ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD C. MEDIDAS DE FORMA RESUMEN: A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL So estadígrafos de poscó que so terpretados como valores que permte resumr a u cojuto de datos dspersos, podría asumrse que estas meddas equvale a u cetro de gravedad que adopta u valor represetatvo para todo u cojuto de datos predetermados. Estas meddas so: 1. Promedo Artmétco (Meda o smplemete promedo). Medaa. Moda 4. Promedo Geométrco 5. Promedo Poderado 6. Promedo Total 7. Meda Armóca Otras meddas de poscó so: Cuartles, Decles y Percetles B. MEDIDAS DE VARIABILIADAD So estadígrafos de dspersó que permte evaluar el grado de homogeedad, dspersó o varabldad de u cojuto de datos. Estas meddas so: 1. Ampltud o Rago. Varaca. Desvacó Estádar 4. Coefcete de Varabldad C. MEDIDAS DE FORMA Evalúa la forma que adopta la dstrbucó de frecuecas respecto al grado de dstorsó (clacó) que regstra respecto a valor promedo tomado como cetro de gravedad, el grado de aputameto (elevameto) de la dstrbucó de frecuecas. A mayor elevameto de la dstrbucó de frecueca sgfcará mayor cocetracó de los datos e toro al promedo, por tato, ua meor dspersó de los datos. Estas meddas so: 1. Asmetría o Sesgo. Curtoss Los Gráfcos de Cajas como dcadores de forma Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 1

2 A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. LA MEDIA ARITMETICA Para Datos No Agrupados. El promedo artmétco de u cojuto de valores ( x 1 x x... x ) es: x 1 x x1 x x... x Ejemplo: Durate los últmos días el valor de las compras e peródcos fue: { 5., 10., 7.0, 7.1, 10., 8., 9.4, 9., 6.5, 7.1, 6.6, 7.8, 6.8, 7., 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1, 8., 9.0, 7.8, 8., 5., 6., 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8., 7.5 } El promedo artmétco del valor de las compras de peródcos es: x 1 x Para Datos Agrupados. x k 1 f Dode: f Frecueca e la clase k-ésma Marca de clase e la tervalo k-ésmo Ejemplo: Para los gastos daros e peródcos del hotel agrupados e ua tabla de frecueca: Itervalo f h F H TOTAL El promedo artmétco es: x k 1 f ( ) 5( ) 9( ) 7( 8. 5 ) 5( 9. 5 ) ( ) Durate los días el hotel tuvo u gasto promedo e peródcos de 7.87 soles Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral

3 . LA MEDIANA Es el valor que ocupa la poscó cetral de u cojuto de observacoes ordeadas. El 50% de las observacoes so mayores que este valor y el otro 50% so meores. Para Datos No agrupados. ( 1) La ubcacó de la medaa de datos ordeados se determa por :. Ejemplos: E los 7datos ordeados: {4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 } (7 1) La ubcacó de la medaa es: 4 Luego el valor de la medaa es: Me6 E los 8 datos ordeados: {, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9} (8 1) 5 6 La medaa se ubca e el lugar 4. 5 Luego el valor de la medaa es M e 5. 5 Para Datos Agrupados. c F-1 c Me L L f h Dode: L Límte Iferor del tervalo que cotee a la Medaa F -1 Frecueca Acumulada e la clase ateror -ésma f Frecueca e la clase que cotee a la medaa H -1 Frecueca Relatva Acumulada e la clase ateror -ésma h Frecueca Relatva e la clase que cotee a la medaa c Tamaño del tervalo de clase. ( H ) Ejemplo: Para los gastos daros e peródcos del hotel e ua tabla de frecueca: -1 Itervalo f h F H TOTAL Me7.8 La Medaa es: ( ) Me El 50% de los días el hotel gastó meos de 7.8 soles e la compra de peródcos Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral

4 . LA MODA Es el valor, clase o categoría que ocurre co mayor frecueca y sus característcas so: - Puede o exstr o exstr más de ua moda - Su valor o se ve afectado por los valores extremos e los datos - Se utlza para aalzar tato la formacó cualtatva como la cuattatva - Es ua medda estable cuado e úmero de datos es reducdo. Para Datos No Agrupados. Por ejemplo, durate los últmos días el valor de las compras e peródcos fue: { 5., 10., 7.0, 7.1, 10., 8., 9.4, 9., 6.5, 7.1, 6.6, 7.8, 6.8, 7.1, 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1, 8., 9.0, 7.8, 8., 5., 6., 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8., 7.5 } Moda Mo 7.1; Es el valor más frecuete, ocurre veces. Para Datos Agrupados. M o L d1 c d1 d Dode: d 1 (f - f -1 ) y d 1 (f - f 1 ) f Valor de la mayor frecueca Ejemplo: El gasto daro e peródcos del hotel AAA agrupados e ua tabla de frecueca: Itervalo f h F H TOTAL Mo7.6 d d 9-7 c 0.9 Tamaño de Itervalo de Clase La moda estmada utlzado estos datos agrupados es: M o (0.9) Utlzado las frecuecas relatvas, la moda estmada es: 015. M o 7. 0 (0.9) El gasto daro e peródcos más frecuete es 7.6 soles Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 4

5 4. MEDIA GEOMÉTRICA Correspode al valor represetatvo cetral de observacoes secuecales y estrechamete relacoadas etre sí tales como tasas de: terés, flacó, devaluacó, varacó, crecmeto, dsmucó. El promedo geométrco de los valores: (... f ) es: t G FC1 FC... FCt ó t G f Dode f Valor fal y Valor cal Ejemplo: La tasa de terés mesual que se pagó por u préstamo recbdo por meses fue cambado mes a mes; e el prmer mes se pagó u terés de 15%, e el segudo mes 10% y e el tercer mes 16%.La tasa de terés promedo mesual que se pagó es: Mes 1 Tasa Factor (1.15)(1.10)(1.16) (1.6% mesual) G Ejemplo: El Producto Bruto Itero de u país durate los últmos cco años tuvo la evolucó sguete: Año1: 5%. Año : 0% Año: - 1% Año 4: % y Año5: 4%. La tasa de crecmeto aual promedo del PBI sería: 5 G (1.05)(1.00)(0.99)(1.0)(1.04) (1.97% aual) Ejemplo: Se recbó u préstamo de 0 soles por meses y al fal del período se pagó u total soles; Cuál fue la tasa promedo de terés mesual que se pagó? Mes 0 Mes 1 Mes Mes Saldo G (1.6%)mesual 5. PROMEDIO PONDERADO Cuado se desea ecotrar el promedo de valores ( 1... k ) que ocurre co frecuecas (f 1 f... f k ) dferetes se deberá poderar los valores observados co pesos dferetes: x K 1 W Dode los valores Wf / se deoma poderacoes o pesos Ejemplo: E ua ageca de vajes se ha veddo 00 pasajes a los precos sguetes: Preco de Veta (soles) Número de pasajes f Poderacó W Total El preco promedo de veta de los 00 pasajes: x 0. 0( 1 ) 0. 50( 14 ) 0. 0( 16 ) 1. 8 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 5

6 6. PROMEDIO TOTAL Correspode al valor promedo represetatvo de grupos de observacoes separadas o dferetes y que podría estar cosoldadas e tablas de frecueca depedetes, por tato: k T 1... k : Número de observacoes e el grupo -ésmo. : Promedo correspodete el grupo -ésmo Grupo A Grupo B Nota F Nota f Total Total 40 Promedo del grupo A: Promedo del grupo B: 4( 7.5 ) 16( 1.5 ) 5( ) 8(.5 ) 10( 7.5 ) 16( 1. 5 ) 6(17.5) x A 1.7 x B k Promedo Total Grupo A B Totla 65 f x T 5( 1.7 ) 40( 10.0 ) MEDIA ARMÓNICA El promedo armóco de los valores: ( 1... ) dode guo toma el valor cero es: H 1 1 x1 x x x Este promedo se utlza para que los valores extremos o afecte al valor del promedo. Los valores extremos sí afecta cuado se usa el promedo artmétco o el promedo geométrco. Ejemplo: Calcular el redmeto promedo para el caso de tres automóvles que recorrero 500 klómetros y cada auto tuvo el redmeto sguete: Auto A B C Redmeto (Km/galó) H Klómetros(CONSTANTE) galó Verfcacó: Auto Km Redmeto Total galoes A B C Total H Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 6

7 Para Datos Agrupados PERCENTILES, CUARTILES Y DECILES Percetles: So 99 valores que dvde a u cojuto de datos e partes guales k c F-1 Pk L f L Límte Iferor del tervalo que cotee al Percetl F -1 Frecueca Acumulada e la clase ateror k-ésma f Frecueca e la clase que cotee al Percetl c Tamaño del tervalo de clase. k 1%, %, %,..., 97%, 98%, 99% Percetles Itervalo De Clase Marca de Clase Frecueca Absoluta f Frecueca Relatva h Frec.Acum. Absoluta F Frec. Acum. Relatva H TOTAL Ejemplo: El Percetl 80% de los gastos daros e peródcos estará e tervalo 5 ( / F ) c ( ) P80 % L f 5 El 80% de los datos aalzados será meores a y el 0% restate será superores Cuartles: So valores Q 1 ; Q y Q que dvde a los datos e 4 partes guales El Cuartl (Percetl 75%) se ubcará e el cuarto tervalo ( / F ) c ( 4 17 ) P75 % L f 7 75% de los datos será meores a 8.8 y el 5% de los datos restates será superores Decles: So 9 valores D 1, D ; D ; D 4 ; D 5 ; D 6 ; D 7 ; D 8 y D 9 que dvde a u cojuto de datos e 10 partes guales. El Decl 7(Percetl 70%) se ubcará e el cuarto tervalo ( / F ) c (.4-17 ) P70 % L f 7 70% de los datos será meores a y el 0% restate será superores a Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 7

8 Para Datos No Agrupados El lugar o poscó dode se ecuetra los cuartles para datos ordeados es: Cuartel Q 1 P 5% Q P 50% Q P 75% Poscó 5 ( 1) 50 ( 1) 75 ( 1) Ejemplo: Determe los cuartles y el decl 8 de los 1 datos ordeados sguetes: Percetl Poscó Valor del Cuartel Q 1 P 5 0.5(11).5 Q 1 11(1-11) Q P (11)7 Q 1 Q P (11)10.5 Q 15(17-15)0.516 D 8 P (11)11. P 80 17(18-17)0.17. Ejemplo: Para la represetacó tallo hoja de los gastos e peródcos del hotel: Tallo Hojas (9) Determe los cuartles correspodetes a los datos ordeados: Cuartl Poscó Valor Q 1 P 5% 5( 1) Q 1 6.8( ) Q P 50% 50( 1) Q 7.8( ) Q P 75% 75( 1) Q 8.6( ) Etre qué valores está el 80% cetral de los gastos daros e peródcos? Percetl Poscó Valor P 10 10( 1) P 10% 5.7(6.-5.7) P 90 90( 1) P 90% 9.6( ) El 80% de los gastos daros e peródcos está defdo etre los 5.85 y 9.95 soles Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 8

9 B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD 1. AMPLITUD O RANGO Sea los valores: (x 1 x x... x ). La ampltud o rago de estos dato es A( max - m ). VARIANCIA Para Datos No Agrupados La varaca de los datos de esta muestra (x 1 x x... x ): 1 S 1 Ejemplo: Calcular la varaca de los cuatro datos sguetes (:, 4, 6 y 7 ) x S Para Datos Agrupados (5) 10. La varaca de los valores: (x 1 x... x k ) que ocurre co las frecuecas (f 1 f... f k ) es: S 1 f 1 Ejemplo: Los gastos daros e peródcos del hotel agrupados e la tabla de frecueca: Los cálculos ecesaros para determar la varaca de los gastos daros so: Itervalo f f f² f (7.8719) S TOTAL DESVIACIÓN ESTÁNDAR Es ua medda de varabldad que correspode a la raíz cuadrada de la varaca. Este dcador tee la msma udad de medda e la que se expresa el promedo. S S soles S1.9 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 9

10 4. COEFICIENTE DE VARIABILIDAD Es ua medda de varabldad de los datos que se expresa e porcetaje e la cual se compara la desvacó estádar co el respectvo valor del promedo de los datos: S C. V. x x Grado de varabldad de los datos Coefcete de varabldad Co varabldad baja Meos de 10% Co varabldad moderada De 10% a 0% Co alta varabldad Más de 0% E el ejemplo ateror el coefcete de varabldad es: C. MEDIDA DE FORMA: ASIMETRIA O SESGO 1.9 C. V. x 16.4% 7.87 Evalúa el grado de dstorsó o clacó que adopta la dstrbucó de los datos respecto a su valor promedo tomado como cetro de gravedad. El coefcete de asmetría de Pearso es: ( M e ) AK S Grado de Asmetría Valor del Sesgo Smetría Perfecta Cero. El promedo es gual a la medaa Sesgo Postvo Postvo. Promedo mayor que la medaa Sesgo Negatvo Negatvo. Promedo meor que medaa Asmetría Postva Smétrca Asmetría Negatva (Promedo>Medaa) PromedoMedaa Promedo<Medaa E el ejemplo sobre los gastos daros e peródcos el Promedo es 7.87 le Medaa es 7.80 y la desvacó estádar 1.9, por tato el sesgo es lgeramete postvo 0.16 D. MEDIDA DE FORMA: CURTOSIS Evalúa el grado de aputameto de la dstrbucó, el coefcete es: K U P75 P5 ( P90 P10 ) Grado de Aputameto Valor de la Curtoss Mesocurtca (Dstrbucó ormal) 0.6 Leptocúrtca (Elevada) Mayor a 0.6 ó se aproxma a 0.5 Platcúrtca (Aplaada) Meor a 0.6 ó se aproxma a 0 K u0.6 K u>0.6 K u<0.6 Mesocúrtca Leptocúrtca Platcúrtca E el ejemplo de los gastos daros e peródcos como Q 8.8; Q 7.0; P y P la curtoss de la dstrbucó es 0.5; por tato, la dstrbucó es lgeramete platcúrtca. Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 10

11 GRÁFICOS DE CAJAS Tercer Cuartl: Q 8.8 Segudo Cuartl: Q 7.8 Prmer Cuartl: Q Rago Itercuatílco: IQR Q -Q Límte feror: Q 1-1.5(IQR) (1.8)4. Límte Superor: Q 1.5(IQR) (1.8) La mtad (50%) de los datos so meores a 7.8 La mtad (50%) de los datos toma valores etre 7.0 y 8.8 La cuarta parte (5%) de los datos so meores a 7.0 (Ates de Prmer Cuartl) La cuarta parte (5%) de los datos toma valores etre a 7.0 y 7.8 La cuarta parte (5%) de los datos toma valores etre a 7.8 y 8.8 La cuarta parte (5%) de los datos so mayores a 8.8 (Después del Tercer Cuartl) Los datos tee mayor varabldad etre 7.8 y 8.8. Los datos superores a 11.5 y los datos ferores a 4. se deoma ATÍPICOS REGLA EMPÍRICA Cuado la dstrbucó de frecueca es smétrca: ( 68% ) ( 95% ) ( 99.7% ) S el Promedo es 7.87 y Desvacó estádar 1.9 podremos afrmar que: 68% ( datos) está etre: [7.871(1.9)]9.16 y etre [7.87-1(1.9)] % (0 datos) está etre: [7.87(1.9)] y etre [7.87-(1.9)] % ( datos) está etre: [7.87(1.9)] y etre [7.87-(1.9)].991 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 11

12 TRANSFORMACIONES LINEALES DE VARIABLES S la varable tee promedo y varaca S x y sea la trasformacó leal: Y a b El promedo de la varables Y es : Y a b La varaca de la varables Y es: La desvacó estádar de la varables Y es: S Ya S S Y a S Ejemplo: Las calfcacoes de u exame de estadístca so: Nota f F f f Total Promedo Medaa Moda Varaca 1.44 Desvacó estádar.5 S el profesor decde trasformar las calfcacoes e la forma: Y 0.8 El promedo de la otas modfcadas Y es : Y 0.8( ) La medaa de la otas modfcadas Y es : M e 0.8(11.641)11.1 La moda de la otas modfcadas Y es : M o 0.8(11.867)11.49 La varaca de la varables Y es: S Y0.8 (1.44)7.96 La desvacó estádar de la varables Y es: S Y 0.8 (.5).8 Verfcacó: Utlzado la tabla de frecueca trasformada dode c.: Nota Y f F f Y f Y Total Promedo Medaa 11.1 Moda Varaca 7.96 Desvacó estádar.8 Arturo Rubo Aputes Estadístca Geeral 1