INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA

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1 INTRODUION A LA GEOESTADISTIA 7 3' W MAR ARIBE Boca de la Barra 3 larí Grade R Sevlla 8 6 R Aracataca 45' N 4 R Fudaco Teoría y Aplcacó UNIVERSIDAD NAIONAL DE OLOMBIA Sede Bogotá Facultad de ecas Departameto de Estadístca

2 INTRODUION A LA GEOESTADISTIA 7 3' W MAR ARIBE Boca de la Barra 3 larí Grade R Sevlla 8 6 R Aracataca 45' N 4 R Fudaco Teoría y Aplcacó Ramó Graldo Heao Profesor Asstete Departameto de Estadístca Uversdad Nacoal de olomba Sede Bogotá

3 otedo Prefaco Itroduccó Datos Espacales y Aálss Eploratoro Estadístca Espacal Geoestadístca, Lattces y Patroes Espacales 3 Datos Georreferecados 4 Justfcacó del AED 5 Gráfcos Eploratoros 6 Aplcacó Defcoes Báscas de Geoestadístca Varable Regoalzada Mometos Estacoaredad Fuerte e Itríseca 3 Isotropía y Asotropía 3 orrelacó Espacal Muestral 3 Fucoes de orrelacó Espacal 3 Varograma y Semvarograma 3 ovarograma y orrelograma 3 Modelos Teórcos de Semvaraza 33 Aplcacó 3

4 4 Predccó Espacal 4 Predccó Espacal Optma 4 Defcó de Krgg 43 Krgg Ordaro 44 Otros Métodos Krgg 44 Smple 44 Bloques 443 Uversal 444 Resdual 445 Idcador 446 LogNormal y Multgaussao 45 Aplcacoes 5 Temas Especales 5 okrgg Ordaro 5 Krgg sobre Ees Factorales 53 Dseño de Redes de Muestreo 54 Smulacó 55 Aplcacoes 6 Apédce 6 Idcador IG P 6 Álgebra de Matrces 63 oceptos de Probabldad 64 Revsó de Alguos Métodos Estadístcos 7 Referecas 4

5 Prefaco La ecesdad de acudr a herrametas estadístcas para el aálss de datos e todas las áreas del coocmeto, ha hecho que aparezca co el correr de los años uevas metodologías que, o obstate se cetra e fudametos probablístcos comues, so específcas para cada ua de las dversas dscplas del saber Alguos eemplos so, etre otros, la ecoometría, pscometría o la boestadístca La gra relevaca que tee actualmete a vel mudal el tema ambetal ha hecho que los profesoales e estadístca ecame esfuerzos e el desarrollo de uevas téccas apropadas para el aálss de formacó emarcada detro de este coteto omo cosecueca de este mpulso surgó ua ueva rama de la estadístca, deomada evrometrcs estadístca ambetal Detro de esta últma, los métodos geoestadístcos uega u papel prepoderate El presete documeto tee como propósto servr de cosulta a geólogos, bólogos, ecólogos, agróomos, geeros, meteorólogos y todos aquellos profesoales que se ecarga del estudo de formacó ambetal georreferecada Se toma como base para las aplcacoes formacó de varables fscoquímcas y bológcas meddas e u estuaro ubcado e la costa orte de olomba La razó fudametal para lo ateror, es que este escrto es uo de los resultados cetrales de u proyecto de vestgacó, cuyo obetvo fudametal fue el de evaluar la aplcabldad de alguos procedmetos estadístcos e el aálss de datos meddos e este tpo de ecosstemas El documeto tee u efoque teórco-práctco Para el segumeto completo de la teoría descrta se requere teer coocmetos báscos de álgebra de matrces y de estadístca matemátca S embargo aquellas persoas que esté poco famlarzadas co estos temas, podrá obvar la lectura de alguas seccoes e las que se hace desarrollos teórcos y cetrar su atecó e la flosofía de los métodos presetados y e las aplcacoes mostradas e cada uo de los capítulos del documeto Ua resume o ehaustvo de coceptos de álgebra leal y de estadístca es hecho al fal e el apédce No obstate e el escrto se cubre dversos temas geoestadístcos y se hace aplcacoes de métodos recetes, es ecesaro acudr a la lectura de artículos cetífcos y tetos avazados para lograr u bue domo de esta metodología U lbro formal desde el puto de vsta matemátco co aplcacoes e dversas dscplas es resse 993 Otras referecas puede ser tomadas de la bblografía Proyecto "Aálss y aplcacó de téccas geoestadístcas e la modelacó de procesos estocástcos relacoados co varables ecológcas e ambetes estuaros", cofacado por INVEMAR y OLIENIAS 5

6 Itroduccó El estudo de feómeos co correlacó espacal, por medo de métodos geoestadístcos, surgó a partr de los años seseta, especalmete co el propósto de predecr valores de las varables e stos o muestreados omo atecedetes suele ctarse trabaos de Schel 947; 949 y Krge 95 El prmero observó la aturaleza asmétrca de la dstrbucó del cotedo de oro e las mas surafrcaas, la equparó a ua dstrbucó de probabldad logormal y desarrolló las fórmulas báscas para esta dstrbucó Ello permtó ua prmera estmacó de las reservas, pero bao el supuesto de que las medcoes era depedetes, e clara cotradccó co la epereca de que este zoas más rcas que otras Ua prmera apromacó a la solucó de este problema fue dada por geólogo G Krge que propuso ua varate del método de medas móvles, el cual puede cosderarse como el equvalete al krgeado smple que, como se verá más adelate, es uo de los métodos de estmacó leal e el espaco co mayores cualdades teórcas La formulacó rgurosa y la solucó al problema de predccó estmacó e muchos tetos geoestadístcos vo de la mao de Mathero 96 e la escuela de mas de París E los años sucesvos la teoría se fue depurado, amplado su campo de valdez y reducedo las hpótess ecesaras Samper y arrera, 99 De la mería las téccas geoestadístcas, se ha "eportado" a muchos otros campos como hdrología, físca del suelo, cecas de la terra y más recetemete al motoreo ambetal y al procesameto de mágees de satélte Auque la aplcacó de la herrameta geoestadístca es bastate recete, so umerables los eemplos e los que se ha utlzado esta técca e estudos ambetales co el ámo de predecr feómeos espacales Robertso, 987; resse y Maure, 995; Dggle et al, 995 La columa vertebral del aálss geoestadístco es la determacó de la estructura de autocorrelacó etre los datos y su uso e la predccó a través de las téccas coocdas como krgg y cokrgg Otros temas mportates detro del estudo de formacó georreferecada so el dseño de redes de muestreo McBratey et al, 98, la geoestadístca multvarada Wackeragel, 995 y la smulacó Deutsh y Jourel, 99 La geoestadístca es solo ua las áreas del aálss de datos espacales Es mportate recoocer cuado la formacó georreferecada es susceptble de ser aalzada por medo de dcha metodología Por ello e el documeto se hace calmete ua defcó global de estadístca espacal y se descrbe las característcas especales que emarca cada ua de sus áreas E el estudo de formacó georreferecada, de forma aáloga a como se procede e la aplcacó de muchos procedmetos estadístcos, la prmera etapa que se debe cumplr es la del aálss eploratoro de datos AED Esta busca detfcar localzacó, varabldad, forma y observacoes etremas Por ello e el prmer capítulo del escrto se hace ua revsó de métodos empleados e el AED y se descrbe alguos partcularmete útles e el coteto del aálss de formacó georreferecada Posterormete e el segudo capítulo, etrado e matera, se hace defcó de coceptos báscos detro de la teoría geoestadístca 6

7 E el tercer capítulo se descrbe los procedmetos empleados para detfcar de maera epermetal co base e datos muestrales la estructura de autocorrelacó espacal, para alguas dstacas dadas, de u couto de datos de ua varable Se muestra també como geeralzar dcha estructura para cualquer dstaca etre los stos de observacó Ua vez detectada la autocorrelacó espacal, el sguete paso es la predccó e stos de la regó de estudo dode o se ha hecho medcó de la varable de terés Esto es llevado a cabo por medo de alguo de los procedmetos krgg que so descrtos e el capítulo cuatro Por últmo, e el capítulo cco, se hace refereca a temas especales detro del aálss geoestadístco como cokrgg, compoetes prcpales regoalzados, dseño de redes de muestreo y smulacó E cada seccó del documeto, después de que ha sdo epuestos los aspectos teórcos esecales de cada técca, se muestra aplcacoes practcas 7

8 apítulo Uo Datos Espacales y Aálss Eploratoro E las seccoes y se defe estadístca espacal y se mecoa sus subdvsoes Lo ateror se hace co el propósto úco de que el lector detfque el alcace del tema cosderado detro del escrto Por ello a partr de la seccó 3 de este capítulo y e los capítulos sguetes se cosdera sólo temas referetes a geoestadístca Estadístca Espacal Estadístca espacal es la reuó de u couto de metodologías apropadas para el aálss de datos que correspode a la medcó de varables aleatoras e dversos stos putos del espaco o agregacoes espacales de ua regó De maera más formal se puede decr que la estadístca espacal trata co el aálss de realzacoes de u proceso estocástco { Z s : s D}, e el que s R d represeta ua ubcacó e el espaco eucldao d- dmesoal, Zs es ua varable aleatora e la ubcacó s y s varía sobre u couto de ídces D d R Areas de la Estadístca Espacal La estadístca espacal se subdvde e tres grades áreas La perteca de cada ua de ellas está asocada a las característcas del couto D de ídces del proceso estocástco de terés A cotuacó se mecoa dchas áreas y se descrbe las propedades de D e cada ua de éstas Geoestadístca: Las ubcacoes s provee de u couto D cotuo y so seleccoadas a uco del vestgador D fo Alguos eemplos de datos que puede ser tratados co esta metodología so: Nveles de u cotamate e dferetes stos de ua parcela, cotedos auríferos de ua ma, valores de precptacó e olomba medda e las dferetes estacoes meteorológcas e u mes dado o los veles pezométrcos de u acuífero E los eemplos aterores es claro que hay cotudad espacal, puesto que e cualquer sto de la parcela, de la ma, de olomba o del acuífero puede ser medas las correspodetes varables Es mportate resaltar que e geoestadístca el propósto esecal es la terpolacó y s o hay cotudad espacal puede hacerse predccoes caretes de setdo Por eemplo s la varable medda es produccó de café e las fcas cafeteras del departameto del Qudío, hacer terpolacó espacal y realzar u mapa de dstrbucó de la produccó cafetera puede ser carete de setdo porque podría hacerse predccoes sobre áreas urbaas o o cultvadas co café Además de lo ateror las medcoes, o obstate sea georreferecadas, correspode a ua agregacó espacal fca más que a u puto del espaco E la parte de arrba, al comezo de este párrafo, se mecoó que D debía ser fo A este respecto cabe aclarar que el vestgador puede hacer seleccó de putos del espaco a coveeca o puede seleccoar los stos bao algú esquema de muestreo probablístco 8

9 Lattces emallados: Las ubcacoes s perteece a u couto D dscreto y so seleccoadas por el vestgador D fo Estas puede estar regular o rregularmete espacadas Alguos eemplos de datos e lattces so los sguetes: Tasa de morbldad de hepatts e olomba medda por departametos, tasa de accdetaldad e stos de ua cudad, produccó de caña de azúcar e el departameto del Valle del auca segú mucpo, colores de los peles e terpretacó de mágees de satélte E los eemplos aterores se observa que el couto de ubcacoes de terés es dscreto y que estas correspode a agregacoes espacales más que a u couto de putos del espaco Es obvo que la terpolacó espacal puede ser carete de setdo co este tpo de datos Patroes Espacales: las ubcacoes perteece a u couto D que puede ser dscreto o cotuo y su seleccó o depede del vestgador D aleatoro Eemplos de datos detro de esta área so: Localzacó de dos de páaros e ua regó dada, putos de mperfectos detro de ua placa metálca, ubcacó de los stos de terremoto e olomba o cuadrates de ua regó co preseca de ua espece partcular Debe otarse que e los eemplos aterores hay aleatoredad e la seleccó de los stos, puesto que la ubcacó de los dos de los páaros, de los mperfectos detro de la placa metálca, de los stos de terremoto o de los cuadrates co preseca de la espece, o depede del crtero del vestgador Ua vez se ha hecho la seleccó de stos es posble hacer meddas de varables aleatoras e cada uo de ellos Por eemplo s e prmera staca se establece la ubcacó de árboles de po detro de u bosque, es posble que sea de terés medr e cada uo de los árboles el dámetro o la altura E geeral el propósto de aálss e estos casos es el de determar s la dstrbucó de los dvduos detro de la regó es aleatora, agregada o uforme 3 Datos Georrferecados Las medcoes de las característcas de terés e u estudo regoalzado tee mplíctamete asocadas las coordeadas de los stos e dode estas fuero tomadas uado el área de estudo es cosderablemete grade se usa u geoposcoador para establecer dchas coordeadas E otros casos, por eemplo e dseños epermetales co parcelas, es sufcete co hacer asgacoes segú plaos cartesaos U esquema geeral de datos georreferecados es el sguete: Sto Lattud Logtud X X X p Norte Este p p p p p E la tabla ateror es el úmero de stos muestreados y p el de varables meddas e cada uo de ellos ada correspode a la medda de la varable X,,, p e el sto,,,, que puede ser cuattatva o categórca Alguas de las varables 9

10 puede estar más tesamete muestreadas que las otras faltates Las coordeadas puede ser plaas, geográfcas grados, mutos y segudos o cartesaas S embargo la posble utlzacó de uas u otras depede del software empleado para los aálss 4 Justfcacó del Aálss Eploratoro de Datos Espacales E la aplcacó de la geoestadístca es de suma mportaca, al gual que e otros procedmetos estadístcos por eemplo los modelos ARIMA detro de la teoría de seres de tempo, el aálss gráfco La detfcacó de valores etremos y su ubcacó geográfca, la evaluacó de la forma de la dstrbucó y el cálculo de meddas de localzacó, varabldad y correlacó es muy mportate para establecer s alguos supuestos ecesaros para la aplcacó de la teoría geoestadístca so váldos o para defr que procedmeto de predccó es el más coveete Por eemplo, como se verá e el capítulo cuatro, la decsó de usar krgg ordaro o krgg uversal se fudameta e detfcar s la meda es o o costate e la regó El uso de krgg log-ormal se basa e u crtero empírco relacoado co la forma asmétrca de la dstrbucó de los datos muestrales La decsó de emplear cokrgg depede de la deteccó de asocacoes etre las varables 5 Gráfcos Eploratoros Al gual que e u estudo eploratoro clásco, cuado se dspoe de formacó georreferecada se puede emplear hstogramas, dagramas de tallos y hoas y de caa y bgotes Hoagl et al, 983 co el propósto de detfcar localzacó, varabldad, forma y observacoes etremas Adcoalmete los gráfcos de dspersó so muy útles tato para la deteccó de relacoes etre las varables como para la detfcacó de tedecas e el valor promedo de la varable e la regó relacó etre la varable medda y las coordeadas geográfcas U supuesto fudametal e el aálss geoestadístco es que el feómeo es estacoaro, para lo cual, etre otros aspectos, el vel promedo de la varable debe ser costate e todos los putos del área de estudo Ua deteccó de tedeca e el gráfco de dspersó puede ser ua muestra de que o se satsface dcho supuesto El gráfco se costruye tomado como ee de las abcsas la varable que represeta la coordeada geográfca y e el ee de las ordeadas la varable cuattatva de estudo La observacó de la ube de putos resultate, cluso el auste de ua líea de regresó, permte establecer de maera empírca s este dcha tedeca U gráfco de dspersó etre valores de la varable separados por ua dstaca espacal dada dspersograma rezagado es útl e la deteccó de autocorrelacó espacal Otro gráfco que tradcoalmete se emplea e la descrpcó de datos espacales es el de datos clasfcados segú putos de refereca meda, medaa, cuartíles Este permte comparar zoas del sstema de estudo respecto a las magtudes de las varables

11 6 Aplcacó: Estudo eploratoro de la dstrbucó de datos fscoquímcos y bológcos meddos e el estuaro éaga Grade de Sata Marta e Marzo de 997 o formacó de las varables saldad, sesto mg/l, trtos µmol/l, slcatosµmol/l y clorofla a µg/l meddas e ua orada de muestreo realzada e marzo de 997 e el estuaro éaga Grade de Sata Marta GSMFg, se realzó u estudo eploratoro de datos Los resultados ecotrados so descrtos a cotuacó: E prmera staca, se evdeca e el dagrama de caa Fg y e el gráfco de tallos y hoas Fg 3 que, co ecepcó de la varable trtos, este u comportameto smétrco e las dstrbucoes de los datos Se observa també e estas fguras, que e todas las varables se preseta alguos valores atípcos o muy aleados del comportameto geeral ates mecoado Lo ateror, ates de ser tomado como u dcador de alta varabldad o de errores de medcó, puede ser cosderado como u refleo del comportameto espacal de las varables detro del ecosstema La smetría de la mayoría de las varables hace pesar que este ua gra zoa e dode las codcoes del sstema respecto a la caldad del agua so bastate smlares esto podría ser lo que se cooce como cuerpo de agua de la GSM y los valores aleados puede estar represetado las codcoes de stos específcos, partcularmete especales detro del sstema, como so la zoa más estuara stos de muestreo cercaos al sto Boca de la Barra, Fg y las de desembocaduras de los ríos que baa de la Serra Nevada de Sata Marta costado oretal y sur del sstema, Fg Fgura Área de estudo y cuadrículas e que fue subdvddo el sstema éaga Grade de Sata Marta para realzar la toma de muestras ada ua de las 5 cuadrículas tee u área de 4 km Los datos fuero tomados e el cetro de cada ua de ellas La afrmacó de que o este problemas de alta varabldad y que por el cotraro los datos meddos so bastate homogéeos, puede cofrmarse co los valores de los coefcetes de varacó tabla E su mayoría estos so meores del 3% y por cosguete dcadores de poca heterogeedad e la formacó

12 Tabla Meddas de localzacó y varabldad de alguas varables meddas e la superfce de la columa de agua del estuaro éaga Grade de Sata Marta e Marzo de 997 Medda Saldad Sesto mg/l Ntrtos umol/l Slcatos umol/l lorofla a ug/l Meda Medaa Mímo Mámo uartíl Iferor uartíl Superor Desvacó Estádar oefcete de Varacó Las meddas de localzacó meda y medaa, tabla toma valores smlares a los reportados e otros estudos para la msma época del año Ua dscusó a este respecto se ecuetra e Herádez 986 y Herádez y Gocke 99 Medda Estadarzada Saldad Sesto Ntrtos Slcatos lorofla Varable Fgura Dagramas de caa de alguas varables meddas e la superfce de la columa de agua del estuaro éaga Grade de Sata Marta e Marzo de 997 Las varables fuero estadarzadas ates de costrur los dagramas El gráfco de dspersó de la varable saldad ua de las de mayor relevaca e el establecmeto del comportameto espacal de las varables e el sstema respecto a las coordeadas lattud y logtud Fg 4, permte aprecar ua leve tedeca e la magtud de la varable a lo largo de estas dreccoes, lo que hace supoer que, a pesar de la homogeedad ates mecoada, el valor promedo de la msma o es costate e toda la regó Lo ateror se puede comprobar e el gráfco 5, e dode se apreca que e ua gra parte de la zoa cetro de la éaga y haca la desembocadura de los ríos Sevlla y Aracataca la magtud de la varable es meor a la de los restates stos de muestreo Esta fgura revela claramete la flueca que tee las etradas de agua tal vez eceptuado

13 la etrada del río Fudacó e el comportameto de esta varable Los valores relatvamete altos, respecto a los ates descrtos, e la zoa occdetal puede ser cosecueca del proceso de lavado de suelos hpersalos que se da e época de lluvas e el compleo Paarales sstema co el que tee frotera la éaga y que llega al sstema a través de los aales Grade y larí Fg 5 Los valores "altos" e la zoa sur puede ser de gual forma causados por la flueca del caal Grade y por crculacó de las masas de agua detro del sstema cotraro a las maecllas del relo 3

14 a Saldad Bao 7 3º 5 4 4* 4 4º * 4 3 5º * º * º * º * Alto 83,33,34 c Ntrtos Alto,6,3,4,6 b Sesto Bao * 3 T 5 F 55 5 S o * 47 T F S o * d Slcatos Bao,,,, 6 S 6 o * 43 T F S o * 6 3T 3 3F 4 Alto 35 e lorofla a Bao,,7,43,54,58, Alto 98 Fgura 3 Dagramas de tallos y hoas de alguas varables meddas e la superfce de la columa de agua del estuaro éaga Grade de Sata Marta e Marzo de 997 4

15 35 Saldad o/oo Lattud Norte 35 Saldad o/oo Logtud Este Fgura 4 Gráfcos de dspersó de valores de saldad respecto a las coordeadas geográfcas de medcó Datos tomados e la superfce de la columa de agua del estuaro éaga Grade de Sata Marta e Marzo de 997 5

16 7 3' W MAR ARIBE Boca de la Barra larí R Sevlla 3 to to to to 35 Grade R Aracataca 45' N R Fudaco Fgura 5 lasfcacó de observacoes de la varable saldad e tervalos segú cuartíles y ubcacó de estas detro del área de estudo Datos meddos e el estuaro éaga Grade de Sata Marta e marzo de 997 Tabla Matrz de correlacó calculada co base e formacó de alguas varables fscoquímcas y bológcas meddas e el estuaro éaga Grade de Sata Marta e marzo de 997 Los coefcetes que aparece e egrta so sgfcatvos Saldad Sesto Ntrtos Slcatos lorofla a Saldad Sesto Ntrtos -8-3 Slcatos 46 lorofla a Por últmo de la matrz de correlacó tabla es posble afrmar que la abudaca ftoplactóca, evaluda a través de la cocetracó de clorofla a, preseta correlacó sgfcatva co las varables fscoquímcas meddas Este patró de correlacó etre varables bótcas y abótcas e otros trabaos de meor tesdad muestral o ha poddo ser detectado E geeral los estudos realzados e la éaga Grade de Sata Marta e los que se pretede determar los patroes de asocacó etre las varables bológcas y fscoquímcas sempre coduce a que la saldad es la varable de mayor flueca e el régme de productvdad del sstema S embargo estos resultados e prmera staca puede estar detectado otro tpo de asocacoes E los capítulos subsguetes, cuado se realce los mapas de dstrbucó espacal, se podrá teer más herrametas para dscutr respecto a este tema 6

17 apítulo Dos Defcoes Báscas de Geoestadístca Defcó de Geoestadístca La geoestadístca es ua rama de la estadístca que trata feómeos espacales Jourel & Hubregts, 978 Su terés prmordal es la estmacó, predccó y smulacó de dchos feómeos Myers, 987 Esta herrameta ofrece ua maera de descrbr la cotudad espacal, que es u rasgo dsttvo esecal de muchos feómeos aturales, y proporcoa adaptacoes de las téccas cláscas de regresó para tomar vetaas de esta cotudad Isaaks & Srvastava, 989 Pettgas 996, la defe como ua aplcacó de la teoría de probabldades a la estmacó estadístca de varables espacales La modelacó espacal es la adcó más recete a la lteratura estadístca Geología, cecas del suelo, agroomía, geería forestal, astroomía, o cualquer dscpla que trabaa co datos colectados e dferetes locacoes espacales ecesta desarrollar modelos que dque cuado hay depedeca etre las meddas de los dferetes stos Usualmete dcha modelacó cocere co la predccó espacal, pero hay otras áreas mportates como la smulacó y el dseño muestral resse, 989 uado el obetvo es hacer predccó, la geoestadístca opera báscamete e dos etapas La prmera es el aálss estructural, e la cual se descrbe la correlacó etre putos e el espaco E la seguda fase se hace predccó e stos de la regó o muestreados por medo de la técca krgg capítulo 4 Este es u proceso que calcula u promedo poderado de las observacoes muestrales Los pesos asgados a los valores muestrales so apropadamete determados por la estructura espacal de correlacó establecda e la prmera etapa y por la cofguracó de muestreo Pettgas, 996 Los fudametos báscos de estas etapas so presetados a cotuacó Varable Regoalzada Ua varable medda e el espaco de forma que presete ua estructura de correlacó, se dce que es ua varable regoalzada De maera más formal se puede defr como u proceso estocástco co domo cotedo e u espaco eucldao d- dmesoal R d, {Z : D R d } S d, Z puede asocarse a ua varable medda e u puto del plao Díaz-Fracés, 993 E térmos práctcos Z puede verse como ua medcó de ua varable aleatora pe cocetracó de u cotamate e u puto de ua regó de estudo Recuérdese que u proceso estocástco es ua coleccó de varables aleatoras deadas; esto es, para cada e el couto de ídces D, Z es ua varable aleatora E el caso de que las medcoes sea hechas e ua superfce, etoces Z puede terpretarse como la varable aleatora asocada a ese puto del plao represeta las coordeadas, plaas o geográfcas, y Z la varable e cada ua de ellas Estas varables 7

18 aleatoras puede represetar la magtud de ua varable ambetal medda e u couto de coordeadas de la regó de estudo 3 Mometos de ua Varable Regoalzada Sea {Z : D R d }el proceso estocástco que defe la varable regoalzada r Z Z Z,, Z Para cualquer putos,,,, el vector aleatoro [ ] T está defdo por su fucó de dstrbucó couta F [ z z, L, z ] P[ Z z, Z z,, Z z ], L, L oocdas las desdades margales uvaradas y bvaradas se puede establecer los sguetes valores esperados mometos uvarados y bvarados: E Z m V Z E[ Z m ] σ Z Z E[ Z m ][ Z m ], : Fucó de autocovaraza Z Z E[ Z Z ] 4 Estacoaredad, : Fucó de semvaraza La varable regoalzada es estacoara s su fucó de dstrbucó couta es varate respecto a cualquer traslacó del vector h, o lo que es lo msmo, la fucó de r dstrbucó del vector aleatoro Z [ Z, Z,, Z ] T L es détca a la del vector r Z [ Z h Z h Z ] T,, L, h para cualquer h La teoría geoestadístca se basa e los mometos arrba descrtos y la hpótess de estacoaredad puede defrse e térmos de estos: 4 Estacoaredad de Segudo Orde Sea {Z: D R d } ua varable regoalzada defda e u domo D cotedo e R d geeralmete ua varable medda e la superfce de ua regó se dce que Z es estacoaro de segudo orde s cumple: a E [ Z] m, k R, D R d El valor esperado de la varable aleatora es fto y costate para todo puto e el domo b OV [ Z, Zh] h < Para toda parea { Z Z h } separacó h, la covaraza este y es fucó úca del vector de E la fgura 6 se muestra el grafco de ua varable regoalzada estacoara Eceptuado fluctuacoes aleatoras, el valor promedo de la varable o muestra ua tedeca defda e algua dreccó 8

19 La esteca de la covaraza mplca que la varaza este, es fta y o depede de h, es decr V Z σ Así msmo la estacoaredad de segudo orde mplca la sguete relacó etre la fucó de semvaraza y la de autocovaraza: Z h, Z h E[ Z h m Z m] { } E Z h m E Z m E Z h m Z m σ σ σ h E{ Z h m Z m } Fgura 6 Represetacó de ua superfce terpolada para ua varable regoalzada estacoara 4 Estacoaredad Débl o Itríseca Este alguos feómeos físcos reales e los que la varaza o es fta E estos casos se trabaa sólo co la hpótess que pde que los cremetos [Zh - Z] sea estacoaros, esto es lark, 979: a Z tee esperaza fta y costate para todo puto e el domo Lo que mplca que la esperaza de los cremetos es cero E [ Z h Z ] b Para cualquer vector h, la varaza del cremeto está defda y es ua fucó úca de la dstaca V [ Zh - Z] E[ Z h Z ] h 9

20 Es claro que s ua varable regoalzada es estacoara fuerte etoces també será estacoara débl El cocepto de estacoaredad es muy útl e la modelacó de seres temporales Bo & Jeks, 976 E este coteto es fácl la detfcacó, puesto que sólo hay ua dreccó de varacó el tempo E el campo espacal este múltples dreccoes y por lo tato se debe asumr que e todas el feómeo es estacoaro uado la esperaza de la varable o es la msma e todas las dreccoes o cuado la covaraza o correlacó depeda del setdo e que se determa, o habrá estacoaredad S la correlacó etre los datos o depede de la dreccó e la que esta se calcule se dce que el feómeo es sotrópco, e caso cotraro se hablará de asotropía E Isaaks y Srvastava 989 se defe los posbles tpos de asotropía y se propoe alguas solucoes resse 993 dscute cual debe ser el tratameto e caso de que la meda o sea costate E casos práctcos resulta complea la detfcacó de la estacoaredad Suele emplearse gráfcos de dspersó de la varable respecto a las coordeadas, de medas móvles y de valores clasfcados segú putos de refereca, co el propósto de detfcar posbles tedecas de la varable e la regó de estudo L a sotropía es estudada a través del cálculo de fucoes de autocovaraza o de semvaraza muestrales capítulo3 e varas dreccoes S estas tee formas cosderablemete dsttas puede o ser váldo el supuesto de sotropía Falmete ua varable regoalzada será o estacoara s su esperaza matemátca o es costate, esto es s E [ Z ] m E la fgura 7 se represeta ua varable regoalzada e la que este tedeca e el valor promedo de la varable, lo cual es claro dcador de o estacoaredad Fgura 7 Represetacó de ua superfce terpolada para ua varable regoalzada o estacoara

21 apítulo Tres orrelacó Espacal Muestral y Auste de Modelos 3 Fucoes de orrelacó Espacal La prmera etapa e el desarrollo de u aálss geoestadístco es la determacó de la depedeca espacal etre los datos meddos de ua varable Esta fase es també coocda como aálss estructural Para llevarla a cabo, co base e la formacó muestral, se usa tres fucoes: El semvarograma, el covarograma y el correlograma A cotuacó se hace ua revsó de los coceptos asocados a cada ua de ellas y se descrbe sus bodades y lmtacoes 3 Varograma y Semvarograma uado se defó la estacoaredad débl e el capítulo ateror se mecoó que se asumía que la varaza de los cremetos de la varable regoalzada era fta A esta fucó deotada por h se le deoma varograma Utlzado la defcó teórca de la varaza e térmos del valor esperado de ua varable aleatora, teemos: h V Z h Z E Z h Z E E Z h Z Z h Z La mtad del varograma h, se cooce como la fucó de semvaraza y caracterza las propedades de depedeca espacal del proceso Dada ua realzacó del feómeo, la fucó de semvaraza es estmada, por el método de mometos, a través del semvarograma epermetal, que se calcula medate Wackeragel, 995: Z h Z h dode Z es el valor de la varable e u sto, Zh es otro valor muestral separado del ateror por ua dstaca h y es el úmero de pareas que se ecuetra separadas por dcha dstaca La fucó de semvaraza se calcula para varas dstaca h E la práctca, debdo a rregulardad e el muestreo y por ede e las dstacas etre los stos, se toma tervalos de dstaca {[, h], h, h], h, 3h], L} y el semvarograma epermetal correspode a ua dstaca promedo etre pareas de stos detro de cada tervalo y o a ua dstaca h específca Obvamete el úmero de pareas de putos detro de los tervalos o es costate Para terpretar el semvarograma epermetal se parte del crtero de que a meor dstaca etre los stos mayor smltud o correlacó espacal etre las observacoes Por ello e preseca de autocorrelacó se espera que para valores de h pequeños el

22 semvarograma epermetal tega magtudes meores a las que este toma cuado las dstacas h se cremeta 3 ovarograma y orrelograma La fucó de covaraza muestral etre pareas de observacoes que se ecuetra a ua dstaca h se calcula, empleado la formula clásca de la covaraza muestral, por: h OV Z h, Z Z h m Z m Z h Z m h dode m represeta el valor promedo e todo puto de la regó de estudo y es el úmero de pareas de putos que se ecuetra a ua dstaca h E este caso es també válda la aclaracó respecto a las dstacas dadas e el últmo párrafo de la pága ateror Asumedo que el feómeo es estacoaro y estmado la varaza de la varable regoalzada a través de la varaza muestral, se tee que el correlograma muestral está dado por: OV Z h, Z r h S S h S h h Bao el supuesto de estacoaredad cualquera de las tres fucoes de depedeca espacal mecoadas, es decr semvarograma, covarograma o correlograma, puede ser usada e la determacó de la relacó espacal etre los datos S embargo como se puede observar e las fórmulas, la úca que o requere hacer estmacó de parámetros es la fucó de semvaraza Por esta razó, fudametalmete, e la práctca se emplea el semvarograma y o las otras dos fucoes A cotuacó se preseta u eemplo lustratvo del cálculo de la fucó de semvaraza epermetal: Supoga que se tee meddas sobre ua varable hpotétca cuyos valores está compreddos etre 8 y 44 udades y su cofguracó e ua regó de estudo es como se preseta e el esquema de la sguete pága omo se dca e la represetacó, la dstaca etre cada par de putos cotguos es de udades Luego s este u puto faltate la dstaca etre los dos valores ubcados a cada lado de éste será de udades Veamos como calcular bao esta stuacó el semvarograma epermetal Por smplcdad se calculará sólo los semvarogramas e setdo zquerda-derecha e feror-superor, debdo a que para obteer u semvarograma epermetal e el que sólo se tega e cueta la dstaca y o la oretacó semvarograma omdreccoal, se requerría calcular la dstaca eucldaa para u úmero cosderablemete alto de pareas de putos

23 E prmer lugar e setdo zquerda-derecha se ecuetra todas las pareas de putos que está a ua dstaca de udades y se calcula el semvarograma como: /* aálogamete para la dstaca de udades /* Smlarmete se procede para otras dstacas y para el setdo feror-superor Los valores calculados de el semvarograma se muestra e la sguete tabla Tabla 3 Valores de la fucó de semvaraza epermetal e dos dreccoes para el couto de datos hpotétcos Dstaca Semvaraza Setdo Izquerda-Derecha Semvaraza Setdo Iferor-Superor Al grafcar los valores de la fucó de semvaraza epermetal dados e la tabla ateror Fg 8 se observa que e setdo feror-superor el semvarograma es mayor que e setdo zquerda-derecha, luego la coclusó más relevate para este couto de datos es que la estructura de correlacó espacal o sólo depede de la dstaca etre los stos, so de su oretacó E otras palabras el feómeo podría ser asotrópco 3

24 Semvaraza Dstaca Izq-Der If-Sup Fgura 8 Fucó de semvaraza epermetal e dos dreccoes para u couto de datos hpotétcos 3 Modelos Teórcos de Semvaraza omo se verá a partr del capítulo cuatro la solucó del problema de predccó espacal krgg requere del coocmeto de la estructura de autocorrelacó para cualquer posble dstaca etre stos detro del área de estudo E la presetacó del semvarograma epermetal dada aterormete se dcó que este es calculado sólo para alguas dstacas promedos partculares Por ello se hace ecesaro el auste de modelos que geeralce lo observado e el semvarograma epermetal a cualquer dstaca Este dversos modelos teórcos de semvaraza que puede austarse al semvarograma epermetal E Samper y arrera 99 se preseta ua dscusó respecto a las característcas y codcoes que éstos debe cumplr E geeral dchos modelos puede dvdrse e o acotados leal, logarítmco, potecal y acotados esférco, epoecal, gaussao Warrck et al, 986 Los del segudo grupo garatza que la covaraza de los cremetos es fta, por lo cual so amplamete usados cuado hay evdeca de que preseta bue auste Todos estos modelos tee tres parámetros comues Fg 9 que so descrtos a cotuacó: Efecto Pepta Se deota por y represeta ua dscotudad putual del semvarograma e el orge Fg 9 Puede ser debdo a errores de medcó e la varable o a la escala de la msma E alguas ocasoes puede ser dcatvo de que parte de la estructura espacal se cocetra a dstacas ferores a las observadas Meseta Es la cota superor del semvarograma També puede defrse como el lmte del semvarograma cuado la dstaca h tede a fto La meseta puede ser o o fta Los semvarogramas que tee meseta fta cumple co la hpótess de estacoaredad fuerte; metras que cuado ocurre lo cotraro, el semvarograma defe u feómeo atural que cumple sólo co la hpótess tríseca La meseta se deota por o por cuado la pepta es dferete de cero S se terpreta la pepta como u error e las medcoes, esto eplca porque se sugere que e u modelo que eplque be la realdad, la pepta o debe represetar mas del 5% de la meseta S el rudo espacal e las 4

25 medcoes eplca e mayor proporcó la varabldad que la correlacó del feómeo, las predccoes que se obtega puede ser muy mprecsas E la fgura 9 se represeta este parámetro para el caso de uo de los modelos acotados Semvaraza,,6,,8,4, Meseta Rago a Pepta 3 Dstaca SEMEXP MODELO Fgura 9 omportameto típco de u semvarograma acotado co ua represetacó de los parámetros báscos SEMEXP correspode al semvarograma epermetal y MODELO al auste de u modelo teórco Rago E térmos práctcos correspode a la dstaca a partr de la cual dos observacoes so depedetes El rago se terpreta como la zoa de flueca Este alguos modelos de semvarograma e los que o este ua dstaca fta para la cual dos observacoes sea depedetes; por ello se llama rago efectvo a la dstaca para la cual el semvarograma alcaza el 95% de la meseta Etre más pequeño sea el rago, más cerca se esta del modelo de depedeca espacal El rago o sempre aparece de maera eplícta e la fórmula del semvarograma E el caso del modelo esférco 3, el rago cocde co el parámetro a, que se utlzará e las ecuacoes más adelate S embargo, e el modelo epoecal 3, el rago efectvo es a/3 y e el modelo gaussao 33 es a/ 3 3 Modelo Esférco Tee u crecmeto rápdo cerca al orge Fg, pero los cremetos margales va decrecedo para dstacas grades, hasta que para dstacas superores al rago los cremetos so ulos Su epresó matemátca es la sguete: h 3 h h a a 3 h a h > a E dode represeta la meseta, a el rago y h la dstaca 5

26 3 Modelo Epoecal Este modelo se aplca cuado la depedeca espacal tee u crecmeto epoecal respecto a la dstaca etre las observacoes El valor del rago es gual a la dstaca para la cual el semvarograma toma u valor gual al 95% de la meseta Fg Este modelo es amplamete usado Su epresó matemátca es la sguete: 3h h ep a 33 Modelo Gaussao Al gual que e el modelo epoecal, la depedeca espacal se desvaece solo e ua dstaca que tede a fto El prcpal dsttvo de este modelo es su forma parabólca cerca al orge Fg Su epresó matemátca es: h h ep a 3 5 Semvarograma 5 Esférco Epoecal Gaussao Dstacah Fgura omparacó de los modelos epoecal, esférco y Gaussao La líea puteada vertcal represeta el rago e el caso del modelo esférco y el rago efectvo e el de los modelos epoecal y gaussao Este tee u valor de, respecto a ua escala smulada etre y 3 El valor de la meseta es 3 y el de la pepta El 95% de la meseta es gual a Modelo Moómcos orrespode a los modelos que o alcaza la meseta Fg Su uso puede ser delcado debdo a que e alguos casos dca la preseca de o estacoaredad e algua dreccó 6

27 Su fórmula matemátca es la sguete: θ h kh < θ < Obvamete cuado el parámetro θ es gual a uo el modelo es leal y k represeta la pedete de la ecuacó de regresó co tercepto cero Gráfcamete se puede represetar así: Semvaraza Dstaca h <Theta < Theta <Theta < Fgura omportameto típco de los modelos de semvaraza moómcos 35 Modelo de Idepedeca Pepta Puro Es dcatvo de careca de correlacó espacal etre las observacoes de ua varable Fg Es comú sumar este modelo a otro modelo teórco de semvaraza, para obteer lo que se cooce como semvarograma adado Lo ateror se susteta e ua propedad de los semvarogramas que dce que cualquer combacó leal de semvarogramas co coefcetes postvos es u semvarograma Su epresó matemátca es: h h, dode > h > Su represetacó gráfca es la sguete: h Fgura Modelo de semvaraza teórco para varables s correlacó espacal h 7

28 La estmacó de los parámetros de los modelos teórcos descrtos puede ser llevada a cabo, etre otros métodos, por máma verosmltud resse, 993 o regresó o leal Gotway, 99 Alguos paquetes de computo geoestadístcos como GS Gamma Desg Software, 999 trae corporados procedmetos teratvos como el de Gauss-Newto para llevar a cabo la estmacó Otros como GeoEAS Eglud y Sparks, 988 sólo permte el auste a setmeto por el método de esayo y error omo se mecoó e la seccó 4 cuado la autocorrelacó o es gual e todas las dreccoes etoces se dce que hay asotropía Esa puede ser geométrca o zoal La prmera se preseta cuado los semvarogramas calculados e varas dreccoes tee gual meseta pero varía e el rago E el segudo caso todos los semvarogramas dreccoales tee gual rago pero dferete meseta Alguas trasformacoes apropadas para solucoar la astropía y hacer válda la costruccó de u semvarograma omdreccoal se puede ecotrar e Isaaks y Srvastava 989, Samper y arrera 99 y resse Aplcacó: Estmacó de Modelos de Semvaraza para alguas varables fscoquímcas y bológcas meddas e el estuaro éaga Grade de Sata Marta E esta seccó se hace ua terpretacó práctca de resultados ecotrados al hacer estmacó de modelos teórcos de semvaraza para u couto de varables meddas e el estuaro éaga Grade de Sata Marta IGA, 973 Se cosdera para el aálss datos tomados e dos veles de la columa de agua superfce y fodo, de las varables saldad, oígeo dsuelto mg/l, sóldos e suspesó mg/l, trtos µmol/l y clorofla a µg/l, Además se estuda valores de profuddad m y traspareca m Para cada varable se obtuvero 5 observacoes tomadas a lo largo de todo el sstema medate muestreo sstemátco de cuadrículas cuadrículas de 4 km Fg La ubcacó e cada puto de muestreo fue realzada medate u geoposcoador GPS SRVY II Garm, 993 Los semvarogramas epermetales y los correspodetes modelos estmados se hallaro por medo del software GS Gamma Desg Software, 999 Resultados y Dscusó Los semvarogramas epermetales ecotrados Fgs 3 y 4 dca que las varables preseta estructuras de depedeca espacal, puesto que e gú caso la semvaraza es costate e fucó de la dstaca Los ragos ecotrados e los modelos teórcos austados a los semvarogramas tabla 4, supera los km y e alguos casos éste parámetro alcaza los 5 km, lo cual resulta relatvamete alto, teedo e cueta que la dstaca etre los etremos sur y orte del sstema la más ampla o supera los 3 km Lo ateror es u dcador de fuerte depedeca espacal para el caso cosderado Esto es s duda coveete puesto que desde u puto de vsta teórco es coocdo que u alto valor e el rago permte obteer curvas de predccó más suavzadas reducedo las magtudes e varazas de predccó Díaz-Fracés, 993 Es mportate resaltar respecto a los otros dos parámetros, que e gú caso el valor de la pepta supera el 5% del valor de la meseta tabla 4, lo cual, segú Díaz-Fracés 993, es recomedable para que el modelo de correlacó espacal descrba be la realdad S el rudo espacal e las medcoes eplca e mayor proporcó la varabldad que la correlacó del feómeo, las predccoes puede ser muy mprecsas 8

29 Semvaraza a Semvaraza b Dstaca m Dstaca m Semvaraza c Semvaraza d Dstaca m Dstaca m e f Semvaraza Semvaraza Dstaca m Dstaca m Fgura 3 semvarogramas epermetales calculados co los datos muestrales y austes de modelos teórcos para las varables meddas e la superfce de la columa de agua de la éaga Grade de Sata Marta e marzo de 997 a saldad; boígeo; c sóldos e suspesó; d trtos; e clorofla a; fprofuddad 9

30 Semvaraza Dstaca m a Semvaraza b Dstaca m 5 c d Semvaraza 5 5 Semvaraza Dstaca m Dstaca m Semvaraza Dstaca m e Semvaraza f Dstaca m Fgura 4 Semvarogramas epermetales calculados co los datos muestrales y austes de modelos teórcos para las varables meddas e el fodo de la columa de agua de la éaga Grade de Sata Marta e marzo de 997 a saldad; boígeo; c sóldos e suspesó; d trtos; e clorofla a; f traspareca 3

31 Tabla 4 Modelos teórcos austados a semvarogramas epermetales de varables fscoquímcas y bológcas meddas e dos veles de la columa de agua de la éaga Grade de Sata Marta, durate ua orada de muestreo realzada e marzo de 997 Varable Nvel Modelo Pepta Meseta Rago m r Saldad Superfce Leal Fodo Leal Oígeo Superfce Gaussao Fodo Esférco Sóldos e suspesó Superfce Leal Fodo Leal Ntrtos Superfce Leal Fodo Leal lorofla a Superfce Leal Fodo Leal Profuddad Gaussao Traspareca Gaussao Se puede afrmar que las varables oígeo dsuelto, profuddad y traspareca cumple co la hpótess de estacoaredad fuerte, dado que sus modelos so acotados Bau et al, 997; Samper y arrera, 99 De otro lado saldad, sóldos e suspesó, trtos y clorofla a, sólo cumple la hpótess tríseca estacoaredad débl puesto que sus modelos so leales Evagelos y Flatma, 988; Samper y arrera, 99 Debdo a que los resultados arrba descrtos respecto a los semvarogramas epermetales y al auste de modelos teórcos, cofrma la hpótess de autocorrelacó espacal e las característcas meddas e el estuaro de estudo, es posble afrmar que los métodos geoestadístcos puede ser ua herrameta de gra utldad e la modelacó e terpretacó de feómeos observados e este tpo de ecosstemas uado se utlce métodos estadístcos tradcoales regresó, aálss de varaza, téccas multvaradas, muestreo para el aálss de este tpo de formacó, debe volucrarse e los correspodetes modelos la estructura de correlacó espacal mplícta e los datos 3

32 aptulo uatro Predccó Espacal 4 Predccó Espacal Optma De la teoría de la decsó se cooce que s Z es ua catdad aleatora y Z * es su predctor *, etoces L Z ;Z represeta la pérdda e que se curre cuado se predce * * Z co Z y el meor predctor será el que mmce E{ L Z ;Z / Z} co { Z, Z,, } Z L, es decr el predctor óptmo es el que mmce la esperaza Z * * * codcoal de la fucó de pérdda S L Z Z [ Z Z ] Z E Z / Z ; La epresó ateror dca que para ecotrar el predctor óptmo se requere coocer la dstrbucó couta de la varables aleatoras 4 Defcó de Krgg La palabra krgg 3 epresó aglosaoa procede del ombre del geólogo sudafrcao D G Krge, cuyos trabaos e la predccó de reservas de oro, realzados e la década del ccueta, suele cosderarse como poeros e los métodos de terpolacó espacal Krgg ecerra u couto de métodos de predccó espacal que se fudameta e la mmzacó del error cuadrátco medo de predccó E la tabla 5 se mecoa los tpos de krgg y alguas de sus propedades E la seccoes 43 y 44, se hace ua presetacó detallada de ellos Tabla 5 Tpos de predctores krgg y sus propedades TIPO DE PREDITOR NOMBRE PROPIEDADES LINEAL NO LINEAL Smple Ordaro Uversal Idcador Probablístco Log Normal, Tras- Gaussao Dsyutvo So óptmos s hay ormaldad multvarada Idepedete de la dstrbucó so los meores predctores lealmete sesgados So predctores óptmos La palabra estmacó es utlzada eclusvamete para ferr sobre parámetros fos pero descoocdos; predccó es reservada para fereca sobre catdades aleatoras 3 Alguos tetos dca que e español la palabra adecuada sería krgeado 3

33 Los métodos krgg se aplca co frecueca co el propósto de predccó, s embargo estas metodologías tee dversas aplcacoes, detro de las cuales se destaca la smulacó y el dseño de redes óptmas de muestreo capítulo 5 43 Krgg Ordaro Supoga que se hace medcoes de la varable de terés Z e los putos,,,,, de la regó de estudo, es decr se tee realzacoes de las varables Z,, Z, y se desea predecr Z o, e el puto dode o hubo medcó E esta crcustaca, el método krgg ordaro propoe que el valor de la varable puede predecrse como ua combacó leal de las varables aleatoras así: Z * Z Z 3 Z 3 4 Z 4 5 Z 5 Z Z e dode los represeta los pesos o poderacoes de los valores orgales Dchos pesos se calcula e fucó de la dstaca etre los putos muestreados y el puto dode se va a hacer la correspodete predccó La suma de los pesos debe ser gual a uo para que la esperaza del predctor sea gual a la esperaza de la varable Esto últmo se cooce como el requsto de sesgameto Estadístcamete la propedad de sesgameto se epresa a través de: * Z E Z E Asumedo que el proceso es estacoaro de meda m descoocda y utlzado las propedades del valor esperado, se demuestra que la suma de las poderacoes debe ser gual a uo: E m Z E m Z m m m m Se dce que Z * es el meor predctor, leal e este caso, porque los pesos se obtee de tal maera que mmce la varaza del error de predccó, es decr que mmce la epresó: * V Z Z 33

34 Esta últma es la característca dsttva de los métodos krgg, ya que este otros métodos de terpolacó como el de dstacas versas o el polgoal, que o garatza varaza míma de predccó Samper y arrera, 99 La estmacó de los pesos se * obtee mmzado V [Z Z ] sueto a * * * Se tee que V Z Z ] V[ Z ] OV[ Z, Z ] V[ Z ] [ Desagregado las compoetes de la ecuacó ateror se obtee los sguete: V [ Z * ] V Z OV [ Z E adelate se usará la sguete otacó:,z ] OV [ Z, Z ] y V [ Z ] σ De lo ateror * OV [ Z,Z ] OV Z,Z Etoces reemplazado, se tee que: V [ Z * Z ] σ OV [ Z, Z ] Luego se debe mmzar la fucó ateror sueta a la restrccó Este problema de mmzacó co restrccoes se resuelve medate el método de multplcadores de Lagrage k σ σ { µ Multplcador delagrage 443 Sguedo el procedmeto acostumbrado para obteer valores etremos de ua fucó, se derva e guala a cero, e este caso co respecto a y µ: k σ σ µ µ µ µ 34

35 35 De maera aáloga se determa las dervadas co respecto a,, : k µ µ σ M k 3 µ µ σ por últmo dervamos co respecto a µ: k 4 µ σ De,, 3, 4 resulta u sstema de ecuacoes co cógtas, que matrcalmete puede ser escrto como: µ por lo cual los pesos que mmza el error de predccó se determa medate la fucó de covarograma a través de: - Ecotrado los pesos se calcula la predccó e el puto o De forma aáloga se procede para cada puto dode se quera hacer predccó Varaza de Predccó del Krgg Ordaro Multplcado, y 3 por se obtee: µ,,,, L Sumado las ecuacoes o µ o µ Susttuyedo la epresó ateror e

36 36 k µ σ σ µ σ σ k 5 Estmacó de Poderacoes por medo de la Fucó de Semvaraza Los pesos puede ser estmados a través de la fucó de semvaraza, para lo cual se requere coocer la relacó etre las fucoes de covarograma y de semvaraza Ates de esto coveete teer e cueta la sguete otacó: σ VZ, h, dode h es la dstaca etre los putos y y aálogamete h La relacó etre las dos fucoes e cuestó es la sguete: [ ] Z Z E ] [ Z Z Z Z E [ ] [ ] [ ] Z E Z E Z Z E [ ] [ ] [ ] k Z Z E k Z E k Z E [ ] [ ] [ ] Z Z OV Z V Z V [ ] [ ] Z Z OV Z V σ σ 6 Reemplazado 6 e, y 3 se determa los pesos óptmos e térmos de la fucó de semvaraza: k σ µ σ µ σ σ µ σ µ σ µ σ

37 37 Smlarmete, k µ σ M k µ σ El sstema de ecuacoes se completa co 4 De acuerdo co lo ateror los pesos se obtee e térmos del semvarograma a través del sstema de ecuacoes: µ Para establecer la epresó de la correspodete varaza del error de predccó e térmos de la fucó de semvaraza se reemplaza 6 e 5, de dode: µ σ σ σ k µ σ σ σ k µ σ o k Los pesos de krgg ordaro també puede ser estmados medate el uso del correlograma aplcado la sguete relacó: σ ρ, caso e el que la correspodete varaza de predccó estaría dada por Isaaks y Srvastava, 989: µ σ σ o k Valdacó del krgg Este dferetes métodos para evaluar la bodad de auste del modelo de semvarograma elegdo co respecto a los datos muestrales y por ede de las predccoes hechas co krgg El más empleado es el de valdacó cruzada, que cosste e eclur la observacó de uo de los putos muestrales y co los - valores restates y el modelo