Distribuciones Muestrales

Transcripción

1 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Ig. Dey Gozález Dstrbucoes Muestrales Muestreo Aleatoro Poblacó Muestra Herrametas Estadístcas Medaa Muestral ) ) / (( ) / ( ) / ( ; es mpar ; es par = = Meda Muestral f k * Moda Varaca Muestral ) ( S ) *( ) ( * S Desvacó estádar muestral (S) Varaca Muestral (Datos agrupados) ) *( * * * f f S k k Meda Poblacoal N N N...,,3,4,4,4,5,6,7

2 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Dstrbucoes Muestrales Ejemplo: El úmero de respuestas correctas e ua prueba de competeca de falso o verdadero para ua muestra aleatora de 5 estudates fuero los sguetes:,,3,0,,3,6,0,3,3,5,,,4 y. Ecuetre: a) la meda, b) la medaa c) la moda, d) varaza y desvacó estádar. Ordear datos: 0,0,,,,,,,3,3,3,3,4,5,6 k * f a) (0*) (*3) (*3) (3*4) (4*) (5*) (6*) 5 b) ( ) / es mpar (5+)/ = 8 = c) 0,0,,,,,,,3,3,3,3,4,5,6 d) S S * k * f *( ) (5*8) (36) 5*(5) e) S =.737 k * f.974 f *f *f Ig. Dey Gozález

3 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Dstrbucoes Muestrales Ejemplo: Los perodos de tempo, e mutos, que 0 pacetes esperaro e u cosultoro médco ates de recbr tratameto fuero: 5,, 9, 5, 0, 5, 6, 0, 5, y 0. Tratado los datos como ua muestra aleatora, ecuetre. a) la meda, b) la medaa c) la moda, d) varaza y desvacó estádar. Ordear datos: 5,5,5,6,9,0,0,0,,5 a) k * f ( / ) (( / ) ) c) 5,5,5,6,9,0,0,0,,5 (5*3) (6*) (9*) (0*3) (*) (5*) (6*) 8.6 m. 0 b) es mpar [(5)+X(5+)]/ = (9+0)/ = 9.5 * ( ) d) S *( ) (0*838) 7396 S *(0) e) S = Ig. Dey Gozález

4 Estadístca II / Estmacó Estadístca. ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO Estmador U estmador de u parámetro poblacoal es ua fucó de los datos muestrales. E pocas palabras, es ua fórmula que depede de los valores obtedos de ua muestra, para realzar estmacoes. Por ejemplo, u estmador de la meda poblacoal, μ, sería la meda muestral,, segú la sguete fórmula: Dode (,,..., ) sería el cojuto de datos de la muestra. El estmador es ua varable aleatora que asga a cada valor de la fucó su probabldad de aparcó, esto es, la probabldad de la muestra de la que se etrae. Ig. Dey Gozález

5 Estadístca II / Estmacó Estadístca. POBLACION Y MUESTREO MUESTREO PROBABILISTICO Los métodos de muestreo probablístcos so aquellos que se basa e el prcpo de equprobabldad. Es decr, aquellos e los que todos los dvduos tee la msma probabldad de ser elegdos para formar parte de ua muestra y, cosguetemete, todas las posbles muestras de tamaño tee la msma probabldad de ser seleccoadas. TIPOS MUESTREOS PROBABILISTICOS Muestreo aleatoro smple Muestreo aleatoro sstematco Muestreo aleatoro estratfcado Ig. Dey Gozález

6 Estadístca II / Estmacó Estadístca. POBLACION Y MUESTREO MUESTREO NO PROBABILISTICO E este tpo de muestreo, puede haber clara flueca de la persoa o persoas que seleccoa la muestra o smplemete se realza atededo a razoes de comoddad. Salvo e stuacoes muy cocretas e la que los errores cometdos o so grades, debdo a la homogeedad de la poblacó, e geeral o es u tpo de muestreo rguroso y cetífco, dado que o todos los elemetos de la poblacó puede formar parte de la muestra TIPOS DE MUESTREO NO PROBABILISTICOS Muestreo por cuotas Muestreo tecoal o por coveeca Bola de eve. Ig. Dey Gozález

7 Estadístca II / Estmacó Estadístca. ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO E la estadístca tee u papel destacado la ocó de MUESTRA ALEATORIA. Ua muestra aleatora de tamaño es: Ua coleccó de varables aleatoras. Todas co la msma dstrbucó. Todas depedetes. Esta defcó dealza la operacó de repetr veces la observacó de la msma varable aleatora, sedo las repetcoes depedetes ua de otra. La coleccó de dode etraemos la muestra aleatora, se deoma POBLACIÓN. Nuestra tecó al tomar ua muestra, es la de hacer INFERENCIA. Este térmo lo usamos e estadístca para deotar al procedmeto co el que hacemos afrmacoes acerca de valores geerales de la poblacó medate los úmeros que observamos e la muestra. Ig. Dey Gozález

8 Estadístca II / Estmacó Estadístca. ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO Supoga que observamos el proceso de fabrcacó de las ``boltas'' que se le poe al evase de los desodorates ``roll o''. No todas las boltas va a teer el msmo dámetro, s escogemos, al azar ua bolta, tedremos u valor para el dámetro que es ua varable aleatora. Podemos supoer que los dámetros tee la dstrbucó ormal, debdo a uestra epereca co el proceso, coocemos que la desvacó estádar de la poblacó es de 4 mm (apromadamete). Pero, també por epereca, sabemos que el dámetro promedo puede varar por desajuste de la maquara productora. De modo que teemos: ua POBLACIÓN, que so todas las boltas que se produce. u PARÁMETRO de la poblacó coocdo (o cas) que es la desvacó estádar. otro PARÁMETRO cuyo valor es descoocdo: la meda. Ig. Dey Gozález

9 Estadístca II / Estmacó Estadístca. ESTIMACION DE TAMAÑO DE MUESTREO S la poblacó es fta, es decr coocemos el total de la poblacó y deseásemos saber cuátos del total tedremos que estudar la respuesta sera: Dode: N = Total de la poblacó Z a =.96 (s la segurdad es del 95%) p = proporcó esperada (e este caso 5% = 0.05) q = p (e este caso = 0.95) d = precsó (e este caso deseamos u 3%). Fuete: Ig. Dey Gozález

10 Estadístca II / Estmacó Estadístca. ESTIMACION DE TAMAÑO DE MUESTREO A cuátas persoas tedría que estudar de ua poblacó de habtates para coocer la prevaleca de dabetes? Segurdad = 95%; Precsó = 3%; proporcó esperada = asumamos que puede ser próma al 5% ; s o tuvese gua dea de dcha proporcó utlzaríamos el valor p = 0.5 (50%) que mamza el tamaño muestral. Dode: N = Total de la poblacó Z a =.96 (s la segurdad es del 95%) p = proporcó esperada (e este caso 5% = 0.05) q = p (e este caso = 0.95) d = precsó (e este caso deseamos u 3%). Fuete: Ig. Dey Gozález

11 Estadístca II / Estmacó Estadístca. ESTIMACION DE TAMAÑO DE MUESTREO S la poblacó es fta, també podemos aplcar la sguete ecuacó Dode S varaza de la poblaco Segú dferetes segurdades el coefcete de Z a varía, así: S la segurdad Z a fuese del 90% el coefcete sería.645 S la segurdad Z a fuese del 95% el coefcete sería.96 S la segurdad Z a fuese del 97.5% el coefcete sería.4 S la segurdad Z a fuese del 99% el coefcete sería.576 Ig. Dey Gozález

12 Dstrbucó Muestrales de meda (Teorema de Lmte Cetral) Supógase que ua muestra aleatora de observacoes se toma de ua poblacó ormal co meda y varaca. Cada observacó de la muestra aleatora tee la msma dstrbucó ormal, por lo que, X X Tee ua dstrbucó ormal co meda Y varaca: X Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras.... X... La suma de ua gra umero de varables aleatoras détcas e depedetes cada ua de ellas co meda poblacoal y varaca fta tee ua fucó de desdad de probabldad gual a: Z La apromacó ormal para geeralmete será buea s > 30. Ig. Dey Gozález

13 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Dstrbucó Muestrales de meda (Teorema de Lmte Cetral) Ejemplo: Ua compañía fabrca focos que tee u perodo de vda que esta dstrbudo apromadamete e forma ormal, co meda gual a 800 horas y ua desvacó estádar de 40 horas. Ecuetre la probabldad de que ua muestra aleatora de 6 focos tega ua vda promedo de meos de 775 horas. La dstrbucó muestral de X será apromadamete ormal co = 800. Correspodedo a = Z 40 6 Y por lo tato,.5 P(X < 775) = P(Z<-.5), por tabla P(X < 775) = Ig. Dey Gozález

14 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Dstrbucó Muestrales de meda (Teorema de Lmte Cetral) Ejemplo: supogamos que se sabe que el peso de los sujetos de ua determada poblacó sgue ua dstrbucó apromadamete ormal, co ua meda de 80 kg y ua desvacó estádar de 0 kg. Podremos saber cual es la probabldad de que ua persoa, elegda al azar, tega u peso superor a 00 kg? Datos: = 80 kg / = 00 / = 0 kg / =. Z Y por lo tato, como el área total bajo la curva es gual a, se puede deducr que: P(X > 00) = - P(Z<), por tabla P(X > 00) = = 0.08 Por lo tato, la probabldad buscada de que ua persoa elegda aleatoramete de eso poblacó tega u peso mayor de 00 Kg, es de apromadamete de u.3% Ig. Dey Gozález

15 Dstrbucó Muestrales de meda S se saca al azar muestras depedetes de tamaños y de dos poblacoes dscretas o cotuas, co medas y y varacas y, respectvamete, etoces la dstrbucó muestral de la dfereca de medas X y X, esta dstrbuda apromadamete e forma ormal co meda y varacas: Ig. Dey Gozález Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. ) ( ) ( Z De aquí que, Es apromadamete ua varable ormal estádar.

16 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Dstrbucó Muestrales de meda Ejemplo: Ua muestra de tamaño =5 se saca aleatoramete de ua poblacó que esta ormalmete dstrbuda co meda =50 y varaca = 9 y se regstra la meda muestral. Ua seguda muestra aleatora de tamaño =4 se seleccoa, depedete de la prmera muestra, de ua poblacó dferete que també esta ormalmete dstrbuda, co meda = 40 y varaca, = 4 y se regstra la meda muestral. Ecuetre P(X-X < 8.). Se sabe que la dstrbucó es ormal co meda: De aquí que, 8. 0 Z P(X- X < 8.) = P(Z<-.08) = 0.40 Ig. Dey Gozález

17 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Ig. Dey Gozález

18 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. S la segurdad Z a fuese del 95% el coefcete sería.96 S la segurdad Z a fuese del 99% el coefcete sería.576 a) b) Ig. Dey Gozález

19 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. EJERCICIOS PROPUESTOS Ig. Dey Gozález

20 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. EJERCICIOS PROPUESTOS Ig. Dey Gozález

21 Dstrbucó Ch cuadrado S s es la varaza es la varaza de ua muestra aleatora de tamaño tomada de ua poblacó ormal cuya varaca es, etoces, Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. ( ) * Es u valor de ua varable aleatora que tee la dstrbucó ch-cuadrada co parámetro v=-. V es deomado úmero de grados de lbertad. s Observacó: A dfereca de la dstrbucó t, es ecesaro tabular los valores de para > 0.5, porque la dstrbucó ch cuadrada o es smétrca. La probabldad de que ua muestra aleatora produzca u valor ch cuadrado mas grade que cualquer valor especfcado es gual al área bajo la curva a la derecha de este valor. Ig. Dey Gozález

22 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Dstrbucó Ch cuadrado Para utlzar ua prueba de hpótess ch cuadrada, debemos teer u tamaño de muestra lo sufcetemete grade para garatzar la smltud etre la dstrbucó teórca correcta y uestra dstrbucó de muestreo de, estadístca ch cuadrada. Cuado las frecuecas esperadas so muy pequeñas el valor de estará sobrestmado y se tedrá como resultado demasados rechazos de la hpótess ula, para evtar currr e ferecas correctas de la prueba de hpótess ch cuadrada. Sga la regla geeral que dce que ua frecueca esperada de meos de cco e ua celda de ua tabla de cotgeca es demasado pequeña para utlzarse. GRAFICA DISTRIBUCION JI CUADRADA PARA V=, 5, Y 0 GRADOS DE LIBERTAD Ig. Dey Gozález

23 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Dstrbucó Ch cuadrado Ejemplo: U fabrcate de baterías para automóvl garatza que sus baterías durara, u promedo, 3 años co ua desvacó estádar de u año. S 5 de estas tee desvacoes de.9,.4, 3.0, 3.5 y 4. años, Esta el fabrcate covecdo aú de que sus baterías tee ua desvacó estádar de año? Solucó: S = 0.85, = y = 5 (5 )* v = N- = 4, El valor mas cercao a 3.6 que se ecuetra e la tabla es.95 y y sus probabldades so 0.7 y 0.5, lo que sgfca que la probabldad es alta, el fabrcate o tee razó para sospechar que la es dferete de. Ig. Dey Gozález

24 Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Dstrbucó Ch cuadrado Ejemplo: Supoga que el espesor de u compoete de u semcoductor es ua dmesó crítca. El proceso de produccó de tal característca se dstrbuye ormalmete co ua desvacó estádar de 0.6 mlésmas de pulgada. Para cotrolar el proceso se toma muestras peródcas de vete pezas, y se defe u límte de cotrol co base e ua probabldad de 0.0 de que la varaza muestral eceda dcho límte, s el proceso está bajo cotrol. Qué se puede coclur s para ua muestra dada la desvacó estádar es 0.84 mlésmas de pulgada? Solucó: S = 0.84, = 0.6 y = 0. Por tabla = 36.9 (9)* Por lo tato el crtero de decsó se puede epresar e ua de las dos formas sguetes: a) Como X = 37.4 > 36.9 la muestra o provee de u proceso co ua desvacó estádar de b) Se calcula S = 0.84 = Como > se llega a la msma coclusó de que o es probable que la muestra tomada provega de ua poblacó co ua desvacó estádar de 0.60 mlésmas de pulgada. Ig. Dey Gozález

25 Dstrbucó t Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Para valores pequeños de a meos de que supogamos que la muestra provee de ua poblacó ormal. Bajo esta codcó, S es la meda de ua muestra aleatora de tamaño tomada de ua poblacó ormal que tee meda y varaca, etoces t s Es el valor de ua varable aleatora co dstrbucó t y parámetro v=-. La forma global de la dstrbucó t es smlar a la de ua dstrbucó ormal (ambas tee forma de campaa y so smétrcas co respecto al orge). No es ecesaro tabular los valores de t para > 0.50, pues por la smetría de la dstrbucó t - = - t. Por lo tato, el valor de t correspode al área de la cola stuada a la zquerda de es - t. Ig. Dey Gozález

26 Dstrbucó t Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Ejemplo: U fabrcate de fusbles asegura que co ua sobrecarga del 0%, sus fusbles se fudrá al cabo de.4 m e promedo. Para probar esta afrmacó ua muestra de 0 fusbles fue sometda a ua sobre carga de u 0% y los tempos que tardaro e fudrse tuvero ua meda de 0.63 m y la desvacó estádar de.48 m. S se supoe que los datos costtuye ua muestra aleatora de ua poblacó ormal. Se tede a apoyar o a refutar la afrmacó del fabrcate?. Solucó: S =.48, = 0, =.4, = 0.63 t v = N- = 9, El valor mas cercao a 3.9 es.8 y su probabldad es baja, por lo tato los datos tede a refutar la afrmacó del fabrcate. Ig. Dey Gozález

27 Dstrbucó t Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Ejemplo: E u recorrdo de prueba de ua hora cada uo, el cosumo promedo de gasola de u motor fue 6.4 galoes, co ua desvacó estádar de. galoes. Se quere saber s es certa la afrmacó de que "el cosumo promedo de gasola es galoes/hora". Solucó: S =., = 6, =, = 6.4 Para respoder la preguta debemos verfcar que ta probable es que ua muestra de 6.4 galoes perteezca a ua dstrbucó co ua meda de. Por lo tato, debemos calcular la probabldad de que la meda muestral sea mayor o gual que 6.4 s la verdadera meda de dode provee dcha muestra es galoes. Esto es: t s t Buscado e la tabla de la dstrbucó t co 5 grados de lbertad, teemos que para ua probabldad de el respectvo valor de t es.947, lo cual mplca que la probabldad para t = 8.38 es cero). Por lo tato, coclumos que la probabldad de obteer ua muestra co ua meda de 6.4 de ua poblacó cuya meda es.0 es cero, es decr, que "el cosumo promedo de gasola o es galoes/hora", so que es superor. Ig. Dey Gozález

28 Dstrbucó t Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Ejemplo: El valor de t co v= 4 grados de lbertad que tee u área de 0.05 a la zquerda, y por lo tato u area de a la derecha, es: Solucó: t = - t 0.05 = -.45 Ejemplo: Ecuetre P(-t 0.05 < T < - t 0.05 ). Solucó: Area a la derecha 0.05 Area a la zquerda Area total = = 0.95 Ig. Dey Gozález

29 Dstrbucó f Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Se defe como la relacó de dos varables aleatoras ch cuadrada depedetes, cada ua dvdda por su umero de grados de lbertad. De aquí que puede escrbrse: U v f V v Dode U y V so varables aleatoras depedetes que tee ua dstrbucó ch cuadrada co v y v grados de lbertad, respectvamete. Teorema. S se escrbe f (v,v ) para f co v y v grados de lbertad, se obtee f ( v, v ) f ( v, v ) Teorema. S S y S so las varacas de varables aleatoras depedetes de tamaños y que se saca de poblacoes ormales co varacas de y, respectvamete, etoces, * S F * S Tee ua dstrbucó F co v = - y v = - grados de lbertad. Ig. Dey Gozález

30 Dstrbucó f Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Ejemplo : S dos muestras aleatoras depedetes de tamaño = 7 y =3 se toma de ua poblacó ormal, Cuál es la probabldad de que la varaca de la prmera sea al meos tres veces mas grade que la de la seguda? Solucó: Por tabla para v =7-=6 y v =3-= (se tercepta) y ecotramos que f 0.05 = 3 por lo tato, la probabldad deseada es Otra forma de verlo S =3S * S 3S, F 3 busca e tabla y la probabldad es 0.05 * S S = Ejemplo : Ecuétrese el valor de F0.95 para v=0 y v=0 grados de lberad f ( v, v) 0.36 f (0,0) Ig. Dey Gozález