APUNTES DE ESTADÍSTICA PARA UN CURSO INTRODUCTORIO DE ECONOMETRÍA. Julio César Alonso C.

Transcripción

1 APUNTES DE ESTADÍSTICA PARA UN CURSO INTRODUCTORIO DE ECONOMETRÍA Julo César Aloso C. No. 1 Marzo 007

2 Aputes de Ecoomía No. 1 APUNTES DE ECONOMÍA ISSN No. 1, Marzo de 007 Edtor Julo César Aloso C. jcaloso@ces.edu.co Vaessa Ospa López Asstete de Edcó Gestó Edtoral Departameto de Ecoomía - Uversdad Ices Tel: et: Fa: Calle 18 # Cal, Valle del Cauca, Colomba

3 Aputes de Ecoomía No. 1 APUNTES DE ESTADÍSTICA PARA UN CURSO DE PREPARACIÓN DE ECONOMETRÍA Julo Cesar Aloso C 1. Marzo de 007 Resume Este documeto preseta ua breve troduccó a los coceptos báscos de estadístca que forma la base de u curso troductoro de Ecoometría de pregrado. Se dscute coceptos como varables, vectores y matrces aleatoras, dstrbucó de probabldad, valor esperado, depedeca estadístca, dstrbucó cojuta y margal, el teorema del límte cetral, el sesgo de u estmador y aspectos geerales de la costruccó de tervalos de cofaza y evaluacó de hpótess. Este documeto está drgdo prcpalmete a estudates de pregrado de ecoomía o prmer año de maestría e fazas o ecoomía, pero por la secllez del leguaje, puede ser de utldad para cualquer estudate o profesoal teresado e repasar los cocetos báscos de álgebra matrcal. Palabras Clave: Ecoometría, Prcpos de Estadístca, varables aleatoras, vectores y matrces aleatoras, dstrbucó de probabldad, valor esperado, depedeca estadístca, dstrbucó cojuta y margal, el teorema del límte cetral, el sesgo de u estmador. Aputes de Ecoomía es ua publcacó del Departameto de Ecoomía de la Uversdad Ices, cuya faldad es dvulgar las otas de clase de los docetes y brdar materal ddáctco para la struccó e el área ecoómca a dferetes veles. El cotedo de esta publcacó es resposabldad absoluta del autor. 1 Profesor del Departameto de Ecoomía y Drector del Cetro de Ivestgacó e Ecoomía y Fazas (CIENFI) de la Uversdad Ices, jcaloso@ces.edu.co.

4 Aputes de Ecoomía No. 1 1 Elemetos de Estadístca. Alguos autores descrbe la ceca estadístca como la tecología del método cetífco, pues es la estadístca y sus métodos los que provee a los vestgadores co las herrametas para probar sus hpótess de trabajo (Por ejemplo Mood (1950)). E geeral, la Estadístca es defda como la ceca de estmar la dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora basada e repetdas observacoes de varables aleatoras de la msma varable aleatora (Amemya (1994)). Así, la estadístca es ua ceca que emplea cojutos de datos para obteer a partr de ellos ferecas (proyeccó, advaza) sobre ua poblacó (valor real).de maera que el problema estadístco cosste e ecotrar la mejor predccó para u valor real descoocdo para el vestgador, a partr de datos recolectados (muestra) de ua poblacó. E este documeto repasaremos los coceptos báscos de estadístca y probabldad que so las bases de u curso troductoro de ecoometría. 1.1 Varables, vectores y matrces aleatoras. Ua varable se defe como ua magtud que puede teer u valor cualquera de los compreddos e u cojuto. E otras palabras, es ua letra que puede tomar uo o dferetes valores. Por ejemplo, s la varable cumple la sguete codcó 3, etoces la varable ecesaramete tomará el valor de 3 ( 3). Otro ejemplo, s la varable cumple la codcó 1, etoces puede tomar los valores de 1 o 1. Ahora, cosderemos la defcó de ua varable aleatora, també coocda como varable estocástca. Ua varable aleatora es ua letra que toma dferetes valores, cada uo co ua probabldad prevamete defda. Por ejemplo, tremos ua moeda 3

5 Aputes de Ecoomía No. 1 justa al are, y sea la varable aleatora que toma el valor de uo s la cara superor de la moeda es sello, e caso cotraro la varable toma el valor de cero. Es decr 1 s sello 0 s cara Etoces, e este caso, dremos que la varable aleatora tee dos posbles realzacoes. Ahora be, s la moeda es ua moeda ormal, estrá gual probabldad que la varable aleatora tome el valor de uo o cero, e otras palabras tedremos que la probabldad de que la varable aleatora sea gual a uo es 0.5, al gual que la probabldad que la varable aleatora sea cero. Esto se puede abrevar de la sguete forma: P ( 1) 0.5 y P ( 0) 0.5. S el cojuto de valores que toma la varable aleatora es u cojuto fto o fto cotable, etoces la varable estocástca se deoma ua varable aleatora dscreta. Por otro lado, s las posbles realzacoes de la varable aleatora so u cojuto de realzacoes ftamete dvsble y, por tato, mposble de cotar, etoces la varable estocástca se cooce como ua varable aleatora cotua. E geeral, s las posbles realzacoes toma valores dscretos etoces estamos hablado de ua varable estocástca dscreta; por el cotraro, s los posbles valores so parte de u rago cotuo de valores, etoces estamos hablado de ua varable estocástca cotua. U vector aleatoro es u vector cuyos elemetos so varables aleatoras ya sea cotuas o dscretas, es decr, 1, (1) Por ua moeda justa, se etede ua moeda que tee ua probabldad gual de obteer cualquera de las dos caras. 4

6 Aputes de Ecoomía No. 1 dode para 1,,..., represeta dferetes varables aleatoras. Aálogamete, ua matrz aleatora es ua matrz cuyos elemetos so varables aleatoras. Es mportate aotar que los ecoomstas terpretamos alguos aspectos de la ecoomía como resultados de u proceso estocástco. E la práctca observamos u úco valor de ua varable como el PIB o los redmetos de u actvo. Los valores observados e la realdad para esas varables aleatoras, se terpreta como las realzacoes de ua varable aleatora después de que los dados de la ecoomía ya ha sdo trados, es decr, lo que observa el vestgador es la realzacó de u eveto aleatoro. 1. Dstrbucó de probabldad Ua dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora dscreta, també coocda como la fucó de desdad dscreta, f, es ua lsta de las probabldades asocadas a las dferetes realzacoes que puede tomar ua varable aleatora dscreta. Para ua varable aleatora dscreta teemos que dode f debe cumplr que: P f () 0 f 1 f 1 todo Dado que e el caso de ua varable aleatora cotua, ésta puede tomar cualquer valor detro de u úmero fto de valores, será mposble asgar ua probabldad para cada uo de los valores que puede tomar la varable aleatora cotua. Por tato, e el caso de varables aleatoras cotuas es ecesaro u efoque dferete al 5

7 Aputes de Ecoomía No. 1 segudo co las varables aleatoras dscretas. E este caso defremos ua fucó que os permta coocer la probabldad de ocurreca de u tervalo (cojuto cotuo de putos) y o u puto como lo hcmos para las varables aleatoras dscretas. Ejemplo 1 Supoga que lazamos u dado y defmos la varable aleatora la cara superor del dado. Ecuetre la dstrbucó de probabldad de W. como el valor de Respuesta: Supoedo que se trata de u dado s truco, cada ua de las 5 caras tee la msma probabldad de realzacó, de W dode es: P W ow.. w 1 S w S w 6 1 S w S w S w S w ow Así, la dstrbucó de probabldad sgfca e otros casos (del glés otherwse). Ua forma corta de 1 reescrbr esto es PW w I 1,,3,4,5,6, dode I A se cooce como la fucó 6 w dcador que toma el valor de uo cuado A es certo y cero e otros casos. W 6

8 Aputes de Ecoomía No. 1 Ua dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora cotua, també coocda como la fucó de desdad cotua, varable aleatora cotua dode f f 0 f d 1 debe cumplr que:, tal que b a f P f d a b, es ua fucó asocada a la (3) Ejemplo U cocesoaro de automotores, después de cotratar u estudo, está seguro que la fucó de dstrbucó de su cosumo de carburate mesual está dada por f 1 s 10, , , ow.. dode correspode a la catdad de galoes de carburate efectvamete empleados e el mes. Esta fucó de dstrbucó se puede grafcar de la sguete forma: f() 1 40,000 10,000 50,000 Ecuetre la probabldad de que este mes sea empleados: a) eactamete 30,000 7

9 Aputes de Ecoomía No. 1 ltros, b) o más de 40,000, y c) etre 0,000 y 30,000. Respuesta: Esta fucó de dstrbucó se cooce co el ombre de dstrbucó uforme. A cotuacó se respode las pregutas: 30,000 a) Debe ser claro que P 30, 000 P 30, , 000 f d 0. Así, la probabldad de que el cosumo sea eactamete 30,000 galoes es cero. 40,000 3 b) P 40, 000 f d.75. Por tato, la probabldad de que el 4 0 cosumo de carburate mesual sea o mayor de 40,000 galoes es de Gráfcamete esto se puede represetar por el área sombreada del sguete gráfco. f() 30, ,000 10,000 40,000 50,000 30,000 c) P 0, , 000 f d.5, gráfcamete: 0,000 f() 1 40,000 10,000 0,000 30,000 50,000 8

10 Aputes de Ecoomía No Valor esperado de ua varable aleatora y otros mometos de las varables aleatoras. Evetualmete, las dstrbucoes de probabldad se puede descrbr co sus mometos 3. El prmer mometo de ua dstrbucó se cooce como el valor esperado o esperaza matemátca. El valor esperado de ua varable aleatora correspode a su meda poblacoal y se terpreta como el valor promedo que se espera de la varable aleatora cuado se obtee cualquer muestra de ésta. El valor esperado de ua varable aleatora dscreta deotado por como Ejemplo 3 Cotuado co el Ejemplo 1 Ecuetre el valor esperado de W. Respuesta: De acuerdo a la defcó, todo se defe. (4) E W w P W w w w Así, e promedo se espera que la varable aleatora tome u valor de E P f todo E El valor esperado de ua varable aleatora cotua, també deotado por defe como: E se 3 Los mometos de ua dstrbucó so represetados por parámetros poblacoales que se represetará de aquí e adelate co letras gregas. Los mometos de ua dstrbucó descrbe las característcas de la dstrbucó poblacoal de la varable aleatora. 9

11 Aputes de Ecoomía No. 1 Ejemplo 4 Cotuado co el Ejemplo E f d (5) Ecuetre el valor esperado del cosumo de carburate mesual. Respuesta: De acuerdo a la defcó, teemos que 50,000 1 E f d d 40, ,000 50, , , , , , Es decr, el cosumo mesual esperado de carburate es de 30,000 galoes. El valor esperado també es coocdo como el operador de esperaza matemátca, partcularmete es u operador leal cuyas prcpales característcas so: E c c, dode c es ua costate, o ua varable o estocástca. E a b ae b, dode a y b so costates y es ua varable aleatora. E geeral E g g E, dode g es cualquer fucó. La úca ecepcó de esto es cuado es ua fucó leal. Ea a a a E a E a E dode cada uo de los a y ( 1,,..., ) so costates y varables aleatoras, respectvamete. E g todo g f s es dscreta g g f d s es cotua 10

12 Aputes de Ecoomía No. 1 Como se mecoó aterormete, E se cooce como el prmer mometo de ua varable aleatora y també se deota como, es decr, la meda poblacoal de. El -ésmo mometo (alrededor del orge) de ua varable aleatora,, está defdo por E 1.4 Idepedeca leal Dos varables aleatoras, y Y, se cosdera estadístcamete depedetes, u ortogoales, s y solamete s E EY E Y Es mportate otar que depedeca estadístca etre dos varables o mplca que o esta relacó algua etre las varables, como se verá más adelate, depedeca estadístca sólo mplca que o este ua relacó leal etre las dos varables. 1.5 Varaza y mometos alrededor de la meda de ua varable aleatora. (6) La varaza de ua varable aleatora, deotada por o Var, se defe como Así, e el caso de ua varable aleatora dscreta tedremos que Var f todo será calculada de la sguete maera:, y para ua varable estocástca cotua la varaza 11 (7) Var f d. La varaza es ua medda de la dspersó de ua dstrbucó. Geeralmete se emplea la raíz cuadrada de la varaza, la desvacó estádar ( ), para descrbr ua dstrbucó. La vetaja de la desvacó estádar es que ésta está medda e las msmas udades de y. Var E Var

13 Aputes de Ecoomía No. 1 U ejemplo de cómo la desvacó estádar puede ser empleada para descrbr la dspersó de ua dstrbucó está dado por la desgualdad de Chebychev; para cualquer varable aleatora y para cualquer costate k se tee que: k k P 1 1 k. (8) Ates de cotuar, es mportate aotar que el cálculo drecto de la varaza es relatvamete egorroso, afortuadamete es fácl mostrar (vea el Ejercco 4) que Var E E (9) este resultado permte e la práctca aglzar el cálculo de la varaza de cualquer varable aleatora. Ejemplo 5 Cotuado co el Ejemplo 1 Calcule la varaza de W. Respuesta: Empleado la epresó (9) teemos que Var W E W EW E el Ejemplo 3 7 EW. ecotramos que 7 Recuerde que E W EW. Así, es ecesaro calcular EW, aplcado uevamete la defcó de valor esperado de ua fucó, teemos que E W w PW w w w Por tato, Var W

14 Aputes de Ecoomía No. 1 Las prcpales propedades de la varaza so: 0 Var c, dode c es ua costate, o ua varable o estocástca. Var a b a Var, dode a y b so costates y es ua varable aleatora. Var a by a Var b Var Y abcov, Y, dode a y b so costates y y Y so varables aleatoras (e la próma seccó repasaremos el cocepto de Cov ). La varaza de ua varable aleatora també es coocda como el segudo mometo alrededor de la meda. E geeral, el -ésmo mometo alrededor de la meda de ua varable aleatora, deotada por E. Ejemplo 6 Cotuado co el Ejemplo Ecuetre la varaza del cosumo de carburate mesual. Respuesta: Smlarmete al caso de ua varable estocástca dscreta, teemos que 4, ates ecotramos que 3 10 Var E E ecestamos ecotrar 50,000 1 E f d d 40, ,000 E. Ahora E ; este valor esperado es 3 50, , , , , Por tato teemos que 31 4 Var E E Es 3 3 decr la varaza del cosumo mesual es de 133,333,

15 Aputes de Ecoomía No. 1 El tercero y cuarto mometo alrededor de la meda se cooce como la asmetría (skewess e glés) y curtoss, respectvamete. Ua medda de asmetría comúmete empleada es el coefcete de asmetría defdo como: 3 A 3. (10) Otro estadístco comúmete empleado para descrbr que ta aplaada o pcuda es ua dstrbucó, es el coefcete de curtoss que se defe como: 4 C 4. (11) Tabla 1. Iterpretacó del Coefcete de Smetría A? 0 Iterpretacó Gráfco > Asmetría a la derecha 4 f() = Smetría f() < Asmetría a la zquerda f() Tabla. Iterpretacó del Coefcete de Curtoss C? 3 Iterpretacó Gráfco > Dstrbucó platcúrtcas (pcuda, acha o de colas cortas) f() = Dstrbucó mesocúrtca (por Ej.: dstrbucó ormal) f() 4 E otras palabras, la cola grade de la dstrbucó está haca la derecha. 14

16 Aputes de Ecoomía No. 1 < Dstrbucó Leptocúrtca (plaa, delgada o de colas largas) f() 1.6 Covaraza y Correlacó etre dos varables aleatoras Ahora cosderemos la covaraza etre dos varables aleatoras y Y deotada por Cov, Y ó, Y y defda como, Cov Y E E Y E Y. (1) Al gual que lo que ocurre co la varaza de ua varable aleatora, el cálculo drecto de ua covaraza es muy egorroso. Afortuadamete, es fácl mostrar que, Cov Y E Y E E Y. (13) La epresó (13) ayuda a eteder la utldad de la covaraza etre dos varables aleatoras. Note que e caso de que las varables estocástcas y Y sea depedetes, se tedrá que E Y E E Y. Así, Cov, Y 0. Por tato, la covaraza etre dos varables aleatoras será cero s o este relacó leal (hay depedeca) etre ellas; y será dferete de cero s o hay depedeca estadístca etre ellas. Por otro lado, e el caso de que al msmo tempo que ua realzacó de la varable aleatora está por ecma de su meda, la realzacó de la varable estocástca Y també está por ecma de su meda, etoces la covaraza de estas dos varables será postva. S cuado la realzacó de ua varable aleatora está por ecma de su meda la realzacó de la otra varable está por debajo de la meda, etoces la covaraza será egatva. Ua mportate propedad de la covaraza es: Cov a b, c dy bdcov, Y, dode a, b, c, y d so costates, y y Y so varables aleatoras. 15

17 Aputes de Ecoomía No. 1 Como se mecoó aterormete, la covaraza etre dos varables estocástcas mde la relacó leal etre las varables, pero ésta depede de las udades e que está meddas y Y. Para teer ua medda del grado de depedeca leal etre dos varables aleatoras, que o depeda de las udades, se emplea el coefcete de correlacó. La correlacó etre dos varables aleatoras, deotado por, Cov Y Var Var Y, está defda por:. (14) Es muy fácl mostrar que 1 1 (ver Ejercco 7). La correlacó etre dos varables aleatoras tee ua terpretacó muy seclla; por ejemplo, ua correlacó de 1/-1 etre las varables aleatoras y Y mplca ua relacó leal postva/egatva y perfecta etre ellas. Metras que ua correlacó de cero mplca que o este relacó leal etre las varables. Gráfco 1. Dagramas de dspersó y sus correspodetes correlacoes. y y y =-1 =1 =0 y y y =0.9 =-0.8 =0 16

18 Aputes de Ecoomía No Esperaza y Varaza de vectores aleatoros. Como se mecoó aterormete, u vector aleatoro es u vector cuyos elemetos so todos varables aleatoras. Así, el valor esperado de u vector aleatoro correspode a u vector cuyos elemetos so los valores esperados de los correspodetes elemetos del vector estocástco. E otras palabras, sea u vector aleatoro, etoces E 1 E 1 1 E E. (15) E Es muy fácl eteder esta dea para ecotrar el valor esperado de ua matrz aleatora. Sea ua matrz aleatora de dmesoes m, etoces m E m E E E E E E E E E 1 m1 m m Aálogamete al caso de ua varable aleatora, la varaza de u vector aleatoro se defe como: T T T Var E E (16) e este caso teemos que E E E E 1 1 E E 1 1 Var E 1 1 E E 17

19 Aputes de Ecoomía No. 1 por tato, la matrz de varazas de u vector aleatoro, coocda como la matrz de covarazas o la matrz de varazas y covarazas, está dada por: Var 1 1, 1,,, Var Cov Cov Cov 1 Var Cov Cov 1 Cov Var,, (17) Dvdedo cada uo de los j por las respectvas correlacoes: y j obtedremos la matrz de R 1 1 (18) Ates de cotuar, cosderemos las sguetes propedades. Sea a u vector de costates, A ua matrz de costates y u vector aleatoro, etoces: T E a T a dode T T T Var a a Var a a a EA A Var A AA T E tr A tr EA 18

20 Aputes de Ecoomía No Resultados mportates relacoados co Dstrbucoes de Probabldad S duda, la dstrbucó de probabldad más empleada y comú es la dstrbucó ormal. Ua varable aleatora sgue ua dstrbucó ormal co meda y varaza s y solamete s E este caso se escrbe N, meda y varaza 1 1 f, e. (19) (se lee está dstrbuda ormalmete co ). E partcular, la dstrbucó 0,1 N se cooce como la dstrbucó estádar ormal, ua varable que sgue esta dstrbucó comúmete se deota por z. A cotuacó cosderaremos varos resultados mportates que volucra varables aleatoras que se dstrbuye ormalmete: N, etoces Y ~ N0,1 S ~, S Y ~ N 0,1, etoces. Y sgue ua dstrbucó Ch-cuadrado co u grado de lbertad, deotado por Y ~ 1. Y N para 1,,..., S ~ 0,1 S ~ 0,, etoces Y ~ Y N para 1,,...,, etoces ~ 1 S ~ 1, ~ y adcoalmete estas dos varables aleatoras so 1 1 depedetes, etoces 1 ~ 1. 19

21 Aputes de Ecoomía No. 1 S ~ 1, ~ y adcoalmete estas dos varables aleatoras so 1 depedetes, etoces 1 1 sgue ua dstrbucó F co 1 grados de lbertad e el umerador y grados de lbertad e el deomador 5 abrevatura para esto es F, ) 1 (ua N, Y ~ y y Y so depedetes, etoces S ~ 0, Y sgue ua dstrbucó t co grados de lbertad, deotado por t. S ~ N 0,, ra A S W ~ t, etoces W ~ F 1,. k y A es dempotete, etoces T A k. 1.9 Dstrbucó cojuta de probabldad La fucó cojuta de dstrbucó para dos varables aleatoras y Y, deotada por f, y, se defe como: f, y Pa b, c y d bd a c ab c yd f, y dyd s y Y cotuas f,y s y Y dscretas (0) Toda fucó cojuta de dstrbucó debe cumplr: f, y 0 5 La dstrbucó F també es coocda como la dstrbucó F de Sedecor e Hoor a Gerge W. Sedecor uos de los padres de la estadístca modera. 0

22 Aputes de Ecoomía No. 1, y dyd 1 s y Y so varables aleatoras cotuas, o f f,y 1 s y Y so varables aleatoras dscretas Todo Todo y Es mportate aotar que, e este caso, el valor esperado de cualquer fucó g, y está dado por: E g, y Todo Todo y g, y f, y dyd s y Y cotuas g, y f,y s y Y dscretas (1) Note que esta dea es fáclmete etesble a más de dos varables aleatoras, e ese caso tedremos que la fucó de dstrbucó para las varables aleatoras será 1,,..., f 1,,...,. Y todos los resultados de las dstrbucoes bvaradas se puede eteder al caso de varables aleatoras. Ejemplo 7. Dstrbucó Normal Bvarada. La dstrbucó bvarada ormal está defda como 1 f, y, Y,, Y, e 1 Y 1 1 yy yy Y Y dode y represeta la meda y varaza de, respectvamete. Smlarmete, Y y Y correspode a la meda y varaza de Y, respectvamete. Falmete, correspode a la correlacó etre las varables aleatoras y Y. 1

23 Aputes de Ecoomía No. 1 Gráfcos de la Dstrbucó Normal Bvarada co dferetes valores de Correlacó f, y 0,0,9 4,9 4,0 f, y 0,0,9 4,9 4,3 5 S f, y 0,0,9 4,9 4, 3 5 f, y 0,0,9 4,9 4, 1 S S f, y 0,0,9 4,9 4, 1 S S

24 Aputes de Ecoomía No. 1 Ejemplo 8. Dstrbucó Normal Multvarada. Ua geeralzacó de la dstrbucó bvarada ormal presetada e el Ejemplo 7 es la dstrbucó Normal Multvarada. S cosderamos u vector aleatoro de tamaño, etoces estará dstrbudo ormalmete s y solamete s: 1 1 T f e dode es la matrz de varazas y covarazas y es el vector de medas, respectvamete Dstrbucó margal y codcoal de probabldad Sea y Y dos varables aleatoras co su respectva fucó cojuta de dstrbucó f, y. La dstrbucó margal de probabldad, o fucó de dstrbucó margal, de la varable aleatora se defe como f Todo y f, t dt s y Y cotuas. () f,y s y Y dscretas Itutvamete, la dstrbucó margal se puede eteder como la fucó de dstrbucó de ua sola varable aleatora cuado goramos las otras varables aleatoras que hace parte de ua fucó de dstrbucó cojuta. Ahora supogamos que queremos saber cuál es la probabldad de que sea gual a u valor o esté e u tervalo predetermado dado que la varable Y es eactamete gual a u valor determado. E otras palabras queremos coocer la dstrbucó de probabldad de la varable codcoada a u valor determado de la varable Y. S cosderamos la dstrbucó bvarada ormal para las varables estocástcas y Y lustrada e el Ejemplo 7, etoces la dstrbucó codcoal de dado que Y y es equvalete a cortar ua tajada fa co u cuchllo ubcado paralelo al eje de las y 3

25 f() Aputes de Ecoomía No. 1 la tajada fa será cortada eactamete e el puto que Y colocamos esta tajada y (Ver Gráfco ). S sobre ua mesa, ecotraremos u gráfco e dos dmesoes de ua dstrbucó ormal, la meda de esta dstrbucó tajada depederá de cuál es la altura a la que se corta la dstrbucó bvarada, es decr el valor Y y. Formalmete, la dstrbucó codcoal de probabldad, o fucó de dstrbucó codcoal, de la varable aleatora dado Y y se defe como:, y y f f Y y f y f (3) Y Gráfco. Fucó de dstrbucó codcoal Normal.. Pael a. Pael b. E el Pael a, se observa ua dstrbucó bvarada ormal f, y 0,0,9 4,9 4,3 5. Image que corta co u cuchllo ua fa tajada de esta motaña colocado el cuchllo paralelo al eje de las y eactamete a la altura de Y. Esta fa tajada correspoderá a la líea sólda del Pael b (e este caso y N 1.,1.44 ). S se realza u corte smlar, pero a la altura de Y 1, obtedremos la fucó de desdad puteada mostrada e el Pael b (e este caso y 1 N.6,1.44 ). 4

26 Aputes de Ecoomía No Valor esperado y varaza codcoal. El valor esperado codcoal, o meda codcoal, de ua varable aleatora es el valor esperado de ua dstrbucó codcoal y se defe como: y E Y y E y Todo f y d s y Y cotuas. (4) f y s y Y dscretas Smlarmete, la varaza codcoal de ua varable aleatora es la varaza de ua dstrbucó codcoal y se defe como: y Var Y y Var y E y y E y E y (5) 1.1 Estmadores putuales y sus propedades deseadas. Itutvamete, u estmador se puede eteder como ua fórmula que permte proostcar u valor poblacoal (parámetro) descoocdo a partr de ua muestra. Por ejemplo, supogamos que deseamos coocer la meda de ua poblacó. Regularmete o coocemos este valor y por tato se recolecta observacoes de parte de la poblacó total (muestra), y a partr de estas observacoes evaluamos ua fórmula para coocer uestro proóstco del valor poblacoal real. Formalmete u estmador, també coocdo como estmador putual, de u parámetro poblacoal es ua fucó que dca cómo calcular ua matrz, vector o escalar a partr de ua muestra. El valor arrojado por esta fucó ua vez los valores muestrales so reemplazados e el estmador se deoma estmacó. Así, u estmador ˆ para proostcar u parámetro a partr de ua muestra aleatora de tamaño se defe como: 5

27 Aputes de Ecoomía No. 1 dode ˆ h 1,,..., (6) h es ua fucó cualquera y 1,,..., correspode a cada uo de los putos muestrales. Es mportate otar que los estmadores so varables aleatoras, pues so fucó de varables aleatoras. Claramete cualquer fucó de los putos muestrales por defcó es u estmador. Pero, cómo escoger cuál fucó de la muestra es u bue estmador para el parámetro deseado? Este varas propedades deseadas e los estmadores que dscutremos a cotuacó. Ua propedad muy deseable es que el valor esperado de la dstrbucó del estmador esté e promedo lo más cercao o cocda co el valor poblacó del parámetro. De esta forma, cada vez que se aalce formacó ueva se estará seguro que e promedo el estmador estará correcto. E geeral, dremos que u estmador es sesgado s E ˆ. Así defremos el sesgo de u estmador como: Sesgo ˆ E ˆ (7) La sesgadez es ua propedad deseable e u estmador, pero como lo lustra el pael a) del Gráfco 3 la auseca de sesgo o dce ada sobre la dspersó que tee el estmador alrededor de su meda. Gráfco 3. Sesgo de u Estmador. Prob de Prob de ˆ ˆ a) Estmadores Isesgados b)estmador Sesgado 6

28 Aputes de Ecoomía No. 1 Como es de esperarse, se preferrá u estmador que tega ua meor dspersó alrededor de la meda (varaza) a uo co mayor dspersó. U estmador ˆ 1 es cosderado u estmador sesgado más efcete que ˆ s Var ˆ 1 Var ˆ (8) Ahora cosderemos el caso e que estamos comparado u estmador sesgado co ua varaza relatvamete pequeña co u estmador sesgado co ua varaza relatvamete grade (Ver Gráfco 4). La preguta es: cuál de los dos estmadores deberá ser preferdo? Gráfco 4. Sesgo versus Míma Varaza. Prob de ˆ U crtero para escoger u estmador etre otros, es cosderar el estmador co el mímo Error Medo al Cuadrado, deotado MSE por su ombre e glés ( Mea Square Error ), éste se defe como: Es fácl mostrar que: MSE ˆ E ˆ. (9) MSE ˆ Sesgo ˆ Var ˆ Así al mmzar el MSE, se está teedo e cueta tato el sesgo como la dspersó del estmador. 7 (30)

29 Aputes de Ecoomía No. 1 Ejemplo 9 Tal vez el ejemplo más famlar es el estmador de la meda. Supoga que queremos estmar la meda poblacoal ; el estmador más empleado para la meda poblacoal h,,..., 1 es 1, este estmador comúmete se cooce como. Note que E E E E, dado que todas las 1 1 de la msma poblacó, etoces E tato es sesgado. para todo. Así E 1 provee 1. Por Falmete, otra propedad deseada e u estmador es la cossteca. Itutvamete, u estmador es cosstete s cuado la muestra se hace grade y más cercaa a la poblacó total, etoces la probabldad de que el estmador sea dferete del valor poblacoal es cero. Formalmete, ˆ es u estmador cosstete s lm P ˆ 1 (31) dode es ua costate postva arbtraramete pequeña Teorema del límte Cetral El teorema del límte cetral puede ser uo de los resultados más poderosos y asombrosos de la ceca estadístca. La tucó detrás de este teorema es muy seclla; s se suma u úmero sufcetemete grade de varables aleatoras, etoces s mportar la dstrbucó de las varables aleatoras sumadas, la sumatora segurá ua dstrbucó ormal. 8

30 Aputes de Ecoomía No. 1 Este umerosas versoes del teorema del límte cetral, uo co restrccoes más fuertes que otras, pero la versó más seclla de este teorema es: a ~ N, (3) 1 dode y so la meda y la varaza poblacoal, respectvamete. Ua versó más coocda de este teorema es: 1 a ~ N, (33) 1.14 Itervalos de cofaza y pruebas de hpótess. La probabldad de que ua estmacó putual sea eactamete gual al valor real del parámetro es cero ( Por qué?). Para aumetar la certdumbre etoro a uestra estmacó, podemos emplear la dstrbucó de probabldad del estmador para amplar uestra estmacó a u tervalo o probar dferetes hpótess. Para aquellos estmadores que sgue ua dstrbucó smétrca como la t o la ormal, la estructura de u tervalo de cofaza es muy seclla. La dea es crear u tervalo co ua cofaza del límtes feror y superor sga la estructura: % que tega como cetro la estmacó y cuyos Valor de ua dstrbuco Var Estmador Estmaco (34) dode el valor de ua dstrbucó depede de la dstrbucó del estmador y del vel de cofaza deseado. E geeral u tervalo de cofaza de sgfca que co u % o % de certeza el valor real del parámetro estará e el tervalo. La terpretacó de u tervalo de cofaza del % es que de 100 9

31 Aputes de Ecoomía No. 1 muestras que se geere de la msma poblacó e 1001 veces las estmacoes estará detro de dcho tervalo. E cuato a las pruebas de hpótess e toro a parámetros, éstas preseta ua estructura smlar (Ver Esquema 1. ). Ahora cosderemos rápdamete uo de los aspectos más mportates de ua prueba de hpótess, los tpos de errores volucrados e cada decsó. E especal, cuado escogemos u vel de sgfcaca, y, por ejemplo, rechazamos la hpótess ula, e ese caso es posble que correctamete rechacemos la hpótess ula cuado ésta es verdadera; a este error lo llamamos error tpo I y la probabldad que este ocurra será del %. Supogamos ahora que o es posble rechazar la hpótess ula, e este caso es posble que o estemos rechazado la hpótess ula cuado ésta e verdad es falsa; este error recbe el ombre de error tpo II y la probabldad de que este ocurra es de. Por tato, lo deal al dseñar ua prueba de hpótess es que tato como sea lo más pequeño posble. Lastmosamete este u compromso etre la probabldad de cometer el error tpo I y el error tpo II, pues cuado se dsmuye el error tpo I, el error tpo II se aumeta. Esquema 1. Estructura de ua prueba de Hpótess 1. H : 0 Hpótess Nula (hpótess que se quere refutar). H A : Hpótess Altera (hpótess que se quere aceptar) 3. Cálculo de u estadístco (depede de la dstrbucó del estmador) 4. Decsó (Comparar el estadístco calculado co u valor crítco de la correspodete fucó de dstrbucó) Es por esta razó, que sempre que se platea ua prueba de hpótess, se trata de costrur las hpótess ula y altera de tal forma que lo que se desea comprobar sea plateado e la hpótess altera y o e la hpótess ula. Así, se pretede cometer u error tpo I que es más fáclmete cotrolable por el vestgador. 30

32 Aputes de Ecoomía No Referecas. Amemya, Takesh Itroducto to Statstcs ad Ecoometrcs. Lodo: Harvard Uversty Press. Mood, Aleader McFarlae Itroducto to the theory of statstcs: McGraw-Hll Ejerccos. 1. Dos dados so lazados al msmo tempo sobre ua mesa co superfce velada; u dado es de color azul y el otro de color rojo. Sea el úmero e la cara superor del dado azul después de lazado multplcado por 3, Y el úmero e la cara superor del dado rojo después de lazado dvddo por 3, Z la suma del úmero e la cara superor de cada uo de los dos dados después de ser lazados, y falmete sea W Z. Ecuetre: E EY EZ Var,,, y EW.,,, y Var W So W y E depedetes?. Ua dstrbucó dscreta muy usada es la dstrbucó Posso. Por ejemplo, supoga que es el úmero de persoas que se preseta e ua vetalla de atecó de u baco e u período de tempo dado escogdo aleatoramete. Etoces u modelo frecuetemete usado es a. Var Y Var Z e f!, 0,1,, Demuestre que la dstrbucó Posso cumple las codcoes 0 f y todo 1 f 4. Muestre que Var E E. 5. Muestre que Var a b a Var. 6. Muestre que Var a by a Var b Var Y abcov, Y. 31

33 Aputes de Ecoomía No Muestre que Cov, Y E Y E E Y. 8. Muestre que Var E. 9. Muestre que T T 10. Muestre que s ~ Muestre que 1. Ecuetre Var. Y, Etoces EY 1 y MSE ˆ Sesgo ˆ Var ˆ. Var Y. 3