Análisis amortizado. Técnicas Avanzadas de Programación - Javier Campos 205

Transcripción

1 Aálss amortzado Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 205

2 Aálss amortzado El pla: Coceptos báscos: Método agregado Método cotable Método potecal Prmer ejemplo: aálss de tablas hash dámcas Motículos agregables bomales y de Fboacc) Estructuras de cojutos dsjutos Lstas leales auto-orgazatvas Árboles auto-orgazatvos "splay trees") Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 206

3 Amortzacó wkpeda): Bla bla bla %& $~ bla bla %$ ~ & % bla bla $~ %$ bla bla ~ & #~% /%# )6& &@# Se trata de téccas artmétcas para repartr u mporte determado, el valor a amortzar, e varas cuotas, correspodetes a varos perodos. $~ &@#... bla bla bla %& $~ &@#... bla bla %$ ~ & % bla bla $~ %$ ~ & &@#... %& $~ &@#... bla bla %$ ~ & % bla bla $~ %$ ~ & &@# Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 207

4 Coceptos báscos Aálss amortzado Cálculo del coste medo de ua operacó obtedo dvdedo el coste e el caso peor de la ejecucó de ua secueca de operacoes o ecesaramete de gual tpo) dvddo por el úmero de operacoes Utldad: Es posble que el coste e el caso peor de la ejecucó aslada de ua operacó sea muy alto y s embargo s se cosdera ua secueca de operacoes el coste promedo dsmuya Nota: No es u aálss del caso promedo tal y como el que hemos vsto e el tema ateror la probabldad ahora o tervee) Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 208

5 Coceptos báscos E realdad el coste amortzado de ua operacó es u artfco cotable que o tee gua relacó co el coste real de la operacó. El coste amortzado de ua operacó puede defrse como cualquer cosa co la úca codcó de que cosderado ua secueca de operacoes: 1 A ) C ) 1 dode A) y C) so el coste amortzado y el coste exacto, respectvamete, de la operacó -ésma de la secueca. Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 209

6 Método agregado Cosste e calcular el coste e el caso peor T) de ua secueca de operacoes, o ecesaramete del msmo tpo, y calcular el coste medo o coste amortzado de ua operacó como T)/. Los otros dos métodos que veremos cotable y potecal) calcula u coste amortzado específco para cada tpo de operacó. Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 210

7 Método agregado Ejemplo: pla co operacó de multdesaplar Cosderar ua pla represetada medate ua lsta de regstros ecadeados co puteros y co las operacoes de creavacía, aplar, desaplar y esvacía. El coste de todas esas operacoes es 1) y, por tato, el coste de ua secueca de operacoes de aplar y desaplar es ). Añadmos la operacó multdesaplarp,k), que elma los k elemetos superores de la pla p, s los hay, o deja la pla vacía s o hay tatos elemetos. algortmo multdesaplarp,k) prcpo mq ot esvacíap) ad k0 hacer desaplarp); k:=k-1 fmq f Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 211

8 Método agregado El coste de multdesaplar es, obvamete, mh,k)), s h es la altura de la pla ates de la operacó. Cuál es el coste de ua secueca de operacoes de aplar, desaplar o multdesaplar? La altura máxma de la pla puede ser de orde, así que el coste máxmo de ua operacó de multdesaplar e esa secueca puede ser O). Por tato, el coste máxmo de ua secueca de operacoes está acotado por O 2 ). Esta cálculo es correcto, pero la cota O 2 ), obteda cosderado el caso peor de cada operacó de la secueca, o es ajustada. El método agregado cosdera el caso peor de la secueca de forma cojuta Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 212

9 Método agregado Aálss agregado de la secueca de operacoes: Cada elemeto puede ser desaplado como máxmo ua sola vez e toda la secueca de operacoes. Por tato, el máxmo úmero de veces que la operacó desaplar puede ser ejecutada e ua secueca de operacoes cluyedo las llamadas e multdesaplar) es gual al máxmo úmero de veces que se puede ejecutar la operacó aplar, que es. Es decr, el coste total de cualquer secueca de operacoes de aplar, desaplar o multdesaplar es O). Por tato, el coste amortzado de cada operacó es la meda: O)/ = O1). Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 213

10 Método agregado Otro ejemplo: cremetar u cotador baro Cosderar u cotador baro de k bts, almaceado e u vector A[0..k 1] de bts. La cfra meos sgfcatva se guarda e A[0], por tato, el úmero almaceado e el cotador es: x k 1 0 A[ ] 2 Icalmete, x = 0, es decr, A[] = 0, para todo. Para añadr 1 módulo 2 k ) al cotador se ejecuta el algortmo cremetar Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 214

11 Método agregado algortmo cremetara) prcpo :=0; mq <legtha) ad A[]=1 hacer A[]:=0; :=+1 fmq; s <legtha) etoces A[]:=1 fs f Es, esecalmete, el algortmo mplemetado e hardware e u sumador rpple-carry. Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 215

12 Método agregado Ua secueca de 16 cremetos desde x = 0: x A[7]... A[0] coste acumulado e releve: los bts que camba para pasar al sguete valor del cotador el coste de cada cremeto es leal e el úmero de bts que camba de valor ótese que el coste acumulado uca es mayor del doble del úmero de cremetos Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 216

13 Método agregado Prmera aproxmacó al aálss: Ua ejecucó de cremetar tee u coste k) e el peor caso cuado el vector cotee todo 1 s). Por tato, ua secueca de cremetos empezado desde 0 tee u coste Ok) e el caso peor. Este aálss es correcto pero poco ajustado. Aálss agregado de la secueca de cremetos: A[0] camba de valor e cada cremeto A[1] camba de valor /2 veces e ua secueca de cremetos A[2] camba /4 veces e la msma secueca E geeral, A[] camba /2 veces, = 0, 1,, log Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 217

14 Método agregado Por tato, el úmero total de cambos de bt e toda la secueca es: log Es decr, el coste total de toda la secueca es e el peor caso O) y, por tato, el coste amortzado de cada operacó es O)/ = O1). Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 218

15 Método cotable El coste amortzado de cada operacó es u preco que se le asga y puede ser mayor o meor que el coste real de la operacó. Cuado el preco de ua operacó excede su coste real, el crédto resultate se puede usar después para pagar operacoes cuyo preco sea meor que su coste real. Puede defrse ua fucó de potecal, P), para cada operacó de la secueca: P) = A) C) + P 1), = 1, 2,, dode A) y C) so el coste amortzado y el coste exacto, respectvamete, de la operacó -ésma. El potecal e cada operacó es el crédto dspoble para el resto de la secueca. Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 219

16 Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 220 Método cotable Sumado el potecal de todas las operacoes: Debe asgarse u preco a cada operacó que haga que el crédto dspoble sea sempre o egatvo. 0 0) ) ) ) 0) ) ) ) 1) ) 1) ) ) ) P P C A P P C A P P P C A P C A 1 1 ) ) por defcó de coste amortzado)

17 Método cotable Volvamos al ejemplo de la pla co la operacó de multdesaplar Recordar el coste real: Caplar) = 1 Cdesaplar) = 1 CmultDesaplar) = mh,k)) Asgamos arbtraramete) el coste amortzado preco) de cada operacó como: Aaplar) = 2 Adesaplar) = 0 AmultDesaplar) = 0 Para ver s el coste amortzado es correcto hay que demostrar que el crédto es sempre o egatvo. Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 221

18 Método cotable Es decr, hay que ver s P) P0) 0,. Al aplar cada elemeto, co preco 2, pagamos el coste real de ua udad por la operacó de aplar y os sobra otra udad como crédto. E cada state de tempo teemos ua udad de crédto por cada elemeto de la pla. Es el pre-pago para cuado haya que desaplarlo. Al desaplar, el preco de la operacó es cero y el coste real se paga co el crédto asocado al elemeto desaplado. De esta forma, pagado u poco más por aplar 2 e lugar de 1) o hemos ecestado pagar por desaplar por multdesaplar. Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 222

19 Método cotable El otro ejemplo: el cotador baro Defmos como 2 udades el coste amortzado preco) de la operacó de poer u bt a 1. Cuado u bt se poe a 1, se paga su coste de ua udad y la udad restate queda como crédto para operacoes futuras. Así, cada bt que vale 1 guarda asocado u crédto de ua udad, y ese crédto se usa para pagar la operacó de poerlo a 0, co lo que el coste amortzado de esta operacó se puede dejar como 0. Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 223

20 Método cotable Veamos ahora el coste amortzado de cremetar: algortmo cremetara) prcpo :=0; mq <legtha) ad A[]=1 hacer A[]:=0; :=+1 fmq; s <legtha) etoces A[]:=1 fs f coste amortzado ulo coste amortzado meor o gual que 2 Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 224

21 Método potecal Cosderamos, de uevo, ua fucó de potecal: P) = A) C) + P 1), = 1, 2,, *) tal que: P) P0) 0, E este método de aálss, se parte de ua fucó de potecal dada que hay que elegr) y usado la ecuacó *) se calcula A): A) = C) + P) P 1), = 1, 2,, El gra problema: cómo elegr el potecal? Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 225

22 Método potecal Ua vez más: la pla co multdesaplar La fucó de potecal puede terpretarse a meudo como ua eergía potecal asocada a la estructura de datos del problema que puede utlzarse para pagar el coste de las operacoes futuras. Ejemplo: defr el potecal de la pla como su altura. Se tee: P0) = 0 pla vacía), y P) 0,. Por tato la fucó de potecal es válda y por eso el coste amortzado total de las operacoes es ua cota superor del coste total exacto de todas ellas. Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 226

23 Método potecal Cálculo del coste amortzado a partr del potecal: Supoer que la operacó -ésma es aplar y se realza sobre ua pla de altura h: A) = C) + P) P 1) = 1 + h + 1) h = 2 Supoer que la operacó -ésma es desaplar y se realza sobre ua pla de altura h: A) = C) + P) P 1) = 1 + h 1) h = 0 Supoer que la operacó -ésma es multdesaplar k elemetos y se realza sobre ua pla de altura h, etoces se desapla k = mk,h) elemetos, y: A) = C) + P) P 1) = k k = 0 El coste amortzado e los tres casos es O1), por tato el coste amortzado total de toda la secueca es O). Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 227

24 Método potecal Y por últmo: el ejemplo del cotador baro Eleccó de la fucó de potecal: P) = b, el úmero de 1 s e el cotador después del -ésmo cremeto. Se tee: P0) = 0 el cotador se calza a 0), P) 0. Cálculo del coste amortzado: Supoer que la -ésma operacó cremeto) poe a 0 t bts Etoces, su coste es como mucho t + 1 b b -1 t + 1 algortmo cremetara) prcpo :=0; mq <legtha) ad A[]=1 hacer A[]:=0; :=+1 fmq; s <legtha) etoces A[]:=1 fs f Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 228

25 Método potecal Cálculo del coste amortzado cot.): A) = C) + P) P 1) t + 1) + b -1 t + 1) b -1 = 2 Por tato, el coste amortzado total de cremetos cosecutvos empezado co el cotador a 0 es O). El método potecal permte també calcular el coste s el cotador empeza e u valor o ulo: S calmete hay b 0 bts a 1 y tras cremetos hay b 1 s. A) 2, al gual que ates. A) = C) + P) P 1), = 1, 2,, C ) 1 A ) P ) P0) 1 2 b b Como b 0 k úmero de bts del cotador), s se ejecuta al meos = k) cremetos, el coste real total es O). Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos b 1 b 0