MATEMÁTICA. Unidad 4. Resolvamos desigualdades. variabilidad de la información

Transcripción

1 MATEMÁTICA Udad 4 Resolvamos desgualdades Iterpretemos la varabldad de la formacó Objetvos de la Udad: Propodrás solucoes a problemas relacoados co desgualdades leales y cuadrátcas; y represetarás los tervalos e la recta real. Aplcarás meddas de dspersó desvacoes medas, varazas y desvacoes típcas- a cojutos de datos extraídos de la vda cotdaa, para terpretar crítcamete la formacó. 55

2 Desgualdades Meddas de dspersó dstcó coocmeto - apoyo Itervalos uso Leales Cuadrátcas medate Clasfcacó Gráfcos Operacoes Ampltud Desvacó meda Varaza medate a través de Propedades Solucó Gráfcas Fórmulas Cálculos Aplcacoes Utldad Descrpcó del proyecto Aalzar a través de la ampltud, la desvacó meda y la varaza; la varabldad e dos o más cojutos de observacoes. Por ejemplo, e u grupo de estudates de prmero de bachllerato, E cuál varable se esperaría mayor varabldad: e el peso de los estudates o e su edad? E cuál matera hay mayor dspersó de las otas: e Matemátca o e Socales? 56 Matemátca - Prmer Año

3 Cuarta Udad Leccó 1 Coozcamos los tervalos de úmeros reales Motvacó La presó saguíea está dada por dos úmeros e udades de presó (mm de Hg). Uo de ellos correspode a la presó más alta cuado el corazó está bombeado sagre (presó sstólca P s ) y el otro, a la presó más baja cuado el corazó está relajado(presó dastólca P d ). Sabes como se mde la presó saguíea? Segú los datos brdados al medr la presó, sabes cuádo estás e resgo? S P s es meor que 10 y P d es meor que 80, estás excelete ormal S P s se ecuetra etre , y P d etre 80 90, cudado puedes estar padecedo hpertesó arteral. Idcadores de logro Clasfcarás y grafcarás co segurdad los tervalos de úmeros reales: cerrados, abertos, semabertos; de logtud fta o fta. Aplcarás la uó, terseccó y dfereca de tervalos, co terés, e la solucó de ejerccos y problemas. Resolverás co terés problemas utlzado la uó, la terseccó y resta de los tervalos. Los tervalos e la vda dara La vda dara os muestra ejemplos a cada mometo sobre varables cuya terpretacó se comprede mejor e forma de tervalo. Por ejemplo, el INSAFORP (Isttuto Salvadoreño de Formacó Profesoal) ofrece alguos de sus cursos de formacó, a jóvees cuyas edades se ecuetre e el tervalo de edad compreddo etre los 18 y los 5 años. La edad 18 es el límte feror del tervalo y 5 años es el límte superor. E realdad, tu ya has trabajado co tervalos. S recuerdas cómo hacías e la estadístca descrptva para aalzar ua varable cuattatva cotua, advertrás que las clases e el cuadro de dstrbucó de clases y frecuecas so precsamete tervalos de úmeros reales. Prmer Año - Matemátca 57

4 El cuadro correspode a la estatura e metros de u grupo de estudates. La clase 1.60 mts 1.70 mts, que tee 13 estudates, es e realdad u tervalo de úmeros reales. El límte feror es 1.60 y la estatura 1.70 es su límte superor. Talla ( m ) Frecueca < < < < < < < 1.5 Se lee así: de 1.4 a meos de 1.5 Crees que puedes señalar otros ejemplos? Cosdera la sguete actvdad. 1 Actvdad Escrbe u valor límte feror y u valor límte superor, que cosderes muy razoables, e cada ua de las sguetes stuacoes: a) Temperatura e grados cetígrados e la playa, durate la semaa sata: b) Precptacó e mm durate u mes de julo e tu cudad atal: c) Velocdad e km/h, a que debe correr los vehículos detro de la cudad: d) Peso e lbras de u ño salvadoreño recé acdo: Tpos de tervalos de úmeros reales Los tervalos so cojutos de úmeros reales que cumple ua certa codcó. La codcó vee mpuesta por los límtes del tervalo. S e la cudad, la velocdad a que debe trastar los vehículos es de 30 km/h como límte feror y 60 km/h como límte superor, decmos que el tervalo de velocdad para o teer problemas co la polcía de trásto es etre 30 y 60 km/h. E matemátca utlzamos u leguaje más precso para deotar los tervalos: Sea x: velocdad e km/h a que debe adar los vehículos detro de la cudad. 58 Matemátca - Prmer Año

5 Etoces, 30 x 60 es el tervalo de velocdad aceptado. Emplearás las relacoes de orde de los úmeros reales para deotar los tervalos. Smbolos Sgfcado Uso < Meor que x < 5: x es meor que 5, todos los meores que 5 s clur a 5 Meor o gual que x 8: x es meor o gual que 8, todos los meores que 8 cluyedo a 8 > Mayor que x > 3: x es mayor que 3, todos los mayores que 3 s clur a 3 Mayor o gual que x : x es mayor o gual que, todos los mayores que cluyedo a Notacó y clasfcacó La otacó usual emplea los corchetes [ ] para smbolzar los cojutos de úmeros reales, es decr los tervalos. Al teror de los corchetes se coloca los límtes del tervalo, el prmero es el límte feror y el segudo es el límte superor. El corchete [ es de apertura y el corchete ] es de cerre. Hay cuatro combacoes que se puede hacer co ellos y eso determa la perteeca o o de los límtes detro del tervalo: [ m, ]: Los dos límtes perteece al tervalo. (Itervalo cerrado cerrado) [ m, [: El límte superor, o perteece al tervalo. (Itervalo cerrado aberto) ] m, ]: El límte feror m, o perteece al tervalo. (Itervalo aberto cerrado) ] m, [: Nguo de los límtes perteece al tervalo. (Itervalo aberto aberto) El sguete resume clasfcatoro te servrá de guía para aclarar las cosas. Cosdera que x represeta cualquer úmero real detro de los tervalos ( x R ). Cojuto Itervalo Clasfcacó Cometaro { x R/ x 7 } [, 7 ] Itervalo cerrado. Icluye los límtes { x R/ < x 7 } ], 7 ] Itervalo sem-aberto. Aberto por la zquerda No cluye el { x R/ x < 7 } [, 7 [ Itervalo sem-aberto. Aberto por la derecha. No cluye el 7 { x R/ < x < 7 } ], 7 [ Itervalo aberto. No cluye los límtes Prmer Año - Matemátca 59

6 Ejemplo 1 Escrbe e otacó de tervalo los sguetes cojutos umércos. a) { x R/ 1 < x 4 } b) { x R/0 < x < 5 } c) { x R/ 8 x 1 } Solucó: La solucó es muy smple: a) ] 1, 4 ] b) ] 0, 5 [ c) [ 8, 1 ] Nota que el meor úmero real es el límte feror. Por ejemplo e el lteral c) ya sabemos que 8 < 1; por lo tato sería erróeo escrbr [ 1, 8 ] ya que se cotradce el orde de los úmeros reales. Itervalos de logtud fta e fta U tervalo de edad e años tal como el de los cursos de INSAFORP: [ 18, 5 ] tee ua logtud de ( 5 18 ) = 7 años. El tervalo de velocdad e km/h a que debe adar los vehículos e la cudad: [ 30, 60 ] tee por logtud ( ) = 30 km/h. Debdo que al grafcarlo el resultado es de logtud de u úmero real, decmos que esos tervalos so de logtud fta. Ejemplo Para determar la logtud de cualquer tervalo cuyos límtes so úmeros reales solo tees que restar el límte feror del límte superor y tomar el valor postvo de la dfereca. Solucó: a) ] 1, 4 ] tee logtud L = 4 ( 1 ) = = 5 b) ] 0, 5 [ tee logtud L = 5 0 = 5 c) ] 1, -4 ] tee logtud L = -4 ( 1 ) = = 3; L = 3 Todos so tervalos de logtud fta. Actvdad Calcula la logtud L de los sguetes cojutos umércos e tervalos. a) [ 3, 6 [ c) [ 4, 0 ] b) { x R/ 5 < x 1 } d) { x R/ < x 7/ } Cómo expresarías e otacó de tervalo los sguetes cojutos umércos? A = { x R/x 4 } y B = { x R/x > 1 } Solo tees u pequeño problema, o es certo? Cuál es el meor úmero que es meor o gual que 4?, cuál es el mayor úmero que es mayor que 1?. Lo que hace la matemátca para salvar este lío, es defr dos símbolos para esos dos úmeros descoocdos: ( fto egatvo o, meos fto ) y + ( fto postvo o, más fto ). Utlzado estos símbolos para los tervalos se tee: De maera geeral, s tu cosderas que las letras a y b deota úmeros reales co a < b, etoces los tervalos reales: [ a, b ], ] a, b ], [ a, b [ y ] a, b [ so llamados tervalos de logtud fta o ftos. Los tervalos del ejemplo 1: ] 1, 4 ], ] 0, 5 [, [ 8, 1 ] se clasfca como tales. A = { x R/x 4 } = ], 4 ] B = { x R/x > 1 } = ] 1, + [ Observa que el tervalo queda aberto e el límte dode se utlza el símbolo. E B el tervalo queda aberto a la zquerda, porque el 1 o perteece al tervalo 60 Matemátca - Prmer Año

7 Este tpo de tervalos e los cuales uo de sus límtes o es u úmero real se llama tervalos de logtud fta o ftos. El tervalo ], + [ equvale al cojuto R de todos los úmeros reales. Actvdad 3 Clasfca los sguetes tervalos como abertos, cerrados, abertos por la derecha, abertos por la zquerda y e atecó a s so ftos o ftos. a) ], 7 ] b) [ 3, 6 [ c) [ 1, + [ d) ], 4[ e) [ 8, 9 ] Aberto por la zquerda Fto Gráfcas de tervalos Se elabora trasladado los límtes del tervalo a sus correspodetes putos e la recta real. El segmeto de recta etre los límtes costtuye la gráfca del tervalo. Por ejemplo: [-3,1] [-, + [ + + Ejemplo 3: Las gráfcas de los tervalos a) ], 4 ] b) ] 3, 8 [ c) ], ] queda así: ]-,4] ]3,8[ ]-,] Prmer Año - Matemátca 61

8 4 Actvdad Grafca e la recta real los sguetes cojutos umércos. a) { x R/x 1 } b) { x R/ < x 4 } c) { x R/x 0 } d) ], ] e) { x R/ 4 < x < 3 } Ya sabes que los tervalos so cojutos de úmeros reales, por lo tato las operacoes usuales co cojutos: uó, terseccó, dfereca de cojutos, se puede realzar co los tervalos. Operacoes co tervalos Por ejemplo, s teemos los tervalos M = [ 1, 5 [ y N = [ 5, 8 ], puedes coclur que s reumos M co N obteemos el tervalo [ 1, 8 ]. De la msma maera podemos observar que M y N o tee úmeros comues, ya que el úmero 5 se ecuetra e N pero o está e M, por lo tato podemos decr que su terseccó es vacía: Ø. Formalcemos las operacoes de la sguete maera: S A y B so dos tervalos de úmeros reales, teemos las sguetes operacoes: A B: Uó de A co B. Cotee todos los úmeros de A más todos los úmeros de B. A B = { x R/x A ó x B} A B: Iterseccó de A co B. Cotee todos los úmeros que so comues a A y a B. A B = { x R/x A y x B} A I : Complemeto de A. Cotee los úmeros que o se ecuetra e A. A I = { x R/x A } A B: Dfereca A meos B. Cotee los úmeros que está e A, pero que o se ecuetra e B. A B = { x R/x A y x B} Los sguetes ejemplos te servrá para aclarar las cosas. Verás que o es complcado. Ejemplo 4 Dados los tervalos A = ], 8 ], B = [ 3, 10 ], C = [ 0, + [, halla: a) A I b) A B c)a B d) A B e) ( A B ) C Solucó: a) Los úmeros que o está e A, so los mayores que 8. A I = ] 8, + [ b) Agregado al tervalo A, los úmeros de B se tee: A B = ], 10 [ c) El tervalo A tee los úmeros desde 3 hasta 8, que també los tee B. A B = [ 3, 8 ]. d) Qutado de tervalo A los úmeros que so de B, obteemos: A B = ], 3 [ 6 Matemátca - Prmer Año

9 e) El tervalo A B ya se calculó e el lteral b) y tee e comú co C, los úmeros que va desde cero a meos de 10. ( A B ) C = [ 0, 10 [ Ejemplo 5 Para los tervalos A = ] 3, 5 ], B = ] 0, + [ se tee: a) A I =], 3 ] ] 5, + [ b) A B = ] 3, + [ c) A B = ] 0, 5 ] d) B A = ] 0, 3 ] U ]5, + [ Actvdad 5 Escrbe cada uo de los resultados del ejemplo 5 e otacó de cojutos y elabora su respectvo gráfco e la recta real a) b) c) Notacó Gráfco d) Resume E esta leccó has apreddo la otacó de tervalos para los cojutos de úmeros reales y, a represetarlos e la recta real. Has apreddo també a clasfcarlos: segú sus límtes e tervalos abertos, semabertos y cerrados; y de acuerdo a su logtud, e tervalos ftos o ftos. Falmete has desarrollado ejerccos para mapular los tervalos medate las operacoes de uó, terseccó y dfereca de tervalos. El sguete resume te puede ser muy útl. Cosdera a y b úmeros reales co a < b. Itervalos [ a, b ] = { x R/a x b } ] a, b ] = { x R/a < x b } [ a, b [ = { x R/a x < b } ] a, b[ = { x R/a < x < b } Operacoes A B = { x R/x A ó x B } A B = { x R/x A y x B } A I = { x R/x A } A B = { x R/x A y x B } Prmer Año - Matemátca 63

10 1 El cojuto de úmeros reales { x R/ 5 < x 3 } se escrbe e otacó de tervalo como: a) [ 5, 3 [ b) [ 5, 3 ] c) ] 3, 5 ] d) ] 5, 3] Autocomprobacó 3 S A = ] 3, 10 [ y B = ] 3, 5 ], etoces A B es: a) ] 3, 5 ] b) ] 3, 3 ] c) [ 5, 10 [ d) [ 3, 5 [ Respecto del tervalo real ], 4 ] se puede decr que es : a) aberto a la derecha b) de logtud fta c) fto d) cerrado a la zquerda 4 S A = ] 3, 10 [ y B = ] 3, 5 ], etoces B A es: a) ] 3, 5 ] b) ] 3, 3 ] c) [ 3, 5 ] d) [ 3, 5 [ Solucoes 1. d.. b. 3. a. 4. b. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Sabías qué? E todos los procesos de observacó de uestra vda dara sempre estamos e preseca de varables reales y, e la práctca, estas varables sólo puede tomar valores e determados tervalos de logtud fta. La velocdad del veto, va desde la calma (0 km/h), hasta las velocdades destructvas de los huracaes co 350 km/h. Dos huracaes que ha provocado más destruccó e Cetro Amerca fuero el Ff (1975) y el Mlto (1998) Recuerdas algú otro huracá que haya provocado destruccó? 64 Matemátca - Prmer Año

11 Cuarta Udad Leccó Motvacó Desgualdades leales Dóde hay desgualdades? E el campo de los egocos tú puedes ecotrar muchos ejemplos sobre estas etdades matemátcas llamadas desgualdades. Cosdera la sguete stuacó: Roberto es u muchacho muy resposable que ha aceptado u trabajo de vededor de pataloes, casa por casa. El dueño de la empresa que lo ha cotratado le ha prometdo que le pagará 8 dólares daros por gastos de trasporte y dólares por cada pataló que veda. Cada pataló tee u preco de 0 dólares. Roberto quere teer al fal del día, gresos mímos (es decr, dero e su bolsa) de por lo meos 36 dólares. Cuál es el úmero mímo de pataloes que debe veder para lograr eso? Idcadores de logro Resolverás problemas, co segurdad, utlzado las desgualdades y sus propedades. Resolverás co segurdad ejerccos y/o problemas utlzado desgualdades leales e ua varable. Se que tu ya pesaste ua solucó artmétca para la stuacó. Veamos: El greso mímo que desea Roberto es de 36 dólares; este cluye por supuesto los 8 dólares de gastos de trasporte. Por lo tato la dfereca 36 8 = 8, es el greso por los pataloes veddos. S dvdmos este resultado etre, que es lo que gaa por cada pataló veddo, obteemos: 8/ = 14, que es el úmero mímo de pataloes que debe veder. Orgacemos ahora ua solucó algebraca. Aquí es muy mportate defr ua varable para la cógta o cógtas. Llamemos a x: úmero de pataloes que vede Roberto e el día Grafcarás co orde y lmpeza las desgualdades leales e la recta real. La expresó algebraca: (x + 8) costtuye la expresó correspodete al greso. Esta, al ser gualada a 36, se coverte e la ecuacó leal: x + 8 = 36, cuya solucó es, por supuesto, x = 14. Para gaar por lo meos 36 dólares, Roberto debe veder 14 pataloes. La ecuacó x + 8 = 36 la podemos covertr e ua desgualdad, cambado el sgo = por el sgo:. Etoces: x la cual llamamos desgualdad leal. La solucó de está ecuacó es el cojuto de eteros: {14, 15, 16, 17,...} S vede 15 pataloes gaaría: ( 15 ) + 8 = 38 > 36 S vede 16 pataloes gaaría: ( 16 ) + 8 = 40 > 36, etc. Prmer Año - Matemátca 65

12 Se llama desgualdad leal, fudametalmete, porque la varable x que aparece e las expresoes algebracas se ecuetra elevada a la poteca uo. La forma geeral de ua ecuacó leal se expresa: ax + b 0; co a y b que represeta úmeros reales, a 0 So ejemplos de ecuacoes leales e su forma geeral las sguetes: S la varable x pudera tomar cualquer valor e el cojuto de los úmeros reales, etoces el cojuto solucó de la desgualdad es el Itervalo: { x R/x 14 } = [ 14, + [ Ejemplo 1 S el dueño de la empresa cotrata a uestro amgo Roberto y éste desea gresos daros mayores que 306 dólares, cuátos pataloes se debería veder? S el símbolo de la desgualdad es > o < se dce que la desgualdad es estrcta. x 1 > 0; 5x + 3 0, 4x + 8 < 0; x 1 0 x 1 > 0 es ua desgualdad estrcta e la varable x. 5y 1 0 es ua desgualdad débl e la varable y. Qué sgfca resolver ua desgualdad. La solucó requere la costruccó de ua desgualdad. Qué pesas de esta? 18x > 306 Tee setdo, o te parece? Porque el dueño debe recbr 18 dólares por cada pataló veddo. S ahora dvdes etre 18 ambos lados de la desgualdad, obtees el tervalo solucó: x > 306/18 x > 17. Se debe de veder más de 17 pataloes e el día. Compoetes de ua desgualdad Ua desgualdad está compuesta por dos expresoes algebracas, relacoadas medate los sgos de orde: <,, >,. Relacó de orde ( 3x 5 ) ( x + 7 ) Expresó algebraca E el ejemplo 1 hcmos ua operacó que decía: s ahora dvdes etre 18 ambos lados de la desgualdad, obtees...e realdad esta es ua operacó que tu has empleado e la solucó de ecuacoes, pero o hemos dcho que sea válda para resolver desgualdades (o ecuacoes como també se les da e llamar). Verás e la sguete seccó cuáles so las propedades que podemos emplear para resolver ua desgualdad. Dremos que u úmero real satsface ua determada desgualdad, s al ser susttudo e la varable, coverte a la desgualdad e ua proposcó verdadera, es decr e algo que es certo. 66 Matemátca - Prmer Año

13 Por ejemplo, e la desgualdad x 1 > 0, el úmero 7 la satsface, ya que ( 7 ) 1 = > 0, que es ua proposcó verdadera. El úmero 4 s embargo o la satsface, puesto que ( 4 ) 1 = 4 > 0, es ua proposcó falsa. Resolver ua desgualdad sgfcará para osotros hallar el cojuto total de úmeros reales que satsface esa desgualdad. Cuado dos desgualdades tee la msma solucó dremos que estas so desgualdades equvaletes. Ejemplo Comprueba s el cojuto umérco que acompaña a cada desgualdad se puede cosderar cojuto solucó de la msma. a) 3x 15 < 0; S = ], 5 [ b) 4x + 8 0; S = [, + [ Solucó: a) Es ua desgualdad estrcta. Debemos tomar úmeros meores que 5 para ver que sucede. Tomemos el úmero 4.99 y hagamos la susttucó: 3( 4.99 ) 15 = 0.03 < 0 es ua proposcó verdadera. Lo msmo sucederá para cualquer otro úmero que sea meor que éste. b) Es ua desgualdad débl. El úmero hace la gualdad a cero: 4( ) + 8 = = 0. Cualquer otro úmero mayor que, dará por resultado valores mayores que cero. Para operar co las desgualdades se emplea báscamete las msmas reglas que se utlza co las ecuacoes para mateer la equvaleca (excepto por ua que verás luego y que fucoa de otra forma). Así: Se puede sumar o restar ua msma catdad a ambos lados de la gualdad (a ambos lados de la desgualdad y esta matee la equvaleca co la prmera). x 8 x ; se ha sumado 8 a ambos lados x 10; operado a ambos lados se ha obtedo la solucó S = [ 10, + [ Se puede multplcar o dvdr por ua msma catdad postva a ambos lados de la gualdad (a ambos lados de la desgualdad y esta matee la equvaleca co la prmera). Propedades de las desgualdades 3x + 5 < 11 3x < 11 5; se resta 5 a ambos lados para aslar a 3x. 3x < 6 3x 6 < ; Se dvde etre 3 a ambos lados para dejar 3 3 sola la varable x x < ; se llega a la últma desgualdad equvalete; que resulta ser la solucó. S = ], [ es la solucó de la desgualdad. Se puede multplcar o dvdr por ua msma catdad egatva a ambos lados de ua desgualdad, sempre y cuado se verta la relacó de orde. S la relacó es < debe cambarse por >; s la relacó es debe cambarse por. Prmer Año - Matemátca 67

14 E los úmeros reales la proposcó: < 5 es verdadera. S la multplcas por ua catdad egatva, por ejemplo 3, y o cambas la relacó de orde, la proposcó se vuelve falsa: ota ( 3 )( ) < ( 3 )( 5 ) 8 < 15 falso! No debes olvdar esto. Es u error muy frecuete cuado se resuelve desgualdades. < x 8 x 8 > x > 4 ; al dvdr etre, para aslar la varable, vertmos la relacó de orde. La solucó de la desgualdad es S = ] 4, + [ 1 Actvdad Utlza las propedades dscutdas arrba para resolver las sguetes desgualdades: a) 5x + 4 > 6 Resta 4 a ambos lados y smplfcar Dvde a ambos lados etre 5 Solucó 1 b) x 5 11 Sumar 5 a ambos lados y smplfcar Multplcar por a ambos lados Solucó c) 3x 4 < + x Sumar 4 a ambos lados Restar x a ambos lados Dvdr etre, a ambos lados Solucó: 68 Matemátca - Prmer Año

15 Ejemplo 3 Resuelve las sguetes desgualdades: x a) < b) x + 9 < 8 x 3 Solucó: x a) < 3 Multplcado por 3 a ambos lados: ( ) x 3 > ( 3) y smplfcado tees, 3 3 x > 6 S = ] 6, + [ 3 b) x + 9 < 8 x x < 8 x 9 se resta 9 a ambos lados. x < x 1 x + x < x 1+ x se suma x a ambos lados. 3x < 1 x < 1 se dvde etre 3 S = 1, 3 3 Ejemplo 4 Resuelve las sguetes desgualdades: a) x 1 3 x b) 3 x Solucó: x 1 3 x + 1 a) U paso cal, y quzá el más recomedable para abordar esta desgualdad, cosste e multplcarla por el mímo comú múltplo de los deomadores. Puedes decrme cuál es ese mímo? 1x 1 1 ( 3x + 1) + se ha multplcado todo 3 4 por 1, que es el m.c.m. Smplfcado: 6x + 4 3( 3x + 1 ) 6x + 4 9x x 6x ua forma más rápda cuado ya se tee algua práctca, es la que se ha empleado e este paso. El térmo 6x de la zquerda se ha pasado a la derecha co el sgo cambado. El úmero +3 de la derecha se pasó a la zquerda como x 1 3 x La solucó es S =, 1 3 b) 3 x A este tpo de ecuacó se le da e llamar ecuacó smultáea. Esto sgfca que se debe de cumplr, al msmo tempo, las desgualdades: 3 x + 5 pero també: x Las reglas se aplca a toda la expresó de la msma maera. 3 5 x x 6 1 x 3 se ha dvddo todo etre. La solucó es el tervalo cerrado S = [ 1, 3 ] Prmer Año - Matemátca 69

16 Grafquemos desgualdades leales Grafcar ua desgualdad leal o es más que grafcar e la recta real su cojuto solucó. Se trata de grafcar tervalos, algo que tú ya hcste e la leccó ateror. Ejemplo 4 Resolver las sguetes desgualdades y grafcar su solucó: a) x 3 7 b) 1 x + 3 Solucó: a) x 3 7 x x 4 x b) 1 x x x Actvdad a) b) Resuelve y grafca e la recta real las sguetes desgualdades: Resuelve: 1 Solucó 3x 5 Resuelve: 7 x Gráfca 0 0 Ejemplo 5 Recuerdas a uestro amgo Roberto al co de esta leccó? Pues be, Roberto ha cosegudo u uevo trabajo e el cual le va a pagar $50 al mes, más ua comsó del 8% sobre sus vetas mesuales. Qué vetas mesuales debería hacer Roberto para teer gresos mesuales etre $350 y $ 40? 70 Matemátca - Prmer Año

17 Solucó: Dgamos que y es la catdad e dólares de las vetas mesuales de Roberto, etoces y es la expresó de sus gresos mesuales ( recuerda que % sgfca por ceto y que 8% expresa 8 partes de 100, esto es 8/100 = 0.08 ). Queremos hallar el valor de y que cumple: y 40 Resolvedo la ecuacó tees: y 170 Restado 50 de la ateror. 100/0.08 y 170/0.08 Dvdedo por y 15 Etoces, las vetas de Roberto debe estar etre $150 y $15, para que sus gresos mesuales oscle etre $350 y $40. Resume E esta leccó has apreddo a resolver desgualdades leales expresadas e su forma geeral: ax +b 0, pero també e su forma de desgualdad smultáea c ax + b d. Haz trabajado además la represetacó gráfca e la recta real de su cojuto solucó. Algo muy mportate que te debe quedar de estas relacoes matemátcas es que e la vda práctca las varables tee sus límtes razoables de accó, es decr que o puede crecer más allá de ua cota defda, decrecer defdamete. U dustral que elabora u producto o puede producr más allá de certo límte por varas razoes: la maquara o esta dseñada para pasar certo umbral de produccó, la empresa o tee el captal de trabajo sufcete para vertr, o hay e la empresa el persoal sufcete para hacerlo, etc. S tu examas muchos hechos de la vda dara te darás cueta que para todo hay límtes: e la temperatura ambete, e el crecmeto poblacoal, e los gresos al hogar, e el gasto e eergía eléctrca; y e todos los casos, tu puedes platear ua desgualdad que resuma de maera partcular su comportameto. El sguete resume te puede ser útl para formalzar las propedades de las desgualdades. Cosdera que a, b y c represeta úmeros reales y que todas las relacoes de orde: <; >; ; so aplcables a las sguete propedades: S a < b etoces a + c < b + c S a < b etoces a c < b c S a < b etoces a c < bc, sempre que c sea postvo S a < b etoces a/c < b/c, sempre que c sea postvo S c es egatvo, la relacó de orde se verte e las dos propedades aterores. Prmer Año - Matemátca 71

18 Autocomprobacó 1 La desgualdad: x/ 3 > x + 4, tee como desgualdad equvalete: a) x/ + x > 7 b) x 3 > x + 8 c) x 6 > x + 8 d) 3x > 11 3 E el orete del país, e la época seca, las temperaturas oscla etre los 34 C y los 4 C. ( 34 C 4 ). Cuál es el tervalo equvalete de estas temperaturas e grados Fahrehet? 9 ( Nota: F = C + 3 ), C: grados Celsus; F: 5 grados Fahrehet) a) [ 66, 74 ] c) [ 93., ] b) [ 61., 71.6 ] d) [ 90, 100 ] La solucó de la desgualdad: 1 x 5 < 3 es: a) [ 1, 3 [ b) [ 4, 8 [ c) [, + [ d) [, 4 [ 4 Cosderado a, b, como úmeros postvos co a < b, seleccoe la desgualdad que NO es correcta: a) a + b < 3b c) 3/5a < 3/5b b) a 1 b 1 < d) a < b Solucoes 1. c.. d. 3. c. 4. c. UNA INVESTIGACIÓN CURIOSA Ua fórmula para calcular la temperatura de la pel humaa P, e grados Celsus, fue desarrollada por u vestgador de ombre Vcet. Te la preseto: P = t ( t )v, dode: t: temperatura del are e grados Celsus v: velocdad del veto e metros por segudo Preguta: a qué temperaturas t e are queto ( v = 0 ), es meor la temperatura de la pel que la sagre ( 37 C )? Qué te parece t < 34.5 C? (Nota: recuerda v = 0) 7 Matemátca - Prmer Año

19 Cuarta Udad Leccó 3 Resolvamos desgualdades cuadrátcas Motvacó Crees que podemos calcular, a cuáto equvale el área sombreada respecto del área del cuadrado e la fgura? Comeza por algo que para t es evdete: Él área del cuadrado es mayor que el área del círculo. x π Esto se expresa: x > π x = 4 Estás de acuerdo? x x Idcadores de logro Resolverás co segurdad, ejerccos y problemas utlzado desgualdades cuadrátcas co ua varable. Determarás y explcarás otras desgualdades o leales, co esmero y clardad. Qué puedes decr de la desgualdad x > π x? 4 De la desgualdad x > π x, puedes coclur que s 4 se multplca el área del cuadrado por π, obtees el 4 área del círculo scrto. Por lo tato s haces la resta π x x π = 1 x >, cocluyes que al π multplcar el área del cuadrado por 1 4 se obtee el área azul. π S x = 5 etoces x = 5; de maera que ( ) es aproxmadamete ( 5 ) = Desgualdades cuadrátcas e ua varable Grafcarás co orde y lmpeza desgualdades cuadrátcas y otras o leales e la recta real. S se multplca el área de cualquer cuadrado por se obte el área que está afuera del círculo y que perteece al área del cuadrado. Notarás que el resultado que obtees está fuertemete apoyado e ua desgualdad cuya varable está elevada al cuadrado. Este tpo de desgualdad so las que desarrollarás e esta leccó: so llamadas desgualdades cuadrátcas e ua varable. Como por ejemplo las sguetes: ( recuerda que x R ) a) x 8 0 b) x + 6x < 0 c) ( x + 5) ( x ) 0 d) 3x + 13x + 4 > Prmer Año - Matemátca 73

20 Resolver ua desgualdad cuadrátca sgfca hallar su cojuto solucó. Se emplea las msmas propedades de orde que utlzas e las desgualdades leales. Observa lo sguete: Para x = 3, x = 3 = 9 0 Para x = 4, x = ( 4 ) = 16 0 Para x = 0, x = ( 0 ) = 0 0 Cualquer úmero real elevado al cuadrado es mayor o gual a cero. E geeral se tee la sguete propedad. S x R etoces x R y x 0 Ejemplo 1 Utlza la propedad ateror para ecotrar el cojuto solucó de las sguetes desgualdades. Solucó: a) S x es u úmero real, etoces ( x + 1 ) també lo es; por lo tato ( x + 1 ) 0. El cojuto que satsface la desgualdad so todos los úmeros reales: S = R b) Es el msmo caso que e el lteral a), la úca dfereca es que la desgualdad es estrcta, por lo que s x es gual a, la desgualdad o se satsface: ( ) >0, es falsa; la solucó es etoces S = R { } c) x 1, es gual a expresar que x es u úmero etero etre cero y uo: 0 x 1. Verfca valores para x e el tervalo ateror. Te darás cueta que solo cumple la desgualdad valores de x e el tervalo [ 1, 1 ]. La solucó es S = [ 1, 1 ] a) ( x + 1 ) 0 b) ( x ) > 0 c) x 1 1 Actvdad Utlza la metodología del ejemplo 6, y ecuetra la solucó de las sguetes desgualdades cuadrátcas. Explca tu forma de solucó. 1 a) x 0 d) ( x + ) < 0 3 b) ( x 4) > 0 e) x + 4x c) x 4 0 ( ota: x ; x 4 ) Solucó de desgualdades cuadrátcas La forma geeral de ua desgualdad cuadrátca e ua varable x, se expresa dode a, b y c so úmeros reales co (las otras relacoes de orde: també se emplea). La desgualdad x + 3x 10 0, es u ejemplo e dode a = 1, b = 3 y c = 10. S falta algua de los coefcetes b ó c se les llama desgualdades completas: ax + c 0 y ax + bx 0 74 Matemátca - Prmer Año

21 Estas desgualdades se puede abordar empleado u método de factorzacó, y las leyes de los sgos: S AB > 0 Etoces A > 0 y B > 0, ó be, A < 0 y B < 0. S AB < 0 Etoces A > 0 y B < 0, ó be, A < 0 y B > 0. Ejemplo Ecuetra al cojuto solucó de las desgualdades sguetes: a) x 4 0 b) x + 6x > 0 Solucó: a) x 4 0 ( x ) ( x + ) 0 Aplcado leyes de los sgos tees: Caso 1: ( x ) 0 y ( x + ) 0 ( x ) y ( x ) o exste solucó e este prmer caso ya que o hay úmeros reales que cumple al msmo tempo ser mayores o guales que y meores o guales que. S 1 = Ф Caso : ( x ) 0 y ( x + ) 0 ( x ) y ( x ) los úmeros: x cumple las desgualdades por lo tato S = [, ]. La solucó es la uó de S 1 co S. [ ] = [ ] S = Ф,, (Nota: que es el msmo ejercco de la actvdad 1) b) x + 6x > 0 x ( x + 3 ) > 0 x ( x + 3 ) > 0 ( dvdedo etre ) Caso 1: x > 0 y x + 3 > 0 x > 0 y x > 3 El cojuto S 1 = ] 0, + [ cumple co las desgualdades leales. Caso : x < 0 y x + 3 < 0 x < 0 y x < 3 el cojuto S = ], 3 [ cumple los requstos; la solucó total es S = ], 3 [ ] 0, + [ que també se puede escrbr S = R [ 3, 0 ]. Solo los úmeros que está etre [ 3, 0] o satsface la desgualdad. U método que de seguro te parecerá más práctco y co el que te setrás más a gusto es el que se cooce como: Método del cuadro de varacó. Requere s embargo que tú recuerdes u poco el factoreo y por supuesto que sgas aplcado las leyes de los sgos. Prmer Año - Matemátca 75

22 A cotuacó uos ejemplos: Ejemplo 3 Halla la solucó de la desgualdad 3x + 13x Paso: factorza el lado zquerdo. 3x + 13x ( ) ( 3x ) + 13( 3x ) multplcadopor3 ( 3x + )( 3x + ) 0 ( 3x + 1 )( 3x + 1 ) 0 3( x + 4 )( 3x + 1 ) 0 factor comú 3 dosúmerosque sumados de 13 y multplcadosde 1 ( ) ( ) ( x + 4) ( 3x + 1) 0 dvdedoetre 3 Paso: Platea la gualdad ( x + 4) ( 3x + 1) = 0, y halla las raíces. (Raíces: valor de x, que hace cero la ecuacó). Ellas so: x + 4 = 0 x = 4 1 3x + 1 = 0 x = 3 1 raíces: { 4, 3 } 3º Paso: Represetacó de las races e la recta real, para observar los tres tervalos que se forma. -4 ⅓ 4 Paso: Orgaza u cuadro como el sguete, que defe tres tervalos ( x + 4 ) + + ( 3x + 1 ) + ( x + 4 )( 3x + 1 ) + + Se escrbe cero e el lugar dode se ubca la raíz. E cada tervalo se marca el sgo que toma la expresó algebraca respectva que está escrta e la parte zquerda al evaluarla e u úmero que perteece a cada tervalo(como los ecerrados e círculos). El producto de los sgos de las expresoes algebracas e su respectvo tervalo se ubca e la últma fla. 76 Matemátca - Prmer Año

23 El producto ( x + 4 )( 3x + 1 ) es meor o gual que cero úcamete e el tervalo por 1 1 4, lo tato la solucó de 3x + 13x es 4, 3 3 S e la expresó (x + 4) (3x + 1) susttuyes: x = 5, se tee ( )( 3 ( 5 ) + 1 ) = ( 1 )( 14 ) > 0; ocumple x = 1, se tee( )( 3 ( 1 ) + 1 ) = ( 5 )( 4 ) = 0 > 0; ocumple x = 3, se tee( ) 3 ( 3 ) + 1 ( 1 )( 8 ) < 0; s cumple Utlza el cuadro de varacó para resolver la sguete desgualdad: x ( )( ) 0 a) Factorza: x + x ( ) = x =, se tee = 3 10 ( 1 ) = < 0; s cumple 3 Actvdad + 4x 1 0 b) Halla las raíces y escrbelas e el cuadro dode correspoda, escrbedo cero dode se ubca la raíz c) Completa el cuadro. ( x + ) ( x ) ( x + )( x ) + d) Especfca la solucó. Otras desgualdades o leales 3 4 Alguas desgualdades tales como x > 4x, x x > 0 so llamadas desgualdades polomales o cuadrátcas. Otras como x 1 x + 4 0, ó 1, se llama desgualdades racoales. x + x La técca del cuadro de varacó es gualmete útl para resolver este tpo de desgualdades. Ejemplo 4 Resuelve la sguete desgualdad aplcado el método del cuadro de varacó x 3 > 4x. Solucó: ( ) > 3 Factorza el lado zquerdo x 4x > 0 x x 4 0 factor comú x. x ( x )( x + ) > 0 ( Dfereca de cuadrados ). Platea la ecuacó para hallar las raíces x ( x )( x + ) > 0 ; los valores que hace cero la ecuacó: x = 0, x =, x = +. Elabora el cuadro. Prmer Año - Matemátca 77

24 0 + x + + x + x x( x )( x + ) + + La solucó vee dada por la uó de todos aquellos tervalos, cuyo producto de sgos es postvo. S = ], 0 [ ], + [ o cluye los límtes de los tervalos porque la desgualdad es estrcta. Ejemplo 5 Resuelve la sguete ecuacó racoal: x + 4 x Solucó: 1 Es muy bueo observar desde ya, que x = o puede formar parte del cojuto solucó, debdo a que produce ua dvsó por cero y la dvsó por cero o está defda e el cojuto de los úmeros reales. Para car la factorzacó realza; x El lado zquerdo debe quedar como ua expresó racoal x ( x + 4) ( x ) y e el lado derecho solo debe aparecer el cero. 0 ; suma de x fraccoes. x ; smplfcado térmos semejates. x Se cosdera raíces los úmeros que hace cero, el umerador y el deomador: x = 6 y x =. El aálss del cuadro requere que tú recuerdes las leyes de los sgos para la dvsó : 6 + ( x + 6 ) + + ( x ) + x + 6 x + + Puto de apoyo + + = + = + ; ; + = ; + = La solucó está dada por el tervalo cuya dvsó de sgos es egatva. S = [ 6, [ Por qué o se cluye el úmero? 78 Matemátca - Prmer Año

25 Se trata, al gual que e las desgualdades leales, de represetar e la recta real, el cojuto solucó. 3 Represeta e la recta real la solucó de las sguetes desgualdades. a) 3x + 13x b) x > 4x c) Ejemplo 6 3x 1 x + Actvdad Los lados de u cuadrado de logtud x se extede para formar u rectágulo. U lado se extede cm, y el otro 5 cm. S el área del rectágulo resultate es meor de 130 cm, cuáles so las posbles logtudes de u lado del cuadrado orgal? Gráfca de las desgualdades cuadrátcas Solucó: Observa lo que dce el problema: s x es la logtud del lado del cuadrado, etoces ( x + ) es el acho del rectágulo que se forma y, ( x + 5 ) es su largo. E cosecueca, el producto de los polomos: ( x + )( x + 5 ) es ua expresó algebraca para el área del rectágulo. + ( x + 15 ) + + ( x 8 ) + ( x + 15 )( x 8 ) + + De acuerdo a la formacó que tees, ( x + )( x + 5 ) < 130, es la desgualdad que debes resolver. ( x + )( x + 5 ) < 130; x + 7x < 0; x + 7x 10 < 0 Factorzado se tee ( x + 15 )( x 8 ) < 0. Las raíces para elaborar el cuadro de varacó so: x = 15 y x = 8. De acuerdo al cuadro, la desgualdad es meor que cero e el tervalo ] 15, 8 [, pero cudado! esa o es la solucó del problema, porque gú rectágulo tee lados de logtud egatva. Las posbles logtudes está e S = ] 0, 8 [ Susttuye alguos valores del cojuto solucó e la desgualdad ( x + )( x + 5 ) < 130, para que compruebes s se cumple las codcoes del problema. Resume E esta leccó has apreddo a resolver desgualdades cuadrátcas empleado, fudametalmete, el cuadro de varacó. Para su correcta aplcacó debes segur los pasos que se te ha sugerdo: Factorza Halla las raíces Elabora el cuadro Emplea las leyes de los sgos Idetfca la solucó Has aalzado també alguas desgualdades polomales (de grado mayor que ) y las desgualdades racoales; cocluyedo que el método del cuadro de varacó es gualmete aplcable. Prmer Año - Matemátca 79

26 1 S realzar gú cálculo, aalza cuál de las sguetes desgualdades cuadrátcas o tee solucó. ( supó que x R ) a) x + 1 > 0 x b) 4 < 0 c) ( x 3) > 0 d) 3x > 0 La solucó de la desgualdad x 4x + 1 es: a) [, 6 ] b) ], [ c) [ 4, 1 ] d) [ 6,+ [ 3 4 La solucó de la desgualdad Autocomprobacó Para resolver la desgualdad racoal x ( x 3) ( x ) 0 x 1 Cuátos tervalos dferetes debe colocarse e el cuadro de varacó? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 a) { x / x < } b) { x / x > 1} c) ], 1 ] d), 1, x 1 x + ] [ [ + [ 0, es: 1. b.. a. 3. c. 4. d. MATEMÁTICA: CIENCIA DE DESCUBRIMIENTO Solucoes Thomas Harrot. (Oxford, 1560 Lodres, de julo de 161) fue u astróomo, matemátco, etógrafo y traductor glés. Fue el creador de varos símbolos y otacoes empleados e álgebra usados hasta ahora, como los símbolos > (mayor que) y < (meor que) Qué te parece s le poes pesameto a lo sguete: Las potecas coserva el orde? S a < b, es a < b? S a < b, es a 3 < b 3? Verfca co úmeros, tato postvos como egatvos y trata de ver s es posble r geerado ua regla de comportameto. S a < b, es a < b? Es u reto. Pero tú puedes descubrr y aalzar. Thomas Harrot 80 Matemátca - Prmer Año

27 Cuarta Udad Leccó 4 Motvacó Meddas de dspersó de los datos Dos comercates dedcados a la veta de pescado regstra ua veta e lbras, durate 9 días así: Vededor A: 47, 45, 46, 49, 48, 46, 47, 48, 47 Vededor B: 44, 47, 50, 57, 37, 44, 47, 50, 47 Al observar los datos, Podrías determar cuátas lbras de pescado debe teer lsto de promedo daramete cada vededor? Idcadores de logro Iterpretarás, explcarás y valorarás el uso, utldad e mportaca de las meddas de dspersó. Calcularás, co segurdad, la desvacó meda de u cojuto de datos. La meda artmétca es el puto de equlbro de los datos. S colocas u grupo de ños del msmo peso sobre la barra de u sube y baja, por ejemplo dos de u lado y uo del otro; la úca maera de mateerlos e equlbro cosste e colocar a los ños, a dstacas apropadas respecto del puto de apoyo del sube y baja. Solo así el puto de apoyo se coverte e puto de equlbro. Al calcular la meda artmétca hacemos e realdad el proceso al revés, lo que ecotramos es el lugar que debe ocupar el puto de apoyo para equlbrar los pesos. S se coloca 5 lbros de gual peso e ua barra de madera graduada a las dstacas, 8, 6, 5 y 9. El puto de equlbro debe colocarse e: P = = 6 5 Aalcemos la dspersó de los datos Aplcarás la desvacó meda e la resolucó de problemas. Resolverás problemas de aplcacó de la varaza co segurdad. La dstaca que separa a u determado valor de su respectva meda se le llama desvío. ( 6 ), ( 8 6 ), so desvíos respecto de la meda x = Dada ua muestra de observacoes { x 1, x, x 3,...,x } el desvío se expresa ( X X ). X = dato, X = meda artmétca. El aálss de las desvacoes de todas las observacoes, respecto de su propa meda artmétca es el camo que permte obteer, como veremos e esta y las sguetes leccoes, las meddas de varabldad más usuales e el aálss descrptvo de datos. X Prmer Año - Matemátca 81

28 S los desvíos so muy grades o resulta muy dfícl deducr que los datos está muy alejados de su respectva meda y que, e cosecueca, se ecuetra muy dspersos. Por el cotraro, s todos los desvíos so pequeños deducmos que los datos está más cocetrados alrededor de su meda. La suma de todos los desvíos, es gual a cero; como vemos e el sguete ejemplo. Ejemplo 1 Dada la sere de valores de la muestra {, 8, 5, 9, 6 } comprueba que la suma de todas las desvacoes respecto de la meda es gual a cero. Solucó: Ya sabemos que la meda de estos datos es X = 6. x = 1 x = 30 = 5 = 6 ( x - x ) = ( 1 ) = 0 = 1 Puto de apoyo X Como X = = 1 de aqu: X = X = 1 Es evdete que la suma de los desvíos o es ua expresó útl para lo que adamos tetado, es decr, ecotrar ua fórmula que os permta calcular ua medda de la varabldad de los datos de ua muestra o de ua poblacó. Hay dos camos a segur co uestros desvíos: a) Covertr todos los desvíos e úmeros postvos, esto es tomar el valor absoluto de los desvíos. X X b) Elevar al cuadrado todos los desvíos ( X X ), co lo cual se vuelve postvos. Estos dos camos propuestos coduce a dos meddas de varabldad de los datos, muy empleadas: la desvacó meda y la varaza. La coclusó ateror es verdadera para cualquer cojuto de datos, como puedes ver a cotuacó. ( x x ) = x x = 1 = 1 = 1 = x x = 1 = x X X X 6 = = = = = ( ) x = 0 se dstrbuye la sumatora x se repte veces 8 Matemátca - Prmer Año

29 Por qué es mportate estudar la varabldad? Hay al meos dos razoes para ello: La prmera es que le agrega cofaza a la meda artmétca como medda de tedeca cetral. S la desvacó es pequeña, la meda se cosdera que represeta mejor al cojuto de valores, (recuerda que ua de las desvetajas de la meda artmétca es que se ve muy fluecada por valores extremos). La seguda razó es que s se tee dos cojutos de datos que posee medas artmétcas guales o muy parecdas, el aálss de la varabldad permte aprecar el grado de dspersó; y ua vez más, señalar para cuál cojuto de valores su meda gaa represetatvdad. Ejemplo La catdad de lbras de pescado veddas cada día, durate 9 días, por dos comercates de ese producto fuero regstradas así: Vededor A: 47, 45, 46, 49, 48, 46, 47, 48, 47 Vededor B: 44, 47, 50, 57, 37, 44, 47, 50, 47 Determa la ampltud de las vetas e lbras para ambos vededores y cometa los resultados. Solucó: Ampltud de A = = 4 lbras Ampltud de B = = 0 lbras Qué puedes terpretar a partr de la formacó obteda? S las vetas se comporta sempre de la msma maera, el vededor A o tee muchos problemas para defr la catdad de producto que debe pedr a daro, ya que sus vetas está detro de ua ampltud muy pequeña (4 lbs). El vededor B, e cambo, puede teer algua dfcultad, puesto que el recorrdo de la varable úmero de lbras veddas es demasado amplo (0 lbs). Es bueo recordarte que e estadístca, el aálss descrptvo de los datos es muy mportate: Qué coclusoes relevates puedes sacar?, Qué cometaros mportates puedes hacer? Ampltud o recorrdo de la varable La ampltud es la medda de dspersó más smple. Se trata de hallar la logtud del tervalo que va del meor valor observado al mayor valor observado. Ampltud = mayor valor meor valor e símbolos: A = M m Auque es muy fácl de calcular y compreder, costtuye ua prmera medda de la dspersó de los datos que permte hacer comparacoes cales de maera rápda. Prmer Año - Matemátca 83

30 1 Actvdad Los geeros que cotrola la caldad e los procesos dustrales utlza el cocepto de ampltud co el propósto de defr tervalos de aceptacó para u producto termado. E u proceso de lleado de botellas co certo líqudo, se establecó que la produccó está bajo cotrol s la catdad de líqudo e las botellas se ecuetra etre certos límtes. Vamos a ver cómo se ecuetra esos límtes e el sguete proceso de cotrol. Se toma cuatro muestras de 5 botellas cada ua, a las 8 AM, 9 AM, 10 AM y 11 AM, y se regstra la catdad de líqudo. Lo datos so los sguetes: Hora 8 AM AM AM AM Calcula la meda artmétca y la ampltud para cada hora: Hora Meda Ampltud 8 AM 4 9 AM AM AM Calcula la meda de las medas 164 x = = 41 4 Calcula la meda de las ampltudes Ā = Ahora calcula los sguetes límtes del tervalo de cotrol. Límte feror: L = Ā = Límte superor L s = Ā = El tervalo de cotrol se costruye sumado y restado la mtad de Ā. E este mometo estás lsto para decdr e qué horas la produccó estuvo bajo cotrol o fuera de cotrol. Toma la meda correspodete a cada hora y observa s está fuera o detro del tervalo [ L, L s ]. S está detro, el proceso está bajo cotrol; s está fuera, el proceso está fuera de cotrol. Hubo alguas horas e que el proceso estuvo fuera de cotrol?, cuáles fuero? Vees de comprobar que el cotrol estadístco de caldad o es cosa del otro mudo y que descrptores ta smples de cálculo como la meda artmétca y la ampltud so los protagostas e las decsoes. Vamos a ver ahora ua medda de varabldad más elaborada y co mayores posbldades para el aálss. 84 Matemátca - Prmer Año

31 Desvacó meda o desvacó meda absoluta Es ua medda de varabldad mejor que la ampltud, ya que toma e cueta todos los datos para su cálculo. El procedmeto para obteerla cosste e calcular todos los valores absolutos de los desvíos X X y luego obteer la meda artmétca de esos valores. DM = DM = = N = x x 1, e ua muestra x x 1, e ua poblacó N Ejemplo 3 Calcula las desvacoes medas para los datos del ejemplo úmero, que se refere a la catdad de lbras de pescado daro que vede los comercates A y B. Iterpreta y cometa los resultados. Solucó: Te vto a que compruebes, e prcpo, que las medas artmétcas de las vetas de ambos comercates so guales, X A = 47 y X B = 47. Durate los 9 días ha veddo e promedo la msma catdad de lbras. Vededor A Vededor B X X X X X = DM B = 3 9 X X X X X = DM A = 8 9 Los datos del vededor A se desvía e meos de ua lbra respecto de la meda 47; e cambo las cfras del vededor B, se desvía más de 3 lbras y meda. Qué puedes terpretar de estos datos? Se puede decr que la meda artmétca del vededor A es más represetatva que la del vededor B. Nota que este resultado está dcedo lo msmo que la ampltud e el ejemplo. Prmer Año - Matemátca 85

32 La desvacó meda co datos agrupados Las fórmulas de cálculo se modfca u poco debdo a que se tee que volucrar a las frecuecas absolutas de cada clase y al puto medo o marca de clase. Los desvíos X X se etede como el valor de la marca de clase, meos la meda artmétca. Las fórmulas equvaletes so las sguetes: DM = DM = = N = x x f 1 e ua muestra e tamaño Ejemplo 4 x x f 1 e ua poblacó de tamaño N N Ua muestra de camoes que utlza combustble desel do los sguetes resultados de klómetros recorrdos por galó de combustble cosumdo. Calcula la desvacó meda de los recorrdos. Nº de klómetros Nº de camoes Solucó: Clase x f x f x X x X f Matemátca - Prmer Año

33 Puto de apoyo x f x f Para datos agrupados X = ó segú sea muestra o poblacó X = segú sea muestra o poblacó N Los valores X so el puto medo de la clase. El total de camoes e la muestra es La meda es: X = = La desvacó meda es DM = = klómetros por galó. No es ua dspersó muy grade a pesar de que el acho de clase de la últma clase es más amplo. Actvdad Dez expertos clasfcaro u producto que se pretede sacar al mercado e ua escala de 1 a 50. Sus calfcacoes fuero: 34, 35, 41, 8, 6, 9, 3, 36, 38, 40. a) Cuál es la ampltud de las calfcacoes? b) Cuál es la meda artmétca? c) Calcule la desvacó meda e terprete el resultado? d) U segudo grupo de expertos calfcó el msmo producto. La ampltud fue 8, la meda 33.9 y la desvacó meda 1.9. Compara estas calfcacoes co las del prmer grupo. qué cocluyes? Resume E esta leccó has apreddo a calcular dos meddas de tedeca cetral y a utlzar sus fórmulas tato para ua sere smple como para ua sere agrupada e clase y frecuecas. Pero quzá lo más mportate ha sdo el saber terpretar e que cosste la varabldad de los datos y cómo esta dspersó fluye e la meda artmétca. Te habrás dado cueta que los desvíos respecto de la meda artmétca so el elemeto clave para la costruccó de las meddas de varabldad. Esto quedará más evdecado e las sguetes leccoes dode estudarás otras meddas de dspersó tales como la varaza y la desvacó estádar. Prmer Año - Matemátca 87

34 Autocomprobacó 1 El úmero de mutos que se tardaro 10 persoas e stalar u dspostvo electróco se da e la sguete lsta: 8, 3, 4, 46, 44, 40, 54, 38, 3 y 4. Seleccoa co respecto a estos datos la respuesta correcta. a) Para la meda artmétca que proporcoa los datos la suma de los 10 desvíos o se aula. b) La meda es 30. c) La ampltud es 30 d) La desvacó meda es El úmero de días que 8 empleados de ua empresa faltaro a su trabajo, por efermedad, durate los últmos 6 meses fuero los sguetes:, 0, 6, 3, 10, 4,1,. Cuál es el valor de la ampltud y la meda artmétca? a) 10 y 10 c) 10 y 3.5 b) 9 y 3.5 d) 9 y 4 Ua muestra de datos tee ua desvacó meda DM = 5, s se suma ua msma catdad B a cada uo de los datos, etoces: a) La desvacó meda cotua sedo gual a 5 b) La ampltud aumeta e ua catdad B c) La meda de los datos o camba d) Los desvíos se vuelve más amplos Solucoes 1. c.. c. 3. a. EL ORIGEN DE x f Cosdera la fórmula X = La letra grega sgma mayúscula que se utlza e las fórmulas estadístcas se debe a Euler, que empezó a usarla e 1755 co estas palabras "summam dcabmus sgo". E el alfabeto grego sgma es la letra s equvalete a la 's' de suma. Los gregos pusero el ombre de sgma a esta letra y la graro 90º, fue as como adquro la forma parecda al úmero 3, auque este co el paso del tempo perdó la prmtva agulosdad. 88 Matemátca - Prmer Año

35 Cuarta Udad Leccó 5 Motvacó varaza Las calfcacoes obtedas por los asstetes a u curso de capactacó de Leguaje dvddo e dos seccoes so las sguetes: Seccó A: 10, 5, 9, 10, 6 Seccó B: 9, 7, 8, 10, 6 S te adelato que cada grupo tee la msma meda artmétca, E cuál de las seccoes exste mayor varabldad? Idcadores de logro Vste e la leccó ateror, que u camo para salvar el problema de la aulacó de la suma de los desvíos co respecto a la meda: ( x x ) = 0 Cosstía e elevar al cuadrado todos los desvíos, co el propósto que se covrtera e úmeros postvos. S a cotuacó realza la suma de todos los desvíos cuadrátcos para todas las observacoes: ( x x ) Defrás, dferecarás, deotarás y explcarás, co clardad, la varaza poblacoal y la varaza muestral. Calcularás, co segurdad, la varaza poblacoal y la varaza muestral para datos o agrupados y agrupados. Puedes coclur, tutvamete, que la suma será u valor grade, s los desvíos so grades; y será u valor pequeño, s los desvíos so pequeños. Resolverás problemas de aplcacó de la varaza, co segurdad. Varaza poblacoal y varaza de la muestra El razoameto que se ha hecho de hacer es el que te permte costrur y defr ua de las meddas de varabldad, quzá la más mportate del aálss descrptvo de datos. S {X 1, X, X 3,..., XN}, costtuye ua poblacó de N meddas, la varaza de la poblacó o es más que la meda artmétca de todos los desvíos cuadrátcos. σ = N ( x µ ) = 1 N Prmer Año - Matemátca 89

36 La letra grega σ ( que se lee sgma cuadrado ) deota la varaza poblacoal y la letra ( que se lee mu ) smbolza la meda artmétca poblacoal. S { X 1, X, X 3,..., X }, costtuye ua muestra de meddas de ua poblacó, la varaza de la muestra es gual a la suma de todos los desvíos cuadrátcos, dvdda etre ( 1 ) ( x x ) = 1 s =, s smbolza la varaza muestral. Observa que e la fórmula 1 para la muestra se dvde etre ( 1 ) y o etre, que es el tamaño de la muestra. E Estadístca, la pretesó es que la medda descrptva (meda artmétca, varaza,..) calculada e ua muestra de ua poblacó, sea lo más cercaa posble a la medda equvalete e la poblacó. S la varaza se calcula dvdedo etre y o etre ( 1 ), el valor de s resulta más pequeño y tee meos posbldades de parecerse a σ. Ejemplo 1 El gerete de ua empresa de almetos desea saber que tato varía los pesos de las bolsas de cereal ( e gramos ), que empaca e ua determada presetacó. Decde para ello tomar al azar ua muestra de 5 bolsas y pesarlas. Las meddas obtedas e gramos fuero las sguetes: { 490, 500, 510, 515 y 50 }. Calcula la varaza muestral. Solucó Prmero debes calcular la meda X = = = Luego debes utlzar la fórmula para la muestra: ( x x ) = 1 s = 1 Los cálculos so los sguetes: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) s = ( 5 1) ( 17 ) + ( 7 ) + ( 3) + ( 8 ) + ( 13 ) s = = Matemátca - Prmer Año