ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Transcripción

1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Grado de ADE. Prmer curso Raquel Mª Álvarez Esteba

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3 Descrpcó umérca de ua varable Objetvo: Resumr dsttos aspectos de las dstrbucoes de frecuecas Iterés de los resúmees umércos: Uos pocos úmeros resume toda la dstrbucó Complemeto atural de la descrpcó gráfca Faclta la comparacó de muestras co modelos de refereca y la comparacó etre muestras

4 Descrpcó umérca de ua varable Meddas de poscó: Dvde u cojuto ordeado de datos e grupos co la msma catdad de dvduos. Cuartles, decles, cuatles, percetles Meddas de cetralzacó: Idca valores co respecto a los que los datos parece agruparse. Meda, medaa, moda, meda geométrca, meda armóca, Meddas de dspersó: Idca la mayor o meor cocetracó de los datos co respecto a las meddas de cetralzacó. Desvacó típca, coefcete de varacó, rago, varaza, recorrdo tercuartílco.., Meddas de forma: Asmetría Aputameto o Curtóss

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6 Parámetros y estadístcos Parámetro: es ua catdad umérca calculada sobre ua poblacó La altura meda de los dvduos de u país La dea es resumr toda la formacó que hay e la poblacó e uos pocos úmeros (parámetros). Estadístco: es ua catdad umérca calculada sobre ua muestra (Cualquer fucó co los datos de la muestra destada a cuatfcar algú aspecto de la dstrbucó de frecuecas.) La altura meda de los dvduos de esta clase Somos ua muestra ( represetatva?) de la poblacó. S u estadístco se usa para aproxmar u parámetro també se le suele llamar estmador. Normalmete teresa coocer u parámetro, pero por la dfcultad que colleva estudar a TODA la poblacó, calculamos u estmador sobre ua muestra y cofamos e que sea próxmos. Hay que elegr muestras represetatvas, para que el error sea cofablemete pequeño.

7 Estadístcos de poscó y cetralzacó:

8 Meda

9 Meda Ejemplo: Muestra de tamaño 6, la meda: X ,4 2 7 meda=[ (0*3) + (2*4) + (0,4*2) + (*7)] /6 = 0,987 Muestra de tamaño 00 se toma el peso e kg de las persoas. L - - L Meda?

10 Meda Ejemplo: Muestra de tamaño 00 se toma el peso e kg de las persoas. L - - L m m = (L - - L)/2 marcas de clase meda = 7 kg

11 Meda

12 Meda

13 Meda

14 cambo de escala: Y=bX ej. Cálculo de precos medos aplcado el IVA (2%) precos precos +IVA x x*,2x,2x* 0,9 3 2,70, ,27,3 6 7,80, ,44 2,5 8 20,00 3, ,20 3,9 5 9,50 4, ,60 5,9 4 23,60 7, , ,00 8,47 2 6,94 total 28 87, ,00 meda 3,3 meda 3,79 meda=,2*3,3 cambo de orge: Y=a+X ej. Sueldo medo de los trabajadores de ua empresa después de u aumeto de 50 a todos

15 x x2 2 h elemetos X es la meda de esta poblaco xh h e total N elemetos x(h+) (h+) x(h+2) (h+2) (N-h) elemetos X2 es la meda de esta poblaco xn N meda de los N elemetos es=[(h*x)+(n-h)*x2]/n Ejemplo: salaro medo e España a partr del salaro medo de cada ua de las provcas.

16 Meda geométrca M... log M = x x x G 2 = log( G X = ) Muestra tabulada (dscreta) Muestra tabulada (cotua) 2 M G = x x2... x 2 M G = m m2... k k m k k dode m so las marcas de clase

17 Meda geométrca: M = x x... G 2 x Desvetajas: Dfícl de calcular (cfras muy elevadas: solucó tomar logartmos) S algú X =0, M G se aula No es relevate y puede ser u úmero complejo (úmero o real) s algú valor es egatvo Usado para promedar %, tasas, úmeros ídces (stuacoes dode la vble preseta varacoes acumulatvas). Ejemplo: C captal cal colocado a tatos utaros de terés aual durate años. Para calcular el tato de terés medo del perodo, o es la meda artmétca. S C es el captal al fal del año, etoces C=C(+ ) C2=C (+ 2) =C(+ ) (+ 2)... C=C- (+ )= =C(+ ) (+ 2) (+ ) El tato de terés medo será C= C(+ ) (+) Igualado ambas expresoes y despejado, se cumplrá = (+ ) (+ 2) (+ ) -

18 Meda armóca M H = X = Muestra tabulada (dscreta) M H = k = X Muestra tabulada (cotua) M H = k dode m = m so las marcas de clase

19 Meda armóca Desvetaja: flueca de los valores pequeños o se puede calcular s algú valor es 0 Usado para promedar aquello cuyas udades sea el cocete de dos magtudes smples: velocdades, redmetos, etc. Ejemplo: ídce de Paasche es ua meda armóca

20 Relacó etre las dferetes medas M H M G X

21 Estadístcos de orde Medaa

22 Medaa

23 Medaa Msma formula: Me = L j + ( L j L j / 2 N ) j j

24 Medaa

25 Medaa Ejemplo de cálculo para vble dscreta, a partr de la tabla de frecuecas: Me = 2

26 Medaa Datos agrupados e clases: buscar el tervalo e el que se alcaza la medaa, L ] [ L Me = L + N 2 N c

27 Moda Mo= Puto dode se alcaza el máxmo de la dstrbucó de frecuecas Hay dstrbucoes co varas modas (bmodales o multmodales)

28 Moda Mo= Puto dode se alcaza el máxmo de la dstrbucó de frecuecas Moda absoluta, moda relatva, tervalo modal

29 Moda Mo= Puto dode se alcaza el máxmo de la dstrbucó de frecuecas E dstrbucoes agrupadas, el tervalo modal es el de mayor desdad S queremos seleccoar u pto, dferetes crteros: [Mo= L- ] ; [Mo= L ]; El crtero más utlzado: Mo = L _ + d + d+ + d _ c d = c

30 Poscó relatva de meda, medaa y moda

31 Cuatles Cuatl de orde α es el valor de la varable por debajo del cual se ecuetra ua frecueca acumulada α. Casos partculares so los percetles, cuartles, decles, qutles,...

32 Cuatles: Percetl de orde p ( P p )= cuatl de orde p/00 (me deja a la zda el p% de la dstrbucó de frecuecas y a la drcha el (-p)% La medaa es el percetl 50 El percetl de orde 5 deja por debajo al 5% de las observacoes. Por ecma queda el 85% Cuartles: Dvde a la muestra e 4 grupos co frecuecas smlares. Prmer cuartl Q= Percetl 25 (p=0,25)= Cuatl 0,25 Segudo cuartl Q2= Percetl 50 (p=0, 5)= = Cuatl 0,5 = medaa Tercer cuartl Q3= Percetl 75 (p=0,75)= = cuatl 0,75

33 Cuatles: ejemplos El 5% de los recé acdos tee u peso demasado bajo. Qué peso se cosdera demasado bajo? Percetl 5 o cuatl 0,05 Percetl 5 del peso frecueca Peso al acer (Kg) de 00 ños

34 Cuatles: ejemplos El colesterol se dstrbuye smétrcamete e la poblacó. Supogamos que se cosdera patológcos los valores extremos. El 90% de los dvduos so ormales Etre qué valores se ecuetra los dvduos ormales? Percetles 5 y 95 frecueca Colesterol e 00 persoas

35 Cuatles: ejemplo Número de años de escolarzacó Porcetaje Frecueca Porcetaje acumulado 3 5,3,3 4 5,3,7 5 6,4, 6 2,8,9 7 25,7 3, ,5 8, ,7, ,8 6,6 85 5,6 22, ,6 52, ,6 6,4 4 75,6 73, ,8 77, ,9 90, ,9 93, ,0 96,6 9 22,5 98, ,0 00,0 Total ,0 20%? 90%? Estadístcos Número de años de escolarzacó N Meda Medaa Moda Váldos Perddos ,90 2,00 2 Percetles ,00,00 2,00 2,00 2,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 6,00

36 Para calcularlo el cuatl de orde r/k se halla las frecuecas acumuladas y se busca el valor que ocupe el lugar (r/k)*n de la dstrbucó. S K=4, etoces tedremos los cuartles: r= prmer cuartl r=2 segudo cuartl (medaa) S K=0, etoces tedremos los decles: r=, prmer decl S K=00, etoces tedremos los percetles

37 Cuatles: ejemplos

38 Datos agrupados e clases: buscar el tervalo e el que se alcaza dcha frecueca : [ L, L ] _ C r, k = L _ + r N k N _ c S K=4, etoces tedremos los cuartles: S K=0, etoces tedremos los decles: S K=00, etoces tedremos los percetles

39 Meddas de dspersó

40 Meddas de dspersó Mde el grado de dspersó (varabldad) de los datos, depedetemete de su causa. Meddas de dspersó absolutas: Rago Recorrdo tercuartílco Varaza Desvacó típca o desvacó estadar Otras (desvacó respecto de la meda, desvacó respecto de la medaa) Meddas de dspersó relatvas: Coefcete de varacó Recorrdo sem-tercuartlco

41 Meddas de dspersó Rago ( o Ampltud) : Máxmo Mímo= X () - X () Dfereca etre observacoes extremas. Ej: 2,,4,3,8,4. El rago es 8-=7 Es muy sesble a los valores extremos. Rago/recorrdo tercuartílco: Es la dstaca etre prmer y tercer cuartl. Rago tercuartílco = P 75 - P 25 =Q 3 Q Parecda al rago, pero elmado las observacoes más extremas ferores y superores. (el 50% de los valores cetrales está ahí) No es ta sesble a valores extremos.

42 Meddas de dspersó Es sesble a valores extremos (alejados de la meda). Sus udades so el cuadrado de las de la varable. Muestra tabulada Vble dscreta Vble cotíua Varaza S 2 Mde el promedo de las desvacoes (al cuadrado) de las observacoes co respecto a meda. = x x S 2 2 ) ( dode m so las marcas de clase = = x x f x x S ) ( ) ( = = x m f x m S ) ( ) (

43 Meddas de dspersó Varaza S 2 Otra expresó para la varaza S 2 = ( 2 x ) x 2

44 Meddas de dspersó Desvacó típca S Es la raíz cuadrada de la varaza S = S 2 Msmas udades que la varable.

45 S 2 = Varaza: propedades ( x x) 2 Sempre es postva. Varaza=0 s y solo s todos los valores so guales (es decr, la varable es costate)

46 ejemplos Muestra Muestra 2 Muestra N= Medaa= Rago= S=,50,73,80 S*2=Var= 2,25 3,00 3,25

47 ejemplos

48 ejemplos U empresaro paga a sus vededores asalarados u salaro fjo más ua comsó. Los salaros fjos so:

49 Meddas de dspersó Desvacó meda respecto a la meda: D x = = x x Desvacó meda respecto a la medaa: D Me = = x Me

50 Meddas de dspersó: Coefcete de varacó CV: cocete etre desvacó típca y la meda Mde la desvacó típca e forma de qué tamaño tee co respecto a la meda (úmero de veces que la desvacó típca cotee a la meda artmétca.) També se la deoma varabldad relatva. Es frecuete mostrarla e porcetajes S la meda es 80 y la desvacó típca 20 etoces CV=20/80=0,25=25% (varabldad relatva) Es ua catdad admesoal. Iteresate para comparar la varabldad de dferetes varables. S el peso tee CV=30% y la altura tee CV=0%, los dvduos preseta más dspersó e peso que e altura. Solo para vbles postvas Faclta la comparacó (homogeedad) CV = S x

51 Meddas de dspersó: Recorrdo sem-tercuartlco RS: cocete etre el recorrdo tercuartílco y la suma del prmer y tercer cuartl R = Q 3 Q Q 3 + Q

52 Mometos Mometos muestrales Mometos respecto al orge Mometo de orde k=,2 Mometos respecto a la meda Mometo de orde k=,2.. La dstrbucó de frecuecas queda defda por todos sus mometos k k x a = = k k X x m = = ) (

53 Meddas de smetría

54 Meddas de smetría Coefcete de asmetría de Fsher (g ó CA) = = = = = = ) ( ) ( x x x S X x S X x S m g CA k x x k S X x S X x CA = = = = ) ( ) ( S la dstrbucó está tabulada 3 3 S x m g CA = =

55 Meddas de smetría Coefcete de asmetría de Pearso Ap A p = x Mo S Dstrbucó smétrca Ap=0 Dstrbucó asmétrca postva Ap>0 Dstrbucó asmétrca egatva Ap<0

56 Meddas de smetría Coefcete de asmetría de Bowley: A B = CAB = ( Q 3 + Q 2Me) Q 3 Q Dstrbucó smétrca AB=0 Dstrbucó asmétrca postva AB>0 Dstrbucó asmétrca egatva AB<0

57 Meddas de forma Coefcete de curtoss o aputameto g 2 g 4 ( x X ) m4 = 2 = 3 = 4 4 S x Sx 3 S g2 >0, está más aputada que la dstrbucó ormal, se deoma leptocúrtca. S g2 <0, está meos aputada que la dstrbucó ormal, se deoma platcúrtca. g2 =0, msmo aputameto que la ormal: mesocúrtca.

58 Meddas de forma Coefcete de curtoss o aputameto g2 S g2 >0, está más aputada que la dstrbucó ormal, se deoma leptocúrtca. S g2 <0, está meos aputada que la dstrbucó ormal, se deoma platcúrtca. g2 =0, msmo aputameto que la ormal: mesocúrtca.

59 Tpfcar/estadarzar ua varable Ua varable se deoma tpfcada o estadarzada, s su meda es cero y su varaza es uo. Para tpfcar ua varable se hace la sguete trasformacó: Z = x x S

60 CONCENTRACIÓN Estudamos la CONCENTRACIÓN para varables cuattatva postvas e las cuales la suma de los valores dvduales tee el setdo de u todo del cual cada dvduo partcpa co ua parte. La dea es aalzar el grado de gualdad o falta de esta e el reparto del todo. Ejemplos: La rqueza de la poblacó de u país Los salaros de los empleados de ua empresa o de u sector La poblacó de los mucpos de ua provca No tee setdo e varables como la altura, el úmero del pe, etc La cocetracó oscla etre ua stuacó e la cual u dvduo tee el todo y el resto o tee ada (máxma cocetracó) y ua stuacó e la que todos los dvduos tee exactamete la msma catdad (cocetracó míma). Costruremos el Ídce de G para medr estas stuacoes y la curva de Lorez para vsualzar el grado de cocetracó

61 Cocetracó: ídce de G P=N/N proporcoes acumuladas de poblacó q=u/u proporcoes acumuladas de la vble, dode u = x j j j= El ídce de G está etre 0 y El ídce de G toma el valor 0 cuado hay gualdad, es decr s todos los dvduos dspoe de gual parte del todo (míma cocetracó) El ídce de G toma el valor cuado hay máxma desgualdad, es decr, u dvduo dspoe del todo y el resto de dvduos o tee gua parte (máxma cocetracó)

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63 Cocetracó: curva de Lorez Ejemplo:

64 Cocetracó: curva de Lorez Empresa A x N x* u: Acum x* p q p-q ,5 0,057 0, ,35 0,52 0, ,65 0,323 0, ,85 0,466 0, ,000 0,000 Sumas - 2, IGA 0, =, /2 0,9 0,8 0,7 0,6 q 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 p

65 ejemplo: curva de Lorez

66 Ejemplo cocetracó ZONA IG= 0,48 ZONA 2 IG= 0,094 coclusó? Cocetracó baja e las dos zoas. Meor cocetracó e zoa 2

67 Empresa A x N x* u: Acum x* p q p-q ,5 0,057 0, ,35 0,52 0, ,65 0,323 0, ,85 0,466 0, ,000 0,000 Sumas - 2, IGA 0, =, /2 Empresa B x N x* u: Acum x* p q p-q , 0,065 0, ,4 0,308 0, ,75 0,648 0, ,99 0,939 0, ,000 0,000 Sumas - 2,24 0, IGB 0, =0, /2,24

68 0,9 0,8 0,7 0,6 q 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 p