CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS: BONDAD DEL AJUSTE Y TABLAS DE CONTINGENCIA
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- Ana Belén Araya Giménez
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1 CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS: BONDAD DEL AJUSTE Y TABLAS DE CONTINGENCIA Atoo Morllas A. Morllas: C. o paramétrcos (I 1
2 CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS: BONDAD DE AJUSTE Y TABLAS DE CONTINGENCIA Ifereca realzada hasta ahora: Ua muestra aleatora ( las x so varables aleatoras depedetes e el muestreo estmador dstrbucó del estmador fereca Modelo de poblacó coocdo, salvo sus parámetros Queda por comprobar (para ua fereca correcta: S el modelo es cosstete co la muestra (ajuste S las observacoes (varables x so realmete depedetes (aleatoredad e depedeca S la poblacó camba o o etre dos muestras dsttas (homogeedad A. Morllas: C. o paramétrcos (I
3 CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS: BONDAD DE AJUSTE Y TABLAS DE CONTINGENCIA 1. Cotrastes de bodad del ajuste a. χ de Pearso b. Kolmogorov-Smrov c. Cotrastes específcos de ormaldad a. Lllefors b. Jarque-Bera c. Shapro-Wlks. Cotraste de depedeca (asocacó. Tablas de cotgeca 3. Cotraste de homogeedad A. Morllas: C. o paramétrcos (I 3
4 CONTRASTE DE BONDAD DE AJUSTE χ f(x H 0 : f(x=f 0 (x X/H 0 p = L L 1 f 0 ( x dx p L -1 L X f f = / =f f L -1 L A. Morllas: C. o paramétrcos (I 4 X
5 ESTADÍSTICO DE PRUEBA 1. B(, p, margal de ua multomal: e =E( =p Bajo H 0 : e =p 0. S e =E( =p 5 y p es pequeña (Posso: 3. Para prescdr del sgo de ( e, se eleva al cuadrado: [N(0,1] ~ χ 1 4. Dscrepaca total e los k tervalos: Σ k χ 5. Bajo H 0 : k = p p 1 ( e = e e e N(01, A. Morllas: C. o paramétrcos (I 5 χ k 1, ya que k = 1 =
6 PROCESO DE CÁLCULO 1. Tabulacó de la muestra e clases (k 5ye 5. Cálculo de las probabldades teórcas (p, bajo H Obteer las frecuecas esperadas: e =p 4. Obteer la χ obs valor muestral de ( -e / e 5. S χ obs χ 1-α (cola derecha, rechazar H 0 la dscrepaca es sgfcatva Nota: S o se cooce los r parámetros poblacoales e H 0, se estma por máxma verosmltud y se reduce los grados de lbertad e r : k ( = 1 e e χ k r 1 A. Morllas: C. o paramétrcos (I 6
7 RESUMEN TEST χ Hpótess ula: Ho: f(x = f o (x H 0 : p = p 0, =1,,.,k Base del test: dscrepaca etre (muestra y e =p (Ho Itervalos Frecuecas observadas Probabldad tervalo Frecuecas esperadas Valor del estadístco p /H 0 e ( -e / e < L 1 1 p 1 e 1 = p 1 ( 1 -e 1 / e 1 L 1 L p e = p ( -e / e L -1 L L k-1 y más k p p k e = p e k = p k ( -e / e ( k -e k / e k = p = 1 e = χ obs. A. Morllas: C. o paramétrcos (I 7
8 COMENTARIOS SOBRE EL TEST χ 1. Aplcable a varables cotuas (agrupadas e tervalos y dscretas. Muestra y úmero tervalos grades (e = p 5 3. Estadístco, segú parámetros e H 0 : 1. Especfcados χ k-1. No especfcados (r χ k-r-1 (EMV o χ -mímos 4. Es u test astótco sesble al valor de Dstgur etre sgfcacó estadístca y sgfcacó real. Para c > 1: χ obs.( c. k ( c = = 1 cp cp = c χ A. Morllas: C. o paramétrcos (I 8 obs.
9 F 0 (x F (x F (x ( =1 F (x ( F 0 (x F (x (-1 TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Hpótess ula H 0 : F(x = F 0 (x D (x D 1 (x F (x F 0 (x F (x ( F (x (1 x (1 x ( x (-1 x (. x ( X Estadístco de prueba: D = max {D 1 (x D (x } A. Morllas: C. o paramétrcos (I 9
10 RESUMEN TEST K-S Hpótess ula: H 0 : F(x = F 0 (x, especfcada e forma y e parámetros. Estadístco de prueba: D =max D 1 (x ( D (x (, =1,,., Regó crítca: D obs. D, rechazar H 0 (el modelo propuesto o es váldo. Aplcable sólo a varables cotuas. Puede utlzarse para muestras pequeñas. A. Morllas: C. o paramétrcos (I 10
11 CÁLCULOS EN K-S x ( N F (x ( F 0 (x ( D 1 (x ( D (x ( x (1 x ( x ( x ( N 1 N N N F (x (1 F (x ( F (x ( F (x ( F 0 (x (1 F 0 (x ( F 0 (x ( F 0 (x ( D 1 (x (1 D 1 (x ( D 1 (x ( D 1 (x ( D (x (1 D (x ( D (x ( D (x ( D 1 (x ( = F (x (-1 - F 0 (x ( ; D (x ( = F (x ( - F 0 (x ( A. Morllas: C. o paramétrcos (I 11
12 TEST DE NORMALIDAD DE LILLIEFORS Adaptacó de K-S al caso de ua ormal co parámetros descoocdos. Hpótess ula: H 0 : F(x = Normal ; parámetros descoocdos. µ y σ se estma de la muestra, medate x y ŝ. Estadístco de prueba: D =max D 1 (x ( D (x (,el msmo que el de K-S, pero los valores crítcos camba. Hay que mrarlos e la tabla obteda por Lllefors. La poteca de este test para u tamaño muestral o muy grade es baja. Por tato, ecesta muestras grades ( 100. A. Morllas: C. o paramétrcos (I 1
13 TEST DE NORMALIDAD DE JARQUE-BERA Cotrastes de asmetría y aputameto: H 0 : X es smétrca Estadístco de asmetría: α = 1 3 ( x x = 1 3 s ~ N( µ = 0, σ = H 0 : X es mesocúrtca Estadístco de aputameto: 6 α 1 6 ~ Z, para 50 4 ( x x α 3 1 α = = ~ N( µ = 3, σ = 4 Z, 00 4 s 4/ ~ Regó crítca de colas: Z obs Z α/ o Z obs Z 1- α/ A. Morllas: C. o paramétrcos (I 13
14 TEST DE NORMALIDAD DE JARQUE-BERA Cotraste de ormaldad: H 0 : X es ormal Estadístco de prueba: α α χ / 4/ α1 6 + ( α 3 4 χ Regó crítca: s α 1 =0 y α =3 χ =0 (aceptaríamos H 0. Por tato, la RCO estará a la derecha: obs Se trata de u test para muestras grades χ χ ;1 α A. Morllas: C. o paramétrcos (I 14
15 TEST DE NORMALIDAD DE SHAPIRO-WILKS RECTA PROBABILÍSTICO NORMAL E( x = µ + σ c (, (c 1,7 (c,7 =q 1 (c 4,7 = Me (c 5,7 (c S H 0 es certa: 3,7 E[(x ( - µ /σ ] = c, (c 6,7 =q 3 (c 7,7 Z (c,7 X x (1 x ( x (3 x (4 x (5 x (6 x (7 Muestra 1 x (1 x ( x (3 x (4 x (5 x (6 x (7 Muestra A. Morllas: C. o paramétrcos (I 15
16 ESTADÍSTICO DE SHAPIRO-WILKS GRÁFICO Q-Q x ( x (4 x (6 x (7 x(5 x (1 x ( σ x (3 E[x ( ]= µ + c, σ µ w = r = R = s s x x ( (, c s, c, c, S ω obs < ω α Rechazar H 0 A. Morllas: C. o paramétrcos (I 16
17 TEST DE NORMALIDAD DE SHAPIRO-WILKS S H 0 : X ~N(µ,σ, el valor esperado de la observacó muestral -ésma (cuatl, tpfcada, vedrá dado por u cuatl e Z: x( µ E = c E ( x, ( = µ + c, σ σ Los datos muestrales debería estar próxmos a esta recta El test mde esa proxmdad, estudado la bodad del ajuste, gráfco q-q, etre los cuatles x ( y los cuatles c, (w = r : w 1 q = s j= 1 a ( x x ( j, ( j+ 1 ( j = Muestras pequeñas ( < 30. Potete. Los a (j, está tabulados A s par q=/ mpar q=(-1/ RCO w obs w α A. Morllas: C. o paramétrcos (I 17
18 RESUMEN BONDAD DE AJUSTE TEST TIPO DE VARIABLE HIPÓTESIS NULA TAMAÑO MUESTRA Ch-cuadrado Cot. o dsc. No especf.(r Grade Kolmo.-Smr. Cotua Especfcada Pequeño K-S-Lllefors Cotua (N No especf. Grade Jarque-Bera Cotua (N No especf. Grade Shapro-Wlks Cotua (N No especf. Pequeño A. Morllas: C. o paramétrcos (I 18
19 TABLAS DE CONTINGENCIA Característca A 1 r Total TABLA DE CONTINGENCIA Característca B 1 j s Total r1 r.1. r s 1j j j rj.j j =. =. j = = 1 j = 1 = 1 j = 1 r s 1s s s rs.s r. A. Morllas: C. o paramétrcos (I
20 CONTRASTE DE INDEPENDENCIA H 0 : depedeca H 0 : p j = p.. p.j, =1,,.,r ; j=1,,.,s Aplcado el crtero de la χ de Pearso (frecuecas observadas-esperadas: r s ( j ej χ ; e rs j = pj e 1 = 1 j= 1 S H 0 es certa p j = p.. p.j, la expresó ateror queda como: r s ( j p p = 1 j= 1.. j. p. j p Desdades coocdas χ rs 1 pˆ =.. r j s = 1 j= 1.. j A. Morllas: C. o paramétrcos (I 0 j.. j χ ( r 1( s 1 rs-1-(r-1-(s-1 Desdades descoocdas
21 CONTRASTE DE HOMOGENEIDAD Característca A 1 r Total Muestras o expermetos 1 j s Total r1 r.1. 1j j j rj.j 1s s s rs.s 1... r. A. Morllas: C. o paramétrcos (I 1
22 OBJETO E HIPÓTESIS NULA Objeto: Comprobar s las muestras provee de la msma poblacó (poblacoes homogéeas para varable A Repetcó de u expermeto multomal (s veces Igual proporcó de observacoes e cada categoría de la característca A H 0 : La probabldad de éxto e cada categoría es la msma: H 0 : p 1 = p =. = p j =. = p s = p., =1,,.,r A. Morllas: C. o paramétrcos (I
23 ESTADÍSTICO DE PRUEBA H 0 es compuesta Test de la RV Se demuestra que la χ del test de la RV (- l λ, cocde co el test de depedeca Dscrepaca etre valores observados y esperados. Los valores esperados so: e j = E( j =.j p. s se cooce las p teórcas e j =. j (. / s se estma de la muestra por MV Estadístco prueba (RCO derecha: (r-1s co las p coocdas r s = 1 j= 1.. j A. Morllas: C. o paramétrcos (I 3 j.. j χ ( r 1( s 1 (r-1s-(r-1
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NOMBRE Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)
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