LECCIONES DE ESTADÍSTICA

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1 LECCIONES DE ESTADÍSTICA

2 Estos aputes fuero realzados para mpartr el curso de Métodos Estadístcos y umércos e el I.E.S. A Xuquera I de Potevedra. Es posble que tega algú error de trascrpcó, por lo que o me resposablzó de las cosecuecas que dchos errores pueda ducr. J.M. Ramos Potevedra 008

3 ÍNDICE Tema I. Estadístca Descrptva...4 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales. Correlacó y Regresó...7 Tema III. Combatora...33 Tema IV. Álgebra de sucesos...39 Tema V. Probabldad...43 Tema VI. Cadeas de Markov...6 Tema VII. Varable aleatora dscreta y cotua...67 Tema VIII. Dstrbucó bomal...79 Tema IX. Dstrbucó ormal...85 Tema X. Estmacó putual...0 Tema XI. Estmacó medate tervalos de cofaza...05 Tema XII. Cotraste de hpótess...

4 Tema I. Estadístca descrptva 4 Métodos Estadístcos Feómeos determístcos TEMA I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Llamados també causales, so aquellos e los que se obtee los msmos resultados, sempre que se realce e las msmas codcoes. E ellos es posble predecr el resultado fal coocedo el estado cal y las codcoes de realzacó. Está sujetos a leyes aturales que puede ser formuladas medate ecuacoes matemátcas. Se comprede fáclmete la mposbldad de realzar u feómeo e las msmas codcoes absolutas, pues la mperfeccó de la mete y de los setdos del hombre hace que o podamos represetaros todas las causas que tervee e u determado feómeo. Estas causas descoocdas las susttumos por lo que se llama azar, pero e el caso de los feómeos determístcos el azar juega u papel ta ífmo que suele desprecarse su efecto. E muchos feómeos (físcos especalmete) la preseca del azar es míma, s embargo e otros feómeos, como los socales, lo mprevsble es de tal magtud que hace que o podamos predecr el estado fal. Obvamete los feómeos determístcos so objeto de estudo por parte de cecas tales como La Físca, la Químca...etc. U ejemplo de feómeo determístco es la cada lbre y e vacío de u objeto desde ua altura h. Se sabe a pror que la velocdad fal co la que va a llegar al suelo (estado fal) vee determada por la ley v = gh. Otro sería que s teemos u gas comprmdo e u recpete de volume V y sometdo a ua presó P, su temperatura PV. vee dada por la fórmula : T =, dode es el úmero de moles de gas y R es ua R costate químca. Observemos que e ambos casos podemos saber co segurdad el estado fal sempre y cuado realcemos el expermeto co u estado cal coocdo y dádose la partculardad de que s lo volvemos a realzar tatas veces como deseemos, los resultados fales va a ser détcos. Todo ello es lo que caracterza a los feómeos determístcos o causales.

5 Tema I. Estadístca descrptva 5 Métodos Estadístcos Feómeos aleatoros A dfereca de los aterores, so aquellos e los que es mposble predecr el resultado fal, au reptédolo e las msmas codcoes y además, dode ua pequeña varacó e las codcoes cales produce ua gra varacó e los resultados fales. (El aleteo de ua marposa e cha puede provocar u huracá e Paamá). Esta característca podría haceros pesar e la mposbldad de u estudo formal y utl de este tpo de feómeos. La presuta esterldad del estudo de los feómeos aleatoros queda refutada de medato debdo a que todos preseta ua mportatísma propedad empírca deomada regulardad estadístca que aalzaremos co u ejemplo. Obvamete so feómeos aleatoros, el lazar u dado o ua moeda; extraer ua carta de ua baraja o ua bola de ua ura, rellear u boleto de la lotería prmtva...etcétera. Como se podrá tur hay toda ua fdad de feómeos aleatoros. Estos feómeos so objeto de estudo de la Estadístca. Estadístca. Cocepto: Como ya se cocluyó e el apartado ateror, la Estadístca es la ceca que estuda los feómeos aleatoros. Hstórcamete, parece ser que los datos más atguos que se posee acerca del uso de las téccas estadístcas, se remota a los cesos chos ordeados por el emperador Tao, 00 años a.c. També tuvero mportaca los cesos romaos haca el año 555 a.c. Es e el año 660 cuado se publca la obra Artmétca polítca o descrpcó de las cosas otables del Estado de Hoerá Corg. Es dode esta ceca comeza a deomarse Estadístca. Más adelate ctar los otables trabajos del alemá Medel (8-844), abad del moastero de Brü que fue qué puso los cmetos de la actual Geétca co sus estudos sobre la hereca. Ctar a Pascal y a otros colegas fraceses, que motvados por problemas surgdos e los juegos de azar, comeza a estudar e sero esta Ceca. E el sglo XX, la Estadístca adquere u mpulso reovador co los estudos de los gleses Pearso, Galto y Weldo, así como del ruso Kolmogorov. Hoy e día la Estadístca forma parte de uestra realdad más cotdaa, pues basta abrr u peródco o escuchar u otcaro para daros cueta de la catdad de datos y coceptos estadístcos que se maeja. Estadístca descrptva Es aquella rama de la estadístca dode las coclusoes que se obtee de las experecas o datos e estudo o rebasa los límtes de los msmos. Tee como propósto su represetacó medate tablas, gráfcos y reduccoes de datos. Puede també compreder el aálss de los msmos, sempre que sus coclusoes o trasceda más alla de dchos datos. Coceptos báscos de Estadístca descrptva.

6 Tema I. Estadístca descrptva 6 Métodos Estadístcos Poblacó o Uverso Estadístco.- Cojuto formado por todos los elemetos que posea ua sere de caracteres prevamete estpulados. Cada uo de los elemetos de la poblacó se deoma dvduo y éstos puede ser smples (hombres, pezas) o colectvos (famlas) Toda vez que el úmero de los elemetos de ua poblacó objeto de estudo estadístco, e la mayoría de los casos es muy umeroso, resulta caro y egorroso el estudo de los msmos, por lo que se recurre a u subcojuto represetatvo de la poblacó. Muestra.- Para evtar u estudo, a veces mposble, de ua poblacó debdo a su gra úmero de dvduos, se suele tomar u subcojuto represetatvo llamado muestra, bajo crteros prevamete estudados, de tal modo que el estudo e dcho cojuto os permta ducr resultados e toda la poblacó co u grado de certeza certamete grade. De la buea eleccó de la muestra, depederá la bodad de los datos extraídos para la poblacó. Tamaño de la poblacó: Obvamete el tamaño es el úmero de dvduos que compoe la poblacó o muestra. Lo represetaremos por N Varable estadístca.- Deomada també carácter, es ua característca o propedad comú a todos los dvduos de ua poblacó objeto de estudo estadístco. Por ejemplo e ua poblacó de persoas, el peso podría ser ua varable estadístca, el color de ojos...etc. A todos los posbles resultados de ua varable estadístca se le deoma modaldades o valores de la varable (datos) Normalmete represetaremos por X ua v.e y por x sus modaldades. U ejemplo de varable estadístca podría ser el sexo, cuyas modaldades sería varo, hembra. Se trataría de ua v.e. co dos modaldades; por el cotraro s cosderamos la v.e. estatura, las modaldades puede llegar a ser ftas, detro de u tervalo. Estos dos últmos ejemplos me va a permtr clasfcar las varables estadístcas segú el sguete esquema: Dscretas Cuattatvas Varable estadístca Cotuas Cualtatvas Vamos a aalzar esta clasfcacó: a) Varables estadístcas cuattatvas: So aquellas cuyas modaldades vee represetadas por u valor umérco; es decr so de algú modo medbles. Por ejemplo, la estatura, el peso, e valor de u dado...etc. a.) So dscretas cuado la catdad de modaldades e u cojuto fto o fto umerable (los valores de u dado, el úmero de bolas blacas que se extrae de ua ura co devolucó hasta que aparezca ua egra) a.) So cotuas cuado la catdad de modaldades es fto y toma cualquer valor e u tervalo real. (el peso de ua persoa)

7 Tema I. Estadístca descrptva 7 Métodos Estadístcos b) Varables estadístcas cualtatvas: Sus modaldades so atrbutos o cualdades o medbles y por tato carece de represetatvdad umérca (color de ojos, cara o cruz...etc) Parámetro.- Es toda fucó defda sobre los valores umércos de ua poblacó (Meda artmétca de las altura de todos los alumos de Bachllerato de Galca) Estadístco.- Es toda fucó defda sobre los valores umércos de ua muestra (Meda artmétca de las altura de los alumos de ua muestra de 0 alumos por cetro de bachllerato de Galca) Sea ua poblacó o muestra, de tamaño N, sobre la que vamos a estudar ua varable estadístca dscreta co p modaldades: x, x, x 3... x p Frecueca absoluta de la modaldad x.- Es el úmero etero de veces que dcha modaldad aparece e la poblacó o muestra. Lo represetaremos por. So de destacar las sguetes propedades, que se deduce medatamete de la defcó: a) 0 N =... p p b) N = = Frecueca relatva de la modaldad x.- Es la proporcó co la que aparece la modaldad x e la poblacó o muestra. Se obtee dvdedo la frecueca absoluta etre N. E muchas ocasoes esta proporcó vee expresada e tato por ceto. Basta multplcar la frecueca relatva por 00. La frecueca relatva la represetaremos por f. E cosecueca: f = N So propedades trvales de la frecueca relatva, que se deduce de las dcadas para la frecueca absoluta, las sguetes: a) 0 f =... p p b) f = = Frecuecas acumuladas.- Ordeados e setdo crecete o decrecete los valores o modaldades de ua v.e., defremos la frecueca acumulada (absoluta o relatva) como la suma de frecuecas hasta u valor determado de la varable. Cuado la modaldad es la últma de la ordeacó crecete, la frecueca acumulada será gual a N s se trata de frecuecas absolutas, y s lo que se acumula so las frecuecas relatvas. La frecueca acumulada absoluta para la modaldad x, se represetará por N, metras que s se trata de la relatva, la represetaremos por F

8 Tema I. Estadístca descrptva 8 Métodos Estadístcos Tablas de recogda de datos.- Toda la formacó recogda aterormete se dspoe e ua tabla de la sguete maera: Datos Fr. Absoluta Fr. relatva Fr.Abs.Acu. Fr.Rel.Acu. % x f F = F = f 00.f x f F = + F = f +f 00.f x p p f p F p = N F p = 00.f p TOTALES N 00 Es de resaltar que estas defcoes aterores está establecdas cuado el cojuto de datos e dscreto. E caso de que la varable sea cuattatva cotua, el úmero de modaldades es fto y o toma valores aslados, por lo que o podemos represetarlas medate los x. Cómo se procede e este caso? Itervalos de clase. Marcas de clase.- Cuado la varable estadístca es cuattatva cotua o dscreta pero co gra catdad de modaldades, es ecesaro dvdr el recorrdo de la varable e tervalos, a ser posble de gual tamaño, deomados tervalos de clase. El úmero de tervalos flurá e la precsó de los estadístcos que se vaya a estudar. Obvamete a mayor úmero de tervalos, mayor precsó. Utlzaremos la sguete otacó. El tervalo de clase lo deotaremos por ( L L ), sedo L - y L los límtes feror y superor, respectvamete, del tervalo. La dfereca etre ambos límtes os determará el tamaño o logtud del tervalo, deomado ampltud y que represetaremos por c. Así pues, c =L -L -. Como vamos a segur teedo ecesdad de utlzar valores umércos para obteer los dsttos estadístcos de la muestra, cosderaremos como valores represetatvos de los tervalos de clase, sus valores cetrales, que deomaremos marcas de clase. Las marcas de clase so los equvaletes a los x e el caso dscreto. L + L Su valor vee dado por: x =. Las frecuecas absolutas y relatvas se referrá a los tervalos de clase, de tal modo que dremos que el tervalo ( L L ) tee frecueca absoluta cuado el úmero de dvduos, cuya modaldad caga detro de dcho tervalo, sea precsamete. Aálogamete haremos lo msmo para la frecueca relatva. Es mportate que cada dato esté e u solo tervalo, por lo que los extremos ha de ser dcados abertos o cerrados, segú el caso. E ocasoes para evtar esto, los valores extremos de los tervalos suele ser tomados co ua cfra decmal más que la que posee los datos. Este procedmeto de clasfcar los datos e tervalos va a producr ua evtable pérdda de formacó, puesto que o se cosderará los resultados exactamete, so por aproxmacó: o se drá que u elemeto tee u carácter cuya medda es x, so que dcho valor se ecuetra e el tervalo L L ) (.

9 Tema I. Estadístca descrptva 9 Métodos Estadístcos Así pues, lo que teresa es elegr ua ampltud (a ser posble costate) de los tervalos lo sufcetemete pequeña para que la pérdda de formacó sea la meor posble y, al msmo tempo, lo sufcetemete grade para que el agrupameto presete ua dstrbucó de o demasados tervalos, pues de lo cotraro dcho agrupameto perdería su faldad, es decr, la comoddad del tratameto. Tablas de recogda de datos Itervalos Marcas Fr. Absoluta Fr. relatva Fr.Abs.Acu. Fr.Rel.Acu. % L 0 -L x f F = F = f 00.f L -L x f F = + F = f +f 00.f L p- -L p x p p f p F p = N F p = 00.f p TOTALES N 00 Represetacoes gráfcas Partedo de la máxma vale más ua mage que ml palabras, el objeto de las represetacoes gráfcas es precsamete hacer valer esta frase hecha, de modo que el mpacto vsual de la represetacó respoda a la realdad y, por cosguete, el método segudo deberá basarse e prcpos geométrcos ortodoxos. Veamos los casos de represetacó para el caso de varables dscretas o agrupadas e tervalos. a) Dagrama de barras: Se elabora señalado e las abscsas de u sstema de ejes de coordeadas los valores de la varable costruyedo sobre ellos uas columas de altura gual a la frecueca de cada uo de los valores, medda e el setdo del eje de ordeadas. També puede realzarse u dagrama de barras para frecuecas acumuladas. b) Dagrama de sectores: Cosste e u círculo co sectores de área proporcoal a las frecuecas de cada uo de los valores. El águlo correspodete al sector de la modaldad x, vee dado por 360.f. També puede represetarse e u semcírculo, por lo que los águlos vedría dados por 80.f c) Pctograma: No es más que u dagrama de barras, pero e vez de smples columas, se lustra co fguras alusvas a los datos estudados (amales, persoas, máquas...etc) Cuado los datos vee agrupados por tervalos, dspoemos de otro tpo de represetacó gráfca: Los hstogramas. Los hstogramas so rectágulos de base gual a los tervalos de clase y altura proporcoal a la frecueca establecda para dchos tervalos. (també se puede hacer para frecuecas acumuladas) Polígoo de frecuecas: Es el polígoo lmtado e u hstograma por el eje de abscsas y la líea quebrada resultate de ur el puto medo del lado superor de cada rectágulo (co frecuecas

10 Tema I. Estadístca descrptva 0 Métodos Estadístcos absolutas) o la líea quebrada resultate de ur e cada rectágulo el vértce del polígoo ateror co el suyo. Se realza tato para hstogramas de frecuecas smples como acumuladas. REDUCCIÓN DE DATOS. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS Esta deomacó de reduccó de datos se debe a Fsher, y cosste e susttur la tabla estadístca, la cual os da ua dea de dfícl comparacó co otras tablas, por uos úmeros (estadístcos o meddas característcas) que mda las característcas más mportates de la dstrbucó de los datos. Estos valores o meddas característcas puede ser de dos tpos: de cetralzacó y de dspersó. Meddas característcas de cetralzacó: So valores de tedeca cetral e toro a los cuales se ecuetra los valores de la varable estadístca, co arreglo a u certo crtero de equbro para las frecuecas. Es la característca más mportate de la dstrbucó y se mde a traves de los promedos, etre los cuales está los sguetes: a) Meda artmétca (Cuado se habla de meda a secas, os referremos a la meda artmétca): Se obtee multplcado cada valor de la v.e. por su frecueca relatva y sumado todos los productos obtedos. Se represeta por x. x = p = x. f = p = x. N = N p = Se llama també cetro de gravedad de la dstrbucó por admtr la sguete terpretacó mecáca: Cosderemos que sobre cada puto x actúa ua fuerza de valor. E este caso x correspode al puto del eje e el cual, aplcado la fuerza de valor N, produce el equlbro del sstema. Para evtar largos y tedosos cálculos de artmétca elemetal, la meda artmétca la obtedremos medate el uso de calculadora cetífca. S cosderamos los valores de desvacó, x - x, se tee como propedad teresate que p = c) Meda artmétca poderada.- ( x x ). = 0. E determadas ocasoes queremos que algú dato tega más valor, o pese más a la hora de ser cosderado detro de la dstrbucó. As pues, e este caso, asocamos a los datos x, x,..., x p, certos factores peso (o pesos) w, w,..., w p, depedetes de la relevaca asgada a cada úmero. E tal caso, la expresó:

11 Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos x = p = x. w w se llama meda artmétca poderada de pesos w, w,..., w p d) Meda geométrca G = N x p p N. x... x p = ( x ) = No tee uas propedades ta secllas y claras como la meda artmétca; o obstate se suele usar cuado la varable sgue progresó geométrca. També e la elaboracó de los úmeros ídces (que se verá más adelate), muestra ua propedad teresate. e) Meda armóca H = p = N. x f) Meda cuadrátca Esto puede geeralzarse defedo la meda geeral de orde m C= M(m) = p = x. N p m m x. N = resultado la meda armóca para m=-; la meda geométrca para m=0, la meda artmétca para m= y la meda cuadrátca para m= Se verfca: M ( ) M (0) M () M (), es decr que: H G x C Medaa Ordeados los datos de meor a mayor o vceversa, la medaa es el valor de la v.e, que deja el 50% de los datos a u lado y el 50% restate al otro. E otras palabras, la medaa dvde por la mtad a los datos. El cálculo de la medaa dfere e fucó del tpo de dstrbucó, es decr s se trata de valores aslados o dstrbudos por tervalos de clase.

12 Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos E el prmer caso, la medaa se obtee del sguete modo: a) S el úmero de datos es par, la medaa es la meda artmétca de los dos valores cetrales que se obtee al ordear dchos datos, es decr que s los N datos ordeados so a, a,..., a N, la medaa es: Me = a N a + N + b) S el úmero de datos es mpar, solamete habrá u valor cetral. Este será precsamete la medaa, y dcho valor, sguedo la otacó ateror es. a N Et ( ) + E el caso de dstrbucó por tervalos el valor de la medaa es: ( N / ) N Me L +. = c., sedo L - el límte feror del tervalo dode se ecuetra la medaa (aquel dode se alcace el 50% del total de la poblacó N); N - es la frecueca acumulada absoluta hasta dcho tervalo; es la frecueca absoluta e el tervalo y c es la ampltud del tervalo. Esta fórmula se demostrará e clase. Ejemplo: Sea la dstrbucó sguete: Itervalos Marcas Frecu. Absoluta Frec. Abs. acum Prmero detectamos el tervalo dode se ecuetra la medaa. Como N=5, calculamos N/ =,5. Esta frecueca, vedo la tabla de frecuecas acumuladas, se ecuetra e el tervalo 8-0, por tato L - =8, N - =, =6.,5 De ahí se obtee que Me = 8 +. = 8, 6. 6 Método gráfco del cálculo de la medaa E el ejemplo ateror sería: Como ambos trágulos so semejates 6/ = 5,5/x ; de dode x =,83 Me = 0,83 = 8,7

13 Tema I. Estadístca descrptva 3 Métodos Estadístcos Moda Es el valor de la v.e. que más se repte. Segú esta defcó puede haber más de ua moda, llamádose la dstrbucó umodal, bmodal...etc, segú tega ua, dos...etc modas. El cálculo para dstrbucoes co valores aslados es trval; s embargo para el caso de dstrbucoes agrupadas por tervalos o es ta evdete, y la fórmula que determa la moda es: Mo = L +. c, sedo L - L el tervalo dode se ( ) + ( + ) ecuetra la moda. Método gráfco para el cálculo de la moda (e el caso de dstrb. agrupadas) Ejemplo: Sea la dstrbucó sguete: Itervalos Marcas Frecu. Absoluta Frec. Abs. acum Estudamos prmero cual es el tervalo modal (de mayor frecueca) y trazamos los segmetos que ue los vértces superores del rectágulo del hstograma correspodete e dcho tervalo co los extremos de los rectágulos cotguos, obteédose dos trágulos (el verde y el rojo) semejates pues tee águlos guales. S llamamos x a la altura (respecto del lado vertcal) del trágulo rojo, resulta que -x es la altura del verde. Por otra parte la base (lado vertcal) del rojo vale 7-4=3, y la del verde vale 7-6=. Establecedo la razó de semejaza, se obtee que x/3 = (-x)/; de dode x=,5; de dode la Moda será 6+,5 = 7,5. Relacó empírca etre meda, medaa y moda. Para dstrbucoes de frecueca umodal que sea poco asmétrcas se tee que: Meda Moda = 3(meda medaa) MEDIDAS POSICIONALES Los cuatles

14 Tema I. Estadístca descrptva 4 Métodos Estadístcos Se llama cuatl de orde m a u valor x m que deja por debajo de él al m por 00 de los elemetos de la poblacó. Cuartles: So los valores que dvde a la poblacó e 4 partes guales. Exste por tato tres cuartles: Q (prmer cuartl), Q (segudo cuartl), Q 3 (tercer cuartl). Resulta obvo que Q = Me. Cálculo de los cuartles. a) Caso dscreto o valores aslados: Ordeados de meor a mayor los datos y para =,,3. S N./4 o correspode a gú valor de la frecueca acumulada (está etre N k y N k+ ) se le da a Q el valor de la varable que correspode a la frecueca acumulada N k+. E caso de que N./4 correspode a u valor N k de la frecueca acumulada, el cuartl es la meda artmétca etre x k y x k+ b) Caso cotuo o por tervalos: Se utlza la fórmula: Q r = r.( N / 4) N + c, para r=,,3 L. Recorrdo tercuartílco o I.Q.R.: Es la dfereca etre Q 3 y Q. La dea es dvdr los datos e cuatro grupos guales y ver lo dstates que so los extremos de esos grupos Box plots o dagramas de Tukey de caja y bgotes Para realzar el IQR, Joh Tuker vetó u tpo de represetacó llamado Dagrama de caja y bgotes. Los extremos de la cja so los cuartles Q y Q 3. La Medaa se dbuja detro de la caja. S u puto está a más de,5 veces el IQR alejado de u extremo de la caja, se deoma atípco y se dbuja de forma aslada. Falmete se extede los bgotes hasta los putos más lejaos que o sea atípcos (es decr detro de,5 veces el IQR de los cuartles). Estos dagramas so especalmete bueos para realzar las dferecas etre grupos. Veamos como so: Datos atípcos Q Me Q 3 Datos atípcos,5 IQR

15 Tema I. Estadístca descrptva 5 Métodos Estadístcos Qutles: So los valores que dvde a la poblacó e 5 partes guales. Exste 4 qutles: K, K, K 3, K 4. Su cálculo es exactamete gual que e el caso de los cuartles y su fórmula es: K r = r.( N / 5) N + c, para r=,,3,4 L. Decles: So los valores que dvde a la poblacó e 0 partes guales. Exste 9 decles, sedo estos: D r, co r =...9 Su cálculo es exactamete gual que e el caso de los cuartles y además se verfca: D =K ; D 4 =K ; D 5 = Me ; D 6 =K 3 ; D 8 =K 4 La formula para los decles es: Cetles o percetles: r.( N /0) N D r = L +. c para r =,, So los que dvde a la poblacó e 00 partes guales. Hay 99 cetles que se represeta por C r o P r dsttamete, dode r= Para su cálculo os remtmos al cálculo de los cuartles. Se produce certas detdades tales como: C 5 =Q ; C 50 = Me...etc. La fórmula para cetles es: r.( N /00) N C r = L +. c para r=,,3...99

16 Tema I. Estadístca descrptva 6 Métodos Estadístcos ANEXO RECOGIDA DE DATOS CON LA CALCULADORA Depededo de las marcas comercales de las calculadores cetífcas, el modo de trabajar co datos estadístcos ormalmete varía de ua a otra. INTRODUCCIÓN DE DATOS CON LA CALCULADORA CASIO fx-00d Paso ) Actvar el modo de trabajo e Estadístca: MODE + 3 (E la cabecera de la patalla tee que aparecer la leyeda SD ) Paso ) Borrado de posbles datos e memora de trabajos aterores: KAC = SHIFT + AC Paso 3) Comprobar que, e efecto, o teemos datos = SHIFT + 3 (Este es el equvalete a uestro N). E la patalla tee que aparecer 0. Paso 4) Itroducr los datos: Para troducr, por ejemplo, el dato 8 co frecueca 4: 8 X 4 M+, o be 8 y se pulsa la tecla M+ cuatro veces. Paso 5) Comprobar que el úmero de datos troducdos cocde co N = SHIFT + 3. E la patalla tee que aparecer N. Paso 6) Calcular la meda artmétca, desvacoes típcas...etc. SHIFT + INTRODUCCIÓN DE DATOS CON LA CALCULADORA CASIO fx-570 ES ) SHIFT Mode 4(STAT) (FRECUENCIA ON) ) SHIFT (STAT) (DATA) 3) Itroducr x = x = x3 =... co el cursor pasar a la columa frec e troducr los valores de las frecuecas absolutas correspodetes ( = =...) 4) AC 5) SHIFT (STAT) 5(VAR): () = tamaño de la poblacó (x) = meda artmétca 3 (xó) = desvacó típca. 6) Borrar datos: SHIFT (STAT) 3(Edt) : (Del-A)

17 Tema I. Estadístca descrptva 7 Métodos Estadístcos INTRODUCCIÓN DE DATOS CON LA CALCULADORA CASIO fx-350 ES ) SHIFT Mode 3 (STAT) (FRECUENCIA ON) ) SHIFT (STAT) (DATA) 3) Itroducr x = x = x3 =... co el cursor pasar a la columa frec e troducr los valores de las frecuecas absolutas correspodetes ( = =...) 4) AC 5) SHIFT (STAT) 5(VAR): () = tamaño de la poblacó (x) = meda artmétca 3 (xó) = desvacó típca. 6) Borrar datos: SHIFT (STAT) 3(Edt) : (Del-A) INTRODUCCIÓN DE DATOS CON LA CALCULADORA caso fx-570 MS ) SHIFT MODE (SD) ) Comprobacó de datos SHIFT 3() 3) Itroduccó de datos: x ; M+ 4) Cálculo de parámetros SHIFT (x meda) (xo) desv. tpca. 5) Borrado de datos: SHIFT (Clr) CREAR TABLAS DE FRECUENCIAS EN EXCEL Caso dscreto: E u rago se escrbe todos los datos. A cotuacó e ua matrz columa se escrbe las modaldades. Seleccoamos la columa dode queremos que aparezca las frecuecas absolutas Se pulsa f x y vamos a las fucoes estadístcas, detro de las que escogeremos FRECUENCIA. Hay dos parámetros que hay que troducr: Datos y grupos. E datos seleccoamos la matrz de datos y e grupos la matrz de modaldades. y damos salda a los resultados, al tratarse de ua matrz, co CTRL.+Mayúsculas. Caso cotuo: Al gual que e el caso ateror pero e el parámetro grupos hemos de escrbr los lmtes superores de los tervalos de acogda de datos.

18 Tema I. Estadístca descrptva 8 Métodos Estadístcos EJERCICIOS PROPUESTOS. Las edades de ses depedetes de u comerco so: 8,9,5,9,34,35 años. Calcular la meda de dchas edades. La medda de la logtud de 50 varllas ha dado los sguetes resultados: de 5 cms, 8 varllas; de 7 cm., 6 varllas; de 8 cm., 6 varllas; de 9 cm., 9 varllas; de 0 cm., varllas; de cm., 7 varllas y de 3 cm., 3 varllas. Calcular la meda de estas logtudes. 3. Calcular la meda de la dstrbucó correspodete a la estatura de 40 chcos de prmero de Bachllerato, sedo esta: Itervalos 48,5-53,5 53,5-58,5 58,5-63,5 63,5-68,5 68,5-73,5 73,5-78,5 Frec.abs Calcular la meda de los sguetes valores agrupádolos prmero por tervalos de ampltud gual a 5 y después por tervalos de ampltud gual a 0. Estos valores so: 49,48,43,4,49,4,4,43,43,44,44,5,53,54,5,59,58,57,56,54,5,54,53,64,6,64, 63,6,6,6,68,68,67,66,69 5. Dada la dstrbucó de la tabla, calcular la meda artmétca, la meda geométrca, la meda armóca, la meda cuadrátca. Comprobar que relacó exste etre ellas: x Calcular la frecueca correspodete al tercer tervalo de la sguete dstrbucó, sabedo que la meda artmétca es gual a,5 It x 3 7. Calcular la medaa de las sguetes dstrbucoes de frecuecas: x x Dada la sguete sere estadístca de la dstrbucó de salaros a los obreros de ua empresa, calcular la medaa: SALARIO NUM. OBREROS NUM. OBREROS. ACUM

19 Tema I. Estadístca descrptva 9 Métodos Estadístcos 9. Las calfcacoes de la asgatura de Matemátcas de los 40 alumos de ua clase vee expresadas por la sguete tabla: Nota Alum Calcular los cuartles y 3 así como los percetles de orde 30 y Se tee la sguete dstrbucó cotua, expresada por la tabla sguete: Iterv N Calcular los cuartles y 3, así como los percetles 40 y 90. Ua zapatería de caballeros vede e u día 45 pares de zapatos de las sguetes tallas. Talla Zapatos ? Calcular a) la medaa, b) Cuartles, c) Qué percetles correspode a la talla. El úmero de hjos de 0 famlas seleccoadas al azar, es el sguete: 3,,,,, 5,,, 0, 6, 3,, 4, 3, 4,, 3,, 7, 6 a) formar la tabla de frecuecas b) Costrur el correspodete dagrama de barras c) Costrur el polígoo de frecuecas. d) Costrur u dagrama de sectores o e su defecto dcar el águlo que correspodería a cada modaldad e dcho dagrama. 3. Los valores el ph saguíeo e 80 dvduos so los sguetes: 7,33 7,3 7,34 7,40 7,8 7,9 7,35 7,33 7,34 7,8 7,3 7,35 7,3 7,33 7,33 7,36 7,3 7,3 7,35 7,36 7,6 7,39 7,9 7,3 7,34 7,30 7,34 7,3 7,39 7,30 7,33 7,33 7,35 7,34 7,33 7,36 7,33 7,35 7,3 7,33 7,37 7,38 7,38 7,33 7,35 7,30 7,3 7,33 7,35 7,33 7,7 7,33 7,3 7,3 7,34 7,3 7,3 7,3 7,3 7,36 7,30 7,37 7,33 7, 3 7,3 7,33 7,3 7,30 7,9 7,38 7,33 7,35 7,3 7,33 7,3 7,34 7,3 7,34 7,3 7,33 a) Formar la tabla de frecuecas utlzado 5 tervalos de clase. b) Costrur el hstograma de frecuecas c) Polígoo de frecuecas d) Costrur el hstograma de frecuecas acumuladas e) Costrur el polígoo de frecuecas acumuladas

20 Tema I. Estadístca descrptva 0 Métodos Estadístcos 4. Se ha meddo la logtud de 50 dvduos adultos de ua determada espece de raa, obteédose los sguetes resultados: 3, 3,0 3,6 30,0 3,8 3,4 3,0 30,0 30, 3,8 34,0 3,7 33,0 3,0 3,3 3,6 3,0 3,4 30, 3,0 33,0 3,4 3,4 3,6 3,7 34,0 33, 33, 33,7 3,0 3,8 33,0 3,3 3,4 3,4 3,4 34,0 33,4 3,7 3,3 3, 33, 34, 3,3 9,6 3,7 33,0 3,4 3,6 33,0 a) Formar la tabla de frecuecas e 5 tervalos de clase b) Costrur el hstograma de frecuecas relatvas c) Polígoo de frecuecas relatvas d) Costrur el hstograma de frecuecas relatvas acumuladas e) Costrur el polígoo de frecuecas relatvas acumuladas 5. El úmero de accdetes mortales daros e ua gra cudad e ueve días ha sdo: 6, 4, 8,, 5, 3, 3, 7,. a) Hallar la meda artmétca b) Hallar la meda geométrca c) Hallar la meda armóca d) Hallar la meda cuadrátca e) Relacó etre estas medas. 6. El úmero de dvduos muertos por cólera e u determado pás por año, e el trascurso de años ha sdo:, 7, 5, 8,, 3,, 8,,, 3. f) Hallar la meda artmétca g) Hallar la meda geométrca h) Hallar la meda armóca ) Hallar la meda cuadrátca j) Relacó etre estas medas. 7. El úmero de pétalos de 3 flores de ua determada espece es el sguete: 8, 0, 6, 5, 8,, 8, 0, 7, 0, 7, 0, 9 a) Calcular la medaa b) Calcular la moda c) Calcular los cuartles de prmer y tercer orde d) Calcular el recorrdo tercuartlco e) Represetar el Box Plot.

21 Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos 8. Cosderado el valor teórco del metabolsmo basal gual a 00, los valores observados e 50 dvduos ha dado los sguetes resultados Calcular agrupado los datos e 0 clases, los sguetes valores: a) Meda artmétca b) Medaa c) Moda d) Cuartles de prmer y tercer orde e) Recorrdo tercuartílco f) Dagrama de Tukey de caja y bgotes 9. La dstrbucó por pesos de 70 empleados de u hosptal se expresa e la tabla sguete: Kg Nº empl Calcular la meda artmétca, la medaa y la moda. 0. Dada la sguete dstrbucó, qué cetl correspode a?. Qué cetl correspode a 30? Itervalo

22 Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos Meddas característcas de dspersó: El smple coocmeto de las meddas de cetralzacó o sólo es sufcete para daros ua dea de cómo está los datos dstrbudos, so que cluso puede llegar a ser egañoso. Pesemos e ua poblacó dode la meda artmétco del sueldo de sus dvduos es ptas; eseguda os vee a la mete que la gra mayoría de la poblacó gaa ua catdad etoro a esta cfra; s embargo pudera ocurrr que la mtad de la poblacó gaa y la otra mtad ada. De este modo vemos que e ambos casos: Rqueza be repartda y mal dstrbuda so dos casos e los que la meda cocde, s embargo las realdades so opuestas. El ejemplo ateror demuestra que se hace ecesaro dspoer de formacó acerca de cómo está dstrbudos los datos alrededor de las meddas de cetralzacó; dcho de otro modo.. qué alejados o dspersos está los datos?. Esto coduce a las meddas de dspersó, etre las que se ecuetra las sguetes: Recorrdo o rago: Ya utlzado co aterordad, el recorrdo de ua varable estadístca es la dfereca etre el valor más alto y el más bajo de dcha varable. Desvacó a la meda de la modaldad x. La desvacó a la meda de la modaldad a x, mde la dstaca etre dcho valor x y la meda, por tato su valor vee determado por: d = x x Es mportate destacar que dcha medda vee dada por el valor absoluto de la dfereca, ya que s omtésemos dcha fucó, podría ocurrr que algua medda fuese egatva y estos sería cotradctoro co el cocepto de dstaca (alejameto o dspersó) como u valor postvo. Obsérvese que esta defcó es válda solamete para los valores de la modaldad aslados, por tato d es depedete de la frecueca, as como del resto de valores, por lo que es ua medda de dspersó que o os da ua formacó de cojuto. Esto os los cubre la sguete medda. Desvacó meda Es la meda artmétca de las desvacoes a la meda d, esto es: D m = p = d. N = p = x x. N

23 Tema I. Estadístca descrptva 3 Métodos Estadístcos Varaza E ocasoes se suele prmar los alejametos grades y mmzar las pequeños dspersoes, esto produce la medda característca llamada varaza que o es más que la meda cuadrátca de las desvacoes a la meda, esto es: p p d. ( x x) σ = = = N = N Esta medda tee el coveete que vee expresada e udades de la varable al cuadrado. Para evtar este problema se extrae la raz cuadrada, y el valor obtedo se deoma: La varaza també puede expresarse del sguete modo: p p ( x x) σ = = ( x x) f = x. f x. (La meda artmétca de los = N = = cuadrados de los x meos el cuadrado de la meda artmétca de los x Desvacó típca: Llamada també desvacó stadard o desvacó cuadrátca meda, es la raz cuadrada (postva) de la varaza σ = E Excel es la fucó DESVESTPA p = ( x x) N Coefcete de varacó de Pearso: E ocasoes se hace ecesaro comparar dos o más dstrbucoes de datos de dstta aturaleza. Supogamos que queremos saber que dstrbucó está más dspersa e los sguetes casos: Ua varable estadístca X de pesos de dvduos de meda 70 cm. y desvacó típca 0 cm., o ua varable Y de produccó de ua gaadería vacua de meda 30 ltros y desvacó típca 6,5 ltros. Obvamete o se puede comparar ltros co cetímetros, pero para saber comparatvamete cuál está más cocetrada o tee los datos meos dspersos co respecto a la meda, se utlza el llamado coefcete de varacó de Pearso σ ν = x Es por tato ua medda admesoal y establece u valor de relacó depedete de las udades e las que se esté trabajado. A mayor coefcete, mayor dspersó de datos. MOMENTOS Geeralzado lo ateror, tato e las meddas de cetralzacó como e las de dspersó, podemos defr los llamados mometos potecales respecto al orge y

24 Tema I. Estadístca descrptva 4 Métodos Estadístcos respecto a la meda. So teresates porque os va a proporcoar uos valores para obteer más formacó acerca de la dstrbucó. Mometo de orde r respecto al orge: r p x. ar =. Obsérvese que esto es ua geeralzacó de alguas meddas de = N cocetracó, ya que s r= se obtee la meda artmétca, s r= se obtee la meda cuadrátca. Mometo de orde r respecto a la meda: p r ( x x). mr = = N S r= su valor es 0. S r= obteemos la varaza Relacoes etre mometos: Todos los mometos respecto a la meda puede expresarse e fucó de los mometos respecto al orge medate las sguetes gualdades: m = a a ; m 3 = a 3 3a.a + a 3 ; m 4 = a 4 4a 3.a + 6a.a 3a 4 Demostrar como ejercco la prmera gualdad. MEDIDAS DE FORMA Nos da formacó acerca de cómo es la gráfca de la dstrbucó o curva evolvete del hstograma, etre las más mportates teemos las sguetes: Meddas de asmetría o sesgo: Elabora u dcador que permte establecer el grado de smetría (o asmetría) que preseta la dstrbucó s realzar su represetacó gráfca. Puede ser campaformas y e forma de U y se llama sesgadas a la derecha cuado la cola de la dstrbucó se prologa haca la derecha. Aálogamete para las sesgadas a la zquerda. Para medr el sesgo teemos: Coefcete de asmetría de R.A. Fsher m3 g = 3 σ S g = 0, la dstrbucó es smétrca S g >0, la dstrbucó es sesgada a la derecha.

25 Tema I. Estadístca descrptva 5 Métodos Estadístcos S g <0, la dstrbucó es sesgada a la zquerda Coefcete de K. Pearso A p = x Mo σ Su secllez tee el coveete de que solamete es segura para dstrbucoes campaformes umodales y moderadamete asmétrcas. Decde segú los msmos crteros que el coefcete de Fsher. Coefcete de asmetría de Bowley-Yule A B Q = 3 + Q. Q 3 Q Me Sgue los msmos crteros de sgos que el de Fsher Coefcete absoluto de asmetría: Q3 + Q. Me A B = σ Sgue los msmos crteros de sgos que los aterores Meddas de aputameto o curtoss Cuado la dstrbucó es campaforme, umodal y lgeramete asmétrca puede ser segú la moda esté e baja, meda o alta frecueca platcúrtca (achatada), mesocúrtca (s exceso) y leptocúrtca (co exceso) Esta característca os la mde la curtoss o coefcete de aputameto, cuyo valor vee dado por: g = s m S g = 0. la dstrbucó es mesocúrtca (o s exceso) S g > 0. la dstrbucó es leptocúrtca (o co exceso) S g < 0. la dstrbucó es platcúrtca (o achatada)

26 Tema I. Estadístca descrptva 6 Métodos Estadístcos EJERCICIOS PROPUESTOS.) Calcular la desvacó típca y varaza de las dstrbucoes de los ejerccos que fgura e las págas 3, 4 y 5 de estos aputes. ) Dada la sguete dstrbucó, calcular los cuatro prmeros mometos respecto al orge x - 3 3) Dada la sguete dstrbucó, calcular los cuatro prmeros mometos respecto a la meda x ) Dada la sguete dstrbucó, calcular el tercer y cuarto memeto respecto a la meda a partr de los mometos respecto al orge. x ) Dada la sguete dstrbucó de frecuecas, calcular el coefcete de asmetría de Fsher y su curtoss. x ) Calcular el coefcete de asmetría de Pearso de la sguete dstrbucó de frecuecas. x ) La dstrbucó por tervalos de u test de Ecoomía realzado a 30 opostores putuado de 0 a 800, da los sguetes resultados: PUNTUACIÓN TEST % OPOSITORES Hasta 60 6, , , , , , ,65 Mas de 700 0,45 Calcular los cuartles y el coefcete de asmetría de Bowley-Yule

27 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 7 Métodos Estadístcos TEMA. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN. Varables estadístcas bdmesoales: So los resultados de la observacó de u feómeo respecto de dos característcas. A estas varables estadístcas se le deoma bdmesoales. Se represeta por el par de valores (X,Y), sedo X ua varable udmesoal que toma los valores x, x,...,x p e Y ua varable udmesoal que toma los valores y, y... y k Las varables estadístcas bdmesoales toma los valores (x,y ), (x,y )...(x p,y k ) Represetacó gráfca. Cuado los valores x e y o está agrupados e tervalos, a cada valor x (eje de abscsas) y a cada valor y (eje de ordeadas), tomados cojutamete les correspode u puto e el plao. Este cojuto de putos se deoma ube de putos o dagrama de dspersó. S cada pareja tuvera ua frecueca dstta de la udad, se puede expresar co u úmero, la frecueca correspodete al lado del puto o cotrur ua gráfca trdmesoal dode la tercera dmesó z, represetaría la frecueca. S los datos está agrupados e tervalos, la represetacó gráfca tedríamos el plao dvddo e p.k rectágulos, sedo h el umero de tervalos de x y k el umero de tervalos de y y sobre cada uo de estos rectágulos se levata u prsma cuya altura es proporcoal a la frecueca de la pareja (x,y ) Tablas de frecuecas. Tabla de columas: S la frecueca de cada par (x,y ) es x y x.y x y totales totales totales totales totales S las frecuecas o so, habría que añadr ua columa co los valores de dcha frecueca. Tabla de doble etrada: y y y k x k x... k x p p p pk N

28 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 8 Métodos Estadístcos E las zoes sombreadas se cosgará las sumas de los j por flas y columas, teedo que sumar por ambos lados N Dstrbucoes margales: Se llama así a las dstrbucoes de las dos varables que tervee X e Y, cosderadas de forma aslada. Segú esto las dstrbucoes margales so las que fgura e la zoa sombreada de la gráfca de doble etrada ateror. Mometos e dstrbucoes bdmesoales: Respecto al orge: Mometo de orde r, s respecto al orge: a rs = p k = j= r s j x. y. j N a 0 es la meda de y, metras que a 0 es la meda de x. Mometos de orde r, s respecto a las medas m rs = p k ( = j= r s j x x).( y j y). N Segú esta defcó m 0 = m 0 = 0 m 0 es la varaza de y m 0 es la varaza de x m se deoma covaraza. Por tato la covaraza es: m j x x).( y j y). N p k = ( = j= Suele represetarse por σ xy o S xy Se puede demostrar que σ = x. y x y, es decr la meda del producto meos el xy. producto de las medas. (Hágase como ejercco) Cuado dos varables X e Y so depedetes, la covaraza es 0 Correlacó Es la teoría que estuda la relacó de depedeca etre las dos varables (x, y) de ua dstrbucó bdmesoal. Hay varos tpos de correlacó, pero os vamos a cetrar e la leal, esto es cuado la ube de putos se codesa más o meos e tora a ua lea recta. Podemos dstgur:

29 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 9 Métodos Estadístcos Correlacó postva o drecta: Cuado ua varable crece també lo hace la otra. E la correlacó leal esto se traducría e que la recta sería crecete, o lo que es lo msmo, de pedete postva. Correlacó egatva o versa: Cuado ua varable crece la otra decrece. E la correlacó leal esto se traducría e que la recta sería decrecete, o lo que es lo msmo, de pedete egatva. Correlacó ula: Cuado o exste gua relacó etre las varables. Se dce que las varables está correladas. Regresó matemátca: Es el resultado de susttur la ube de putos o dagrama de dspersó de ua dstrbucó bdmesoal por la fucó matemátca que mejor se aproxma a ella. Nosotros vamos a cetraros e la regresó leal solamete, que se da cuado la fucó que se ajusta a la ube de putos es ua recta. Recta de regresó de y sobre x: Es la recta que hace mímos la suma de los cuadrados de las dferecas etre los valores observados expermetalmete y y los teórcos y que se obtee medate la recta, meddos paralelamete al eje Y (mímas sumas (y -y ). Su ecuacó es : σ y y = σ xy ( x x x Recta de regresó de x sobre y: Es la recta que hace mímos la suma de los cuadrados de las dferecas etre los valores observados expermetalmete x y los teórcos x que se obtee medate la recta, meddos paralelamete al eje X (mímas sumas (x -x ). Su ecuacó es : σ xy x x = ( y y) σ Es mportate hacer otar que ambas rectas se corta e el puto ( x, y), llamado cetro de gravedad de la dstrbucó cojuta. Coefcetes de regresó: Se llama así a las pedetes de las rectas aterores, que so: σ xy b = que es el coefcete de regresó de y sobre x y represetaremos por β σ σ x xy b' = y que es el coefcete de regresó de sobre y, y represetaremos por β σ x Ua propedad mportate de estos coefcetes es que el producto de ambos coefcetes es meor que. )

30 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 30 Métodos Estadístcos Coefcete de correlacó leal: σ xy r =. σ σ x y Puesto que r, se obtee lo sguete: -S r= : Correlacó perfecta postva (fucoal) -S r=-: Correlacó perfecta egatva (fucoal) -S r=0 : Correlacó ula, las rectas so y = y x = x -S <r<0 :Correlacó egatva, más fuerte cuato más se aproxme el valor a -S 0<r< :Correlacó postva, más fuerte cuato más se aproxme el valor a

31 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 3 Métodos Estadístcos Problemas propuestos º) Dada la sguete dstrbucó que represeta a 60 hombres de la msma edad co respecto a los caracteres: altura (x) y peso (y),55-,65,65-,75,75-, Calcular: La dstrbucó margal de la varable y. Meda y varaza margales de la varable y. º) Dada la sguete dstrbucó bdmesoal: Se pde: a) Dstrbucoes margales b) Meda y moda de las dstrbucoes margales c) Desvacó típca y asmetría de las dstrbucoes margales. 3º) Dadas las sguetes seres de valores de las varables x e y, calcular la recta de regresó de y xobre x y de x sobre y x y º) Dada la sguete dstrbucó bdmesoal, obteer las rectas de regresó y el coefcete de correlacó:

32 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 3 Métodos Estadístcos 5º) Las otas obtedas por 0 uverstaros e Aatomía y Fsología so: Aatomía , Fsología 6,5 4, Se pde: Calcular las rectas de regresó. Dbujarlas y dbujar la ube de putos o dagrama de dspersó. Calcular el coefcete de correlacó Cuál sería la ota esperada e Fsología de u uverstaro que haya obtedo 8,3 e Aatomía. 6º) Dada la sguete dstrbucó x y Calcular la covaraza, la recta de regresó de y xobre x. Estudar la depedeca leal etre ambas varables. 7º)Las rectas de regresó de dos varables aleatoras x e y so : x + y = 7 x + 3y = 3 Calcular los valores medos, los coefcetes de regresó y la correlacó.

33 Tema III. Combatora 33 Métodos Estadístcos TEMA III. COMBINATORIA Factoral de u úmero: Dado u úmero etero, se llama factoral de, al sguete valor:! = ( )( ) Por coveo se establece que 0!=. Dados m elemetos x, x, x 3,..., x m, podemos defr los sguetes coceptos: Varacoes ordaras (s repetcó) de m elemetos tomados de p e p. So el cojuto formado por todas las coleccoes de p elemetos dsttos elegdos de etre los m dados, cosderado dsttas dos coleccoes cuado se dfereca e algú elemeto o cuado teedo los msmos elemetos, dfere e el orde de colocacó. El úmero de las varacoes ordaras se represetará por Vm,, y su valor es: m! Vm, p =. Otro valor de este cocete es: Vm, = m( m )...( m p + ) ( m p)! Es obvo que de la defcó se desprede que p m Permutacoes de m elemetos Cuado m=p, las Varacoes aterores resulta ser las coleccoes de los m elemetos (por tato se toma todos) elegdos e las codcoes ya dcadas, es decr Vm,m. A estas coleccoes se les deoma Varacoes de m elemetos y su valor es: m! Pm = Vm, m = = m! 0! Varacoes co repetcó de m elemetos tomados de p e p. So el cojuto formado por todas las coleccoes de p elemetos elegdos de etre los m dados, pudedo estos repetrse, cosderado dsttas dos coleccoes cuado se dfereca e algú elemeto o cuado teedo los msmos elemetos, dfere e el orde de colocacó. Al troducr la posbldad de repetcó de los elemetos, p puede ser mayor que m. Su úmero vee dado por: RVm, p = E calculadora. Las Varacoes ordaras e la calculadora vee determadas e la tecla Vr. Para las permutacoes se utlzaría també Vr, cosderado =r, pero la mayoría de las marcas tee la fucó! Por tato, s quséramos obteer V 3, pulsaríamos 3 Vr = S quséramos obteer P 3, pulsaríamos 5 Vr 5 =, o be drectamete 5! E Excel La fucó que e Excel determa Vm,p y Pm es PERMUTACIÓN, dode hay que establecer dos parámetros úmero y tamaño, el úmero sería m y el tamaño p. E caso de ser ua permutacó ambos parámetros sería m. p m

34 Tema III. Combatora 34 Métodos Estadístcos Permutacoes co repetcó. Llamaremos permutacoes co repetcó de m elemetos etre los que hay a guales etre sí, otros b guales etre sí,..., sedo a+b+...+c=p, a los dsttos grupos que se puede formar co los m objetos, etre los que aparece repetdos a, b,...,c elemetos, cosderado dsttos dos permutacoes cuado dfere e el orde de colocacó. Su úmero es: a, b,..., c ( a + b +... c)! Pm = a!. b!... c! Es destacable observar que e las varacoes co repetcó, u elemeto puede repetrse u úmero varable de veces, que llega hasta el orde de dcha varacó. Esto o sucede, e cambo, e las permutacoes co repetcó, dode el úmero de veces que aparece repetdo cada elemeto es sempre el msmo. Por tato para dstgur uas de otras, smplemete hemos de pregutaros s la repetcó de los elemetos es fja o varable; e el prmer caso estaríamos ate uas permutacoes co repetcó y e el segudo sería varacoes co repetcó. Combacoes de m elemetos tomadas de p e p. So todos los grupos posbles que se puede formar co p dsttos tomados de los m elemetos dados, de modo que dos grupos cualesquera dfera e algú elemeto, es decr que o mporta el orde de colocacó de los elemetos como ocurría e las varacoes. Su úmero vee determado por: m! Cm, p =,a este valor se le deoma úmero combatoro y se ( m p)! p! m represeta por. p Los úmeros combatoros se obtee fáclmete utlzado el trágulo de Pascal-Tartagla: m p Propedades de los úmeros combatoros: m.- 0 = m m m = p p + p +

35 Tema III. Combatora 35 Métodos Estadístcos m m 3.- = p m p U caso dode tervee los úmeros combatoros. El bomo de Newto: ( a m a p= 0 p m m p + ) =.. b b m p E calculadora La tecla correspodete a las combacoes o úmeros combatoros es Cr y se utlza exactamete gual que e el caso Vr. E Excel p. La fucó a usar es COMBINAT, dcado umero y tamaño, es decr m y Combacoes co repetcó de m elemetos tomados de p e p. So las dsttas agrupacoes de p elemetos guales o dsttos que se puede formar co los m elemetos dados, de modo que cada dos combacoes co repetcó dfera al meos e u elemeto. Su úmero vee dado por: RCm, p = m + p p

36 Tema III. Combatora 36 Métodos Estadístcos Problemas propuestos de Combatora (Nvel ) ) Ua carrera e la que partcpa ses atletas se realza co el f de clasfcar a tres de ellos (para posterores competcoes); los restates corredores queda elmados. Cuátos resultados dsttos puede haber, e prcpo? (Se supoe que o hay posbldad de empate). ) S e la carrera ateror hubera tres premos: medalla de oro, medalla de plata y medalla de broce, cuál sería etoces el resultado? 3) Cuál sería el resultado del ejercco ateror s hubera ses premos dsttos? 4) Cuátas palabras de 7 letras dsttas puede escrbrse co las letras de la palabra CADAQUES? 5) E ua jorada de fútbol, cuátas quelas de ua apuesta, dsttas, se podría hacer? 6) E u estate de ua lbrería capaz para 5 volúmees, hay sete ejemplares guales de El Qujote, ocho ejemplares guales de La Celesta y dez ejemplares guales de La vegaza de Do Medo. De cuátas maeras dferetes (cluso e desorde) puede colocarse dchos lbros. 7) E ua bolsa hay dez bolas rojas, dez azules y dez egras, todas ellas del msmo tamaño y calda. De cuátas maeras puede extraerse dez bolas de dcha bolsa: a) S mporta el orde e que se extraga b) S o mporta el orde e que se extraga. 8) Cuátos productos dferetes, co cuatro factores, se puede formar co los úmeros prmos compreddos etre y 9, ambos clusve. a) s repetr gú factor? b) reptedo s se desea? 9) De cuátas maeras posbles puede colocarse cuatro soldados e ua fla. 0) U camarero descadsa dos días cualesquera por semaa; cuátas semaas podrá trascurrr para que o se repta los dos días de descaso? ) Cuátas permutacoes se puede formar co las letras de la palabra permutacó? Cuátas termará e y cuátas empezará por per? ) Co las cfras del úmero 57836, cuátos úmeros dsttos de tres cfras se puede formar? a) o etrado repetda gua de las cfras? b) reptedo s se desea? 3) Co ses pesas de,, 5, 0, 0, 50 klogramos, cuátas pesadas dferetes puede obteerse tomado aquéllas de tres e tres?

37 Tema III. Combatora 37 Métodos Estadístcos 4) Cuátos úmeros dsttos de ocho cfras se puede escrbr, de modo que parezca dos uos, tres cuatros y tres ochos? 5) E uas eleccoes para ombrar cco ellaces sdcales se presetaro 5 caddatos; cada productor, para hacer erectvo su voto escrbó e u papel 5 ombres (o mportaba el orde de su colocacó) y se do la extraña crcustaca de que se regstro u empate total etre los 5 caddatos, porque todos los votos fuero dsttos. Cuátos productores trabaja e la fábrca? 6) Co las letras de la palabra valdespo, cuátas palabras de cuatro letras dsttas puede escrbrse? De éstas, cuátas empezará por d y termará e a? 7) Cuátos úmeros dsttos de ses cfras se puede formar co las cfras del úmero 3756, de modo que empece y terme e. 8) Co 0 soldados, cuátas guardas dferetes de a cuatro soldados cada ua puede formarse, y e cuátas etrará u soldado determado J.? 9) E ua clase hay 5 alumos y 8 mesas, supogamos que cada día se dstrbuye de forma dstta, o respeco a los días aterores Durate cuatos días puede mateerse esta stuacó? 0) Se extrae ua carta de ua baraja de 5 cartas; se troduce uevamete. Se repte esta operacó tres veces más. Cuátos resultados dsttos puede obteerse: a) S mporta el orde b) S o mporta el orde. ) Supogamos que e el ejercco ateror las cartas extradas o vuelva a la baraja Cuáles so etoces los resultados? ) De cuatas maeras puede colocarse e fla cuatro moedas de euro, cuatro de euros y cuatro de 50 cétmos 3) Cuátos modelos de bllete de tre se debe mprmr para cubrr u trayecto de dez estacoes, s e cada bllete ha de fgurar la estacó de salda e prmer lugar, y la llegada e segudo lugar? 4) Ua hormga desea r desde el extremo feror zquerdo de u tablero de ajedrez, hasta el extremo superor derecho, recorredo la míma dstaca posble y co la codcó de pasar ucamete por los bordes de los escaques (cuadrados), uca e dagoal. De cuátas formas dsttas puede hacerlo?

38 Tema III. Combatora 38 Métodos Estadístcos Problemas propuestos de Combatora (Nvel ) ) Sea A = {,,3,4,5,6,7}. Se pde: a) El úmero de subcojutos de A co tres elemetos. b) El úmero de sobcojutos de A co cuatro elemetos. c) El úmero de subcojutos de A co tres elemetos como máxmo d) El úmero de subcojutos de A co cuatro elemetos como mímo. e) El úmero de subcojutos de A co cuatro elemetos, dos pares y dos mpares f) Cuátos úmeros dsttos de cuatro cfras puede escrbrse co las cfras de A de modo que empece y terma e cfra mpar, y que las restates cfras sea úmeros pares? De éstos, cuátos tee todas sus cfras dsttas? ) De 7 españoles y 4 fraceses se va a elegr u comté de 6 persoas. De cuátas maeras puede formarse? a) De modo que haya exactamete dos fraceses b) De modo que haya dos fraceses como mímo 3) Cuátas dagoales tee u polígoo covexo de lados? 4) Co u pao de juguete de 4 otas, cuátos sodos dferetes puede cosegurse empleado cada vez cuatro otas como máxmo. 5) E u baquete la mesa de la presdeca es rectagular y tee ocho cubertos preparados, todos ellos a u msmo lado. De cuátas maeras dsttas puede setarse los ocho comesales? 6) Hay dos obras de tres volúmees cada ua y otras dos de dos voúmees cada ua. De cuátas maeras puede colocarse los dez lbros e u estate capaz para dez lbros, s debe quedar de tal modo que o se separe los volúmees de ua msma obra? 7) U etreador dspoe, para formar u equpo de futbol, de 3 porteros, 5 defesas, 6 medos y 9 delateros. Cuátos equpos dferetes puede formar: a) Supoedo que los dsttos puestos de defesa medo y delatero so equvaletes etre sí, respectvamete (es decr, s hacer dstcó etre los tres defesas: cetral, zquerdo y derecho; y hacedo lo msmo para los dos medos y para los cco delateros)? b)no supoédolo? 8) U depósto de agua tee cco caños de desagüe, que arroja,,4,0 y 0 ltros por muto. Abredo dsttamete cuatro de estos caños, e cuátos tempos dferetes se puede vacar el depósto? 9) A ua clase de matemátcas asste 4 alumos, y todos los días resuelve problemas e la pzarra dos de ellos. El profesor desea que durate el curso o salga dos veces la msma pareja; es esto posble?

39 Tema IV. Álgebra de sucesos 39 Métodos Estadístcos TEMA IV. ÁLGEBRA DE SUCESOS Sea u expermeto aleatoro. Defmos los sguetes coceptos: Suceso elemetal.- Es cada uo de los resultados drectos del expermeto aleatoro. Por ejemplo s lazamos u dado, los sucesos elemetales so,,3,4,5,6. Espaco muestral.- Es el cojuto formado por los sucesos elemetales de u expermeto aleatoro. Suele represetarse co la letra Ω. Suceso.- Es cualquer subcojuto de u espaco muestral Ω y suele represetarse co letras mayúsculas A,B,C...etc De este modo puedo afrmarse que s teemos sucesos elemetales, el cojuto de sucesos, represetado por P( Ω ), tedrá elemetos. (se deduce fáclmete por combatora) Suceso mposble.- Es el que uca se verfca detro del expermeto aleatoro. Se represeta por. Suceso seguro.- Es el que sempre se verfca y cocde co Ω. Sucesos compatbles.- So aquellos que o puedes realzarse smultáeamete. Sucesos depedetes.- Dos sucesos se dce que so depedetes, cuado la realzacó de uo o fluye e la realzacó del otro. Operacoes co sucesos: a) Uó de sucesos: Dados dos sucesos A y B, asocados a u espaco muestral Ω de u expermeto aleatoro, se defe A B, como el suceso que se verfca cuado se verfca A, B o ambos. (Es el equvalete a lo que e lógca se deomaría ua dsyucó clusva). b) Iterseccó de sucesos: Dados dos sucesos A y B, asocados a u espaco muestral Ω de u expermeto aleatoro, se defe A B, como el suceso que se verfca cuado se verfca Ay B smultáeamete. (Es el equvalete a lo que e lógca se deomaría ua cojucó). Segú esta defcó se deduce que dos sucesos A y B so compatbles s y sólo s se verfca que A B = c) Negacó o complemetaro: Se deoma complemetaro del suceso A, y se represeta por A, al suceso que se verfca cuado o se verfca A. d) Dfereca de sucesos: Dados dos sucesos A y B, asocados a u espaco muestral Ω de u expermeto aleatoro, se defe A- B, como el suceso que se verfca cuado se verfca A y o se verfca B. Esta operacó se puede defr e térmos de uó terseccó y egacó, del sguete modo:

40 Tema IV. Álgebra de sucesos 40 Métodos Estadístcos A B = A B Propedades de las operacoes: Para cualesquera sucesos A, B, C de u expermeto aleatoro, se tee: ) Commutatva : A B = B A ; A B = B A ) Asocatva : A (B C) = (A B) C ; A (B C) = (A B) C 3) Dstrbutvas : A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 4) Idempotetes: A A = A ; A A = A 5) Leyes de Morga: (A B) = A B ; (A B) = A B 6) Smplfcatva o de absorcó A (A B) = A ; A (A B) = A 7) De detdad: A = ; A = A ; A Ω = Ω ; A Ω = A 8) Del complemetaro:a A = Ω ; A A = ; A = A ; Ω = ; = Ω Frecuecas absolutas y relatvas de u suceso Dado u expermeto aleatoro, co u espaco muestral Ω, que realzamos N veces, y dado u suceso de dcho expermeto que deotaremos por A, llamamos frecueca absoluta del suceso A, al úmero de veces que dcho suceso se verfca e el expermeto y llamamos frecueca relatva de A, a la proporcó co que dcho suceso se verfca. Por tato: f a (A) = y f r (A)=/N So propedades de la frecueca relatva, las sguetes:. 0 f r (A) Demostracó: Puesto que 0 ( A) N, dvddedo por N, se obtee 0 ( A) f a. f r ( Ω) = ; f r ( ) = 0 Demostracó: Es trval teedo e cueta que f a (Ω)=N y que f a ( )=0 3. ( A) + f ( A) = f r Demostracó: S A aparece veces, la frecueca de A es N-, por lo que se tee que N f r ( A) + f r ( A) = + = N N 4. f r ( A B) = f r ( A) + f r ( B) f r ( A B) Demostracó: Sea f a (A)= a ; f a (B)= b; ; f a (A B)= ab. ; f a (A B)= a b ; f a ( A B)= ab Segú esta otacó podemos afrmar los sguete: ab + ab + a b f r ( A B) = () N Ahora be, dado que a = a b + ab y b = ab + ab, resulta que f r

41 Tema IV. Álgebra de sucesos 4 Métodos Estadístcos ab + a ab + b ab () = fr ( A B) = = fr ( A) + fr ( B) fr ( A B) N 5. S A y B so dos sucesos compatbles fr ( A B) = fr ( A) + fr ( B) Demostracó: Es obva basádose e la propedad ateror y teedo e cueta que s A y B so compatbles etoces A B = 6.. S A B, f r ( A) f r ( B) Demostracó: S A B, B = A ( B A) y teedo e cueta que A y B-A so dos sucesos compatbles, aplcado la propedad ateror resulta que f ( B) = f ( A) + f ( B A), dado que P ( B A) 0, resulta que f ( A) f ( B) r r r r r

42 Tema IV. Álgebra de sucesos 4 Métodos Estadístcos Ejerccos propuestos ) S lazamos tres moedas al are. Se pde: a) Cuátos elemetos tee el espaco muestral? b) Cuátos sucesos tee el expermeto? c) Descrbe los sucesos A = que salga al meos dos caras ; B = que salga al meos ua cruz d) Cuál es el suceso complemetaro de B? e) Expresar el suceso A B ) Sea el sguete expermeto aleatoro: E ua ura hay ua bola blaca y ua egra. Se extrae ua bola: s es blaca se devuelve a la ura y se vuelve a extraer otra bola, procededo del msmo modo; es decr que s la seguda es blaca se vuelve a troducr e la ura y se vuelve a extraer otra bola...y as sucesvamete hasta que salga ua egra, e cuyo mometo el expermeto falza. Cuál es el espaco muestral de dcho expermeto? Es fto o fto? S es fto es umerable o o? 3) U expermeto cosste e lazar u dado. Se pde: a) Descrbe el espaco muestral. b) Sea A = salr par ; B = ser múltplo de 3. Hallar A B y B 4) S lazamos 5 dados, cuátos sucesos elemetales tedremos? E cuatos de ellos os sale los cco resultados mpares? 5) S lazamos 6 moedas, cuátos sucesos elemetales tedremos?. E cuatos casos dsttos os puede salr exactamete dos caras? 6) S extraemos dos bolas de ua ura que cotee 4 rojas y egras, cuátos casos se puede producr? E cuátos de ellos os saldrá ua de cada color? E cuatos casos os saldrá las dos bolas rojas? 7) Lazamos ua moeda al are. S sale cara, lazo u dado de 6 caras (u cubo de caras umeradas del al 6) y s sale cruz lazo u dado de cuatro caras (tetraedro de caras umeradas del al 4). Cuátos sucesos elemetales tee el expermeto? E cuátos casos os saldrá el resultado del dado par? 8) Teemos 6 cartas e ses sobres correspodetes. Se extrae las 6 cartas del sobre y se baraja, para troducrlas de uevo al azar. Cuátas troduccoes dsttas podemos realzar? E cuátas de ellas obtedremos la stuacó de partda? 9) Cuátos casos dsttos puede producrse al lazar al are 4 moedas. E cuátos de estos casos va a salr por lo meos ua cara? 0) Po u ejemplo de u par de sucesos que sea compatbles e depedetes.

43 Tema V. Probabldad 43 Métodos Estadístcos TEMA V. PROBABILIDAD Se comprueba empírcamete que la frecueca relatva de u suceso de u expermeto aleatoro se aproxma a u valor fjo al aumetar el úmero de experecas. Esta propedad, llamada ley del azar, fue calmete descuberta e los juegos de azar; al trar ua moeda al are, la frecueca relatva del suceso cara tee, al aumetar el úmero de tradas, haca el valor costate ½. Posterormete se observó esta propedad e datos demográfcos; así la frecueca relatva del acmeto de varoes tede a 0,5. Estas experecas codujero e el sglo XIX a defr la probabldad de u suceso como el valor límte de su frecueca relatva al repetr defdamete el suceso. Esta defcó preseta problemas mportates puesto que o es posble ua expereca defda; así e los años 30 del sglo XX, se defó la probabldad como ua fucó defda e el cojuto de sucesos que tee las propedades de la frecueca relatva. Esto coduce a la llamada defcó axomátca de la probabldad. Cocepto de probabldad: Sea Ω u espaco muestral asocado a u expermeto aleatoro. Se defe la probabldad como ua fucó que a cada suceso del cojuto de sucesos de Ω, le asga u úmero real P : ( Ω) R A P(A) = probabldad del suceso A verfcado los sguete axomas (proposcoes demostrables dadas por váldas). 0 P ( A), A ( Ω). P ( Ω) = 3. S A B = P( A B) = P( A) + P( B) E estas codcoes, a la tera ( Ω, ( Ω), P) se le deoma espaco de probabldad. Propedades de la probabldad: Parecería lógco que debera teer las msmas propedades que la frecueca relatva, y así va a ser, deducédose las msmas de los tres axomas aterores. So las sguetes:.- P ( A) = P( A), A ( Ω) Demostracó: Ω = A A, P( Ω) = P( A A) = P( A) + P( A), de dode P( A) = P( A).- P( ) = 0 Demostracó: = Ω, etoces por el axoma ateror teemos que P( ) = -P(Ω) = - = 0

44 Tema V. Probabldad 44 Métodos Estadístcos 3.- S A B, P( A) P( B) Demostracó: B = A ( B A) P( B) = P( A) + P( B A) P( A) P( B) 4.- P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) Demostracó: A B = A ( B A) P( A B) = P( A) + P( B A) B = ( B A) ( A B) P( B) = P( B A) + P( A B) Restado las dos gualdades aterores, se tee P( A B) P( B) = P( A) P( A B), de dode se cocluye que: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) Postulado de equprobabldad. Regla de Laplace Cuado u expermeto aleatoro tee sucesos elemetales y o exste gua razó que favorezca la realzacó de uo respecto de los otros, debe admtrse que todos tee la msma probabldad y se llama equprobables. S llamamos x a la probabldad de uo cualquera de ellos se debe cumplr, dado que Ω = e e,..., e }, P Ω ) = P( e ) + P( e ) P( e ) = x+x+... +x =.x, es decr que {, =.x, de dode x = / ( Ahora be, dado u suceso cualquera A, sabemos que está costtudo por p sucesos elemetales (aquellos favorables a su verfcacó), por tato sguedo el razoameto ateror, sabemos que A = { e, e,..., e p } y por tato P ( A) = x + x x = x.p, pero teedo e cueta que x=/, resulta falmete P(A) = p/ Esta es la llamada Regla de Laplace que dce: E u espaco muestral equprobable, la probabldad de u suceso es la relacó etre el úmero de casos favorables (a la aparcó del suceso) y el de casos posbles (todos los del expermeto). Es de vtal mportaca resaltar que esta regla ta sólo se puede aplcar cuado los sucesos elemetales so equprobables, por lo que su utldad es restrgda. La combatora es muy útl a la hora del cálculo del úmero de casos favorables y posbles, a la hora de aplcar esta regla e múltples problemas. Probabldad codcoada: A veces, el coocmeto de ua formacó complemetara o prelmar, hace varar la probabldad de u suceso. Veamos u ejemplo lustratvo de esta afrmacó: Supogamos que teemos ua ura co 00 bolas dstrbudas segú la sguete tabla: Rojas Blacas Totales Madera Crstal Totales

45 Tema V. Probabldad 45 Métodos Estadístcos El expermeto cosste e extraer ua bola al azar. Sea los sucesos sguetes: A= salr roja ; B= salr de madera Está claro que se trata de u espaco muestral equprobable (o hay gua razó para que me salga ua determada bola co más frecueca que las demás) y por tato se puede aplcar la regla de Laplace, e cuyo caso P(A) = 39/00 P(B) = 3/00 y P(A B) = 7/00 Cosderemos ahora el suceso salr ua bola de madera de etre las rojas, o expresado de otro modo S sabemos que la bola que sale es roja, que sea de madera. Evdetemete es u hecho seguro e el eucado del suceso que la bola es roja, por tato teemos ua formacó prelmar o dcho de otro modo, el suceso está codcoado por el hecho de que la bola es roja. A este tpo de sucesos se les deoma sucesos codcoados y se escrbe as: B/A, leyédose B codcoado a A. El suceso A es la codcó y B es el codcoado. E uestro caso sería salr de madera codcoado a ser roja. Obsérvese que la probabldad camba ya que el espaco muestral se reduce a las bolas rojas, por tato P(B/A) = 7/39. Así pues e geeral, podemos afrmar lo sguete: P( A Ω) Dado que P ( A) =, e el caso de B/A, el espaco muestral pasa de ser P( Ω) Ω a ser A, por tato podemos afrmar que: P( A B) P( B / A) = P( A) que es la expresó que determa el valor de la probabldad codcoada. De esta expresó se deduce que P ( A B) = P( A). P( B / A) Sucesos depedetes Dos sucesos A y B so depedetes cuado la realzacó de uo o fluye e la realzacó del otro, esto es que uo o codcoa al otro a la hora de verfcarse, por tato podemos afrmar que e este caso A/B = A o B/A = B Segú esto, s A y B so depedetes se tee que P ( A B) = P( A). P( B) que es la expresó que los caracterza. Teorema de la probabldad total y Teorema de Bayes. Llamamos sstema completo de sucesos a u cojuto de sucesos compatbles etre sí { A, A, A3,..., A k }, de forma que Ω = A A... AK. Cosderemos u suceso X del expermeto y tratemos de averguar su probabldad, supoedo coocdas las de los A y las de X/A Obvamete X = ( X A ) ( X A )... ( X AK ), sedo las expresoes etre parétess sucesos compatbles, por tato: k A ( = ( k k P( X ) = P( X ), ahora be, sabemos que P X A ) = P( A ). P( X / A ) As pues, P X ) = P( A ). P( X / A ) + P( A ). P( X / A ) P( A ). P( X / A )

46 Tema V. Probabldad 46 Métodos Estadístcos llamado Teorema de probabldad total. Supogamos ahora que lo que queremos calcular so las probabldades de los sucesos A /X. E este caso sabemos que ) ( ) / ( ). ( ) ( ) ( ) / ( X P A X P A P X P X A P X A P = = y aplcado el teorema de las probabldades totales, se obtee: ) / ( ). (... ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( k k A X P A P A X P A P A X P A P A X P A P X A P = que es el llamado Teorema de Bayes. Es mportate e los problemas de probabldad, tratar de detectar u sstema completo de sucesos para poder aplcar estos teoremas.

47 Tema V. Probabldad 47 Métodos Estadístcos Ejerccos propuestos (BLOQUE I). Ua bolsa cotee tres bolas ( roja, azul, blaca). Se saca dos bolas co reemplazo, es decr, se saca ua se observa y se vuelve a meter e la bolsa, a cotuacó se saca la seguda bola. Represetar el espaco muestral: a) E dagrama de árbol. b) lstado; c) e red.. Calcular la probabldad de sacar al meos ua cara cuado se laza al msmo tempo cuatro moedas. 3. Se laza ua moeda trucada e la que se sabe que la probabldad de obteer cara es /3, y la de obteer curz es /3. S sale cruz se escoge al azar u úmero del al 9; s sale cruz se escoge u úmero al azar del al 5. Calcular la probabldad de que se escoja u úmero par. 4. Cuál es la probabldad de obteer dos ases al sacar dos cartas sucesvamete de ua baraja de 40 cartas? 5. Calcular la probabldad al lazar u dado blaco y u dado egro, de que el dado blaco salga co u úmero meor que tres o que la suma de ambos dados sea mayor que Se laza ua moeda. S sale cara se saca ua bola de ua ura que tee cuatro bolas azules, tres rojas y tres verdes. S sale cruz se saca ua bola de otra ura que tee cco bolas azules, dos rojas y tres verdes. Calcular la probabldad de sacar ua bola roja. 7. Tres cclstas a,b, y c tervee sólo ellos e ua carrera. El cclsta a tee doble probabldad de gaar que b y b doble probabldad de gaar que c. Cuáles so las respectvas probabldades de gaar a,b y c? 8. Se tee u grupo de doce torllos de los cuales cuatro so defectuosos. Se coge dos torllos al azar. Calcular: a) Probabldad de que los dos sea defectuosos b) Probabldad de que guo de los dos sea defectuoso c) Probabldad de que por lo meos de los dos uo sea defectuoso 9. Se ha cargado u dado de tal forma que la probabldad de salr u úmero cuado se laza es proporcoal al úmero que sale. Calcular: a) La probabldad de que salga úmero par o prmo b) La probabldad de que salga úmero mpar prmo. c) La probabldad de que salga úmero par pero o prmo. 0. Calcular la probabldad de u suceso coocedo que la suma de su cuadrado más la del cuadrado del suceso cotraro es gual a 5/9

48 Tema V. Probabldad 48 Métodos Estadístcos. E u cojuto de 0000 reclutas se ha comprobado que la proporcoó de los cuatro grupos saguíeos O, A, B, AB es: 0 = 45% A=40% B=0% AB=5% Cuál es la probabldad de que elgedo dos de ellos aleatoramete sea: a) Ambos del tpo A b) Nguo del tpo A c) Uo del tpo O y otro del tpo A d) Que sea de tpos dferetes. E u grupo de alumos, el 5% suspedero las Matemátcas, el 5% la Químca y el 0% ambas. Se pde: a) S u alumo suspedó la Químca, cuál es la probabldad de que suspeda las Matemátcas b) Cuál es la probabldad de que suspedera Matemátcas o Químca? 3. Sabemos que del suceso A, P(A)=3/8, y del suceso B, P(B)=5/8, y P(AUB)=3/4. Calcular: a) P(A/B) b) P(B/A) 4. E u juego de dados se apuesta por el 4. Se tra el dado y ates de ver el resultado, os dce que ha saldo par. Hallar la probabldad de gaar. 5. Ua ura cotee ses bolas blacas y ocho egras. a) Cuál es la probabldad de que al extraer ua bola sea blaca? b) Se extrae dos bolas smultáeamete. Cuál es la probabldad de que las dos sea blacas? c) Varía el resultado s se extrae prmero ua y luego la otra:. S devolver la prmera después de su extraccó. Devolvedo la prmera después de su extraccó? d) Se extrae sete bolas, Cuál es la probabldad de que sea exactamete cuatro blacas s o se devuelve la bola después de cada extraccó? e) Se extrae cco bolas. Cuál es la probabldad de que haya al meos ua blaca.? 6. Se laza tres dados. Cuál es la probabldad de que salga de forma que sume 0? 7. Se laza ua moeda al are dos veces cosecutvas. Cuál es la probabldad de obteer al meos ua cara?. Se se laza 6 veces cosecutvas. Cuál es la probabldad de obteer al meos ua cara? 8. Se laza al are 8 moedas, cuál es la probabldad de que salga o todas caras o todas cruces? 9. Se tee tres uras coteedo: la prmera 50 bolas rojas y 50 bolas blacas, la seguda 60 amarllas y 40 blacas, la tercera 70 verdes y 30 blacas. Al sacar a la vez ua de cada ura, cuál es la probabldad de que gua sea blaca?

49 Tema V. Probabldad 49 Métodos Estadístcos 0. Cuál es la probabldad de que al trar cco moedas al are quede mayoría caras.. Cuál es la probabldad de torpedear u barco, sabedo que sólo puede lazarse tres torpedos y que la probabldad de hacer blaco co u torpedo es 0,?. Se escrbe cco cartas y sus cco sobres correspodetes troducédose luego al azar las cartas e los sobres. Calcular la probabldad de que cada carta se haya troducdo e el sobre que le correspode. 3. Dados los sucesos A y B de los que se cooce: P(A) = 0,4; P(B)=0,3 y P(A B) = 0,. Calcular las sguetes probabldades: a) P(Ā/B). b) P(A/AUB) c) P(A/A B) d) P(Ā/B) 4. E u grupo de u colego ha suspeddo las Matemátcas el 60% de los ños, la Físca el 50%, y ambas asgaturos el 0%. Calcular la probabldad de que elegdo u ño al azar, haya suspeddo las Matemátcas, la Físca o ambas. 5. Sedo A, B, y C, tres sucesos depedetes de los que se cooce sus probabldades: 0, ; 0,8 y 0,7 respectvamete. Calcular: a) P(AUB) b) P(AUC) c) P(AUBUC) 6. La probabldad de que e los hogares de ua poblacó tega lavavajllas es 0,4, y de que tega vídeo es 0,3. Calcular las sguetes probabldades: a) Que tega lavavajllas y vdeo b) Que tega lavavajllas o tega vdeo c) Que e tres hogares elegdos al azar haya lavavajllas d) Que e dos hogares haya dos lavavajllas o dos vdeos. 7. E u clíca se atede sólo cuatro tpos de efermedades: A, B, C, D. La probabldad de que u efermo grese co cada ua de las cuatros es: P(A)=0, P(B)=0,05 P(C)=0,6 P(D)=0,5 Las probabldades de curacó de cada ua de ellas es: P(CA)=0,8 P(CB)=0,75 P(CC)=0, P(CD)=0,3 Calcular la probabldad de curacó de u efermo que gresa e la clíca s coocer cual es su efermedad. 8. E u estudo realzado sobre accdetes de automóvles se ha comprobado que el 0% se debe a fallos mecácos, el 60% a fallos humaos y el 30% a defectos e las carreteras. S desgamos por A, B, C los sucesos teer u accdete por fallo mecáco, teer u accdete por fallo humao y teer u accdete por fallo e la carretera. Calcular la probabldad de que: a) U coductor tega u vaje co accdete b) U coductor tega u accdete debdo a u fallo mecáco. Supuestos coocdos las probabldades del suceso V (teer vaje co accete), codcoado por A, B y C: P(V/A)=0, ; P(V/B)=0,3; P(V/C)=0,6

50 Tema V. Probabldad 50 Métodos Estadístcos 9. Dos máquas M y M ha fabrcado respectvamete 00 y 00 pìezas. Se ha comprobado que M produce u 5% de pezas defectuosas y M u 6%. Tomado ua de las pezas fabrcadas, se pde calcular: a) Probabldad de que sea defectuosa b) Sabedo que es defectuosa, probabldad de que proceda de la máqua M 30. Se tee tres uras co el sguete cotedo: La A tee tres bolas rojas y cco blacas, la B dos bolas rojas y ua blaca, la C dos bolas rojas y tres blacas. Se elge ua ura al azar y se saca ua bola. Se pde, calcular s la bola es roja la probabldad de que proceda de la ura A. 3. U avó realza daramete el msmo servco. Estadístcamete se ha comprobado que la probabldad de accdete e día s ebla es 0,00 y e da co ebla es 0,0. Certo día de u mes que hubo 8 días s ebla y co ebla, se produjo acceete. Calcular la probabldad de que el accdete haya ocurrdo: a) E día s ebla E día co ebla 3. Ua bolsa cotee ses bolas umeradas co los úmeros,,3,4,5,6. Se pde: a) Cuál es la probabldad de que al tomar dos la suma de sus úmeros sea par? b) Al tomar tres. Qué probabldad hay de que sume 9? c) Al tomar prmero ua, devolverla a la bolsa, y luego otra, cuál es la probabldd de que se obtega u úmero par y otro mpar 33. Se laza tres moedas al are smultáeamete a) Cuál es la probabldad de que las tres salga cara? b) Cuál es la probabldad de que salga dos caras y ua cruz? 34. Cuál es la probabldad de obteer al meos u 6 al lazar dos dados? 35. E la Facultad de Cecas, e el prmer curso, el 5% de los estudates suspedero Matemátcas, el 5% suspedó Químca y el 0% suspedó ambas. Elgedo u estudate del prmer curso de esta Facultad al azar, se pde: a) S suspedó Químca, cuál será la probabldad de que suspedera Matemátcas? b) S suspedó Matemátcas, cuál es la probabldad de que suspedera Químca? c) Cuál es la probabldad de que suspedera Matemátcas o Químca? 36. E la provca de Valeca la meda de das de sol e el mes de Julo es de 5 días. Calcular la probabldad de que dos días cosecutvos haga sol.

51 Tema V. Probabldad 5 Métodos Estadístcos 36. Cosdérese el expermeto cosstete e aotar el sexo de los tres prmeros hjos de ua famla umerosa cualquera. Se pde: a) Descrbr el espaco muestral medate u dagrama de árbol. b) Descrbr el suceso A={ prmer hjo varó o tercero hembra} 37. De ua baraja se separa cuatro cartas: u as, ua sota, u caballo y u rey. De esas cuatro cartas, se eleg dos al azar, ua tras otra y s devolucó. Cuátos elem,etos tee el espaco muestral? Descríbase el msmo medate u dagrama e árbol. 38. Sea Ω = {a,b,c} u espaco muestral. Defíase ua probabldad p : Ω R, tal que los sucesos elemetales o sea equprobables. Después hallar P{a,b} 39. Sea Ω = {a,b,c} u espaco muestral. Defíase ua aplcacó p : Ω R que cumpla p(a)+p(b)+p(c) =, pero que o orge ua probabldad. 40. Hállese la probabldad de que e u lazameto de u dado perfecto la suma de las caras laterales y la cara superor valga Hállese la probabldad de que e u lazameto de u dado perfecto la suma de las caras laterales sea 4. (Supógase que so caras opuestas y 6, y 5, 3 y 4) 4. S u dado perfecto se laza dos veces, qué probabldad hay de que ambas veces resulte el msmo úmero?. Y de que la seguda vez resulte u úmero mayor que la prmera? 43. Se laza dos dados o trucados. Hállese la probabldad de los sguetes sucesos: a) A={el producto de tatos obtedos vale 7} b) B={la suma de tatos obtedos es mayor que el producto} 44. U dado ha sdo trucado de tal modo que p() = p() = p(3) = p(4) = x, p(5) = -x, p(6) = -x. Hállese x y la probabldad de obteer mpar e u lazameto. 45. U jugador se costruye u dado de modo que los úmeros pares sea equprobables, los mpares també, pero la probabldad de obteer par sea el doble de la de obteer mpar. Qué probabldad hay de obteer u úmero meor que 4 e u lazameto? 46. Se elge al azar ua fcha del domó. Hállese la probabldad de que la suma de putos de la msma sea mayor que 5 y meor que 9. Hállese tambéla probabldad de que la fcha obteda tega u ses o u cco pero o ambos. 47. Se elge al azar u etero etre y 850 (clusve). Hallar la probabldad de que el úmero elegdo sea: a) Múltplo de 4 b) Impar o cuadrado perfecto c) No múltplo de 5 d) Acabado e

52 Tema V. Probabldad 5 Métodos Estadístcos 48. Hállese la probabldad de que al elegr u úmero de 6 cfras resulte u capcúa. 49. Se elge al azar u úmero atural meor que 00. Hállese la probabldd de que el resto obtedo al: a) Dvdr por 0 valga 9 c) Dvdr por 8 valga 5 b) Dvdr por 7 valga E ua ura hay 50 bolas etre blacas, verdes, y egras. Supoedo que so dstgubles al tacto, cuátas hay de cada color s sabemos que la probabldad de sacar ua verde es /5 y la de extraer egra es /0? 5. E ua ura hay 50 bolas etre blacas, verdes, y egras. Supoedo que so dstgubles al tacto, cuátas hay de cada color s sabemos que la probabldad de sacar ua blaca es /5 y la de extraer egra es el doble de la de obteer verde. 5. U coche lleva ua alarma que se descoecta pulsado ua certa secueca de cuatro cfras dsttas. Qué probabldad hay de cosegur descoectarla pulsado 9 cfras dsttas?

53 Tema V. Probabldad 53 Métodos Estadístcos Ejerccos propuestos (Bloque II). Se cosdera el expermeto aleatoro de lazar u dado al are y aotar el úmero de la cara superor. Hallar: a) El espaco muestral. b) El suceso A= obteer úmero par c) El suceso B= obteer úmero prmo d) El suceso C= obteer úmero múltplo de 3 e) La uó e terseccó de cada dos de los sucesos de los apartados aterores f) Los sucesos: A, B, C. Se laza al are dos dados dsttos. Determar: a) El espaco muestral b) El suceso A= los úmeros de las caras suma 7 c) El suceso B= el producto de los úmeros de las caras es d) Los sucesos A B y A B 3. De los dvduos que compoe ua muestra se cooce los sguetes datos: 50 so mujeres, de ellas 30 so rubas; hay 0 varoes rubos y 60 dvduos moreos. De cuátos dvduos se compoe la muestra? Cuátos de los dvduos so varoes? 4. E ua cafetería cotamos los refrescos de araja y lmó que se vede de dos marcas dsttas A y B. Sabemos que el 80% de los refrescos que vede so de araja y que de ellos el 35% lo fabrca la marca B. S de la marca A so el 70% de todos los refrescos que se vede calcula el porcetaje de refrescos de lmó que se vede de la marca A y de la marca B. 5. E u avó vaja 40 persoas. De ellas 0 habla glés, 66 fracés, 58 alemá, 4 fracés e glés, 36 fracés y alemá, 30 alemá e glés y 4 los tres domas. Se pde: a) cuátos o habla guo de los 3 domas? b) Cuátos sólo habla alemá e glés? c) Cuátos habla sólo fracés?. 6. E ua escuela de estudos empresarales los alumos de º curso que suspede las tres asgaturas, Matemátcas, Cotabldad y Estadístca, repte curso. El últmo año los resultados fuero: 6% aprobaro las 3 asgaturas; % aprobaro Matemátcas y Cotabldad; 6% aprobaro Matemátcas y Estadístca; 8% aprobaro Cotabldad y Estadístca; 37% aprobaro Matemátcas; 56% aprobaro Cotabldad y el 4% aprobaro Estadístca. a) Qué porcetaje de alumos reptó curso? b) Qué porcetaje aprobó solo ua asgatura? 7. Dados dos sucesos A y B compatbles que verfca P(A)=0,3 y P(B)=0,. Calcular:

54 Tema V. Probabldad 54 Métodos Estadístcos P( A), P( B), P( A B) y P( A B). 8. Sea A y B dos sucesos tales que: P(A)=0 6, P(B)=0 4 y P( A B) =0. Calcular: P( A B), P( A), P( B), P( A B), P( B A) 9. Dados dos sucesos que verfca P ( A B) = 3/ 4, P( A) = / 3, P( A B) = / 4. Calcular: P(A), P(B), P( A B), P( A B) 0. E ua carrera partcpa los caballos A, B, C y D. Se estma que la probabldad de que gae A es el doble de cada ua de las probabldades de los otros caballos. Calcular la probabldad de gaar de cada uo de los caballos.. E ua bolsa hay bolas egras y blacas. La probabldad de extraer bola blaca es de dos qutos de la probabldad de sacar bola egra. Determar la probabldad de extraer bola egra y la probabldad de sacar bola blaca.. E u dado trucado, cuyas caras está umeradas del al 6, la probabldad de que salga cada cara es drectamete proporcoal al úmero que aparece e la msma. Hallar la probabldad que tee cada cara de salr. 3. Se laza 3 moedas al are. Hallar: a) El espaco muestral. b) La probabldad de cada uo de los sucesos elemetales c) La probabldad de al meos ua cara. 4. Se extrae al azar ua carta de ua baraja de 40 apes. Calcular la probabldad de que la carta extraída sea: a) Copa, b) As, c) Fgura, d) El 3 de oros. 5. Se laza al are dos dados. Cuál es la probabldad de que la suma de los putos sea 7? 6. Queremos marcar u úmero de teléfoo de 7 cfras y sólo sabemos las 5 prmeras: a) Calcular la probabldad de acertar co el úmero que buscamos. b) Calcular la probabldad de acertar co el úmero, sabedo que las dos cfras descoocdas so dsttas. 7. Ua clase costa de 0 hombres y 0 mujeres; la mtad de los hombres y la mtad de las mujeres tee los ojos castaños. Determar la probabldad de que ua persoa escogda al azar sea u hombre o tega los ojos castaños. 8. E ua cudad se edta 3 peródcos A, B, C co la sguete dstrbucó de lectores: de cada 00 habtates 30 lee A, 8 lee B, 7 lee C, 5 lee A y B, 9 lee A y C, lee B y C, y 6 lee los tres. Se elge ua persoa al azar, calcular: a) La probabldad de que lea algú peródco. b) La probabldad de que lea exactamete u peródco. c) Probabldad de que lea B y C pero o A. 9. E u cetro escolar, los alumos de COU puede optar por cursar, como legua extrajera, etre glés o fracés. E u determado curso, el 90% estuda glés y

55 Tema V. Probabldad 55 Métodos Estadístcos el resto fracés. El 30% de los que estuda glés so varoes y de los que estuda fracés so chcos el 40%. Elegdo u alumo al azar. Cuál es la probabldad de que sea chca? 0. Sea A y B dos sucesos co P(A)=/, P(B)=/3 y P(A B)=/4, calcular: P(A/B), P(B/A), P(AUB). Sabedo que P(A) = 0 3, P ( B) = 0'6, P( A/ B) = 0, 3, calcular: P(A B), P(AUB), P( ( A / B) P( B / A) P( AUB), P( A B). a) Sabedo que A B calcular P(B/A) y P(A/B) b) S A y B so compatbles, calcular P(B/A) 3. E ua empresa hay 45 empleados, de los cuales 9 so hombres y 6 mujeres. De ellos, 7 hombres y 5 mujeres so fumadores. Calcula las sguetes probabldades: P(H), P(M), P(H F), P(M F), P(F), P(H/F) l P(M/F) 4. El 0% de los empleados de ua empresa so Igeeros y otros 0% so Ecoomstas. El 75% de los Igeeros ocupa u puesto drectvo, y el 50% de los Ecoomstas també, metras que de los No-Igeeros y No-Ecoomstas solamete el 0% ocupa u puesto Drectvo. Cuál es la probabldad de que u empleado Drectvo elegdo al azar sea Igeero? 5. Ua ura cotee 5 bolas blacas s marcar, 75 bolas blacas marcas, 5 bolas egras s marcar y 75 bolas egras marcadas. Se extrae al azar ua bola. Calcula: a) La probabldad de que sea blaca. b) S la bola extraída está marcada, Cuál es la probabldad de que sea blaca? 6. Se sortea u vaje a Caaras etre los 00 cletes de ua teda de electrodoméstcos. De ellos 5 so mujeres, 55 está casados y 95 so mujeres casadas. cuál es la probabldad de que le toque el vaje a u hombre soltero?. S del afortuado sabemos que está casado cuál es la probabldad de que sea mujer? 7. E ua clase el 40% de los alumos aprueba Matemátcas y el 50% aprueba flosofía. Se sabe que la probabldad de aprobar matemátcas s se aprobó flosofía es 0 6. a) Estudar s los sucesos aprobar Matemátcas y aprobar Flosofía so depedetes. b) Qué porcetaje de alumos aprobaro las dos asgaturas? c) De los alumos que aprobaro Matemátcas, qué porcetaje aprobó Flosofía? 8. E u Isttuto el 5% de los alumos ha suspeddo Matemátcas, el 5% ha suspeddo Físca y el 0% ha suspeddo las asgaturas. Se seleccoa u dvduo al azar. Calcular: a) La probabldad de que haya suspeddo matemátcas. b) S ha suspeddo Matemátcas, cuál es la probabldad de que haya suspeddo Físca c) Cuál es la probabldad de que haya suspeddo Matemátcas ó Físca.

56 Tema V. Probabldad 56 Métodos Estadístcos d) S ha aprobado Matemátcas, cuál es la probabldad de que haya suspeddo la Físca? 9. U juego cosste e lazar tres moedas al are. S las tres moedas aparece de gual modo (tres caras o tres cruces), se gaa. E caso cotraro, se vuelve a trar. Se pde: a) Cuál es la probabldad de gaar e la prmera trada? b) Cuál, la de perder las dos prmeras y gaar la tercera? 30. Ua ura cotee 8 bolas rojas, 3 blacas y 9 azules. S se extrae bolas aleatoramete s reemplazameto. Halla la probabldad de que: a) Las bolas sea rojas. b) Las bolas sea extraídas e este orde: roja, azul c) Ua bola sea roja y ua sea blaca. d) Al meos ua bola sea blaca. 3. E ua caja hay 5 bombllas de las cuales 5 está fuddas. S cogemos 3 de ellas al azar, cual es la probabldad de que: a) Ngua esté fudda b) Exactamete ua esté fudda. c) Por lo meos ua esté fudda. 3. Las probabldades de acertarle a u blaco de tres tradores, A, B y C so respectvamete, /6, ¼ y /3. S cada uo de ellos dspara ua sola vez al blaco, calcular: a) La probabldad de que uo exactamete acerte e el blaco b) S sólo uo acerta e el blaco, cual es la probabldad de que sea A c) Hallar la probabldad de que alguo acerte e el blaco. 33. La Compañía Msegadoras fabrca los motores, las hojas y las cubertas de sus productos. El porcetaje de los motores defectuosos es del 5%, el de hojas defectuosas es el % y el de cubertas el 3%. Cuál es la probabldad de que ua segadora motada o tega defectos? 34. La probabldad de que u torpedo huda u barco es 0. U submaro dspara 3 torpedos, Cuál es la probabldad de que huda a u barco? 35. E ua bolsa hay bolas blacas y 0 verdes. Al sacar 4 bolas sucesvamete calcular la probabldad de que las 4 sea blacas. (Co y s devolucó) 36. Probabldad de que al sacar sucesvamete s devolucó 5 cartas de ua baraja las 5 sea del msmo palo. 37. Ura I: Cotee 6 bolas rojas y 4 bolas blacas. Ura II: cotee 4 bolas rojas y 8 bolas blacas. Se laza u dado. S aparece u úmero meor que 3, os vamos a la ura I; s el resultado es 3 o más os vamos a la ura II. A cotuacó extraemos ua bola. Se pde: a) Probabldad de que la bola sea roja y de la ura II b) Probabldad de que la bola sea blaca.

57 Tema V. Probabldad 57 Métodos Estadístcos 38. Tres cofres détcos cotee: El prmero, 3 lgotes de oro y de plata; el segudo, de oro y 5 de plata; y el tercero, 6 de oro y 7 de plata. Cuál es la probabldad de que al extraer u lgote al azar de u cofre sea de plata? 39. E ua casa hay dos tarros que cotee caramelos. E el prmer tarro hay 8 caramelos de araja y de lmó. E el segudo tarro hay 5 caramelos de araja y 5 de lmó. U ño que vee de vsta elge uo de los tarros y e él u caramelo. S al comerlo ota que es de araja, qué probabldad tee de haber elegdo el segudo tarro? 40. Tres maquas A, B y C fabrca torllos del msmo tpo. Los porcetajes de defectuosos e cada máqua so respectvamete %, %, 3%. Se mezcla 0 torllos: 0 de la máqua A, 40 de la B y 60 de la C. Elegdo uo al azar resulta defectuoso. Cuál es la probabldad de que haya sdo fabrcado por la máqua B? 4. Dos medcametos A y B so efcaces para tratar ua efermedad. El medcameto A produce mejoría e el 74% de los caos y el B e el 80% de los casos. E ua clíca tee 3 tubos del medcameto A y del medcameto B.Eelegmos u tubo al azar y le damos de él ua pastlla al efermo. a) Calcula la probabldad de que el efermo tega mejoría e la efermedad. b) S sabemos que el efermo mejora, calcula la probabldad de que se le sumstrase el medcameto B. 4. Se laza ua moeda hasta que el resultado sea cara. Halla la probabldad de que esto suceda: a) e el prmer lazameto. b) e el segudo lazameto. c) E el lazameto -ésmo. 43. Sea A y B dos sucesos depedetes de u expermeto aleatoro, tales que la probabldd de que ocurra smultáeamete ers /3 y la de que o ocurra guo de los dos es /6. halla P(A) y P(B). 44. Supoedo que todos los meses del año so de 30 días, hallar la probabldad de que los cumpleaños de tres hermaos sea: a) El msmo día del año ; b) Los tres e días dsttos c) Los tres e el msmo mes d) Cada uo e u mes dsttos e) Los tres e marzo f) Nguo e mayo. 45. U baco partedo de la formacó sobre el comportameto de sus cletes referda a los errores cometdos al cubrr cheques obtee las sguetes coclusoes: - De 850 cletes co fodos, 5 cometero algú error. El 98% de los cletes tee fodos. De 50 cheques s fodos, 45 teía algú error. Calcular la probabldad de que u cheque co algú error o tega fodos. 46. E u lote de 40 pastllas de jabó hay 5 premadas. Compramos 3 pastllas. Calcular la probabldad de que: a) Las tres tega premo; b) Exactamete tega premo; c) Algua tega premo. 47. Ate u exame, u alumo sólo ha estudado 5 de los 5 temas correspodetes a la matera del msmo. Este se realza extrayedo al azar tres temas y dejado que

58 Tema V. Probabldad 58 Métodos Estadístcos el alumo escoja uo de ellos para ser examado del msmo. Halla la probabldad de que el alumo pueda elegr e el exame uo de los temas estudados. 48. Ua clase tee 6 ñas y 0 ños. S se escoge u comté de 3 al azar, hallar la probabldad de: a) Seleccoar 3 ños. b) Seleccoar exactamete dos ños y ua ña. c) Seleccoar por lo meos u ño. d) Seleccoar exactamete dos ñas y u ño. 49. E ua bolsa hay 4 bolas verdes y 8 bolas rojas. Se saca ua bola de la bolsa y se devuelve acompañada de otra del msmo color. Se saca etoces ua seguda bola. Calcular: a) La probabldad de que la seguda bola sea verde. b) Probabldad de que las dos bolas sea rojas. c) Probabldad de que sea la prmera roja y la seguda verde. 50. U joyero compra los relojes a dos casas proveedoras. La prmera le srve el 60% de los relojes, de los cuales el 0,4% so defectuosos. La seguda le proporcoa el resto, sedo defectuosos el,5%. U día el joyero, al veder u reloj, observa que este o fucoa. Hallar la probabldad de que el reloj proceda de la prmera casa proveedora. 5. Dos persoas comparte el msmo úmero de teléfoo. De las llamadas que llega /5 so para A y 3/5 para B. Sus ocupacoes los tee alejados del teléfoo de modo que A está fuera el 50% del tempo y B el 5% del tempo. Calcula la probabldad de que al recbr ua llamada o haya ade para coger el teléfoo y la probabldad de que al recbr ua llamada esté presete la persoa a la que llama. 5. U 70% de los cletes de ua compañía de seguros de automóvles tee más de 5 años. U 5% de los cletes de ese grupo tee u accdete a lo largo del año. E el caso de cletes meores de 5 años este porcetaje es del 0%. a) S elegmos u asegurado al azar, calcular la probabldad de que tega u accdete ese año. b) S ua persoa tuvo u accdete, calcular la probabldad de que sea meor de 5 años. 53. Los expertos afrma que la probabldad de que la bolsa suba es 0 4. Por otra parte la probabldad de que el dólar se matega estable es 0 5 y la probabldad de que la bolsa o suba cuado el dólar permaece estable es 0 9. Calcula: a) La probabldad de que la bolsa suba s el dólar permaece estable. b) La probabldad de que el dólar se matega estable o suba la bolsa. c) La probabldad de que el dólar se matega estable s sube la bolsa. 54. Cosderamos tres dados de los cuales dos so correctos y uo está trucado de forma que el 6 aparece e la mtad de las tradas y las otras caras aparece co la msma probabldad. Se elge u dado al azar y se laza: a) Cuál es la probabldad de obteer u cco? b) S ha saldo u ses, cuál es la probabldad de haber elegdo el dado trucado?

59 Tema V. Probabldad 59 Métodos Estadístcos 55. U coche frea bruscamete y provoca u accdete. Tres testgos estaba presetes: A, B y C. la probabldad de que A haya aprecado la brusquedad de la freada es 90%, y las correspodetes a B y C so 85% y 80%. Supuesto que los testmoos que se preste sea depedetes uos de otros, qué probabldad hay de que los tres testmoe que la freada ha sdo brusca? Qué probabldad hay de que lo testmoe al meos dos de los testgos?. 56. E ua fábrca de autocares se descubró que de cada 00 teía problemas co el cerre de la puerta. Como medda de precaucó, ates de la veta, a cada autocar se le hace u test de verfcacó y se obsequa a los compradores co u cturó multusos para ua reparacó de emergeca. El test o es totalmete fable, pues, s el coche tee problemas co la puerta se lo detecta e u 95% de los casos, metras que s o lo tee, e u % de las veces dca que s. a) Cuál es la probabldad de que u autocar tega problemas co la puerta y o lo detecte el test. b) S el test dca problemas e la puerta, cuál es la probabldad de que o lo tega? 57. Ua secretara escrbe 5 cartas dferetes a 5 persoas y mete cada carta e u sobre s fjarse. Cuál es la probabldad de que todas las persoas recba la suya? 58. U test que detecta la preseca de certo tpo T de bacteras e el agua da postvo co ua probabldad de 0 9 e caso de que las haya. S o las hay, la probabldad de que sea postva es de 0,. Se dspoe de 00 muestras de las que 5 tee bacteras de tpo T. S elegmos ua muestra al azar: a) Cuál es la probabldad de que la muestra tega bacteras de tpo T el test sea postvo? b) Cuál es la probabldad de que la muestra o tega bacteras tpo T y el test sea postvo? c) Cuál es la probabldad de que el test dé egatvo s la muestra tee bacteras de tpo T? 59. Ua caja A cotee 9 cartas umeradas del al 9 y otra caja B cotee 5 cartas umeradas del al 5. Se elge ua caja al azar y se toma ua carta, s está umerada co u úmero par se toma otra carta de la msma caja, y s está umerada co u úmero mpar se toma de la otra caja. a) Calcula la probabldad de que ambas cartas esté umeradas co úmeros mpares. b) S ambas cartas tee úmeros pares, calcula la probabldad de que sea de la caja A. 60. E ua bolsa hay bolas blacas y 3 egras, y e otra bolsa hay 4 blacas y egra. Elegmos al azar ua bolsa y e ella ua bola y resulta que es egra. A cotuacó vamos a la otra bolsa y elegmos ua bola, cuál es la probabldad de que també sea egra?

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61 Tema VI. Cadeas de Markov 6 Métodos Estadístcos Defcó TEMA VI. CADENAS DE MARKOV Ua cadea de Markov es u expermeto que se realza e u úmero fto de etapas, bajo las sguetes codcoes: º) E cada etapa solo puede producrse u úmero fto de sucesos que deomaremos estados y represetaremos por {e, e,...,e k } º) S llamamos R al resultado del expermeto e la etapa (R puede ser cualquera de los k estados), se verfca: P(R + =e / R, R -,, R, R ) = P(R + =e / R ) Esto quere decr que la probabldad de que e ua etapa se produzca como resultado u estado determado, sabedo el resultado de las etapas aterores, solamete depede del resultado de la etapa medatamete ateror. Esta propedad se deoma propedad de Markov o de careca hstórca. S la probabldad de ua etapa, o depede de la ateror, la cadea de Markov se dce que es homogéea. Ejemplo: E u pueblo, al 90% de los días soleados le sgue días soleados, y al 80% de los días ublados le sgue días ublados. Co esta formacó modelar el clma del pueblo como ua cadea de Markov. Cada etapa es u día. Los estados so dos {N, S}, sedo N = día ublado y S= día soleado. Esta claro, segú el eucado ateror que P(R + =S / R, R -,...,R ), esto es que el tempo que haga mañaa (etapa +) va a depeder solamete del que haga hoy (etapa ) y para ada ecestamos coocer lo que ocurró ates de ayer. Sabemos que P(R + =S / R =S)=0,9 ; P(R + =S / R =N)=0,; P(R + =N / R =S)=0, y P(R + =N / R =N)=0,8. Estamos ate ua cadea de Markov, pues el expermeto se puede realzar e ftas etapas (días), ocurredo e cada etapa dos (º fto) sucesos S y N co probabldades que solo depede de lo ocurrdo e la etapa ateror. Probabldades de trascó Segú lo vsto aterormete, os va a teresar las probabldades de que ocurra certo estado e la etapa +, sabedo lo ocurrdo e la etapa, por tato estamos hablado de la probabldad sguete: P(R + =e j / R =e ) Es decr, la probabldad de que e la etapa + ocurra e j, sabedo que e la etapa ateror ha ocurrdo e. A estas probabldades, cuado e j y e, toma todos los valores posbles {e, e,...,e k }, se les deoma probabldades de trascó, y se represeta por p j. (Obsérvese que el prmer subídce correspode al estado y el segudo al estado +). Hay tatas probabldades de trascó como parejas ordeadas de estados podamos formar, es decr kxk.

62 Tema VI. Cadeas de Markov 6 Métodos Estadístcos Es cómodo represetar las probabldades de trascó e forma de matrz cuadrada, dode las flas dca los estados e la etapa y las columas los estados e la etapa +. E uestro ejemplo ateror del clma, la matrz de trascó sería: 0,9 0, P =, dode la prmera fla dca que e la etapa hacía sol y la 0, 0,8 seguda dca que hacía ublado. Por el cotraro la prmera columa dca que e la etapa + hacía sol y la seguda columa dca que hacía ublado. Obsérvese que la suma de todos los elemetos de ua fla, suma. Esto va a ocurrr e todas las matrces de trascó de ua cadea de Markov. Grafos asocados a ua cadea de Markov Otra forma de represetar los estados y las probabldades de trascó, suele realzarse medate los llamados grafos, que cosste e uos odos que so los estados y uas flechas etre éstos dcado sobre ellas las probabldades de trascó. Todas las flechas que sale de u odo ha de sumar. El grafo de uestro ejemplo sería: 0, 0,8 N S 0,9 0, Otra forma de represetacó gráfca de ua cadea de Markov es el coocdo árbol, pero solamete es operatvo de la etapa 0 (cal) a la etapa, y se complca cuato mayor sea el úmero de estados. Trascoes a más de ua etapa: Hasta ahora podemos coocer la probabldad de u estado e ua etapa coocedo el ateror, pero podemos averguar la probabldad de los estados e la etapa +r, a partr de la etapa?. Veámoslo e el caso más secllo, para r= P(R + =e j / R =e ) S plateamos el árbol de la stuacó, veremos que: P(R + =e j / R =e )=P(R + =e j / R - =e ). P(R - =e / R =e )+ P(R + =e j / R - =e ).P(R - =e / R =e )+...+ P(R + =e j / R - =e k ). P(R - =e k / R =e )= p j.p +p j.p + +p kj.p k Este es el valor que resultaría e la poscó j de la matrz P.P. E geeral se tee que las probabldades de trascó para r=, so los coefcetes de la matrz P. E geeral las probabldades de trascó de la etapa a +r, vedrá dado por P r E uestro ejemplo ateror, s quséramos saber las probabldades de trascó al cabo de tres días, por ejemplo, haríamos P 3, cuyo resultado es: 3 0,78 0,9 P = Qué quere decr esto?. Pues, por ejemplo, que la 0,438 0,56 probabldad de que detro de tres días haga sol, sabedo que hoy hace ublado es 0.438, ya que se sgue el msmo crtero para flas y columas que e P.

63 Tema VI. Cadeas de Markov 63 Métodos Estadístcos (Nota.- Las potecas de P o los productos de matrces los realzamos e Excel co la fucó MMULT., detro de las fucoes Matemátcas y trgoométrcas. Recuérdese que la salda de datos de ua matrz se efectúa co la combacó de teclas sguete: ctrl.+mayúsculas+eter) Tpos de estados.- Dados dos estados e y e j, se dce que e comuca co e j, s exste,m>0, tales que p j () >0 y p j (m) >0, estos es de que exsta algua probabldad de que, partedo de e, llegar al estado e j e certo úmero de etapas y vceversa S e ua cadea de Markov todos los estados se comuca etre sí, se llama rreducble y o se puede descompoer e subcadeas más pequeñas. U estado se llama absorbete cuado p =. E este caso p () = para todo valor de, por lo que el estado e o comuca co gú otro estado, co lo cual por s msmo es ua subcadea. Dstrbucó estacoara y dstrbucó límte. Partmos de ua etapa cal que represetaremos por 0. E ese mometo los estados tee ua probabldad determada por el vector q (0) =(q (0),q (0),...,q (0) k ). llamado dstrbucó cal de la cadea. Estas compoetes represeta las probabldades de que se verfque los estados {e, e,...,e k } e el state cal. Gracas a las propedades de las cadeas de Markov, se puede demostrar fáclmete que la probabldad de los estados al cabo de etapas es q (0).P, obteédose otro vector de dstrbucó de probabldad q () = q (0).P = (q (),q (),...,q () k ). E muchas ocasoes ocurre que exste u valor de a partr del cual se verfca que q () = q (+) e cuyo caso la dstrbucó de probabldad se estacoa, es decr que sempre vale lo msmo a partr de esa etapa. A dcha dstrbucó se le deoma estacoara o stuacó estable de la cadea, y se le represeta por q=(q,q,...,q k ). Para averguar q, teemos e cueta que s q () = q (+) =q, puesto que q (+) = q ().P, resulta q = q.p, de dode se obtee u sstema de ecuacoes, que udas, a la ecuacó k = q =, resulta u sstema compatble determado (solucó úca) cuya solucó determa el vector de probabldad estacoara q. Se llama dstrbucó límte, al límte de los vectores q (), cuado tede a fto sempre que este límte exsta. Es obvo que s ua cadea posee dstrbucó estacoara, ésta ha de cocdr co la dstrbucó límte. Ahora be, s la cadea es rreducble, se puede afrmar que exste dstrbucó estacoara y por tato cocdrá co la dstrbucó límte.

64 Tema VI. Cadeas de Markov 64 Métodos Estadístcos Ejerccos propuestos de Cadeas de Markov º) El ascesor de u edfco co bajo y dos psos realza vajes de uo a otro pso. El pso e el que falza el vaje -ésmo del ascesor sgue ua cadea de Markov. Se sabe que la mtad de los vajes que parte del bajo se drge a cada uo de los otros dos psos, metras que s u vaje comeza e el prmer pso, sólo el 5% de las veces falza e el segudo. Por últmo, s u trayecto comeza e el segudo pso, sempre falza e el bajo. Se pde: a) Calcular la matrz de probabldades de trascó de la cadea b) Dbujar el grafo asocado c) Cuál es la probabldad de que, a largo plazo, el ascesor se ecuetre e cada uo de los tres psos. º) U agete comercal realza su trabajo e tres cudades A, B y C. Para evtar desplazametos ecesaros está todo el día e la msma cudad y allí perocta, desplazádose a otra cudad al día sguete, s o tee sufcete trabajo. Despues de estar trabajado u día e C, la probabldad de teer que segur trabajado e ella al día sguete es 0,4, la de teer que vajar a B es 0,4 y la de teer que er a A es 0,. S el vajate duerme u día e B, co probabldad de u 0% tedrá que segur trabajado e la msma cudad al día sguete, e el 60% de los casos vajará a C, metras que rá a A co probabldad 0,. Por últmo s el agete comercal trabaja todo u día e A, permaecerá e esa msma cudad, al día sguete, co ua probabldad 0,, rá a B co ua probabldad de 0,3 y a C co ua probabldad de 0,6. a) S hoy el vajate está e C, cuál es la probabldad de que també tega que trabajar e C al cabo de cuatro días? b) Cuales so los porcetajes de días e los que el agete comercal está e cada ua de las tres cudades? 3º) Supoga que toda la dustra de refresco produce dos colas: Coca Cola y Peps Cola. Cuado ua persoa ha comprado Coca Cola hay ua probabldad de 90% de que sga comprádola la vez sguete. S ua persoa compró Peps, hay 80% de que repta la vez sguete. Se pde: a) S ua persoa actualmete es comprador de Peps. Cuál es la probabldad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partr de hoy? b) S e la actualdad ua persoa es comprador de Coca Cola. Cuál es la probabldad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partr de ahora? c) Supogamos que el 60% de toda la gete toma hoy Coca Cola y el 40% Peps. A tres compras a partr de ahora, Qué fraccó de los compradores estará tomado Coca Cola. Determar el estado estable.

65 Tema VI. Cadeas de Markov 65 Métodos Estadístcos 4º) La cervecería más mportate del mudo (Guess) ha cotratado a u aalsta de vestgacó de operacoes para aalzar su poscó e el mercado. Está preocupados e especal por su mayor competdor (Heeke). El aalsta pesa que el cambo de marca se puede modelar como ua cadea de Markov cluyedo tres estados, los estados G y H represeta a los cletes que bebe cerveza producda por las mecoadas cervecerías y el estado I represeta todas las demás marcas. Los datos se toma cada mes y el aalsta ha costrudo la sguete matrz de trascó de los datos hstórcos. G H I G 0,7 0, 0, H 0, 0,75 0,05 I 0, 0, 0,8 Cuáles so los porcetajes de mercado e el estado estable para las dos cervecerías grades.? 5º) E ua comudad hay 3 supermercados (S, S, S3) exste la movldad de u clete de uo a otro. El de septembre, ¼ de los cletes va al S, /3 al S y 5/ al S3 de u total de persoas. Cada mes el S retee el 90% de sus cletes y perde el 0% que se va al S. Se averguó que el S solo retee el 5% y perde el 85% que va a S y el resto se va a S3, el S3 retee solo el 40%, perde el 50% que va al S y el 0% va al S. a) Establecer la matrz de trascó b) Cuál es la proporcó de cletes para los supermercados el de ovembre? c) Hallar el vector de probabldad estable. 6º) Los cosumdores de café e el área de Potevedra usa tres marcas A, B, C. E marzo de 995 se hzo ua ecuesta e lo que etrevstó a las 8450 persoas que compra café y los resultados fuero: Compra e el sguete mes TOTALES Compra Marca A Marca B Marca C actual Marca A = Marca B = Marca C = TOTALES a) S las compras se hace mesualmete, cuál será la dstrbucó del mercado de café e Potevedra e el mes de juo? b) A la larga, cómo se dstrburá los cletes de café? c) E juo, cual es la proporcó de cletes leales a sus marcas de café?

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67 Tema VII. Varable aleatora 67 Métodos Estadístcos TEMA VII. VARIABLE ALEATORIA Defcó.- U cojuto se dce umerable cuado es fto o cuado se puede poer e correspodeca buívoca co el cojuto de los úmeros aturales, e cuyo caso se drá que es fto umerable. E caso cotraro se deoma cojuto o umerable. So cojutos umerables, por ejemplo, los úmeros eteros, los racoales. No lo so los úmeros reales o cualquer tervalo real. Varable aleatora.- Se deoma así a ua fucó defda sobre u espaco muestral asocado a u expermeto aleatoro, que alcaza valores e R, es decr que lleva sucesos elemetales e úmeros reales. X : Ω R, de forma que X(e )=x. La varable aleatora o es úca y se defe sempre e fucó de los sucesos que se desea estudar. Ejemplo de varable aleatora: E el expermeto lazar ua moeda, ua varable aleatora sería asgarle 0 al suceso cara y al suceso cruz, E el expermeto aleatoro lazar cco moedas, se podría defr la sguete varable aleatora: X= úmero de caras. Es obvo que los valores posbles que podría tomar X sería 0,,,3,4,5. A este cojuto de valores umércos se le deoma Recorrdo de la varable aleatora. S el recorrdo de ua varable aleatora es fto o fto umerable, la varable aleatora se deoma dscreta. S por el cotraro el recorrdo es u tervalo de R le llamaremos varable aleatora cotua. U ejemplo de varable aleatora cotua es este: Lazamos u dardo a ua daa y defmos la varable aleatora X= dstaca del mpacto al cetro de la daa). Es obvo que el recorrdo de esta varable aleatora es el tervalo [0, ] que costtuye u cojuto o umerable. Fucó de masa de probabldad de ua varable aleatora dscreta X.- Se trata de ua fucó que toma valores e el recorrdo de la varable y los alcaza e R, cocretamete e el tervalo [0,]. [ ] f : R 0,, de tal modo que f(x ) = P(e / X(e )=x ), o abrevadamete P(X=x ) Propedades de la fucó de masa de dstrbucó: a) 0 f ( x ), x Rec( X ) b) x = Ejemplo: Supogamos el expermeto aleatoro, arrojar cco moedas al are. Sobre el espaco muestral defmos la varable aleatora X= úmero de caras. El recorrdo de X es {0,,,3,4,5}. S f es la fucó de masa de probabldad de la v.a. X, f(), por ejemplo, toma el valor de la probabldad del suceso elemetal asocado al valor

68 Tema VII. Varable aleatora 68 Métodos Estadístcos medate X, esto es la probabldad de que salga dos caras (y tres cruces), cuyo valor es 0/3, de este modo tedremos que: f(0) = /3; f()=5/3; f()=0/3; f(3)=0/3; f(4)=5/3; f(5)=/3. Cualquer valor que o esté e el recorrdo de X, tedrá como masa de probabldad 0. La fucó de masa de probabldad solo es aplcable a varable aleatoras dscretas, y para v.a. ftas poco umerosas, suele ver represetada medate ua tabla. S tomamos como ejemplo, lazar tres moedas y defmos la v.a. X= úmero de caras, el recorrdo de X sería 0,,,3, obtedo así: Tabla e ccc cc+ c+c +cc c++ +c+ ++c +++ x 3 0 La fucó de mása de probabldad será: x 0 3 f(x ) /8 3/8 3/8 /8 La fucó de masa de probabldad puede represetarse medate gráfcos por medo de los dagramas de barras e las varables estadístcas udmesoales. Fucó de dstrbucó de ua varable aleatora dscreta X.- Esta fucó puede defrse como la fucó de masa de probabldad acumulada hasta el valor correspodete, cludo éste. La represetaremos medate F. Por tato: F : R R / F( x ) = p f ( x k k = ) ; E geeral se defe: F( x) = f ( ), sedo x p el mayor valor del recorrdo de X, meor que x. = x Propedades de la fucó de dstrbucó: a) Es ua fucó escaloada moótoa crecete b) F(x) = 0, s x es u valor feror al mmo de los valores del recorrdo de X c) F(x)=, s x es u valor superor al máxmo de los valores del recorrdo de X. d) Su gráfca es escaloada. e) Es cotua e x/ f(x)=0 y dscotua e x / f(x) =/0 Meddas característcas de ua varable aleatora dscreta.- Meda o esperaza matemátca [ X ] = p E x. f ( x ) =

69 Tema VII. Varable aleatora 69 Métodos Estadístcos Varaza [ ] ) (. ) ( p x f X E x = = σ = [ ] [ ] ( ) X E X E Desvacó típca [ ] ) (. ) ( p x f X E x = = σ Se puede defr los mometos respecto al orge y co respecto a la meda, de orde p, resultado sus valores guales que e el caso de ua varable estadístca; basta susttur las frecuecas relatvas por los valores de la fucó de masa de probabldad. Operacoes co varables aleatoras dscretas: OPERACIONES CON VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS SUMA Sea X, Y dos varables aleatoras dscretas defdas sobre el msmo espaco muestral Ω, de modo que: X R Ω : co X(e ) = x ; R Y Ω : co Y(e ) = y Defmos la varable R Y X Ω + : de modo que X+Y (e ) = x + y E estas codcoes se verfca: a) E[ Y X + ] = [ ] [ ] E Y X E + b) xy y x y x σ σ σ σ + + = + Demostracó a) E[ Y X + ] = = = = = + = + = + = f y f x f y f x f y x ) ( [ ] [ ] E Y X E + Demostracó b) x+ y σ = [ ] [ ] = = = = + + = + = + + f y y f x x f y y x x f y x y x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = f y y x x ) )( ( xy y x σ σ σ + + Aálogamete se demuestra que E[ Y X + ] = [ ] [ ] E Y X E y xy y x y x σ σ σ σ + =

70 Tema VII. Varable aleatora 70 Métodos Estadístcos PRODUCTO POR UNA CONSTANTE Sea X ua varable aleatora dscreta X : Ω R co X(e ) = x. Sea a u úmero real. Defo la sguete varable aleatora: a. X : Ω R co a.x(e ) = ax Resulta que: a) E[a.X] = a.e[ X] b) σ ax = a σ X La demostracó de ambos resultados es trval. SUMA DE UNA CONSTANTE Sea X ua varable aleatora dscreta X : Ω R co X(e ) = x. Sea a u úmero real. Defo la sguete varable aleatora:. X + a : Ω R co X+a(e ) = x +a. Podemos cosderar a como ua varable aleatora costate. Es obvo que a = a y que σ = 0, por lo que teedo e cueta las aterores proposcoes, resulta a que E[X+a] =E[ X]+a y que σ X + a = σ x. De este últmo resultado se deduce que s teemos ua varable aleatora bdmesoal, dode ua de ellas es costate, la covaraza es 0 VARIABLE ALEATORIA POLINÓMICA DE GRADO Sea X ua varable aleatora dscreta b dos úmeros reales. Sea Y = a.x + b. se tee que : X : Ω R co X(e ) = x. Sea a y Teedo e cueta los resultados aterores a) E[Y] = a.e[x] + b b) σ y = a σ x Varable aleatora cotua. Fucó de dstrbucó Ya vmos que la dfereca exstete etre ua v.a. dscreta y cotua veía determada por la aturaleza del recorrdo de la fucó. S este recorrdo era fto o fto umerable, la v.a. era dscreta. S, por el cotraro, el recorrdo era u tervalo de R, la v.a. se llama cotua. Segú esta defcó, carece de setdo hablar de fucó de masa de probabldad y por tato se cosdera como valor teórco que la probabldad de cualquer suceso elemetal del espaco muestral, vale 0 (Puede razoarse utlzado la regla de Laplace). No obstate, s puede defrse la fucó de dstrbucó, esto es:

71 Tema VII. Varable aleatora 7 Métodos Estadístcos F : R R, de modo que F( x) = P( X x), x R S el recorrdo de la varable es el tervalo [a,b] se da las sguetes propedades: a) F( x) = 0, x a b) F( x) =, x b c) S x < x F x ) F( x ) = P( x < X < ) ( x d) Su represetacó gráfca es la de ua fucó moótoa crecete y cotua. Fucó de desdad de ua varable aleatora cotua: Se defe dcha fucó, como la dervada de la fucó de dstrbucó e aquellos putos e que ésta últma sea dervable. f ( x) = F ( x) Teedo e cueta esta defcó, se desprede las sguetes propedades: a) f ( x) 0 (Es ua fucó o egatva. Su gráfca sempre está por ecma del eje X. b) Por el teorema fudametal del cálculo dferecal F ( x) = f ( t) dt = P(X<x) b c) Por la regla de Barrow f ( x) dx = F( b) F( a) = a x a Meddas característcas de ua varable cotua: + Meda o esperaza µ = x. f ( x) dx, sedo f la fucó de desdad. Varaza Desvacó típca + ( σ = x µ ) f ( x) dx σ = σ La varaza puede hallarse más fáclmete así: σ + = x f ( x) dx µ

72 Tema VII. Varable aleatora 7 Métodos Estadístcos EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS DE V.A. DISCRETA ) U expermeto aleatoro cosste e lazar ua moeda al are 3 veces. Sea x la varable aleatora que dca el úmero de caras obtedas. a) Hallar el espaco muestral y defr la varable aleatora X. b) Hallar la fucó de masa de probabldad de X y la fucó de dstrbucó. c) Calcular la probabldad de los sucesos (X>) (<X<3) ) Ua ura cotee cuatro bolas egras y dos blacas. Cosderemos el expermeto aleatoro que cosste e extraer tres bolas (s devolucó) de la ura. Defr la varable aleatora X úmero de bolas egras obtedas. a) Hallar la fucó de masa de probabldad y de dstrbucó de la v.a. X. b) Calcular la probabldad de los sucesos ( X < ) ( X > ) 3) Dada la varable aleatora X y la fucó de masa de probabldad x / f(x) / 8 / 6 3 / 8 / 4 a) Calcular la esperaza, varaza y desvacó típca de X b) La fucó de dstrbucó. 4) Hallar el valor de a e las sguetes dstrbucoes de probabldad x 3 4 x f(x) 0, a 3a 0,4 g(x) a 3 a a 3 a a E ambos casos hallar la fucó de dstrbucó y los parámetros 5) Ua varable aleatora X toma los valores,, 3 y 4, y su fucó de masa de probabldad está dada por la tabla sguete: x 3 4 f(x ) /8 ¼ ¼ 3/8 Se pde: a) La fucó de dstrbucó y su gráfca. b) La esperaza matemátca y desvacó típca. 6) Cosíderese la varable aleatora cuya fucó de masa de probabldad es la sguete: x f(x ) /7 /8 /9 a a) Hállese el valor de a y la esperaza matemátca. b) Supoedo que F es la fucó de dstrbucó, hállese F() 7) Hállese la fucó de dstrbucó, la meda, y la varaza, de ua varable aleatora X cuya fucó de masa de probabldad es la sguete: x - 0,5 f(x ) 0,6 0, 0, 0,

73 Tema VII. Varable aleatora 73 Métodos Estadístcos 8) La fucó de dstrbucó de ua varable aleatora es: 0 s x < / s x < F ( x) = 3/ 5 s x < 3 6 / 7 s 3 x < 4 s x 4 Qué valores toma dcha varable aleatora?. Hállese su fucó de masa de probabldad. 9) La fucó de dstrbucó de ua varable aleatora X es: 0 s x < / 4 s x < F( x) = / 3 s x < 3 s 3 x Calcúlese: a) P ( x 3) b) P ( < X < 3) 3 c) P ( x > ) d) P ( < x 3) e) P ( x < 3) 0) La fucó de dstrbucó de ua varable aleatora X es: 0 s x < / 3 s x < 4 F( x) = / 5 s 4 x < 6 s 6 x Qué valores toma X?. Hállese su fucó de masa de probabldad, y calcúlese P ( '5 < X 5) y P( < X 5'5) ) Se efectúa tres lazametos de ua moeda, y se pde: a) Defr la varable aleatora X que descrbe el úmero de caras obtedas. b) Hallar la fucó de masa de probabldad de X c) Represetar gráfcamete la fucó de dstrbucó de X. ) U jugador laza dos dados, y cobra tatos euros como veces aparezca el. Descríbase ese juego medate ua varable aleatora. Resulta retable partcpar e el juego s para ello hay que pagar 3 euros por trada? 3) Para partcpar e u juego se exge pagar 50 euros por trada. El juego cosste e lazar dos dados y formar el úmero de dos cfras más grade posble co los resultados obtedos. Se cobra tatos euros como dca ese úmero. Se pde: a) Descrbr el juego medate ua varable aleatora. b) Hallar la correspodete fucó de masa de probabldad. c) Resulta favorable al jugador partcpar e el juego? 4) Se elge al azar ua fcha del domó, y se cosdera la varable aleatora que descrbe la suma de putos que aparece e la fcha. Se pde: a) Hallar la correspodete fucó de masa de probabldad. b) Calcular la meda, la varaza, y la desvacó típca. 5) Se laza ua moeda, tatas veces como sea ecesaro, hasta que aparezca ua cara o haya saldo cco cruces cosecutvas, e cuyo caso se acaba el expermeto. a) Qué valores toma la varable aleatora úmero de cruces?. Hállese la correspodete fucó de masa de probabldad.

74 Tema VII. Varable aleatora 74 Métodos Estadístcos b) Hállese, també, la fucó de dstrbucó, y dígase cuál es la probabldad de obteer u máxmo de tres cruces e el expermeto. 6) E ua lotería hay premos de euros, premos de euros y premos de 0000 euros. Las probabldades de obteer cada uo de ellos so, respectvamete, 0,000, 0,00, y 0,007. Supoedo que se veda todos los blletes, cada bllete habrá dejado 80 euros de gaaca bruta a los orgazadores. Qué cuesta u bllete? 7) Sea X la varable aleatora que descrbe el meor de los úmeros obtedos e el lazameto de dos dados. Hállese la correspodete fucó de dstrbucó y hágase ua represetacó gráfca de la msma. 8) U dado ha sdo trucado de modo que la probabldad de cada cara sea versamete proporcoal al úmero que aparece e la msma, es decr, la fucó de masa de probabldad para u lazameto es: x f(x ) k/ k/ k/3 k/4 k/5 k/6 a) Hállese el valor de k b) U jugador laza el dado y cobra tatos euros como dque el úmero obtedo, Cuáto debe pagar por trada para que el juego sea equtatvo? 9) E ua ura hay cco bolas señaladas co el úmero, dos señaladas co el º, y cuatro co el 3. Se cosdera el expermeto cosstete e extraer ua bola para mrar el úmero. Hállese la fucó de masa de probabldad, la meda, y la desvacó típca asocadas a la varable aleatora que descrbe el expermeto. 0) Ua persoa trabaja e ua empresa e cuyos alrededores o puede aparcar. S lleva el coche al garaje, tee que pagar,80 euros, metras que s aparca e lugar prohbdo, le puede poer ua multa de 3 euros, co probabldad ½. Qué le resulta más vetajoso? ) Se exge x euros por partcpar e este juego: Se laza u dado y se cobra tatos euros como dque el úmero obtedo elevado al cuadrado. a) Descríbase el juego medate ua varable aleatora y determíese su fucó de masa de probabldad. b) Para qué valor de x el juego es equtatvo? ) E ua bolsa hay 30 bolas guales, quce co el úmero, ocho co el 5, cco co el 5, y dos co el 50. Se saca ua bola al azar y se cobra tatos euros como dque el úmero que hay e ella. a) Determar la fucó de masa de probabldad correspodete. b) Es retable partcpar e el juego pagado 5 euros por jugada? c) Cuál es la probabldad de lograr 0 euros de gaaca eta e ua jugada? 3) U jugador laza dos moedas. Gaa 5 euros s aparece dos caras, euros s aparece ua cara, y paga 0 euros s sale dos cruces. Supoedo que o se paga etrada gua por jugar, resulta retable hacerlo? 4) Cosdérese el expermeto cosstete e lazar cuatro veces ua moeda. Sea X la varable aleatora úmero de caras obtedas. Se pde: a) La fucó de masa de probabldad de X b) La esperaza y la varaza de X 5) Se laza dos dados, y se llama X a la varable aleatora que descrbe el úmero total de putos cosegudos. Se pde: a) La fucó de masa de probabldad de X

75 Tema VII. Varable aleatora 75 Métodos Estadístcos b) La fucó de dstrbucó de X, y la probabldad de obteer u máxmo de 9 putos. 6) Ua varable aleatora X tee por valores los úmeros aturales del al 00, y su fucó de masa de probabldad f(x) está dada por: ax s x {,,3,...,00} f ( x) = 0 s x {,,3,...,00} Hallar la meda de la varable X 7) U alumo de u IES dce haber vetado el sguete juego para dos: Cada jugador laza dos moedas y el que obtega mayor úmero de caras cobra u euro del otro por cada cara de más obteda (s hay empate, ade paga). Éste afrma que es el campeó dscutble e ese juego, y reta a todos los alumos de su sttuto a que cada uo juegue co él dez partdas. El reto es aceptado por todos, auque ade sabe que ua de las moedas co que jugará el tramposo está trucada de tal forma que la probabldad de lograr cara co la msma es el doble de la de obteer cruz. Supoedo que hay e el sttuto 300 alumos, y que todos va a jugar co moedas o trucadas, qué catdad de dero es de esperar que se lleve este alumo a sus arcas? 8) Ua ruleta cotee 37 úmeros, de 0 a 36. Hay muchas maeras de apostar, pero os fjamos e u jugador que hace apuestas a úmeros úcos: S deposta ua fcha sobre u úmero y sale éste, etoces cobrará 36 veces la apuesta. Sabemos que el jugador sólo tee tres fchas y que tee ua predleccó especal por el, razó por la que está empeñado e hacer ua de las sguetes apuestas: a) Apostar las tres fchas al b) Apostar al tres veces c) Apostar cada fcha a u múltplo de Qué opcó deberíamos acosejarle?

76 Tema VII. Varable aleatora 76 Métodos Estadístcos EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS DE V.A. CONTINUA ) Ua fucó de desdad de ua varable aleatora es: / 5 s 0 < x < 5 f ( x) = 0 e otro caso a) Calcula P ( < X < 4 ), P ( X > 3 ), P ( X < 0 ) c) Represeta gráfcamete la fucó de dstrbucó. ) La fucó de desdad de ua varable aleatora x es f (x) = kx 0 s s x x [ 0 5] [ 0 5] a) Hallar k y la fucó de dstrbucó. b) Hallar la meda y la varaza de x c) Calcular P(0 < X < k ) 3) La fucó de dstrbucó de ua varable aleatora es 0 s x < ( x + ) F ( x) = s x [ ] 4 s x Calcular la fucó de desdad, la meda y la varaza de x. 4) La fucó de desdad de ua varable aleatora X es 0 s x < 0 k s 0 x < f ( x) = k' s x < 0 s x Hallar las costates k y k sabedo que P(0 < X <,5) = 0,7. Luego hallar la fucó de dstrbucó y dbujar su gráfca. 5) Obteer el valor de c sabedo que es u úmero real postvo, para que la fucó x e f ( x) = c pueda ser fucó de desdad de ua varable aleatora cotua X, defda e el tervalo [ 0, ]. Calcular la fucó de dstrbucó, así como P ( X > ½) ; esperaza de X.

77 Tema VII. Varable aleatora 77 Métodos Estadístcos 6) La fucó de desdad de ua varable aleatora es kx + s x [ 0 3] f ( x) = 0 s x [ 0 3] Calcular la probabldad de los sucesos A, A B, B U C, A= ( X > 3/), B = ( < X < 3 ), C = ( 3/ < X < ) C sedo 7) U jugador tra al blaco. La dstrbucó de los mpactos e toro a la daa vee dada por la fucó de desdad f(x) = e -kx dode x represeta la dstaca del mpacto a la daa. Hallar el valor de k y la fucó de dstrbucó.

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79 Tema VIII. Dstrbucó Bomal 79 Métodos Estadístcos TEMA VIII. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Caso partcular de v.a. dscreta) Expermeto de Beroull: Se llama así a u expermeto aleatoro co las sguetes característcas: a) E cada prueba estudamos sólo la realzacó de u suceso A (éxto) y su cotraro CotA (fracaso). Se realza pruebas. b) La proporcó de éxtos y fracasos es costate e la poblacó y o se modfca cualquera que sea la catdad de elemetos de la poblacó observada. Llamamos p = P(A), probabldad de éxto y q = P(cotA) = -p, probabldad de fracaso. c) Las pruebas so depedetes; es decr, el resultado de ua prueba o depede de las precedetes. Este expermeto geera u espaco muestral del tpo: Ω = { AA... A, AA... A,... A A... A}, que tee exactamete elemetos ya que como podemos observar so las varacoes co repetcó de elemetos (A y su cotraro) tomados de e. Sobre este espaco muestral defmos la sguete varable aleatora X= úmero de éxtos Es obvo que el recorrdo de X es {0,,,3,...,} y dado que es fto estamos ate ua varable aleatora dscreta. Bajo las crcustacas aterores, se dce que X es ua varable aleatora que sgue ua dstrbucó bomal de parámetros y p, represetádose así: B(,p) es: Fucó de masa de probabldad de ua bomal: Dado que el recorrdo de X es {0,,,3,...,}, la fucó de masa de probabldad, sedo f(r) = P(X=r) o dcho de otro modo, la probabldad de que al realzar pruebas, se obtega r éxtos (r toma valores de 0 a ) S aplcamos el hecho de que las pruebas so depedetes, la probabldad pedda es el producto de las probabldades e cada prueba, pero e cada prueba sólo puede salr A o cota, y como sabemos que A aparece r veces y cota -r veces, resulta que la probabldad de cada caso es p r q -r, ahora be... e cuátos casos sale f: {0,,,3,...,} [ 0,] exactamete r éxtos? La combatora os dce que so RP r r,-r = r!, pero r!( r)! obsérvese que esto es lo msmo que C r =, por lo tato la probabldad buscada es: r r r f ( r) = p q, dode r = 0,,,..., r Dada la complejdad e los cálculos, estos valores vee ya determados e ua tabla. E la sguete pága se adjuta ua tabla para el cálculo de la fucó de masa de probabldad para desde hasta 9.

80 Tema VIII. Dstrbucó Bomal 80 Métodos Estadístcos

81 Tema VIII. Dstrbucó Bomal 8 Métodos Estadístcos Fucó de dstrbucó de ua B(,p): Se trata de la fucó de mása de probabldad acumulada, por tato será ua fucó del tpo: F : R R, de tal modo que: F( x) = P( X x) = f ( r), sedo q el mayor etero tal que q x. Verfca todas las propedades de las fucoes de dstrbucó de ua varable aleatora dscreta. Meddas característcas de ua dstrbucó bomal: Meda o esperaza: q r = 0 µ = r = 0 r. f ( r) = p Desvacó típca: σ = ( r µ) r =0 f ( r) = pq Como calcular los valores de la fucó de masa de probabldad y la fucó de dstrbucó de ua bomal, p e EXCEL: La fucó que lo determa es, detro de las fucoes estadístcas, DISTR.BINOM. y los parámetros que pde so: Núm_éxto (úmero); Esayos (úmero); Prob_éxto (úmero); Acumulado (valor lógco) Núm éxto es el valor de r; Esayos es el valor de o úmero de pruebas; Prob_éxto es p; Acumulado puede ser Verdadero o Falso. S es verdadero da la el valor de la fucó de dstrbucó F(r), metras que s es falsa da el valor de la fucó de masa de probabldad f(r) Ilustracó Supogamos que lazamos 5 veces ua moeda y queremos saber cual es la probabldad de obteer 8 caras como máxmo. E Excel troducríamos e la fucó DISTR.BINOM., los parámetros de la lustracó, es decr, hallaríamos F(8) cuyo valor sería 0,053. Por el cotraro s quséramos hallar f(8), es decr la probabldad de obteer 8 caras exactamete,

82 Tema VIII. Dstrbucó Bomal 8 Métodos Estadístcos solamete tedríamos que modfcar el parámetro Acumulado, dode tedríamos que cosgar Falso. La fucó BINOM.CRIT. Actúa de modo verso que la ateror, esto es: S coocemos el valor de probabldad de u suceso, avergua el valor de r de forma que la probabldad hasta dcho valor, acumulada, cocda co la dada. Por ejemplo: Supogamos que e el ejemplo ateror queremos coocer cuátas caras como máxmo da probabldad 0,7. El resultado vee dado e la sguete lustracó: Ilustracó

83 Tema VIII. Dstrbucó Bomal 83 Métodos Estadístcos PROBLEMAS PROPUESTOS ) E u taller hay 0 máquas guales. Se ha vsto que ua máqua determada u día de cada cco está averada. Calcula la probabldad de que u certo día haya más de 7 máquas averadas?. S es 5000 pesetas la pérdda dara ocasoada por teer ua máqua averada, calcular la pérdda meda dara. ) De la produccó dara de ua certa peza se exama 0 de dchas pezas durate 3 días, dado la sguete tabla de pezas defectuosas: das p.d Supoedo que la probabldad de fabrcar ua peza defectuosa es fja, ajustar ua dstrbucó bomal a las observacoes. 3) S la dstrbucó hallada e el problema ateror es la verdadera ley del proceso, Cuál es la probabldad de que e las 0 pezas observadas, de u día determado, haya más de defectuosas. 4) Se sabe que, e u acmeto, o se tee la msma probabldad de que sea ño que ña, pues la expereca os dce que ace más ños que ñas. S supoemos que de cada 00 recé acdos 55 so varoes y 45 mujeres. a) Cuál es la probabldad que tee u recé acdo de ser mujer? b) Cuál es la probabldad de que los 5 prmeros recé acdos del año e u hosptal sea ñas? c) Cuál es la probabldad de que haya exactamete ñas etre los cco prmeros? 5) E los exámees de selectvdad del curso 997/98 aprobaro e Galca el 85% de los alumos presetados. Calcular la probabldad de que al coger 7 alumos a) apruebe 3. b) apruebe más de uo. 6) Para partcpar e u cocurso de tro al plato hay que aboar ua cuota. Cada partcpate realza 0 dsparos: S acerta 5 recupera el mporte pagado abadoado la competcó y s acerta más se clasfca para la sguete roda. U competdor muy regular acostumbra a acertar el 40% de sus dsparos. a) Cuál es la probabldad de que acerte exactamete 5 dsparos?. b) Cuál es la probabldad de que se clasfque? 7) Al trasmtr ua comucacó, la probabldad de dstorsoar u sgo es gual a /0. Cuáles so las probabldades de que e ua comucacó de 0 sgos a) No sea dstorsoada. b) Cotega exactamete tres dstorsoes. c) Cotega tres dstorsoes como máxmo. 8) Cada membro de u comté de 9 persoas acude a las reuoes co ua probabldad gual a ½. Cuál es la probabldad de que, como mucho, se reua /3 de los membros. 9) Se laza ua moeda a) 4 veces, b) 5 veces, c) 6 veces. Cuál es la probabldad e cada caso de obteer u úmero mpar de caras?. Y para veces? 0) Hallar la probabldad de obteer u total de a) ua vez, (b) dos veces, e dos lazametos de u par de dados ) Cuál es la probabldad de obteer 9 ua vez e tres lazametos de u par de dados?

84 Tema VIII. Dstrbucó Bomal 84 Métodos Estadístcos ) U vededor de seguros vede pólzas a 5 hombres, todos de la msma edad y co buea salud. Se sabe que la probabldad de que u hombre vva 30 años o más es /3. Hallar la probabldad de que a los 30 años vva a) los 5 hombres. b) al meos 3. c) Solamete. d) al meos. 3) Se laza 6 veces ua moeda Cuál es la probabldad de que el resultado cruz o salga uca más veces que el resultado cara? 4) U jugador propoe a u amgo el sguete juego: se laza 0 veces ua moeda. El amgo gaa s aparece cara 9, 0 o veces y perde e caso cotraro. Este juego es favorable al amgo? 5) Se ha estudado que /3 de los alumos de COU o lee uca la presa dara. Tomado ua muestra al azar de 0 alumos estudar las probabldades sguetes: a) Ecotrar dos alumos que o lee la presa. b) Más de 3 alumos que o lee la presa. c) Por lo meos cco alumos que o lee la presa. SOLUCIONES: ) 0,0035 ; ptas. // ) B (0, 0,6) // 3) 0,9 // 4) a. 0,45; b.0,085; c.0,3369 // 5) a. 0,009; b. 0,9999 // 6) a. 0,007; b. 0,663 // 7) a. 0,3487; b. 0,0574; c. 0,987 // 8) 0,90 // 9) a. 0,5; b. 0,5; c. 0,5 // 0) a. 7/6; b. /34 // ) 64/43 // ) a. 0,37; b. 0,790; c. 0,646; d. 0,9959 // 3) 0,6563 // 4) No es favorable // 5) a. 0.95; b. 0,4408; c. 0,3 //

85 Tema IX. Dstrbucó ormal 85 Métodos Estadístcos TEMA IX. DISTRIBUCIÓN NORMAL (Caso partcular de v.a. cotua) Ua varable aleatora cotua X se dce que sgue ua dstrbucó ormal de meda µ y desvacó típca σ, smbolzádose por N( µ,σ ), s su fucó de desdad es: x µ ( ) σ ( x) = e f ; < x < + σ π La dstrbucó ormal aparece espotáeamete e multtud de problemas, meddas físcas del cuerpo humao, característcas psíqucas, meddas de caldad,...,etc. Gráfca de f(x) ) f tee domo e R y es cotua. ) f(x)>0, para todo x real. 3) f es smétrca respecto a la recta x = µ 4) f tee u máxmo e el puto ( µ, ) σ π 5) f tee ua asítota e el eje OX 6) f preseta putos de flexó e las abscsas x- µ, x+ µ Este es el aspecto que preseta: Ilustracó 3 Fucó de dstrbucó de ua varable aleatora ormal: F x x t µ ( ) σ ( x) = P( X x) = f ( t) dt = e σ π Dstrbucó ormal estádar o tpfcada: Cuado µ =0 y σ =, etoces la varable aleatora ormal N(0,) se llama dstrbucó ormal tpfcada o estádar. La fucó de desdad correspodete es: f ( x) = e π x ; < x < + dt

86 Tema IX. Dstrbucó ormal 86 Métodos Estadístcos TEOREMA (Tpfcacó de ua varable aleatora ormal) X µ S X es ua v.a. ormal N( µ,σ ), etoces la varable Z= σ es ua ormal tpfcada. E efecto, recurredo a las propedades de la esperaza y la varaza, se tee: X µ E = E[ X µ ] = ( E[ X ] µ ) = 0 σ σ σ X µ Var = Var σ σ σ σ [ X µ ] = Var[ X ] = σ = E base a este resultado, como toda ormal puede, medate u cambo de varable, covertrse e ua tpfcada, cualquer resultado puede ser estudado e las tablas de la varable Z y luego volver a deshacer el cambo de varable para obteer el resultado e la varable orgal X. Por ello, la fucó de dstrbucó de la varable ormal tpfcada vee desarrollada e la sguete tabla:

87 Tema IX. Dstrbucó ormal 87 Métodos Estadístcos TABLA DE DISTRIBUCION NORMAL ACUMULADA SEGUNDO DECIMAL DE Z Z Obsérvese que F(z) vee tabulada para valores de 0 e adelate, as pues se hace ecesaro averguar F(-z) cuado z>0. El resultado es: F(-z) = -F(z) La demostracó es trval. També se tee que P z Z z ) = F( z ) F( ) ( z

88 Tema IX. Dstrbucó ormal 88 Métodos Estadístcos Fucoes e EXCEL para trabajar co la dstrbucó ormal: La prmera es DISTR.NORMAL que devuelve el valor de probabldad de u valor x de la varable (e realdad toma u pequeño tervalo etoro al msmo) o el valor de probabldad acumulada hasta el msmo. La lustracó sguete lo refleja: Ilustracó 4 Dode x es el valor de la varable objeto de estudo, Meda es el valor de la meda de la varable, Desv_estádar es el valor de la desvacó típca y acumulado es u campo lógco que puede tomar dos valores: verdadero (se obtee F(x)) y falso (se obtee P(0,5-x<X<0,5+x)) La versa de la ateror es DISTR.NORM.INV. dode, ua vez coocdo el valor de probabldad acumulado, os devuelve el valor de la varable dode se alcaza dcha probabldad. Veamos el ejemplo e ua N(3,0.5) para probabldad 0,3. E la lustracó 5 observamos que el resultado es,73. Esto quere decr que P(X<,73)=0,3 Ilustracó 5 Aálogamete a la ateror, teemos la DISTR.NORM.ESTAND. que e trabaja drectamete co la N(0,) y los úcos parámetros a troducr so el valor de z. Obteédose como resultado F(z). La fucó DISTR.NORM.ESTAND.INV., actúa de forma versa que la ateror, es decr, coocemos la probabldad y deseamos averguar el valor de z co ese valor de probabldad acumulado. Ilustracó 6

89 Tema IX. Dstrbucó ormal 89 Métodos Estadístcos APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA NORMAL Cuado estamos ate ua dstrbucó bomal co u úmero de pruebas muy elevado, se hace muy laboroso el cálculo de las probabldades ya que las tablas publcadas ormalmete o va más allá de 0 pruebas. S o dspoemos de u programa (EXCEL u otros) que os permte averguar el resultado exacto, e este caso se utlza el sguete teorema que permte calcular probabldades e ua dstrbucó bomal, utlzado la ormal. Esta aproxmacó será tato mejor como el valor de p se aproxme a 0,5 y sea muy grade. S X sgue ua dstrbucó B(,p), etoces sus valores puede ser aproxmados medate ua dstrbucó ormal N ( p, pq). Aquí hay que hacer la sguete matzacó: Dado que e ua dstrbucó ormal, la probabldad de u valor cocreto de la varable era 0, cómo se efectúa la aproxmacó ateror toda vez que e la dstrbucó bomal ese valor o es ulo?. La respuesta es la sguete: PB ( X = a) PN ( a 0,5 a a + 0,5) Etedemos por P B cuado trabajamos co la bomal y P N cuado se aplca la ormal. Este procedmeto de tomar meda udad ates o después de valor de la varable, se extede també a las probabldades de los tervalos, es decr: P ( a < X < b) P ( a + 0,5 X b 0,5) B N P ( a X b) P ( a 0,5 X b + 0,5) B Recordemos que e cualquer caso, cuado se trata de trabajar co la dstrbucó ormal, es dferete, a efectos de cálculo de probabldades e tervalos, que se tome o o los extremos, es decr que: N PN ( a < X < b) = PN ( a X b), debdo precsamete al carácter cotuo de la varable.

90 Tema IX. Dstrbucó ormal 90 Métodos Estadístcos PROBLEMAS PROPUESTOS ) S los dametros de los cojetes de bolas se dstrbuye ormalmete co meda 0,640 pulgadas y desvacó típca 0,005 pulgadas, determar el porcetaje de cojetes de bolas co dametro: a) Etre 0,60 y 0,68 pulgadas b) Mayor de 0,67 pulgadas c) Meor de 0,608 pulgadas. ) La putuacó meda e u exame fal fue 7 y la desvacó típca 9. El 0% de los alumos tuvero la calfcacó de sobresalete (ota máxma). Cuál es la putuacó míma para recbr u sobresalete sabedo que la dstrbucó de las otas es ormal. 3) Ua varable aleatora X tee ua dstrbucó ormal co ua esperaza matemátca gual a 0 y ua varaza gual a. Cuál de los dos sucesos tee mayor probabldad? ( x < 0,7) ó ( x > 0,7) 4) Certa categoría de dvduos tee u peso medo de 60 Kg. y ua desvacó típca del peso gual a 3 Kg. Determar la probabldad de que el peso de u dvduo tomado al azar se dstga de la me da o más que e 5 Kg, sabedo que el peso se dstrbuye ormalmete. 4) La talla de los hombres e edad mltar e España sgue ua dstrbucó ormal de meda 69 cm. y desvacó típca 6 cm. S o se admte para el servco mltar los dvduos de talla feror a 50 cm., qué proporcó se rechaza? 5) Supogamos que e certo curso las otas de matemátcas se dstrbuye ormalmete co ua meda de 6 (sobre 0) y ua desvacó típca de 3. a) S se elge u alumo al azar, cuál es la probabldad de que su ota esté compredda etre 7 y 8 ambos clusve? b) Y la de que tega ua ota gual o superor a 9? 6) Ua poblacó de mazorcas de maz se dstrbuye ormalmete respecto al carácter logtud co ua meda de 5 cm. y ua desvacó típca de 5. Calcular la probabldad de que ua mazorca elegda al azar mda a) Etre y 7 cm. b) 7 o más de 7 cm. c) etre 6 y 30. d) a lo sumo 0 cm. 7) Etre 000 estudates la meda del peso resultó ser 70 Kg. co ua desvacó típca de 8,5 Kg. Determar el peso mímo del cojuto formado por los 00 estudates más pesados. 8) Los errores aleatoros que se comete e las pesadas de ua balaza sgue ua ormal de meda 0 y desvacó típca decgramos. Hallar el error máxmo e ua pesada co ua probabldad del 0,95. 9) La meda de ua v.a. X ormal es el quítuplo de la desvacó típca. Sabedo que P (X<6) = 0,843, calcular la meda y la desvacó típca.

91 Tema IX. Dstrbucó ormal 9 Métodos Estadístcos 0) Hallar la probabldad de que etre cfras al azar la cfra 6 salga meos de 9.97 veces. ) Hallar el valor aproxmado de la probabldad de que la catdad de ueves etre úmeros aleatoros quede compreddo etre 940 y 060. ( Se llama úmeros aleatoros al úmero resultates de elegr al azar u dígto etre 0 y 9 ambos clusve) ) Sea A u suceso de probabldad 0,4. Supoedo que se hace 900 pruebas del expermeto, calcular la probabldad de que A se verfque etre 360 y 390 veces. Cuál es la probabldad de que A se verfque exactamete 380 veces.? 3) Hallar la probabldad de obteer tatas caras como cruces e 00 lazametos de ua moeda. SOLUCIONES: ) a. 89% ; b.,5 % ; c. 0,8 % // ) 83,5 // 3) 0,578 ; 0,48 // 4) 0,9030 // 4) 8 de cada // 5) a. 0,6 ; b. 0,587 // 6) a. 0,38 ; b. 0,3446 ; c. 0,60 ; d) 0,587 // 7) 80,8 // 8) 3,3 dg. // 9) x = 3 ; σ = 0,6 // 0) 0,84 // ) 0,9998 // ) 0,465 ; 0,0 // 3) 0,07958

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93 Problemas resueltos de varable aleatora 93 Métodos Estadístcos PROBLEMAS RESUELTOS DE VARIABLE ALEATORIA 5) U expermeto aleatoro cosste e lazar ua moeda al are 3 veces. Sea x la varable aleatora que dca el úmero de caras obtedas. d) Hallar el espaco muestral y defr la varable aleatora X. e) Hallar la fucó de masa de probabldad de X y la fucó de dstrbucó. f) Calcular la probabldad de los sucesos (X>) (<X<3) SOLUCIÓN: a) El espaco muestral es {ccc, cc+,c+c,+cc,++c,+c+,c++,+++}. Sedo el recorrdo de la varable aleatora {0,,,3}. b) fucó de masa de probabldad vee dada por la sguete tabla: x 0 3 f(x ) /8 3/8 3/8 /8 la fucó de dstrbucó es: 0 s x < 0 / 8 s 0 x < F ( x) = 4 /8 s x < 7 / 8 s x < 3 s x 3 c) P(X>) = 4/8 ; P(<X<3) = 3/8 6) Ua ura cotee cuatro bolas egras y dos blacas. Cosderemos el expermeto aleatoro que cosste e extraer tres bolas (s devolucó) de la ura. Defr la varable aleatora X úmero de bolas egras obtedas. a) Hallar la fucó de masa de probabldad y de dstrbucó de la v.a. X. b) Calcular la probabldad de los sucesos ( X < ) ( X > ) SOLUCIÓN: a) La fucó de masa de probabldad vee dada por la tabla: b) P(X<) = 4/0 ; P(X>) = 4/0 x 3 f(x ) 4/0 7/0 4/0 7) Dada la varable aleatora X y la fucó de masa de probabldad x f(x) / 8 / 6 3 / 8 / 4 / a) Calcular la esperaza, varaza y desvacó típca de X b) La fucó de dstrbucó.

94 Problemas resueltos de varable aleatora 94 Métodos Estadístcos SOLUCIÓN: a) E[X] = -./8./6 +./ / = 5/ 0 s x < / 8 s x < 7 / 4 x < 0 b) F ( x) = 6 / 4 s 0 x < / s x < 4 s x 4 8) Hallar el valor de a e las sguetes dstrbucoes de probabldad x 3 4 x f(x) 0, a 3a 0,4 g(x) a 3 a a 3 a a E ambos casos hallar la fucó de dstrbucó y los parámetros SOLUCIÓN: Para la prmera se tee que: 4 a + 0,6 =, de dode a = 0, Para la seguda se tee que 0 a =, de dode a = 0, 0 s x < 0 s x < 0 0, s x < 0, s 0 x < 0,3 s x < 3 0,4 s x < 3 F ( x) = G ( x) = 0,6 s 3 x < 4 0,6 s 3 x < 4 s x 4 0,9 s 4 x < 5 s x 5 9) Ua fucó de desdad de ua varable aleatora es: / 5 s 0 < x < 5 f ( x) = 0 e otro caso Calcula P ( < X < 4 ), P ( X > 3 ), P ( X < 0 ) y represeta gráfcamete la fucó de dstrbucó. SOLUCIÓN 0 s x < 0 F ( x) = x s 0 x < 5 de dode P(<X<4) = F(4)-F() = /5 ; 5 s x 5 P(X>3)=-F(3) = /5 ; P(X<0) = 0

95 Problemas resueltos de varable aleatora 95 Métodos Estadístcos 6) La fucó de desdad de ua varable aleatora x es kx s x [ 0 5] f (x) = 0 s x [ 0 5] Hallar k y la fucó de dstrbucó. Hallar la meda y la varaza de x Calcular P(0 < X < k ) SOLUCIÓN: 5 5 x 5 Kxdx = k = k = ; de dode k = / La meda o esperaza de X es 0 5 x dx = 5 3 x = 0 3 7) La fucó de dstrbucó de ua varable aleatora es 0 s x < ( x + ) F ( x) = s x [, ] 4 s x Calcular la fucó de desdad y la meda SOLUCIÓN: x + s x, f ( x) = 0 s x [, ] [ ) 3 x x La meda o esperaza es: xf ( x) dx = + = / ) La fucó de desdad de ua varable aleatora X es 0 s x < 0 k s 0 < x < f ( x) = k' s < x < 0 s x > Hallar las costates k y k sabedo que P(0 < X <,5) = 0,7. Luego hallar la fucó de dstrbucó. SOLUCIÓN:

96 Problemas resueltos de varable aleatora 96 Métodos Estadístcos Por ser f fucó de desdad se tee: kdx + k' dx = k + k' = Por otra parte y dado que P(0 < X <,5) = 0,7, resulta que kdx + k' dx = 0,7 k + 0,5k' = 0,5 La fucó de dstrbucó es: 0 s x < 0 0,4x s 0 x < F ( x) = 0,6x 0, s x < s x 0 0,7, de ambas ecuacoes se obtee k = 0,4 y k =0,6 9) Obteer el valor de c sabedo que es u úmero real postvo, para que la fucó f(t) = e t / c pueda ser fucó de desdad de ua varable aleatora cotua X, defda e el tervalo [ 0, ]. Calcular la fucó de dstrbucó, así como P ( X > ½) ; esperaza de X. SOLUCIÓN: e t 0 dt = c e c = c = e c La fucó de dstrbucó de esta varable aleatora vee determada por: 0 s x < 0 x e F( x) = s 0 x < e s x El valor de P ( X > ½) = -F(/) = 0,64 y la esperaza es /(e-) = 0,589 0) La fucó de desdad de ua varable aleatora es kx + / s x [ 0,3] f ( x) = 0 s x [ 0,3] Calcular la probabldad de los sucesos A, B, B U C, C sedo A= ( X > 3/), B = ( < X < 3 ), C = ( 3/ < X < ) SOLUCIÓN: E prmer lugar hay que hallar k, cuyo valor se obtee del sguete modo:

97 Problemas resueltos de varable aleatora 97 Métodos Estadístcos 3 3 kx kx kx + dx = + = 6k = k = Calculemos ahora las probabldades de A, B y C respectvamete: 3 3 x x P(A) = x + dx = + = 5/ 6, del msmo modo se tee que P(B)=5/6 y P(C) = 3/6. P(BUC)=P(B)+P(C)-P(ByC), ahora be, ByC es el suceso C, por tato P(BUC)=5/6 ) U jugador tra al blaco. La dstrbucó de los mpactos e toro a la daa vee dada por la fucó de desdad f(x) = e -kx dode x represeta la dstaca del mpacto a la daa. Hallar el valor de k y la fucó de dstrbucó. SOLUCIÓN: 0 kt kx e e dx = lm = k= t + k La fucó de dstrbucó es t 0 0 e F( x) = x s s x < 0 x 0 ) La probabldad de teer éxto e ua prueba es p = 0,6. Cuál es la probabldad de cosegur 4 o 5 éxtos e 0 pruebas SOLUCIÓN: Se trata de ua dstrbucó bomal para =0 y p=0,4 ya que 0,6 o vee e las tablas. Por tato la probabldad pedda es: P(X=6)+P(X=5) sedo X= úmero de fracasos El valor peddo es: 0,3 3) U trador tee ua probabldad de acertar gual a 0,8. Cuál es la probabldad de que e cco dsparos acerte al meos 4? SOLUCIÓN: Se trata de ua dstrbucó bomal para =5 y p=0, ya que 0,8 o vee e las tablas. Por tato la probabldad pedda es: P(X<), sedo X= úmero de fallos. La probabldad pedda es: 0,7373 4) Supogamos que u sstema de 8 compoetes depedetes requere para su fucoameto que al meos 6 esté e bue estado. S la probabldad de fucoameto de cada compoete es 0,95, calcular la probabldad del sstema defda por la probabldad de que fucoe. Calcular la esperaza y la desvacó típca. SOLUCIÓN: Se trata de ua dstrbucó bomal para =8 y p=0,05 ya que 0,95 o vee e las tablas. Por tato la probabldad pedda es: P(X<3), sedo X= úmero de compoetes e mal estado. La probabldad pedda es: 0,994. La esperaza es 8.0,95= 7,6 (es decr etre 7 y 8 compoetes que fucoe) ya que s tomo 8.0,05=0,4 (sería etre 0 y compoete que falle). La desvacó tpca de la varable Numero de compoetes que fucoa como que falle será: 0,664

98 Problemas resueltos de varable aleatora 98 Métodos Estadístcos 5) La probabldad de que u equpo de futbol gae a otro equpo determado es / 4. Se juega 6 partdos. Se pde: a) La probabldad de que gae por lo meos dos veces. b) Calcular el úmero de partdos que tee que jugar para que la probabldad de gaar por lo meos ua vez sea mayor que 3/5. SOLUCIÓN a) Se trata de ua dstrbucó bomal para =6 y p=0,5. Por tato la probabldad pedda es: P(X>), sedo X= úmero de partdos gaados. La probabldad pedda es: 0,4660 b) P(X>0)>3/5 -P(X=0)>3/5 P(X=0)</5. Solucó 4 partdos como mímo ya que e las tablas el prmer valor de que hace esa probabldad meor que /5 es 4. 6) U alumo debe realzar u exame de 8 pregutas co respuestas de sí o o. Qué probabldad tee de cotestar correctamete por lo meos a la mtad de ellas s descooce por completo la matera del exame? SOLUCIÓN: Se trata de ua dstrbucó bomal para =8 y p=0,5. Por tato la probabldad pedda es: P(X>3), sedo X= úmero de acertos. La probabldad pedda es: 0,6367 7) Calcular la probabldad de que al lazar al are 5 veces ua moeda se obtega al meos dos caras. SOLUCIÓN: Se trata de ua dstrbucó bomal para =5 y p=0,5. Por tato la probabldad pedda es: P(X>), sedo X= úmero de caras. La probabldad pedda es: 0,874 8) Supoedo que Z es la dstrbucó ormal tpfcada, calcular a) P ( z > 0,7 ) P ( < z <,37 ) P ( z >,05 ) SOLUCIÓN: a) 0,40 b) 0,0733 c) 0,938 8) Las alturas de 300 estudates se dstrbuye ormalmete co ua meda gual a 7 cm. y ua desvacó típca de 7 cm. Cuátos estudates tee altura: mayor que 8 cm. ; meor que 63 cm. ; etre 65 y 8cm. ; gual a 7 cm. SOLUCIÓN: Nos pde las sguetes valores: 300.P(X>8) ; 300.P(X<63); 300.P(65<X<8); 300.P(X=7). Tpfcado los valores de X, resulta: X Z,43 -,8 -,8 0 Por tato 300.P(X>8) = 300. P(Z>,43)=300.[-P(Z<=,43)]=300.(-0,936)=3 300.P(X<63)= 300.P(Z<-,8)=300.[- P(Z<,8)]=300.(-0,8997)= P(65<X<8)= 300.P(-<Z<,8)=300.(0, ,843)=; 300.P(X=7)=0. 9) Los pesos de los habtates de ua poblacó se dstrbuye ormalmete co ua meda de 65 Kg. y ua desvacó típca de 6 Kg. Calcular la probabldad de que u dvduo de dcha poblacó pese: a) a lo sumo 65 Kg. b) etre 60 y 75 Kg. c) más de 75 Kg.

99 Problemas resueltos de varable aleatora 99 Métodos Estadístcos SOLUCIÓN: a) el valor tpfcado de 65 es 0. Así pues la respuesta es 0,5. b) el valor tpfcado de 60 y 75 es respectvamete 0,83 y,67, de dode P(-0,83<Z<,67)=0,955-+0,7967=0,749 c) el valor tpfcado de 75 es,67, etoces P(Z>,67)=-0,955=0,0475 0) Sea X ua varable aleatora ormal tal que P ( X < 5 ) = 0,003 y P ( X < 0 ) = 0,9605. Calcular: a) Calcular la meda y la desvacó típca de x. b) P ( 6,5 < X < 7,8 ) c) Calcular el úmero k tal que P( X > k ) = 0,5 SOLUCIÓN: 5 µ µ 5 µ 5 a) P ( Z < ) = 0,003; P`( Z < ) = 0,8997; =, 8 σ σ σ 0 µ 0 µ P ( Z < ) = 0,9605; =,8, obteédose u sstema de dos σ σ ecuacoes co dos cógtas, cuyas solucoes so 7,07 para la meda y,6 para la desvacó típca. c) Los valores tpfcados de 6,5 y 7,8 so respectvamete 0,35 y 0,45, por tato el resultado peddo es 0, ,6368=0,304 7,07 d) P( Z > k ) = 0,5; de dode k=7,07,6 ) La talla de los hombres e edad mltar e España sgue ua dstrbucó ormal de meda 69 cm. y desvacó típca 6 cm. S o se admte para el servco mltar los dvduos de talla feror a 60 cm. Qué proporcó se rechaza? ) Sea A u suceso de probabldad 0,4. Supoedo que se hace 900 pruebas del expermeto, calcular la probabldad de que A se verfque exactamete 380 veces? 3) Hallar la probabldad de obteer tatas caras como cruces e 00 lazametos de ua moeda. 4) Etre 000 estudates la meda del peso resultó ser 70 kg. co ua desvacó tíca de 8,5 Kg. Determar el peso mímo del cojuto formado por los 00 estudates más pesados. 5) Hallar la probabldad de que etre cfras al azar la cfra 6 salga meos de 997 veces. 6) La meda de ua varable aleatora X ormal es el quítuplo de la desvacó típca. Sabedo que P(X < 6) = 0,843, calcular la meda y la desvacó típca.

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101 Estmacó putual 0 Métodos Estadístcos TEMA X: ESTIMACIÓN PUNTUAL Poblacó Es u cojuto homogéeo de elemetos de los que se quere estudar algua característca determada, determada por ua varable aleatora X. Sus elemetos se llama dvduos y el úmero de éstos es el tamaño de la poblacó que osostros represetaremos por N. Geeralmete o es posble estudar todos los elemetos de la poblacó porque o es vable físca o ecoómcamete, porque la evolucó temporal de la característca es demasado rápda y o da tlempo a elaborar el ceso,,porque el esayo requerdo es destructvo (supogamos que queremos saber cuata preso soporta u huevo ates de revetar), etc. Para evtar este problema tomamos ua muestra de la poblacó. Así pues, ua muestra es u cojuto represetatvo de los elemetos de ua poblacó. El tamaño de la muestra lo represetaremos por. Formas de eleccó de la muestra: Etre otras teemos las sguete: Muestra aleatora smple: Cuado todos los vdvuos de la poblacó tee la msma probabldad de salr elegdos e la muestra. Es decr que sobre ua lsta ordeada, o o, de los elemetos de la poblacó, tomamos al azar los elegdos de la muestra. U método para geerar úmeros aleatoros de forma lmpa es utlzado la tecla RAN de la calculadora, que os geera úmeros aleatoros etre 0 y, por lo que s quero geerar úmeros eteros aleatoros etre p y q, ambos clusve, se utlzará la sguete fórmula: Et [ (q-p+).ran] + p Muestra aleatora sstemátca: Es la que cosste e obteer el prmer dvduo de la muestra como e el caso aleatoro smple y después tomar los sguetes a saltos de magtud gual detro de la lsta, de modo que se complete u cclo de la lsta. El prmer elemeto se llama orge y la magtud del salto es el llamado coefcete de elevacó. Este coefcete se obtee dvdedo el tamaño de la poblacó N, etre el tamaño de la muestra,. Muestra estratfcada: Es ua técca muy susada cuado la poblacó puede o ser ta homogéea como se desearía y exste dsttos grupos (llamados estratos) detro de ella e los que el comportameto de la varable e estudo puede dferr bastate de uos a otros. Lo ormal a la hora de obteer muestras estratfcadas es que e la muestra se respete las proporcoes poblacoales de cada estrato. Así, s N, N.N k so los tamaños de los estratos de la poblacó, y es el tamaño deseado de la muestra, el úmero de elemetos de los estratos e la muestra, debe ser: = (N /N).

102 Estmacó putual 0 Métodos Estadístcos Estmacó putual El objetvo de la estmacó putual es obteer u valor umérco para certo parámetro de la poblacó a estudo. Sea ua poblacó e la que estamos estudado ua característca determada por la varable aleatora X, co fucó de dstrbucó coocda o o F(x;θ) coocda salvo por los valores de uo o más parámetros θ. Sea ua muestra caracterzada por las varables X, X,, X. Se llama estmador a ua fucó T(X, X,, X) cuyo valor umérco, θˆ, llamado parámetro muestral, obtedo a partr de los datos muestrales permte estmar el parámetro poblacoal θ. Puesto que T es fucó de varables aleatoras, es a su vez ua varable aleatora, por lo que tee perfecto setdo hablar de su esperaza y su desvacó típca. Es mportate recordar que s X e Y so dos varables aleatoras, se tee que: E[X+Y] = E [x]+e[y] ; E [k.x] = k.e[x] Metras que para la varaza se obtee: Var[X+Y] = Var [x]+var[y] ; Var [k.x] = k.e[x] Para medr la bodad de u estmador, esto es para determar s el estmador es mejor o peor, se utlza los sguetes coceptos U estmador se dce sesgado o cetrado s la esperaza de dcho estmador cocde co el parámetro estmado. Es decr E (T ) = θ. E caso cotraro el estmador se dce sesgado. E prcpo es deseable que el estmador sea lo meos sesgado posble como es lógco. Se llama sesgo del estmador al valor E (T ) θ y dcho valor represeta lo que por térmo medo se desvía el estmador del valor teórco. U ejemplo de estmador cetrado es la meda muestral T = X, s embargo la varaza muestral S = ( X µ ) o es u = = estmador cetrado de la varaza poblacoal, ya que su esperaza o cocde co σ, so que es gual a σ. Para buscar u estmador sesgado o cetrado de la varaza se utlza la llamada cuasvaraza muestral que utlzaremos más adelate y vee dada por: S = ( X µ ) = S. Este valor se obtee e la calculadora. = Por ejemplo cosderemos e ua poblacó dode se está estudado ua varable X, ua muestra de tamaño 4, dada por los sguetes valores de la varable X, X, X 3 y X 4 Y cosderemos dos estmadores para la meda artmétca de X, µ X + X X 3 + X 4 X + X T = y T = 4, resulta fácl comprobar que ambos 4 estmadores so cetrados para el parametro que estamos estudado, e este caso la meda µ. Pero cómo podemos saber cuál de ellos es el mejor?

103 Estmacó putual 03 Métodos Estadístcos Esto vedrá determado por los sguetes coceptos: Error cuadrátco medo o ECM de u estmador T, es la esperaza de los cuadrados de las desvlacoes del msmo co respecto al parámetro que se está estmado θ. Es decr: ECM (T) = (E(T)- θ) + Var (T) S el estmador es cetrado resulta que ECM(T) = Var(T) Dremos que el estmador T es más efcete que el estmador T cuado ECM(T) < ECM(T ) Se llama efceca de u estmador T, a Efc (T) = /ECM(T). Dados dos estmadores será mejor el de mayor efceca. U requsto mímo que debe cumplr u etmador para que sea aceptable es que, a medda que aumete el tamaño de la muestra, el estmador se aproxme al parámetro estmado. Esto se puede expersar e térmos de u uevo cocepto deomado cossteca, que defremos matemátcamete a cotuacó. U estmador se drá cosstetes s, a medda que aumeta el tamaño muestral, el error cuadrátco medo del estmador tee a cero, es decr: lm ECM ( T ) = 0 Ejerccos propuestos: ) E ua poblacó ormal co meda µ descoocda y desvacó típca 5, tomamos muestras aleatoras de tamaño 3, X, X, X 3, cosderado como estmadores de la meda de la poblacó las sguetes expersoes: X + X + X 3 T = X X y T = 3 Cuál de estos dos estmadores es mejor? ) Sea X, X, X 3, X 4, X 5 ua muestra aleatora smple de ua poblacó de meda µ y varaza σ. Cosderemos como estmadores de la meda de la poblacó µ, las sguetes fucoes: X + X + X 3 + X 4 + X 5 X + X + X 3 + X 4 + X 5 T = Y T = 5 6 so sesgados? Cuál tee meor varaza? Cuál es más efcete?

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105 Itervalos de cofaza 05 Métodos Estadístcos TEMA XI: ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA Cosste e buscar u tervalo umérco dode es muy probable que se ecuetre el parámetro de la poblacó que queremos estmar. Sempre tetaremos dar u tervalo lo mas pequeño posble. Por ejemplo, s queremos dar u tervalo para la estatura meda de los alumos de u Isttuto y decmos que la meda está e el tervalo (49, 80), evdetemete tedríamos ua probabldad cas del 00% de que e efecto la meda se ecuetre ahí, pero el objetvo es dar precsamete u tervalo de rado feror. Por ejemplo ua buea estmacó para ua meda de la poblacó que fuese gual a 4, sería afrmar que se ecuetra e el tervalo (4.,4.5). E deftva, queremos costrur u tervalo de forma que la probabldad de que el parámetro a estmar esté detro de este tervalo sea prevamete coocda. A esta probabldad la deomaremos Nvel de Cofaza y la deotaremos por -α, sedo ésta geeralmete ua probabldad muy pequeña (0,0 ó 0,05). Etoces se pretede costrur u tervalo ( aˆ, b ˆ ) de forma que P ( ϑ ( aˆ, bˆ)) = α, sedo θ el parámetro de la poblacó a estmar. Para ello se utlza el método del pvote que cosste e buscar ua fucó de la r muestra X = ( X, X,..., X ) y del parámetro θ, que llamaremos estadístco pvote g( X r, ϑ) de forma que sga ua dstrbucó coocda, de forma que dcha dstrbucó o depeda del parámetro. Al teer ua dstrbucó coocda (ormal, chcuadrado...etc) buscamos el tervalo de probabldad de forma que P( g( X, θ )) = α, r cosderadolo cetrado e la dstrbucó, esto es que a la zquerda del tervalo y a la derecha queda u valor de probabldad α/. Veamos u caso: Estmacó de tervalo de cofaza de la meda µ de ua poblacó que sgue ua dstrbucó ormal, coocedo la desvacó típca y tomado como estmador la meda muestral de ua muestra X, X,..., X ), que deotaremos por ( X X X =. E prmer lugar hemos de advertr que la dstrbucó e la muestra de la meda muestral, es ua varable aleatora ormal, de meda µ y desvacó típca σ. La demostracó de esto es fácl de ver ya que calculado la meda y varaza de X se tee: E[ X ]= [ X ] = E [ X ] µ = = µ, metras que para la varaza s tee: Var σ σ Var[ X ] = = = =, de dode la desvacó típca es como djmos σ E cosecueca teemos que X es N(µ, ), de dode se obtee que: σ.

106 Itervalos de cofaza 06 Métodos Estadístcos X µ σ es N(0,). Este es por tato el estadístco pvote que ecestamos pues volucra a los elemetos del problema e juego y sgue ua dstrbucó coocda (ormal tpfcada). Como queremos que la probabldad de que dcho estadístco se ecuetre e u tervalo cetrado respecto a la meda de la dstrbucó de forma que deje α/ a ambos lados de dcho tervalo, cosderaremos z α/ y - z α/ como los valores extremos de dcho tervalo, resultado etoces: X µ P( zα < < zα ) = α, despejado el valor del parámetro que es el que σ σ σ queremos estmar, µ, resulta : P( X zα < µ < X + zα ) =-α. Hemos ecotrado el tervalo que estma la meda de la poblacó co u vel de cofaza -α Nota.- Para poblacoes ftas, se suele tomarse σ p p, e lugar de dode p es el tamaño de la poblacó, pero osotros o lo vamos a cosderar e uestro estudo. Dstrbucoes asocadas a la ormal Ch-Cuadrado χ Dadas varables aleatoras N(0,) e depedetes etre sí, la varable aleatora, dada por X =X +X X, sgue ua dstrbucó que se deoma ch-cuadrado co grados de lbertad y se represeta por χ Qué tee de partcular esta dstrbucó?. La respuesta es e codcoes de ormaldad de ua poblacó X, y para ua muestra de dvduos, resulta que el ( ) S estadístco pvote dado por sgue precsamete ua dstrbucó χ σ co - grados de lbertad, y teedo e cueta que dcha varable volucra a la cuasvaraza muestral y a la varaza poblacoal, es u perfecto estadístco pvote para obteer u tervalo de cofaza de la varaza muestral, descoocedo la meda e ua dstrbucó ormal. Para ello se procede como e el caso ateror teedo e cueta que la dstrbucó ahora a cosderar o es ormal so que es ua Chcuadrado. El tervalo que se obtee es: σ t de Studet ( ) S ( χ α χ ) S α

107 Itervalos de cofaza 07 Métodos Estadístcos Dadas varables aleatoras co dstrbucó N(0,) e depedetes y dada otra varable depedete de las aterores co dstrbucó N(0,), la varable aleatora Y determada por t = sgue ua dstrbucó llamada t de Studet co = X grados de lbertad. A osotros os teresa puesto que e codcoes de ormaldad se X µ tee que la varable dada por es ua dstrbucó t de Studet co - grados S de lbertad. Este pvote estadístco srve para dar u tervalo de cofaza de la meda descoocedo la desvacó típca. Procededo como e los casos aterores y aplcado la dstrbucó t de Studet, se tee que dcho tervalo vee determado por: S S X t, α /, X + t, α / S el tamaño muestral es ta grade que el valor de la t o se ecuetra e la tabla, se suele aproxmar por el correspodete, al msmo vel de cofaza, a la dstrbucó ormal. Itervalo de cofaza para ua proporcó Supogamos ua poblacó dode los dvduos se puede clasfcar segú ua determada característca. Queremos calcular u tervalo de cofaza para la proporcó de dvduos que posee dcha característca. Elegmos ua muestra aleatora de tamaño. Sea X la varable aleatora que determa el úmero de dvduos de la muestra que cumple dcha característca. Defmos ) X como proporcó muestral, p =. Es obvo que X es ua bomal de parámetros y p. Sabemos que para valores de grades y p próxmos a 0,5, ua bomal se puede aproxmar por ua ormal, de parámetros p y p( p), de dode podemos ferr X p que es ua N(0,), dvdedo por, el umerador y el deomador, se p( p) ) p p tee es N(0,), que será uestro pvote estadístco, de dode se obtee el p( p) sguete tervalo ) p z p( p), ) p + z α / α / p( p) Obsérvese que este tervalo o se puede calcular al descoocer el valor de la proporcó poblacoal p. Esto podemos resolverlo utlzado su estmador, quedado el tervalo de la forma:

108 Itervalos de cofaza 08 Métodos Estadístcos ) ) ) ) p( p) ) p( pˆ) p zα /, p + zα / Otra posbldad para el calculo del tervalo, s utlzar el estmador ateror, es utlzar el máxmo de los valores posbles que puede tomar el producto p(-p), que como se puede demostrar fáclmete es meor que /4. La demostracó de esto puede ser la sguete: Puesto que p(-p) = p-p. y la dervada de esta fucó respecto de p es -p se aula e p=/, dode la fucó preseta u máxmo, por tato el valor máxmo se da para p=/, as pues el valor máxmo de la expresó es /4. quedado pues el tervalo de la sguete maera: ) ) p zα /, p + zα / 4 4 Seleccó del tamaño muestral S queremos aumetar la precsó de u tervalo de cofaza, lo que hacemos es reducr su logtud para lo cual debemos aumetar el tamaño muestral. E stuacoes podemos cotrolar el tamaño muestral e el setdo de que es posble elegr u valor de de forma que el error cometdo al estmar el parámetro sea meor que u valor cocreto y especfcado llamado marge de error. Se trata e todo caso de acotar el rado del tervalo de cofaza correspodete y obteer el valor de.

109 Itervalos de cofaza 09 Métodos Estadístcos EJERCICIOS PROPUESTOS )U adador obtee los sguetes tempos, e mutos, e 0 pruebas croometradas por su etreador: 4,48 4,34 4,95 4,86 4,60 4,04 4,8 4,8 4,7 4,6. Obteer u tervalo de cofaza para la marca promedo de esta prueba co u 95% de cofaza, supoedo que se cooce por otras pruebas que la desvacó típca para este adador es de 0,3 mutos. S el etreador quere obteer u error e la estmacó de la meda de este adador feror a tres segudos, cuátas pruebas debería croometrar? ) La putuacó promedo de ua muestra de 0 jueces de gmasa rítmca, elegdos al azar, para ua msma prueba presetó ua meda de 9,855 y ua cuas desvacó típca muestral de 0,0965. Calcular u tervalo de cofaza co u 95% para la ota meda. (Se sobreetede que la putuacó de la prueba sgue ua dstrbucó ormal) 3) U etreador de fútbol está teresado e estmar, co u 99% de cofaza, la fuerza máxma de los músculos cuadrceps de los futbolstas. Admtedo que dcha fuerza sgue ua dstrbucó ormal, seleccoa al azar ua muestra de 5 futbolstas, para la que obtuvo ua meda de 85 Nw y ua cuasvaraza de 44. Determar u tervalo de cofaza para la meda y otro para la varaza de la fuerza máxma de estos músculos. 4) E ua ecuesta hecha por los alumos y alumas de u Isttuto a u total de 00 votates elegdos al azar e su Ayutameto, se dca que el 55% volvería a votar por el alcalde actual. Calcular u tervalo de cofaza al 99% e otro al 99,73% para la proporcó de votates favorables al alcalde actual. 5) Cuáles debe ser los tamaños muestrales e el sodeo del problema ateror para teer, co los msmos veles de cofaza, la certeza de que el alcalde actual salga reelegdo por mayoría absoluta, e el caso de arrojar la ecuesta los msmos resultados? 6) E ua ecuesta a 360 alumos de u cetro, elegdos al azar, resultaro 90 a favor de la polítca del actual equpo drectvo. Cuál es el tervalo de cofaza, co vel del 95%, para la proporcó de alumos que apoya a esta dreccó? 7) Se laza ua moeda 00 veces y se obtee 6 cruces. Cuál es el tervalo de cofaza para la proporcó de cruces co u 99% de vel de cofaza? 8) Para estmar el úmero de raas que hay e u estaque procedemos a pescar certa catdad, 30, y las marcamos co u allo, devolvédolas al estaque. Trascurrdos uos días volvemos a pescar otro motó y observamos qué proporcó está marcadas co la alla. Es esta últma pesca obteemos 00 raas de las que 7 está marcadas. Calcular u tervalo al 99% de cofaza para la proporcó de raas marcadas. 9) Calcula u tervalo de cofaza, co u 90%, para el úmero total, N, de raas del estaque del problema ateror, teedo e cueta que la proporcó de raas marcadas es p= 30/N 0) De ua muestra elegda al azar de 0 alumos de la clase, se obtuvero los sguetes datos para el peso (e Kg) y la estatura (e cm.) Peso Estatura

110 Itervalos de cofaza 0 Métodos Estadístcos Calcular, supoedo que las varables peso y estatura se adecúa a ua dstrbucó ormal, u tervalo de cofaza para cada varable, co u vel de cofaza del 95%, tato para las medas como para las varazas.

111 Cotraste de hpótess Métodos Estadístcos TEMA XII: CONTRASTE DE HIPÓTESIS Es otra técca de fereca que srve para corroborar o rechazar algua formacó básca sobre la poblacó a estudo, aalzado hasta qué puto puede mateerse ua afrmacó sobre los parámetros de la poblacó. La eseca de probar estadístcamete ua hpótess es decdr s la afrmacó está apoyada por la evdeca expermetal, comprobar s lo que afrmamos está e stoía co lo que os proporcoa la muestra. E la presetacó geeral de u cotraste de hpótes se trata de poer a prueba ua hpótess, H 0, deomada ula, frete a otra hpótess, H, deomada alteratva. El modo de cotrastar será decdr s debemos aceptar o rechazar la hpótess propuesta co uos márgees de error prevamete fjados. S los valores muestrales dfere mucho de los teórcos, que se obtedría de ser H 0 certa, rechazamos la hpótess, dcedo que las dferecas so estadístcamete sgfcatvas. Así pues defmos: Hpótess estadístca: cualquer cojetura sobre ua característca de terés de ua poblacó. Hpótess ula (H 0 ): es la hpótess que se cotrasta y, salvo que los datos os demuestre su falsedad, la matedremos como verdadera. Rechazar esta hpótes sgfca asumr ua complemetara llamada hpótess alteratva (H ), que represeta ua egacó de la ula. Nosotros vamos a cotrastar valores paramétrcos, por lo cual la hpótess ula sempre será u valor umérco correspodete al parámetro a estmar, es decr H 0 = a; metras que la alteratva puede ser: Blateral H a Ulateral H < a (por la zquerda) H > a (por la derecha) Las hpótess ulas y alteratvas o tee la msma mportaca. La hpótess ula se matedrá como certa hasta que se demuestre lo cotraro. Como el hecho de realzar u cotraste de hpótess colleva ua toma de decsoes a favor de ua u otra hpótess, es evdete que esto mplca u marge de error. El error cometdo al rechazar la hpótess ula cuado e realdad es certa, se llama error de tpo I. el error cometdo al o rechazar la hpótess ula cuado es falsa se llama error de tpo II. Estos errores se mde por la probabldad de ser cometdos. Así llamaremos P ( Error tpoi ) = α P( Error tpoii) = β Como afrmamos que e el cotraste de hpótess se debe coceder mayor cofaza a la hpótess ula, rechazádola solamete s la evdeca e cotra es muy fuerte, sse cotrurá el cotraste fjado de atemao el error de tpo I, llamado també vel de sgfcacó del cotraste estadístca. A poteca del cotraste se defe como la probabldad de rechazar la hpotess ula cuado esta es falsa, es decr β Pasos para la costruccó de u cotraste de hpótess La forma de resolver el cotraste (decatarse por ua de las hpótess) es tomado ua muestra y, a partr de ella, obteer u valor umérco para el que se usará ua fucó de la muestra y del parámetro a cotrastar llamado estadístco. Se llama

112 Cotraste de hpótess Métodos Estadístcos estadístco pvote cuado su dstrbucó muestral es coocda y o depede de la poblacó. Teedo e cueta el error de tpo I fjado, vel de sgfcacó del cotraste, se dvde la recta real e ua regó de aceptacó y e otra de rechazo de la hpótess ula. Falmete, observado el valor del estadístco, os decataremos por rechazar o o la hpótess ula s este valor cae e la regó de rechazo o e la de aceptacó. Por este motvo el estadístco pvote usado para los cotrastes també recbe el ombre de medda de dscrepaca. º paso: especfcar, s ambgüedad, las hpótess ula y alteratva. º paso: fjar el vel de sgrfcacó α o probabldad del error de tpo I como u valor pequeño: ormalmete se usa 0.05, 0.0 o 0.. 3º paso: elegr el estadístco de cotraste o medda de dscrepaca 4º paso: determar las regoes de aceptacó y rechazo. 5º paso: tomar ua muestra de la poblacó a cotrastar y calcular el valor del estadístco de cotraste, elegdo e el paso 3, para esta muestra cocreta. 6º paso: tomar la decsó de rechazar o o la hpótess ula, e fucó de que el valor del estadístco valorado ela muestra observada se ecuetre e la regó de rechazo o de aceptacó. Cotrastes de hpótess paramétrcos cláscos Parte de la bases de que se cooce la dstrbucó de la poblacó a estudo, salvo el valor de determados parametros descoocdos. Aalzaremos los cotrastes para la meda y la varaza e poblacoes ormales, así para la proporcó e el caso de ua bomal. Las posbldades a estudar so: H 0 : θ = θ 0 (cotraste smple) frete a las alteratvas: H : θ θ 0 (cotraste blateral o de dos colas) H : θ < θ 0 (cotraste ulateral de cola zquerda) H : θ > θ 0 (cotraste ulateral de cola derecha) La hpótess ula H 0 de u cotraste sempre se toma smple. Ejemplo de eleccóes de hpótess: Supogamos que al resposable de Sadad le llega u forme que aputa a que determado producto de cosumo cotee ua catdad de u elemeto cacerígeo superor a la tolerada. S ello es certo, o s o exste la completa segurdad de que el producto es ocuo, debe retrarlo meatamete del mercado. Para comprobarlo decde hacer u cotraste. Sea p la catdad del elemeto cacefígeos y p 0 la máxma catdad tolerada. Las hpótess del cotraste debe ser e este caso: H 0 : p =p 0 y H : p<p 0 De esta maera, s el resultado del cotraste es aceptar H 0 o hay evdeca de que la catdad sea tolerable y se debe retrar el productor del mercado. S, por el cotraro,

113 Cotraste de hpótess 3 Métodos Estadístcos el resultado es rachazar H 0 teemos sufcete evdeca para garatzar que la catdad de producto está por debajo de los límtes y admtr su cosumo. S el cotraste se hubese hecho al revés, es decr: H 0 : p =p 0 y H : p>p 0 Rechazar H 0 sgfcaría que el producto es aceptable para el cosumo y deberíamos retrarlo, pero, aceptar la hpótess, sólo cocluye que o hay evdeca sufcete para asegurar que el producto sea cacerífeo, lo que de gú modo quere decr que o lo sea. Ate la duda, debería retrarse el lproducto. Este cotraste, mal costrudo, sempre coduce a la decsó de retrar el producto o a u certo resgo de que admtamos el cosumo de u producto cacerígeo. Cotraste para ua meda de ua dstrbucó ormal: Supogamos que teemos ua muestra aleatora X, X, procedete de ua poblacó ormal, X, co meda descoocda µ y deseamos cotrastar la hpótess ula H 0 : µ = µ 0 S esta hpótess es certa (como ya vmos e los tervalos de cofaza) se cumple que: X d = µ es N(0,). Este es por tato el estadístco pvote que ecestamos pues σ volucra a los elemetos del problema e juego y sgue ua dstrbucó coocda (ormal tpfcada), s coocemos la desvacó típca X µ d = es t-studet co - grados de lbertad. Este es por tato el estadístco S pvote que ecestamos pues volucra a los elemetos del problema e juego y sgue ua dstrbucó coocda (t-studet), s descoocemos la desvacó típca. d y d mde la dscrepaca observada a través de la muestra co el valor dado por la hpótess ula, presetádose las sguetes posbldades: Cotraste Hpótess ula Blateral H 0 : µ = µ 0 Ulateral zquerda Ulateral derecha H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 Hpótess Rego de aceptacó alteratva σ coocda σ descoocda H : µ µ 0 ( z α /, zα / ) ( t α /, t α / ) H : µ < µ 0 ( z α, + ) ( t α, + ) H : µ > µ 0 (, zα ) (, t α ) Cotraste para la varaza e poblacoes ormales Supogamos que teemos ua muestra aleatora X, X, procedete de ua poblacó ormal, X, co varaza descoocda σ y deseamos cotrastar la hpótess ula H 0 : σ = σ 0

114 Cotraste de hpótess 4 Métodos Estadístcos S esta hpótess es certa (como ya vmos e los tervalos de cofaza) se cumple que: ( ) S d 3 = sgue ua Ch-cuadrado co - grados de lbertad. σ Los posbles cotrastes so: Cotraste Hpótess ula Blateral H 0 : σ = σ Ulateral zquerda Ulateral derecha 0 H 0 : σ = σ 0 H 0 : σ = σ 0 Hpótess alteratva H : Rego de aceptacó σ σ 0 ( χ α /, χα / ) H : σ < σ 0 ( χ α, + ) H : σ > σ (, ) 0 χ α Cotraste de hpótess para ua proporcó Supogamos que los dvduos de la poblacó a estudo puede ser clasfcados segú u atrbuto que puede poseer o o y sea p la proporcó de dvduos de la pobalcó que posee dcho atrbuto. Elegda ua muestra aleatora de la poblacó queremos costrur u cotraste para comparar el verdadero valor de p co u valor hpotétco p 0 Sea p la frecueca relatva de los elemetos de la muetras que tee el atrbuto cosderado. S es certa la hpótess ula p=p 0 se verfca que D 4 = p ) p p 0 p 0 ( 0 posbles cotrastes: ) es N(0,), que será uestro pvote estadístco, obteédose los Cotraste Hpótess ula Hpótess alteratva Regó de aceptacó Blateral H 0 : p=p 0 H : p p0 ( z α /, zα / ) Ulateral H 0 : p=p 0 H : p < p0 ( z α, + ) zquerda Ulateral derecha H 0 : p=p 0 H : p > p0 (, zα )

115 Cotraste de hpótess 5 Métodos Estadístcos EJERCICIOS PROPUESTOS ) U vestgador quere cotrastar s el peso medo de certas hortalzas está e los,90 Kg. que le asegura e el mercado. Supoedo que este peso se dstrbuye de forma ormal co desvacó típca de 00 g, seleccoa al azar 0 hortalzas observado los sguetes pesos (e Kg):,9,98,87,05,0,87,9,95,87,04. Cotrastar, co u vel de sgfcacó de 0,05, que stos datos se adecua a ua dstrbucó co meda,9 Kg. ) Co los msmos datos del ejercco ateror, cotrastar que la desvacó típca del peso de las hortalzas es de 00 gramos. 3) Ua empresa de teléfoos asegura que por termo medo realza ua stalacó estádar e ua casa e meos de 5 días co ua desvacó de dos días. Se seleccoa u total de 0 stalacoes realzadas por dcha empresa, resultado u tempo medo de 4, días. Cotrastar co u vel de sgfcacó de 0,05 que el tempo medo de cada stalacó es feror a los 5 días. 4) El ecargado de persoal de ua joyería sospecha que el peso de los torques de oro que fabrca u determado trabajador fluctúa más de lo acosejable, que correspode a ua desvacó típca de 0,9 gramos. Para cotrastar sus sospechas, observa 0 días elegdos al azar a dcho trabajador, obteedo los sguetes pesos: 0, 9,4 8,,5 0, 9,8, 0,4 9,8 y 0,. Tee apoyo la sospecha del ecargado co u vel de sgfcacó de 0,05? 5) Ua máqua produce balas de calbre 9 mm, las fabrca co ua desvacó típca de 0,007. Para saber s el proceso fucoa correctamete se tama muestras de 5 balas cada dos horas. Ecotrar las codcoes para cotrastar, co u vel de sgfcacó de 0,05, que la desvacó típca es meor de 0,007 y la meda es de 9 mm. (lo que equvale, e termos de cotrol de caldad, a que la produccó esté bajo cotrol) 6) U hosptal sostee que el úmero de fectados e tervecoes qurúrgcas e sus qurófaos o sobrepasa el %. Se realza u cotrol sobre 300 efermos tervedos e dcho hosptal de los cuales 45 s fuero fectados. Es coherete la afrmacó del hosptal co % de sgfcacó? 7) U proveedor de plachas para la costruccó de embarcacoes sumstra materal a u astllero asegurado que la ressteca a traccó de este materal cumple la ormatva de caldad, que establece ua meda de 0 Mpa (Megapascales) co ua desvacó típca de 3,7 Mpa. Se toma ua muestra al azar de 9 plachas de este proveedor y se somete a ua prueba de ressteca resultado los sguetes valores: 5, 0, 05, 30, 4, 8, 09, 07, 30. Cotrástese las hpótess oportuas co u vel de cofaza del 99% 8) U vestgador asegura teer ecotrado u medcameteo que reduce el vel de colesterol total. Aplcado a 9 pacetes se obtuvero los sguetes resultados, meddo e mg/00ml, para ates y después de ser aplcado el medcameto: Ates

116 Cotraste de hpótess 6 Métodos Estadístcos Desp Cotrastar s las dferecas so sgfcatvas co u vel de cofaza del 99% 9) El resposable de ua campaña electoral pesa que su caddato está e desvetaja frete a su rval polítco, por lo que decde hacer ua ecuesta a 500 electores, resultado que 70 votaría a su caddato y el resto al otro. Exste razoes para pesar que este caddato está e desvetaja frete a su opoete co u vel de sgfcacó del %? 0) Queremos cotrastar s el porcetaje de desempleo e la comarca de Ferrol es mayor que e la del resto de Galca que está e el 5%. Tomado ua muestra al azar de 500 persoas de dcha comarca se obtuvero 95 desempleados. Exste razoes para sospechar que hay dfereca etre esta comarca y el resto de Galca? ) U profesor de matemátcas quere demostrar que la ota meda de selectvdad del alumado de su matera es superor a la meda gallega, que estaba e 5,5 e la últma prueba. Elge ua muestra al azar de 5 alumos presetados a selectvdad e la últma covocatora resultado ua meda de 5,95 co ua cuas desvacó muestral de 0,9. Verfcar la afrmacó de este profesor cou vel de cofaza de u 95% ) Ua materdad está teresada e cotrastar s la estatura meda de los ños al acer es de 50 cm, fjado como crtero de aceptacó de esta afrmacó que la meda muestral se desvía de los 50 cm e meos de,5 cm. Supoedo que se toma como desvacó típca poblacoal de la estatura,5 cm y ua muestra de tamaño 0, calcular la probabldad de cometer u error de tpo I. 3) Co los datos del problema ateror y supoedo que se quere rechazar la hpótess ula s la meda fuese de 5 cm. Cuál será la probabldad de cometer u error de tpo II?