Incertidumbre de las medidas.

Transcripción

1 Icertdumbre de las meddas. Al realzar el proceso de medcó, el valor obtedo y asgado a la medda dferrá probablemete del valor verdadero debdo a causas dversas, algua de las cuales ombraremos más adelate. El llamado valor verdadero es e realdad u cocepto puramete teórco y absolutamete accesble. E el proceso de medcó úcamete pretedemos estmar de forma apromada el valor de la magtud medda. Para ello debemos dar u úmero co sus udades y ua estmacó del error. Dcho de otra maera el resultado de cualquer medda es sempre certo y a lo más que podemos asprar es a estmar su grado de certdumbre. Errores de las meddas. Llamamos error de ua medda a la dscrepaca etre el valor verdadero de la magtud y el valor meddo. Esta dscrepaca puede ser debda a dversas causas. Errores sstemátcos. Sería debdos a causas que podría ser cotroladas o elmadas. Por ejemplo meddas realzadas co u aparato averado, o mal calbrado. La fuete del error podría elmarse usado u aparato que fucoase correctamete o calbrádolo adecuadamete ates de medr. Este tpo de errores o será aalzados e este capítulo. Errores aleatoros. So fruto del azar o de causas que o podemos cotrolar. Como cosecueca de ello, s repetmos ua medda certo úmero de veces e codcoes reproducbles, o obtedremos sempre el msmo valor, so que obtedremos u cojuto de valores que se dstrburá probablístcamete. Esta dstrbucó de valores puede ser aalzada por métodos estadístcos y esto os permtrá objetvar u valor probable y ua certdumbre de la medda. Error absoluto. El error de ua medcó o puede calcularse, so sólo estmarse, lo msmo que el propo valor de la medda. Lo que sí podremos por medo del aálss estadístco de las medcoes es llegar a estmar que el valor más probable de la medda es y que el valor verdadero estaría compreddo e el tervalo y + co ua certa probabldad. El valor de (sempre mayor que 0) es a lo que llamamos error absoluto. Error relatvo.

2 El error relatvo es ε r =. aturalmete, cuato meor sea ε r, meor será la certdumbre de la medda. El error relatvo se suele epresar també e forma porcetual: ε = 00 %. Para epresar umércamete el resultado de r ua medda ha de emplearse u úmero de cfras que depede del error. Cocretamete o debería utlzarse cfras de orde feror a al de la cfra de mayor orde del error absoluto. Veamos ejemplos: de u cojuto de medcoes obteemos u valor medo de co u error estmado de ± 0.05; el orde del error es de cetésmas, por lo tato o deberíamos utlzar e la epresó del resultado cfras de meor orde que las cetésmas. Así pues, la forma correcta de epresar el resultado será: 474. ± 0.05 e cluso sería correcto també o especfcar el error absoluto dcado que las 5 cfras del valor so cfras sgfcatvas; e este caso se etede que el error es de la mtad de ua udad de orde feror del valor epresado. Por ejemplo: u valor co 5 cfras sgfcatvas lo debemos terpretar como que el error absoluto estmado es de ± Redodeo. S es el valor obtedo e u proceso de medcó y el úmero de cfras sgfcatvas es 5 (474.), debemos redodear el valor a las cetésmas, que e este caso es. Para ello s el valor de la cfra de orde feror (e este caso las mlésmas) es mayor que 5, la últma cfra sgfcatva se cremeta e ua udad (e este caso, el se camba por u y el resultado lo epresaríamos por 474.). Otro ejemplo: -.4 co 4 cfras sgfcatvas hay que redodearla a las décmas, que e este caso es. Para ello, s la cfra de orde feror (e este caso las cetésmas) es meor que 5, la ultma cfra sgfcatva o se camba y el resultado se epresaría por -.. Esta regla es de setdo comú. Otro ejemplo:.985 ± 0.06 habría que redodearlo a las cetésmas y s la cfra de meor orde (mlésmas) es gual a 5, la últma cfra sgfcatva se deja gual s es par y se cremeta e ua udad s es mpar. E este caso, como es u 8, se deja gual:.98. El resultado co 4 cfras sgfcatvas se epresaría por Esta últma regla es puramete covecoal, que os asegura repartr las desvacoes e eceso o e defecto de forma estadístca equlbrada. Valor de ua medda y su error Ua forma de lmtar los errores aleatoros es reptedo varas veces la medcó. Supogamos que los resultados sucesvos ha sdo:,,,.... Parece lógco (y así se ha covedo hacer) atrbur a la medda es el valor medo, es decr:

3 = = () el valor así obtedo habremos de trucarlo y redodearlo e fucó del error estmado. El error que atrbumos a la medda es la llamada desvacó estádar o desvacó típca: ( ) = σ = (), o be: ( ) = σ = () - S el úmero es grade las epresoes () y () da valores muy prómos, pero e el caso de que sólo se hubera hecho ua medcó, la epresó daría 0 u valor del error 0, e cambo la epresó () sería, es decr u valor 0 determado. Esto es mucho más lógco y por eso se prefere la () como epresó del error. f() σ Fgura La epresó del valor atrbudo a ua medda y de su error, se basa e el hecho de que cuado la dspersó de los valores es debda a muchas causas depedetes etre sí, los valores obtedos e las sucesvas medcoes estará dstrbudos estadístcamete segú lo que se llama dstrbucó ormal. S tomamos uos ejes de coordeadas e abcsas valores posbles de y e ordeadas la desdad de probabldad, f(), es decr la probabldad, por udad de tervalo de valores de, es decr, dp f() =, sedo dp la probabldad de que el valor obtedo e la medcó d esté compreddo etre -d y +d, la gráfca será como la que vemos e la fgura. Esta curva e forma de campaa recbe el ombre de campaa de + Gauss y tee etre otras las sguetes propedades: p = f().d =, es decr, la probabldad p de obteer u valor compreddo etre y + es

4 + aturalmete (certeza); p = σ f().d = 0. 68%, es decr, cuado hacemos σ u gra úmero de medcoes de ua magtud, es de esperar que el 6.8 % de los valores obtedos estará compreddos etre σ y + σ. De la msma maera el 95.4 % de los valores estaría compreddo e el tervalo σ + σ σ + σ, etc.. ( ) y el 99.7 %, e el tervalo ( ) Hay que decr que u cojuto de meddas de ua magtud o sempre tee ua dstrbucó ormal como la que acabamos de epoer. Puede haber factores fluyetes o aleatoros o o depedetes y la curva de desdad de probabldad o será ua campaa de Gauss, so que puede ser ua curva o smétrca, co varos mámos etc. Errores de lectura. Sesbldad Supogamos u strumeto de medda, que fucoa correctamete, es dgtal y de cuatro dígtos más la coma decmal. Co él queremos medr ua magtud de la que coocemos ua estmacó de su error. Por ejemplo σ = udades. El resultado esperamos que sea del orde de cetos de udades. Qué ocurrrá? Como vemos el error estmado prevamete es meor que ua udad de la últma cfra de la patalla de lectura (las décmas), por lo tato el valor obtedo al repetr el proceso de medcó será sempre eactamete el msmo. Podemos decr que el strumeto e cuestó tee poca sesbldad para aprecar el valor de la magtud medda. Llamamos sesbldad, s, de u strumeto de medda al valor de dvsó más pequeña de la escala, s se trata de u strumeto aalógco o el valor de ua udad del dígto más a la derecha de la patalla de lectura. La aprecacó es la mtad de la sesbldad: s/. El error de lectura, aálogo a la desvacó estádar,,de la medda por causas aleatoras se cosdera gual a s s. S e ua medda se verfca que σ <<, el error total se puede cosderar s s. Por el cotraro, s σ >>, el error total se cosdera gual a σ. E el caso s e que y sea comparables, el error total es la suma σ +. Propagacó de los errores. Frecuetemete los valores de varas magtudes, obtedos e procesos de medda y por lo tato co u error asocado, se tee que combar e ua fucó cuyo valor se determa matemátcamete a partr de los valores de las varables. El valor de la fucó calculado estará por lo tato afectado por u error que será a su vez fucó de los errores de las varables. Las varables

5 meddas puede ser depedetes o o. Por ejemplo: el volume de u depósto de forma de u paralelepípedo se determará mdedo las arstas a, b y c. Las varables a, b y c so depedetes, cada ua estará afectada por u error y por lo tato el valor de la fucó volume, V=a.b.c, estará afectada por u error que depederá de los errores de a, b y c. Otro ejemplo: supogamos que certa fucó bológca la queremos relacoar co las varables altura y peso, para ello debemos medr estas dos varables co el correspodete error. S embargo, altura y peso o depedetes, ya que estadístcamete observaríamos que geeralmete las persoas más altas també tee más peso. Por el mometo os referremos al caso más secllo de varables depedetes. Supogamos ua fucó de ua sola varable y=f(). El valor dy de la e u puto sabemos que se puede terpretar como la rapdez co d que varía y al varar lgeramete la. Podemos terpretar que la pequeña varacó de es el error de esta varable,, por lo que el error que podemos asocar a la y, y, se puede epresar así: dy y = (4) d dy dy dode es el valor absoluto de la e el puto. S la fucó y lo es de d d varas varables,,.., depedetes, tedremos que la epresó geeral del error será: y = = ι (5) dode las so los valores absolutos de las dervadas parcales puto (,,..,). Ajuste por mímos cuadrados. e el E muchos casos medmos certo úmero de pares de valores de las magtudes (, y) y, a partr de dchos valores, os teresa establecer ua relacó matemátca etre estas varables. Supogamos que, por razoes teórcas, dcha relacó creemos que debe ser leal, es decr, del tpo y=a+b. os teresa estmar los valores de los coefcetes a y b de de forma que la fucó y=a+b represete de lo más adecuadamete posble la relacó etre e y. Se cosdera como crtero razoable que sea míma la suma de los cuadrados de las dferecas etre los valores meddos, y, y los obtedos

6 sobre la recta ajustada, a+b. Es decr, se trata de que se haga míma S, dode: S = (y a b) (6) = S S Para ello deberá verfcarse que = 0 y = 0. Hallado estas dervadas e a b gualádolas a 0, resulta estas dos codcoes: a + b = y (7) y a + b. = y (8) = = = y despejado a y b e el sstema de ecuacoes (7) y (8): = = y y = = = a = (9) y = = b = y = a = (0) y E la fgura vemos la represetacó de 6 meddas (rombos egros) dstrbudas e forma dspersa a u lado y otro de la recta ajustada por mímos cuadrados. Fgura Recta ajustada Veamos u ejemplo umérco: teemos ua tabla de valores obtedos de forma epermetal (tabla ) y queremos ajustar ua recta por el método descrto: y

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