CURSO PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS FMS175 PROFESOR RODOLFO TORO DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD NACIONAL ANDRES BELLO

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1 CURO PROBABILIDAD Y ETADITICA FM75 PROFEOR RODOLFO TORO DEPARTAMETO DE FIICA Y MATEMATICA UIVERIDAD ACIOAL ADRE BELLO

2 EL MÉTODO CIETÍFICO La Estadístca, costtuye así, ua dscpla cetífca extremadamete ampla y que puede ser coceptualzada desde efoques dferetes e cluso cotrapuestos. o es raro, por tato, que se haya propugado para ella dsttas defcoes que e el fodo, mplca dferetes vsoes sobre lo que costtuye la característca esecal de esta ceca como strumeto susttuble para grades empresaros, asgatura desprecable para muchos estudates y ua gra descoocda para todos, o cas todos. ETADÍTICA e ocupa de los métodos y procedmetos para recoger, clasfcar, resumr, hallar regulardades y aalzar los datos, sempre y cuado la varabldad e certdumbre sea ua causa tríseca de los msmos; así como de realzar ferecas a partr de ellos, co la faldad de ayudar a la toma de decsoes y e su caso formular predccoes. Estadístca descrptva: Descrbe, aalza y represeta u grupo de datos utlzado métodos umércos y gráfcos que resume y preseta la formacó coteda e ellos. Estadístca ferecal: Apoyádose e el cálculo de probabldades y a partr de datos muestrales, efectúa estmacoes, decsoes, predccoes u otras geeralzacoes sobre u cojuto mayor de datos. Que utlza la estadístca Campo de la vestgacó de las Cecas ocales: Medca, Bología, Pscología, Ecoomía, etc. Tpos de varables estadístcas Dscretas : Aquellas que toma valores aslados (úmeros aturales), y que o puede tomar gú valor termedo etre dos cosecutvos fjados, por ejemplo: úmero de goles marcados, úm. de hjos, umero de dscos comprados, úmero de pulsacoes. Cotuas : Aquellas que toma ftos valores (úmeros reales) e u tervalo dado, de forma que puede tomar cualquer valor termedo, al meos teórcamete, e su rago de varacó, por ejemplo: talla, peso, presó saguíea, temperatura. Tpos de Caracteres El carácter es, por tato ua cualdad o propedad herete e el dvduo. Cualtatvos : aquellos que so categórcos, pero o so umércos, por ejemplo color de los ojos, profesó, marca de auto. Ordales : aquellos que puede ordearse, pero o so umércos, por ejemplo: pregutas de ecuesta sobre el grado de satsfaccó de algo; mucho, poco, ada. Bueo, regular, malo. Cuattatvos : so umércos. Ejemplo: peso, talla, úmero de hjos, úmero de lbros leídos al mes.

3 TIPO DE GRÁFICO Represetacó de troco y hoja ejemplo que cotee las calfcacoes obtedas e ua prueba de matemátcas: Ahora pesaremos e cada uo de los datos separado las deceas de las udades, es decr, el úmero 5 se verá como 5. De esta maera las deceas se podrá e ua columa, e forma vertcal, y las udades a su derecha: Para etederle u poco más, hemos de decr que el prmer regló que dce quere decr que etre la lsta de datos se ecuetra los valores 6, 66 y 64. Esta es la represetacó gráfca troco y hoja, dode cada regló es ua poscó de troco y cada dígto de la derecha es ua hoja. Para las dstrbucoes de frecuecas la represetacó gráfca más comú es el hstograma. U tpo de gráfco muy parecdo al hstograma es la gráfca de columas. Es teresate observar que la escala horzotal o es cotua (es omal).

4 També es posble realzar gráfcas de barras horzotales Gráfcas de líeas, que cosste e ua sere de putos trazados e las terseccoes de las marcas de clase y las frecuecas de cada ua, uédose cosecutvamete co líeas líeas: Ua gráfca smlar al polígoo de frecuecas es la ojva, pero ésta se obtee de aplcar parcalmete la msma técca a ua dstrbucó acumulatva y de gual maera que éstas, exste las ojvas mayor que y las ojvas meor que.

5 Exste dos dferecas fudametales etre las ojvas y los polígoos de frecuecas (y por ésto la aplcacó de la técca es parcal): U extremo de la ojva o se "amarra" al eje horzotal, para la ojva mayor que sucede co el extremo zquerdo; para la ojva meor que, co el derecho. E el eje horzotal e lugar de colocar las marcas de clase se coloca las froteras de clase. Para el caso de la ojva mayor que es la frotera meor; para la ojva meor que, la mayor. Las sguetes so ejemplos de ojvas, a la zquerda la mayor que, a la derecha la meor que, utlzado los datos que se usaro para ejemplfcar el hstograma: La ojva mayor que (zquerda) se le deoma de esta maera porque vedo el puto que está sobre la frotera de clase "4:00" se ve las vstas que se realzaro e ua hora mayor que las 4:00 horas (e cuestoes temporales se dría: después de las 4:00 horas). De forma aáloga, e la ojva meor que la frecueca que se represeta e cada frotera de clase so el úmero de observacoes meores que la frotera señalada (e caso de tempos sería el úmero de observacoes ates de la hora que señala la frotera). se utlza ua dstrbucó porcetual acumulatva etoces se obtee ua ojva (mayor que o meor que segú sea el caso) cuyo eje vertcal tee ua escala que va del 0% al 00%. El sguete ejemplo es la msma ojva meor que que se acaba de usar, pero co ua dstrbucó porcetual: Cuado se pretede lustrar la dspersó de las observacoes realzadas, y así trabajar alguas cosas como correlacoes se puede utlzar ua gráfca de dspersó.

6 Tablas Estadístcas A partr de este mometo os vamos a ocupar de las estadístcas de ua sola varable, "Estadístcas Udmesoales". Las tablas estadístcas segú el úmero de observacoes y segú el recorrdo de la varable estadístca, así teemos los sguetes tpos de tablas estadístcas: Métodos de Agrupacó de Datos Puede utlzarse varas herrametas báscas para descrbr y resumr u cojuto grade de datos. La maera más smple, pero quzás la más sgfcatva, es la sere ordeada (3, 3, 35, 47...). Dstrbucó de frecuecas (o tabla de frecueca) : ordeará los datos s estos se dvde e clases y se regstrará el úmero de observacoes e cada clase. Tabla Udmesoal Varable Frecueca Frecueca Frec. obser. Frec. relatva absoluta relatva acumulada acumulada x f ó p F x f / F f x f / + F f + f x 3 3 f 3 3 / F 3 f + f + f x p p f p p / p F p

7 Itervalos de clase x - - x Marca de clases x x 0 - x x x - - x x x 3- - x 3 x x p- - x p x p Observe que cada clase tee u límte feror y u límte superor. Los valores exactos de estos límtes so muy mportates. los datos e ua tabla de frecueca so cotuos, es ecesaro permtr valores fraccoaros. El úmero de clases E ua tabla de frecueca es algo arbtraro, pero demasadas clases sería algo cofuso. e puede segur ua regla smple para determar el úmero de clase a utlzar. c La Marca de la clase e calcula como el promedo de los límtes superor e feror de dcha clase. + Y Itervalos de clase : Es el rago de valores ecotrados detro de ua clase. e determa restado el límte superor (o feror) de ua clase del límte feror (o superor) de la clase sguete. Es deseable que todos los tervalos de clase sea de gual tamaño, ya que faclta terpretacó estadístca. c max m º clases Las frecuecas Frecueca absoluta f Frecueca relatva 0 < f < f / Frecueca absoluta acumulada F Frecueca relatva acumulada j j- + j Fj Fj- + fj Ejemplo Ilustratvo Dstrbucó de los alumos del curso segú estatura e cm mí 5 cm. máx 87 cm Determar úmero de clases:

8 C > 0, despejado C 4.3 lo que mplca aproxmar a 5 clases. Determar el tervalo de clase: c cm. 5.Clase Itervalo de clase Marca clase F.Absoluta F.Absoluta Acumulada F. relatva F. Relatva Acumulada f F Y Tabulacó Bdmesoal. Tablas de Cotgeca x : vel de greso y : tpo de fabrca :,,..., k (fla) j:,,..., l (columa) Y j I Y Y Y Y L. x L. x L j x k k k kl K.. j L k j : Frecueca absoluta cojuta. : Frecueca absoluta margal de la varable. j : Frecueca absoluta margal de la varable Y : úmero total de observacoes, gual a la suma de las frecuecas absolutas cojutas f j j / : Frecueca relatva cojuta f. : Frec. relatva margal de la varable I f.. /. j : Frec.relatvamargaldelavarableY I f. j. j / L j k j ;. ;. j L j

9 Meddas de tedeca Cetral (poscó) y de Dspersó Medda de la tedeca cetral (meda) : ubca e detfca el puto alrededor del cual se cetra los datos. Meddas de dspersó : dca el puto hasta el cual las observacoes dvduales se esparce alrededor de su puto cetral. Mde la dspersó o la varabldad de los datos y refleja la tedeca de las observacoes dvduales a desvarse de dcho puto cetral. Característcas de los datos: meddas de resume descrptvas Las meddas de resume descrptvas so útles para aalzar e terpretar datos cuattatvos, ya sea recolectados e forma bruta (datos o agrupados) o resumdos e dstrbucoes de frecueca (datos agrupados, que so de terés para el drector e vestgador). Propedades de los datos E orde descedete de mportaca, las tres propedades o característcas mayores que descrbe u cojuto de datos perteecetes a algua varable umérca aleatora o a u feómeo de terés, so :.- Poscó.- Dspersó 3.- Forma las meddas de resume descrptvas se calcula co ua muestra de datos se llama estadístcos, s estas meddas descrptvas se calcula a partr de toda ua poblacó de datos se llama parámetros. MEDIDA DE POICIÓ La característca más mportate que descrbe o resume u grupo de datos es su poscó. La mayor parte de los cojutos de datos muestra ua tedeca defda a agruparse o reurse e toro a u certo puto. Este valor típco descrptvo se llama promedo. Es ua medda de tedeca cetral o poscó. Para datos o agrupados La meda artmétca muestral : e calcula a partr de datos, ya sea recoplados e forma bruta o colocados e arreglo ordeado. : Meda artmétca de la muestra : Tamaño de la muestra : ésma observacó de la varable aleatora Propedades I. ( ) 0. ( I ) ( I A) Dode A 3. Valor total de la poblaco Total 4.- El calculo de la meda se basa e cada observaco por esa razo puede ser fluecado a subr o bajar segu sea el caso.

10 La meda artmétca Poblacoal µ La meda Poderada (caso especal de la meda artmétca) w W W + W W W La meda Geométrca MG * *...* La medaa Es ua medda de tedeca cetral que aparece e el medo de ua sucesó ordeada de valores. Dado que cualquer valor (o valores) extremo e u cojuto de datos dstorsoa tato la meda artmétca, es más apropado utlzar la medaa, ya que o se afecta co cualquera valores extremos e u cojuto. Para calcular la medaa a partr de u cojuto de datos recoplados e forma bruta, prmero hay que dspoerlos e u arreglo ordeado. Caso A: es mpar: el valor de la medaa es 46 Caso B: es par: Exste valores termedos Medaa ( + 3) Ubcacó de la Medaa el úmero de observacoes e la muestra es u mpar, la medaa se represeta co el valor umérco de observacó ordeada : ( +) Me Ejemplo: umero elemetos Valor elemeto ( 6 + ) ubcacó, valor medaa de (30+3)/ 3

11 el úmero de observacoes es par, la medaa se represeta co la meda o promedo de los dos valores termedos e el arreglo ordeado. El modo : Es el valor más típco o más comú e u cojuto de datos. o es afectado por la ocurreca de cualquera valores extremos. e obtee co facldad e u arreglo ordeado. Cuado ua observacó o es comú o hay modo. Es el valor que más se repte. Para datos agrupados La meda artmétca : frecueca Y : marca de clase Y La medaa (Me): Me. + * : frotera feror del tervalo de clase que cotee la medaa : úmero de observacoes e el tervalo de clase que cotee la medaa - : úmero total de observacoes ates del tervalo de clase que cotee la medaa c : acho de cada tervalo de clase / : observacó medaa c Como el tamaño de la muestra es 0, buscamos el tervalo e el que la Frecueca acumulada es mayor que 0/0, que e este caso es el 3º y aplcamos la fórmula ateror. Luego la Medaa será: Me + *7 7,83 6 Itervalo de clase F. Absoluta F.Absoluta Acumulada

12 Moda (Mo): observacó que más se repte de las observacoes Mo. + ( )( + ) * c 6 3 Mo 66 + *7 66 (6 3)(6 6) Itervalo de clase F. Absoluta F.Absoluta Acumulada metrías de dstrbucó Asmetrías > Medaa :Postvo o sesgameto a la derecha (moda<medaa<meda) Medaa :métrcos o co sesgameto cero < Medaa :egatvos o sesgameto a la zquerda (meda<medaa<moda) Moda Meda Medaa

13 Cuartles Dvde los datos ordeados e cuatro cuartos Q prmer cuartl, el 5% de las observacoes so meores y el 75% so mayores. Q segudo cuartl, el 50% de las observacoes so meores y el 50% so mayores. Q3 tercer cuartl, el 75% de las observacoes so meores y el 5% so mayores. Para teer la poscó aproxmada a los cuartles, se utlza las sguetes fórmulas : Q / 4 Q ( ) / 4 Q3 3 ( ) / 4 a.- Valor etero, se seleccoa la observacó partcular correspodete al puto de poscó. b.- Valor esta e la mtad etre dos putos de poscó, se seleccoa la meda. c.- Valor o es etero y o se ecuetra e la mtad, se utlza regla empírca para aproxmar al cuartl partcular y redodearlo al puto de poscó del etero más cercao. Prmer cuartl: Q. + 4 Q * Q Q : prmer cuartl : frotera feror del tervalo de clase que cotee el prmer cuartl Q : úmero de observacoes e el tervalo de clase que cotee el prmer cuartl Q : úmero total de observacoes ates del tervalo de clase que cotee el prmer cuartl c : acho del tervalo de clase que cotee el prmer cuartl / 4 : observacó del prmer cuartl Q 0 / 4 5 c Q * 7 3 Itervalo de clase F. Absoluta F.Absoluta Acumulada 5 59 Q

14 egudo cuartl: Q *0 / 4 0 Q. + 4 Q * Q c * Q + * 7 7,83 6 Itervalo de clase F. Absoluta F.Absoluta Acumulada Q Tercer cuartl: Q Q3 * Q3 c 3* Q 3 + * 7 77,66 6 Itervalo de clase F. Absoluta F.Absoluta Acumulada Q

15 Percetles: Medda de localzacó que dvde la poblacó o muestra e 00 partes guales. o tee mucho setdo calcularlas para varables cualtatvas dscretas. Por lo que lo vamos a ver sólo para las varables cotuas. p k Percetl k-smo es aquel valor de la varable que deja a su zquerda el k % de la dstrbucó. Por últmo veamos el percetl 45 (45 0/00 9) Correspode al tervalo 3º. P k + 00 * k * Pk c 0 45* P 45 + * 7 70,67 6 Itervalo de clase F. Absoluta F.Absoluta Acumulada P Meddas de Dspersó Rago o recorrdo Es la dfereca exstete etre el valor mayor y el meor de la dstrbucó. Para ua muestra de tamaño, el recorrdo es la dfereca etre las observacoes más grade y la más pequeña : R max m El recorrdo tercuartílco evta el problema de los valores extremos e los datos. Esta smple medda cosdera la extesó e el 50% medo de los datos y, por tato, o sufre gua flueca de los valores extremos Para datos o agrupados La varaza de ua muestra ( ) : Recorrdo tercuartílco Q3 - Q

16 mde el promedo del cuadrado de las dferecas etre cada observacó y su meda. I ( ) Desvacó estádar muestra ( ) : mde la raíz cuadrada del promedo del cuadrado de las dferecas alrededor de la meda. I ( ) Que mde la varaza y la desvacó estádar? : mde la dspersó promedo e toro a la meda, es decr, cómo fluctúa las observacoes mayores por ecma de ella y cómo se dstrbuye las observacoes meores por debajo de ella. ota: el deomador es ( - ) debdo a la propedad de los grados de lberta. E eseca, e la suma sólo - de los térmos so depedetes, porque el cálculo estadístco de supoe u coocmeto prevo del estadístco, es decr, s se cooce se perde grado de lbertad. La varaza de ua poblacoal ( σ ) : σ Desvacó estádar poblacoal ( σ ): I ( ) σ I ( ) Coefcete de varacó: es otra de medda de dspersó. Es ua medda relatva, al cotraro de las aterores. e expresa como porcetaje e vez de e térmos de las udades de los datos partculares. Como medda relatva, es de partcular utldad al comparar la varabldad de dos o más cojutos de datos ( dstrbucoes ) que se expresa e dsttas udades de medda. CV *00 Fórmulas de varaza y desvacó estádar para calculadoras electrócas o computador ( ) - ( ) -

17 Para datos agrupados La varaza de ua muestra ( ) : * ) ( I Desvacó estádar muestra ( ) : * ) ( I La varaza de ua poblacoal ( σ ) : I * ) ( σ Desvacó estádar poblacoal ( σ ): I ) * ( σ Cuasvaraza: Es ua medda de dspersó, cuya úca dfereca co la varaza es que dvdmos por -, la represetaremos por o σ y la calcularemos de la sguete forma: x * ) ( * σ

18 Meddas de asocacó de dos varables Aálss multvarado Covaraza Para ua muestra de elemetos, co sus parejas de valores de datos: (, Y )( Y ) Covaraza Muestral xy ( )( Y Y ) Covaraza Poblacoal σ xy ( µ )( Y x µ ) y Iterpretacó de la covaraza de la muestra Y Postvo; e Y tee relacó leal postva. Y Y egatvo; e Y tee relacó leal egatva. Y La covaraza dca el tpo de relacó leal postva o egatva etre la varable e Y.

19 Coefcete de correlacó El coefcete de correlacó como prevamete se dcó oscla etre y + ecotrádose e medo el valor 0 que dca que o exste asocacó leal etre las dos varables a estudo. La estmacó del coefcete de determacó (r ) os muestra el porcetaje de la varabldad de los datos que se explca por la asocacó etre las dos varables. Como prevamete se dcó la correlacó elevada y estadístcamete sgfcatva o tee que asocarse a causaldad. Cuado objetvamos que dos varables está correlacoadas dversas razoes puede ser la causa de dcha correlacó: a) pude que fluece o cause Y, b) puede que fluece o cause, c) e Y puede estar fluecadas por terceras varables que hace que se modfque ambas a la vez. El coefcete de correlacó posee las sguetes característcas (4): -El valor del coefcete de correlacó es depedete de cualquer udad usada para medr las varables. -El valor del coefcete de correlacó se altera de forma mportate ate la preseca de u valor extremo, como sucede co la desvacó típca. Ate estas stuacoes covee realzar ua trasformacó de datos que camba la escala de medcó y modera el efecto de valores extremos (como la trasformacó logarítmca). -El coefcete de correlacó mde solo la relacó co ua líea recta. Dos varables puede teer ua relacó curvlíea fuerte, a pesar de que su correlacó sea pequeña. Por tato cuado aalcemos las relacoes etre dos varables debemos represetarlas gráfcamete y posterormete calcular el coefcete de correlacó. -El coefcete de correlacó o se debe extrapolar más allá del rago de valores observado de las varables a estudo ya que la relacó exstete etre e Y puede cambar fuera de dcho rago. La correlacó o mplca causaldad. La causaldad es u juco de valor que requere más formacó que u smple valor cuattatvo de u coefcete de correlacó (5). Para los datos de ua muestra, se defe el Coefcete de Pearso: r Y Y * Y Para los datos de ua poblacó, se defe el Coefcete de Pearso: r Y σ Y σ * σ Y Formula alteratva (se prefere usar esta porque tee meos errores de redodeo).

20 r Y, m, J ( Y j ) ( j j m Y * j m Y ( j m ) j y j ) Los valores cercaos a y +, dca ua fuerte relacó leal. Metras que u coefcete cercao a cero, la relacó es más débl. Ejercco covaraza-correlacó La dustra textl Proyecto Alfa, posee los sguetes valores expresados e mles que correspode a la catdad de sumos y catdad producda de tela e certos períodos. Los datos so de 5 períodos que a cotuacó se detalla: Catdad de Isumos (Mles) Produccó de Tela (Mles) Ahora ua vez expuesto el eucado, usted es aalsta e produccó e sere debe respoder las sguetes pregutas: Determe la Covaraza muestral e la dustra textl Determe el Coefcete de Correlacó y explque el resultado e la dustra textl Grafque e u Dagrama de dspersó y explque la relacó leal que exsta e Proyecto Alfa. A) xy ( ) * ( Y Y ) / Y / Y (44.4)*(6 93.6) + (4.4)*(0 93.6) + (64.4)*( ) + (64.4)*(3 93.6) + (44.4)*( ) xy 97. B) r Y xy 97. r Y * * x y

21 ( ) Y ( Y Y) Y 97. (4 4.4) (4.4) + (64.4) 5 + (64.4) + (44.4) y Y C) (693.6) + (093.6) (7693.6) 5 + (393.6) + (3493.6) Idustra Textl Proyectos Alfa Produccó (MIles) Catdad Isumos (MIles) Propedades de la meda. La meda artmétca tee la gra desvetaja de que se ve muy fluecada por los valores extremos, pero aú así es la medda de tedeca cetral que más se usa, ya que posee las sguetes propedades:. La meda artmétca de ua costate k es gual a la msma costate, es decr, M(k)k.. La meda del producto de ua costate a por ua varable, es gual al producto de la costate por la meda de la varable, es decr, M(a ) a M(). 3. La meda del producto de ua costate a por ua varable más otra costate, dgamos b, es gual a la costate a por la meda de la varable más la costate b, es decr, M(a + b) a M() + b. 4. La meda de la suma de dos varables e Y, es gual a suma de las medas de cada ua de esas varables, es decr, M ( + Y ) M( ) + M( Y ). 5. x mí x x máx.

22 6. E toda dstrbucó ( x x) E toda dstrbucó ( x a) es mímo para a x. Propedades de la medaa:. El cálculo de la medaa se ve afectado por el úmero de observacoes y o por la magtud de cualesquera de los extremos, pero o utlza toda la formacó como la meda.. Cualquer observacó seleccoada al azar es gual de fácl que supere a la medaa o que la medaa supere a la observacó. 3. La suma de las dferecas absolutas e toro a la medaa es u mímo, es decr, x a Mímo s a Me. 4. Escala de medcó al meos ordal. Propedades de la varaza: Para presetar las propedades tato de la varaza poblacoal como de la varaza maestral, se deotará co la letra V a la varaza.. La varaza de ua costate es cero. V(a) 0, s a es costate.. La varaza del producto de ua costate por ua varable es gual a la costate al cuadrado multplcada por la varaza de la varable. V(b ) b V(). 3. De. y. podemos coclur lo sguete: a) V(a + b ) b V() b) V(a - b ) b V() (Las demostracoes de estas propedades se puede obteer fáclmete aplcado la defcó y las propedades de la sumatora y de la meda artmétca). EJEMPLO: Usado los datos del ejemplo de la meda, que se refería a la dstrbucó del saldo de 0 cuetas de crédto, a) Obtega la desvacó estádar. b) se sabe que por las codcoes ecoómcas los saldos ha aumetado u 0%, determe la ueva desvacó estádar.

23 olucó. a) Recordemos que los datos para los cálculos so: aldo promedo(x ) Catdad de cuetas (mles de $) upoedo que los datos so de ua muestra, la desvacó estádar muestral se calcularía como sgue: ( 83,75) ( ) 0 s 4,3 [mles de $] 9 b) ea : saldo atguo e Y: saldo uevo Y + 0,, Aplcado propedades se tee que s y, s x 49,48 [mles de $] MEDIDA DECRIPTIVA E DATO AGRUPADO. E certas ocasoes la formacó de u cojuto de datos se preseta para ua catdad L de grupos o estratos y de cada estrato se tee la sguete formacó: tamaño del estrato ó proporcó del estrato, co,,, L x meda artmétca del estrato, co,,, L σ varaza del estrato, co,,, L E este caso podemos obteer dos meddas descrptvas para el total de los elemetos: la meda total y la varaza total. La meda total ( x T ) se obtee como ua meda de las medas de los estratos, esto es:

24 x T L x L dode h La varacó total de los datos tee dos fuetes de varacó, la varacó que hay e las observacoes detro de los estratos, que se mde co la travaraza y se deota por σ w, y la varacó que se produce etre los dsttos estratos, que se mde co la tervaraza y se deota por σ B. Por lo tato, la varaza total σ T se obtee por: σ σ + σ T W B La travaraza se defe como el promedo de las varazas de los estratos, esto sgfca que: σ W L σ La tervaraza se defe como la varaza de las medas de los estratos, es decr: EJEMPLO: σ B L ( x x ) T La sguete formacó correspode al cotedo de folaca (Vtama B) para especímees escogdos al azar de cuatro marcas de té. Marca Catdad de especímees Meda Varaza ( h ) ( x h ) ( s h ) A 7 8,7,39 B 5 7,500,85 C 6 6,350,3 D 6 5,87,406 Obteer la varaza total e dcar dóde se produce mayor varacó e el cotedo de folaca, etre las dsttas marcas o detro de las marcas. olucó. 8,7 x T 7 + 7, , ,87 6 7,066

25 σ B 8, , , , ( 7,066) 0, 9785 σ σ W T,39 7 +,85 5 +,3 6 +, ,9785 +,0947 3,073,0947 Exste mayor varabldad e el cotedo de folaca al teror de las marcas, ya que σ >. σ W B PREETACIÓ DE DATO BIDIMEIOALE Y DE MÁ DIMEIOE. Hasta ahora se ha estudado datos cosderado ua sola varable e ellos. E este capítulo estudaremos dos ó más varables a cada observacó; varables que tee etre sí algua relacó. La presetacó de estos datos puede hacerse medate tablas de frecueca bdmesoales para el caso de dos varables o multdmesoales s se ha meddo más de dos varables. Aquí se presetará sólo las tablas bdmesoales. VI. TABLA DE FRECUECIA BIDIMEIOALE. El cojuto de datos {(x, y ), (x, y ),, (x, y )}de la varable dmesoal (, Y) se debe presetar e ua tabla de cotgeca o de doble etrada co la sguete estructura: Clases de Y Clases de y y y j y k x j k x j k M M M M M x j k M M M M M x r r r rj rk Esto dca que los datos de la varable se ha clasfcado e r clases o tervalos y los datos de la varable Y e k clases o tervalos. Para la clasfcacó de las dos varables, se debe segur el msmo procedmeto que para ua varable udmesoal. Los valores j de la tabla dca la frecueca absoluta cojuta de la varable e la clase y de la varable Y e la clase j, es decr correspode al úmero de veces que se repte ambas

26 clases e los pares de datos. A estas r k frecuecas se acostumbra a llamarlas matrz de frecuecas absolutas cojutas. A partr de esta prmera tabla se puede costrur las tablas correspodetes a las frecuecas relatvas y a las frecuecas acumuladas (absolutas y relatvas). Por ejemplo, la estructura de la tabla de frecuecas cojutas absolutas acumuladas, sería la sguete: Clases de Y Clases de y y y j y k x j k x j k M M M M M x j k M M M M M x r r r rj rk E que los valores j dca la catdad de observacoes que hay hasta la clase de la varable y hasta la clase j de la varable Y; es decr j j l m l m. Además, de la tabla de frecuecas absolutas cojutas se puede obteer las frecuecas margales y las frecuecas codcoales. Las frecuecas margales so las frecuecas de ua varable, depedete del valor que toma la otra varable. Por lo tato, habrá frecuecas margales para y para Y, las que podrá ser absolutas, relatvas, absolutas acumuladas o relatvas acumuladas. Todas ellas se acostumbra a colocar al marge de la tabla de frecuecas absolutas, esto es:

27 Clases de Y Clases de y y y j y k.. h. H. x j k.. h. H. x j k.. h. M M M M M M M M H. M x j k.. h. H. M M M M M M M M M x r r r rj rk r. r. h r. H r.. j... j. k h. j h. h. h. j h. k. j... j. k H. j H. H. H. j H. k E la otacó usada para las frecuecas margales el puto usado e el subídce deota que co respecto a esa varable se ha proceddo a sumar. Es así como: suma de todas las frecuecas absolutas cojutas de la fla y r.. j j k j j, es decr, la, es decr, la suma de todas las frecuecas absolutas cojutas de la columa j. El resto de las frecuecas margales se obtee a partr de las margales absolutas como s se tratara de ua varable udmesoal. Otro tpo de frecuecas que se puede obteer so las frecuecas codcoales, que correspode a las frecuecas de ua varable codcoadas a uo o más valores de la otra varable. Por ejemplo, h (/ Y < M(Y)) dca la frecueca relatva e la clase de la varable codcoada a todos los valores meores que el valor medo de Y. ótese que para dcar codcó se usa el símbolo " / ". EJEMPLO: Los sguetes datos correspode a la catdad de hjos () y a los gresos mesuales, e mles de $, de u grupo de famlas: Y a) Costrur ua tabla de cotgeca. b) Agregar e la tabla las frecuecas margales absolutas. c) Idcar las frecuecas relatvas de codcoadas a los gresos ferores a $

28 olucó. a) Para costrur la tabla se usará 6 clases para, ya que es ua varable dscreta y asume valores desde 0 a 5; para Y se usará 5 tervalos por ser ua varable cotua y teer sólo 0 datos. Título: Dstrbucó de las famlas segú úmero de hjos e gresos mesuales. Y: Igresos (m$) Catdad de : Catdad de hjos famlas (. ) Catdad de famlas (. j ) b) o los valores. y. j de la tabla. c) d) Para mostrar las frecuecas codcoales de / Y<40, se hará ua tabla udmesoal. : Catdad de hjos Proporcó de famlas co gresos ferores a $ /6 0,50 4/6 0,500 5/6 0,35 3 3/6 0,875 4 /6 0,065 5 /6 0,065 GRAFICO PARA DATO BIDIMEIOALE. La mejor maera de vsualzar la relacó etre dos varables cuattatvas es el dagrama de dspersó, que es ua aplcacó de la represetacó de fucoes e el sstema de coordeadas cartesaas. EJEMPLO: El dagrama de dspersó para los datos del ejemplo ateror es el sguete:

29 Igresos (mles de $) Catdad de hjos Cuado el estudo es logtudal, es decr, ua de las varables es el tempo, e el eje de las se grafca la varable tempo y la otra varable e el eje de las Y. E estos casos el dagrama de dspersó se llama gráfco secuecal o de líea. MEDIDA MARGIALE Y CODICIOALE. DITRIBUCIOE BIDIMEIOALE Cuado las observacoes bvaradas se ha presetado e ua tabla de frecuecas se puede obteer meddas de resume margales, codcoales y cojutas. Las meddas de resume margales se calcula co las frecuecas margales y las meddas codcoales se calcula co las frecuecas codcoales. Las meddas de resume que se puede calcular co ambos tpos de dstrbucoes so las msmas que para ua varable udmesoal y se calcula tratado a la varable para la cual se tee las frecuecas (margales o codcoales) como s fuera ua varable udmesoal. EJEMPLO: E la sguete tabla la varable represeta el úmero de persoas por hogar, de ua muestra realzada e ua comua de atago y la varable Y represeta el pago mesual e servcos báscos, e mles de pesos, de esa muestra. Dstrbucó de los hogares de acuerdo al úmero de persoas y del pago mesual e servcos báscos. Y

30 a) Determe el pago medo por hogar e servcos báscos de la muestra. b) Cuál es el pago medao de los hogares co meos de 3 persoas? olucó. a) E este caso se está pregutado por la meda margal de la varable Y. Los datos a usar será las frecuecas margales de Y, esto es: Y: Pago mesual y : Pago promedo Catdad de hogares 0-5, , ,5 Total 00, ,5 M(Y),675 (mles de $) 00 b) La preguta es Me (Y / <3). Para esto ecestamos la frecueca de Y codcoada a los valores de ferores a 3. Esto es: Y: Pago mesual Catdad de hogares Total 65 3,5 Me (Y / <3) (mles de $) El 50% de los hogares co meos 35 de tres hjos habría tedo u gasto e servcos báscos gual o feror a $8.000.