CÁLCULO DEL ANCHO DE BANDA EFECTIVO PARA UN FLUJO MARKOVIANO CON TASAS DE TRANSFERENCIA CONTINUAS

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1 CÁLCULO DEL ANCHO DE BANDA EFECTIVO PARA UN FLUJO MARKOVIANO CON TASAS DE TRANSFERENCIA CONTINUAS Beatrz Marró Uversdad Nacoal del Sur, Resume: El objetvo de este trabajo es geeralzar el cálculo del acho de bada efectvo asocado al flujo X t, para el caso e que la fuete puede asumr dsttos estados y la velocdad co que despacha formacó es ua varable aleatora cotua que depede del estado e que se ecuetra la fuete. Más precsamete, supoemos que ua fuete e ua red de datos asume e el state s, el estado Z s, dode Z s es ua cadea de Markov homogéea, a tempo cotuo e rreducble, co espaco de estados {1,, k} y dstrbucó varate π. Cuado la cadea Z s alcaza el estado, la velocdad Y s co la cual la fuete trasmte datos es ua varable aleatora cotua, depedete de la cadea Z, co fucó de desdad f, 1 k. Defmos etoces, Flujo Markovao modulado por Y t, al proceso X t t Y s ds, que represeta el trabajo acumulado e el tervalo [, t] recbdo desde la fuete. El cálculo del Acho de Bada Efectvo se realza medate la geeralzacó de fórmulas del tpo Kesds- Walrad-Chag. Palabras clave: Flujo Markovao, acho de bada efectvo. 1. INTRODUCCIÓN La telecomucacó se está desarrollado cada vez más haca las redes dgtales se servcos tegrados, es decr redes capaces de trasportar dsttos tpos de formacó como vdeo, voz, datos, todos ellos e forma dgtal y e muchos casos e tempo real. Este tpo de redes de telecomucacó se modela medate u sstema multplexor, dode varos flujos de datos comparte ua úca salda y podemos pesar al sstema como u servdor que puede procesar el trabajo que recbe desde varas fuetes dsttas a ua tasa costate c, además puede almacear e u buffer hasta ua certa catdad b de udades de trabajo pero el trabajo que arrba cuado el buffer está completo se descarta y por lo tato uca será procesado. U ejemplo de este tpos de redes es la Iteret, cuya polítca tradcoal de trabajo es el "Best effort": hacer lo que puede dvdedo sus recursos etre todas las solctudes. S e u state muchas comucacoes debe usar u msmo elace de salda, los paquetes se va almaceado e cola buffers esperado su turo, esto produce retardo y s el buffer se llea los paquetes se perde. Las aplcacoes tradcoales de Iteret so los mals, la trasfereca de archvos y el uso de la Web dode los retardos o afecta demasado y las pérddas se solucoa co retrasmsoes pero e los uevos servcos que puede ofrecer la Iteret como so las comucacoes de voz y vdeo, tato el retardo como la pérdda de paquetes so crítcas. La causa más sgfcatva de retardo y pérddas de paquetes e los buffers, es el exceso de tráfco e el caal de trasmsó, por lo que es ecesaro propoer modelos estocástcos y téccas estadístcas que permta cotrolar las probabldades de cogestó o de pérdda de paquetes y establecer codcoes para poder realzar cada tarea demadada. Coocer etoces, cuato de los recursos dspoble ecesta cada coexó tee aplcacó drecta a lo que se llama cotrol de admsó de coexoes CAC ya que ua ueva coexó puede ser aceptada s hay sufcetes recursos dspobles y el preco de la coexó debería ser, de algua forma, proporcoal a los recursos ecesaros. Al tomar la decsó de aceptar ua ueva coexó, se deber estmar cuato ocupará esta e el caal de comucacó, para saber s al añadr el uevo tráfco se puede mateer la caldad de servco QoS, tato de la ueva coexó como de las ya exstetes. Hay dos límtes claros para estos requermetos: por u lado se podría reservar la tasa máxma de trasmsó para cada coexó que daría lugar a u multplexor determístco,y s be o hay posbldad

2 de buffer overflow es decr o queda trabajo s procesar, la utlzacó del elace es muy pobre. Por otro lado, se podría reservar la tasa meda de trasmsó para cada coexó, que permte utlzar e meda el ce por ceto del elace, pero es evtable que exsta buffer overflow. Etoces, dada ua certa QoS requerda probabldad de pérdda de trabajo, retardo e el tempo de procesameto, etc. la catdad de recursos que deberá reservarse para cada coexó, está e algú lugar etre la tasa meda y la tasa máxma de dcha coexó. Esta catdad se cooce geeralmete como acho de bada efectvo y es etoces ua medda del uso de los recursos. El cocepto de acho de bada efectvo troducdo por Kelly e [5], es ua medda útl de la ocupacó del caal de trasmsó, cuyo susteto teórco provee de la teoría de grades desvíos y cuyas propedades la hace ua medda apropada. Aplcacoes de esta magtud a las redes de telecomucacó de preseta e [8, 4] etre otros. E uestro caso, hemos trabajado sobre el modelo coocdo como Flujo Markovao que es aceptado e la lteratura para datos provetes de vdeo MPEG. Para este tpo de modelos Kesds, Walrag y Chag presetaro e [6] ua expresó para el acho de bada efectvo, cuado las tasas de trasferecas so costates. El objetvo de este trabajo es geeralzar el modelo para tasas de trasferecas aleatoras y ecotrar ua expresó para el el acho de bada efectvo. Este trabajo está orgazado de la sguete maera: e la Seccó 2 se preseta el Acho de Bada Efectvo y sus propedades, e la Seccó 3 presetamos el resultado prcpal, e la Seccó 4 se preseta las coclusoes y futuras líeas de trabajo. 2. ANCHO DE BANDA EFECTIVO E este trabajo X t represeta la catdad de trabajo acumulado work load que llega a u swtch desde ua fuete e el tervalo [, t]. Cosderemos u proceso estocástco Y s que sólo puede asumr ua catdad fta de valores h 1,, h k. Supogamos que Y s represeta el trabajo statáeo que arrba al swtch por ejemplo e Mbs que puede llegar e k estados dferetes co tasas de trasferecas e Mbs h 1,, h k respectvamete. Por ejemplo h 1 podría ser cero, es decr o se trasmte; h 2 ua tasa baja por ejemplo cuado se trasmte u mal; h 3 ua tasa alta por ejemplo cuado se trasmte ua mage, etc. La catdad de trabajo acumulado e el tervalo [, t] sería X t t Y s ds. Al asumr que X t es u proceso de cremetos estacoaros estamos supoedo que la dstrbucó de la catdad de trabajo Y s que llega e u tervalo debe ser estacoaro es decr sólo depede de la logtud del msmo. Las fuetes que cumple esta propedad so fuetes estacoaras. Defcó 1 Se defe la fucó acho de bada efectvo de ua fuete estacoara como: αs, t 1 st log EesXt < s, t <, 1 dode X t es el trabajo que produce la fuete e el tervalo [, t], y s y t so parámetros de escala. El acho de bada efectvo cueta co propedades que lo hace teresate e la aplcacó al estudo de redes de datos, por ejemplo tee ua operatora muy smple para ua operacó crucal e el multplexado como es el agregado de fuetes, ya que es adtvo respecto de la superposcó de fuetes depedetes, su valor está sempre etre la tasa meda y la tasa máxma de trasmsó y para u flujo de velocdad costate equvale al acho de bada. Para defr etoces Flujo Markovao cosderemos Y s ua cadea de Markov e tempo cotuo, homogéea, rreducble y co espaco de estados fto E {h 1,, h m }, dode h es u úmero real. S cosderamos que este valor represeta la velocdad co que ua fuete evía datos, defmos Flujo Markovao modulado por Y s, al proceso X t t Y s ds. Por las codcoes mpuestas a la cadea Y s, se deduce que exste ua úca dstrbucó varate π, e cosecueca, s se toma como dstrbucó cal de la cadea la dstrbucó varate, Y s resulta u

3 proceso estacoaro, el proceso X t resulta de cremetos estacoaros y represeta el trabajo acumulado e el tervalo [, t] recbdo por ua fuete que evía datos a ua certa velocdad. Los estados h de la cadea Y s represeta la velocdad co que se acumula trabajo, dchas velocdades so costates y camba segú camba de estados la cadea Y s, por lo tato el proceso X t tee trayectoras leales a trozos, cotuas y co pedetes dadas por los estados h. La cadea Y s se llama etoces cadea modulate. E el sguete teorema, que daremos s demostracó, Kesds, Walrag y Chag presetaro e [6] ua expresó para el acho de bada efectvo de u Flujo Markovao X t defdo como ates. La expresó depede del geerador ftesmal de la cadea modulate Y s, de los estados de la msma y de su dstrbucó varate. Teorema 1 Sea {X t } t u flujo markovao modulado por la cadea de Markov rreducble homogéea Y t defda como ates, co geerador ftesmal Q Y y espaco de estados h 1 < h 2 < h m. Sea H ua matrz dagoal co H h, π la dstrbucó varate de la cadea y 1, u vector columa co todas las etradas guales a 1. Etoces: αs, t 1 st log { π exp [ Q Y + sh t ] 1 }. Es mportate resaltar que e la demostracó del teorema ateror o se utlza e gú mometo que la dstrbucó cal fuera la varate, esta hpótess sólo es ecesara para que el proceso X t sea de cremetos estacoaros y por lo tato tega setdo calcular el acho de bada efectvo. 3. GENERALIZACIÓN PARA TASAS DE TRANSFERENCIAS ALEATORIAS E esta seccó geeralzamos el modelo para el caso e que la fuete puede asumr dsttos estados y la velocdad co que despacha formacó es ua varable aleatora, cotua o dscreta, que depede del estado e que se ecuetra la fuete. Más precsamete, sea Z s ua cadea de Markov homogéea, a tempo cotuo e rreducble, co espaco de estados K {1,, k} y dstrbucó cal gual a la dstrbucó varate π, y sea f 1, f 2,, f k, k leyes de probabldad dsttas. Cuado la cadea Z s alcaza el estado, e lugar de despachar a ua tasa costate, se sortea -depedetemete de todo otro sorteo- ua varable segú la ley f, y se dce que Y s toma dcho valor sorteado metras Z s o cambe de estado. E otras palabras, sea τ j el state e que Z s alcaza por j-ésma vez el estado, y σ j el [ state e que Z s sale por j-ésma vez el estado. Supoedo además σ j > τ j, resulta Z s durate τ j, σ j correspodete [ a la j-ésma vsta de Z al estado, etoces Y s toma el valor sorteado segú la ley f para todo s, σ j, y el flujo markovao modulado por el proceso Y s resulta uevamete τ j X t t Y s ds. El objetvo es calcular el acho de bada efectvo asocado al flujo X t, co ua fórmula del tpo a la obteda por Kesds, Walrad y Chag. Trataremos separadamete el caso e que cada f está cocetrada e ua catdad fta de valores {h 1,, hl } y el caso e que cada f es ua fucó de desdad co soporte [c, c +1 R + para c < c CASO DISCRETO Dada Z s ua cadea de Markov rreducble homogéea co espaco de estados K {1, 2, k} y dstrbucó varate π, comezamos cosderado el caso e que Y s se sortea segú la ley f cocetrada e los valores H {h 1,, hl }, tomado co probabldad postva, uo de estos valores todo el tempo que la cadea Z s esté e el estado. Más precsamete f u P Y s u/z s, com prmer mometo µ.

4 Llamamos H {h j : 1 k, 1 j L }, al cojuto de los posbles valores que toma Y s y defmos la matrz dagoal H como ua matrz de dmesó k, cuyos elemetos o ulos so los prmeros mometos de cada dstrbucó. El sguete teorema proporcoa ua fórmula para el cálculo del acho de bada efectvo de u proceso co estas característcas. Teorema 2 Sea {X t } t u flujo markovao modulado por la cadea de Markov rreducble homogéea Z t co dstrbucó varate π y geerador ftesmal las varables Q Z. Sea las aleatoras Y t y la matrz dagoal H, de dmesó k, defdas como ates, etoces: αs, t 1 st log { π exp [ Q Z + sh t ] 1 }, dode 1 es u vector columa co todas las etradas guales a 1. Prueba. Por la defcó de acho de bada efectvo de ua fuete estacoara presetada e 1 basta probar que E e sxt π exp [ Q Z + sh t ] 1. Dado que X t t Y s ds y escrbedo la tegral como límte de sumas de Rema, teemos que E e sxt s lím t E lím s e t. Puesto que Y s máx {h j }, teemos que X t 1 k 1 j L lo tato e sxt <. Aplcado el teorema de covergeca domada resulta E e sxt s t lím E t Y s ds t máx {h j }, y por 1 k 1 j L. Como la varable e s t s t es dscreta s t e u 1,,u H u r P Y t u 1,, Y t u. Como P Y t u 1,, Y t u,, K P Y t,, K P Y t u 1,, Y t.p Z t 1,, Z t u 1 /Z t.p Z t 1,, Z t,, K j1 f j u j P Z t u /Z t 1..P Y t 1,, Z t 1,, Z t u /Z t,..

5 y Z s es ua cadea de Markov homogéea co dstrbucó varate π, teemos que s t u 1,,u H e s t u r, 1,, K +1 π o 1 P Z t j, j+1 f j+1 u j+1, 1,, K +1 π o 1 e st u 1,,u H u j+1 f j+1 u j+1 P Z t j, j+1. Cada sumatora e la últma expresó represeta la fucó geeradora de mometo de la varable co dstrbucó f j+1 que la otaremos φ st j+1 u 1,,u H e st u j+1 f j+1 u j+1, co lo que teemos que s t, 1,, K +1 π 1 a t j, j+1, dode a t, j φ st P Z t, j so los elemetos de la matrz A t de dmesó k. El térmo de la derecha se puede expresar como producto de matrces de la sguete maera, 1,, K +1 π 1 a t j, j+1 π A t, K 2 π A t K πa t 1, K,, dode π es la dstrbucó varate de la cadea Z y 1 es u vector columa co las k etradas guales a 1. A su vez la matrz A t puede escrbrse como el producto de las matrces P Z t P Z t, j, y,j [ ] C t k k φ st φ st k Cada ua de estas matrces admte los sguetes desarrollos de Taylor P Z t C t. P Z + Pt Z t. t t + o I + Q Z. t t + o C + C t t. t t + o I + sh. t t + o dode I es la matrz detdad de dmesó k. Luego, y puesto que [ ] [ A t I + Q Z + sh. t t ] + o,,, [ I + Q Z + sh ] t t + o exp [ Q Z + sh t ],

6 se tee que s t πa t 1 π exp [ Q Z + sh t ] 1, lo que cocluye el teorema CASO CONTINUO Cosderemos ahora el caso e que la tasa de trasfereca Y s es ua varable aleatora cotua co fucó de desdad de probabldades f, todo el tempo que la cadea Z s esté e el estado. Supogamos además que tee soporte [c, c +1 R + c < c +1, prmer mometo µ y trasformada de Laplace φ t co dervada fta e t. Recordemos que la cadea Z s tee como espaco de estados el cojuto K {1, 2, k} y defmos la matrz dagoal H de dmesó k como ua matrz cuyos elemetos o ulos so: µ 1, µ 2,, µ k, los prmeros mometos de cada dstrbucó. U resultado smlar al ateror, para el cálculo del acho de bada efectvo, se obtee a partr del sguete teorema. Teorema 3 Sea {X t } t u flujo markovao modulado por la cadea de Markov rreducble homogéea Z t co dstrbucó varate π y geerador ftesmal las varables Q Z. Sea las aleatoras Y t y la matrz dagoal H, de dmesó k, defdas como ates, etoces: αs, t 1 st log { π exp [ Q Z + sh t ] 1 }, dode 1 es u vector columa co todas las etradas guales a 1. Prueba. Por la defcó de acho de bada efectvo de ua fuete estacoara presetada e 1 basta probar que E e sx t π exp [ Q Z + sh t ] 1. Dado que X t t Y s ds y escrbedo la tegral como límte de sumas de Rema, teemos que t t E e sx s lím t s E lím e. Puesto que Y s máx c +1, teemos que X t 1 k e sxt <. Aplcado el teorema de covergeca domada resulta E e sxt lím E t s t Y s ds t máx 1 k c +1, y por lo tato. Como la varable e s t es cotua y además Z s es ua Cadea de Markov Homogéea co dstrbucó varate π, teemos que s t

7 1,, K,, K +1 s t e R + R +,, K +1 π u r P Z t e st ur π 1 1,, Z t 1 P Z t j, j+1 f 1 u 1 du 1 f u du P Z t j, j+1 f j+1 u j+1 du j+1 R + e st u j+1 f j+1 u j+1 du j+1. Cada tegral e la últma expresó represeta la fucó geeradora de mometo de la dstrbucó que la otaremos φ st j R + e st u j f j u j du j y ya que f es ua fucó de desdad, teemos que s t,, K +1 π 1 R + a t j, j+1, dode a t j, j+1 φ st j+1 P Z t j, j+1 so los elemetos de la matrz cuadrada A t. El térmo de la derecha se puede expresar como producto de matrces de la sguete maera,, K +1 π 1 R + a t j, j+1 π A t, K 2 π A t K π A t 1, K,, dode π es la dstrbucó varate de la cadea Z y 1 es u vector columa co las k etradas guales a 1. A su vez la matrz A t puede escrbrse como el producto de las matrces P Z t P Z t, j, y,j [ ] φ st 1 C t.... k k.. φ st k Cada ua de estas matrces admte los sguetes desarrollos de Taylor P Z t P Z + Pt Z t. t t + o I + Q Z. t t + o, C t C + C t t. t t + o I + sh. t t + o, dode I es la matrz detdad de dmesó k, y la matrz H cotee e su dagoal las dervadas φ µ. Luego, [ ] [ A t I + Q Z + sh. t t ] + o, y puesto que [ I + Q Z + sh. t + o t ] exp [ Q Z + sh t ],

8 se tee que s t πa t 1 π exp [ Q Z + sh t ] 1, lo que cocluye el teorema. 4. CONCLUSIONES E este trabajo se extedó el cálculo del acho de bada efectvo de flujos Markovaos, para el caso que las tasas de trasferecas so varables aleatoras. Las fórmulas obtedas so aálogas a las obtedas por Kesds, Walrad y Chag, depede del geerador ftesmal y de la dstrbucó varate de la cadea modulate, pero la formacó que tervee e la matrz H es dferete, ahora H cotedrá los valores de las tasas medas de trasferecas. Utlzado los estmadores de máxma verosmltud de geerador ftesmal de la cadea modulate, e [1] se preseta u estmador cosstete para el acho de bada efectvo de flujos Markovaos así como tervalos de cofaza. E futuros trabajos se espera poder ecotrar tato u estmador cosstete como tervalos de cofaza para los modelos de tasas de trasfereca aleatoras presetados e este trabajo. REFERENCIAS [1] L. Asprot, P. Belzarea, P. Bermole, A. Ferragut, G. Perera ad M. Smo, Qualty of servce parameters ad lk operatg pot estmato based o effectve badwdths, Perfomace Evaluatos 59 25, pp [2] P. Bllgsley. Covergece of Probablty Measures, Wley ad Sos [3] C. Courcoubets ad R. Weber, Buffer overflow asymptotcs for a swtch hadlg may traffc sources, Joural of Appled Probablty [4] R.J. Gbbes, Traffcs charactersato ad effectve badwdthsfor broadbad betwork traces. Stochastcs Netwoks: Theory ad applcatos, Oxford Uversty Press, Oxford [5] F. Kelly. Notes o effectve badwdths. Stochastcs Netwoks: Theory ad applcatos, Oxford Uversty Press, Oxford [6] G. Kesds, J. Walrad, ad C.S. Chag, Effectve badwdth for multclass Markov fluds ad other ATM sources, IEEE ACM Tras. Networkg 1,4,1993 pp [7] J. Pechar, G. Perera ad M. Smó, Effectve badwdth estmato ad testg for Markov sources Performace Evaluato , pp [8] G. de Vecaa ad J. Walrad, Effectve badwdths. Call admsso, traffc polcg ad flterg for ATM etwoks, Queueg Syst , pp