ESTADÍSTICA I UNIDAD I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 ESTADÍSTICA I UNIDAD I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

2 3.5 Ojvas Este tpo de represetacó gráfca se costruye a partr de las frecuecas acumuladas (absolutas o relatvas) para varables cotuas o dscretas, co muchos valores observados de la varable y cuyo vel de medcó sea al meos de tervalos (es decr, de tervalos y razó). La Ojva permte represetar las frecuecas absolutas, relatvas y porcetajes acumulados, para ello se toma los límtes superores de cada tervalo y luego se grafca las frecuecas acumuladas. Cosderemos uevamete la formacó del Ejemplo Nº 3, e dode se utlza ua varable de razó cotua, co muchas observacoes, que es el caso de la dstrbucó de ota e la asgatura de Estadístca I, para el sttuto profesoal IPLACEX, prmer semestre del 005. Ejemplo Nº13 Tabla Nº 16: Dstrbucó de las Notas e Estadístca I, Isttuto Profesoal IPLACEX Prmer Semestre 005 Notas (Itervalos) p N P 100* p 1,0-3,0 * % 3,0-4, % 4,0-5, % 5,0-6, % 6,0-7, % Total % Gráfco Nº 9: Ojva - Dstrbucó de Frecueca Acumulada N Para el prmer tervalo la Frecueca Acumulada es de 5 (Nj), co límte superor 3, ,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 Nota

3 S e la represetacó gráfca ateror, la ojva de la frecueca acumulada de las otas del curso de Estadístca I, se desea coocer cuátos alumos tee ua ota feror a 4,5, se debe trazar ua recta vertcal a partr de la ota 4,5 hasta la ojva, y desde este puto ua recta horzotal hasta la frecueca acumulada o porcetaje. La lectura de ese valor os da la frecueca o porcetaje acumulado, que correspode a los alumos co otas ferores a 4,5. Es mportate mecoar que, ua ojva puede costrurse s mportar que los tervalos sea de ampltud desgual, o ocurre lo msmo co el hstograma. 3.6 Gráfcos de Tallo y Hoja Ua alteratva para represetar las frecuecas de varables dscretas y co u vel de medcó de tervalos, es usar u gráfco de tallo y hoja que permte grafcar (a modo de tabulacó) la formacó, pero mateedo el detalle orgal de los datos. Este tpo de gráfcos, de tallo y hoja, so la prmera aproxmacó a las represetacoes gráfca de la formacó geerada por los datos, además de es fácl de utlzar. Para ordear los datos se hace la separacó de los dígtos cales (tallo) y el últmo dígto (hoja). E el ejemplo ateror, dode se mde la estatura de 0 fucoaros, los dos dígtos cales puede ser los dos prmeros que se deoma tallos y el tercero se cooce como hoja. E la prmera se ubca los dígtos cales y e la seguda el tercero. Realce ejerccos Nº 1 al 18 Ejemplo Nº 14 Supógase que se tee la estatura de 0 fucoaros de ua empresa, meddo e cetímetros Gráfco Nº 10: Gráfco de Tallo y Hoja - Dstrbucó de los Fucoaros del Dpto. de Fazas, segú Estatura 3

4 Tallo Hoja 14 * * * * Dagrama de Dspersó Esta represetacó gráfca se usa para estudar la posble asocacó etre dos varables dscretas o cotuas, cuyo vel de medcó es de al meos de tervalo (tervalo y razó, o se utlza para varables omales u ordales). E este tpo de gráfco las observacoes se represeta e coordeadas cartesaas, obteédose ua ube de putos e el plao, deomado dagrama de dspersó o gráfco de correlacó. Ejemplo Nº 15 Se dspoe de la sguete formacó sobre la estatura (e cetímetros) de 10 pares de famlares. X(Estatura del Padre) Y(Estatura hjo mayor)

5 Gráfco Nº 11: Dagrama de Dspersó - Asocacó etre la Varable Estatura de Padres e Hjos x x x x x x x x x x MEDIDAS DE RESUMEN Como su ombre lo dca, las meddas de resume, e estadístca descrptva, busca resumr la formacó coteda e ua dstrbucó de frecuecas e u úco valor. Las meddas de resume, se puede clasfcar e tres grades grupos: Meddas de Poscó Meddas de Dspersó Meddas de Forma 4.1 Meddas de Poscó Este tpo de meddas de resume tee por faldad resumr toda la formacó e u solo valor, que represeta ua poscó determada detro de la dstrbucó que esta sedo aalzada. Las meddas de poscó a su vez se puede dvdr e subgrupos: Las meddas de tedeca cetral. Las meddas que o so de tedeca cetral. 5

6 4.1.1 Meddas de Tedeca Cetral Este prmer tpo de medda, como se atcpo, correspode a ua medda de poscó, a la que també se le deoma promedos. La aturaleza de este tpo de meddas es tal que, s hubese que represetar la sere estadístca o poblacó por u úco dcador, las meddas de poscó, e partcular, las de Tedeca Cetral so los dcadores más adecuados para ello, ya que so los que proporcoa u máxmo de formacó. Las Meddas de Tedeca Cetral busca el cetro de la dstrbucó, es decr la poscó cetral de los datos. Exste dferetes meddas de tedeca cetral o promedos, atededo todos ellos a ua msma flosofía, pero co dferetes sstemas de aplcacó, etre los más utlzados se ecuetra la meda artmétca smple que, geeralmete, se deoma meda, la medaa y la moda. Exste otras, como la meda geométrca y la meda armóca, pero so de uso más especalzado, por lo que o será abordados e uestro estudo. A) Meda Artmétca Smple ( X ) Sea x ua varable secreta o cotua, cuyo vel de medcó es al meos de tervalos (escala de medcó de tervalo o razó), y sea x 1, x, x 3, x ; dode es el úmero total de valores de la varable, es decr, ua muestra de tamaño. Etoces, la meda artmétca smple se defe por la suma de todos los datos observados dvdda por el úmero total de valores de la varable (). x x 1 + x + x X + 1 x Dode: X : es la meda artmétca smple o meda. : es el sgo de sumatora, smbolza la suma de toda ua sere de úmeros, e este caso todos los valores que se observa de la varable. X : dca el valor de cada uo de los datos de la varable. : el úmero de datos total que cotempla la medcó. La defcó ateror, se refere al cálculo de la meda a partr de los datos orgales. S embargo, los datos a veces se ecuetra tabulados (agrupados e ua 6

7 tabla de dstrbucó de frecuecas). E este caso, la meda se calcula medate la sguete fórmula: X k 1 x k 1 p x Dode: X : es el valor de la varable, s ésta es dscreta, o marca de clase (puto medo del tervalo), s la varable es cotua y se ecuetra agrupada e tervalos. : es la frecueca absoluta correspodete a X k : es el úmero de valores dferetes de la varable dscreta o úmero de tervalos e que ha sdo agrupada ua varable cotua. Ejemplo Nº 16 Retomemos el ejemplo Nº 3, e dode se utlza ua varable de razó cotua, co muchas observacoes, que es el caso de la dstrbucó de ota e la asgatura de Estadístca I, para el sttuto profesoal IPLACEX, prmer semestre del 005. Tabla Nº 17: Dstrbucó de las Notas e Estadístca I, Isttuto Profesoal IPLACEX Notas (Itervalos) Prmer semestre 005 x Marca de Clase 1,0-3,0 * 5 3,0-4,0 15 3,5 4,0-5,0 0 4,5 5,0-6,0 6 5,5 6,0-7,0 4 6,5 Total 50 3,0 + 4,0 3,5 X X 7

8 4,3 putos de ota Por lo tato la meda es 4,. Propedades de la Meda Artmétca ) La suma algebraca de las desvacoes, de u cojuto de úmeros, de su meda artmétca es cero. 1 x X 0 ) S ua catdad de úmeros (f 1 ) tee ua meda m 1, otra catdad de úmeros (f ) tee ua meda m,..., así sucesvamete. Etoces, la meda de todos los cojutos de úmeros es: X f 1 m 1 + f m f f3 m 3 f + f f4 m f f 4 + f m ) Sea Y a + b x dode recorre desde el 1 al, tal que a y b so costates. Etoces, la fucó se puede expresar e térmos de su meda. Y a + b X v) La meda artmétca sempre se ecotrará etre el valor más pequeño y el más grade. X mí X máx X B) Meda Artmétca Poderada 8

9 E el cálculo de la meda artmétca smple cada observacó tee la msma poderacó, ahora be, e ocasoes os teresa dar ua poderacó dstta a cada observacó, debdo a que se les atrbuye ua mportaca dferete a cada dato. Luego, la meda artmétca poderada se defe como: X p 1 w w x w 0 Dode: X : es el valor de la varable, s ésta es dscreta; o marca de clase (puto medo del tervalo), s la varables es cotua y se ecuetra agrupada e tervalos. w : es la poderacó correspodete a X, que debe ser mayor que cero. : es el úmero de valores dferetes de la varable dscreta o úmero de tervalos e que ha sdo agrupada ua varable cotua. Ejemplo Nº 17 Supógase, que u alumo del Isttuto IPLACEX ha reddo 3 pruebas parcales e el curso de Estadístca, cada ua co dsttas poderacoes. Prueba Parcal 1 Parcal Exame Poderacó 30% 30% 40% Nota 4,0 5,0 6,0 La ota fal se obtee poderado las otas respectvas por su valor e porcetaje, lo que se cooce como meda artmétca poderada. X p 4,0*30 + 5*30 + 6,0* Por lo tato la ota fal es 5,1. Ejemplo Nº 18 9

10 El cálculo del Ídce de Precos al Cosumdor (IPC), es u ejemplo práctco para eteder la meda o promedo poderado, como el IPC busca represetar el costo de la vda se estma que los bees de cosumo masvo, debe teer ua gratfcacó dferete, desde el puto de vsta del presupuesto famlar. Por ello se asga ua poderacó mayor a bees como el pa, la locomocó, artículos escolares, etc. Metras que los bees de cosumo o masvo o sutuaros tee ua poderacó meor, pues se cosume meos. Por lo tato, el IPC se calcula medate la sguete fórmula: IPC 1 w w x w 0 Dode: X : es el preco del be. w : es la poderacó asgada al be. : es el úmero de bees de la caasta (cosumo famlar). C) Medaa (M e ) Este tpo de medda de tedeca cetral se puede calcular para todo tpo de varables excepto las omales. Es así, como e ua sere estadístca de ua varable cuattatva, cuyos resultados está ordeados e forma crecete, se llama medaa a aquel valor de la varable que tee gual úmero de resultados meor y mayores que él. Es decr, sea x ua varable co vel de medcó al meos ordal (ordal, tervalo y razó) y sea x 1, x, x 3, x ; observacoes de x, la medaa se defe como aquel valor de la varable que supera a o más del 50% de las observacoes y es superada por o más del 50% de las observacoes, cuado éstas ha sdo ordeadas segú su magtud. Por ejemplo, e la sere de valores

11 Valores meores Medaa valores mayores Exste dos métodos para calcular la medaa segú la presetacó de los datos, los que será abordados a cotuacó. ) Cálculo de la medaa para datos o agrupados 1 Para las observacoes que se ecuetra ordeadas e forma ascedete, es decr, para x 1 x x 3 x ; podemos determar que la observacó x (+1) / es la observacó que se ecuetra e la poscó: ( + 1) Dado lo ateror, es posble expresar el cálculo de la medaa de la forma que sgue: x (+1) s es mpar M e x + x + 1 s es par 1 Datos o agrupados: o se preseta tabulados co tervalos. 11

12 Ejemplo Nº 19 Supógase que se tee los sguetes datos sobre la temperatura (e grados Celsus) máxma e la cudad de Racagua, durate la prmera semaa de eero de 005. Calcular la Medaa 0,3 18,9 1,3 19, 18,0,5 19,5 Prmero, se debe ordear los datos: 18 18,9 19, 19,5 0,3 1,3, Segudo, es mpar, por lo tato: M e + 4 X ( + 1) X ( 7 1) X Que pasa s dspoemos de la temperatura de u día más? Se tee: 0,3 18,9 1,3 19, 18,0,5 19, Calcular la Medaa Prmero, se debe ordear los datos: 18 18,9 19, 19,5 19,8 0,3 1,3, Segudo, es par, por lo tato: X X ( ) + 1 X 4 5 M e + X

13 Cabe señalar que cuado a es par, cualquer valor compreddo etre X + X ( ) + 1, satsface la defcó de la medaa. Ejemplo Nº 0 Realcemos u ejemplo co ua varable ordal, supogamos que teemos la jerarquía de 7 profesores del departameto de Estadístca: Profesor 1 Profesor Profesor 3 Profesor 4 Profesor 5 Profesor 6 Profesor 7 Asstete Asocado Asocado Asstete Ttular Asocado Ttular Prmero, se debe ordear los datos de la varable ordal jerarquía, de acuerdo a grado jerárquco de mayor a meor. Profesor 1 Profesor Profesor 3 Profesor 4 Profesor 5 Profesor 6 Profesor 7 Asstete Asstete Asocado Asocado Asocado Ttular Ttular M e ) Cálculo de la medaa para datos agrupados E el caso de varables cotuas, e dode los datos observados se ecuetra agrupados e ua tabla de dstrbucó de frecuecas, etoces para calcular la M e, prmero se debe determar el tervalo e que ésta se ecuetra y después se ubca la M e detro del tervalo, para lo cual se utlza u procedmeto de terpolacó leal. Sea etoces X 1 - X el tervalo que cotee la medaa, para lo que debe cumplr la sguete codcó: Datos Agrupados: cuado los datos se preseta tabulados e tervalos. 13

14 N 1 N La fórmula del cálculo de la medaa para datos agrupados, puede ser expresada e térmos de frecueca relatva, a saber: M e x ( N ) / 1 / a Dode: X 1 : es el límte feror del tervalo que cotee a la medaa. : úmero de observacoes de la varable. : frecueca observada del tervalo que cotee a la medaa. N 1 : frecueca acumulada observada del tervalo ateror al tervalo que cotee a la medaa. a : es la ampltud del tervalo que cotee la medaa. Ejemplo Nº 1 Retomemos el Ejemplo Nº 3, e dode se utlza ua varable de razó cotua, co muchas observacoes, que es el caso de la dstrbucó de ota e la asgatura de Estadístca I, para el sttuto profesoal IPLACEX, prmer semestre del

15 Tabla Nº 18: Dstrbucó de las Notas e Estadístca I, Isttuto Profesoal IPLACEX Itervalo que cotee a la medaa. 50 por lo tato / 5 Es e este tervalo dode se ecuetra el dato observado úmero 5. Notas (Itervalos) Prmer semestre 005 Frec. Relatva N Frec. Relatva Acumulada 1,0-3,0 * 5 5 3,0-4, ,0-5, ,0-6, ,0-7, Total 50 N 1 N M e x ( N ) / 1 / a La ampltud del tervalo que cotee la meda es 1 Se reemplaza los datos e la fórmula: M e / 50 / 50 1 M e M e M e D) La Moda (M o ) La moda se defe como aquel valor de la varable que ocurre co más frecueca. Esta medda de tedeca cetral se puede calcular para cualquer tpo de varable, de 15

16 hecho es la úca medda de tedeca cetral que se puede calcular para varables omales. E el caso que los datos se ecuetre agrupados e tablas de dstrbucó de frecuecas y los tervalos costrudos so de gual ampltud etoces, la moda se puede calcular medate la sguete fórmula: M x 1 + a Dode: X 1 : es el límte feror del tervalo que cotee a la moda. 1 : dfereca etre la frecueca del tervalo modal y la frecueca del tervalo ateror al modal. : dfereca etre la frecueca del tervalo modal y la frecueca del tervalo sguete al modal. a : es la ampltud del tervalo modal, es gual para todos los tervalos. Ejemplo Nº Las cuotas mesuales de 0 faceras para u crédto de $ , a pagar e u plazo de 1 meses, so las sguetes: Se pde: a) Calcular la Moda de los datos o agrupados b) Calcular la Moda para los datos agrupados Para los datos o agrupados, la moda es el valor de la varable que más se repte. M o

17 Como se ha mecoado ateror, cuado los datos se ecuetra agrupados, la moda se calcula utlzado la sguete formula: M x 1 + a Tabla Nº 19: Dstrbucó de las Cuotas, Préstamo de $ por u Año Satago, 005 Cuotas N (Itervalos) Es la dfereca etre la frecueca ( ) modal y la frecueca del tervalo ateror al modal. (6-0 6) Itervalo Modal M M o Es la dfereca etre la frecueca ( ) modal y la frecueca del tervalo sguete al modal. (6-3 3) M o M o aprox. Cabe señalar, que esta medda de tedeca cetral preseta el coveete de que o sempre exste o be que puede exstr más de ua moda, como se muestra e los sguetes gráfcos de dstrbucó de datos: 17

18 Gráfco Nº 1: Gráfcos de Dstrbucó Umodal, Bmodal y Uforme a) Dstrbucó Umodal b) Dstrbucó Bmodal M o M o M o No exste Moda c) Dstrbucó Uforme Realce ejerccos Nº 19 al 5 Comparacó etre la Meda, Medaa y Moda La comparacó etre las tres meddas de tedeca cetral permte estudar la exsteca de ua posble asmetría e ua dstrbucó de los datos. Dado lo ateror, observe la relacó que se preseta etre estas meddas e los sguetes gráfcos. La lustracó del Gráfco Nº 13, os muestra la coveeca de usar la meda ( X ) como medda de tedeca cetral cuado la dstrbucó preseta mucha asmetría. Esto se debe a que la meda se puede ver fuertemete fluecada por uos pocos valores extremos. 18

19 Gráfco Nº 13: Comparacó Meddas de Tedeca Cetral a) Dstrbucó Smétrca b) Dstrbucó Asmétrca Postva p p X M o M e M o M e X p X M e M o X M e M o c) Dstrbucó Asmétrca Negatva 4.1. Meddas de Poscó y o de Tedeca Cetral Las meddas de poscó que o so de tedeca cetral, so coocdas també como Meddas de Orde, las cuales puede ser calculadas para todo tpo de varable, excepto las omales. Cuado los dferetes valores que puede tomar ua varable so meddas co al meos ua escala ordal (ordal, tervalo y de razó) y la medaa del cojuto de datos observados es el cetro de la dstrbucó de frecuecas acumuladas correspodete; es posble calcular estas meddas de poscó o de orde. ) Percetles Sea x ua varable, cuyo vel de medcó es al meos ordal etoces el percetl p, que se deotará como P p, se defe como aquel valor de la varable que supera a o más del p% de las observacoes y es superado por o más del (100 p)% de las observacoes, cuado estos ha sdo ordeados segú magtud. 19

20 S la varable es cotua y los datos está agrupados, etoces, medate u procedmeto aálogo al utlzado e el cálculo de la medaa, se llega a la sguete fórmula: P p ( p )/ 100 ( N ) 1 x 1 + a O su equvalete: P p ( p )/ 100 ( P ) 1 x 1 + P a Dode: X 1 : es el límte feror del tervalo que cotee al percetl. : úmero de observacoes de la varable. : frecueca observada del tervalo que cotee al percetl. p : frecueca relatva observada del tervalo que cotee al percetl. N 1 : frecueca acumulada observada del tervalo ateror al tervalo que cotee al percetl. P 1 : frecueca relatva acumulada observada del tervalo ateror al tervalo que cotee al percetl. a : es la ampltud del tervalo que cotee al percetl. Dada la sguete sere de valores: Ejemplo Nº

21 Se pde: a) Determar el percetl 55 P 55 b) Determar el percetl 30 P 30 Percetl 50 es aquel valor de la varable que supera a o más del 55% de las observacoes y es superado por o más del 45% (100 p) de las observacoes. Es decr: P % 45% A modo de ejercco, determe el percetl 30 (P 30 13) ) Cuartles Los cuartles o so más que los percetles 5, 50 y 75, que recbe el ombre de cuartles 1, y 3. A cotuacó, se preseta su deotacó: Q 1 P 5 Q P 50 M e Q 3 P Meddas de Dspersó Busca resumr la formacó coteda e ua tabla, pero a dfereca de poscó e geeral, que busca ua determada poscó e la dstrbucó, las meddas de dspersó busca complemetar la formacó aportada por otras meddas de dspersó para dar cueta de la varabldad o dspersó, exstete e los datos. 1

22 Esta varabldad o es dscerble a través del cálculo de algua medda de poscó, de hecho como se apreca e el grafco Nº 14, o es posble comparar o descrbr dstrbucoes e base a ua medda de poscó solamete. Gráfco Nº 14: Gráfcos Comparatvos de Meddas de Tedeca Cetral A C B X A X B X C E el Gráfco Nº14, podemos observar claramete que las dstrbucoes de las frecuecas A y B tee gual meda, pero B preseta mayor dspersó de los datos que A. Por otra parte, las dstrbucoes A y C preseta gual dspersó 3 de los datos, pero dfere e la meda, medaa y moda. Etre las meddas de dspersó que abordaremos e uestro estudo se ecuetra: el rago, la ampltud tercuartílca, la desvacó estádar, la varaza, el coefcete de varacó y la razó tercuatílca. ) El Rago o Recorrdo Auque, es ua medda mperfecta de la dspersó de los datos, se recooce como la dfereca etre el mayor y el meor de los valores de la varable. E efecto, s se acepta ua dstrbucó uforme para dchos valores parece ua medda razoable. Sea x ua varable de vel de tervalo o superor (tervalar o de razó), para datos o agrupados, el rago se defe como la dfereca etre el valor máxmo (X máx ) y el valor mímo de la varable (X mí ). RANGO (X) X máx - X mí 3 La Dspersó de los datos es la varabldad, dspardad o esparcmeto mutuo de los datos observados.

23 E el caso de datos agrupados, el rago se defe como el límte feror del prmer tervalo (X 0 ) y el límte superor del últmo tervalo (X k ). Dode K es el úmero de tervalos. RANGO (X) X K - X 0 A pesar de la secllez utlzada e el cálculo de esta medda de dspersó, se debe señalar, que o es ua medda muy cofable, ya que se basa sólo e dos valores. Los prcpales defectos de esta medda de dspersó so: a) Posee ua total depedeca de los valores extremos de la sere, sedo por tato, muy sesble a las varacoes que se produce e los datos de ua muestra a otra. b) Al o teer e cueta los valores termedos de la varable, el recorrdo dce poco acerca de la dspersó de ellos, pues o es fácl aceptar que los datos se dstrbuya uformemete etre los valores extremos. c) No es posble su aplcacó e los casos e que alguo de los valores, máxmo o mímo, como ocurre e ocasoes, quede determado. Por ejemplo, e el estudo de la varable catdad de hjos por famla el últmo tervalo puede estar defdo por 1 o más, es este caso el límte superor del últmo tervalo o está defdo. Estos coveetes, poe de mafesto la ecesdad de cosderar otras meddas de dspersó de los datos que estamos aalzado. Ejemplo Nº 4 Retomado el ejemplo ateror, que expoe ua sere de valores: Se pde: a) Determar el Rago E el ejemplo, los datos o se ecuetra agrupados, por lo que utlzamos la fórmula: RANGO (X) X máx - X mí

24 El rago de esta sere de datos es 1, es decr, los datos se ecuetra dspersos e 1 udades de medda. ) La Ampltud Itercuatílca Cuado los valores próxmos al máxmo y al mímo de los datos de ua varable observada, está excesvamete alejados del resto, la cosderacó de u recorrdo más corto, prescdedo de u determado porcetaje de los datos más alejados, puede dar ua dea de la dspersó de los datos más acorde co la realdad que s se emplea la determacó del recorrdo como la expuesta aterormete. Esta dea coduce a la ocó de recorrdo tercuatílco, que se defe como la dfereca etre dos cuatles smétrcos e la sere ordeada de los valores de la varable. Sea x ua varable co u vel de medcó a lo meos de tervalo (tervalar o de razó), para la cual la ampltud tercuatílca, que se deota como AI, se defe como la dfereca etre el tercer cuartel y el prmero, y se preseta e la sguete fórmula: AI (X) Q 3 - Q 1 Gráfcamete se puede presetar esta medda de dspersó, como sgue: Gráfco Nº 15: Ampltud Itercuatílca 50 % 5 % 5 % Q 1 Q 3 Se recomeda usar la ampltud tercuatílca como medda de dspersó por sobre otras meddas de dspersó, cuado se ha usado la medaa como medda de tedeca cetral, ya que cuado los valores máxmo y mímo de los datos de ua sere 4

25 está excesvamete alejados del resto, es mejor utlzar u recorrdo más corto, prescdedo de u determado porcetaje de los datos más alejados; lo que permte etregar ua dea de dspersó del cojuto más acorde co la realdad. Ejemplo Nº 5 Retomado el ejemplo ateror, que expoe ua sere de valores: Se pde: b) Determar la ampltud tercuatílca E el ejemplo, los datos o se ecuetra agrupados, por lo que utlzamos la fórmula: AI (X) Q 3 - Q 1 P 75 - Q La ampltud tercuatílca de esta sere de datos es 1, es decr, los datos se ecuetra dspersos etre los cuatíles 3 y 1 e 1 udades de medda. ) La Varaza y la Desvacó Estádar La varaza es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes de los datos respectos a la meda. Se deota por S y se ecuetra defda por: S 1 x X 1 x X 5

26 Esta defcó de varaza es para ua varable cuyo vel de medcó es al meos de tervalo (tervalo y de razó), de datos o agrupados, y co observacoes de la varable. Cabe señalar, que es posble que alguos autores agregue al dvsor de esta expresó: el meos 1, es decr, e vez de aparece como u (-1). Lo ateror, correspode al procedmeto de ajustar la muestra a la poblacó. E el caso de que los datos se ecuetre agrupados e k tervalos, etoces la varaza se defe: S 1 x X 1 x X O su equvalete: S x X p 1 1 x p X Dode: X : es el puto medo (marca de clase) del -ésmo tervalo. : es la frecueca absoluta del -ésmo tervalo. p : es la frecueca relatva del -ésmo tervalo. La varaza es, como resulta de su defcó, u úmero o egatvo, y es ula cuado y sólo cuado (X - X) 0 para 1,,3,,k; es decr, cuado todos los valores de la varable (X ) so guales etre sí. E el caso de ua sere de datos observados que se represeta como ua costate (b) multplcada por la varable x, es decr, b * X, la varaza de defe como b * S. S (Y) b (S (x) ) 6

27 Debdo a la forma e que se defe la varaza (S ), la udad de medda de ésta, es la udad de medda de la varable x al cuadrado. Es decr, La varaza o vee expresada e las msmas udades de medda que la de los datos, salvo que se extraga su raíz cuadrada, (S ), obteedo así la más utlzada de las meddas de dspersó, llamada Desvacó Estádar, que se defe como: S (X) (S (x) ) La desvacó estádar posee la msma udad de medda, que la varable x. Para lo cual se recomeda utlzar esta medda de dspersó de los datos, cuado se utlce de la meda ( X ) como medda de tedeca cetral. v) El Coefcete de Varacó (CV) Las meddas de dspersó abordadas aterormete, o puede ser utlzadas para comparar la varabldad de los datos de varables co dferetes udades de medda. E estos casos, para comparar las dspersoes de dos grupos de observacoes, se ecesta meddas que resulte depedetes (relatvas) de la udad co que se mde los valores de cada varable. Estas meddas de dspersó que, como hemos atcpado aterormete, se deoma relatvas, se defe, e geeral, como el coefcete etre ua medda de dspersó absoluta (a excepcó de la varaza) y ua medda de tedeca cetral, que geeralmete es la meda o la medaa. El coefcete de varacó es ua medda relatva de dspersó de los datos, co respecto a la meda, y o depede de la udad de medda de la varable x. Se defe como: CV ( x ) S ( x X ) v) La Razó Itercuartílca Esta medda relatva de dspersó de los datos se cooce como Itervalo tercuartílco relatvo o razó tercuartl, se deota como RI (X) y se defe como el cocete etre el recorrdo tercuartílco y la medaa. Q 3 Q 1 RI ( x ) Q AI ( x ) M e 7

28 4.3 Meddas de Forma La prmera formacó acerca de las peculardades de forma de ua dstrbucó os la proporcoa la observacó del dagrama de barras o del hstograma, segú se trate de ua varable dscreta o cotua, la mera observacó gráfca de estas dstrbucoes poe de mafesto dferetes aspectos globales de las dstrbucoes. Por ejemplo, cuado e el gráfco hay u úco valor de la varable, al que correspode ua altura máxma, se trata de ua dstrbucó umodal. Las meddas de forma, como su ombre lo dce, tee por objeto caracterzar ua dstrbucó a través de la forma que ésta tee. Hay dos tpos de meddas de forma, las meddas de asmetría, que busca determar s la dstrbucó es smétrca o o; y las meddas de curtoss o aputameto, que busca medr el grado de aputameto o achatameto de la dstrbucó Meddas de Asmetría Ua dstrbucó es smétrca s tee gual frecueca los valores que está a gual dstaca de u puto fjo del recorrdo de la varable. Este puto fjo o es otro que la meda. Cuado la dstrbucó es smétrca, la meda deja por delate la msma catdad de observacoes que detrás de ella. Por tato, e estos casos la meda cocde co la medaa. Además, cuado la dstrbucó es umodal, las tres meddas de poscó, meda, medaa y moda, cocde. E las dstrbucoes smétrcas, las desvacoes de los valores a la zquerda de la meda so gualmete frecuetes que la de los valores a la derecha y, e cosecueca, o sólo el mometo de prmer orde, so todos los mometos cetrales de orde mpar so ulos. E el Gráfco Nº 16, se preseta los dferetes tpos de asmetría de la dstrbucó de los datos. 8

29 Gráfco Nº 16: Dstrbucoes Smétrcas y Asmétrcas p a) Dstrbucó Smétrca Campaforme p b) Dstrbucó Umodal, Campaforme y de Asmetría Postva X M o M e M o M e X p X M e M o c) Dstrbucó Umodal, Campaforme y de Asmetría Negatva La falta de asmetría orga que las meddas de tedeca cetral vega stuadas e poscoes dferetes. Dstgamos los dos casos sguetes: a) Los valores bajos de la varable so más frecuetes. E este caso, la correspodete represetacó gráfca represeta ua cola alargada haca la derecha, dcédose, etoces, que la asmetría es postva o que la dstrbucó está sesgada a la derecha (ver gráfco Nº 16 b). b) Los valores más frecuetes so los mayores de la varable. E este caso, la correspodete represetacó gráfca represeta ua cola alargada haca la zquerda, dcédose, etoces, que la asmetría es egatva o que la dstrbucó está sesgada a la zquerda (ver gráfco Nº 16 c). ) Asmetría de PEARSON U crtero para determar la smetría de ua dstrbucó es la medda de asmetría de PEARSON, la que se deota como A s y se defe: A s X M S ( x ) o 9

30 Dode: X : meda de x M o : moda de x S (X) : desvacó estádar de x Esta medda sólo se puede calcular para varables de vel de tervalo y razó. Ahora be, s la medda de asmetría de pearso es cero o aproxmada a cero (A s 0), la dstrbucó es smétrca. Para el caso, que la A s > 0, la dstrbucó de los datos preseta asmetría postva; caso cotraro, dode la A s < 0, la dstrbucó de los datos preseta asmetría egatva. Cabe señalar, que esta medda o depede de la udad de medcó de la varable orgal. ) Coefcete de Sesgo Es otra medda de asmetría, que para el caso de datos o agrupados, se defe como: a s 1 (X - X ) 3 / ( (X - X ) / ) 3 Para el caso de datos agrupados e k tervalos, etoces el coefcete de sesgo se defe como sgue: a s k 1 (X - X ) 3 / ( (X - X ) / ) 3 Dode: X : es el puto medo del tervalo o marca de clase. 30

31 K : el úmero de tervalos. : es la frecueca absoluta del -ésmo tervalo. Las cosderacoes realzadas para la medda de asmetría de PEARSON, so váldas para el coefcete de sesgo Meddas de Curtoss o Aputameto El aputameto o curtoss es el grado de achatameto o aflameto del polígoo o curva de frecuecas de ua dstrbucó umodal, es decr, la mayor o meor clacó de la curva de dstrbucó para valores próxmos a la moda. E otras palabras, la curtoss es u coefcete que mde el aputameto de ua dstrbucó de frecueca. Para datos o agrupados, se defe como: C k 1 (X - X ) 4 / ( (X - X ) / ) Para el caso de datos agrupados e k tervalos, etoces el grado de curtoss se defe como sgue: C k k 1 (X - X ) 4 / ( (X - X ) / ) Dode: X : es el puto medo del tervalo o marca de clase. K : el úmero de tervalos. : es la frecueca absoluta del -ésmo tervalo. 31

32 Esta medda sólo se puede calcular para varables de vel de tervalo y razó. El grado de curtoss, se defe usado como refereca el valor que se obtee para C k e el caso de ua dstrbucó ormal, que es gual a 3. Dado lo ateror, s la medda de curtoss es gual a tres o aproxmada a tres (C k 3), la dstrbucó es MESOCÚRTICA (curtoss termeda). Para el caso, que la C k > 3, se dce que la dstrbucó de los datos es LEPTOCÚRTICA (curtoss putaguda); caso cotraro, dode la C k < 3, la dstrbucó de los datos es PLATICÚRTICA (curtoss aplaada). Gráfco Nº 17: Dstrbucoes co Grado de Curtoss N Leptocúrtca C k > 3 Mesocúrtca C k 3 Platcúrtca C k < 3 Cabe señalar, que esta medda o depede de la udad de medcó de la varable orgal, es decr, es totalmete depedete de la udad de medda de la varable observada. Realce ejerccos Nº 6 al 30 3