so cerrados, y so abertos { } { } { } { } como y y { } que por ser aberto es etoro de todos sus etoces putos aálogamete como y y { } N y { } { } que por ser aberto { y} N e y { y} Luego por proposcó.6 ( X, τ ) es T. y Lema.3 a)dado (, ) X τ espaco topológco y A ( A) = ( A ) X etoces: Demostracó Sea por defcó A A N N tal que N A= φ lo que sgfca que:

56 Topología Geeral apítulo N A y por defcó de etoro: U τ tal que U N A luego: A N etoces por defcó de puto teror: Recíprocamete: A A N por defcó S ( A ) y por defcó de etoro: V τ tal que V A etoces por u lado A V = φ y por otro lado como V es aberto es etoro de todos sus putos e partcular de. O sea: V N tal que A V = φ Luego omo queríamos probar. Aálogamete se prueba que Lema.3 b) A ( A) ( A ) = ( A ) Proposcó.4 Sea (, ) X τ u espaco topológco, A meor cerrado que cotee a A. X. Etoces A es el Demostracó Prmero que ada A es cerrado ya que por la proposcó ateror: ( A) = ( A ) y como ya vmos que el teror de u cojuto es aberto (proposcó.4) etoces ( A) es aberto A es cerrado. Sea ahora B X u cojuto cerrado cualquera que cotega a A. Etoces como A B A B = B luego: prop..6 cerrado A B es decr que la clausura de A es el meor cerrado que cotee a A

57 Topología Geeral Espacos Topológcos orolaro.5 Sea (, ) ) ( A ) ) ( A) = A = A X τ u espaco topológco, y A X etoces: Demostracó. ) Ya demostramos que el teror de u cojuto es aberto y s es aberto que es gual a su teror. A aberto A = A ) També ya demostramos que la clausura de u cojuto es cerrado etoces: Ejemplo. X, τ espaco topológco como X Sea Y como es aberto φ τ φ = φ Por otro lado como A cerrado A = A def. X =? es cerrado?? = Y φ = X es cerrado X = X La clausura y el teror so varates para X Defcó. Sea (, ) τ es aberto ( X) = X X τ u espaco topológco, y A X decmos que X es u puto de acumulacó de A s y solo sí: N N A N \ φ e φ ( { }) llamamos cojuto dervado al cojuto de putos de acumulacó. A = { X : es de acumulacó de A} claramete por defcó A A Defcó. S (, ) X τ es u espaco topológco, A X decmos que X u puto aslado s o es puto de acumulacó. es Defcó.3 S (, ) al cojuto δ A como: X τ es u espaco topológco, A X llamamos frotera de A δ A= A A de la defcó sacamos que u puto δ A s se cumple:

58 Topología Geeral apítulo A N N N A φ A N N N A φ Es decr que u puto perteece a la frotera s para todo etoro del puto este corta tato al cojuto como al complemeto. Ejemplo.3 Sea ( X, τ) co τ = { φ} { A R : A} R s A A = A s A Sea A { } τ { } N pero { } \{ } =? o es puto de acumulacó. S R y N N U τ tal que U N pero s U es aberto mplca s o es vacío que cotee al cero { } como A A { N \{ } } φ es de acumulacó. S A veamos cual es la frotera: y s A δ A= A A = R A = A = R N N \ N N δ = = = A A A A R A X τ u espaco topológco se dce que Y s: Y = X Defcó.4 Dado (, ) X es deso e X Defcó.5 Dado (, ) X τ u espaco topológco se dce que X es separable s tee u subcojuto Y deso umerable Y X tal que Y = X co Y es umerable. Proposcó.6 Dado (, ) X τ espaco topológco, Y Para cada U τ, U φ se cumple U Y φ X es deso s y solo sí: Demostracó S Y X e Y deso, sea U τ, U φ omo U es aberto es etoro de todos sus putos o sea:

59 Topología Geeral Espacos Topológcos U U N y como Y = X Y lo que sgfca por defcó: N N N Y φ y e partcular U N U Y φ Recíprocamete: S X y N N por defcó U τ tal que U N y por hpótess como U τ se tee U Y φ N Y φ por defcó S N N es N Y φ Y luego Y Y = X Y es deso e X Ejemplo.4 El cojuto de los racoales Q es deso e R R es separable Ejemplo.5 Sea ( X, τ ) co X o umerable yτ la topología dscreta etoces X es o separable ya que s cosderamos que este u subcojuto deso A X etoces: U τ U A φ y e partcular como X { } τ { } A φ A X A X = A es decr que el úco cojuto deso es el propo X que por defcó es o umerable luego X es o separable. Ejemplo.6 E la topología τ = { A : A} { φ} { } ( R τ ) R se tee que es deso, es separable Ejemplo.7 Z, τ co τ = A Z : A A Sea I = mparares P = pares como: Sea { } I = Z y P = Z que es deso tato I como P so desos por lo que Z es separable

60 Topología Geeral apítulo Ejemplo.8 Sea ( X, τ ) co X fto y τ la topología de complemeto fto. ualquer subcojuto fto de X cumple: Y X fto Y = X X deso ya que s cosderamos que: U τ tal que U Y = φ Y U U es fto, pero U τ luego U τ U Y φ por la proposcó.6 Y es deso e X. Ejemplo.9 Defcó.6 Dado ( X, τ ) espaco topológco decmos que de τ s todo aberto o vacío es uó de membros de B B τ es ua base Dcha defcó e equvalete a decr que B es base de la topología s se cumple: ) B B B τ ) Dado U τ B B tal que B U La prmer codcó es obva y la seguda s se cumple teemos: S U τ U = B es decr es uó de elemetos de B. Y recíprocamete todo aberto es uó de elemetos de B es decr: U = B B B S U B B B tal que B además este B U ) B B Ejemplo.3 E u espaco métrco la bolas abertas es ua base porque ya vmos que todo aberto es gual a la uó de bolas abertas. Ejemplo.33 X, τ co la topología dscreta. Sea es ua base Ejemplo.34 R, τ co τ = A R: A φ { } { } U {{ } : X} B =

61 Topología Geeral Espacos Topológcos es ua base ya que s A es aberto {{, } : } B = R A= A {, } B P este ua topología τ e X para la cual B es ua base s y solo sí se cumple: ) A= X Proposcó.7 Sea X u cojuto o vacío ( X ) A B ) S AB, B, A B B tal que A B Demostracó S B es ua base de τ, etoces como X es aberto mplca de que es uó de elemetos de B X = A A B Para probar la seguda propedad sea AB, B co A B como A y B so abertos també lo es A B etoces: A B = B s A B tal que B B B luego B A B o sea = B B recíprocamete: S B verfca ) y ). ostruremos ua topología de la que B es base. Sea etoces τ la famla de cojutos que so uó de membros de B. τ = { B : B B } { φ} probaremos prmero que τ es ua topología. ) φ τ y X = B X, φ τ por hp. B B ) S A τ la uó de cojutos de τ també está e τ por ser uó de uoes de elemetos de B. 3) Sea AB, τ A= A B = B etoces: S A B Bβ B β β ( β) A B= A B = A B A B A B β para algú, βy este B tal que: A B cosderemos A B τ β

62 Topología Geeral apítulo ( ) β A B A B A B A B A B = A B τ A B etoces τ es ua topología de la que B es base por costruccó orolaro.8 Sea B u recubrmeto de u cojuto X cerrado por terseccoes ftas etoces este ua úca topología τ sobre X respecto de la cual B es ua base. Demostracó Por ser u recubrmeto se cumple la codcó ) de la proposcó ateror. Y por ser cerrado por terseccoes ftas se cumple la codcó ). Luego solo es ua formulacó dferete (más débl) de la proposcó ateror. Dcha topología es úca por la codcó de ser base. Defcó.7 S ( X, τ ) es u espaco topológco, S subbase de τ s: es ua base { A A A A S N } { φ} B =... :, Proposcó.9 S X es u cojuto o vacío, S P ( X) topología s y solo sí: A S A= X Se dce que τ es la topología geerada por S τ decmos que es ua,s es ua subbase de ua Demostracó Por ser S subbase B = { A... A : A S, =,..., } etoces s B B B = A A B A por lo meos para algú... X = B A X = A B B A S A S... : es ua base de τ o sea probaremos las propedades y de la proposcó ateror. ) A B ya que A = A A S B además: Hay que probar que B = { A A A A S} ) S A y B B por hpótess X = A A A S A B

63 Topología Geeral Espacos Topológcos A= A A... A co A S =,..., B = B B... B co B S =,..., m A B = A... A B... B B por defcó m m etoces B es ua base y S ua subbase Defcó.8 S s τ y σ so dos topologías e X se dce que τ es más fa que σ σ τ Proposcó. S X es u cojuto o vacío, S P ( X) A S A= X tal que: la topología τ geerada por S e X es la meos fa e X que cotee a S. Demostracó Supogamos que σ es ua topología e X y S σ etoces: S A, A,..., A S A A... A σ La terseccó fta de abertos es també u aberto. omo además la uó de elemetos de σ está e σ etoces por defcó de τ τ σ Defcó.9 Sea (, ) X τ u espaco topológco decmos que verfca el segudo aoma de umerabldad s tee ua base umerable. Para abrevar decmos que es N Ejemplo.35 Sea X o umerable co la topología de complemeto fto veremos que o es N Supogamos que { B } N es ua base etoces: B N N B = B pero como los B so abertos es fto y como la uó umerable de umerables (ftos) es umerable B es umerable B X N N

64 Topología Geeral apítulo ya que X es o umerable B φ etoces B B N por N otro lado el cojuto { } es aberto (por teer complemeto fto que es el { } ) pero este aberto o se puede escrbr como uoes de los elemetos de la base ya que s fuera así. { } { } = B pero teemos B { } N B N { } N N Proposcó. S ( X, τ ) es u espaco topológco N etoces es separable. Demostracó Sea { B } N ua base umerable ostruremos u cojuto deso umerable para ello tomamos u elemeto de cada aberto de la base, y ese cojuto que es umerable resultará que es deso. Sea { } co B N Tomemos u aberto U o vacío por ser { B } N ua base se puede escrbr: U = B { } N y como se tee que B { } U N U { } φ { } es deso N etoces N y esto sgfca que X es separable. No vale el recíproco e geeral, como veremos e el sguete ejemplo. Ejemplo.36 Sea X o umerable co la topología de complemeto fto, ya vmos que es separable (ejemplo.8 ) y que o es N (ejemplo.35) Pero e espacos métrcos sí vale el recíproco como veremos e la sguete proposcó. Proposcó. S ( Ed, ) es u espaco métrco separable, etoces es N Demostracó N deso e E tomemos: Por hpótess este u subcojuto { } N B = { B (, m) : m, N}

65 Topología Geeral Espacos Topológcos es claro que B es umerable. Probaremos de que es ua base. Sea etoces A E u aberto o vacío. Por ser aberto e u espaco métrco mplca que s A ε > tal que B(, ε) A ahora cosderemos m tal que: ε < y tal que d(, ) < m m que es posble por ser { } deso { } B(, m ) φ etoces B(, ) m además s z B( m ) teemos:, d( z, ) d(, ) + d(, ) z < < m ε < < m m (, ε) (, ) (, ε) z B B B A m etoces para cada A ua bola B B tal que : (, m ) ( m ), B A o sea: A= B A ( m ), Lo que mplca de que B es base y por lo tato (, ) Defcó. Sea (, ) es ua famla: Ed es N. X τ u espaco topológco u cubrmeto por abertos de X { } τ tal que A A = X I Defcó. Dado ( X, τ ) espaco topológco y e él u cubrmeto { A } I por abertos de X, u subcubrmeto es ua subfamla de la ateror { A } { A } també es cubrmeto por abertos de X. Ejemplo.37 S X = (, ) {, : } {, : } N es u cubrmeto de X N es u subcubrmeto del ateror. Defcó. U espaco topológco (, ) X τ decmos que es de Ldelöff s todo cubrmeto por abertos de X admte u subcubrmeto umerable. A B(, ε ) β ( m ) B z, que

66 Topología Geeral apítulo Ejemplo.38 Sea X o umerable co la topología de complemeto fto etoces X que sabemos que o es N y s es de Ldelöff. Demostracó Supogamos que tememos u cubrmeto { A } por abertos de X. Sea A { A }, { } A =,..., que es fto por ser A aberto ahora para cada =,..., sea A tal que A este por ser A X = y por el aoma de eleccó elegmos uo cuado hay más de uo. Etoces { A, A,..., } A es u subcubrmeto fto ( luego umerable) que cubre a todo X X = que es de Ldelöff = A Ejemplo.39 Sea ( X, τ ) u espaco topológco co X umerable etoces cualquera se τ de Ldelöff. Sea { U } I u cubrmeto por abertos cualquera: X = U I e X es para cada X se tee que : U I tal que U sempre este al meo uo, de estr más I de uo elegmos uo cualquera. De esta forma { U } X es ua subfamla que además cubre a X ya que: S X U X U y por otro lado los U X U X luego: X X X = U X y como X es umerable, etoces tee u subcubrmeto umerable luego es de Ldelöff. Proposcó.3 Sea ( X, τ ) es u espaco topológco N etoces es de Ldelöff. Demostracó

67 Topología Geeral Espacos Topológcos Sea { A } I u cubrmetos por aberto de X como (, ) umerable { B } X τ es N este ua base N de X Prmero elegmos los abertos de la base que está cotedos e algú aberto del cubrmeto. Y luego cosderamos los abertos correspodetes del cubrmeto, este será el subcubrmeto que buscamos. Es decr que defmos el cojuto I = { I : B A } y para cada I φ elegmos u elemeto que deomamos I Sea I = { : } claramete I es umerable además I I por costruccó etoces s: X = A sería { } A I I } I u subcubrmeto de { A para ello tomemos u pero como { B } decr: I tal que A lo que sgfca que { } N { } N es ua base A = B tal que B A lo que mplca que X es de Ldelöff. A = X A = { } N I I φ I B A A co I X = A I Observacó El recíproco o es certo, ver ejemplo.38 pero e espacos métrcos s se cumple el recíproco, como veremos e el sguete eucado Proposcó.4 Dado (, ) equvaletes: ) E tee ua base umerable ( es N ) ) E es u espaco de Ldelöff. 3) E es separable. Ed espaco métrco las sguetes afrmacoes so Demostracó S ) ) se cumple para todo espaco topológco como ya vmos e la proposcó ateror ) 3) Para cada m N cosderemos las bolas abertas de rado m todo puto E, como E = B(, m ) E N L B es y cetro e

68 Topología Geeral apítulo y el espaco es de Ldelöff, etoces este u subcubrmeto umerable de E es decr que este ua catdad umerable de estas bolas B(, m), como todas so de gual rado lo que so umerables so los cetros de dchas bolas que llamaremos para cada m; co N,etoces: m E = m Sea el cojuto A { : m, } N ( m, ) B m = N claramete es umerable y demostraremos además que es deso e E y por lo tato separable. Dado ε > este m N tal que < ε para este m m E = ( m, ) B m N o sea: N m m etoces s E B(, ) tal que B(, m N m) m m (, ) m ε (, ε) d < < B y etoces ( ε) m m Para cada ε > y E este u A tal que B, es decr ε >, E A B(, ε) φ y A es etoces deso e E. 3) ) ya lo vmos e la proposcó. Observacó E geeral las mplcacas que se cumple so las del sguete dagrama Y hemos vsto ejemplos dode las flecha o se cumple e setdo cotraro al represetado e L el esquema. Así L o mplca N ejemplo.38 y S o mplca N ejemplo.36. Se trata del msmo N espaco topológco que sedo S y L o es N. Para ver que L o mplca S o S o mplca L S veremos los dos ejemplo sguetes: Ejemplo.4 X, τ u espaco topológco dode X es o umerable y τ es la topología dode Sea los abertos so el vacío y los cojutos de P ( X ) co complemeto umerable. Para cualquer cubrmeto por abertos se tee. X = U co U τ I I tomemos uo cualquera de estos abertos U etoces como su complemeto por

69 Topología Geeral Espacos Topológcos defcó de la topología tee ua catdad de elemetos umerable podemos llamarles a estos co N, y se tee: y para cada y etoces U = co N {,,...,,..} U = X U I tal que U I es u subcubrmeto de X claramete umerable por lo que X es de Ldelöff. Pero o es separable ya que s A es u cojuto deso y umerable e X se tee por ser deso: U τ U A φ y e partcular como A es umerable A τ y se tee: A A= φ luego A o es deso. Ejemplo.4 Veremos u caso e que sí es separable pero o es de Ldelöff. Sea X = R co la topología de los rectágulos semabertos es decr: τ = ab, cd, R : abcd,,, R Sea {, R :, } {[ ) [ ) } A= pq pq Q es claro de que es u cojuto umerable y deso e X. Sea los abertos que aotamos U ( a, a) y U defdos: ( b, b) { R R } { R } U, = ab, ad, : abd,, ( a a) [ ) [ ) ( b b) [ ) [ ) U, = ab, c, b : abc,, R es decr los rectágulos co vértce (opuestos) e la recta y = como e la fgura. laramete X = U U a R ( a, a) ( b, b) b R omo el cojuto de putos de la recta es dscreto y o umerable o este etoces u subcubrmeto del ateror que sea umerable. Luego o es de Ldelöff

70 Topología Geeral apítulo X τ u espaco topológco y X, ua famla B de etoros de es ua base local s dado N N este V B tal que V N Defcó.3 Sea (, ) Ejemplo.4 B = { U N : U es aberto e X} es ua base local de. ya que s: U N V τ tal que V U y V B por defcó. Ejemplo.43 Ed, espaco métrco E Sea o so bases de { (, ) : } B = N B { B( a, ) : N y a } B = Ejemplo.44 B = es ua base de la topología τ e X y s X etoces: S { B } I { : } B = B B B es ua base local. Ya que dado N N V τ tal que V N por defcó de etoro pero como V τ teemos: V = B y s V I I tal que B V N co B B es decr que dado u etoro N de este u elemeto B B tal que B Ndefcó de base local. Ejemplo.45 Sea τ la topología dscreta etoces es ua base local ya que { } B = { } es aberto e esta topología y obvamete esta cotedo e cualquer etoro de Ejemplo.46 Z, τ co τ = A Z: A A φ Etoces: Sea { } { }

71 Topología Geeral Espacos Topológcos es ua base local. {{, } } B = = B Defcó.4 Dado u (, ) X τ espaco topológco decmos que es N o que verfca el prmer aoma de umerabldad s todo puto de X tee ua base de etoros (base local ) umerable. Proposcó.5 U ( X, τ ) espaco topológco que es N es etoces N Demostracó S B es ua base umerable de la topología τ etoces para cada X B = { B B : B} ya vmos que es ua base local y como B B umerable B es umerable sea: Ejemplo.47 Sea X o umerable y τ la topología dscreta etoces: B = {{ }} e ejemplo.45 vmos que es ua base local y por ser u solo elemeto es umerable. Luego es N pero o es N ya que τ se puede escrbr como Sea B ua base de la topología como { } etoces { } uó de elemetos de B { } B Bo es umerable. Este es u cotraejemplo de que o vale la proposcó recíproca de la.5 Ejemplo.48 Todo espaco métrco es N ya que: B = B, : N es ua base local umerable. { } Ejemplo.49 Z, τ co τ = A Z: A A φ etoces: Sea { } { } B = {{ }}, es ua base local ( co u solo elemeto ) umerable luego es N Ejemplo.5 X, τ co X umerable y τ de complemeto fto ya vmos que: Sea = { : fto} P F X A X A

72 Topología Geeral apítulo es umerable y como podemos defr ϕ: P F X τ \ φ de la sguete forma ϕ A = A { } como ϕ es byectva y P ( X ) umerable τ \{ φ} F es umerable o sea τ es umerable, luego el propo τ es ua base umerable y por lo tato N. Ejemplo.5 Sea X o umerable co la topología de complemetos ftos ya vmos e el ejemplo.35 que o es N,veremos ahora que tampoco es N Supogamos que: B = { U τ : U, N} etoces que como U etoces: o sea es etoces { } { y} U N N = U τ U es fto Uó umerable de umerables es umerable U N umerable { } o umerable { } tal que N U y y U y U U y N N { } lo que sgfca que U { y} pero τ por se aberto es etoro de todos sus putos e partcular como { } { } y { } y y y N X. U y N U o es base local de e Ejemplo.5 l =, reales o complejas tal que < co la orma Sea { N } defe ua dstaca etoces ( l,d ) es u espaco métrco. Defmos el sguete cojuto e = = d( y, ) = y l

73 Topología Geeral Espacos Topológcos { : tal que } D = y y = N Probaremos que D es deso para ello se tee que cumplr ε > y l y D tal que d y, < ε y esto se cumple porque Que s S ε > tal que < ε l s la sere coverge se puede acotar la cola de la sere (porque esta tede a cero) etoces: s < Defmos y = { y} tal que y = y D s y además N d( y, ) = y = y + y = < ε = = = + = = + = lo que sgfca que cualquer etoro de tee u elemeto de D o sea que D es deso fabrquemos ahora detro de D u deso umerable. { : Q N N } Em = { z E: z = m } E = E Sea Llamemos E = z D z N etoces E puede verse como m N que por ser uó umerable de umerables es umerable. Falta ver que es deso. l ya vmos que y D tal que d y, < ε Dado u Ahora sea z E tal que z y ε + < etoces: por otro lado luego E =l E umerable Ejemplo.53 l Sea m ε d( yz, ) = z y z y ε = < = = = ε ε d( z, ) d( y, ) + d( yz, ) < + = ε dado y tal que, l ε > z E d z < ε l separable. { : reales o complejas, acotadas } { } = N defmos la dstaca = sup N co la orma del supremo

74 Topología Geeral apítulo = { } d y, sup N y osderemos A= { l : = o N N } Sea y, A co y d( y, ) = y solo es cero e el caso que sea guales etoces A es dscreto luego el úco cojuto deso es el propo A que o es P N o R ya que umerable por ser de gual cardal que Sea ϕ : A P ( N) defda tal que a ( A) ϕ le asocamos el cojuto de ídces e los que la sucesó correspodete vale dcho cojuto perteece a las partes de N laramete dcha fucó es byectva por lo que los cojutos tee el msmo cardal. Proposcó.6 Sea (, ) X τ u espaco topológco, X tee ua base local umerable etoces tee ua base local umerable decrecete. Demostracó Sea { U } N ua base local umerable de Tomamos V = U V = U V V = U V 3 3 V = U V Por costruccó V V Además V = U V V es etoro de etoro etoro V N N y s N N N tal que U N y etoces como V N N N V tal que V N para algu N O sea que { V } N es ua base local

75 apítulo 3 overgeca y otudad Defcó 3. Dado el espaco topológco (, ) los aturales a X. : N X X τ ua sucesó es ua fucó de = Notacó cuado os refermos a la sucesó aotamos { } o y para hacer refereca a u termo de la sucesó s corchetes parétess. Defcó 3. Ua sucesó { } e u espaco topológco (, ) X s dado N N N tal que N X τ coverge a Ejemplo 3. Sea ( X, τ ) u espaco topológco co τ la topología dscreta es decr τ = { φ, X} toda sucesó e este espaco coverge a cualquer puto. Ejemplo 3. Sea (, ) X τ u espaco topológco co τ la topología dscreta, etoces e este espaco coverge las sucesoes que so costates a partr de u Defcó 3.3 Dado e u espaco topológco (, ) llamamos a { } que subsucesó de la dada s { } { } tal que lm + =+ X τ ua sucesó { } X y la aplcacó de N N Proposcó 3. Dado u espaco topológco ( X, τ ) y ua sucesó { } etoces toda subsucesó coverge a X

76 Topología Geeral apítulo Demostracó Es medata aplcado la defcó Dado N N por defcó tal que se S cumple que N omo > Dado N N ( ) lm dado u certo tal que + =+ > se cumple = tal que Proposcó 3. Sea (, ) este ua sucesó { } tal que X τ u espaco topológco y A X, X etoces s A coverge a A Demostracó Por defcó de covergeca Dado N N N tal que N N { } φ y como { } A etoces N A φ A X τ u espaco topológco y A X, X co base local umerable e, etoces s A este ua sucesó { } A tal que coverge a. Proposcó 3.3 Sea (, ) Demostracó omo tee ua base local umerable etoces este ua base V de. local decrecete { } Luego s A N V A φ por defcó de clausura. Etoces elegmos { } que N por ser { } V Además { } coverge a V A A y además dado N N N tal V base local decrecete V V N Ejemplo 3.3 Sea R co la topología de complemetos umerables y sea

77 Topología Geeral overgeca y otudad A = R \{ } teemos que A = R ya que sea U τ co U U N por ser aberto U es umerable esto mplca que U o puede ser solo el cero es decr U { } luego U A φ lo que sgfca que A es deso A =R osderemos ua sucesó { } tal que N etoces como Ya que { Luego } τ ({ } ) { } es umerable { } = N que es etoro de todos sus putos { } { } { } y N = φ lo que sgfca que la sucesó o tede a cero esto sucede por o ser este espaco topológco N y o poder aplcar la proposcó ateror. D dode D es u cojuto o vacío y ua relacó de orde que verfca: ) d d d D d e ) d l del,, D e l ) Dados d, d D etoces este d D tal que d d y d d Defcó 3.4 U cojuto drgdo es u par (, ) Ejemplo 3.4 Sea (, ) X τ u espaco topológco y X N, co la relacó de orde defda como sgue: Defmos U V U V etoces: ( N, ) es u cojuto drgdo, es claro que se cumple ) y ) probaremos la 3) ) Dados UV, N U V N y U V UV, ya que U V UV, Ejemplo 3.5 Sea D { abc,, }, = co la relacó de orde b D y además : a b c b Se cumple las tres propedades a c

78 Topología Geeral apítulo D E so dos cojutos drgdos etoces defmos: ( D E, ) co el orde lecográfco defdo por: d D d ( dc, ) ( d, c ) o d = d y c E c comparar co el orde alfabétco de las palabras, se cumple que es u cojuto drgdo ) y ) so medatas. ) Dados ( de, ),( d, e ) sea d D d, d E d y e E e, e E e que este por ser cada cojuto drgdo y: ( d, e) ( de, ) ( d, e) ( d, e ) Otro orde es tomar compoete a compoete es decr: d d ( dc, ) ( d, c ) y c c Ejemplo 3.6 Sea ( D, ) y ( E, ) Defcó 3.5 sea (, τ ) u espaco topológco y (, ) red es ua fucó T : D X de la red. Por ejemplo las sucesoes so redes. que aotamos { T } Defcó 3.6 Sea { T d } ua red e u espaco topológco (, ) dce que { T d } coverge a s dado N N este d D tal que: Ejemplo 3.7 Sea d D tal que: es decr que Td = d d T N d d d d D u cojuto drgdo. Ua a toda la red y T d a u elemeto X τ y sea X. Se X, τ co τ dscreta T d coverge a s se cumple que este d { } T d d Ejemplo 3.8 E Z co la topología τ = { A : A A} { φ} Z S T d es ua red que coverge a s y solo sí coverge a -. Ya que : N = N

79 Topología Geeral overgeca y otudad Ejemplo 3.9 Sea D = { a : } { b : } N N dode los elemetos a y b so dsttos etre sí. Y cosderamos la relacó dada por: a a s m b a s + m b b Podemos represetar gráfcamete: a a a a m m 3 4 osderemos la red b b b 3 T : D R dada por a =, b =, (, ) b ( 4 ) b ( 3 ) b b ( a 4 ) ( a 3 ) ( a ) ( a ) Vemos que T d tede a (,) pero o tede a otro puto por ejemplo (, ) Proposcó 3.4 Sea (, ) puto está e A este ua red { T d } X τ u espaco topológco, A X, X etoces u A que coverge a. Demostracó S este ua red { T d } A covergete a por defcó que: Dado N N, este d D tal que Td N d d luego T N A y etoces N A φ A d Sea A tomemos el cojuto drgdo ( N, ) como ya vmos defdo por : U V s U V Etoces s U N, U A φ ya que A y U A N Defmos ua red { TU } de la sguete forma TU = U A es decr T : N A

80 Topología Geeral apítulo A y además T U coverge a ya que s etoces U = N tal que s U U se tee: TU U A A U = A N N o sea TU N U U lo que mplca que T U coverge a Teemos así ua red { TU } N N orolaro 3.5 Sea ( X, τ ) u espaco topológco. U cojuto A solo sí para roda red { T d } X A que coverge a se tee que A es cerrado s y Demostracó Es ua fácl cosecueca del ateror resultado y del hecho de que A es cerrado s A= A orolaro 3.6 Sea σ y τ dos topologías e X etoces σ τ s y solo sí toda red que coverge co la topología τ mplca que coverge co la topología σ. Es decr: T T d τ Demostracó S σ τ observemos que dado u etoro N N σ por defcó este U σ tal que U N y como σ τ U τ tal que U N luego també por defcó Etoces como Td N. N τ d σ dado N N σ τ N d D tal que Td N d d τ luego Td σ Recíprocamete Tomemos A X cerrado co la topología σ Queremos probar que A es cerrado co la topología τ para lo cual teemos que probar que A τ = A (clausura de A segú τ ) ua clusó se cumple sempre A Sea A τ A τ etoces por proposcó 3.4 este ua red { T d } Td Td A σ τ σ por hp. prop. 3.4 A tal que σ y como A es cerrado e σ A = A etoces A luego A τ A y por lo tato τ A = A y A es τ -cerrado Es decr que s U σ U es σ-cerrado U es τ-cerrado U τ luego σ τ τ tee más abertos que σ, etoces s ua red coverge co la topología que tee más abertos (más fa ) coverge co la otra topología (más gruesa)

81 Topología Geeral overgeca y otudad Observacó 3. Dos topología cocde s toda ves que ua red coverge co ua de las topologías també coverge co la otra y vceversa. E certa forma la covergeca de las redes caracterza a la topología. Proposcó 3.7 ( Ucdad de la overgeca) Sea ( X, τ ) u espaco topológco. Toda red e X coverge a lo sumo e u puto s y solo sí X es de Hausdöff. Demostracó S X es de Hausdöff supogamos que T d coverge a dos putos e y dsttos. Sea U N, V N tal que U V = φ y Etoces este d y d D tales que Td U s d d d d sea d tal que etoces Td V s d d d d T U V absurdo por ser U V = φ d Supogamos que X o es de Hausdöff o sea que este: e y dsttos tales que U V φ U N, V N D = N Ny co UV, U, V U U y V V es fácl ver que es u cojuto drgdo UV, N Ny sea TUV, U V U etoces T ( UV, ) coverge a ya y sea S elegmos uo que dado W N este ( U, V ) ( W, X) tal que s ( UV, ) ( W, X) = etoces: Aálogamete se prueba que T( UV, ) y T U W T ( UV, ) ( UV, ) Defcó 3.7 Sea { T d } ua red e u espaco topológco (, ) se dce de aglomeracó de { T d } s dados N N y d D co d d tal que: Td Defcó 3.8 Dados ( D, ), ( E, ) N d y X τ. U puto X etoces este d D D E dos cojutos drgdos, ua fucó f : E D es cofal s dado d D e E tal que d f e - 8 -

82 Topología Geeral apítulo T d d D Defcó 3.9 Sea { } ua red e u ( X, τ ) espaco topológco y sea (, ) cojuto drgdo y f : E D ua fucó cofal tal que d D este e tal que f ( e) d s e e { } etoces T f e e E es ua subred de { T d}. Proposcó 3.8 Sea { T d } ua red e u (, ) es de aglomeracó de { T d } s y solo sí este ua subred de { d } E u E X τ espaco topológco y X etoces T que coverge a Demostracó S este ua subred { T f( e) } que coverge a co f : E D cofal etoces : Dado N N y d e E tal que f ( e) d e e y además e E tal que { Tf( e) } N e e Sea e E tal que e e, e e { } f( e ) f e d y T N que es de aglomeracó. S es de aglomeracó sea E = N D co el orde compoete a compoete o sea: Dado ( Ud, ) N D sea por: f ( Ud, ) d y TfUd (, ) U Dado d D sea e = ( X, d) etoces s tomamos (, ) (, ) se tee (, ) fud (, ) U U ( Ud, ) ( U, d ) d d f Ud, D tal que f : N D D (cofal ) defda Ud X d f Ud d d { } { } f Ud, d T es ua subred de Td Además: { TfUd (, )} coverge a ya que: dado N N sea d D y e = ( Nd, ) s ( Ud, ) ( Nd, ) etoces: T U N T N luego { TfUd (, )} f( U, d) fud (, ) - 8 -

83 Topología Geeral overgeca y otudad Defcó 3. Sea X e Y espacos topológcos, f : X Y, X se dce que f es cotua e s: Dado W N f N N tal que f ( N) W Decmos que f es cotua s es cotua e todo puto. Observacó para el caso partcular de espacos métrcos la defcó se puede rescrbr f : X Y, X f es cotua e dado ua bola B( f, ε ) mplca que este ua bola B(, δ ) tal que f ( B(, δ) ) B( f, ε) dcho de otra forma : S dado ε > δ > tal que s d(, y) < δ etoces d f, f y < ε ( ) Proposcó 3.9 Sea X e Y espacos topológcos, f : X Y ua fucó etoces las sguetes afrmacoes so equvaletes: ) f es cotua X N N se tee que f N N ), f 3) A Y aberto f ( A) es aberto 4) Para toda base B de la topología de Y ; f ( B) 5) Para toda subbase S de la topología de Y; f ( ) 6) S F Y es cerrado, f ( F ) es cerrado. Demostracó ) ) es aberto B B es aberto S por defcó de cotudad s f, tal que etoces como N f ( f ( N) ) f ( W) es decr que N f ( W) N N f ( N) N W N N N f N W y como ) 3) S A es aberto mplca que es etoro de todos sus putos A Ny y A pero s y A Y f ( A) X tal que y = f luego A N f ( ) por la hpótess que f A, f ( A) N f ( A) es etoro de todos sus putos luego es aberto. 3) 4) 5) so obvos 5) 6) ahora s F Y es cerrado F es aberto sea S ua subbase de la topología de Y etoces

84 Topología Geeral apítulo etoces: F = S S... S aberto ídce que dca ua seleccó. =... = ( )... ( ) es aberto por ser f F f S S f S f S uó de abertos luego como abertos terseccó fta de abertos es aberto = aberto f F f F f F 6) ) Prmero observemos que: S es cerrado f F es cerrado F Y para todo A Y aberto A es cerrado = es cerrado f A f A f A Sea X, W N f A Y aberto tal que por def. de etoro como A es aberto f ( A) y f A f ( A) N a f A W es aberto es aberto por la observacó de más arrba por ser aberto es etoro de todos sus putos llamemos f A N y se tee que: N Luego se cumple la defcó de cotudad. f f A A W f N W Ejemplo 3. Sea X co la topología dscreta e Y u espaco topológco cualquera, toda fucó f : X Y es cotua ya que para cualquer A Y se tee f ( A) lo podemos escrbr como la uó de sus elemetos que so abertos e X f ( A) = { } uó de abertos es aberto. f ( A) aberto Ejemplo 3. Sea Y co la topología dscreta etoces toda fucó f : X Y es Y = φ Y que so los úcos abertos de Y. cotua ya que: { } ( φ) φ f =, f Y = X que so abertos e X

85 Topología Geeral overgeca y otudad Ejemplo 3. Sea e X dos topologías τ y σ tal que τ σ (σ es más fa que τ ) y Id : X, σ X, τ es cotua ya que: sea la fucó luego es aberto e el domo. A Y tal que A etoces Id A = A τ τ σ Ejemplo 3.3 Sea la fucó f : X Y cotua, A X etoces: f : A Y defda como f = f A A (també suele aotarse e vez de f como f ( ) ) es cotua co la topología relatva ya que: Sea U aberto e Y fa ( U) = f ( U) A por defcó que f ( U) A A A aberto e X es aberto e A co la topología relatva. Ejemplo 3.4 Sea la fucó f : X Y cotua y cosderemos : f : X f X defda f = f teemos que es cotua co la topología relatva e f Sea U aberto e f ( X ) etoces por defcó luego f es cotua. = co aberto e = ( ) U V f X V Y f U f V f f X = = f V X f V que es aberto e X X ya que: Ejemplo 3.5 Sea f,g dos fucoes cotuas f : X Y g f : X Y es cotua g: Y Z Sea U aberto e Z etoces ( g f ) ( U) = f g ( U) aberto por f aberto por g Ejemplo 3.6 Sea X = A Bco A y B cerrados e X s f : X Y es tal que sus restrccoes f A= f, f B= f so fucoes cotuas y tal que e los putos de A B vale f = fetoces f es cotua

86 Topología Geeral apítulo Demostracó f s A f = f s B la codcó f = f A B es para que f está be defda. Etoces sea F X cerrado e X f F = f F f F f : es cotua f ( F) X etoces f ( F) es cerrado e X ; aálogamete co f ( F) luego f ( F) es cerrado o sea f es cotua. es cerrado e A y como A a su vez es cerrado e es cerrado e X Proposcó 3. Sea X e Y espacos topológcos, X etoces f es cotua e f T s y solo sí para toda red { } d coverge a f ( ). Demostracó s f es cotua y Td W N f W N Dado f T que coverge a se tee que la red { } por defcó y e cosecueca d D tal que etoces s d d Td f W d d f T f f W W f ( Td ) y por lo tato { f ( T )} coverge a f ( ). d d W Supogamos que f o es cotua e es decr que: W N tal que f N N se tee: f ( U) W = tal que f ( T ) Sea D N s U N sea T U U f U W. Dado V N, s U V T U V T U U Pero { f ( T U )} o coverge a f ( U) ostrumos así ua red { U } lo que cotradce la hpótess. ya que f T W U N T covergete a pero que: f ( TU ) f ( ) U W es posble por ser d

87 Topología Geeral overgeca y otudad Proposcó 3. Sea X e Y espacos topológcos, f : X Y las sguetes afrmacoes so equvaletes: ) f es cotua. ) Para todo A X 3) para todo B Y 4) para todo B Y se cumple f ( A) f ( A) se cumple f ( B) f ( B) se cumple f ( B ) ( f ( B) ) Demostracó ) ) Sea A f f A ( ) por proposcó 3.4 { T } A tal que Td f Td f A f Td f etoces por la msma proposcó 3.4 f f A o sea f A f A y además y f es cotua ) 3) como B Y f B X ( ) y aplcamos lo ateror Luego es decr 3) 4) usado el lema.3 b) f f B f f B B B ( ( )) f f f B f B f B f f f B f B f B f B = = = f B f B f B ( ) = f B f B = f B = = = f B f B 4) ) Sea B aberto e Y etoces como B = B aplcado lo ateror luego ( f B = f B f ( B) ) f ( B) f B f B f B = es aberto y por lo tato f es cotua. d

88 Topología Geeral apítulo Defcó 3. Sea E y F espacos métrcos, f : E F es uformemete ε > δ > tal que s y, E, d y, < δ cotua s dado d( f, f ( y) ) < ε El cocepto de cotudad es u cocepto local (para u puto) metras que el cocepto de cotudad uforme es u cocepto global.( o depede del puto). De la defcó se desprede que cotudad uforme mplca cotudad. Defcó 3. Sea E, F espacos métrcos f : E F es ua mersó sométrca s: d y, = d f, f y y, E ( ) Proposcó 3. S f es u mersó sométrca se cumple las sguetes propedades: ) f es yectva ) f es uformemete cotua 3) la composcó de mersoes sométrcas es també ua mersó sométrca. Demostracó f = f y = d f, f y = d y, = y porque estamos e u ) s ( ) espaco métrco. ε >, tomado δ = ε etoces s d y, < δ ) Dado (, ) (, ) 3) es medato por defcó. d f f y = d y < δ = ε Defcó 3.3 Ua sometría es ua mersó sométrca sobreyectva. Defcó 3.4 Dos espacos métrcos E,F so sométrcos s este : E F sometría Observacó La versa de ua sometría y la composcó de sometrías so sometrías. La sometría se comporta como ua relacó de equvaleca. Defcó 3.5 Sea (, ) Ed u espaco métrco, A E, A φ S E la dstaca de a A es por defcó: d A, = f d a, : a A { } como cosecueca de lo ateror defcó :

89 Topología Geeral overgeca y otudad Demostracó d A, = A tal que S { } { : d( A, ) } A = = d(, ) < B(, ) A φ A Defcó 3.6 Defmos u fucó llamada fucó dstaca da : que d = d A, A Proposcó 3.3 La fucó dstaca es uformemete cotua. Demostracó ε Dado ε > s d( y, ) <, a A (, ) (, ) + (, ) (, ) (, ) + (, ) d ya d a d y d a d ya d y (, ) (, ) (, ) (, ) + (, ) d a d y d ya d a d y S tomamos la prmer desgualdad d a, d y, d ya, (, ) (, ) + (, ) como d = f { d( a, ) : a A} d a d ya d y etoces A A da d( a, ) a A (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) d d a d ya + d y a A da d ya + d y a A s la desgualdad se cumple sempre també se cumple co el ífmo ε da da( y) + d( y, ) da( y) + tomado la seguda desgualdad d ya, d a, + d y, luego A A = f { (, ) : } d y d ya a A (, ) (, ) (, ) d y d ya d a + d y a A E R tal ε y a A

90 Topología Geeral apítulo pasado al ífmo ε da( y) da + d( y, ) da + es decr: ε da da( y) + ε da d( y) < < ε ε da( y) da + Dado ε ε > δ = tal que s d( y, ) < δ da da( y) < ε da es uformemete cotua. Defcó 3.7 S X, Y so espacos topológco f : X Y es u homeomorfsmo s f es tal que: ) f es cotua. ) f es byectva ) f es cotua. Defcó 3.8 Se dce que los espacos topológcos X,Y so homeomorfos s este f : X Y homeomorfsmo. Ejemplo 3.7 Sea X,Y espacos topológcos dscretos etoces f : X Y es cotua por ser X dscreto etoces f es cotua por ser Y dscreto, etoces tee el msmo cardal s y solo sí so homeomorfos. Ejemplo 3.8 X e Y dscretos so homeomorfos s y solo sí tee el msmo cardal. Defcó 3.9 Sea X,Y espacos topológcos f : X Y se dce que f es aberta s f A es aberto para todo A X aberto. Y se dce que f es cerrada s f F es cerrado para todo F X cerrado. Proposcó 3.4 Sea X,Y espacos topológcos f : X Y byectva etoces las sguetes afrmacoes so equvaletes: ) f es u homeomorfsmo ) f es cotua y aberta 3) f es cotua y cerrada

91 Topología Geeral overgeca y otudad Demostracó ) ) como f es cotua solo para que la otacó quede más amgable llamemos a f = gs A X ) 3) s F es cerrado mplca es aberto etoces ( g ( A) ) es aberto = f ( A) F es aberto y por hpótess es aberto ( ) es cerrado = f F f F f F 3) ) S F X es cerrado llamemos luego g = f etoces es cerrado = f F g F g = f es cotua y por lo tato u homeomorfsmo. Defcó 3. Sea E y F espacos métrcos cosderemos el cojuto B E, F = f : E F : acotada f acotada: f ( E) F { } es acotada como cojuto es decr: damf ( E) = sup { d( f, f ( y) ) : y, E} < a su vez podemos defr ua dstaca e BEF (, ) de la sguete forma: d( f, g) = sup { d( f, g ) : y, E} BEF el supremo es fto. Sea e E E d( f, g ) d( f, f ( e) ) + d( f ( e), g( e) ) + d( g( e), g ) e el cojuto (, ) etoces damf( E) damf( E) (, ) dam + (, ) + dam d f g f E d f e g e f E acotado luego el supremo de (, ) acotado acotado d f g es fto por estar la dstaca acotada. Defcó 3. El cojuto de fucoes acotadas (, ) BEF co la dstaca del supremo defe u espaco métrco llamado espaco de covergeca uforme. Defcó 3. Ua red { f d } de fucoes se dce que coverge uformemete a f s para cada ε > d D tal que d d se cumple: d f, f < ε E ( ) d u Aotamos fd f o fd f El ombre de dcho espaco métrco está justfcado por la sguete proposcó - 9 -

92 Topología Geeral apítulo Proposcó 3.5 Ua red { fd} BEF (, ) que coverge a f e ( B( E, F), ) solo sí { f d } coverge uformemete a f. Demostracó S f f dado ε > este d D tal que d d d (, ) d fd f < ε es decr que E d f, f sup d f, f : E < ε luego fd f S d D tal que d d se cumple: ( ) { ( ) } d ε d( fd, f ) < E tomado supremo ε d( fd, f ) = sup { d( fd, f ) : E} < ε luego ä f coverge uformemete. fd d d s y Proposcó 3.6 Sea el cojuto b ( EF, ) = { f : E F: cotuas y acotadas } etoces ( EF, ) es cerrado e ( B( E, F), d ). b Demostracó Sea f ( EF) { f } ( EF),, tal que f f b b hay que probar que f es acotada y cotua para probar que f ( EF, ) por defcó de covergeca dado E, ε > sea tal que ε d( f, f ) < 3 Y como δ > tal que s d y, < δ etoces f es cotua sabemos que este y etoces y, E ( ) (, ) d f f y ε < 3 ( ) ( ) ( ) d f, f y d f, f + d f, f y + d f y, f y luego f es cotua ε d( f, f ) + + d( f, ) f < ε 3 < ε < ε 3 3 b - 9 -

93 Topología Geeral overgeca y otudad aálogamete como que etoces y, E f es acotada esto sgfca que y, E este M postvo tal ( ) (, ) d f f y < M ( ) ( ) ( ) d f, f y d f, f + d f, f y + d f y, f y ε d( f f ) + M + d( f f ) < + M,, 3 < ε < ε 3 3 luego f está acotada y etoces f ( EF, ). Defcó 3.3 Sea el cojuto de fucoes F XY, = f : X Y b { } e este cojuto se dce covergete putualmete a f del msmo cojuto s para todo X la red f coverge a co X e Y espacos topológcos ua red { f d } { } p f e Y. Lo aotamos fd f Defcó 3.4 Sea X e Y espacos topológcos para cada X y para cada aberto U Y co U N f ( ) sea WU, = { g F ( XY, ) : g U} etoces el cojuto S = { WU, : X, U Y aberto} es ua subbase de ua topología llamada de covergeca putual La afrmacó de que es ua subbase está justfcada por ser F ( XY, ) = WU, ya que por defcó W F ( XY) U,, X U aberto e Y y además f XY, s X y U N co U aberto e Y S F f etoces, mplca etoces, f W X U aberto e Y { W... W :co XU, τ, U N } B =, U, U Y f( ) U es ua base de la topología llamada de covergeca putual. d f W U

94 Topología Geeral apítulo Proposcó 3.7 Toda red { f d } e ( XY, ) F coverge e la topología defda como de covergeca putual s : f f f f para cada X d d Demostracó Sea X U aberto e Y U N f queremos ver que d D tal que d d se cumple que fd U Sea W U, es u etoro de f y como fd f para cada etoro de f e partcular el W U, etoro de f este d D tal que d d f W f U d U, d luego fd f Sea V u aberto de la base tal que f V V = W... W = g: X Y : g U luego { }, U, U f V f U y como fd f mplca que d D tal que fd U d d,..., d { d } D f ( ) U =,..., es decr = tomado = ma : =,..., que este por ser u cojuto drgdo etoces d d d f W... W = V luego fd f d, U, U

95 apítulo 4 ojuto de ator Estudaremos e este capítulo u ejemplo de subespacos de la recta más mportates e teresates e Topología defdo por ator e 883, y que ha aparecdo desde etoces e multtud de ejemplos y teoremas topológcos. osderemos el cojuto cuya costruccó es la sguete, partmos el tervalo [,] e tres tercos, y etraemos el terco cetral, luego repetmos el proceso para estos tercos y así sucesvamete, el límte de esta costruccó es el cojuto de ator. Para eteder más esto vamos prmero a troducr u poco de otacó. S b a ( b a) I = [ ab, ] I = a, U a+, b, s I I I = U = U I 3 3 Itroducda la otacó comecemos, sea [, ]; 7 8 A = A = [, ] U[, ] U[, ] U [,] A A e geeral = etoces el cojuto de ator es: A es uó de tervalos A es la uó de 4 tervalos M A es la uó de tervalos dsjutos. = A = 3 U 3 A = A [, ] [,] =I = A U, = A = a b y b a = 3 o sea la medda de A es. 3 = 3. Ahora veremos alguas de las propedades más mportates del cojuto de ator

96 Topología Geeral apítulo Proposcó 4.El cojuto de ator es cerrado. Demostracó A para todo es uó fta de cerrados luego es cerrado y como es terseccó de cerrados es cerrado. Proposcó 4. o cotee gú tervalo aberto es decr que = φ Demostracó Supogamos por el absurdo que sí teemos u aberto (, ) que mplca ( cd, ) A cd lo y como A es uó de tervalos dsjutos lo que sgfca que tee que estar e uo de ellos ( cd, ) a, b para algú por lo tato < d c d c = 3 Proposcó 4.3 Los etremos de las tervalos cerrados dsjutos dos a dos que defe A se escrbe como { a} = : {,} Demostracó Lo demostraremos por duccó completa. = 3 Prmero que ada observemos que E A { a} = {, 3} A { a } = {,,, + } Etc H) { a} = : {,} = 3 a = A A A + T) { a+ } = : {,} = 3 j a a + j a

97 Topología Geeral ojuto de ator Demostracó { a+ } a = j j a + + para algú j 3 para algú j + = 3 = {,} = = + + por lo tato + = 3 + { } :, { a+ } = : {,} = 3 j j Proposcó 4.4 S m> y am, bm a, b φ etoces: j j am, bm a, b Demostracó m j y Sea am = a = co, {,} y = 3 = 3 Vamos a aalzar tres casos aso a) Sea = y =,..., e este caso teemos: lo que sgfca a más precsamete j m a a y y = = m m j m a = 3 = a j a m

98 Topología Geeral apítulo es decr por lo tato a y = = m m j m a = m m = = = = 3 = m m 3 3 = = = 3 3 m j am a m 3 3 j am + a m j m = b = b b j m b a j a m j j am, bm a, b aso b) Sea l yl, y = < l < Etoces yl l =± Aalcemos prmero ) yl l = = l m j y y y am a = + + l Luego ( ) j b m = l+ + = l l l+ l+ l+ 3 = = = > l l l l b

99 Topología Geeral ojuto de ator a a > 3 a > a + = b 3 j m j m a b j a m j b m o hay terseccó ) y = luego l l a m m y y a = j m l l l+ + l+ ( ) l+ 3 + l = + = + = < l l l l m 3 l j am a < m 3 j am + < a m 3 j m = b b j m < a absurdo porque e esta stuacó o hay terseccó. Etoces solo es posble el prmer caso e que ya vmos que. j j am, bm a, b j a m j b m Proposcó 4.5 S es el cojuto de ator etoces: = : {,} = 3 = 3 Por costruccó S m Am A Y como m m Am A = 3 = 3 m clausura. Demostracó Sea y = co {,} y por lo tato su límte perteece a la a b

100 Topología Geeral apítulo Pero A = A por ser cerrados Etoces y = lm A y A = Recíprocamete: e prmer lugar: s t = A N m m = 3 N mplca que para cada t (, ) t (, ) t, tal que t a, b t (, ) t a < 3 Luego t (, ) a t E segudo lugar mt (, ) ( mt, ) t (, ) ( t, ) omo m t am, b m a, b mplca por proposcó 4.4 que: mt (, ) ( mt, ) t (, ) ( t, ) am, b m a, b es decr que: t (, ) ( mt, ) a am t sedo m t (, ) mt (, ) y a = y am = pero ya vmos que = y = 3 = 3 =,..., s m etoces t (, ) mt (, ) a y a m so reducdas de la sere etoces como este el límte de = 3 las reducdas ( por ser moótoas crecetes y acotadas superormete ) t (, ) t = lma = 3 Proposcó 4.6 Todos los putos del cojuto de ator so de acumulacó Demostracó S t t = co {,} = 3 S o este a partr del cual todos los térmos de la sere so ceros etoces las sumas parcales de la sere ( putos del cojuto de ator ) so dsttas a t y sempre hay ua a dstaca meor que u certo ε > arbtraro. Supogamos que tal que = > Etoces = - -

101 Topología Geeral ojuto de ator - - t = y sea t 3 = t = = + + laramete t perteece a por proposcó ateror. Etoces: + ( ) tal que 3 t = t+ = t+ = t+ t t = Sea ε tal que < ε t t = < < ε esto sgfca: t Bt, ε \ t t es de acumulacó Proposcó 4.7 Este ua fucó f : [,] sobre y uformemete cotua Defda como: f co {,} = = 3 = Demostracó y = y podemos escrbr f = = 3 = y S {,} y {,} {,} f es sobreyectva ya que e prmer lugar s y f mplca f = = = co = = y s y = e segudo lugar y co y {, } es u úmero e base dos etre cero y uo. = Ahora dado ε > Sea tal que < ε tomamos dos elemetos del cojuto de ator a dstaca meor que caso: y, = y e este = = 3 Sea

102 Topología Geeral apítulo y y d f, f = = 3 = 3 + y = < ε + + ts, y d ts, < = δ etoces: etoces s 3 (, ) d f t f s < ε por lo que f es uformemete cotua. omo corolaro podemos afrmar que el cojuto de ator es o umerable. - -

103 apítulo 5 Topología Producto Veamos prmero la defcó de topología producto para el cado fto. X, τ : =,..., ua famla fta de espacos topológcos. Defcó 5. Sea { } Etoces la famla de subcojutos del producto cartesao X X... X B = { U U... U : U τ =,..., } omo X X... X se puede epresar como uó de elemetos de B,basta co tomar los U = X que so elemetos de τ, y como este cojuto es cerrado por terseccoes ftas Por tato segú corolaro.8 este ua úca topología sobre dcho cojuto respecto de la cual B es ua base. La llamaremos topología producto y al espaco resultate producto topológco. Observacó Para referros a u elemeto del espaco producto podemos adoptar las sguetes aotacoes: X = f :,..., { } X : f X =,..., = = també suele usarse la sguete otacó X = :,..., { } X : X =,..., = = poedo e vez de. Defcó 5. Dado el producto cartesao p : X X como = = X = p f f o p = que llamamos proyeccó caóca asocada al ídce defmos las fucoes

104 Topología Geeral apítulo Proposcó 5. Las fucoes proyeccoes so cotuas. Demostracó Para probar el eucado teemos que probar que la mage versa de u aberto es aberto. Sea U aberto e X p ( U) = X : p = U co U τ = lo que sgfca: p ( U) = X... X U X+... X y por lo tato p ( U) es aberto e el producto por lo que las proyeccoes so cotuas para todo Topología Producto aso fto Defcó 5.3 Sea {( X, ) : I} τ ua famla deada de espacos topológcos se defe el producto cartesao de espacos topológcos a: X = f : I X : f ( ) X I I El aoma de eleccó os dce que este cojuto producto es o vacío s y solo sí cada factor X o lo es. A los elemetos del espaco producto e ocasoes los aotaremos por otacó e lugar de f y e este caso ( ) lo aotamos por I X = : I X : X I Defcó 5.4 Sea {( X, ) : I} co esta τ ua famla de espacos topológcos deada defmos topología producto como la meor (la meos fa) topología que hace cotua a las proyeccoes p : X X β β I para todo I.Así que defmos como topología producto como a la geerada por la subbase S = p U : U aberto, U X I { } los abertos de la base so etoces de la forma.

105 Topología Geeral Topología Producto p U p U p U co fto també podemos escrbr a los msmos como X U... U β I β {,..., } β Esto es, u aberto B de la base es u producto dode todos los espacos coordeados so los X salvo para u úmero fto de ídces co =,..., dode teemos abertos propos de cada uo de los espacos deados. Falmete u aberto de la topología producto será todo lo que podamos epresar coo uó de estos elemetos B de la base que aotamos por B. Suele llamarse a esta topología, topología producto de Tychooff pues fue A. Tychooff qué e el año 99 defó esta topología y probó sus más mportates propedades. Observacó 5. Realmete esta topología ( τ ) es la meos fa de las que hace cotua todas las proyeccoes. Demostracó Supogamos que teemos otra topología que llamamosσ que també hace cotuas todas las proyeccoes. omo B = p ( U) : co U aberto, U X y F I fto F es la base de la topología producto τ. U U = p U... p U p U es Etoces s B ( ) ( ) y como cada ( ) aberto e σ porque esta topología hace cotua las proyeccoes etoces la terseccó fta de abertos es aberto e σ y U σ. Todo elemeto de la base de τ esta e σ etoces s A es aberto co la topología τ como A= A co A B y cada A es aberto segú σ, la uó de abertos es aberto A= A es aberto segú σ τ σ o sea σ tee más abertos que τ la topología producto. Observacó 5. S tomamos como base de ua topología aquellos cojutos que sea producto arbtraro de abertos, esto es s llamamos B a u elemeto de la base: B = U co U aberto e X, I I obteemos la llamada topología caja troducda por H. Tetze e 93 hstórcamete ateror a la troducda por Tychooff la cual posea más abertos que uestra topología producto y por tato la cotee. omo las proyeccoes so cotuas co la topología producto etoces so cotuas co la topología cajas. Ya que: - 5 -

106 Topología Geeral apítulo f : X Y f cotua τ sea aberto e X τx U τy f U τx τx segú τ X f cotua segú τ X A meos que especfquemos lo cotraro, cuado hablemos del espaco producto, etederemos que la topología volucrada es la topología producto de Tychooff. Y la hemos preferdo ya que la topología caja tee certos defectos como. Tee muchos abertos s lo que queremos es hacer las proyeccoes cotuas, es claro que cuato más abertos tegamos e el domo de ua fucó más fácl es de que sea cotua. No sempre el producto de espacos compactos es compacto No sempre el producto de espacos coeos es coeo. La cotudad de ua fucó que llega a u espaco producto o puede ser caracterzada e térmos de la cotudad de las fucoes coordeadas.( ver ejemplo 5.) Aú e el caso de productos eumerables o se garatza que el producto de espacos N sea N Proposcó 5. E el espaco producto co la topología producto las proyeccoes so fucoes cotuas y abertas. p : X X so cotuas yabertas β β I Demostracó Que so cotuas porque la topología producto se defó co dcho propósto. Para probar que es aberta alcaza co probar que p ( B) es aberto para todo aberto B de la base B. Tomemos u aberto B de la base,..., I y abertos U X,..., = tales que B = p U... p U = U... U X β β I β {,..., } etoces p ( B) = U s = para =,..., p ( B) = X s e ambos casos la mage es u aberto. Es decr que la mage de abertos de la base es u aberto

107 Topología Geeral Topología Producto Proposcó 5.3 Dada ua red { T } d β I X β p T p I d coverge a s y solo sí Demostracó S la red coverge Td como las proyeccoes so cotuas etoces p T p I S p T p I d d omo s V N este A aberto tal que A V y A es aberto mplca que es uó de elemetos de la base A B dode B so abertos de la base etoces s = β β β β β tal que β es decr que A B B β B A V β etoces basta co probar que dado u aberto B de la base que cotega a este d D tal que Td B d d así T B B = A V Luego sea B u aberto de la base que cotee a = d β B = p U dode U so abertos e X =,..., por hpótess s β B p U p U =,..., y por hpótess d D tal que T U d d co =,..., sea: d { } d ma d,..., d que este porque cada dos d d j se puede obteer ua mayor que esos dos, repetmos este razoameto co este últmo y otro d cualquera y así teemos uo mayor que todos. d d d d p ( T ),..., d U = o sea T p U =,..., y por lo tato d ( ) T B d d d - 7 -

108 Topología Geeral apítulo Observacó 5.3 Sea X u cojuto e Y u espaco topológco. Aotamos X Y = Y = f : X Y etoces ua red { } d X { } f coverge a f { f } f coverge a X o sea, la covergeca e la topología producto es la covergeca putual. El espaco producto també os da otra forma de ver las sucesoes, estas so elemetos del espaco X N. Proposcó 5.4 Sea Y, X d I espacos topológcos ua fucó f : Y X I es cotua s y solo sí p f Y X es cotua I : I Demostracó omo p es cotua p f es cotua s f es cotua S p f so cotuas I sea Y y sea T d la red que coverge a etoces ( p f )( Td ) ( p f ) e X es decr: p f T p f I [ ] [ ] d por proposcó ateror y por proposcó 3. f es cotua. f ( Td ) f e X I f Y I X p f p X ω Ejemplo 5. osderemos R, el producto umerable de R cosgo msmo ftas veces. Es decr ω R = X co X = R N N ω Sea R co la topología usual y defmos f : R R medate la ecuacó: f =,,...,,... la -ésma fucó coordeada de f es la fucó ( ) p f = cada ua de las fucoes coordeadas p f : R R es cotua; así pues, la fucó f es cotua s ω R está dotado co la topología producto por la proposcó ateror. Pero f o es - 8 -

109 Topología Geeral Topología Producto ω cotua s R está dotado co la topología por cajas. osderemos, por ejemplo, el elemeto básco B = (, ),, f B o es aberto e R. Ya que para la topología por cajas. Afrmamos que prmero que ada como el B y f f = ( B) etoces s f ( B) es aberto e R es etoro de todos sus putos e partcular del cero etoces tedría δδ, f B f δδ, f f B B, algú aberto ( ). Esto sgfca que () por lo que aplcado p a ambos lado de la clusó, p ( f ( δδ, )), = ( δδ, ) lo que mplca que δδ, = que o es aberto e R co la topología usual. δ = { } Proposcó 5.5 Dados ( X, ) τ I espacos topológcos teemos etoces que so Hausdöff para todo I s y solo sí X es de Hausdöff. Demostracó I X sea de Hausdöff I tomamos y, X co y etoces I tal que y y como este N I X es de Hausdöff mplca que UV, abertos e X tales que U, y V co U V = φ y como, p U p V so abertos de la subbase de I de o serlo el elemeto e comú tedría que proyectarse sobre X y además so dsjuto ya que X e la tersecó de U y V que es vacía. p ( U) Teemos que abertos y dsjutos que el producto es de Hausdöff y p V S es de Hausdöff tomemos u I X X cualquera y e él sea y : co y y sea y, X tales que = y I y ( ) ( ) = = y, y X - 9 -

110 Topología Geeral apítulo Etoces como y mplca que este abertos de la base U, V dsjutos tales que U e y V lo que sgfca a su vez que: este,..., I tales que U aberto de X,..., = y β,..., βm I tal que V β aberto de X =,..., m tales que: como: = = β U = p U = U... U X m {,..., } V = p V = V... V V β β β βm β β { β,..., β } U p U,..., = = p ( y) s m = p s y U co =,..., tal que p y U es decr que uo de los = (podemos supoer que además es úco ya que de haber más de uo tomamos la terseccó de ellos ) Aálogamete j tal que β j = úco. Etoces proyectado U,V sobre ya que como X p U... U X U = {,..., } p V... V X = V β βm β { } β β,..., βm y abertos dsjutos e X U V = φ U V = φ luego cosegumos dos abertos dsjuto que separa a e y e X es de Hausdöff. Proposcó 5.6 Sea ( E, d),...,( E, d ) espacos métrcos y : d ((,..., ),( y,..., y )) ma { d (, y ) :,..., } = = la topología ducda por d es la topología producto. Demostracó Sea { } d Td T ua red e E E... E tal que: d Etoces dado ε > d D tal que : U U V y V X - -

111 Topología Geeral Topología Producto - - ( (,..., ) ) (,..., ) lo que mplca d S el mámo de los ( ) Sea - - p ( T ) d Td = Td Td y ma d Td, < ε d d = p T = T ya que: d d d T, es < ε que so todos meores que ε d ( d, ) d T < ε p T = T d d d y como la covergeca coordeada a coordeada mplca e la topología producto que Td co la topología producto y recíprocamete todas las mplcacoes so recíprocas. Proposcó 5.7 Sea { E } N ua famla umerable de espacos métrcos etoces: Demostracó Recordar que s (, ) E es metrzable Ed es u espaco métrco decmos que es acotado s: > tal que d( y, ) y, E S o esta acotado sea: d ( y, ) = m{, d( y, )} es ua dstaca e E y además esta acotada probaremos que duce la msma topología que d. O sea d, d duce la msma topología porque: S d (, ) d (, ) d d Etoces se puede supoer que los espacos métrcos (, ) todo s o es así cambamos por (, ) d ( y, ) N Se defe { } { } = y = y : E d está acotados para E d y o camba la topología etoces: d E E R : (, ) d y d( y, ) = es fácl ver que es ua dstaca y además

112 Topología Geeral apítulo d duce la topología producto e d y, = < N E como: e top. prod. e d T T etoces teemos que probar que: T T Dado ε e d + e ε > sea N tal que: < que este s ε > y para sea e tal que: ε d( Te, ) < s e e Sea e tal que e e =,..., Etoces s e e (, ) d T e (, ) d Te = = d (, ) (, ) d T d T = + e e + ε ε ε + < + < + ε ε ε ε < + = + = ε T y recíprocamete S Te, dado ε >, N, sea e tal que: d ε d( Te, ) < e e etoces como d( Te, ) d( Te, ) e, = d T o sea ε d( Te, ) d( Te, ) < d T, < ε s e e e d ( e ) la tess T e d - -

113 apítulo 6 Espacos oeos Defcó 6. Sea (, ) X τ u espaco topológco, vamos a decr que X dscoeo s este abertos o vacíos y dsjutos U,V tales que: X = U V E caso cotraro dremos que X es coeo. Ejemplo 6. Sea X co la topología dscreta, etoces s X tee más de u puto o es coeo ya que para cualquer puto { } se tee que es aberto y cerrado luego { } es aberto y: claramete dsjutos. X = { } { } Ejemplo 6. Sea X co la topología dscreta. Teemos que es coeo porque o hay abertos dsjutos o vacíos ( los úcos abertos so X, φ ) Ejemplo 6.3 Sea X co la topología de complemetos ftos y X de ftos elemetos Sea A y B abertos dsjutos y B φ etoces: S A B = φ A B A es fto luego A o es fto y como A es aberto mplca que es vacío, o sea o hay abertos dsjutos o vacíos luego es coeo. fto Defcó 6. Sea (, ) X τ u espaco topológco, Y s es coeo co la topología relatva. X decmos que Y es coeo

114 Topología Geeral apítulo X = co la topología relatva. No es coeo ya que X =, 3 X 3,4 X =,,3 aberto relatvo aberto relatvo Ejemplo 6.4 Sea (,) (,3] ( ] Ejemplo 6.5 Sea los racoales Q co la topología relatva omo que Q es dscoeo. (, ) (, ) Q= Q + Q aberto e Q aberto e Q Proposcó 6. Sea (, ) equvaletes: ) X es coeo X τ u espaco topológco las sguetes afrmacoes so ) No este cerrados dsjutos o vacíos A y Btal que: X = A B 3) S A X es aberto y cerrado, etoces: A= φ o A= X 4) No este fucó f : X {,} que sea cotua y sobreyectva. Demostracó ) ) supogamos por el absurdo que sí este A y B cerrados dsjuto o vacíos tales que: X = A B A = B, B = A co A, B so abertos dsjutos ya que φ = A B tales que X = A B ) 3) Supogamos que A φ, A X y A X aberto y cerrado co A, A so cerrados y X = A A A, A cerrados dsjutos o vacíos cotradce ) - 4 -

115 Topología Geeral Espacos oeos - 5-3) 4) Supogamos que este f : X {,} cotua y sobre etoces f y cerrado e {, } y f f φ es aberto o es vacío, todo el espaco por ser f sobre. O sea lo que cotradce 3) f X 4) ) Sea X dscoeo A y Babertos dsjutos o vacíos tales que X = A B Etoces defmos f : X {,} de la sguete forma: s A f ( X) = s B f = B f defda así es cotua ya que : que la premage f = A f ( φ) φ, f ({,} ) = = X de todo aberto es u aberto f es cotua y sobreyectva y esto cotradce 4) Proposcó 6. E los reales y co la topología usual [,] es coeo. Demostracó Supogamos por el absurdo que o es coeo es decr que este A y B cerrados dsjutos o vacíos tales que [,] = A B omo A B que perteece a alguo de ellos, podemos supoer s perder geeraldad que A y defmos el sguete cojuto: A = { a A: a b b B} Por defcó A A, además como A y A B = φ b b B A luego A φ acotado superormete por mplca que tee etremo superor, le llamemos. Teemos que A A = A A ahora puede suceder que cerrado ) [,] B = = φ B = φ ) < Sea por ser A B= φ { } β β = f b B etoces B = B etoces por defcó de A β pero cerrado - 5 -

116 Topología Geeral apítulo = β como A A B φ β B luego < β t [, ] tal que < t < β Ahora s t A por ser t < β t b b B t A por ser el etremo superor de A t A Pero t B por ser t < β (ífmo) pero [,] = A B por lo tato [,] es coeo. Proposcó 6.3 ( Teorema de Bolzao) Sea X e Y espacos topológcos, f : X Y cotua s X es coeo etoces f X també es coeo. Demostracó Sea f : X f X coeo este etoces como que es cotua co la topología relatva e f luego X o es coeo g: f ( X) {, } cotua y sobre g f : X {, } es cotua y sobre X s este o es Proposcó 6.4 Sea X u espaco topológco { Y } I ua famla tal que Y X coveos I tal que Y Y φ β, I etoces β Y I es coeo Demostracó Supogamos por el absurdo que o es coeo que este ua fucó g: Y {,} g : Y, es cotua y como Y es Y cotua y sobre. omo { } I coeo que o es sobre. g( y) = cte y Y (esa costate es cero o uo) podemos etoces afrmar que: g( y) = g( z) yz, Y Sea y, Y Y e y Y( y) co, ( y) I y como Y Y( y) φ I por hpótess etoces: z Y Y g = g z = g y ( y) y g es costate lo que cotradce el que g sea sobre

117 Topología Geeral Espacos oeos Proposcó 6.5 Sea X u espaco topológco X es coeo s y solo sí y, X este X coeo tal que, e y Demostracó S X es coeo se toma = X y teemos la tess. Fjemos y X etoces X sea X coeo tal que e y sabemos que este por hpótess además los o so dsjutos, pues y perteece a todos ellos. omo: X = X etoces por proposcó ateror X es coeo. Ejemplo 6.6 U subcojuto A R es coeo s y solo sí es u tervalo. Demostracó S ab, A c tal que a< c< b se tee que c A ya que s c A podemos cosderar: U = (, c) A, V = ( c, + ) A dode U V = φ y A= U V co U y V abertos dsjutos o vacíos A es dscoeo. Recíprocamete probaremos que s I R es u tervalo I es coeo. y, I, y, I como este: S I es u tervalo etoces dados [ ] h [ ] [ y] :,, homeomorfsmo (fucó cotua y sobre ) etoces aplcado teorema de Bolzao al ser [,] y, es coeo luego por proposcó ateror I es coeo. coeo [ ] Se cocluye que cualquer tervalo (, ],[, ),(, ) o [, ] ser o + respectvamete. Proposcó 6.6 Dado (, ) etoces B es coeo. Demostracó ab ab ab ab dode a o b puede X τ espaco topológco, A X coeo y A B A Para la demostracó vamos a cosderar que este ua fucó f : B {,} cotua y ver que o puede ser sobre. A B f : A, omo A { } es cotua y como A es coeo f ( A) cojuto utaro { } { } f ( A ) = { }. es el o. Podemos supoer s perder geeraldad que

118 Topología Geeral apítulo Por ser f cotua y s B A = { } = { } f B f A f A f ( A) f ( A) top. dsc. lo que sgfca que f o es sobre B es coeo. omo corolaro teemos la sguete proposcó Proposcó 6.7 Sea (, ) coeo X τ u espaco topológco, X coeo etoces es Demostracó Es medata s poemos y aplcamos proposcó ateror Defcó 6.3 Sea (, ) X u espaco ormado, u cojuto A X es coveo s y, A t, se tee que: [ ] ( ) t+ t y A ( ) ( ) + t + t y + t y A ( t)( y ) y Ejemplo 6.5 B, ε es coveo ya que B(, ε) = { a X : < ε} sea y, B(, ε ), t [, ] etoces: t+ ( t) y t + ( t) y = = t + t y = ( ) ( ) = t + t y < tε + t ε = ε o sea t [, ] t+ ( t) y B(, ε ) S la bola o es cetrada e cero como este u homeomorfsmo: h: B, ε B, ε dada por h = + (traslacó) La bola trasladada es també coveo

119 Topología Geeral Espacos oeos Proposcó 6.8 Sea A u cojuto coveo e u espaco ormado etoces A es coeo. Demostracó a A fjo y A sea el segmeto = ta+ t : t, cosderamos Sea { [ ]} h [ ] por ht ta ( t) :, = + esta fucó es cotua y sobre para cada lo que mplca por Bolzao que su mage es coeo (por ser mage por medo de ua fucó cotua de u coeo). Etoces A= A es coeo por ser uó de coeos co terseccó dos a dos o vacíos, porque a es comú a todos. Ahora veremos e prmer lugar que el producto fto de espacos topológcos es coeo s y solo sí es coeo cada uo, para después ver el caso fto. Proposcó 6.9 Sea { X } solo sí X es coeo =,..., = espacos topológcos etoces = X es coeo s y Demostracó omo pj X X j X j es coeo = = cotua coeo probemos solo para dos y después por duccó geeralzamos Sea X, X coeos probaremos que X X es coeo. Sea ( a, a) X X fjo Dado u = (, ) X X sea X X = X a X a { } { } osderemos : { } h ( za, ) = z h X a X dada por laramete h es ua proyeccó luego es cotua y byectva. h : X X a { } = (, ) h z za { a } { } X a X

120 Topología Geeral apítulo Sea ua red { d} lo que mplca que z X tal que z z etoces: coeo etoces X { a} Sea h :{ } X X h ( z ) z d d = d,, = h z z a za h z h es cotua. Luego es coeo. defda por h es u homeomorfsmo y s X es, = al gual que h h es ua proyeccó y por lo tato cotua y byectva y de la msma maera que se hzo para h se demuestra que h es u homeomorfsmo Luego como por hpótess X es coeo etoces { } X es coeo. Y como (, a) X { a} { } X que la uó es coeo es decr es coeo coeo X luego como coeo X X = X, etoces, por defcó y recíprocamete Ya que s ( ) X X ( ) s ( y, ) X X ( y, ) X X por def. Además todos los cojutos luego su uó es coeo X X es coeo. tee e comú el puto (, ) a a y so coeos Geeralzamos tomado X = X X e Y = X3 por lo ateror X Y es coeo es decr X X X3 es coeo y así sucesvamete teemos que X... X es coeo. Veamos ahora el caso fto. Proposcó 6. Sea { X λ } λ I ua famla de espacos topológcos etoces X λ es coeo s y solo sí los X λ so coeos para todo λ I. λ I Demostracó El caso drecto es medato por ser la proyeccó ua fucó cotua al gual que el caso fto. a X tomamos ua Para el recíproco cosderemos u puto fjo { λ} λ I λ I catdad de ídces ftos λ, λ,..., λ I y defmos: X,..., = X X... X a λ λ λ λ λ λ λ I λ { λ,..., λ } - - λ

121 Topología Geeral Espacos oeos - - es decr: Xλ :,...,,..., λ = X a λ λ = λ λ λ λ λ I defmos la fucó ϕ : X X... X λ,..., λ λ λ como la proyeccó de X λ,..., λ sobre X... λ X λ luego es cotua y byectva para probar que la versa es cotua lo demostramos gual que el caso fto, os tomamos ua red covergete. ϕ : X... X X z X... X tal que z z Sea { d} λ ϕ λ ϕ d λ λ λ,..., λ ( λ) z = a a d λ λ s λ { λ,..., λ} ( zd ) = ϕ = ϕ ( zd)( λ) = zd z s λ { λ,..., λ } por lo que ϕ es cotua y lleva coeo e coeo luego como por hpótess cada X λ es coeo etoces por proposcó ateror X X... X es coeo y etoces Sea X λ,..., λ es coeo. como { } { } Z = X λ λ { λ,..., λ } I,..., ( z) λ λ λ aλ Xλ,..., λ λ,.., λ I tee terseccó o vacía y luego su uó es u cojuto coeo. Además s U es u aberto de la base de la topología producto. U = p ( U )... p U co,..., U X = omo X U ya que X... X,..., φ U = U... U X co U X λ {,..., } X = X... X a,..., λ λ {,..., } luego Z U φ U aberto de la base Z = X λ y como Z es coeo mplca que Z es coeo luego λ I X λ es coeo. λ I λ - -

122 Topología Geeral apítulo Defcó 6.4 Sea X u espaco topológco, y, X. Se dce que e y está coectados (aotamos y ) s este u cojuto X coeo tal que y, Proposcó 6. X es u espaco topológco coeo s y solo sí y y, X Demostracó por la proposcó 6.5 X es coeo s y solo sí y, X este u coeo co y, por defcó que y. Proposcó 6. Estar coectado es ua relacó de equvaleca. Demostracó ) ya que { } es coeo ) S y y por defcó 3) S y z e y z Ya que y X coeo tal que y, y z D X coeo tal que yz, D Etoces z, D y como D es coeo por ser uó de coeos o dsjutos ya que y D luego z Toda relacó de equvaleca e u cojuto establece ua partcó del msmo e clases de equvaleca tales que so dsjutas y su uó es el cojuto. Podemos etoces troducr la sguete defcó. Defcó 6.5 Sea X u espaco topológco, X llamaremos compoete coea de a la clase de equvaleca de. Aotamos { : } = y X y també podemos escrbr = { y X : X, coeo tal que y, } para u A subcojuto de X defmos la compoete coea de e A que aotamos como: o també A A { : } = y A y { :, coeo tal que, } = y A A y A Observar que de acuerdo a la defcó sempre A A. - -

123 Topología Geeral Espacos oeos Proposcó 6.3 Dado u espaco topológco X este es coeo s y solo sí tee ua úca compoete coea. Demostracó Por la proposcó 6. teemos que X es coeo s y solo sí para todo y, X, y etoces s fjo mplca que y y X X como la otra clusó es obva etoces so guales = X luego tee solo ua compoete coea. Proposcó 6.4 La compoete coea de es el mayor coeo que cotee a Demostracó Teemos que probar dos cosas prmero que cualquer otro coeo que cotega a esta cotedo e y luego que la compoete coea es coeo. Sea D X coeo co D y D y por defcó de coectado lo que mplca por defcó de compoete coea que y luego D. omo y y Dy X coeo tal que y, Dypero por lo ateror D y etoces por def. = D y y como la uó o dsjuta de coeos es coeo orolaro 6.5 Las compoetes coeas so cerrados. y es coeo. Demostracó Se tee que por proposcó ateror las compoetes coeas so coeas luego su clausura es també coea porque la compoete coea es el mayor coeo que cotee a. Luego como sempre = Ejemplo 6.6 Sea X = (,) [,3) las compoetes coeas so [ ) so abertos y cerrados a la vez, y,3 que Ejemplo 6.7 Sea los racoales Q co la topología heredada de R las compoetes = p ya que s la coeas de u puto p Q es el propo p es decr { } compoete coea tuvera más de u puto por ejemplo pq, co p q rracoal tal que p < < q y etoces podemos escrbr p (, ) (, ) p = p p + aberto aberto p - 3 -

124 Topología Geeral apítulo se puede escrbr a p como uó de abertos dsjutos, luego p o es coeo lo cual es absurdo. o p racoal claramete { p} es cerrado ya que Q co la topología relatva a la usual de R es T. Pero o es aberto, ya que u aberto e Q es u aberto de R terseccó Q que claramete tee más de u puto (cotee ftos putos). Ejemplo 6.8 El cojuto de ator es u cojuto dode las compoetes coeas so los cojutos uputuales ya que o hay tervalos e. Defcó 6.6 Sea X u espaco topológco decmos que X es localmete coeo s X se tee ua base de etoros coeos. Ejemplo 6.9 Los reales R es localmete coeo ya que ε, + ε : ε > { } es ua base de etoros coeos de. Además R es coeo. Ejemplo 6. Sea el espaco (,) (,3] coeo. Ejemplo 6. Sea R Q Ejemplo 6. Sea R Q [ (, ) : ] X = o es coeo pero sí es localmete R o es coeo, localmete coeo R o es localmete coeo pero sí es coeo. Dos putos de ua msma recta está coectados, dos putos de rectas dsttas está coectados pero sguedo el camo dcado por las flechas, ya que ese camo es uó de segmetos (coeos) o dsjutos luego la uó es coea. Es decr este u coeos cludo e el espaco que cotee a los putos. Proposcó 6.6 Sea (, ) X τ u espaco topológco etoces las sguetes afrmacoes so equvaletes: ) X es localmete coeo ) S A τ las compoetes coeas de A so abertas

125 Topología Geeral Espacos oeos - 5-3) Este ua base de la topologíaτ cuyos membros so coeos. Demostracó ) ) S X es localmete coeo X se tee : B = { V N : V coeo} Sea A aberto y ua compoete coea de A.( A) Tomemos al ser A aberto mplca que es etoro de todos sus putos, como A A N por defcó de base local V B tal que V A. omo V, coeos y V V es coeo V por proposcó 6.4 y esto últmo sgfca que V. E resume V etoro coeo tal que V que es aberto. ) 3) Sea B = { A τ : A es coeo} S B es aberto por hpótess las compoetes coeas de B so abertas llamemos a estas para Betoces: B B = B B B y por ser los coeos y abertos B B luego todo aberto se puede escrbr como uó de elemetos de B es ua base. 3) ) Sea B ua base de coeos, X, defmos. B = { V B : V} mplca queb es ua base de etoros coeos de ya que s V B V es aberto y como V V N y coeo. orolaro 6.7 ualquer compoete coea de u espaco X localmete coeo es aberta y cerrada. Demostracó Prmero aplcamos el teorema ateror para el aberto X por lo que las compoetes de X so abertas y por el corolaro 6.5 estas so cerradas. B Proposcó 6.8 Sea X u espaco topológco localmete coeo, sea Y u espaco topológco, f : X Y cotua s además f es aberta o cerrada etoces f ( X) es localmete coeo. Demostracó Prmero haremos la demostracó para el caso de que la fucó f sea aberta. Que X sea localmete coeo sgfca por defcó: - 5 -

126 Topología Geeral apítulo { : coeo} X B = V N V es ua base local esto mplca a su vez que: Dado N N este V B tal que V N omo f es cotua dado tal que W N N N f N W Y como para cada N N este V B tal que V N etoces f f ( V) f ( N) W Por otro lado que V N U aberto tal que U V f f ( U) f ( V) y como f es aberta f ( U) es aberto por defcó de etoro que f ( V) N f ( ) además al ser V coeo y f cotua f ( V) es coeo. Etoces s cosderamos Bf = { f ( V) : V B } = f ( V) : V N, V coeo Se tee que: W N f V B tal que Para cada f f { } f V W lo que sgfca por defcó que B f es ua base local dode sus elemetos so coeos luego es f ( X ) localmete coeo. Ahora cosderemos la hpótess de que f es cerrada y e prmer lugar observemos f : X f X es sobre y por lo tato vale: que A f ( X), f ( f ( A) ) = A Lo que vamos a probar es que para todo aberto e f X tee sus compoetes coeas abertas. A f X aberto sea D ua compoete coea de A. Dado omo f es cotua f ( A) es aberto e X y como ya vmos e la demostracó de la proposcó 6.6 que u aberto e u espaco localmete coeo se puede escrbr como uó de las compoetes coeas de todos sus putos, es decr: f ( A) = f dode las compoetes coeas ya vmos que so abertas. Y como D A f ( D) f ( A) f ( D) f ( A) f ( D) f ( D) = f ( D) ( A) = y susttuyedo Supogamos que f ( D) f ( A) φ lo que sgfca que

127 Topología Geeral Espacos oeos f f ( ) f ( D) f f D f ( D) f f ( f ( D) ) = D Luego f ( ) D φ Por otro lado como es compoete coea de f ( A) mplca que: ( f A f f f ( A) ) = A omo es coeo y f es cotua f ( ) es coeo e A pero como D es compoete coea de A y f ( ) D φ f ( ) D Demostramos que etoces podemos escrbr: φ S f D f D = f D f ( D) φ y por ser uó de abertos es aberto por lo tato y como f D = f ( D ) f D es cerrado etoces como f es cerrada Luego D es aberto. f f D = D cerrado Defcó 6.7 Sea X u espaco topológco, y, X U camo de a y e X es ua fucó f :, [ ] X cotua y tal que: f = f = y Defcó 6.8 Se dce que u X espaco topológco, y, X está coectados por camos s este u camo de a y. Aotamos y Defcó 6.9 Decmos que u espaco topológco X es coeo por camos s : y y, X A X decmos que A es coeo por camos s lo es como espaco al cosderar sobre él la topología relatva. cerrado Proposcó 6.9 S e y está coectados por camos mplca que está coectados

128 Topología Geeral apítulo y y Demostracó Por hpótess como estar coectados por camos mplca que f :, X, es coeo y f cotua teemos ua fucó cotua [ ] y como [ ] mplca que ([,] ) f es coeo y cotee a e y por defcó que está coectado co y. orolaro 6. S el espaco topológco X es coeo por camo etoces X es coeo Xcoeo por cam os coeo Demostracó Por defcó s X es coeo por camo etoces y, X se tee que y y que X es coeo prop.6. El recíproco o vale ver ejemplo 6.3 Proposcó 6. Estar coectados por camo ( ) es ua relacó de equvaleca. Demostracó a) f :, [ ] X defdo f ( t) = t [,] b) f :, [ ] X cot. co f = f = y X g t = f t t, Sea g:, [ ] y c) f g [ ] dado por [ ] es cotua y g g = f = y g = f =, :, X cotuas tal que: f = f = y = g g g = z X defdas por : f z f ( t) s t [, ] ht = g( t ) s t [,] osderemos h:, [ ] el recorrdo de a y, y a z lo teemos que hacer el doble de rápdo

129 Topología Geeral Espacos oeos H es cotua ya que es la cocateacó de fucoes cotuas y f g h = f = h = g( ) = z luego y. = co Defcó 6. La relacó de equvaleca de estar coectado por camo establece ua partcó e clases de equvaleca que llamamos compoete coea por camo de X. Aotamos para referros a la compoete coea por camo de. Proposcó 6. El espaco topológco X es coeo por camos s y solo sí tee ua úca compoete coea por camo. Demostracó Por defcó teemos que X es coeo por camo s y solo sí para todo y, X, y etoces s fjo mplca que y y X X como la otra clusó es obva etoces so guales = X luego tee solo ua compoete coea. Proposcó 6.3 Sea X u espaco topológco etoces las compoetes coeas por camo está cludas e las compoetes coeas de X. Demostracó Esto es porque estar coectados por camo mplca estar coectado es decr: y y y y Luego S Prop. 6.9 Proposcó 6.4 Dado X espaco topológco, sea X etoces la compoete coea por camo es el mayor subcojuto coeo por camo que cotee a. Demostracó que es el mayor coeo por camo, mplca que, por u lado es el mayor e el setdo que cotee a todo cojuto coeo por camo y que él es coeo por camo. Lo demostraremos por separado: - 9 -

130 Topología Geeral apítulo a) S A X coeo por camo y A etoces por defcó y A y e A se puede ur y co medate u camo e A, pero como A X se puede ur y co por medo de u camo e X. y. Luego A b) es coeo por camo. Teemos que probar que o puede suceder lo que está represetado e la fgura e puteado, es decr que el camo o sale de la compoete coea. Dado u camo σ e X co σ = llamemos I = [,] todos los putos del camo so σ( I) = { σ( s) X : s I} etoces todos los putos σ( s) σ( I) σ ( t) defdo como sgue: puede ser udos co por el camo σ σ ( s) es decr que σ ( I) σ = = σ ( t) = σ ( st) = σ = Luego σ( s) s I σ( s) s I es coea por camos e X. Proposcó 6.5 S X es u espaco topológco coeo por camo y f es ua f X es coea por camo. fucó cotua etoces Demostracó Sea f, f ( y) f ( X) para todo y, X se cumple y este h:, [ ] X h = h = y etoces sea f h:, [ ] f ( X) al ser X coeo por camo mplca que que es cotua por ser composcó de cotuas y tal que: ( f h) = f ( h ) = f f f y ( f h) = f ( h ) = f ( y) X es coeo por camo. Luego f Ejemplo 6.3 X = A B co A=, cotua y tal que: π Sea R { } [ ] y B = {( se, ) : (,] } A y X - 3 -

131 Topología Geeral Espacos oeos Para todo los putos de B se tee que hay u camo que los coecta que es el propo gráfco de se( π ) Luego B es coeo por camo es coeo. Además A B etoces como B X B que X es coeo. Probaremos que X o es coeo por camo. Para lo que cosderamos u t camo que llamamos defdo :, [ ] X tal que. = (,) es decr que partmos del puto (,) de A. Llamemos ( t) ( ( t), ( t) ) = empezamos a moveros e el cojuto A y queremos saber e que mometo dejamos él msmo para ello defmos : t = sup T, : t = t T { [ ] } es cotua y { } es cerrado ({ } ) es cerrado t ({ } ) S t = t ( t) = es decr que o salmos del cojuto A ([ ]) omo t = Supogamos que t <. omo es cotua: Dado ε > δ > tal que s t t < δ etoces ( t) ( t ) < ε t tal que t t < δ etoces Sea ( t ) B B ( ( t ) ) ε, = y para este t + pero teemos que este t ( t, t ) tal que ( t ) 3, A ( t ) =, B( ( t ), ε) 3 + Luego t < os lleva a u absurdo por lo tato t = que o podemos salmos de A. Lo que mplca que o es coeo por camo. Además sus compoetes coeas por camo so A y B (B o es cerrado) Metras que compoete coea hay ua sola, ya que X es coeo. Defcó 6. Sea X u espaco topológco decmos que es localmete coeo por camos s todo puto X tee ua base de etoros coeos por camos.

132 Topología Geeral apítulo Aotamos l cc Proposcó 6.6 Sea X u espaco topológco las sguetes afrmacoes so equvaletes: ) X es l cc ) S A X aberto etoces las compoetes coeas por camo de A so abertas. 3) Este ua base de X cuyos membros so coeos por camo. Demostracó ) ) S X es localmete coeo por camo X se tee : B = { V N : V coeo por camo} Sea A aberto y ua compoete coea por camo de A.( A) Tomemos al ser A aberto mplca que es etoro de todos sus putos, como A A N por defcó de base local V B tal que V A. omo V es coeo por camo y tee a e comú co etoces: y V y y V V e resume V N tal que V por lo tato es aberto. ) 3) Sea B = { A τ : A es coeo por camo} S B es aberto por hpótess las compoetes coeas por camo de B so abertas B llamemos a estas para Betoces: B B = B B B y por ser los coeos y abertos B B luego todo aberto se puede escrbr como uó de elemetos de B es ua base. 3) ) Sea B ua base de coeos por camos, X, defmos. B = { V B : V} mplca queb es ua base de etoros coeos por camo de ya que s V B V es aberto y como V V N y coeo por camo. Proposcó 6.7 S X es u espaco topológco localmete coeo por camo etoces las compoetes coeas por camo de, so abertas y cerradas X. Demostracó Por la proposcó ateror ) s tomamos A= X teemos que las compoetes coeas por camo de X so abertas

133 Topología Geeral Espacos oeos Sea ( ) mplca que este y N supogamos que como el espaco es localmete coeo por camo N N co N y coeo por camo como y Luego y N o sea que el complemeto es aberto y por lo tato la compoete coea por camo es cerrada. y Proposcó 6.8 Sea X u espaco topológco localmete coeo por camo etoces: X es coeo s y solo sí, X es coeo por camo. Demostracó ya está demostrado e la proposcó 6. Sea X y su compoete coea por camo que por la proposcó ateror es aberta y cerrada luego como por hpótess X es coeo, etoces usado proposcó 6.() = φ = X y como es o vacía ya que = X Es decr que X tee solo ua compoete coea por camo es coeo por camo (por proposcó 6.). Ejemplo practco Sea X u espaco topológco y A X. Sea X u cojuto coeo tal que A φ y A φ. Probar que A φ Demostracó Supogamos por absurdo que A= φ prmero que ada observemos que A\ A= A A= A y como A\ A= A es aberto e X pero esto a su vez mplca que A es aberto e y dstto del vacío por hpótess. Por otro lado como A= A ya que por defcó: A= A A y etoces aplcado la defcó al complemeto se tee =φ

134 Topología Geeral apítulo A A A A A A = = = luego podemos hacer el msmo razoameto que más arrba para A \ A = A A = A = A y como A \ A = ( A ) = φ que es aberto e X luego dstto del vacío por hpótess. Es decr que e resume teemos que los cojutos o vacíos e y dsjutos por serlo lo cual es absurdo por ser coeo. Luego tee que ser A φ A y A tales que: = A A A. A es aberto e y A A y so abertos

135 apítulo 7 Espacos Métrcos ompletos Defcó 7. Ua sucesó { } es de auchy e u espaco métrco (, ) Dado ε > N tal que m, se cumple: d, < ε m Ed s: Proposcó 7. S ua sucesó { } es covergete etoces es de auchy Demostracó S Dado ε > N tal que ε d(, ) < etoces s m, aplcado la desgualdad tragular d(, m) d(, ) + d( m, ) < ε ε ε < < Proposcó 7. Ua sucesó de auchy que tee ua subsucesó covergete es covergete. Demostracó Sea { } de auchy dado ε > N tal que m, se cumple ε d(, m) < Por hpótess Para el ε ateror N tal que se tee que: ε d(, ) < Sea ma {, } etoces para todo > este > (por defcó de subsucesó) tal que:

136 Topología Geeral apítulo y por lo tato ε ε d(, ) d(, ) + d(, ) < + < ε Proposcó 7.3 Sea ( Ed, ) u espaco métrco y ua sucesó { } etoces { } está acotada. E de auchy Demostracó Prmero observemos que { } acotada para algú K > se tee: sup { d(, ) : m, N } < K m Tomemos ε = y aplquemos la defcó de auchy para ese ε N tal que m, se cumple: d, m < A partr de la sucesó está acotado por y como los prmeros també está acotados por ser éste u cojuto fto. Luego este M postvo tal que: M = sup d, : { ( ) } Etoces s y m d(, m) d(, ) + d(, ) m < M + por lo tato d, < M + m, N m < M < El recíproco o es certo vasta co ver el sguete ejemplo Ejemplo 7. Ua sucesó puede ser acotado como se puede ver claramete. y o ser de auchy como Proposcó 7.4 Sea f : E F ua fucó uformemete cotua s { } de auchy etoces { f ( )} es de auchy. Ees Demostracó Por ser f uformemete cotua mplca que dado ε > δ > tal d y, < δ etoces que s como { } tee luego (, ) d f f y < ε es de auchy mplca que para ese δ > N tal que m, se (, ) d < δ m

137 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos por lo tato { } f es de auchy. (, ) d f f < ε Ejemplo 7. Ua fucó que es solo cotua o lleva sucesoes de auchy e sucesoes de auchy como muestra el sguete ejemplo. Sea f :(, ) R tal que f = es cotua e (, ) y { } { = } es de auchy f = o es de auchy. pero { } { } Esto os muestra que la ocó de que ua sucesó sea de auchy o es ua propedad topológca ya que solo se coserva por homeomorfsmos uformes (que sea uformemete cotuos). Ejemplo 7.3 Toda sucesó de auchy o tee porque ser covergete por ejemplo { } e (, ) es de auchy pero o coverge e ese espaco. Otro ejemplo + e los racoales Q es de auchy pero claramete o coverge e los racoales. Es decr que la covergeca esta sujeto a lo que sucede e el espaco ( s le falta putos por ejemplo ). Nos va a teresar el estudos de aquellos espacos métrcos e que las sucesoes de auchy sea covergetes y por eso troducmos la sguete defcó Defcó 7. U espaco métrco (, ) e E es covergete. m Ed es completo s toda sucesó de auchy Ejemplo7.4 Los reales so u espaco métrco completo. Los racoales ya vmos, o es completo porque que o y el tervalo [,] es completo metras que { } es de auchy y coverge a cero que o perteece al tervalo. Proposcó 7.5 Sea E y F espacos métrcos, f : E F cotua, byectva y co versa uformemete cotua etoces s E es completo mplca F es completo. Demostracó Sea { y } F fucó versa. es de auchy y como de auchy por proposcó ateror (7.4) aplcado a la { f y } completo por hpótess, luego ( ) { } f y e E y como f es cotua : ( ) f f y f e = y f y E que es

138 Topología Geeral apítulo como f ( e) F demostramos etoces que F es completo. y f e F coverge e F que orolaro 7.6 Sea E y F so sométrcos etoces E es completo s y solo sí F es completo. Demostracó omo las sometrías so fucoes uformemete cotuas y como las versas de sometrías so sometrías teemos que su versa també es uformemete cotua. Luego se puede aplcar la proposcó ateror tato e el drecto como e el recíproco. Vamos a ver ahora dos proposcoes que relacoa el ser completo co ser cerrado Proposcó 7.7 Sea (, ) F es completo. Ed u espaco métrco completo y F E cerrado etoces Demostracó Tomemos ua sucesó de auchy { } e F y como F Edcha sucesó es de auchy e E E. Teemos etoces que este ua sucesó { } tal que proposcó 3. { } cerrado F luego por la F = F coverge e F F es completo. Proposcó 7.8 Sea (, ) cerrado. Ed u espaco métrco, y F Ecompleto etoces F es Demostracó Tomemos F mplca por proposcó 3. que este ua sucesó { } F tal que como F es completo y la sucesó está e F etoces { } coverge e F F F luego F Fcomo la otra clusó se cumple sempre = F y por lo tato F es cerrado. Proposcó 7.9 Sea E y F dos espacos métrcos cosderemos el espaco producto E F co cualquera de las métrcas ( d, d, o d ) se tee que es completo s y solo sí lo so E y F. Demostracó Recordemos prmero que dchas métrcas so equvaletes ya que d( y, ) d ( y, ) d( y, ) lo que equvale a: d d d B, ε B, ε B,ε d B d B d B

139 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos y d y, d y, d y, lo que equvale (, ε) (, ε) (, ε) d d d B B B Todas las métrcas so equvaletes d B d B osderemos la fucó detdad Id :( E Fd, ) ( E Fd, ) o =, estas fucoes so cotuas, byectvas y co versa uformemete cotua. Etoces ( E Fd, ) es completo s y solo sí ( E Fd, ) es completo. Demostremos solo etoces que ( E Fd, ) es completo. E por defcó dado ε > osderemos ua sucesó de auchy { } etoces este N tal que, se cumple (, ) m de m < ε Sea y F fjo y cosderemos la fucó h: E ( E Fd, ) defda por h = ( y, ) h es ua mersó sométrca ya que d ( h, h( )) = ma { de(, ), de( y, y) } = de(, ) etoces aplcado la proposcó 7.4 por ser la mersó sométrca uformemete cotua h = y es de auchy e E F luego { } {}, (, y ) ( y, ) luego (, E ) S (, E) y (, F) {(, y )} e el producto ( E, ) y y = y Fd, F Ed es completo. Aálogamete co Ed Fd so completos y cosderamos ua sucesó de auchy Fd como: d, d, y,, y = ma d, + d y, y E( m) [( ) ( m m) ] { E( m) F( m) } al ser {(, ) } N tal que, d (, ) d [(, y ),(, y )] < ε y de auhy se tee que para cada ε > m E m m m por lo tato al ser d, < ε m, es de auchy e E De la msma forma { } { } m d B y es de auchy e F etoces como E y F so completos e E (, y) ( y, ) e E F y y e F

140 Topología Geeral apítulo Lema 7. Sea ( Ed, ) u espaco métrco y e el d(, y) d( y, ) es decr lm d(, y ) = d( y, ) e y y etoces Es como que podemos pasar del límte de la dstaca al límte de sus compoetes Demostracó S para cada ε > N tal que se cumple d(, ) < ε y que y y para cada ε > N tal que se cumple d y y < ε (, ) etoces s tomamos = ma {, } etoces se cumple: d(, y) d( y, ) d(, y) d(, y) d(, y) d( y, ) d( y, y) + d(, ) < ε luego (, y ) ( y, ) + < ε < ε Proposcó 7. Sea E y F espacos métrcos y cosderemos: B( E, F) = { f : E F acotadas} co la métrca d f, g = sup d f, g : E { ( ) } sea el espaco métrco ( B( E, F), d ) etoces S F es completo ( B( E, F), ) completo. Demostracó Sea ua sucesó { f } de auchy e ( B( E, F), ) que Dado ε > N tal que m, ε d( f, fm) < pero por defcó de dstaca d f, f = sup d f, f : E { ( ) } m m etoces por defcó de supremos ε E d( f, fm ) d( f, fm) < f es de auchy e F y como F es completo luego { } d es d lo que sgfca

141 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos Por otro lado s { f } para etoces m, f f F es de auchy mplca que está acotado para todo e partcular ( ) > tal que d f, f y < y, E ( ) ( ) ( ) d f, fm y d f, f + d f,, f y + d f y f m y < + ε < ε < < ε Llamemos a + ε = L y m, etoces Teemos que hemos demostrado que y, E d f, f y < L ( ) por el lema ateror pasamos al límte lm d f, f y = d f, f y L ( ) ( ) m m luego teemos que y, E lm d f, f y = d f, f y L o sea que m m ( ) ( ) y, E d( f, f ( y) ) L lo que mplca que f BEF (, ) retomado el hecho de que { f } es de auchy e ( B( E, F), ) m d y que esto mplca ε d( f, fm ) sup { d( f, fm ) : E} = d( f, fm) < 3 por el lema ateror pasado al límte ε ε lm d( f, fm ) = d( f, fm ) < 3 por lo tato ε E d( f, fm ) < s dcha desgualdad se cumple para todo de E etoces també se cumple para el supremo ε sup { d( f, fm ) : E} < ε luego f m d( fm, f ) f y se tee que ( B ( E, F ), ) < ε d es completo. orolaro 7. El cojuto de la fucoes cotuas (, ) b EF es completo - 4 -

142 Topología Geeral apítulo Demostracó Ya vmos que el cojuto b ( EF, ) = { f : E F: cotuas y acotadas } BEF (, ) y el cojuto de las fucoes cotuas es cerrado (proposcó 3.6) e u cojuto que es completo etoces es completo. Defcó 7.3 Dada ua fucó f : A Y cotua, A X cotua de f a ua fucó f : X Y tal que f A = f llamamos etesó Proposcó 7.3 Sea f : X N ua fucó uformemete cotua defda e u subcojuto deso de u espaco métrco M ( X M) = y tomado valores e u espaco métrco completo N Etoces este ua úca etesó cotua f : M N de f, dode f es uformemete cotua y además s f es ua mersó sométrca etoces f també y además Im f = Im f Demostracó Dado M = X { } M tal que Luego defmos f = lm f esta defcó tee setdo s { } f es covergete y además este límte o camba cuado cosderamos otra sucesó que coverge a. ) Por ser { } tee que { } covergete es de auchy y como f es uformemete cotua se f es de auchy e N que es completo luego coverge. ) Por ser f uformemete cotua para cada ε > ε δ > tal que s d( y, ) < δ etoces d( f, f ( y) ) < δ N tal que d { } (, ) < X S y { y} X δ N tal que d( y, ) < = ma, etoces Sea { } omo (, ) (, ) (, ) d y d + d y < δ etoces X = M f N X f

143 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos ε d( f, f ( y) ) < y por el lema 7. se tee: ε d( lm f,lm f ( y) ) = lm d( f, f ( y) ) < ε y es decr que luego ( ) y d lm f,lm f y < ε ε > lm = lm f f y y y dcho límte o depede de la sucesó, luego: f = lm f dode X está be defdo { } S y, X = M tal que d( y, ) < Sea { },{ } δ y X tal que: 3 δ N tal que d(, ) < 3 y y δ N tal que d( y, ) < 3 = ma, etoces se cumple Sea { } (, ) (, ) (, ) (, ) d y d + d y + d yy < δ otra vez por la cotudad uforme ε d( f, f ( y) ) < y por el lema 7. d( f, f ε ( y) ) = d( lm f,lm f ( y) ) = lm d( f, f ( y) ) < ε luego ε > d f, f y < ε ( ) por lo tato f es uformemete cotua. S f es ua mersó sométrca se tee d f, f y = lm d f, f y = lm d, y = d y, ( ) ( ) ( ) f m. som. es luego f també es ua mersó sométrca además como f : M f ( M) sobre etoces es ua sometría. Por ser f = lm f ( ) f Im f Im f Im f Por otro lado

144 Topología Geeral apítulo omo M = X teemos que es cerrado luego por ser f es ua sometría f ( M) es cerrado Im f = Im f etoces como Im f Im f Im f Im f = Im f luego Im f = Im f Defcó 7.4 Sea M u espaco métrco ua completacó de M es u par ( M ˆ, ) dode ˆM es completo e : M Ejemplo 7.5 La pareja (,c) mersó sométrca y Q= R. Mˆ es ua mersó sométrca tal que M = M ˆ R es ua completacó de Q ya que c: Q R es ua Ejemplo 7.6 U espaco métrco completo X tee como completacó la pareja X,Id. Proposcó 7.4 S M,N so espacos métrcos, N completo f : M N Mua ˆ, completacó de M etoces este ua úca uformemete cotua, f : Mˆ N uformemete cotua. Y s además f es ua mersó sométrca etoces f també y además: f Mˆ = f M Im f = Im f ( M) Mˆ f N Demostracó Sea X = ( M) Mˆ y sea f = f f omo f es uformemete cotua mplca que f també M Al ser X = Mˆ por teorema ateror este ua úca f : Mˆ N tal que f es ua etesó cotua de f S M f = f = f = f teemos ( ) f es uformemete cotua y es ua mersó sométrca s f lo es

145 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos omo Mˆ = ( M) Mˆ es cerrado y como f : Mˆ f ( Mˆ ) tee que f ( Mˆ ) es cerrado. Por otro lado ( ˆ ) ( ) ( ) ( ) Luego es ua sometría se f M = f M f M = f M = f M f ( Mˆ ) f ( M) por ser f ua etesó de f teemos f ( M) f ( Mˆ ) Teemos y por lo tato es decr que Proposcó 7.5 Sea (, ) f M f Mˆ f M f M f Mˆ f M f M f Mˆ f M ( ˆ ) = f M f M M d u espaco métrco. S ( ˆ, ) y ( ˆ, ) M M so dos completacoes de M etoces este ua sometría j: M ˆ ˆ M tal que j = m ( m ) ( m ) j M ˆM ˆM j Demostracó Podemos aplcar el teorema ateror tomado f = f = j omo además es ua mersó sométrca mplca que j es ua mersó sométrca y j Mˆ = M = Mˆ omo j es sobre etoces es ua sometría M ˆM ˆM j

146 Topología Geeral apítulo Proposcó 7.6 Todo espaco métrco tee ua completacó Demostracó osderemos u puto fjo m M etoces para cada M os defmos ua fucó f : M R tal que f( y) = d( y, ) d( ym, ) f es cotua para cada M por ser la dstaca ua fucó cotua. Probaremos que está acotada f y f z = (, ) (, ) ( (, ) (, ) ) d( y, ) d( ym, ) d( z, ) d( zm, ) d( m, ) d( m, ) d( m, ) cte para cada M yz, f está acotada f ( M, R) d y d ym d z d zm + + = = Luego b y este últmo es cerrado y completo ( proposcó 7.) Defmos : M b ( M, R) como = f Teemos que probar que es ua mersó sométrca. d, y = d f, f = sup f z f z : z M y como luego { } ( ) y y = (, ) (, ) d( zy, ) + d( zm, ) f z f z d z d zm y (, ) (, ) (, ) = d z d zy d y (, y) = sup { y : } (, ) d f f f z f z z M d y y como para z = se tee f f d, d m, por lo tato es decr = d( y, ) + d( m, ) = d( y, ) y (, y) = sup { y : } = (, ) d f f f z f z z M d y por lo que es ua mersó sométrca. ˆM M (, ) = (, ) d y d y osderemos = como ˆM es cerrado detro de ( M, R) etoces ˆM es completo y por lo tato el par ( ˆ, ) b y = que es completo M es ua completacó de M. z m

147 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos Proposcó 7.7 (Teorema de ator) Sea ( M, d ) u espaco métrco etoces M es completo s y solo sí para toda sucesó { F } de cojutos cerrados o vacíos ecajados, es decr F F cuyo dámetro tede a cero se tee que este a M F = a tal que { } Demostracó tomemos u F esto es posble por ser los F o vacíos. Que el dámetro teda a cero mplca que dado ε > N tal que se cumple que damf = sup { d( y, ) : y, F} < ε Ahora m, F F d(, m) < damf < ε m Fm F luego m, d(, m) < ε { } es de auchy e M que es completo luego a M tal que a Es decr que s tomamos B( a, ε) N tal que B( a, ε) etoces B( a, ε) F φ y s < F F B( a, ε) F B( a, ε) F φ luego B a, ε F φ N a F = F es decr { a} N F ahora s estera otro { }, cerrados N y N b F ab F para todo ε ε d ab, dam F < ε > d ab, < d ab, = a = b.luego este u úco puto a M que cumple la tess. Sea { } ua sucesó de auchy e M. Defmos F F = { : } + Por ser la sucesó de auchy se cumple que ε > N tal que m, se cumple que

148 Topología Geeral apítulo ε d(, m) < 3 Sea F co y tomemos dos putos y, F como { : } etoces por defcó de clausura para cualquer etoro del puto teemos putos del cojuto y e partcular: ε l co l tal que d( l, ) < 3 aálogamete para y F tal que (, ε t t d t y) < 3 etoces aplcado desgualdad tragular d( y, ) d(, l) + d( l, t) + d( t, y) < ε es decr que, se tee (, ) dam sup { (, ) :, } < ε 3 < ε por ser de auchy 3 < ε y 3 y F d y < ε etoces F = d y y F ε < ε = ε y esto además se cumple dam F < ε damf y por hpótess a M tal que { a} = F N < ε luego para cada ε > como a F y F d( a, ) dam F s este tal que se tee d(, a) ε < por defcó de límte Luego M es completo. a Defcó 7.5 Sea M u espaco métrco y f : M M se dce que f es ua c, tal que d f, f y cd. y, cotraccó s este ( ) Defcó 7.6 Sea M u espaco métrco y f : M M ua fucó decmos que M tal que f = tee u puto fjo s este u Proposcó 7.8 S f es ua cotraccó etoces es uformemete cotua Demostracó Por ser f cotraccó este (,) c para el cual se cumple la defcó de cotraccó, y se tee que: Dado ε > s d( y, ) < δ ε etoces se cumple c d f, f y cd. y, < cδ. = ε ( ) que es la defcó de uformemete cotua

149 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos Proposcó 7.9 Sea M u espaco métrco completo y f : M M ua cotraccó etoces este u úco puto fjo por f, a.tal que S M lm f = a sedo f = f f... f Demostracó Sea M defmos etoces = f = f = f... = f = = f veces (, ) = (, ). (, ) (, ) = (, ). (, ). (, ) d d f f cd d d f f cd c d 3 por duccó (, ) = (, ). (, )... (, ) d d f f cd cd Sea m> etoces + (, ) (, ) (, )... (, ) (, ) d d + d + + d = d omo m m m m + = m m cd(, ) d(, ) c = = ε = = d, = c, c < tal que c < Luego s m, se tee m ε d(, m) d(, ) c d(, ) c < d(, ) = ε = = d(, ) es decr que dado ε > N tal que s m, etoces d, < ε así { } es de auchy y por se M completo a M tal que a y por ser f cotua. f ( ) f a por ser MT etoces f a = a + a luego a es puto fjo. m

150 Topología Geeral apítulo Además s tuvera otro puto fjo b se tedría f ( b) = ( ) = bse tee que: d ab, d f a, f b cd. ab, d ab, lo que es absurdo salvo que d ab, = a = b Luego el puto fjo es úco. Defcó 7.6 Sea M u espaco topológco y X X = φ Defcó 7.7 Sea M u espaco topológco e X = s d( ab, ) X A co A uca deso N Ejemplo 7.7 Sea M espaco métrco etoces X { } M se dce uca deso e M s M se dce que es magro s = es uca deso ya que { } = φ { } = φ { } o es aberto o es aslado Ejemplo 7.8 Sea M = Q racoales etoces = { } como { } Q o es aslado Q etoces es uca deso lo que mplca que Q es magro. Por otro lado Q como subcojuto de R o es uca deso ya que Q= R= R pero sí sgue sedo magro. Ejemplo 7.9 Sea M espaco métrco A M aberto omo A= A A es cerrado y etoces A= A= φ ya que s A ε > B(, ε) A φ A y A > B A ε, ε φ es decr que cualquer bola de cetro cotee putos de A y como A A= φ por ser A aberto, etoces o hay bola que este totalmete coteda e A. Tee teror vacío. Ejemplo 7. Sea M = R y cosderemos el cojuto de ator ya vmos que = = φ uca deso e R - 5 -

151 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos esto mplca que es magro e R ( pero más adelate veremos que o es magro e sí msmo) Observacó 7. A es magro s y solo sí vacíos ya que por defcó es magro s F F A F F co F cerrado. N N A D co D N A F co N cerrados co teror F = φ pero sempre A D co D cerrado D = D y como tee teror vacío por N hpótess se cumple D = D = φ por defcó A es magro. Observacó 7. Todo cojuto uca deso es magro ya que lo podemos ver como la uó de sí msmo. Es decr es la uó umerable (u solo cojuto ) de cojutos uca desos (él msmo). Pero o se cumple el recíproco, por ejemplo los racoales ya djmos que es magro pero o es uca deso. Proposcó 7. Sea X u espaco topológco, A X etoces A es deso e X ) A es uca deso e X s y solo sí ) S A es cerrado, A uca deso s y solo sí A es deso. Demostracó Sea B = ( A) por lema.3 (a) B = ( A ) B por otro lado como = A y A uca deso A= φ ( B ) = φ ( B) = φ B = X B deso e X. ) S A es cerrado, y A uca deso por ) ( A ) es deso ( A) como A es cerrado etoces A es deso e X. es es deso Proposcó 7. (Teorema de Bare) Sea M u espaco métrco completo y { U } N ua famla umerable de abertos desos e M etoces U es deso e M. Demostracó Vamos a probar que M y r > etoces B( r, ) ( U ) φ Dado etoces M, r > Sea B = B( r, ) como U es deso U B además por ser U y B aberto U B es aberto y etoces este r > tal que - 5 -

152 Topología Geeral apítulo (, ) r = B, ε se tee que: B r U B B Sea ε = m {, } etoces B(, ε ) B(, r) Llamemos B B U B B B es decr B B a su vez como U es deso 3 U B y por ser U y B abertos U B es aberto luego gual que ates este r > tal que: B, r U B B r 3 = B, ε se tee que: Sea ε = m {, } B(, ε ) B(, r ) Llamemos B (, ) B B r U B B B 3 3 De esta forma teemos { }, ε tales que B = B(, ε) co ε < y B B cerrados o vacíos y como U es deso teemos que este + U B y por ser U y B abertos U B es aberto r > tal que B(, + r) U B r Sea ε+ = m {, } B( +, ε+ ) B( +, r) U B B = B, ε se tee que: Llamemos B U B + B B obteemos ua sucesó de cerrados ecajados o vacíos cuyo dámetro cumple: damb < damb etoces podemos aplcar el teorema de ator es decr que este a M tal que a B Etoces: N a B+ U B U a U N a B ( U ) a B+ B... B U B B a B Por lo tato U es deso e M. Ua forma dferete de eucar el teorema de Bare es el sguete corolaro N orolaro 7. Sea M u espaco métrco completo y F es magro etoces F vacío. es - 5 -

153 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos Demostracó F magro s Sea como F D co D = D afrmamos que D = φ ya que D es cerrado deso etoces ( D ) D cerrado y D = φ ( ) D = D = D ver observacó 7. D es aberto, por la proposcó 7. por ser es deso D uca D es deso, por el teorema de Bare, al ser M u espaco métrco completo la terseccó umerable de abertos desos es deso. Es decr que = es deso D D D = X lema 3.3 b F D F D = D = X D = φ orolaro 7.3 S M es u espaco métrco completo etoces o es magro e sí msmo. Demostracó S M fuera magro e M por corolaro ateror lo que es u absurdo. M = M = φ φ orolaro 7.4 Sea M u espaco métrco tal que etoces este N tal que F φ M = F y F es cerrado Demostracó S o fuera así se tedría que F = F = φ N uca deso cerrado lo que quere decr que M es magro y por corolaro 7.3 M = φ Observacó 7.3 El teorema de Bare como alguo de sus corolaros sgue sedo verdaderos s susttumos la hpótess de espaco métrco por la de espaco topológco homeomorfo a u espaco métrco completo. Defcó 7.8 U espaco topológco cualquera se dce de Bare s todo cojuto magro tee teror vacío

154 Topología Geeral apítulo o esta termología y co el corolaro 7. podemos eucar el teorema de Bare como sgue. Proposcó 7.5 Sea M u espaco métrco completo etoces es u espaco de Bare. Observacó 7.4 La termología usada por el propo Bare era, a los espacos de Bare se les llamaba espacos de prmera categoría y se decía que otro espaco que o fuera de Bare, de seguda categoría Proposcó 7.6 Sea M u espaco métrco completo, A aberto etoces A es homeomorfo a u espaco métrco completo. Demostracó Sea ua fucó f : M R defda como: { } d A, = f d b, : b A s A f = s A Prmero que ada f es cotua por ser d cotua y la fucó estado defdas e cerrados tales que su uó es todo el espaco y e los putos comues vale lo msmo es decr (ver ejemplo 3.6 ) s A= A A A d A, = Además teemos que s para algú que este b A tal que d( b, ) { } f = f d b, : b A = e mplca < lo que sgfca que b A = A luego s f = A etoces A f fucó: cerrado > y defmos la sguete ϕ : A M R a a, f a f a > es decr ϕ ( a) = a, f ( a ) está be defda por ser π ϕ( a) = a es cotua π ϕ( a) = f ( a) además Im ϕ { ( r, ) M R : f r = } y Sea ( r) M f r f que tambe es cotua y es cotua ya que:, R tal que = etoces este A tal que

155 Topología Geeral Espacos Métrcos ompletos mplca que ( r) r, Imϕ luego: = f y luego ( r, ) = ϕ ( ) {( r) M R f r } Im ϕ =, : = ahora probaremos que este cojuto es cerrado., r Imϕ Para ello sea {( ) } ua sucesó tal que (, ) (, ) N r r Ahora como los (, r ) Imϕ f ( ) r = y como f es cotua f ( ) f y por se r r se tee que luego ( r) f r f r, Imϕ por lo tato Imϕ es cerrado e M R que es completo luego Imϕ es completo. Además ϕ: A ϕ( A) es yectva por ser la prmer coordeada yectva (es la detdad). Etoces sobre su mage es byectva y co versa: ϕ ( r, ) = que es la proyeccó luego es cotua. Así teemos que ϕ es u homeomorfsmo de A e Imϕ que es u espaco métrco completo. La métrco correspodete es la ducda por M R o sea: ( (, ), (, )) (, ) d ϕ r ϕ r = d + r r M Ejemplo 7. Sea M u espaco métrco completo co ua catdad umerable de elemetos etoces de acuerdo al teorema de Bare (corolaro 7.) debe teer u puto aslado porque de lo cotraro M sería magro y por lo tato el teror de M sería vacío y esto es absurdo. E realdad M debe teer ftos putos aslados pues s M es aslado (ya sabemos que hay uo) etoces M { } es cerrado e M y por lo tato completo (proposcó 7.7) luego este u puto aslado M y así sucesvamete. { } E partcular todo subcojuto cerrado umerable del espaco eucldao R posee ua fdad de putos aslados. El teorema de Bare proporcoa també ua demostracó de que el cojuto de los úmeros reales o es umerable, por ser u espaco métrco completo s putos aslados. Ejemplo 7. El cojuto de cator es cerrado e [ ], que es completo luego por proposcó 7.7 es completo y como por la proposcó 4.7 todos sus putos so de acumulacó, es decr o tee putos aslados etoces como e el ejemplo ateror o es umerable. Además o es magro e sí msmo, por corolaro 7.3, ver ejemplo

156 Topología Geeral apítulo Ejemplo practco Eucado U subcojuto P de u espaco topológco se llama perfecto s y solo sí es gual al cojuto de sus putos de acumulacó. a) Probar que u espaco métrco perfecto y completo o es umerable. b) Dar u ejemplo de u espaco métrco perfecto umerable. a) Dado u espaco métrco P sabemos que es de Hausdöff luego es T y los cojutos uputuales so cerrados. { } = { } Todo cojuto se puede escrbr como la uó de sus elemetos es decr: P = { } P Decmos que u puto es aslado s o es de acumulacó; etoces u cojuto perfecto o tee putos aslados y como: o sea que { } = φ s { } o es aslado { } = φ s es de acumulacó Etoces s P es perfecto y umerable se tee P { } y { } { } P = = = φ es decr u cojuto perfecto P umerable es magro por ser uó umerable de cojutos uca desos Pero ya vmos que u espaco métrco completo o es magro e sí msmo porque so sería vacío. Luego s P es perfecto y completo etoces o es umerable. b) Los racoales Q R co la topología relatva usual Prmero que ada es u espaco métrco co la métrca relatva a la de R e Q. Además es perfecto porque o cotee putos aslados ya que todo etoro de u racoal sempre cotee putos racoales. Y los racoales so umerables

157 apítulo 8 Espacos ompactos uado u espaco topológco posee ua propedad local, es atural cosderar la famla de los etoros (abertos) dode se satsface dcha propedad. Esta famla costtuye u recubrmeto del espaco, y e el estudo de la propedad dada es, s duda, de gra ayuda saber que este recubrmeto puede ser reducdo a uo fto. La compacdad de u espaco os proporcoa sempre u recubrmeto fto detro de cualquer recubrmeto aberto del espaco, y ello permte, bajo certas hpótess, poder pasar de lo local a lo global ; es decr, poder obteer ua propedad del espaco como cosecueca de resultados locales e u úmero fto de putos. Por su aturaleza, los espacos compactos retee muchas propedades de los cojutos ftos. Así, a modo de ejemplos, teemos que toda fucó real cotua de u espaco compacto sempre alcaza su mámo y su mímo, y que dos subcojutos compactos dsjutos e u espaco de Hausdörff puede ser separados por abertos dsjutos. Defcó 8. U espaco topológco X decmos que es compacto s todo cubrmeto por abertos de X tee u subcubrmeto fto. S A X decmos que es compacto s lo es co la topología relatva Proposcó 8. Dado el espaco topológco X, A X es compacto s y solo sí para todo cubrmeto de A por abertos de X admte u subcubrmeto fto que lo sgue recubredo. Demostracó U cubrmeto por abertos de X co la topología relatva es ua famla de la forma U A dode U es aberto e X I { } I s I ( ) A= U A

158 Topología Geeral apítulo esto es la msmo que tomar ua famla { U } I de abertos e X tales que: A U I Etoces como A es compacto co la topología relatva sgfca que este U A,..., U A co I =,..., tal que lo que es lo msmo ( ) A= U A A = U = Etoces todo cubrmeto de A por abertos de X tee u subcubrmeto fto que lo sgue recubredo. Y recíprocamete: Sea A= co V aberto de la topología relatva o sea que etoces V I V = U A co U aberto e X ( ) A= U A A U I etoces por hpótess este U,..., U co I =,..., tal que y por defcó A es compacto = = = I ( ) A U A= U A A= Ejemplo 8. Los reales o es compacto ya que {(, ) : } R por abertos s recubrmeto fto R =, s tuvera subcubrmeto fto sedo m= ma { : =,..., l } l = N V (, ) ( mm, ) R = = Ejemplo 8. Sea X fto co cualquer topología X = U I N es u cubrmeto de

159 Topología Geeral Espacos ompactos sea I tal que U etoces: X = U X que es u subcubrmeto fto por ser X fto Ejemplo 8.3 X co la topología dscreta es compacto s y solo sí es fto ya que X = { } es u cubrmeto por abertos de X solo este subcubrmeto fto s X es fto X Ejemplo 8.4 Sea X co la topología de complemetos ftos tomemos u cubrmeto { U } I por abertos de X. X = U tomemos u aberto cualquera o vacío esta topología U { } { U, U,..., U } I U se tee por defcó de aberto e =,..., para cada U tal que U y etoces es u cubrmeto fto X es compacto. Ejemplo 8.5 Sea (, ] o es compacto ya que (, ] = (,] N supogamos que este u subcubrmeto fto, =, ( ] ( ] tal que F es u cojuto fto luego podemos tomar el { } (,] = (,] (, ] ya que > F F m m Proposcó 8. ( Teorema de Here-Borel ) Sea los reales co la topología usual etoces [, ] Demostracó Sea { [ ab, ] es decr U } I ma F = m ab R es compacto. ua famla de abertos e R tal que cubre al tervalo [ ab, ] U I = defmos el sguete cojuto S = [ ab, ]:[ a, ] U para algú F fto F

160 Topología Geeral apítulo co F = { },..., es decr es el cojuto de los para el cual este u subcubrmeto fto El cojuto S o es vacío ya que a S [ aa, ] = { a} que claramete es cuberto por algú aberto por defcó de cubrmeto. Además S está acotada superormete por b, luego este etremo superor o c ab, U tal que c U como es supremo que llamaremos c.omo [ ] aberto ε tal que ( c ε, c ε) U que > + por defcó de supremos s S ε <,..., tal que [, ] c s c I as U etoces [ ac, ] U U = y por lo tato c S. Sabemos que c b : Supogamos que c< b tal que c < < c + ε etoces Luego c b [ ab, ] = U < b [ ] a, U U S y > c = = tee subcubrmeto fto y luego es compacto Proposcó 8.3 Sea X u espaco topológco Hausdörff, K X compacto K etoces este abertos dsjutos UVtales, que K U, V Demostracó Sea y K como K y es espaco es de Hausdörff etoces este etoros (que podemos tomar abertos) U, V tales que teemos que y K y y y U, V co U V = φ y y y y y K U y como K es compacto este u subcubrmeto fto es decr y,..., y tal que K Uy os defmos a = aberto por ser uó de abertos por costruccó y tomemos como es aberto por ser la terseccó fta de abertos y como además U s U tal = Uy teemos que es = V y = V que = U a c ε c c+ ε b V y V y - 6 -

161 Topología Geeral Espacos ompactos z U = Uy {,..., } tal que z Uy z U V = z V z Vy,..., z V = y z U V absurdo ya que por costruccó estos so dsjutos. y y Luego U y V así obtedos so los abertos de la tess. Proposcó 8.4 Dado u espaco topológco X de Hausdörff y e él dos cojutos dsjutos K X, L X compactos etoces este abertos UVabertos, dsjutos tales que K U y L V. Demostracó omo los cojutos K y L so dsjutos s tomamos L K y podemos aplcar la proposcó ateror, luego este abertos U, V tales que: K U y U V = φ V teemos que L V luego como L es compacto,..., tales que: L L V = V = V que es aberto por ser uó de abertos y = = U que es aberto por ser la terseccó fta de abertos además K U = etoces os defmos U para todo lo que mplca que K U y també por costruccó L V ahora s z V = V {,..., } tal que z V z U V = z U =,..., z U z U z U V absurdo ya que por costruccó esos cojutos so dsjutos. Luego U y V so dsjutos y so los que cumple co el eucado de la proposcó. Proposcó 8.5 Sea X u espaco topológco compacto,y es compacto. X cerrado etoces Y Demostracó Sea { U } I ua famla de abertos de X tales que Y U I - 6 -

162 Topología Geeral apítulo como Y es cerrado Y es aberto y etoces { U} I abertos de X que es compacto,..., I tales que u recubrmeto de X (a fto ) etoces se tee: Y es u cubrmeto por { } U Y sgue sedo = Y lo agregamos e caso que o tegre el cubrmeto X = U Y Y U = = etoces por la proposcó 8. Y es compacto Proposcó 8.6 Sea X u espaco topológco de Hausdörff e K etoces K es cerrado. X compacto Demostracó Prmero que ada s K = X el eucado o aporta ada uevo, etoces podemos cosderar que este u K y por la proposcó 8.3 este abertos UV, tales que K U, V co U V = φ V K = φ es decr que V K luego K V aberto tal que V K lo que quere decr que K es aberto K es cerrado. Ejemplo 8.6 Sea { K } I ua famla de compactos e u espaco topológco de Hausdörff etoces K es compacto. I Demostracó Por la proposcó ateror los K so cerrados y por lo tato la terseccó de ellos es u cerrado tal que K K para cualquer I I luego por la proposcó 8.5 ( u cerrado e u compacto es compacto) compacto. es Ejemplo 8.7 U cojuto K R co la topología usual es compacto s y solo sí es cerrado y acotado. Demostracó S K R es compacto como R es de Hausdörff por proposcó 8.6, : N es u cubrmeto por K es cerrado. Además es acotado porque { } aberto de R y e partcular como: I K - 6 -

163 Topología Geeral Espacos ompactos K N etoces tee u subcubrmeto fto luego: K m = (, ) (, ) m ma :,...,,, sea m = { = m} K ( ) ( m m ) = y por lo tato K ( m, m ) está acotado. Recíprocamete S K es cerrado y acotado e R ab, R tal que K [ ab, ] y como este últmo es compacto por la proposcó 8.5 K es compacto. Proposcó 8.7 ( Lema de Aleader ) Sea ( X, τ ) u espaco topológco s este S ua subbase de τ tal que todo cubrmeto por abertos de S tee u subcubrmeto fto etoces X es compacto. Demostracó Supogamos por el absurdo que X o es compacto. Defmos el sguete cojuto: F = { U : U es cubrmeto de X s subcubrmeto fto} F φ porque supusmos que X o es compacto. Ordeamos F por clusó es decr establecemos el sguete orde parcal: U V U V F, ordeado obteemos así u cojuto U Sea { } I Probaremos que F lealmete ordeado (ua cadea) cosderemos: U = U I U F para lo cual supoemos por el absurdo que o es así etoces este U,..., U U tal que X U pero como los U = = U = I tal que U U,...,,..., tal que U U =,..., U U =,..., U es u cubrmeto por I = pero por orde leal este { } abertos que tee u subcubrmeto fto lo cual es absurdo porque U F. Luego U F F ordeado y acotado etoces por el Lema de Zor este elemeto mamal M F. Ates de segur co la demostracó demostraremos tres afrmacoes ecesaras para termar de demostrar este lema U

164 Topología Geeral apítulo Afrmacó Sea φ A τ, A M M,..., M M tal que X = A M... M Demostracó omo φ A M y M F mamal esto mplca que M A F luego tee u subcubrmeto fto lo que mplca M,..., M M tal que X = A M... M además A tee que formar parte del recubrmeto fto porque so sería M el que tee subcubrmeto fto M F lo cual es absurdo. Recíprocamete s este M,..., M M tal que X = A M... M etoces A M porque so fuera así se tedría u subcubrmeto de X e M lo cual es absurdo porque M F. Afrmacó φ A τ, A M A B τ B M Demostracó S A M por la afrmacó que M,..., M M tal que X = A M... M B M... M como la otra clusó es obva X = B M... M y por el recíproco de la afrmacó B M Afrmacó 3 S AB, M A B M AB, τ \ φ Demostracó omo φ A M por la afrmacó M,..., M M tal que X = A M... M Aálogamete φ B M por la afrmacó N,..., Nm M tal que X = B N... Nm ahora s M... M N... Nm A B luego : A B X = A B M... M N... N y por el recíproco de la afrmacó A B M otuemos co la demostracó del Lema Sea S la subbase de la topología τ de la hpótess, co { } m S = A. I

165 Topología Geeral Espacos ompactos Para cada X se tee que este M M tal que M por ser M u cubrmeto por abertos de X además por defcó de subbase A,..., A S tal que: Por la afrmacó como A M como = = M A M = = A M M ya que s o fuera así es decr s A M por la afrmacó M y por la afrmacó 3 (cotrarecíproco de la msma ) Es decr que tal que A M { } A M S,..., tal que = M lo cual es absurdo A M E resume para cada X ecotramos u A { } A S M X = A X teemos que A : X = S M es u cubrmeto de X por elemetos de S que como S M M que o tee subcubrmeto fto lo cual es absurdo porque cotradce la hpótess. Proposcó 8.8 Sea X e Y espacos topológcos, co X compacto y ua fucó f : X Y f X es compacto. cotua etoces Demostracó osderemos u cubrmeto { Y U como f X Y U se tee I y como f es cotua los I U } I ( ) X f f X f U f = U I I f U so abertos e X, por abertos de Y es decr: { } f U es etoces u I cubrmeto por abertos de X que por hpótess es compacto luego tee u subcubrmeto fto,..., tal que ( ) X f U f X f f U U = = = U S

166 Topología Geeral apítulo y por lo tato f ( X ) es compacto. Proposcó 8.9 Sea X e Y espacos topológcos co X compacto e Y Hausdörff y sea f : X Y ua fucó cotua etoces f es cerrada. S además f es byectva etoces f es u homeomorfsmo. Demostracó Sea F X cerrado, como X es compacto por proposcó 8.5 teemos que F es compacto y por ser f cotua por la proposcó ateror se tee que f ( F ) es compacto pero Y es Hausdörff f ( F) es cerrado luego f lleva cerrados e cerrados y por la proposcó ua fucó byectva que sea cerrada y cotua es u homeomorfsmo. Proposcó 8. Sea X u espaco topológco compacto y f : X R cotua etoces f alcaza mámo y mímo. Demostracó omo X es compacto y f cotua, luego f ( X ) es compacto e R ya vmos que es cerrado y acotado ver ejemplo 8.7 luego este s = sup { f : X} y como aálogamete co el mímo. cerrado s f X = f X es mámo Proposcó 8. ( Teorema de Tjoov ) Sea X espacos topológcos I, etoces X es compacto s y solo sí X es compacto I. es compacto Demostracó S X X = P X y como P es cotua I X es compacto para todo. Sea S = { P ( A) : A X aberto I} es ua subbase del X como vmos e su mometo. Probaremos que s teemos u cubrmeto por abertos de la subbase podemos obteer u subcubrmeto fto para aplcar el lema de Aleader. Tomemos u cubrmeto A S por abertos de X y defmos para cada I { } I A = A abertos X : y tal que P ( A) A Probaremos que este I tal que A es u cubrmeto de X. Supogamos de que o es así o sea que para todo I A o cubre a X luego este

167 Topología Geeral Espacos ompactos X \ A co I β β β A A β tal que Etoces sea X β = β omo X que es cuberto por A U aberto tal que U A pero los abertos de A so elemetos de la subbase S es decr U = P ( A) co A aberto de X I e partcular para β = es decr que este U Pβ ( A) X β y tal que U ( β ) P ( U) P P ( A) A X = co A aberto e β = β = β β = β es decr β A pero por defcó A A β β A luego este I tal que A es u cubrmeto de X que por hpótess es compacto lo que mplca que A,..., A abertos de X que sgue recubredo a X y por lo tato P ( A ) P ( A ) {,..., } X co elemetos de S ya que: S X P X = A A A β A es u subcubrmeeto fto de = {,..., } tal que P A P A es decr que Aplcado el lema de Aleader es orolaro 8. Sea = = X P A X P A compacto. K R es compacto s y solo sí es cerrado y acotado. Demostracó S K es compacto e u espaco de Hausdörff (por ser producto de espacos de Hausdörff ) etoces por la proposcó 8.6 es cerrado y como además { B(, ) : N } es u cubrmeto de K por se K compacto este u cubrmeto fto B,,..., B, K B, sea { } = ma : =,..., etoces { } = = (, ) (, ) K B B U A β = β

168 Topología Geeral apítulo y por lo tato K está acotado. S K es cerrado y acotado e R sgfca que está acotado e cada coordeada o a, b co =,..., tal que P K a, b =,..., y se tee: sea que este [ ] [ ] y como cada [ a, b] K [ a, b] = R es compacto etoces por la proposcó ateror se tee = [ a b ], compacto etoces K que es cerrado detro de u compacto es compacto. Defcó 8. Sea X u cojuto y { S } I de X. Se dce que { S } I tee la propedad de terseccó fta s: = ua famla de subcojutos o vacíos S φ N I es decr que sempre que tomemos ua catdad fta de ellos la terseccó es dstta del vacío. = + este cojuto tee la propedad de terseccó fta que sempre que tomamos ftos de ellos Ejemplo 8.8 Sea X = R S [, ) sedo m= ma { : =,..., l } l = [, ) [, ) + = m + φ Proposcó 8.3 Sea X u espaco topológco, X es compacto s y solo sí para de cerrados co la PIF (propedad de terseccó fta) se tee: toda famla { } F F Demostracó S X es compacto y { F } ua famla de cerrados co la PIF supogamos que φ F = φ F = F = X F so abertos F y como F so cerrados { } de X y como X es compacto admte u subcubrmeto fto { F,..., F } es u cubrmeto por aberto tal que

169 Topología Geeral Espacos ompactos Tomado los complemetos = F = X F F X φ = = = = = F u cojuto co la P.I.F. lo cual es absurdo por ser { } Recíprocamete S { U } es u cubrmeto por abertos de X etoces los complemetos so cerrados y U U X = = = φ etoces por hpótess o tee la P.I.F. porque so φ U luego este ua catdad fta de los U tal que: = y tomado otra vez complemeto es decr que los U U = φ para algú U U X = = = =,..., U so u subcubrmeto fto de X X es compacto. X τ u espaco topológco, X es compacto s y solo sí toda red tee ua subred covergete. Proposcó 8.4 Sea (, ) Demostracó Sea X compacto y tomemos ua red { T } d D se defe Fd = { Te : e d} { F d } es ua famla de cerrados co la P.I.F. ya que dados Fd,..., F d, sea e D tal que e d para todo =,..., que este porque D es u cojuto drgdo. Etoces: e d d = = T F F φ d d D d X etoces s F d

170 Topología Geeral apítulo y como además X es compacto etoces por proposcó ateror F es de aglomeracó de la red { T } ya que: d D d Dados N N y d D como Fd d D e partcular F = T : d d N T : d d φ lo que mplca d { } { } d d d d tal que Td N que es de aglomeracó de { T d } { F : cerrados I} Sea co la P.I.F. y os defmos: d Fd φ luego s d D F = F :,..., I = ordeado por clusó es decr FG, F F G F G el cojuto F es u cojuto drgdo. F F φ F F etoces { F} F F es ua red etoces por hpótess este ua subred covergete X de aglomeracó etoces : Para todo N N y F F F > F tal que F N luego como F F tal que F N pero F N F N F etoces F F N F φ N N I N F φ F = F F y por proposcó ateror el cojuto X es compacto. orolaro 8.5 Sea X compacto y N etoces toda sucesó tee ua subsucesó covergete. Demostracó Sea { } N ua sucesó que es u caso partcular de red etoces tee puto de aglomeracó { } por ser N (proposcó 3.3) este { } { } tal que Defcó 8.3 Dado u espaco topológco X decmos que es secuecalmete compacto o compacto por sucesoes s toda sucesó e él tee ua subsucesó covergete

171 Topología Geeral Espacos ompactos Proposcó 8.6 Dado u espaco topológco X compacto y N etoces es secuecalmete compacto. Demostracó Sea e X ua sucesó { } por el corolaro ateror tee ua N subsucesó covergete luego por defcó es secuecalmete compacto. Proposcó 8.7 Sea (, ) completo. M d es u espaco métrco compacto etoces M es Demostracó Dada ua sucesó de auchy { } N como por hpótess M es compacto y espaco métrco (que es N ) esto mplca por proposcó ateror que es secuecalmete compacto luego tee ua subsucesó covergete y por proposcó 7. la sucesó dada es covergete lo que sgfca por defcó que M es completo. Proposcó 8.8 Sea (, ) X τ u espaco topológco secuecalmete compacto y N etoces X es compacto. Demostracó Sea { U } I u cubrmeto por aberto de X como el espaco es N mplca que es de Ldelöff o sea que este u subcubrmeto umerable que U N supogamos por el absurdo que este cubrmeto o tee llamamos { } subcubrmeto fto o sea : U X ya que de o ser así fto. U y como { U } cubre a X aálogamete sea lo que mplca que tedría que A Sea U sería u subcubrmeto de { U } N tal que U N obvamete que tampoco es u subcubrmeto luego A A = U X = N tal que y esto es absurdo. = U co > ya que s o fuera así se A = U X A luego N co > tal que U teemos que así costrumos sucesoes { }, { } N tal que { } { U } N = ( crecete) y A N = o tee puto de aglomeracó porque s este fuera X N es cubrmeto de X N tal que U como U como U es aberto es - 7 -

172 Topología Geeral apítulo etoro de todos sus putos N tal que es decr que luego { } U N y { } N es crecete etoces este A pero A A = U U = X U N, N tal que U o tee putos de aglomeracó lo que sgfca que o tee subsucesó covergete o sea o es secuecalmete compacto lo que es absurdo por hpótess. Defcó 8.4 U espaco topológco X decmos que tee la propedad de Bolzao- Weestrass (B-W) s todo subcojuto fto de X tee u puto de acumulacó Ejemplo 8.9 R o es B-W ya que el cojuto de los eteros Z es fto y o tee gú puto de acumulacó e R. X τ u espaco topológco etoces se cumple que ) S X es secuecalmete compacto mplca que verfca B-W ) S X verfca B-W, es T y N mplca que es secuecalmete compacto. Proposcó 8.9 Sea (, ) Demostracó ) Sea u cojuto A fto cludo T y N e X etoces este { } A tal que m s m como { } es ua sucesó e X que es sec. cto. Implca que tee ua subsucesó X sec. cto X B -W covergete a y; sea N Ny N tal que N como además y por como se elgó la sucesó etoces { } N { y} φ es más tee ftos elemetos luego y es de acumulacó de { } A y por lo tato es de acumulacó de A lo que sgfca que verfca B-W. ) Sea { } X s { } es fto mplca que hay ua subsucesó costate y por lo tato covergete luego es sec. cto. S { } es fto por ser B-W tee u puto y de acumulacó e X que por ser N V del puto y tee ua base local umerable y decrecete { } V este N V { y} Dado tal que N X cto X sec. cto N - 7 -

173 Topología Geeral Espacos ompactos omo X es T este W N y tal que {,..., } Por ser { } {,..., } W = φ es fto e y es de acumulacó etoces este tal que V W y además > repetmos el procedmeto por ser X espaco T este W3 Ny tal que N { } {,...,,,..., } W φ + 3 = así sucesvamete sea: V co j > j j =,..., etoces por ser T mplca que tal que {,...,,,...,,...,,..., } W N W = φ + y + + +, por ser y de acumulacó etoces este V W { y} costrumos así ua subsucesó { } de { } N sucesó crecete e los aturales tal que N V luego y además ya que los { } teemos ua subsucesó covergete lo que mplca que X es sec. to. Proposcó 8. Sea (, ) etoces es separable. N > + es ua y es decr que Ed u espaco métrco secuecalmete. compacto Demostracó Supogamos que E tee más de u elemeto s o fuera así o hay que probar ada. Defmos A = A E: d y, s y, A, y { } como el espaco E tee más de u elemeto etoces teemos al meos dos putos y, E y sea tal que d( y, ) d y, > además (, ) {, } d y y A A φ A ua Para cada ordeamos los A por clusó ( A B A B) y sea { } I cadea ( cojuto lealmete ordeado) e ( A ) Probaremos que ya que s I A A y, A, I tal que A e y A I, luego { y, } ma { A, A } A (, ) s {, } d y y y A

174 Topología Geeral apítulo luego Etoces I A A A, es u cojuto ordeado tal que toda cadea e él esta acotada lo que mplca por el lema de Zor que este elemeto mamal y llamémosle M Además M es fto para todo ya que s fuera fto { } M co j como estamos e u espaco secuecalmete compacto mplca que j tedríamos ua subsucesó { } N covergete e o puede ser covergete ya que por costruccó: d, s j j M pero la subsucesó { } es decr que o es de uachy lo que es absurdo por proposcó 7. luego fto y por lo tato umerable. Sea M = M N M es como M es uó umerable de cojutos umerables es umerable y además probaremos que M = E es decr es deso y por lo tato E es separable. S M B(, ε) M φ M Por otro lado s M M dado ε sea tal que < ε etoces { } M M lo que sgfca { } M A por ser M el elemeto mamal de A lo que mplca que o cumple la defcó del cojuto y M tal que d y, < ε luego A o sea Proposcó 8. Sea (, ) afrmacoes so equvaletes: ) E es compacto ) E es secuecalmete compacto 3) E verfca B-W (, ε) (, ε) (, ε) y B y B M B M (, ε) φ B M M como por def. Ed u espaco métrco etoces las sguetes Demostracó ) ) Ed, es espaco métrco que es N etoces compacto y N secuecalmete compacto ahora por la proposcó ateror e

175 Topología Geeral Espacos ompactos espacos métrcos secuecalmete compacto separable N por proposcó. y por ser sec. cto y N es compacto. N Espacos métrcos X cto X se. cto N T y N X cto X se. cto X B-W X B-W ) 3) Ed, espaco métrco luego es N y es Haurdösff T ; etoces s el espaco es sec. cto que verfca B-W y ahora como es espaco métrco es T y N sec. cto. Sea Proposcó 8. Sea (, ) cubrmeto por abertos de E etoces λ Ed u espaco métrco compacto y { > tal que (, λ ) U B además decmos que λ es el úmero de Lebesgue del cubrmeto U } I u E I se cumple Demostracó Para cada E se tee I tal que U por ser éste últmo aberto e u espaco métrco r tal que B( r, ) U cosderemos el cojuto: { (, r B ) : E} Que es u cubrmeto por abertos de E que por ser compacto,..., tal que: Sea r { } E = r( ) (, ) B λ = m : =,..., probaremos que este λ cumple co la tess de la proposcó. E {,..., } tal que ahora s z B(, λ) d( z, ) < λ y ( ) B r,

176 Topología Geeral apítulo r( ) (, ) (, ) (, ) λ luego se tee que z B(, r( )) es decr que: B(, λ ) B(, r( )) U ( ) (, λ) co ( ) orolaro 8.3 Dado (, ) d z d z + d < + r B U I Ed espaco métrco, K Ecompacto, sea U aberto tal que K U etoces este λ > tal que B, λ U K Demostracó Sea { U } I u cubrmeto por abertos de K la prueba es la msma que la proposcó ateror poedo E = K. Defcó 8.5 Dado (, ) X τ espaco topológco decmos que es localmete compacto s es Hausdörff y todo puto tee u etoro compacto. Ejemplo 8.9 S X es compacto y T localmete compacto. E los reales R dado R se tee [ ab, ] es compacto y tal que [ ab, ] luego es localmete compacto pero o es compacto.} Al gual que R o es compacto pero para cualquer puto sempre este ua bola B, δ tal que B, δ compacto X co la topología dscreta el propo puto { } es compacto Ejemplo 8. Los racoales Q ya vmos que o es compacto pero sí es localmete compacto porque dado u q Q teemos que: [ q ε, q+ ε] Q [ ab, ] q ε, q+ ε es compacto cerrado e Q [ ] compacto Ejemplo 8. omo Q es umerable sabemos que este f : N Q byectva y sea N co la topología dscreta que f es cotua ya que: B = q f B = f q = f ( q) aberto q B q B Q q B aberto la compacdad local o se coserva por aplcacoes cotuas.

177 Topología Geeral Espacos ompactos X τ u espaco topológco de Hausdörff y compacto dado e X u cerrado F y u aberto A co F A etoces este u aberto V tal que F V y V A Lema 8.4 Sea (, ) Demostracó omo F A F A φ = además como A es aberto A es cerrado etoces los cojutos F, A como so cerrados e u compacto so compactos y podemos aplcar la proposcó 8.4 es decr este abertos UV, X dsjutos tales que A U y F V Pero s A U U A además V U = φ ya que de o ser así U aberto S z V U z U U N z z V V U φ luego V U = φ V U A ecotramos u aberto que cotee a F y su clausura esta detro del A como queríamos. Proposcó 8.5 Sea X u espaco topológco de Hausdörff etoces los etoros cerrados del puto costtuye ua base local. Demostracó para demostrar la tess teemos que demostrar que dado u etoro cualquera del puto es posble ecotrar u etoro del puto cerrado. Dado N N A aberto tal que A N es cerrado por se X de.omo { } Hausdörff podemos tomar F { } tal que { } = F V y V A etoces como = y aplcar el lema ateror luego este V aberto V V V N aberto tal que V A N ecotramos u etoro cerrado del puto cotedo e el etoro dado. Proposcó 8.6 Sea (, ) X τ u espaco topológco localmete compacto etoces los etoros compacto de cada puto costtuye ua base local. Demostracó Sea X tomemos u etoro cualquera de N N y ecotremos u etoro compacto de e N F F A V

178 Topología Geeral apítulo omo X es localmete compacto mplca que este U N compacto etoces como U N N este ua aberto A tal que A U N como el puto es u subcojuto cerrado por ser X de Hausdörff ( T T ) e u aberto A podemos aplcar el lema tomado N = X y F = { } luego este u aberto V N tal que N U V V A U N V e partcular V U,al ser V aberto e N y A como V A y A es aberto e X mplca que V es aberto e X. També V es cerrado e U más como X es de Hausdörff el compacto U es cerrado e X luego V cocde co la clausura de V e X. Por otro lado como V es cerrado e U que es compacto mplca que es compacto. Luego cosegumos u V compacto tal que V V V N aberto Proposcó 8.7 El producto fto de espacos localmete compacto es localmete compacto. Demostracó Hausdörff. Prmero vamos a probar que el producto de Hausdörff es de Sea etoces dos putos del producto dsttos sgfca que este { } y X por ser dsttos j,..., tal que j yj y como X j es de Hausdörff este abertos dsjutos UV, X tal que U, y V etoces luego Sea j j j... j j j j+... X X U X X abertos dsjutos y X X V X X X es Hausdörff = X X U N X co U = = Luego es localmete compacto. U es compacto y etoro del = compacto etoces: Veamos alguas aplcacoes

179 Topología Geeral Espacos ompactos Proposcó 8.8 ( Teorema de D ) Sea X u espaco topológco compacto f : X R sucesoes de fucoes cotuas tales que: f f X ) + ) este lm = etoces f f f cotua f (coverge uformemete) Demostracó Dado ε > tomemos F = X : f f ε { } Por ser f y f cotuas f f es cotua luego F = ( f f ) [ ε, + ) F es cerrado N cerrado f f etoces: como f f = f f f f = f f ε luego s F + F F + F Por la hpótess de covergeca putual () X f f < ε luego por lo tato N tal que F N F es decr o hay u que perteezca a todos los F luego como estamos e u F o puede teer la P.I.F espaco compacto { },..., etoces sea = ma { } luego j= = φ,..., tales que F = φ j= F = F = φ F F = φ F = φ j j f f < ε X luego por defcó coverge uformemete

180 Topología Geeral apítulo orolaro 8.9 Sea X u espaco topológco compacto supogamos que este P R X e las hpótess del teorema ateror co { } P sucesó de polomos [ ] = e [,] etoces f P Demostracó osderemos P ( t ) = y f [ ] P+ t = P t + t P t s t, Por duccó se demuestra que P t t Sea g :, [ ] R g = + t g = g g t = t como e [, ] y etoces s < t g g( t) = t como Al ser P crecete y P ( t) putual P t ( ) g P t P + + t t t P+ t = P t + t P t P t P t P t t acotada superormete etoces este el límte ϕ ( t) lm P t = tomado límte e la sguete gualdad P+ t = P t + t P t ϕ ( t ) = ϕ ( t) + ϕ t t t ϕ ( t) como ϕ es ϕ( t) t teemos que P :, [ ] R co P ( t) P ( t) y tal que P ( t) = = que es cotua etoces como teorema de D + t luego por el

181 Topología Geeral Espacos ompactos lm P t t Proposcó 8.3 Sea K R compacto y f : X R defda como f = etoces este q R[ ] tal que q f e K Demostracó Se tee que este L R tal que K [ LL, ] sea g: [ LL, ] [,] tal que g = L P R X tal que P e, luego: Sabemos que este [ ] [ ] Sea q = LP. ( g ) R [ X] P g g polomo = L Ejemplo practco Eucado Probar que u espaco métrco compacto y localmete coeo tee u úmero fto de compoetes coeas Probar co ejemplos que las hpótess so ecesaras. Sea X espaco topológco compacto y localmete coeo. Por ser localmete coeo sabemos que s A X es aberto etoces sus compoetes coeas so abertas, e partcular s A= X las compoetes coeas de X so abertas. Llamemos la compoete coea que cotee a etoces { } X es u cubrmetos por abertos de X, que por ser compacto tee u subcubrmeto fto es decr este { } X,..., tal que = = luego X tee ua catdad fta de compoetes coeas que sería a lo sumo las co =,...,.Dgo a lo sumo porque podría suceder que φ y eso mplca que, es la msma compoete coea. j Sea e los reales el sguete subcojuto X co la topología relatva usual j - 8 -

182 Topología Geeral apítulo X Z (, ) = + Teemos que es localmete coeo ya que: X =, + m Z tal que mm, + Z + < + es ua base de etoros coeos de. Además como los coeos e R vmos que so los tervalos teemos que (, + ) X es coeo para todo Z que so dsjutos por ser abertos luego so compoetes coeas y por lo tato teemos ftas compoetes coeas. E este ejemplo o se cumple que el espaco sea compacto ya que e los reales, los compactos so cerrados y acotados y por defcó X o es acotado. y los tervalos ( δ, δ) co δ m { mm, } Sea el cojuto de ator sabemos que es compacto por ser cerrado detro de [, ] que es compacto. Por otro lado sabemos que o tee gú tervalo luego los úcos cojutos coeos so los cojutos uputuales. E este ejemplo lo que o se cumple es la hpótess de localmete coeo porque las compoetes coeas (cojutos uputuales ) o so abertos ya que s fuera abertos sería aslados y sabemos que so de acumulacó y teemos o umerables compoetes coeas

183 apítulo 9 Espaco ocete Modelos geométrcos secllos como el coo, el cldro o la prámde so habtualmete costrudos pegado partes de ua peza plaa de papel de acuerdo co certas reglas. Esta operacó es u ejemplo muy smple de la ocó de objeto cocete e matemátca. Habtualmete éste vee defdo por ua relacó de equvaleca sobre el cojuto subyacete al objeto dado, compatble, e certo setdo, co su estructura. Defcó 9. Sea f : X Y ua fucó etre el espaco topológco( X, τ ) y u cojuto Y llamamos topología fal de τ por medo de f es la topología τ f dada por τ f = U Y : f ( U) τ { } Defcó 9. Sea p: X Y ua fucó sobreyectva etre el espaco topológco ( X, τ ) y u cojuto Y, llamamos topología cocete a la topología fal de τ por medo de p. Y a la fucó p le llamamos aplcacó cocete. Defcó 9.3 Sea (, ) X τ u espaco topológco, ~ ua relacó de equvaleca e X y π : X X la proyeccó caóca. Llamaremos espaco cocete a ( X, τ ) π sedo τ π la topología cocete defda por π ( es decr la topología fal de τ por medo de π ) dode: π = [ ] y [ ] deota la clase de por medo de la relacó de equvaleca ~ A la topología cocete τ π també suele aotarse como τ X y por lo ates dcho: { : } τx = A X π A τ los abertos de la topología cocete so los que su mage versa por π (proyeccó caóca) so abertos e X.

184 Topología Geeral apítulo Proposcó 9. Sea π π A X A = A Demostracó Para cualquer fucó π y cualquer cojuto A sempre: π π A A ( ) para probar la otra clusó tomemos u elemeto a A X como π : X X es sobreyectva mplca que este X mplca π ( A) o sea: y luego A π π ( A) π π a = π A por lo cual se cumple la gualdad. S embargo o es certo sempre que π ( π( B) ) que: tal que a π π ( π( B) ) = { X : b para algú b B} e geeral lo que se cumple es que B π ( π( B) ). Defcó 9.4 Sea (, ) = lo que = B lo que podemos afrmar es X τ u espaco topológco y π la proyeccó caóca asocada a ua relacó de equvaleca ~.Se dce que B X es saturado por π s π π B = BAdemás el saturado de u cojuto X π π aotamos ( ) = π ( π ) sat es ( ) veremos alguas propedades relacoadas co los cojutos saturados. Proposcó 9. Sea B que ( A) π = B X etoces es saturado s y solo sí este A X tal Demostracó por ser B saturado B = π ( π( B) ) llamemos π luego se cumple la tess. s este A X tal que π π π π A= B X B = A B = A = A por ser π sobre etoces susttuyedo: B = π π ( B) A luego B es saturado. Proposcó 9.3 Sea A X etoces es cerrado s y solo sí π ( A) es cerrado

185 Topología Geeral Espaco ocete Demostracó A es cerrado A es aberto π ( A ) ( A ) = ( ( A) ) aberto ( A) π π π es aberto pero: es cerrado Proposcó 9.4 π lleva compactos e compactos, coeos e coeos. Demostracó π : X X es cotua y sobre etoces s X compacto X = π X X coeo X = π X Proposcó 9.5 A que A π ( B) =. es compacto es coeo X es aberto s y solo sí este B X aberto saturado tal Demostracó S A es aberto e X, sea B π ( A) = B es aberto e X y saturado por proposcó 9. etoces: π B = π π A = A A= π ( B) Sea A= π ( B) co B aberto y saturado B π = π ( B) = π ( A ) luego A es aberto e X A aberto Defcó 9.5 Dada ua relacó de equvaleca, decmos que es ua relacó aberta (cerrada) s la proyeccó caóca π es aberta (cerrada). Ejemplo 9. Sea X = R y la relacó y y Z Sea B aberto etoces π ( π( B) ) = { : b para algú b B} podemos escrbr: π R R lo que { : } ( π) { :, } B = b+ R N b B = B+ B+ = b+ R b R es homeomorfo a B para cada ya que s cosderamos la aplcacó f : B B+ b b+ N

186 Topología Geeral apítulo f b = b+ es u homeomorfsmo ya que es ua traslacó, cotua byectva y aberta (lleva bolas abertas e bolas abertas) luego es u homeomorfsmo y por lo tato B+ es aberto B+ es aberto es decr π ( π( B) ) es aberto π ( B) es aberto es aberta. Ahora cosderemos B cerrado como por ejemplo: B = { + : } B es cerrado ya que su complemeto: B =, + +, es uó de abertos es aberto. Tomemos el saturado de B π π B = + + m R :, m Z ( ) { } y tomado m= os queda { : } pero π ( π( B) ) \ π ( π( B) ) es cerrada. R es decr que: : R π ( π B ) { } N que o es cerrado luego π o es cerrada ~ o Proposcó 9.6 La relacó ~ es aberta (cerrada) s el saturado de u aberto (cerrado) es aberto (cerrado). Demostracó Sea B u aberto de X etoces - π B es aberto π π B es aberto sat B es aberto ( ) aálogamete co cerrado. Ejemplo 9. S B R teemos que: sat = y Sea X = R, y o y, Z B s B Z= φ = = B Z s B Z φ ( B) π ( π( B) )

187 Topología Geeral Espaco ocete sat B e ambos casos es cerrado por ser B Z aberto, etoces por defcó la relacó es cerrada. Además o es aberta ya que s tomamos B = ( ) (, como B sat B =, ) Z que o es aberto luego la relacó ~ o es aberta. Por otro lado X o es N. Supogamos por el absurdo que s es N que s tee ua base local umerable por la proposcó.5 que també tee ua base local de π. mplca que s B es cerrado abertos umerable decrecete { } V de por ejemplo ( ) { y : y} { y } π = R = Z = Z π V N V π Z etoces ( V ) π π = V Al ser π cotua y V Z π V etoces a π ( V) tal que < a < + y sea B = { a : } N que es aberto y saturado ya que Z B sat B = B Z = B π B es aberto V aberto π es aberto y 9.5 π π y por lo tato π ( B) N π y como a ( V ) ( a ) V { V } es base local decrecete de π( ) s π( B) Nπ tal que V π ( B) N π y como : ( a) V ( B) ( a) ( B) a π ( π( B) ) = B π π π π Proposcó 9.7 Sea X,Y espacos topológcos, ~ ua relacó de equvaleca e X,y ua fucó f : X Y etoces f es cotua s y solo sí f π es cotua

188 Topología Geeral apítulo Demostracó S f es cotua como π es cotua etoces f π es cotua. S f π es cotua sea U Y aberto etoces: π f U = f π U es aberto pero s ( ) ( ) es aberto f U f U es aberto e X π f es cotua π X f π X f Y Proposcó 9.8 (propedad uversal del cocete) Sea f : X Y cotua co X,Y espacos topológcos, sea ~ la relacó de equvaleca y, X y f = f ( y) etoces este ua úca fucó f : X Y cotua tal que el sguete dagrama comuta. O sea f = f π y además Im f = Im f Demostracó S este f debe cumplr: f = f π = f ([ ] ) ~ como [ ] = [ y] f = f ( y) o sea: ~ ~ f ([ ] ) = f esta be defda además f es cotua ya que f π = f es cotua y Im f = Im f porque π es sobre. ~ Ejemplo 9.3 Sea I = [,], ~ ua relacó de equvaleca e I defda como sgue: = y y = { y, } {,} vamos a probar que I es homeomorfo a S = { z : z = } Sea ϕ:, [ ] S por ϕ( t) = e πt se tee que: π t πs ϕ t = ϕ s e = e t s Z π X f Y X f

189 Topología Geeral Espaco ocete t = s o t s { ts, } = {,} etoces por el teorema ateror este ϕ cotua tal que: ( ϕ π)( t) = ϕ( t) ([ t] ) = ϕ( t) ϕ y como ϕ ( [ t] ) = ϕ ( [ s] ) ϕ( t) = ϕ( s) t s [ t] = [ s] luego ϕ es yectva y por ser ϕ sobre ϕ es sobre Imϕ= Imϕ ϕ es byectva. Por ser etocesϕ cotua, byectva y ser [, ] compacto etoces ϕ [ ] es u homeomorfsmo por proposcó 8.9 ya que Ejemplo 9.4 Toro El toro -dmesoal T = R co ~ defdo: S es Hausdörff.,..., y,..., y y Z =,... T es homeomorfo a S... S veces Defmos ϕ : R ( S ) como (,..., ) (,..., e π e π ) ϕ = ϕ( y) y etoces este ϕ : ( S ) ( S ) etoces ϕ es sobre y al ser [ ] π ([ ] ) ϕ = etoces: R omo, compacto [ ] [,] :, S ϕ es sobre, es compacto, =R es compacto y por lo tato como e el ejemplo ateror ϕ es u homeomorfsmo. π X ϕ Y I ϕ Ejemplo 9.5 ldro J =, e J defmos Sea [ ] es homomorfo al cldro ( y, ) (, y ) ( y, ) = (, y ) =± y = y

190 Topología Geeral apítulo Ejemplo 9.6 ta de Möbus Sea J sgue: ( y, ) (, y ) co la relacó ~ defda como ( y, ) = (, y ) (, y) (, y) Ejemplo 9.7 Botella de Kle Sea J co la relacó ~ de equvaleca defda como sgue: ( y, ) (, y ) ( ) ( ) ( y, ) ( y, ) y,, y, y, y Ejemplo 9.8 Espaco proyectvo real + \{ } PR = R dode la relacó de equvaleca y =λ y para algú λ R PR es homeomorfo a + Sea ϕ : R \{ } S Etoces ϕ ϕ S S dode ~ esta defda: = defda por = y =± y despejado: y =± y y y ϕ y =± y co ( ) = - 9 -

191 Topología Geeral Espaco ocete λ y = λy ϕ = y = λ y λ. y = ± y = ϕ y λ y y ϕ ϕ = y y ϕ : PR S es yectva y cotua y sobre. alcaza co proyectar la esfera S + PR = π S π : R \ R { } PR es compacto y + { } \ S es Hausdörff etoces: ϕ es u homeomorfsmo. PR es además compacto - 9 -

192 Por cualquer cometaro sobre este materal por favor comucarlo a Ramó Sellaes por correo electróco. [email protected] - v -

193 Idce apítulo Relacó de Orde... 7 Orde total... 8 adea... 9 Lema de Zor... 9 Aoma de Eleccó... ardal... Teorema de ator... 3 ojuto fto... 4 ojuto Numerable... 4 apítulo Dstaca métrca... 9 Norma... 3 Bola Aberta Métrca Relatva ojuto Aberto ojuto errado Métrcas Equvaletes apítulo Espacos Topológcos Metrzable Etoro Iteror T T... 5 T o Hausdörff... 5 lausura... 5 Puto de Acumulacó Puto Aslado v -

194 Frotera ojuto Deso ojuto Separable Base... 6 Sub-base... 6 N ubrmeto Subcubrmeto Espaco de Ldelöff Base Local N... 7 apítulo 3 Sucesó overgete ojuto Drgdo Red Puto de Acumulacó... 8 otudad otudad Uforme Homeomorfsmo... 9 Fucó Aberta... 9 Fucó Acotada... 9 apítulo 4 ojuto de ator apítulo 5 Topología Producto... 3 Proyeccó aóca... 3 apítulo 6 Espaco oeo... 3 Teorema de Bolzao v -

195 oeo e Espacos Normados... 8 oectados... ompoete oea... Localmete oeo... 4 amo... 7 Localmete oeo por amo... 3 apítulo 7 Sucesó de auchy Espaco Métrco ompleto ompletacó Teorema de ator otraccó y puto fjo Magro... 5 apítulo 8 Espaco Topológco ompacto Teorema de Here-Borel Lema de Aleader Teorema de Tychooff PIF Espaco Secuecalmete ompacto... 7 Espaco de Bolzao-Weestrass... 7 apítulo 9 Topología Fal Topología ocete ojuto Saturado Relacó de Equvaleca Aberta (errada) Propedad Uversal del ocete ta de Möbus v -

196 Adherete 5 Aplcacó cocete 83 Aoma de eleccó Base 6 Base local 69 Bola aberta 33 Botella de Kle 9 adea 9 amo 7 ardal ardal del cojuto poteca 7 ldro 89 ta de Möbus 9 lase de equvaleca 6 lausura 5 ofto 44 omplemetos ftos 44 ompletacó 44 ompoete coea ompoete coea por camo 9 oectado por camo 7 oectados ojuto aberto 35 ojuto cerrado 38 ojuto compacto 57 ojuto coeo 3 ojuto coveo 8 ojuto de ator 95 ojuto de ídces 5 ojuto de partes ftas ojuto deso 58 ojuto drgdo 77 ojuto fto 4 ojuto umerable 4 ojuto ordeado 8 ojuto saturado 84 ojuto totalmete ordeado 8 otraccó 48 overgeca putual 93 overgeca uforme 9 ota superor 8 ubrmeto por abertos 65 Dscoeo 3 Ídce alfabétco Dstaca 9 Dstaca dscreta 3 Elemeto mamal 8 Etoro 45 Equpotete Espaco cocete 83 Espaco de covergeca uforme 9 Espaco dscreto 34 Espaco métrco 9 Espaco métrco completo 37 Espaco proyectvo real 9 Espaco topológco compacto 57 Espaco topológco de Bare 53 Espaco vectoral ormado 3 Espacos coeos 3 Espacos homeomorfos 9 Espacos sométrcos 88 Espacos Topológcos 43 Etesó cotua 4 Famla deada de cojutos 5 Frotera 57 Fucó aberta 9 Fucó cerrada 9 Fucó cofal 8 Fucó cotua 83 Fucó dstaca 89 Fucó Ideada 5 Fucó uformemete cotua 88 Hausdörff 5 Homeomorfsmo 9 Iductvo 5 Imersó 88 Iteror 47 Isometría 88 Lema de Aleader 63 Lema de Zorh 9 Ldelöff 65 Localmete compacto 76 Localmete coeo 4 Localmete coeo por camo 3 Magro 5 Mámo 8 Métrca relatva 35

197 Métrcas equvaletes 39 Metrzable 44 N 7 N 63 Norma 3 Número de Lebesgue 75 Nuca deso 5 Partcó 7 Prmer aoma de umerabldad 7 Prcpo del bue orde 5 Producto cartesao Producto cartesao 3 Propedad Bolzao-Weestrass 7 Propedad de terseccó fta 68 Propedad uversal del cocete 88 Proyeccó caóca 3 Puto aslado 57 Puto de acumulacó 57 Puto de aglomeracó 8 Puto fjo 48 Puto teror 47 Red 78 Red covergete 78 Relacó 6 Relacó aberta 85 Relacó cerrada 85 Relacó de equvaleca 6 Relacó de orde parcal 7 Relacó de orde total 8 Secuecalmete compacto 7 Segudo aoma de umerabldad 63 Separable 58 Seudo dstaca 9 Subcubrmeto 65 Subred 8 Subsucesó 75 Sucesó 75 Sucesó covergete 75 Sucesó de auchy 35 T 5 T 5 Teorema de Bare 5 Teorema de Bolzao 6 Teorema de cator 3 Teorema de ator 47 Teorema de ator-berste 3 Teorema de D 79 Teorema de Here-Borel 59 Teorema de Tjoov 66 Teorema de ucdad de covergeca 8 To 49 Topología dscreta 44 Topología fal 83 Topología dscreta 44 Topología más fa 6 Topología Producto 3 Topología relatva 45 Toro 89 Uó de umerables 8