El estudio de autovalores y autovectores (o valores y vectores propios) de matrices

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1 Tema V DIAGONALIZACIÓN POR TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA Objetvos Presetar los coceptos de autovalor y autovector, los cuales tee gra mportaca e las aplcacoes práctcas (tato es así, que podría decrse que los autovalores so los rasgos más mportates de práctcamete cualquer sstema dámco). Aalzar el problema de dagoalzacó de ua matrz cuadrada medate ua trasformacó de semejza. V.. INTRODUCCIÓN El estudo de autovalores y autovectores (o valores y vectores propos) de matrces cuadradas y de edomorfsmos es de fudametal mportaca e matemátca aplcada. Debdo a que todo edomorfsmo se puede represetar medate matrces cuadradas, y que dada ua matrz cuadrada se puede terpretar como u edomorfsmo sobre u espaco vectoral fjada ua base, podemos restrgr uestro estudo a autovalores y autovectores de matrces cuadradas, dado que este estudo se puede exteder a los edomorfsmos represetados por éstas. Sea f u edomorfsmo defdo e u espaco vectoral E de dmesó fta. Sea A la matrz cuadrada de orde que represeta este edomorfsmo e ua base dada B E. Como se ha vsto e el Tema IV, s se cosdera otra base B E, el edomorfsmo vedrá represetado por ua matrz A semejate a A: A =P - A P, sedo P la matrz de paso Pága 5

2 de B E a B E. De forma esquemátca E este tema se platea el problema de ecotrar (s es posble) ua base e la que la represetacó del edomorfsmo sea lo más smple posble. E térmos matrcales el problema se traduce e ecotrar la matrz más seclla posble que sea semejate a A, así como la matrz de paso correspodete. Es evdete que cuato más seclla sea la estructura de ua matrz, más fácl será obteer formacó acerca del edomorfsmo al que represeta. Etre las matrces más secllas está las dagoales, las cuales os ofrece muchas facldades de cálculo. Defcó. Se dce que la matrz AœE x (K) es dagoalzable (o que el correspodete edomorfsmo f es dagoalzable) s exste ua matrz D que sea dagoal y semejate a A. E el proceso de reduccó de la matrz A por semejaza a ua matrz "más seclla, hay que teer e cueta s K es el cuerpo R de los úmeros reales o el cuerpo C de los úmeros complejos, pues la aturaleza del cuerpo de escalares fluye otablemete e el proceso, como se comprobará más adelate. Pága 5

3 V.. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES: DEFINICIÓN, CÁLCULO Y PROPIEDADES V... Defcó Ejemplo (troduccó a los autovalores y autovectores) E el espaco vectoral E = V, se cosdera el edomorfsmo: f : V V x f ( x) = Smétrco de x respecto del eje OX Expresado e forma aalítca (medate los correspodetes vectores coordeados e la base caóca de V ) f : V V x x x = f ( x) = x -x Estamos teresados e vectores x y e escalares que verfca la gualdad f ( x) = x () Se observa que todos los vectores x de V stuados sobre el eje OX cumple f(x) = x, y todos los vectores x de V stuados sobre el eje OY satsface f(x) = - x. E uestro ejemplo los dos úcos escalares que verfca la gualdad () so = y =-. Los vectores x correspodetes so respectvamete todos los stuados e los ejes coordeados de abscsas y de ordeadas. Defcó. Sea A E ( K), ( KR o C ), matrz asocada a u edomorfsmo x f : F F e ua certa base de F. Los autovalores o valores propos de la matrz A (o del edomorfsmo f) so los escalares K para los que exste u vector o ulo, x K, tal que A x = x ( Es decr, f ( x) = x ) Pága 53

4 S es autovalor de A, los vectores x K ( x 0 ) tales que A x = x, se llama autovectores o vectores propos de A (o de f) asocados a ; estos autovectores (juto co el vector ulo) forma u subespaco vectoral V( ) = { x K / A x = x } deomado subespaco propo de A asocado al autovalor. Ejemplo Cosderemos el espaco vectoral de los vectores geométrcos del plao, V, y e él defmos la trasformacó leal: f : V V x f ( x) = Smétrco de x respecto de la recta r x=y Se observa fáclmete e la gráfca que: ) x V stuado e r x = y sedo x 0 f ( x ) = x = es autovalor de f, y todos los vectores x stuados e la recta r so autovectores de f asocados a. Al ser > 0, f(x) tee el msmo setdo que x ) x V stuado e r y = x sedo x 0 f ( x ) = x Pága 54

5 = es autovalor de f y todos los vectores x stuados sobre la recta y=-x so autovectores de f asocados a. Como < 0, f(x) tee setdo opuesto a x. E ambos casos = >, por lo que se dce que f dlata x. Ua vez realzados alguos ejemplos geométrcos de cálculo de autovalores y autovectores, procederemos a presetar su cálculo aalítco. V... Cálculo de autovalores y autovectores La ecuacó Ax=x que srve para defr los autovalores y autovectores se puede escrbr como (A-Ι)x = 0, co lo que los autovectores, s exste, so los vectores solucó de dcho sstema homogéeo. Sabemos que este sstema tee solucoes dsttas de la trval ula s y sólo s la matrz (A-Ι) es sgular, lo cual ocurre s y sólo s el determate de A-Ι es gual a cero: A-Ι = 0. Así, podemos prmero ecotrar los autovalores de A, es decr aquellos valores œk que hace A-Ι = 0 y, a cotuacó, los subespacos propos V(), para lo que deberá resolverse el sstema Ax = x, o equvaletemete (A-Ι)x = 0, para cada valor propo. Estudemos prevamete la aturaleza de la expresó A-Ι. Defcó. Se llama polomo característco de ua matrz cuadrada A, de orde, defda sobre K, al polomo p A ()= A-Ι, que es u polomo co coefcetes e K y de grado e la varable. La ecuacó p A ()=0 se llama ecuacó característca de A. Podemos decr por lo tato que K (R o C) es autovalor de A M x (K) s y sólo s es raíz del polomo característco (o equvaletemete, solucó de la ecuacó característca) y está e K. Por el Teorema Fudametal del Álgebra, todo polomo de orde posee exactamete raíces (etre reales y complejas). Por lo tato, s K es el cuerpo C de los úmeros complejos etoces A posee exactamete autovalores, sedo el orde de la matrz. Por otro lado, s K es el cuerpo R de los úmeros Pága 55

6 reales, el polomo característco de A tedrá també raíces, pero quzás alguas sea complejas, por lo que decmos que A posee a lo sumo autovalores (e ambos casos cosderado las multplcdades de las solucoes de la ecuacó característca). Ejemplo 0 - A= 0 Su polomo característco es p A ( ) = +, que o se aula para gú valor real. Luego, la matrz A cosderada ua matrz real, o tee valores propos. Pero s se cosdera A como ua matrz sobre el cuerpo de los úmeros complejos, sus valores propos so + y. Puede demostrarse que la expresó geeral del polomo característco de ua matrz A M x (K) es la sguete: - p ( ) ( ) ( ) ( ) A = A I = Traza A + + A = - ( ) ( ) + = + Traza( A) + + A () dode se observa que el coefcete de - cocde co la traza de A (afectada del sgo correspodete) y el térmo depedete co el valor del determate de A. Además, puede també demostrarse que: Traza(A)= A = Demostracó (opcoal). S A tee autovalores (,,, ) (o tee por qué ser dsttos) podemos factorazar el polomo característco de la sguete maera: p ( ) = (-) ( )( ) ( ) = A Pága 56

7 - = ( ) ( ) + + ( ) () Esta fórmula debe cocdr co la expresó () vsta aterormete = p A ( ) ( ) Traza(A) ( ) A por lo que, comparado coefcetes e () y (), e cocreto el coefcete de - y el térmo depedete, se deduce las propedades aterores. Traza(A)= A = Ejemplo S e el últmo ejemplo geométrco del apartado ateror procedemos aalítcamete, veremos que se obtee el msmo resultado. La expresó geeral de la trasformacó leal del ejemplo ateror, cosderado e V la base caóca B, es: f : V V x z = x x f ( z)= x Por tato la expresó matrcal de f e la base caóca B, es: Pága 57

8 y 0 x = y 0 x luego su matrz asocada e la base B de V es: 0 A = 0 Los autovalores de A (o de f) so las solucoes de la ecuacó característca de A: p A I A( ) = = 0 = = 4 = 0 = = Los subespacos propos asocados so, respectvamete: x x x V ( )= x = V / A = = x x x x x 0 x - x 0 = x = V /( A - I ) = = x = V / = = x x 0 x - x 0 x = x = V /- x + x = 0 x = x x x V ( )= x = V / x R = x V / x está stuado sobre r x { } x x x V ( )= x = V / A = = x x x x x 0 x x 0 = x = V /( A - I) = = x = V / = = x x 0 x x 0 Pága 58

9 x = x = V / x + x = 0 x = x x x V ( )= = x = V / x R = x V / x está stuado sobre r ' -x { } Obsérvese que los autovalores de A verfca las dos sguetes propedades eucadas aterormete Traza(A) = 0 = + Det(A) = -4 = Los autovalores puede ser repetdos o o, lo que da lugar a las sguetes defcoes. Defcó. Se llama multplcdad algebraca, m, de u autovalor a la multplcdad de como raíz de la ecuacó característca de la matrz A, es decr, el úmero de veces que se repte como raíz de dcha ecuacó. Ejemplo Sea la matrz A = Fáclmete se obtee que el polomo característco de A es A 3 =. p ( ) ( 7) ( 4) Luego, los valores propos de A so: =7, de multplcdad algebraca m = =4, de multplcdad algebraca m =3 Defcó. Se llama multplcdad geométrca, µ, de u autovalor, a la dmesó del Pága 59

10 subespaco propo asocado a él, dm(v( )). Puede demostrarse que µ m. Además, puesto que las ecuacoes cartesaas del subespaco V( ) vee dadas por el sstema ( A I ) de K es - x = 0, y teedo e cueta que la dmesó de u subespaco S dm(s)=-º de ecs. cartesaas lealmete depedetes se cumple que ( ) µ = dm V ( ) = - Rago A - I Ejemplo Calcular los valores propos y vectores propos de la matrz A = 3. Solucó: El polomo característco de A es: p A I 3 A( ) = - = 3 = = ( ) ( 5) Por tato, los valores propos de A so: = (raíz doble o co multplcdad algebraca m =) y =5 (raíz smple, m =) Calculemos a cotuacó los vectores propos. Para = los vectores propos satsface la ecuacó matrcal ( ) = 0 A I x, es decr Pága 60

11 x 0 x + x + x3 = 0 = ( A I ) x = 0 x = 0 x + x + x = 0 x = x x x 3 0 x + x + x3 = µ = dm V () = Rago( A I) = 3 = Por tato el subespaco propo asocado a = es: -x - x = = K x V() x K / x x, x, x3 sedo ua base de vectores propos de V() la formada por los vectores, 0 0 es decr, µ =Dm(V( ))=. Para =5, los vectores propos so las solucoes del sstema ( A 5I ) x =0, es decr: 3 x 0 3x + x + x3 = 0 x = x = 5 ( A 5I ) x = 0 x = 0 x x + x3 = 0 x x 3 x 3 0 = x + x 3x3 = 0 3 de dode el subespaco propo asocado a =5 es: x 3 V (5) = x K / x = x, x K x Luego la base de vectores propos del subespaco V(5) está formada por el vector Pága 6

12 y µ =Dm(V( ))= Veamos a cotuacó alguas propedades relacoadas co los autovalores y los autovectores. V..3. Propedades Proposcó. U autovector de ua matrz cuadrada está asocado a u úco autovalor. Demostracó. Sea x K, y dstto del vector ulo, autovector de A x M ( K ) asocado al autovalor K, es decr, Ax = x Supogamos que x també está asocado al autovalor µ K. Etoces A x = µ x Restado ambas ecuacoes se obtee que ( µ ) x = 0 como x 0, ecesaramete = µ y de ahí que el autovalor es úco. Proposcó. S A es ua matrz cuadrada de orde defda sobre K, tragular (superor o feror) etoces sus autovalores so los elemetos de la dagoal prcpal. Demostracó. Sea A ua matrz tragular superor: A a a a 0 a a 0 0 a = Pága 6

13 Para hallar sus autovalores se platea su ecuacó característca (que al tratarse del determate de ua matrz tragular es gual al producto de los elemetos de la dagoal prcpal): A I a a a = 0 = ( )( ) ( ) sedo las solucoes de esta ecuacó = a, = a,, = a Proposcó. Los autovectores de ua matrz cuadrada de orde asocados a autovalores dsttos, so lealmete depedetes. Opcoal: Cosecueca de esta proposcó es que los subespacos propos asocados a autovalores dsttos so dsjutos, es decr, V V { } y autovalores dsttos de A. j ( ) ( ) = 0, sedo j j Proposcó. Las matrces semejates tee el msmo polomo característco y los msmos autovalores. Demostracó. S exste ua matrz P regular tal que - B = P A P, se cumple que: = = ( ) = = B I P A P P P P A I P P A I P A I Es decr, los polomos característcos de A y B so guales. Dado que los autovalores so las raíces de la ecuacó característca, queda demostrada la proposcó. Ua clase partcular de matrces la costtuye aquéllas que so semejates a ua matrz dagoal, e cuyo caso se dce que so dagoalzables. A cotuacó vamos a caracterzar las matrces que so dagoalzables por semejaza. V.3. DIAGONALIZACIÓN POR SEMEJANZA Proposcó. Sea A M ( K ). Ua codcó ecesara de dagoalzacó de la x matrz A es que A posea exactamete autovalores. Demostracó (opcoal). S A es dagoalzable etoces es semejate a ua matrz dagoal D. Los autovalores de A y de D cocde, por semejaza. Sedo los Pága 63

14 autovalores de D e total (los elemetos de su dagoal prcpal) també A tedrá e total autovalores (los msmos que D). Teorema (ua codcó ecesara y sufcete de dagoalzacó). Ua matrz A M ( K ) es dagoalzable s y sólo s tee autovectores lealmete x depedetes. Observacoes: - S A es dagoalzable, la matrz dagoal semejate a A es D = , sedo,,, los autovalores de A (dsttos o o). La matrz P que defe la semejaza es la que tee por columas los vectores de las bases de los respectvos subespacos propos de A. - Cuado A es dagoalzable el cojuto de autovectores lealmete depedetes formaua base de eucar de la sguete maera: Ua matrz exste ua base de K, co lo cual el teorema ateror se puede A M ( K ) es dagoalzable s y solo s x K formada por autovectores de A. Demostracó (opcoal). ) Sea los autovectores de A lealmete depedetes: x x x x x x x ; ; ; = x = = x x x x Etoces se verfca : A x = =,,, x ; co lo que las gualdades se puede escrbr matrcalmete de la forma: Pága 64

15 x x x x x x A( ) = A x x x = ( x x x ) = x x x x x x 0 0 x x x 0 0 = ( ) = x x x x x x 0 0 Lo cual se expresa abrevadamete de la forma AP=PD, sedo P la matrz cuyas columas so los autovectores de A, y D la matrz dagoal formada por los autovalores. Claramete P es regular ya que sus columas so autovectores de A lealmete depedetes. Luego - D = P A P es decr A es dagoalzable. ) Recíprocamete, supogamos que A es dagoalzable. Etoces se puede ecotrar ua matrz regular P tal que ua matrz dagoal. O equvaletemete A P=P D () S se escrbe P por columas como P = ( ) A = x =,,, x, dode - P A P = D sedo D x x x se deduce de () que es el -ésmo elemeto de la dagoal prcpal de D. Luego las columas de P so los autovectores de A, que será lealmete depedetes ya que P es regular. Ejemplo Dagoalzar la matrz A( R ) = 0 - ^ - - Solucó. Comezamos calculado los valores propos de la matrz A, así como los correspodetes subespacos propos. El polomo característco de la matrz A es Pága 65

16 A p ( ) = A I = - - = ( ) - -- Por tato, las raíces de la ecuacó característca so = co multplcdad algebraca m = y = 0 co multplcdad algebraca m =. Calcularemos a cotuacó los vectores propos. Para =, los vectores propos satsface la ecuacó matrcal ( A - I ) x = 0, es decr x 0 x x x3 = 0 x = 0 x x x = 0 x = x x x 3 0 x x x3 = Por tato, el subespaco propo asocado a = es: x 3 V () = x R / x = x x3, x, x3 R x 3 Sedo ua base de V() la formada por los vectores 0, - 0. Para = 0, los vectores propos so las solucoes del sstema A x = 0, es decr 3 x 0 3x x x = 0 3 x = x 0 x = 0 x x3 = 0 x3 = x x 3 0 x x x3 = 0 De dode el subespaco propo asocado a = 0 es x 3 V (0) = x R / x = x, x R x Pága 66

17 Luego ua base de vectores propos del subespaco V(0) es. Ya se ha vsto que los autovectores de ua matrz cuadrada de orde asocados a autovalores dsttos so lealmete depedetes. Luego, los vectores 0 x =, x = -, x 3 = 0 so lealmete depedetes. Por tato exste ua base de autovectores de A, por lo que la matrz A M 3 x 3( R ) es dagoalzable: 3 R formada por y / - D P D = P A P : 0 P = 0 y 0 0 D = El orde de las columas de P está e fucó del orde de colocacó de los valores propos e D, ya que se tee que cumplr que A ( x x x ) ( x x x ) = D 3 3 Notas: a) Segú puede observarse e este ejercco, dada la matrz dagoal D, la matrz P formada por vectores propos o es úca. b) Al ser 0 = valor propo de A, V (0) Ker f { 0} =, luego el edomorfsmo f asocado a la matrz A o es yectvo, y por tato (por ser edomorfsmo) tampoco es sobreyectvo. c) Se puede comprobar e este ejemplo que, efectvamete, la multplcdad geométrca µ de u autovalor uca es mayor que la multplcdad algebraca de dcho autovalor, es decr µ m. Por últmo, se va a ver otra caracterzacó de las matrces dagoalzables e fucó Pága 67

18 de la multplcdad de las raíces de la ecuacó característca. Teorema. Sea A M ( K ) co autovalores repetdos o o. A es dagoalzable s y x sólo s la multplcdad algebraca de cada autovalor K de A cocde co la multplcdad geométrca de dcho autovalor (es decr, co la dmesó del subespaco propo correspodete) m = µ Demostracó. Sea,,, s, los dsttos autovalores de A, co multplcdades algebracas m, m,, ms respectvamete, tales que: m + m + + ms =. Hemos vsto que la multplcdad geométrca de cada autovalor uca puede ser mayor que la algebraca, es decr: µ, µ,, µ s s por lo que µ µ µ s La gualdad se obtee s y sólo s µ = m =,,, s Lo que equvale a la dagoalzacó de A, ya que e este caso y solo e él se logra ua base de K formada por autovectores de A, uedo bases de los subespacos propos correspodetes. Ejemplo E el ejemplo resuelto aterormete, la matrz A( R) = 0 - -, teía los - - sguetes valores propos: =, co multplcdad algebraca m = y geométrca µ = ; y Pága 68

19 = 0, de multplcdad algebraca m = y geométrca µ =. Por tato, m = µ = y m = µ =, co lo cual A es dagoalzable. Como corolaro a este Teorema se establece la codcó sufcete de dagoalzacó. Corolaro. S ua matrz A M ( K ) tee autovalores dsttos, etoces es x dagoalzable.. V.4. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS REALES POR SEMEJANZA ORTOGONAL Las matrces smétrcas reales aparece e umerosos problemas e relacó co el estudo de la dámca de sstemas físcos. Así por ejemplo, catdades como la eergía cétca y la potecal se represeta a través de ellas. Teorema. Toda matrz smétrca real de orde tee autovalores (es decr, cumple la codcó ecesara de dagoalzacó). Teorema. Autovectores asocados a autovalores dsttos de ua matrz smétrca real so ortogoales. Defcó. Se dce que ua matrz A es dagoalzable ortogoalmete s es semejate a ua matrz dagoal por medo de ua matrz ortogoal; es decr, s exste ua matrz P ortogoal tal que t - P AP P AP D = =. Teorema. Toda matrz smétrca real puede dagoalzarse ortogoalmete. Ejemplo Dagoalzar la matrz smétrca real 0 - A = Solucó. Pága 69

20 El polomo característco es p A I A( ) = = = ( ) ( + ) Por tato, los valores propos de A so = co multplcdad algebraca m = y =. =, los vectores propos so las solucoes del sstema ( A I ) Para x = 0, es decr x 0 x = 0 x x + x3 = 0 x 0 3 Por tato el subespaco propo asocado a = es: x 3 V () = x R / x = x + x3, x, x3 R x 3 Sedo ua base de V(): 0 u = u = 0 µ = dm V( ) =. Se cumple que µ = m, lo que e matrces smétrcas reales está asegurado, ya que so sempre dagoalzables. =, los vectores propos so las solucoes del sstema ( A I ) Para decr + x = 0, es x 0 x = x x = 0 x = x x De dode el subespaco propo asocado a = es: Pága 70

21 x 3 V ( ) = x R / x = x, x R x Luego ua base del subespaco propo V(-) es u 3 = y µ = dm V( ) = segú lo prevsto. Así B = { u u u 3} es ua base de matrz P ortogoal tal que de autovectores. Como {, } 3 R de autovectores de A. Para costrur la t P AP = D sea dagoal, ecestamos ua base ortoormal u u es ortogoal al vector 3 u, puesto que so autovectores asocados autovalores dsttos de la matrz smétrca A, ortogoalzamos sólo {, } u u medate el método de Gram-Schmdt. v = u = 0 0 v = u+ v = + = + 0 < v v >= 0 < v v >= + = 0 = luego El cojuto {, } V(). v = v v es ua base ortogoal de autovectores del subespaco propo Normalzamos ahora la base ortogoal de autovectores { v, v, u } 3 Pága 7

22 w = v =,, w v 0 6 = v =, v 6 6 w 3 = u = u Obteedo así la base de autovectores ortoormales B' = { w w w 3} La matrz ortogoal es P ( ) 6 3 = w w w 3 = Se puede comprobar que t D P AP P AP = =, sedo 0 0 D = Pága 7

23 Tema V. Ejerccos V.. Calcular los valores y vectores propos de las sguetes matrces: a) b) c) d) 3 A( C ) = 3 A( C ) = 3 0 A( R ) = A( R ) = V.. V.3. V.4. Estudar la dagoalzacó de las matrces del problema ateror. Hallar ua matrz dagoal semejate a A, así como la matrz P de semejaza, sedo A las matrces del problema. Estudar la dagoalzacó de las sguetes matrces hallado, e su caso, las - matrces D y P / D = P A P a) b) 0 0 A = B = V a 0 0 Dada la matrz A = dscutr las codcoes que debe b d 0 c e f cumplr a, b, c, d, e y f para que la matrz A sea dagoazable. Pága 73

24 V.6. Sea la matrz sguete: M α m 0 = dode α y m R, m 0 Ecotrar los valores y vectores propos de M. E qué casos es dagoalzable? V.7. a - d Dada la matrz B = b 0 e hallar a, b, c, d, e, f, sabedo que c f 0 v =, v =, v3 = 0 so vectores propos de B. 0 Pága 74

25 Tema V. Solucoes Ej. V.. a) b) c) d) = +, BV ( ) = ; =, BV ( ) = + = 5, BV ( ) = ; =, BV ( ) = = 0 (trple), B V ( ) 0 = 0 = 6, B V ( ) = V.. a) Dagoalzable b) Dagoalzable c) No dagoalzable d) No dagoalzable V.3. a) b) + 0 D = ; P = D = ; P = 0 V.4. a) D = 0 0 ; P = b) No dagoalzable. Pága 75

26 V.5. a = 0, f = 0 b, c, d, e V.6. Valores propos = α ; = ; 3 = S α = M o es dagoalzable. E cualquer otro caso sí lo es. V.7. 5 a = ; b = ; c = ; d = ; e = ; f = Pága 76