Topología General Capítulo 0-2 -
|
|
- Claudia Gutiérrez Domínguez
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Topología Geeral
2 Topología Geeral apítulo
3 Topología Geeral apítulo Breve reseña hstórca Sus orígees está asocados a la obra de Euler, ator y Möbus. La palabra topología había sdo utlzada e 847 por J.B Lstgs e u lbro ttulado Vorstude zur Topologe. Este había sdo u alumo de Gauss e el año 834. Usaba el térmo topología para lo que prefería llamar geometría de poscó, s embargo vo Staudt usaba este últmo para la geometría proyectva. Para alguos hstoradores de las matemátcas, el puto decsvo fue dado por la publcacó de Aálss Stus de Pocaré e 895. La geometría elemetal maeja las magtudes (logtud, águlos y áreas) que so varates por movmetos rígdos, (trasformacoes sométrcas o que coserva la medda), metras que la geometría proyectva trata los coceptos (putos, líea, cdeca, razó smple) que so varates por el grupo, todavía más eteso, de las trasformacoes proyectvas (proyectar, seccoar). Pero los movmetos rígdos y las proyeccoes so casos muy partculares de las trasformacoes topológcas que so correspodecas buívocas y bcotuas etre dos cojutos. La topología estuda etoces los coceptos varates frete a dchas trasformacoes. Fel Hausdorff creó ua teoría de espacos abstractos usado la ocó de vecdaro (Grudzüge der Megelehre, 94). U espaco topológco se defe como u cojuto de putos juto co ua famla de vecdaros asocados a ellos. Aquí hay varas ocoes que se establece: espaco compacto, coeo, separable. També es aquí dode etra la dea de homeomorfsmo. Ua vez establecdo esto, se formula la topología cojutsta como aquélla que estuda las propedades varates bajo homeomorfsmos. Hausdorff també do la ocó de complettud, que el msmos Fréchet había usado e 96. Usó la ocó de coectvdad, plateada ates por otros matemátcos (auque él o lo sabía), Para cosderar cojutos coeos como deas topológcas. Hausdorff formalzó la topología cojutsta medate ua ueva cocepcó de geometría e la cual u espaco tee ua estructura que cosste e relacoes que puede defrse e térmos de u grupo de trasformacoes. o el trabajo de Hausdorff se afrmó la topología cojutsta como ua dscpla propa detro de las matemátcas
4 Topología Geeral apítulo E el sglo XX, la topología se afrmó como ua ueva dscpla co toda propedad detro de las matemátcas, el gual que la geometría, el álgebra o el aálss, y partcpó de u espírtu de covergeca que ha caracterzado buea parte de las matemátcas moderas; se trata de la utlzacó de métodos de ua dscpla e las otras, potecado costatemete uevas ramas de u árbol cada vez más complejo y dversfcado
5 apítulo ojutos o el terés de detfcar u elemeto de ua coleccó de cojutos, alguas veces es coveete adjudcar u ombre a cada elemeto. Defcó. Sea A ua coleccó o vacía de cojutos. Ua fucó deada para A es ua fucó sobreyectva f de u cojuto J deomado cojuto de ídces, e A. La famla A, juto co la fucó f, se deoma famla deada de cojutos. Dado J, represetaremos el cojuto f por A Y deotamos la famla deada, propamete dcha, medate { A } J que se lee como la famla de todos los A cuado recorre J. E ocasoes escrbremos { A }, s o ofrece dudas cuál es el cojuto de ídces. Obsérvese que, auque es ecesaro que ua fucó deada sea sobreyectva, o se ecesta que sea yectva. A y A puede ser el msmo cojuto de A, cluso s β. β Ua forma de usar fucoes deadas es dar ua ueva otacó para uoes e terseccoes arbtraras de cojutos. Supogamos que f : J A es ua fucó deada para A ; represetemos f ( ) por. Etoces defmos: A y J { : al meos para u, } A = J A J { : para todo, } A = J A
6 Topología Geeral apítulo Leyes de Morga y A = A A = A Defcó. Dado u cojuto A, ua relacó R e A es u subcojuto del producto cartesao A A. ab, o a b) decmos que es ua relacó de equvaleca s se verfca tres propedades: a) Refleva a a a A b) Recíproca s a b etoces b a ab, A c) Trastva s a b y b c etoces a c abc,, A Defcó.3 Sea ~ ua relacó e A (aotamos Defcó.4 Dada ua relacó de equvaleca ~ e u cojuto A y u elemeto llamado clase de de A defmos u certo subcojuto de A que aotamos [ ] equvaleca determada por, medate la ecuacó: [ ] = { a A: a } Observacó vacías [ ] ya que es decr las clases de equvaleca so o Propedad Las clases de equvaleca tee las sguetes propedades: ) Dos clases de equvaleca o so dsjutas o so guales. Demostracó: Sea E y E dos clases de equvaleca defdas por y respectvamete etoces s o so dsjutas eso quere decr que este u elemeto e comú Etoces o sea y E y y A/ y E E y E y z E z (y como por trastva) z z E E E - 6 -
7 Topología Geeral apítulo aálogamete lo que cocluye que E E E = E ) La uó de todas las clases de equvaleca de A es todo A ya que todo elemeto de A tee asocada ua clase de equvaleca. A por defcó A A [ ] [ ] ya que s [ ] / [ ] A z A z A z A por defcó de La famla de las clases de equvaleca de A es u ejemplo de lo que se llama partcó del cojuto A. Defcó.5 Ua partcó de u cojuto A es ua famla de subcojutos dsjutos o vacíos de A cuya uó es todo A Defcó.6 Dada ua relacó de equvaleca e u cojuto A llamamos espaco cocete al cojuto formado por todas las clases de equvaleca. Y [ ] aotamos A A = {[ ] : A} Defcó.7 Ua relacó e u cojuto A se deoma relacó de orde (parcal) s verfca las sguetes propedades: ) Refleva A ) Atsmétrca y = y y, A y ) Trastva y z yz,, A y z Ejemplo. S A es u cojuto sea P(A) el cojuto de poteca de A es decr: - 7 -
8 Topología Geeral apítulo P(A) = { X : X A} Defmos la relacó de la sguete maera: X Y s X Y XY, P(A) verfca las tres propedades, por lo que es ua relacó de orde. Defcó.8 Dado u cojuto A y ua relacó de orde e A se dce que la A, es u cojuto ordeado. pareja A es u cojuto ordeado y cosderamos u subcojuto S A, defmos: ) a A es cota superor (feror) de S s a S ( a S ) ) m A es mámo s es cota superor y perteece a S Defcó.9 S (, ) Defcó. S (, ) A es u cojuto ordeado y S u subcojuto de A decmos que m es u elemeto mamal s se cumple: s S y m m= Defcó. Dado u cojuto A y ua relacó de orde decmos que es ua relacó de orde total s: a b dados ab, A o b a A llamamos cojuto totalmete ordeado. y a la pareja (, ) Observacó s A es u cojuto fto y totalmete ordeado tee mámo y mímo. Demostracó : osderemos por duccó sobre el cardal de A ) Para # A = es obvo. ) S vale para # A= y # A=, A= { a,..., a} Por hpótess el cojuto { a,..., a } tee mámo y mímo por teer - elemeto sea estos M y m respectvamete. Sea m = m { a, m} es el mímo de A ya que: m A m a y m m a =,..., De la msma forma - 8 -
9 Topología Geeral apítulo es el mámo de A M { a M} = ma, Defcó. S ( A, ) es u cojuto ordeado llamamos cadea a u subcojuto de A tal que (, ) es totalmete ordeado. A u cojuto ordeado e el que toda cadea tee ua cota superor, etoces A tee u elemeto mamal. Lema. ( Lema de Zor ) Sea (, ) Ejemplo.. osderemos el sguete cojuto que llamamos partes ftas de los aturales P F ( N) = { A N:# A es fto} o la relacó de orde dada por la clusó. B A B A P N, o tee elemeto mamal, ya que s A es mamal Etoces ( ) F ( N) y ( N) A PF B A B P F Pero para cualquer A P F (N), N co A, porque A es ftos A y obvamete { } { } es de ftos elemetos A { } P ( N) A A A o es mamal. Etoces como ( F ( N), ) P F ( N ), que o está acotada superormete, por ejemplo: = {{,,,,,3 } { } { },...,{,... },...} F P o tee elemeto mamal Zor ua cadea de es ua cadea y o está acotada ya que ua cota tee que teer a todos los aturales y eso o esta e el cojuto. A cota A= N y N P F ( N) Veamos ua aplcacó del pasado lema: Proposcó. Todo espaco vectoral V tee ua base. Demostracó: Vamos a pesar ua base de u espaco vectoral como u subcojuto L.. mamal, sea etoces L = { A V : A es L.. } co la relacó de orde defda: B A B A - 9 -
10 Topología Geeral apítulo - - Etoces ( L, ) es u cojuto ordeado y sea { } - - A L ua cadea, (subcojutos de L totalmete ordeados), vamos a probar que está acotada, sea A = A veremos que es L.. cosderemos ua -upla e A, A { }, además como { A A },..., co,..., / A fto y totalmete ordeado, etoces tee mámo A A A =,..., A =,..., { } A A { },..., y es L..,..., es L.. A es L.. es,..., y es ua cota superor de L etoces por el lema de Zor L tee elemeto mamal que V tee ua base. Defcó.3 Sea A, A,..., A cojutos,defmos u uevo cojuto llamado producto cartesao y aotamos por A A... A a: A A... A = a,..., a : a A a,..., { } a a puede pesarse como ua fucó { } f :,..., A tal que f = a =,..., Etoces e forma más geeral. Sea { A ua famla de cojutos llamamos producto cartesao de esos } I cojutos y aotamos A a: I : : I { } A = f I A f A I Aoma de eleccó Sea { A } I ua famla de cojutos o vacíos etoces el producto cartesao de ellos es o vacío. A φ I A φ Esto es equvalete a decr que dada ua famla de cojutos o vacíos podemos elegr u elemeto de cado cojuto ( e forma smultáea). Ua cuestó básca sobre u cojuto es coocer la catdad de elemetos, s grades coocmetos matemátcos para saber la catdad de elemetos de u cojuto lo que hacemos es cotarlos, pero que sgfca esto, a cada elemeto le estamos asocado u úmero co el cudado de o repetr elemetos y para aseguraros de o repetr úmeros le asocamos el,,..., e ese orde etoces lo que establecemos es ua fucó yectva (o repetmos elemetos) y sobreyectva (o dejamos gú elemeto s su correspodete). Es decr: I
11 Topología Geeral apítulo - - Este ua fucó f : A {,..., } byectva cardal de A es Defcó.4 Dados dos cojutos A y B decmos que tee el msmo cardal o que so coordables o equpotete s este ua fucó f : A B byectva. Proposcó. La relacó de ard( A) ard( B) ua relacó de equvaleca. - - = verfca las propedades de Demostracó ) A es equpotete co A ya que la detdad es ua fucó byectva de A e s msmo card( A) = card( A). ) S A es equpotete co B etoces B es equpotete co A card A = card B este f : A B byectva que f : B A es byectva card( A) card B = ) S A es equpotete co B y B es equpotete co etoces A es equpotete co. f : A B Por hpótess este byectvas g f : A també es byectva g: B Y eso mplca que A es equpotete co. Defcó.5 Dados dos cojutos A y B decmos que el cardal de A es meor o gual que el cardal de B s este ua fucó f : A B yectva. ard( A) ard( B) f : A B yectva Ejemplo.3 Sabemos que el ard( Z) ard fucó yectva. c : Z R a a Ejemplo.4 S X es u cojuto ard( X) ard( ( X) ) ϕ : X P ( X) defda { } R ya que la clusó es ua P basta tomar la fucó ϕ = es decr que a cada elemeto del cojuto X le asocamos el cojuto cuyo úco elemeto es el propo. Esta fucó claramete es yectva Observar que s X es fto co ard( X) = etoces ard P ( X ) =. Proposcó.3 Dados dos cojutos A y B etoces este ua fucó f : A B yectva s y solo s este ua fucó g: B A sobreyectva.
12 Topología Geeral apítulo - - Demostracó: Sea f : A B yectva co A φ y sea a A A f B a a b Im f Etoces : s b Im f a A tal que b= f ( a) y como f es yectva el a es úco y podemos defr: g( b) s b Im f defmos g( b) = a Defmos de esta forma ua fucó g: B A Que es sobre. g g b Dada g: B A sobreyectva { g a : a A} Etoces y a A f b s b Im f = a s b Im f establece ua partcó e B ya que: g a = B g por ser g( b) g( b) sobreyectva g a g a a a = a = a = / absurdo s = a g a g a b B a a por se g ua fucó. Por el teorema de eleccó podemos elegr u represetate por cada clase que g a ya que s aotamos etoces defmos: f : A B por f ( a) g ( a) = Por ser g sobre esta be defda para todo a A y además es yectva ya que: f ( a) f ( a) g = ( a) = g ( a) a = a - -
13 Topología Geeral apítulo f es yectva. Proposcó.4 ( Teorema de ator ) Dado X u cojuto o vacío etoces: ard X < ard P X ( ) Demostracó Ya sabemos que ard( X) ard( ( X) ) ard( X) ard( ( X) ) P Probaremos que P para ello supogamos por absurdo que so guales y por lo tato este ua fucó: osderemos: P f : X P X byectva f X B = { X : f } pero como B X B ( X) u X / B = f ( u) P por ser f sobreyectva etoces s u B u f u u B B= f( u) orolaro S N es el cojuto de los úmeros aturales aplcado lo ateror N < P N ard ard ( ) Proposcó.5 (Teorema de ator-berste) Dados dos cojutos X e Y tales que: ard( X) ard( Y) ard( X) = ard( Y) ard( Y) ard( X) Demostracó omo ard( X) ard( Y) ua fucó h: X Y yectva etoces s llamamos B= Im h la fucó h: X B es byectva. Por otro lado ard( Y) ard( X) ua fucó g: Y X yectva y s llamamos A= Im g la fucó g: Y A sera byectva. Sea f : X X la composcó f = A g B h dode A e B so las correspodetes clusoes. laramete f es yectva por ser composcó de fucoes yectvas. A X A h B Y B - 3 -
14 Topología Geeral apítulo Queremos ecotrar ua fucó ϕ : X A byectva para ello tomamos el cojuto = A f ( X) ( f ( X) = A) y el cojuto S = ( f ( X) ) co f la composcó de f cosgo msma veces. Luego S f ( S) ( ( )) f S = f f = f f = f = defmos etoces a φ de la sguete maera: s S ϕ = f s X S Por defcó ϕ ( S) = S y ( X S) f ( X S) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = además es sobreyectva ya que: X = S X S = S X S = f S f X S = f X = A Falmete probaremos que es yectva, como ϕ S y ϕ X Sso yectvas por ϕ S y ϕ X S so dsjutos, defcó, etoces bastará co ver que supogamos que o lo so, es decr que este S = f ( S) tal que = f ( ) co X S f ( S) por ser f yectva ya que s f ( S) S/ f ( ) f ( ) a cojuto dsjutos. Pero s f ( S) y por defcó de f ( X) = = = lo cual es absurdo por perteecer que es ua cotradccó pues era la mage de u por medo de f. La fucó ϕ así defda es ua byeccó y etoces ard X = ard A = ard Y ard( Y) ard X = Defcó.6 Dado u cojuto A decmos que es fto s es vacío o es + coordable co el cojuto {,..., } para algú Z. E caso cotraro se drá que el cojuto es fto. lo Defcó.7 Dado u cojuto A decmos que es umerable s es fto o de ser fto es coordable co el cojuto de los úmeros aturales. A fto A umerable card( A) = ard ( N) N P N Observacó 3 ( N) P es o umerable por ser ard ard ( ) Defcó.8 Se dce que u subcojuto A de los úmeros reales es ductvo s cotee el úmero, y s para todo de + també está e A. Sea A la famla de todos los subcojutos ductvos de R. Etoces, el cojuto Z + (úmeros aturales) de eteros postvos se defe de la forma
15 Topología Geeral apítulo Z + = A A Obsérvese que le cojuto R + de los reales postvos es ductvo, pues cotee al, + + y la afrmacó > mplca + >. Por lo tato Z R y de esta forma los + elemetos de Z so efectvamete postvos, tal y como la eleccó de la termología sugere. De echo se comprueba que es el elemeto más pequeño de + Z, ya que el cojuto de todos los úmeros reales para los cuales es ductvo. + Las propedades báscas de Z, las cuales se deduce medatamete de la defcó, so las sguetes: + () Z es ductvo. () (Prcpo de duccó ). S A es u cojuto ductvo de eteros postvos + etoces A = Z. Proposcó.6 (Prcpo del bue orde) Todo subcojuto o vacío de u mímo. A + Z tee + Demostracó E prmer lugar vamos a demostrar que, para cada Z, se verfca la sguete afrmacó: Todo subcojuto o vacío de {,...,} tee u mímo. Sea A el cojuto de todos los eteros postvos para los cuales se cumple dcha afrmacó. Etoces A cotee al, ya que s =, el úco subcojuto o vacío de {,..., } es el propo { }. Por tato, supoedo que A cotee a, vamos a demostrar que també cotee a +. Sea u subcojuto o vacío de,..., +. S está formado úcamete por +, etoces dcho elemeto es el { } meor elemeto de. E caso cotraro, cosderemos el cojuto {,..., }, que es o vacío. omo A, este cojuto tee u mímo que automátcamete + será també el mímo de. Así A es ductvo, y podemos coclur que A = Z ; y + por lo tato, la afrmacó es certa para todo Z. Ahora vamos a demostrar el teorema. Supogamos que D es u subcojuto o + vacío de Z. Eljamos u elemeto D. Etoces, el cojuto A= D {,.., } es o vacío, y A tee u mímo. El elemeto será també el mímo de D. Proposcó. 7 Todo los subcojuto de úmeros aturales so umerables
16 Topología Geeral apítulo A = φ es umerable Demostracó Dado A N s A φ a = m { a A} por proposcó.6 A= { a} es fto umerable s A { a} a = m { A\ { a} por proposcó.6} Nuevamete A= { a, a} fto umerable S A { a, a} a3 = m { A\ { a, a} } Y así sucesvamete A= { a,..., a} es fto umerable S A { a,..., a} a+ = m { A\ { a,..., a} } Sea ϕ: N A tal que ϕ = a es ua byeccó ya que: ϕ + > ϕ por eleccó yectva Ahora s a A sea = ma { : a < a} a = m { A\ { a,..., a }} = a = ϕ ( + ) Lo que quere decr que ϕ es sobreyectva. + Proposcó.8 Dado u cojuto A o vacío, es umerable s y solo sí: ) Este ua fucó ϕ : A N yectva o ) Este ua fucó ψ : N A sobreyectva. Demostracó: Sea A umerable etoces puede suceder que A sea ) fto ard( A) = ard( N) ϕ : A N byectva y por lo tato yectva. ) fto hay ua byeccó ϕ A { } etre y,..., etoces defmos: ϕ : A N tal que: ϕ( a) = ϕ ( a) es yectva Supogamos ahora que este ua fucó yectva ϕ : A N lo que sgfca ϕ: A ϕ A ard A = ard ϕ A pero que es ua byeccó, y etoces ( ) como ϕ( A) N ϕ( A) es umerable por proposcó ateror. Etoces s ϕ ( A) es fto ard( ϕ ( A) ) ard trastva ard( A) = ard ( N ) por defcó A es umerable. S ϕ ( A) es fto tal que ard( ϕ ( A) ) = ard( A) = por defcó A es umerable. = N por defcó y por N por defcó y por trastva orolaro.9 Sea B u cojuto umerable y : A B ϕ yectva etoces A es umerable
17 Topología Geeral apítulo Demostracó S B es umerable por proposcó ateror etoces ψ ϕ: A N es yectva A es umerable. ψ : B N yectva orolaro. S A es u cojuto umerable y ψ : A B sobreyectva etoces B es umerable. Demostracó S A es umerable ϕ : N A sobreyectva etoces ψ ϕ: N B es sobreyectva B es umerable. orolaro. S B es u cojuto umerable y A B A es umerable. Demostracó Sea ϕ clucó ϕ :A B que es yectva etoces por corolaro.9 A es umerable. Proposcó. N N es umerable. Demostracó Basta ver que la fucó ψ : N N N dada por: ( m) m ψ, =.3 es yectva, por tato N N es umerable. Proposcó.3 N N... N es umerable. j Demostracó Sea p,..., p prmos dsttos, etoces ψ : N N... N N dode es yectva. j ( j) ψ,..., = p... p orolaro.4 Sea A,..., A cojutos umerable A A... A es umerable Demostracó Para cada =,..., el que A sea umerable ϕ : A N yectva. Etoces s defmos: ϕ : A... A N... N por ϕ a,..., a = ϕ a,..., ϕ a j j ( ) queda aturalmete yectva. Y por lo tato este la fucó ψ ϕ : A... A N yectva lo que mplca que A... A es umerable
18 Topología Geeral apítulo Proposcó.5 Sea I u cojuto umerable, y A u cojuto umerable I etoces A es umerable. I Demostracó omo I es umerable ϕ : N I sobreyectva y por ser A umerable ψ : N A I defmos: por J : N N A I = J m, ψ ϕ m etoces a A a A para algú I y como ϕ es sobre m / =ϕ ( m) I como a su vez ψ es sobre N / a =ψ luego: a = = = J( m, ) ψ ψ ϕ m lo que sgfca que J es sobreyectva por ser N N umerable umerable. N y A es Ejemplo.5 Q es umerable I = m, : co m N, N N N que es umerable por ser u Sea { { }} subcojuto de uo umerable, etoces como: m Q = es umerable ( m, ) I Ejemplo.6 Todo cojuto fto tee u subcojuto fto umerable. Demostracó Sea A u cojuto fto. Sea A, etoces A es fto, etoces este A tal que y etoces como A {, } es fto, este A tal que co =,.,,...,,,..., es fto así que este + A tal que + co =,,...,. Etoces la fucó f : N A dada por f = { } es ua byeccó etre N y {,,...,,... } A por tato dcho subcojuto de A es umerable que es al cojuto fto umerable que buscábamos E geeral, defmos { } y teemos que A { } I
19 Topología Geeral apítulo Ejemplo.7 S A es fto y B es umerable etoces A es coodable co A B Demostracó Por la proposcó de ator-berste, basta ecotrar ua fucó yectva de A e A B y otra yectva de A B e A. Para la prmera la clusó es ua fucó yectva c: A A B ard( A) ard( A B). Para ecotrar ua fucó yectva g: A B A. omo A es fto (ver ejercco 6) tee u subcojuto fto umerable que llamaremos. Etoces como B y so umerables B es umerable lo que mplca ard( B) = ard( N) = ard B y so coordables luego este ua fucó g : B byectva osderemos la sguete fucó: g: A B A dada por : a s a A\ ( B) g( a) = g ( a) s a B a s a A\ ( B) g( a) = a = b g ( a) s a B b s b A\ ( B) g( b) = a = b por ser g g ( b) s b B etoces g es yectva, y por tato ard( A B) ard( A) cojutos so coordables g a = b que b yectva luego so guales y los Ejemplo.8 Sea u etero postvo. Sea A u cojuto y a u elemeto de A. ard A = + ard( A a ) = Etoces { } Demostracó Teemos que probar que este ua correspodeca byectva f etre,..., + s, y solamete sí, este ua correspodeca byectva A y el cojuto { } del cojuto A { a } { } co,...,. Supogamos e prmer lugar, que este ua correspodeca byectva g g: A a,..., { } { } Defmos etoces ua fucó: f : A {,..., } f = g s A { a} f ( a ) = + + de la forma: es claro que f es byectva. Recíprocamete: Supogamos que este ua correspodeca byectva :
20 Topología Geeral apítulo - - { } f : A,..., + ) S f asoca a al úmero +, todo es especalmete secllo; e este caso, la restrccó f A { a } os da la correspodeca byectva buscada etre A { a } y {,..., }. ) E caso cotraro sea f ( a ) = m y sea a el puto de A tal que + = f ( a ). Etoces a a Defmos ua ueva fucó: h: A {,..., + } Medate: h a = m ( ) = + = para {, } h a h f A a a De esta forma h es byectva y está compredda e el caso ) luego la restrccó h A a es la byeccó buscada etre A { a } y {,..., } { } + Ejemplo.9 Sea A u cojuto de cardal para algú Z. Sea B u subcojuto propo de A. Etoces el cardal de B es dstto de S B φ Etoces este algú m< tal que el cardal de B es m. Demostracó Teemos que probar que o este byeccó algua g: B {,..., } Pero s B φ sí este ua byeccó h: B {,..., m} para algú m<.. El caso de que B es vacío es trval, ya que o puede estr ua byeccó etre el cojuto vacío B y u cojuto o vacío {,..., }. Demostraremos la afrmacó por duccó. + Sea el subcojuto de Z formado por aquellos etero para los cuales la + afrmacó es certa. Vamos a probar que es ductvo =Z y por lo tato la afrmacó es certa para todo etero postvo. E prmer lugar demostramos la afrmacó para =.E este caso A está formado por u úco elemeto { a} y su úco subcojuto propo B es el cojuto vacío. Supogamos ahora que el teorema es certo para ; vamos a ver que també lo es para + Sea f : A {,..., + } ua byeccó y sea B u subcojuto propo o vacío de A. Elegmos u elemeto a de B y u elemeto de a de A B y aplcado lo del ejemplo ateror, podemos deducr que este ua byeccó: g: A a,..., { } { } Por otro lado, B { a } es u subcojuto propo de A { a } { } y o a { }, ya que a perteece a A a B a. omo la afrmacó se supoe certa para el etero, podemos coclur lo sguete: - -
21 Topología Geeral apítulo - - ) No este gua byeccó h: B { a} {,..., } ) Be B { a } = φ, be este ua byeccó { } { } : B a,..., p para algú p< El ejercco atero juto ), mplca que o este gua byeccó etre B y,..., + Esto completa la prmera mtad del resultado al que queremos llegar. { } Para demostrar la seguda parte, obsérvese que s { } etre B y el cojuto { }, metras que s B { a } φ B a = φ, este ua byeccó, podemos aplcar lo del ejercco ateror, juto co ), para coclur que este ua byeccó etre B y {,..., p + }. E cualquera de los casos, va a estr ua byeccó de B co {,...,m } para algú m< +, tal como se buscaba. El prcpo de duccó demuestra que + la afrmacó es certa para todo Z. Ejemplo. S A es u cojuto fto, o este gua byeccó de A co u subcojuto propo de sí msmo. Demostracó Supogamos que B es u subcojuto propo de A y que f : A B g: A,..., para algú. es ua byeccó. Por hpótess este ua byeccó { } La composcó g f es, por tato, ua byeccó etre B y { } cotradce la afrmacó del ejemplo ateror,...,. Esto Ejemplo. U cojuto es fto s y solo sí es coordable co u cojuto propo. Demostracó Sea A u cojuto fto, prmero observemos que por el ejemplo 6 tee u subcojuto fto umerable que llamamos B. Sea = A B etoces hay tres posbldades: ) Que = φ Quere decr que A= B y como B es umerable por costruccó A umerable ard( N) = ard( A) pero ya vmos que todo subcojuto (propo) s A A ard A = ard N que A y de ua umerable es umerable A so coordables ) Que sea fto φ. S es fto etoces A= B por ser uó de dos ard A = ard N = ard B es decr que A es umerables es umerable coordable co el cojuto B A 3) Que sea fto, como B es umerable (ver ejemplo 7) que es coordable co B= A. Recíprocamete Sea A u cojuto coordable co u subcojuto propo. - -
22 Topología Geeral apítulo - - S A fuera fto teemos ua cotradccó co lo probado e el ejemplo luego A tee que ser fto. Proposcó.6 El cojuto de las partes ftas de los aturales que aotamos N P F es umerable. P ( N) = { N: es fto} F A A Demostracó Defmos: P ( N) = A N: ard( A) = etoces P N = P N alcaza co probar que N ( N) F { } - - N P es umerable y para ello defmos la sguete fucó: ϕ : P ( N) N como sgue: S A P ( N) etoces A= { a, a,..., } a y defmos ϕ como la fucó que a cada -upla le correspode la -upla ordeada e forma crecete, es decr: ϕ ( A) = ( a,..., a) co a a... a laramete ϕ es yectva ya que s A y B so cojutos co elemetos etoces ({ }) ({ }) ϕ a,..., a = a,..., a co a... a ϕ b,..., b = b,..., b co b... b ( a,..., a) = ( b,..., b) { a,..., a } = { b,..., b } o sea A = B y como P N es umerable la uó umerable de umerables es umerable por la proposcó ateror. P N N es umerable F es umerable orolaro.7 Las partes ftas de u cojuto A umerable es umerable. P F ( A) = { X A: X es fto} Demostracó gual que el teorema defmos: P ( A) = X A: ard( X) = y ϕ : P ( A) A yectva { }
23 Topología Geeral apítulo como P A es umerable y como la uó de ua catdad umerable I de cojutos umerables es umerable. P A = P A I N I es umerable. A es umerable F (e umerable) I orolaro.8 Las partes ftas de los aturales es o umerable P ( N) = { A N: A es fto} Demostracó S fuera umerable como: P N = PF N P N Y ya vmos que es o umerable. sería umerable De la ateror proposcó se desprede que el cardal de las partes ftas de los aturales (cojuto poteca de los aturales ) o es gual al de los aturales y lo que demostraremos a cotuacó es que dcho cardal es gual al cardal de los úmeros reales. Pero co dcho propósto ates demostraremos alguos teoremas prevos. El prmero de ellos hace refereca a la posbldad de escrbr cualquer úmero real etre y como ua sere. Depededo de ua sucesó de ceros y uos (otacó bara del real e cuestó) Lema Sea t (,] etoces este ua sucesó { a : } dode a {,} todo y tal que: a t = = salvo que para alguos reales esa descomposcó o es úca Por ejemplo = Hay dos formas de elegr la sucesó,,,,,,,,... { a } = pero ua de ellas es fta. Es decr:,,,,,,,,,... a b = = que este tal que: y { a} { b} S t = = co a, b {,} para o so la msma sucesó - 3 -
24 Topología Geeral apítulo a = > y b = > o b = > y a = > { a} { b } o { a} { b } =...,,,,... =...,,,,,,... =...,,,,,,... =...,,,,,... Demostracó S < t < se defe a = S t se defe a = E ambos caso se verfca: a t ahora defmos a a s t < 4 a = a s t 4 etoces e ambos casos: a a t Y así sucesvamete teemos a, a,..., a {,} tales que: a t = se defe a + como: a s t < + = a+ = a s t + = e ambos casos: + a t + = por lo tato a a t = + t = =
25 Topología Geeral apítulo Lema S { } { } tal que: a b a b = = t y = = etoces teemos que probar que este b = > y a = > o b = > y a = > Demostracó Sea = m { : a b} se puede supoer s perder geeraldad que a = y b = Sea Teemos que: a a =... a..., b b... b... = = b b b b = + + = = = = + b a b a = + + = = + () = = + a a a = + = = = = () = b = = Lo que mplca que todas las desgualdades so gualdades y etoces: b = > a = > S hubésemos supuesto que era b = > a = > a a = = y b = hubéramos llegado a: - 5 -
26 Topología Geeral apítulo Lema 3 ((,] ) = ( P ( N) ) ard ard Demostracó Para la demostracó lo que haremos es defr ua fucó byectva etre dchos cojutos. Para ello usamos los lemas y que quere decr que todo úmero etre y se escrbe e otacó bara como ua sucesó fta de ceros y uos. A este úmero baro le asocamos el cojuto de los ídces correspodetes a los lugares e que lleva u uo su desarrollo baro. Que claramete es u subcojuto de las partes ftas de los úmeros aturales. osderemos la sguete fucó: ϕ :, P N defda de la sguete forma: ( ] S t (,] etoces este ua úca sucesó { a } tal que { : } sedo a t = = Sempre hay ua ya que s hay ua fta tal que: a t =, a = = defmos b b = a < t = dode = b =, b = > defmos: ϕ ( t) = { : a = } P ( N) Por ejemplo: 5 = ϕ t = 5 = = = = 5 4 ϕ es yectva ya que s ϕ( t) = ϕ( s) sea { a } tal que: a = s ϕ ( t ) a t = = s a = s ϕ t = además es sobreyectva ya que s P ( N) sea { } omo los a so ftos la sere coverge e (,] ( ] a = es fto {,5,6,7,8,... } A a tal que: a = s A a y sea t = a = s A = a a N = = = = es decr que t, A= ϕ t.
27 Topología Geeral apítulo Proposcó.9 El cardal del cojuto poteca de los aturales es el del R = P N cotuo. Es decr ard ard ( ) Demostracó Prmero se demuestra que ard = ard ((,] ) fucó apropada; por ejemplo por medo de la fucó y ta π π para (, ) se tee que: π π ard( R ) = ard (, ) R por medo de ua Luego por medo del segmeto de recta π π ard, = ard, () (( ]) = que es byectva Por el ejemplo.7 se tee que u cojuto es fto s, y solamete sí, es coordable co u subcojuto propo P ( N) es fto ard( P ( N) ) = ard ( P ( N) ) Ya que P ( N ) P ( N ) y como por la proposcó ateror: ard( (,] ) = ard ( P ( N) ) ard y ard ((,] ) ard ( P ( N) ) = ard = = ((,] ) ard ( R) ( R) ard ( P ( N) ) Ejemplo practco Sea la famla de tervalos de etremos racoales F Defmos la fucó {[, ]:, } F = ab ab Q ϕ : F Q Q de la sguete maera: ([ ab, ]) ( ab, ) ϕ = Q Q Es decr que a cada tervalo de etremos a,b le asocamos la pareja ordeada (a,b) Dcha fucó es yectva ya que - 7 -
28 Topología Geeral apítulo a a b b [ ab, ] [ a, b ] o ( ab, ) ( a, b ) ϕ( [ ab, ]) ϕ( [ a, b ]) y como Q es umerable que el producto cartesao Q Q es umerable Teemos ua fucó yectva del cojuto F a u cojuto umerable, como la fucó es byectva sobre su mage, que es u subcojuto de uo umerable, luego umerable; etoces como podemos defr ua byeccó de F a u cojuto umerable, este F es umerable
29 apítulo Espacos Métrcos Defcó. Sea E u cojuto o vacío ua dstaca o métrca es ua fucó d: E E R tal que verfca: d y, y, E ) ) d( y, ) = = y 3) d( y, ) = d( y, ) y, E 4) Al par ( Ed, ) le llamamos espaco métrco d z, d y, + d yz, yz,, E desgualdad tragular Defcó. Sea E e las msmas codcoes que ates pero s la propedad, es decr se puede dar el caso e que la dstaca es cero y o se trate de la detdad, llamamos e dcho caso seudo dstaca o seudo métrca. Ejemplo. E = R y d y, = y es ua métrca. S Ejemplo. Sea E = R = (,..., ), y = ( y,..., y) etoces podemos defr la sguete dstacas ) Dstaca ta ) Dstaca eucldaa 3) Dstaca del mámo d y = y (, ) = d y y = (, ) = ( )
30 Topología Geeral apítulo = { } d y y, ma =,..., Ejemplo.3 Dstaca dscreta Dado E φ defmos s d( y, ) = s fáclmete se comprueba que es ua métrca. = y y Ejemplo.4 Dstaca dscreta Dado E φ defmos d y, = y, E Ejemplo.5 Sea E = R [ ab, ] = { f :[ ab, ] R / f es cotua} etoces defmos la dstaca que llamamos dstaca fto o del supremo de la sguete maera: d ( f, g) = sup [ ab, ] { f g } umple co las propedades,, 3 [ ab, ] y f, gh, R [ ab, ] la propedad 4 se tee f g = f h + h g f h + h g y los supremos també cumple dcha desgualdad luego se cumple la desgualdad tragular La dstaca del supremo se puede defr para el espaco de las fucoes cotuas, f : ab, (complejos) represetamos dcho e el tervalo [ ab ] sedo [ ] cojuto como ab. [, ] Sea E = ( R) = { f : R cot. y acotadas} b b, R ( R) { f : R R cot. y acotadas} = = Defmos la dstaca gual que ates: d f, g = sup R f g Dcha defcó es cosstete ya que: f es tal que f M R S y tal que g g M R { } f g f + g M + M R y esto mplca que Etoces f g está acotado tee supremo - 3 -
31 Topología Geeral Espacos Métrcos Observacó. Para u msmo cojuto podemos teer dsttos espacos métrcos asocados, segú la métrca que estemos cosderado, así s la métrca es la dscreta al espaco llamamos dscreto, s la métrca es la dscreta al espaco llamamos dscreto, s la métrca que estamos cosderado es la eucldea al espaco llamamos eucldeo. Defcó.3 Sea V u espaco vectoral sobre K ( R o ) ua orma sobre el espaco vectoral es ua fucó propedades: ) V y = ) λ = λ λ K, y V 3) + y + y y, V :V R que cumple co las sguetes Defcó.4 Teemos u espaco vectoral ormado cuado sobre el espaco vectoral teemos defda ua orma. Ejemplo.6 El producto tero, e V os defe ua orma medate la sguete relacó: =, Observacó. Todo espaco V vectoral ormado se trasforma e u espaco métrco por medo de la dstaca defda de la sguete forma: d( y, ) = y y, V Demostracó d y, = y por defcó de orma (, ) = = = = (, ) = = ( ) = = = (, ) (, ) = = + + = (, ) + (, ) d y y y y d y y y y y d y d z z z y y z y y d yz d y Defcó.5 Sea = R,..., defmos las sguetes tres ormas: ) ) = = = =
32 Topología Geeral apítulo - 3-3) = ma { : =,..., } Todos so ormas que duce las respectvas dstacas d, d, d co la gualdad. d( y, ) = y Ejemplo.7 ab, es u espaco vectoral co las operacoes puto a puto o sea s [ ] etoces: [ ] ( λf ) = λf f, g ab, defmos : f + g = f + g [ ab, ] { } es ua orma e [ ] La msma vale e R[ ab, ], b( R), b, R( R ) Sea l el cojuto de las sucesoes complejas { } f = sup f ab, que duce la dstaca habtual. l R el cojuto de las sucesoes reales. Tales que < (coverge) l es u espaco vectoral co las operacoes { } { y } = l y = l λ como y está be defda Y se defe que es ua orma e l ( λ) + y = + y = λ + y + y < λ λ = < = Ejemplo.8 Sea l el cojuto de las sucesoes complejas acotadas l el cojuto de las sucesoes reales acotadas R l es u espaco vectoral sobre los complejos ( l R sobre los reales) co las operacoes defdas de la msma forma que e el ejemplo ateror - 3 -
33 Topología Geeral Espacos Métrcos { } { y } = l y = l λ Defmos ( λ) + y = + y = λ { } = sup s = N = e y = y etoces s { } { } + y + y + y como dcha gualdad se cumple para todo, e partcular se debe cumplr para el supremo: + y = sup + y + y Lo que mplca que es ua orma. Defcó.6 Sea (, ) Ed u espaco métrco, E, ε > llamamos bola aberta de cetro y rado ε al sguete cojuto: B = y E: d y, < ε ε { } Que també aotamos B(, ε ) Ejemplo.9 E l R B ε B l ε B l ε
34 Topología Geeral apítulo S tomamos las fucoes cotuas e [ ab, ], R[ ab, ], f R [ ab, ] B ( f ) = g [ ab] [ ] f g < ε ε { R, :ma ab, } f + ε a b g B f ab, f g < ε y el gráfco de g cae e la zoa S ( ) [ ] ε rayada lmtad por f + ε y f ε. Ejemplo Espaco dscreto Sea ( Ed, ) co la dstaca dscreta es el espaco que llamaremos dscreto, es decr: s y d( y, ) = s = y B, = y E: d y, < = E Sea { } B( ε) E Sea B(, ) = { y E: d( y, ) < } = { } B( ε) { } f ε, = s ε >, = s ε Es decr que las bolas so todo el espaco o los putos. Proposcó. Dado ua espaco métrco ( Ed, ), E, ε >,sea la bola (, ) S y B(, ε ) etoces : δ > tal que B( y, δ) B(, ε) f B ε. Demostracó δ ε d y, etoces Sea S z B( y, δ ) d( z, ) d( y, ) d( yz, ) + < δ (, ) ε (, ε) (, ) (, ) (, ) (, ) (, δ) B(, ε) d z < z B d z < d y + δ d y + ε d y = ε B y ε y δ
35 Topología Geeral Espacos Métrcos Ed y u subcojuto F E, F φ Etoces la restrccó de d a F F o sea: d F F: F F R esto es ua métrca que llamaremos métrca relatva Defcó.7 Dado u espaco métrco (, ) Observacó.3 S F, ε, sea B F (, ε) co la métrca e E etoces: E > la bola co la métrca relatva y sea: B (, ) E (, ε) (, ε) F B = B F Ya que: F B, ε = y F : d y, < ε = y E: d y, < ε y F { } { } { } Ejemplo. Así por ejemplo s e R co la métrca habtual F = [,) F S [ ) ( ) [ R, B, =, ) y B (, ) = (, ) Etoces: Defcó.8 Sea (, ) [, ) = [, ) (, ) ε la bola Ed u espaco métrco y A Eo vacío, decmos que A es u cojuto aberto s: A ε > tal que B(, ε) A E el caso que A es vacío lo defmos como aberto. orolaro. Las bolas abertas e u espaco métrco cualquera so cojutos abertos Demostracó Es cosecueca medata de la proposcó ateror. Ejemplo. E los espacos dscretos todo cojuto A E es aberto ya que s A etoces: B, = A Ejemplo.3 { } E [, ] A= { f [, ]: f > } s f A tomado R R teemos B f, ε A ya que s g B f, ε por defcó que: ma [,] { f g } ε (e partcular) f g < < ε f ε = >
36 Topología Geeral apítulo o sea f g ε < g ε < < ε f y s tomamos f f ε = < < g g A por defcó de A luego B f, ε A Proposcó.3 Sea (, ) Ed u espaco métrco etoces se cumple las sguetes propedades: ) E y φ so abertos ) S { A } I es ua famla de subcojutos abertos de E etoces: A es aberto I 3) S A, A,..., A so ua catdad fta de subcojutos abertos de E etoces: = A es aberto Demostracó ) B(, ε) E E, ε > E es aberto φ es aberto por defcó. ) S A I tal que A que es aberto, luego 3) I o sea que ε > tal que B, ε A como A A B, ε A I I A es aberto I ε ( ε) sea S A A co A aberto =,..., tal que B, A = = m { : =,..., } B(, ) B(, ) A =,..., B(, ε ) ε ε ε ε Proposcó.4 Sea (, ) = A es aberto = Ed u espaco métrco y A Eo vacío etoces A es aberto s y solo sí, es uó de bolas abertas. A
37 Topología Geeral Espacos Métrcos Demostracó ya vmos que la uó de bolas abertas es u cojuto aberto. S A es aberto s (, ε ) B( ε ) A B A y os tomamos: además como s A B(, ε ) B(, ε ) es decr que, A A A A B, ε A A= B(, ε ) A A es aberto A B ε = A, Ed u espaco métrco y u F E subcojuto, A Fes aberto co la métrca relatva ( aberto e F) s y solo sí A= U Fdode U es aberto e E. Proposcó.5 Sea (, ) Demostracó F B, ε E = B, ε F F, ε > Se sabe que F S A es aberto e F (, ε ) A= B por teorema ateror I E E ( (, ε) ) (, ε) A= B F = B F I I = U aberto e E luego A= U F co U aberto e E E S U E es aberto U = B (, ε ) I E E F (, ε) (, ε), ε I I I que es aberto A= U F = B F = B F = B e F. Ejemplo.4 Sea E = R co la métrca habtual F =,,3 3 y [ ) A = [,) es aberto e F ya que
38 Topología Geeral apítulo (,3 ) es aberto ya que (,) A= F aberto e E (,3) (,3) = F aberto e E Defcó.9 Sea (, ) es cerrado s Ejemplo.5 Ed u espaco métrco y el subcojuto A E se dce que A A es aberto ( A E\ A = ). omo e el ejemplo ateror [,) es aberto e F y su complemeto que es por defcó es cerrado. Al gual que el complemeto de (,3 ) que es [ ) decr aberto o es oposcó de cerrado ,3 es, ambos so abertos y cerrados es Proposcó.6 Sea d y d dos métrcas e E las sguetes afrmacoes so equvaletes. ) Todo aberto e ( Ed, ) es aberto e ( Ed, ) ) Dados ε >, E este δ > tal que d (, δ) (, ε) d B B Demostracó d ) ) B (, ε ) es aberto co d que es aberto co d por defcó de aberto d d d S B (, ε) δ > tal que B (, δ) B (, ε) como se quería. ) ) Sea A E aberto e ( Ed, ) lo que quere decr por defcó que: para cada elemeto de A > tal que y además ya vmos que ε d B, ε a A A d A= B, ε etoces aplcado la hpótess ) para cada etoces por otro lado A A δ > d (, δ ) (, ε ) B B d d (, δ ) (, ε ) B B B = A d A tal que
39 Topología Geeral Espacos Métrcos luego d (, δ ) (, δ ) A B A B d A d A B, δ A = lo que quere decr que A es aberto e (, ) Ed. Este teorema os lleva a realzar las sguetes defcoes. Defcó. Dos métrcas d y d e u msmo cojuto E decmos que so métrcas equvaletes s : A E es aberto e d es aberto e d Ejemplo.6 Las métrcas d, d y d so equvaletes e Demostracó Dado ε δ ε tal que R B d (, ε ) > = R d (, ) d d B (, δ ) B (, ε) d y B (, δ) d ( y, ) < δ Ya que s y < δ y + y < δ B ε y + y y + y = y + y < ε y etoces Luego d( y, ) = ( y ) y = d( y, ) < ε = = (, ε) (, ε) (, ε) d d d y B B B Etoces por proposcó ateror teemos que: Todo aberto e ( Ed, ) es aberto e (, ) Y recíprocamete ε Dado ε >, δ = > tal que Ed B d (, ε ) R B d (, δ ) d d B (, δ) B (, ε) d ya que s y B (, δ ) d ( y, ) < δ
40 Topología Geeral apítulo ε d( y, ) = ( y ) + ( y ) < δ = etoces se prueba aalítcamete que d y + y < ε d ( y, ) < ε y B (, ε) como queríamos demostrar. Observado lo que probamos es que dado u cuadrado podemos ecotrar ua bola detro del msmo como e la fgura Luego los abertos e ( Ed, ) so abertos e ( Ed, ) d d e R e R es totalmete aálogo. Aálogamete se demuestra que d d o d d ya que se puede scrbe u cuadrado e ua crcufereca o e u cuadrado. d B d B d B d B Ejemplo.7 S E = Z y sea d la dstaca relatva a la eucldea y d la métrca dscreta. es aberto e Z co d ya que: { } ( ε) { } B d, = s ε < pero també es aberto co d ya que: { } = (, + ) Z S A y A φ A= { a} a A aberto e R Z es aberto por ser uó de abertos. Etoces los abertos co d so todos los subcojutos de Z, y co Por la tato d, y d so métrcas equvaletes d també. Ejemplo.8 Sea ( Ed, E) y ( Fd, F) dos espacos métrcos y d, d y d las métrcas e E F dadas por:
41 Topología Geeral Espacos Métrcos [ ( )] = ( ) + ( ) d e, f, e, f de ee, df f, f [ ( )] = ( ( E )) + ( F( )) d [( e, f ),( e, f )] = ma { d ( ee, ), d ( f, f )} d e, f, e, f d ee, d f, f E F es fácl ver de que se trata de dstacas métrcas, vamos a probar de que so equvaletes. d B d ε e, f Bε e, f ya que s de + df < ε cada ua es meor que ε y d d Bε e, f Bε e, f ya que s: F ( (, )) ( (, )) de ee + d f f < ε d ee, + d f, f < ε ( ) ( ) E cada uo es meor que ε d O sea que s B B ε F d ε d B d B ( de( ee, )) ε de( ee, ) ( d ( f, f )) ε d ( f, f ) < < ε F < F < ε Por otro lado d d B (, ) ε e f B ( e, f ) ε ya que s de y df < ε de + df < ε y d d B e, f B e, f ya que: ε ε d B d B de ( ee, ) < ε ( de( ee, )) ( df( f, f )) ( ε ) ε df ( f, f ) ε + < = < < ε < ε Etoces d, y d so equvaletes y d, y d so equvaletes y por defcó es trastva d, y d so equvaletes
42 Topología Geeral apítulo Ejemplo.9 Sea (, ) Dadas por : E d espacos métrcos =,..., y d, d y d las métrcas e [(,..., ),(,..., )] = (, ) d e e e e d e e = = E d[ ( e,..., e),( e,..., e ) ] = ( d( e, e ) ) = d [( e,..., e),( e,..., e ) ] = ma { d( e, e ) : =,..., } el razoameto a segur es el msmo que e el ejemplo ateror solo modfcamos ε por y por ε ε ε etoces: d (,..., ) ε (,..., ) d (,..., ) ε (,..., ) d (,..., ) (,..., ) d Bε d Bε e e e e B B e e e e d Bε e e Bε e e d Bε e e Bε e e d (,..., ) (,..., ) d d y d y d so equvaletes so equvaletes - 4 -
43 apítulo Espacos Topológcos E este capítulo troducremos el cocepto de espaco topológco, rescatado de los espacos métrcos las propedades báscas que estos cumple. Es decr que se trata de ua abstraccó de los msmos. Defcó. Sea X u cojuto o vacío. Ua topología τ e X es ua famla cluda e las partes de X es decr τ P ( X ) tal que: ) X, φ τ ) S { A } I τ A τ I 3) S A,..., A τ A τ = A los membros de τ llamamos abertos Al par formado por τ y X llamamos espaco topológco. Ejemplo. Sea ( Ed, ) u espaco métrco, etoces { : aberto e } τ d = A A E τ d es ua topología por los propedades que ya vmos se cumple,,3. Además d, d so equvaletes s y solo sí: τ = τ d d Decmos que las métrcas equvaletes duce las msma topologías. Todo espaco métrco puede ser vsto como u espaco topológco co la topología ducda por la métrca. No es casualdad que ua métrca defa ua topología ya que la dea es abstraer las propedades de los espacos métrcos e espacos dode o hay defda ua métrca, tratamos de defr u aberto s teer ua dstaca, por eso, s decmos que u cojuto es aberto e realdad estamos queredo decr que está e la topología.
44 Topología Geeral apítulo X τ u espaco topológco se dce que τ es metrzable s este ua métrca d e X tal que: τ = τ d es ua espece de recíproco del ejemplo. Defcó. Sea (, ) Ejemplo. Topología dscreta Dado X τ = P ( X) es ua topología y es u caso partcular del ejemplo ateror co la métrca d dscreta. Es decr se s d es la métrca dscreta e X etoces: τ = P X d Ejemplo.3 Topología dscreta X, d u espaco seudométrco co d dscreta etoces: Sea { φ, X} τd = es ua topología llamada dscreta. laramete o es metrzable porque o este ua métrca asocada (seudemétrca s). Ejemplo.4 ofto Sea X φ la topología τ defda como: τ { A X : A es fto} { φ} = veremos que es ua topología llamada de complemetos ftos ) φ, X τ ) S { A } τ I etoces: I etoces: A A es fto por cada A I I = 3) Sea A,..., A τ etoces: I A τ A = = = es fto A que es fto por ser uó de ua catdad fto de cojutos ftos Luego: = A τ Además se e vez de fto poemos umerable sgue sedo ua topología A
45 Topología Geeral Espacos Topológcos Ejemplo.5 E Z defmos: { A Z: A A Z } τ = τ es ua topología ya que: S { A } τ y Z dem co la terseccó S A A para algú I A A La forma de los abertos de τ so {, },,,3,4,..., { } { 3,4,3,4,5,6,..., } { } { 5,6 },.. etc. ada vez que u par perteece al cojuto el ateror també y cada vez que u mpar perteece al cojuto su sguete també, así { 5,6,, } es u aberto. I Ejemplo.6 E R defmos: també es ua topología. τ { φ} { A R : A} = Defcó.3 Sea (, ) X τ u espaco topológco e Y relatva e Y a: τy = { U Y : U τ} Sea { U } τ U Y I τ Y I etoces: ( U Y) = U Y τ I I ídem co la terseccó Defcó.4 Sea (, ) τ Y τ por ser τ ua popología es u topología. X llamamos topología X τ u espaco topológca y X N X es u etoro de s este u aberto U τ tal que: U N Sea N la famla de etoros de es decr: { : es etoro de } N = N X N Ejemplo.7 S ( Ed, ) es u espaco métrco, E etoces N E es u etoro de s y solo sí : Y
46 Topología Geeral apítulo ( ε) ε > tal que B, N Demostracó Se toma A= B(, ε ) S N N por defcó este u aberto U tal que U N omo U es aberto e u espaco métrco por defcó ε > tal que: B, ε U B, ε N Ejemplo.8 Sea ( X, τ ) el espaco topológco dscreto N N N Ejemplo.9 Sea ( X, τ ) espaco topológco dscreto, los abertos ya vmos que so etoces: = Ejemplo.,τ N { } Sea ( Z ) co τ = { A Z : A A} {,} N N = { A Z :, { } A} {,,3} N Ejemplo. Sea ( X, τ ) co τ topología de complemetos ftos. Sea X etoces: s N N este U τ tal que U N etoces N U N es fto N τ es decr: fto { τ : } N = U U φ y todo X Proposcó. Sea (, ) X τ es u espaco topológco, X etoces: ) N N y N M M N ) S NM, N N M N 3) N φ 4) U X es aberto U N U es decr s U es etoro de todos sus putos
47 Topología Geeral Espacos Topológcos Demostracó ) S N N U τ tal que U N y como N M U M M N ) Sea U, U tal que: N M UN N UN UM N M UM M y como UN UM τ N M N 3) X N X N? 4) S U es aberto y para todo U U U U N S U N para todo U que para cada U este U τ tal que: U U U U U pero como U U U U U U U = U y como U τ U τ por propedad de la defcó de topología y luego U U τ U (es aberto) Observacó. De la defcó de etoro y de la propedad ateror podemos teemos: A es aberto A U τ tal que U A Es decr que u cojuto es aberto s para todo puto de él se puede ecotrar u elemeto de la topología cludo e él. S susttumos elemeto de la topología por bolas es la msma propedad que teíamos para espacos métrcos. Lo que era de esperar ya que los elemetos de la topología e el caso de espacos métrcos so las bolas. U Defcó.5 Sea (, ) X τ u espaco topológco, A X. Se dce que A es u puto teror a A, s A es etoro del puto, es decr A N. Y llamaremos teror de A al cojuto de los putos terores de A A = X : es teror de A { } Observacó. De la msma defcó se desprede que
48 Topología Geeral apítulo A A Proposcó. Dado (, ) A Betoces: X τ espaco topológco y AB, A B X dos cojutos co Demostracó Que A mplca que A es etoro de y por defcó de etoro: U τ tal que U A y como A B se tee: U τ tal que U B luego B es etoro de y eso mplca que es teror a B A B Proposcó.3 Sea (, ) se tee que A = A. X τ e espaco topológco A X Etoces s A es aberto Demostracó Por defcó sabemos que se cumple A A. Para probar la otra clusó S A como A es aberto, es etoro de todos sus putos es decr A N lo que mplca por defcó que A luego A A y se da la gualdad. X τ e espaco topológco A aberto cotedo e A. Proposcó.4 Sea (, ) X Etoces A es el mayor Demostracó Prmero probaremos que A es aberto, para ello probaremos que es etoro de todos sus putos. Sea A por defcó A N U τ tal que: U A Pero esto o alcaza trataremos de ver que U A y para ello: S y U y U A A N por defcó y A luego: es decr que U τ tal que: y U A
49 Topología Geeral Espacos Topológcos U A A N Esto msmo se tee para todo puto de A etoces por proposcó. 4) A es aberto. Para probar de que es el mayor probamos que cualquer otro aberto cludo e A está cotedo e A Sea etoces B A por proposcó. B A y como B es aberto se tee por proposcó.3 B = B luego: B A Observacó. Uedo las proposcoes. y.3 se tee que: A es aberto A= A Ejemplo. Sea ( R, τ) τ = { A R: A} { φ} A Dado A R A = φ s A s A Defcó.6 Dado (, ) X τ espaco topológco decmos que es T s se verfca que s dados y N Ny Ejemplo.3 Z, τ co τ = A Z: A A φ Sea { } { } N = { A Z :, { } A} N = { A Z :, { } A} Luego N = N pero que o es T Proposcó.5 U espaco topológco ( X, τ ) es T s y solo sí dados N N tal que y N o este: M N y tal que M N y Demostracó s N N tal que y N N Ny N Ny por defcó es T M Ny tal que M M N y este
50 Topología Geeral apítulo X T y N N etoces puede suceder al meos ua de las S es y sguetes posbldades: ) N N tal que N N por ser N etoro Y etoces y U τ tal que U N s y U y U N N N lo cual es absurdo o sea que y U y como U es aberto es y etoro de todos sus putos o sea ecotramos u U N tal que y U. ) M N tal que M N al gual que lo ateror V N tal que V. y y Ejemplo.4 Dado el espaco topológco ( R, τ) co τ = { A R: A} { φ} Sea dos putos y cualesquera dsttos e prcpo de cero. y etoces, τ que es etoro de todos sus putos e partcular de o { } sea que {, } N dode y {, }. Ahora s uo de ellos es el cero. Sea = etoces claramete { } { } N y { } τ o sea : Luego este espaco topológco es T. A pesar de que todos los etoros de y cotee al cero es decr al cero lo podemos separar del y por etoros pero o al y del cero. Nuestro prómo aoma de separacó cotemplará que tato uos como otros so separables por etoros. Defcó.7 Dado u espaco topológco decmos que es T s se verfca que: N = N N { } Proposcó.6 Dado el espaco topológco (, ) y cualesquera este N y M co: N N tales que y N M N tales que M y X τ este es T s y solo sí, dados y Demostracó S X, τ es u espaco topológco T, y etoces por defcó lo que sgfca que: { } y como N = y y N N N N N N N tal que y N - 5 -
51 Topología Geeral Espacos Topológcos S N N tal que y N esto mplca: y { } y N = N N N N N orolaro.7 Dado u espaco topológco ( X, τ ) s es T es T Demostracó La proposcó.6 mplca la proposcó.5 que es más débl y por lo tato se cumple que es T Ejemplo.5 R, τ co τ = A R: A φ como Sea { } { } N = {, } s o es T N N Ejemplo.6 Sea X co la topología de complemeto fto. Dados dos putos { } y y N e y { y} luego X es T. Defcó.8 Dado el espaco topológco (, ) X τ decmos que es T Hausdorff ) s dados y este: N N, M N tales que N M = φ Observacó.3 Todo espaco topológco que es T T laramete por defcó. y N M (o de y Ejemplo.8 Sea X fto co la topología de complemeto fto. S AB, τ tal que A B = φ co A y B o vacíos etoces: X = A B X sería fto fto fto co esta topología o teemos abertos dsjutos, y como: N = { A τ : A} S A N, B N tales que A B= φ sería dos abertos o vacíos dsjutos que y ya vmos que e esta topología o los hay X o es T auque sí T como ya vmos. Ejemplo.9 Todo espaco métrco es de Hausdorff
52 Topología Geeral apítulo Demostracó S y Sea ε < d( y, ) Etoces : B(, ε) B( y, ε) = φ Ya que s estera z tal que: z B(, ε) B( y, ε) se tedría: d y, d z, + d zy, < ε < d y, d y X τ espaco topológco decmos que es adherete a u subcojuto A de X s todo etoro de cotee putos de A. Es decr que es adherete a A N N N A φ Defcó.9 Dado (, ) X, τ, A X, la clausura de A es el cojuto de todos los putos adheretes a A. A= X : N N es N A φ Defcó. Dado u espaco topológco { } además decmos que A es cerrado s y solo sí A= A Proposcó.8 A A Demostracó S A N N N A A luego: uedo esto co A A A A teemos: A A A Proposcó.9 S A B A B Demostracó S A N N N A φ y como A B se tee: o sea N B φ N N B A B - 5 -
VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode
Más detallesMatemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria
Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó
Más detallesINTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO
INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ARRERA: Igeería Electromecáca ASIGNATURA: DOENTES: Ig. Norberto laudo MAGGI Ig. Horaco Raúl DUARTE INGENIERÍA ELETROMEÁNIA INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ONEPTOS
Más detallesX = d representa la métrica (distancia) euclideana en R n, dada por: d T(X,Y) = X Y = 1.3 TOPOLOGÍA BÁSICA EN
0.3. Cojutos abertos y cerrados.3 TOPOLOGÍA BÁSICA EN R El espaco eucldeao dmesoal se defe como: E ( R,,, d ) Dode (asumedo que X, Y R, co X = (x,..., x ), Y = (y,..., y )): El símbolo represeta el producto
Más detalles6. ESTIMACIÓN PUNTUAL
Defcoes 6 ESTIMACIÓN PUNTUAL E la práctca, los parámetros de ua dstrbucó de probabldad se estma a partr de la muestra La fereca estadístca cosste e estmar los parámetros de ua dstrbucó; y e evaluar ua
Más detallesV Muestreo Estratificado
V Muestreo Estratfcado Dr. Jesús Mellado 10 Certas poblacoes que se desea muestrear, preseta grupos de elemetos co característcas dferetes, s los grupos so pleamete detfcables e su peculardad y e su tamaño,
Más detallesEscrito. 1) Transforma a las bases indicadas:
Escrto ) Trasforma a las bases dcadas: a. 765 base (0) b. AB base 7 0 (6) base ) Halla los dígtos a y b sabedo que: aam 6 ( 5 ) mam( 6 ) 3) Trasforma a la base dcada usado ua tabla de correspodeca.. 00
Más detallesLOS NÚMEROS COMPLEJOS
LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate
Más detallesÁLGEBRA II (LSI PI) TRANSFORMACIONES LINEALES UNIDAD Nº 5. Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO
2017 ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 5 RANSFORMACIONES LINEALES Facultad de Cecas Exactas y ecologías UNIERSIDAD NACIONAL DE SANIAGO DEL ESERO aa Error! No hay texto co el estlo especfcado e el documeto
Más detallesUna Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple
Ua Propuesta de Presetacó del Tema de Correlacó Smple Itroduccó Ua Coceptualzacó de la Correlacó Estadístca La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto Vsualzacó Gráfca de la Correlacó U Idcador de Asocacó:
Más detalles1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)
1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :
Más detallesMODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU
MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar
Más detallesLos principales métodos para la selección y valoración de inversiones se agrupan en dos modalidades: métodos estáticos y métodos dinámicos
Dreccó Facera Pág Sergo Alejadro Herado Westerhede, Igeero e Orgazacó Idustral 5. INTRODUCCIÓN Los prcpales métodos para la seleccó y valoracó de versoes se agrupa e dos modaldades: métodos estátcos y
Más detalles2. Calcular el interés que obtendremos al invertir 6.000 euros al 4% simple durante 2 años. Solución: 480 euros
. alcular el motate que obtedremos al captalzar 5. euros al 5% durate días (año cvl y comercal). Solucó: 5., euros (cvl); 5.,5 euros (comercal). 5. o ' 5,5 5,8 5,5 ' 5. 5.,5) 5,5) 5., 5.,5. alcular el
Más detallesx x x x x Y se seguía operando
. INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES UNIDAD : Números complejos Cuado se teta resolver ecuacoes de segudo grado como por ejemplo x 4x 0, se observa que o 4 6 5 4 6 tee solucoes reales x x, pues o exste raíces
Más detalles1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática
Ce.R.P. del Norte Rvera Julo de Departameto de Matemátca Notas para el curso de Fudametos de la Matemátca CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA. RECORDANDO CONCEPTOS: La cogrueca es ua relacó
Más detallesCÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula:
CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS I Meddas de localzacó Auque ua dstrbucó de frecuecas es certamete muy útl para teer ua dea global del comportameto de los datos, es geeralmete ecesaro
Más detallesINTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Lus Fraco Martí {lfraco@us.es} Elea Olmedo Ferádez {olmedo@us.es} Jua Mauel Valderas Jaramllo {valderas@us.es}
Más detallesMÉTODOS MATEMÁTICOS ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES 1. ESPACIOS LINEALES. x = x x L. ε es el elemento neutro de la ley del producto ( )
ÉTODOS ATEÁTICOS TEA 0: REPASO ÁLGEBRA ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES Profesora: ª Cruz Boscá ESPACIOS LINEALES Espaco leal L sobre u cuerpo (comutatvo) Λ U espaco leal (o vectoral) L sobre
Más detalles6.2.- Funciones cóncavas y convexas
C APÍTULO 6 PROGRAMACIÓN NO LINEAL 6..- Itroduccó a la Programacó No Leal E este tema vamos a cosderar la optmzacó de prolemas que o cumple las codcoes de lealdad, e e la fucó ojetvo, e e las restrccoes.
Más detalles5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras
Más detallesTEMA 11 OPERACIONES DE AMORTIZACION O PRESTAMO (II)
Dapotva Matemátca Facera TEMA OPERACIONES DE AMORTIZACION O PRESTAMO (II). Prétamo dcado 2. Prétamo co teree atcpado. Prétamo Alemá 3. Valor facero del prétamo. Uufructo y uda propedad Dapotva 2 Matemátca
Más detalles3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna
arte robabldad codcoal rof. María. tarell - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas rojas y blacas. summos que
Más detallesPROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS
PROBADO GRADORS D UMROS ALATORIOS s mportate asegurarse de que el geerador usado produzca ua secueca sufcetemete aleatora. Para esto se somete el geerador a pruebas estadístcas. S o pasa ua prueba, podemos
Más detalles(Feb03-1ª Sem) Problema (4 puntos). Se dispone de un semiconductor tipo P paralepipédico, cuya distribución de impurezas es
(Feb03-ª Sem) Problema (4 putos). Se dspoe de u semcoductor tpo P paraleppédco, cuya dstrbucó de mpurezas es ( x a) l = A 0 dode A y 0 so mpurezas/volume, l es u parámetro de logtud y a la poscó de ua
Más detallesEspacios con producto interior
Espacos co producto teror [Versó prelmar] Prof. Isabel Arrata Z. Algebra Leal E esta udad, todos los espacos ectorales será reales Sea V u espaco ectoral sobre. U producto teror (p..) e V es ua fucó
Más detallesIntensificación en Estadística
GRADO EN VETERINARIA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E IO 0-0 IV Curso Cero Itesfcacó e Estadístca Itroduccó a la fucó Sumatoro Itroduccó Cocepto de fucó sumatoro Aplcacoes Itroduccó Cocepto de fucó sumatoro
Más detallesProbabilidad ( A) Los axiomas de la probabilidad. φ = el conjunto vacío A B = A y no B C
Los axomas de la probabldad obabldad El prmer paso para descrbr la certdumbre es cosderar el cojuto de posbles resultados obtedos a partr de u expermeto aleatoro. Este cojuto es llamado espaco muestral
Más detallesTema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor
Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació
Más detallesde los vectores libres del plano. Recordemos que la operación de sumar vectores verificaba las siguientes propiedades: se cumple que u + v = v + u
FUNDAMENTOS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES ABSTRACTOS Prmeros ejemplos. Cosderemos el cojuto V de los vectores lbres del plao. Recordemos que la operacó de sumar vectores verfcaba las sguetes propedades:
Más detallesGradiente, divergencia y rotacional
Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para
Más detallesCAPÍTULO IV NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA 55 CAPÍTULO IV NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA 4. INTRODUCCIÓN Los úmeros Complejos costtuye el mímo cojuto C, e el que se puede resolver la ecuacó x a
Más detallesMÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MÉRIDA ESTADO MÉRIDA Admstracó de la Produccó y las Operacoes II Prof. Mguel Olveros MÉTODOS
Más detallesAPROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS
APROXIMACIÓN NUMÉRICA AL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE RECTÁNGULOS INSCRITOS Sugerecas para que mparte el curso Ha llegado el mometo e que es coveete resolver ejerccos aplcado
Más detalles1.1 INTRODUCCION & NOTACION
1. SIMULACIÓN DE SISEMAS DE COLAS Jorge Eduardo Ortz rvño Profesor Asocado Departameto de Igeería de Sstemas e Idustral Uversdad Nacoal de Colomba jeortzt@ual.edu.co 1.1 INRODUCCION & NOACION Clete Servdor
Más detallesEstadística Descriptiva
Estadístca Descrptva Poblacoes y muestras Varables. Tablas de frecuecas Meddas de: tedeca cetral-dspersó ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Tee por objetvo recoplar, orgazar y aalzar formacó referda a datos de u
Más detallesCALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II. Figura 1
TEMA (Últma modcacó 8-7-5 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II DERIVABILIDAD Recordemos el cocepto de dervadas para ucoes de ua varable depedete = (. Para lo cual ormamos el cremeto de la ucó = ( + - ( El
Más detallesTema 5: Equilibrio General Parte III OWC Economía para Matemáticos. Fernando Perera Tallo ttp://bit.ly/8l8ddu
y Tea 5: Equlbro Geeral Parte III OWC Ecooía para Mateátcos Ferado Perera Tallo ttp://bt.ly/8l8ddu Esteca de Equlbro Ferado Perera-Tallo A lo largo de esta presetacó os vaos a cocetrar e espacos Eucldos,
Más detallesPráctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:
PRÁCTICA SUMAS DE RIEMAN Práctcas Matlab Práctca Objetvos Calcular tegrales defdas de forma aproxmada, utlzado sumas de Rema. Profudzar e la compresó del cocepto de tegracó. Comados de Matlab t Calcula
Más detallesTEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS
Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 1 TEMA 1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 1.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS UTILIZACIÓN DE
Más detalleswww.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com
Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la
Más detalles. Si vamos calculando así las potencias n-ésimas de la unidad imaginaria, descubriremos que son cíclicas y que cada 4 términos se repiten: ( )
Los úmeros complejos surje a ra de ecuacoes de la forma x + 0 Exste u certo paralelsmo etre este cuerpo el plao, cocretamete, lo que ha es ua correspodeca buívoca, es decr, ua relacó bectva etre C R R
Más detallesI. ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE UN CONJUNTO DE DATOS
Estadístca Tema. Seres Estadístcas. Dstrbucoes de frecuecas. Pág. I. ANÁLISIS DESCIPTIVO DE UN CONJUNTO DE DATOS Seres Estadístcas. Dstrbucoes de frecuecas.. Defcó de Estadístca... Coceptos geerales...2
Más detallesTeoría Simplificada de ERRORES Suscriben este documento los coordinadores de Laboratorio de Química, Física I y Física II.
Teoría Smplfcada de ERRORES Suscrbe este documeto los coordadores de Laboratoro de Químca, Físca I y Físca II. Defcoes Báscas: -Error absoluto (o error): Itervalo xe dode co máxma probabldad se ecuetra
Más detallesNúmeros Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES
Repaso de º de Bachllerato Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES. Qué es la udad magara? Es u elemeto del que coocemos úcamete su cuadrado:.obvamete, o se trata de u úmero real.. Qué es u úmero complejo?
Más detallesESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS:
SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS: Teorema S G={v, v,, v } es u sstema fto de geeradores de u subespaco S V K-EV, etoces G`= {v, v,, v,w} sedo w combacó leal de vectores de G, també geera a S. Demostracó
Más detallesGestión de operaciones
Gestó de operacoes Modelado de restrccoes co varables baras Modelado de programacó o leal Pedro Sáchez pedro.sachez@upcomllas.es Cotedo Restrccoes especales Restrccoes lógcas Productos de varables Modelos
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Probabldad y Estadístca Meddas de tedeca Cetral MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E la udad ateror se ha agrupado la ormacó y además se ha dado ua descrpcó de la terpretacó de la ormacó, s embargo e ocasoes
Más detallesGENERALIDADES SOBRE MÓDULOS
GENERALIDADES SOBRE MÓDULOS Presetar el Z -módulo Z como cocete de u Z -módulo lbre Hacer lo msmo para el grupo de Kle Calcular los auladores de los sguetes módulos: a) El Z -módulo Z Z 6 b) El Z -módulo
Más detallesTEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado
Más detallesConceptos y ejemplos básicos de Programación Dinámica
Coceptos y eemplos báscos de Programacó Dámca Wlso Julá Rodríguez Roas ularodrguez@hotmal.com Trabao de Grado para Optar por el Título de Matemátco Drector: Pervys Regfo Regfo Igeero Uversdad Nacoal de
Más detallesAnálisis Numérico y Programación. Unidad III. -Interpolación mediante trazadores: Lineales, cuadráticos y cúbicos
Aálss Numérco y Programacó Udad III -Iterpolacó medate trazadores: Leales, cuadrátcos y cúbcos Prmavera 9 Aálss Numérco y Programacó Coceptos geerales Problema geeral: Se tee u cojuto dscreto de valores
Más detallesDistribución conjunta de variables aleatorias
FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Dstrbucó cojuta de varables aleatoras E uchos probleas práctcos, e el so expereto aleatoro, teresa estudar o sólo ua varable aleatora so
Más detallesANÁLISIS DE DATOS CUALITATIVOS. José Vicéns Otero Eva Medina Moral
ÁLISIS D DTOS CULITTIVOS José Vcés Otero va Meda Moral ero 005 . COSTRUCCIÓ D U TL D COTIGCI Para aalzar la relacó de depedeca o depedeca etre dos varables cualtatvas omales o actores, es ecesaro estudar
Más detallesAlgunas Recomendaciones para la Enseñanza de la Estadística Descriptiva o Análisis de Datos
Alguas Recomedacoes para la Eseñaza de la Estadístca Descrptva o Aálss de Datos Itroduccó Elemetos Báscos para Aplcar Estadístca Descrptva La Estadístca Descrptva o Formula Iferecas La Estadístca Descrptva
Más detallesFórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)
Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio
Más detallesANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.)
ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS OOS. (Resolució por JMEB.) 1. Defiició. El problema cosiste e calcular la catidad de cocos que había iicialmete e u motó que... ierto día se reuiero moos para recoger
Más detallesSOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso
Más detallesMatemáticas Discretas
Coordacó de Cecas Computacoales - INAOE Matemátcas Dscretas Cursos Propedéutcos 0 Cecas Computacoales INAOE Dr. Erque Muñoz de Cote jemc@aoep.m http://ccc.aoep.m/~jemc Ofca 80 Dapostvas basadas e prevas
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES NO INEAES Capítulo 7 Sstemas de ecuacoes o leales c Elzabeth Vargas 7 INTRODUCCIÓN os métodos teratvos para resolver ua ecuacó o leal se puede eteder para ecotrar la solucó de u
Más detalles-Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida
-Métodos Estadístcos e Cecas de la Vda Regresó Leal mple Regresó leal smple El aálss de regresó srve para predecr ua medda e fucó de otra medda (o varas). Y = Varable depedete predcha explcada X = Varable
Más detalles1.3. Longitud de arco.
.. Logtud de arco. Defcó. Sea C ua curva suave defda paramétrcamete por la fucó vectoral f : R R / f () t = ( f() t, f() t,, f ( t) ) e el espaco R, co t [ a, b], que se recorre exactamete ua vez cuado
Más detallesEstudio de eventos extremos enfocado a seguros y finanzas
Cuestoes Ecoómcas Vol. 0 No :3004 Estudo de evetos extremos efocado a seguros y fazas KLEVER MEJÍA ADRIANA UQUILLAS * Resume Muchos campos de la ceca modera y la geería tee que ldar co evetos que so poco
Más detallesPARTE 2 - ESTADISTICA. Parte 2 Estadística Descriptiva. 7. 1 Introducción
Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell PARTE - ESTADISTICA 7- Estadístca Descrptva 7. Itroduccó El campo de la estadístca tee que ver co la recoplacó, orgazacó, aálss y uso de datos para tomar
Más detallesGuía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores
Laboratoro de Físca Prmer curso de Químca Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores Medda y Error Aquellas propedades de la matera que so susceptbles de ser meddas se llama magtudes;
Más detallesSolución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004
Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos
Más detallesA = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.
. POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes
Más detallesTransformada Z. Definición y Propiedades Transformada Inversa Función de Transferencia Discreta Análisis de Sistemas
5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Trasformada Z Defcó y Propedades Trasformada Iversa Fucó de Trasfereca Dscreta Aálss de Sstemas 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z Defcó y Propedades 5º Curso-Tratameto Dgtal
Más detallesn p(a ) = n p(a ) = n k Nº de casos favorables de A Nº de casos posibles de E p(a) = Capítulo PROBABILIDAD 1. Introducción
Capítulo VII PROBABILIDAD 1. Itroduccó Se dcaba e el capítulo ateror que cuado u expermeto aleatoro se repte u gra úmero de veces, los posbles resultados tede a presetarse u úmero muy parecdo de veces,
Más detallesESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA A DE COMPUTADORES
Uversdad Rey Jua Carlos ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA A DE COMPUTADORES Lus Rcó Córcoles Lceso J. Rodríguez-Aragó Programa. Itroduccó. 2. Defcó de redmeto. 3. Meddas para evaluar el redmeto. 4. Programas para
Más detallesLey de los números grandes
Capítulo 2 Ley de los úmeros grades 2.. La ley débil de los úmeros grades Los juegos de azar, basa su sistema de gaacias, fudametalmete e la estabilidad a largo plazo garatizada por las leyes de la probabilidad.
Más detallesComportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo II. Introducción al análisis tensorial. Tensores. x 3 A 3. Figura 1. Componentes de un vector.
Comportameto Mecáco de Sóldos Capítulo II. Itroduccó al aálss tesoral. Itroduccó al aálss tesoral esores Es aquella catdad físca que después de ua trasformacó de coordeadas (que obedezca certas reglas),
Más detallesTEMA 1 PROBABILIDAD 1/10. Ejemplos : E y E
wwwovauedes/webpages/ilde/web/dexhtm e-mal: mozas@elxuedes TEMA PROAILIDAD SUCESOS Exste feómeos o expermetos que, repetdos e détcas codcoes, sempre proporcoa el msmo resultado, a los que llamaremos determstas,
Más detallesExistencia. donde R(a) = {b B / (a, b) R} y R 1 denota la relación inversa de R. ({a} R(a)) y esta unión es disjunta entonces se tiene
Existecia. El pricipio de los casilleros. Si queremos colocar 3 bolillas e cajas, es evidete que e algua caja deberemos colocar al meos dos bolillas. Lo mismo ocurre si e lugar de 3 bolillas tuviésemos
Más detallesEl estudio de autovalores y autovectores (o valores y vectores propios) de matrices
Tema V DIAGONALIZACIÓN POR TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA Objetvos Presetar los coceptos de autovalor y autovector, los cuales tee gra mportaca e las aplcacoes práctcas (tato es así, que podría decrse que
Más detallesVARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES.
CONTENIDOS. VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. Itroduccó a la Estadístca descrptva. Termología básca: poblacó, muestra, dvduo, carácter. Varable estadístca: dscretas y cotuas. Orgazacó de datos.
Más detallesESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Fracsco Álvarez Gozález fracsco.alvarez@uca.es Bajo el térmo Estadístca Descrptva se egloba las téccas que os permtrá
Más detallesPARTE 1 - PROBABILIDAD
arte - robabldad rof. María. tarell RTE - ROILIDD - robabldad. - Espacos muestrales y evetos. La Teoría de robabldades estuda los llamados expermetos aleatoros. Ejemplos cláscos de expermetos aleatoros
Más detallesRENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1
RENTILIDD Y RIESGO DE CRTERS Y CTIVOS TEM 3- I FUNTMENTOS DE DIRECCIÓN FINNCIER Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I RIESGO y RENTILIDD ( decsoes de versó productvas) EXISTENCI DE RIESGO ( los FNC
Más detallesESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD C. MEDIDAS DE FORMA RESUMEN: A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL So estadígrafos de poscó que so terpretados como valores
Más detallesCURSO REDES ELECTRICAS II 1 CAPITULO 4
CURSO REDES ELECTRICAS II FLUJO DE CARGAS. Itroduccó: CAPITULO 4 Los estudos de cargas tee ua eorme mportaca e la plafcacó de las amplacoes de u sstema de eergía, así como e la determacó del fucoameto
Más detallesTema 60. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS: CÁLCULO, PROPIEDADES Y SIGNIFICADO.
Tema 60.Parámetros estadístcos. Calculo propedades y sgfcado Tema 60. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS: CÁLCULO, PROPIEDADES Y SIGIFICADO.. Itroduccó. Defcó de estadístca. Estadístca descrptva y estadístca ferecal.
Más detallesCÁLCULO DEL ANCHO DE BANDA EFECTIVO PARA UN FLUJO MARKOVIANO CON TASAS DE TRANSFERENCIA CONTINUAS
CÁLCULO DEL ANCHO DE BANDA EFECTIVO PARA UN FLUJO MARKOVIANO CON TASAS DE TRANSFERENCIA CONTINUAS Beatrz Marró Uversdad Nacoal del Sur, beatrz.marro@us.edu.ar Resume: El objetvo de este trabajo es geeralzar
Más detallesInferencia Estadística
Ifereca Estadístca Poblacó y muestra Coceptos y defcoes Muestra Aleatora Smple (MAS) Cosderemos ua poblacó, cuya fucó de dstrbucó esta dada por F(), la cual está costtuda por u úmero fto de posbles valores,
Más detallesMEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Educagua.com MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ Las meddas de cetralzacó so estadístcos que releja algú valor global de la sere estadístca. Las prcpales meddas de cetralzacó so: Meda artmétca smple. Meda artmétca
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
GUÍA DE EJERCICIOS ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Área Matemátcas- Aálss Estadístco Módulo Básco de Igeería (MBI) Resultados de apredzaje Apreder el correcto uso de la calculadora cetífca e modo estadístco, además
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA TERCERA: APLICACIÓN DEL CALCULO MERCANTIL Y FINANCIERO A LAS OPERACIONES BANCARIAS
Coceptos (cotedos soporte) Udad de trabajo sexta: Geeraldades. Retas auales costates. Retas costates fraccoadas. Retas varables. Udad de trabajo séptma Geeraldades. mortzacó de u préstamo por el sstema
Más detallesMC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009
1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2
Más detallesSupongamos que hemos aplicado el test F y hemos rechazado la H0.
Comparacó de medas tomadas de a pares CONDICION Meda s --------- ---------- ------ ---------- 0.00 3.0000 0.00 3.73 3 97.00 3.0000 4 93.00.44 TOTAL 98.73.6036 Supogamos que hemos aplcado el test F y hemos
Más detallesAnálisis estadístico de datos muestrales
Aálss estadístco de datos muestrales M. e A. Víctor D. Plla Morá Facultad de Igeería, UNAM Resume Represetacó de los datos de ua muestra: tablas de frecuecas, frecuecas relatvas y frecuecas relatvas acumuladas.
Más detalles2.5. Área de una superficie.
.5. Área de ua superfce. Sea g ua fucó co prmeras dervadas parcales cotuas, tal que z g( x y), 0 e toda la regó D del plao xy. Sea S la parte de la gráfca de g cuya proyeccó e el plao xy es como se lustra
Más detallesOrden de la tirada. Figura 1: Frecuencia relativa de cara para una sucesión de 400 tiradas.
Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 99. Teoremas límte Frecueca Relatva 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9.0 0 00 00 300 400 Orde de la trada Fgura : Frecueca relatva de cara para ua sucesó de 400 tradas. La fgura muestra
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemática Álgebra lineal
GUÍA DE EJERCICIOS Área Matemátca Álgebra leal Resultados de apredzaje. Recoocer exsteca de subespaco vectoral. Cotedos 1. Espacos vectorales. 2. Subespacos vectorales. Debo saber Se debe recordar que
Más detallesERRORES EN LAS MEDIDAS (Conceptos elementales)
ERRORES E LAS MEDIDAS (Coceptos elemetales). Medda y tpos de errores ormalmete, al realzar varas meddas de ua magtud físca, se obtee e ellas valores dferetes. E muchas ocasoes, esta dfereca se debe a causas
Más detallesIntroducción a la Programación Lineal
Itroduccó a la Programacó Leal Clauda Llaa Daza Garzó cldaza@uversa.et.co Trabajo de Grado para Optar por el Título de Matemátco Drector: Pervys Rego Rego Igeero Uversdad Nacoal de Colomba Fudacó Uverstara
Más detallesLa inferencia estadística es primordialmente de naturaleza
VI. Ifereca estadístca Ifereca Estadístca La fereca estadístca es prmordalmete de aturaleza ductva y llega a geeralzar respecto de las característcas de ua poblacó valédose de observacoes empírcas de la
Más detallesJuegos finitos n-personales como juegos de negociación
Juegos ftos -persoales como uegos de egocacó A.M.Mármol L.Moro V. Rubales Departameto de Ecoomía Aplcada III. Uversdad de Sevlla. Avd. Ramó Caal.. 0-Sevlla. vrubales@us.es Resume Los uegos -persoales ftos
Más detallesCapítulo 2. Operadores
Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática
Más detallesExperimento determinístico. Aquellos que dan lugar al mismo resultado siempre que se realicen bj bajo las mismas condiciones.
Tema 3. Espacos de Probabldad. Defcó axomátca y propedades báscas de la Probabldad 3.. Itroduccó. Feómeos y expermetos aleatoros. Álgebra de sucesos E este tema se establece ls ocoes báscas para el desarrollo
Más detallesEstructuras Algebraicas
Uversdad de los des Faultad de Ceas Eoómas y Soales Esuela de Estadísta Estruturas lgebraas Prof. Gudberto José Leó Ragel MÉRID, 2015 1 Profesor Gudberto Leó Teoría Estadísta I Uversdad de Los des - Faultad
Más detalles