Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

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1 Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra

2 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó geométrca de la suma y el producto + S y so complejos, qué represeta el úmero. Cuál es el lugar geométrco de los putos λ + µ s λ y µ so reales y verfca λ + µ =? Solucó: Gráfcamete el afjo del úmero complejo + x + x y + y = + represeta el puto medo del vector que ue el orge co el afjo del úmero complejo + Los putos de la forma λ + µ so los putos de la recta ( ) ( ) λ + µ = µ + µ = + µ es decr, la recta que pasa por y cuyo vector drector es. Demuéstrese que s los putos,, so los vértces de u trágulo equlátero, etoces: + + = + + ya que arg( ) e = = e arg( ) e arg( ) e = = e arg( e ) arg = + ( ) arg( ) Profesora: Elea Álvare Sá

3 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I arg ( ) + = arg( ) Por lo tato, = + = = + + Veamos s es certo o o el recíproco, es decr, veamos s es certo que dados,, so los tres dferetes verfcado + + = + + etoces forma u trágulo equlátero. * Se reala la traslacó del tragulo llevado o al orge: =. Los úmeros so ahora: {, } { * *, =,, } Etoces, la gualdad + + = + + se trasforma e despejado * * * * = + * ( ) + = = + * * * * * * * * 4 resolvemos la ecuacó de segudo gradoe * * * * * = ( ± ) = ± * * Esto sgfca que es grado radaes (6 grados) y como ± = se tee =. Por lo tato, {, * *}, { * *, +, + } = {,, }. * * que forma u trágulo equlátero lo que sgfca que U tragulo equlátero tee su cetro e el orge y u vértce e el puto (,). Determar los otros dos vértces. Profesora: Elea Álvare Sá S

4 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Los águlos que forma dos lados de u trágulo equlátero so de radaes, luego hay que avaar + =. Por lo tato, como uo de los vértces es = = e, se tee que = e e = e = cos + se = = e e e = e = cos + se = so los otros dos. E forma bómca (,),,,, Otra forma: Podía haberse resuelto el problema observado s los afjos de,, forma u trágulo equlátero etoces = = y el águlo etre y es el msmo que etre y y el msmo que etre. Por esta raó los tres vértces so las tres raíces cúbcas de la udad. E efecto, y k 4 = e k=,, = e, = e, = e Coordeadas complejas cojugadas 4 Hállese la ecuacó de la crcufereca ax ( + y ) + bx+ cy+ d= e fucó de las coordeadas complejas cojugadas (es decr, e fucó de y de su cojugado) Sea = x+ y y = x y etoces + = x = y x + y = = Susttuyedo e la ecuacó dada de la crcufereca 4 Profesora: Elea Álvare Sá

5 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I + a ( ) + b c + + d= a+ b+ b c+ c+ d= a+ b ( c) + b ( + c) + d= Módulo 5 Idcar s es correcto o falso el eucado sguete, raoado la respuesta: Sea, C de módulo, etoces + = = Como, C de módulo, llamado φ= ( ) y ( ) expoecal será = e φ y = e ψ. Luego, arg ( )( ) ( )( ) + = + + = + + = ψ= arg e forma E cosecueca, = = = + + = 4 = Re( ) = ( φ ψ) Re( e ) = cos( φ ψ) = φ= ψ+ k y, por tato, como = e φ y = e ψ la últma afrmacó es lo msmo que decr, =. La mplcacó e el setdo es trval ya que s = etoces + =, y, por tato + = = Otra forma.- També puede realarse la demostracó smplemete operado e forma bómca. Teedo e cueta que y so de módulo udad su represetacó es Profesora: Elea Álvare Sá S 5

6 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos = cosφ+ seφ = cosψ+ seψ se cumplrá ( φ ψ) ( seφ seψ) = + = cos + cos + + operado, = cos φ+ cos ψ+ cosφ cosψ+ seφ+ seψ+ seφseψ = ( φ ψ seφseψ) ( φ ψ) = + cos cos + = + cos Luego, ( ) = + 4= + = cos φ ψ ϕ ψ= k ϕ= ψ+ k = por hpótess = = y, por tato =. 6 Dos úmeros complejos o ulos so tales que + =. Probar que es magaro. Método.- Por hpótess, + = + = ( )( ) ( )( ) + + = = + ( ) ( ) + = Re = luego dode se ha aplcado que ( ) ( ) + ( ) ( ) Re Im Im = = = Re = y, por tato, es magaro. 6 Profesora: Elea Álvare Sá

7 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Método.- Sea = a+ b = c+ d ( c d)( a b) ( )( ) + ca+ db+ da ( cb) ca+ db da cb = = = + a+ b a b a + b a + b a + b () Por otro lado, por hpótess + = luego, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c b d a c b d a c ( b d) ( a c) ( b d) = = + a + c + ac+ b + d + bd = a + c ac+ b + d bd 4ac= 4bd ac= bd Falmete, susttuyedo e () da cb = a + b que demuestra que es u úmero magaro puro. 7 Calcular el valor de a y b para que b a 4 sea real y de módulo udad Operado (b a)(4+ ) b 8a+ 9b+ 6a b+ 6a 9b 8a = = = + (4 )(4+ ) S se quere que sea real 9b 8a 8a = 9b 8a= b= 5 9 S además es de módulo uo b+ 6a 96a = b+ 6a = 5 + 6a = 5 a= 5 9 Profesora: Elea Álvare Sá S 7

8 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Luego, los valores peddos so a 4 = b= Lugares geométrcos 8 Descrbr los cojutos de putos del plao determados por las sguetes ecuacoes (a) Sea = a+ b etoces = a+ ( b ), se cumplrá a + ( b ) a + ( b ) El cojuto buscado es el teror del círculo de cetro (,) y rado. (b) > Sea= x+ y etoces = ( x ) + y y = ( x ) + y, sus módulos = ( x ) + y = ( x ) + y y por tato, > ( x ) + y > ( x ) + y La solucó es el cojuto 5 x + 4 4x+ y > x + 9 6x+ y x> 5 x> { / 5 /, xy, } R= x+ y x> R (c) + + = Forma : Por defcó de elpse se trata de ua elpse de focos los putos y = y semeje mayor 5 8 Profesora: Elea Álvare Sá

9 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Forma : Sea = x+ y, etoces = ( x ) + y, + = ( x+ ) + y, luego ( ) ( ) + + = x + y + x+ + y = Pasado ua de las raíces al segudo membro y elevado al cuadrado x + y = x+ + y ( ) ( ) ( ) x + x+ y = + ( x+ ) + y x+ + y Elevado uevamete al cuadrado, Completado cuadrados ( ) 8x 8= x+ + y ( ) x+ 7= 5 x+ + y ( ) ( 7) 5 ( ) x+ = x+ + y 4x x= 5( x+ ) + y = 5( x x+ y ) x + 4x+ 5y = 54 Se trata de la elpse ( x + x) + 5y = 54 ( x ) ( + ) + 5y = 54 ( x+ ) + 5y = 55 (d) > 4 Sea = x+ y, = x y etoces ( x+ ) y ( x+ ) y + = + = ( )( ) > 4 x+ y x y = x + y = > 4 > Luego > 4 es la regó del plao exteror de la crcufereca de cetro (,) y rado. Profesora: Elea Álvare Sá S 9

10 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos (e) = 4 Sea = x+ y, = x+ y ( ) etoces = 4 x + ( y ) = 6 Se trata de la crcufereca de cetro (,) = y rado 4. (f) <, Im> Se trata del cojuto { x+ y / x + y <, y> } es decr, del teror del semcírculo superor de rado. (g) + = Sea = x+ y, = x y, etoces 4 4 ± e + = + = = = e 6 6 Luego: e e 6 = e = e e 6 = e Cosderemos el úmero complejo: = x+ y= + cost + set Probar que cuado t vara e los umeros reales, se mueve sobre la crcufereca cuyo dámetro es el segmeto que uo los putos (/,),(,). Profesora: Elea Álvare Sá

11 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Calculamos e prmer lugar la expresó de x y de y e fucó de t. Multplcado por el cojugado del deomador Luego (+ cos t set) = (+ cos t+ set)(+ cos t set) + cost set + cost set = = t (cos t) + set 4+ cos t+ 4cost+ se 5+ 4cost 5+ 4 cost + cost set x= y= 5+ 4 cost 5+ 4cost Para comprobar que ( xy, ) está e la crcufereca de cetro (, ) + =. E uestro caso ( ab) x a y b r que ( ) ( ) cualquer puto de la forma cost set +, 5+ 4cost 5+ 4 cost cumple la ecuacó de la crcufereca. E efecto, ab y rado r basta verfcar, =, y r=. Es evdete que t cos set + x + y = + = 5+ 4cost 5+ 4cost ( 6+ cos 8 cos ) t t se t = + = 9 5 4cos (5+ 4cos t) ( ) ( + t) ( + t) 4 5 cost + 9set 6+ 5 cos t+ 4 cost+ 9set = = = cos 9(5+ 4 cos t) 5+ 6 cos t+ 4 cost = = = 9(5 4cos t) 9 + Profesora: Elea Álvare Sá S

12 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Potecas de expoete atural Escrbr e forma bómca el complejo: + cosx+ sex = + cosx sex Método.- Sea x x x x e + e e e = + cosx+ sex= + + = x x e + e = + + = + e x x e e e + e e e = + cosx sex= + = x x x x x Por lo tato, x x e + e = + = + e x x e e x ( ) x ( e ) x x x e e e + + x e + + = = = = e x Método.- Sea = + cosx+ sex = + cosx sex etoces = = = S cosderamos que e forma expoecal la expresó de es re θ se tee ( ) cosθ+ θ ( cos θ+ θ) r = = = se r = se r r r Profesora: Elea Álvare Sá

13 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Smplfcado, = cosθ+ se θ Para obteer la expresó e fucó de x se cosdera que sex cos x cosx x x θ= arctg = arctg = arctg = arctg tg = + (+ cos x) + cosx cosx dode se ha utlado x x cosx= se + cosx= cos Por lo tato, = = cos θ+ se θ= cosx+ sex Sabedo que + = cost, t R, C, hallar lo más smplfcado posble + Se tee que + = cost + = cost ( cost) + = (cos 4cos 4 cos cos cos = t± t = t± t = t± set Por lo tato, = cost± set. Por otro lado, cost set = = = cost set = cost set cost± set cos t+ set La expresó que os pde smplfcar será + = cos t ± set + cos t set + = cos t Profesora: Elea Álvare Sá S

14 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Raíces eésmas Calcular 6 = Calculado su módulo y argumeto r= = + = φ= arg( ) = arctg = se tee que sus raíces sextas so: k = 6 k=,,,,4,5 + k 6 (a) Demuestre que la suma de las raíces -ésmas de la udad es cero. (b) Demuestre que el producto de las raíces - eésmas de la udad es ó. (a) Las raíces - eésmas de la udad so de la forma: k = e k=,,..., k Por tato, κ 4 k = e = + e + e + + e k= k= Esto es la suma de los prmeros térmos de ua progresó geométrca de raó prmer termo, es decr, e y k k= e = = e (b) Cosderado ahora el producto, * * *... * k k= = e e e = e = e k k= 4 Profesora: Elea Álvare Sá

15 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I como, ( ) k= se tee k= k= spar ( + ) k = e = smpar Logartmos complejos 4 De etre todas las raíces -ésmas del complejo +. Hay algua raí cuyo logartmo prcpal sea real? Calculamos e prmer lugar +. Por defcó, so los úmeros complejos de módulo: r de argumeto: φ+ κ co k=,,,...( ) ; E este caso = +, luego r= + ( ) = φ= arctg = arctg =. Por tato, + tedrá por módulo: es decr, por argumeto: + κ co k=,,,...( ) k = co k=,,,...( ) + k k k + + k cos se = + co k=,,,...( ) Profesora: Elea Álvare Sá S 5

16 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Teedo e cueta que el logartmo prcpal de k es se cumplrá que es decr, log = l + arg( ) k k k ( ) log R arg = k + k = + k= k= = 6 Como los valores posbles de k so,,,...( ) etoces la preguta plateada sobre s hay algua raí cuyo logartmo prcpal sea real tee por respuesta que o exste gua raí cuyo logartmo prcpal sea real. k 5 Calcular el sguete úmero complejo: Como + = log + ( + )( + ) = = ( )( + ) log= + k El valor peddo es: = log = + 4k k Z 6 ω Dado a+ b= log ω sedo ω tal que + es real y el módulo de ω es la udad. Hallar a+ b. Se cosdera ω= c+ d cumpledo ω = c + d =. Se cumplrá que 6 Profesora: Elea Álvare Sá

17 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I ω r= + ω = R r = + c + d = ( c+ d)( ) ( )( ) R ( c d ) ( c d) r c + d= = R 4 c + d = c + d = c=± d=± ω= + ω= Luego + k log ω = l e k k = + + k Z, k=, 6 + k log ω = l e = + k+ k k, k=, Z Observacó: Puede ser teresate cosderar la expresó de ω de la forma: t ω= e = cost+ set ya que al teer módulo uo quedará perfectamete determado s se cooce arg( ) ω = t. 7 (a) Escrbr la forma bómca y expoecal el úmero complejo lsta del alumo e clase) + x (b) Calcular log= log + x = dado x= (umero de + Supogamos que x= + = ( ) ( )( ) 4*8+ + = = = = = = E forma expoecal se expresará Profesora: Elea Álvare Sá S 7

18 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos = + = = φ = e ya que φ arctg = Calculamos su logartmo x log= log = log + = + = l + arctg + k k Z La rama prcpal se obtee para k= log= l + arctg Potecas complejas 8 Sea u úmero complejo de represetacó bómca = a + b y cosderamos la poteca ( ) +. Se pde, para cada ua de las codcoes sguetes el cojuto de todos los complejos que la cumple y u ejemplo: ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( x+ y) ( log + ( + k) ) log x y log + = e = e = e 4 = x log y log ( k y x k ) 4 = e e k Z A - Que la poteca tega algú valor real. se y log + x + k = y log + x + k = k k 4 4 Z 8 Profesora: Elea Álvare Sá

19 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I k y log x= + k 4 kk, Z Basta dar valores a y, k y k para obteer x. E esos casos = x+ y verfcara que su poteca tee algú valor real. B Que la poteca tega resultado úco. S x es etero, y= el resultado es úco. x log cos x e se x C Que la poteca tega sólo u úmero fto de resultados S x= p / q e y = sólo hay q resultados correspodetes a k=,,,..., q. D Que la poteca tega todos los resultados co el msmo modulo e x log y k + 4 = cte y= E Que la poteca tega todos los resultados co el msmo argumeto. y log x + + k = cte x 4 Z 9 Calcular log ( + ) Aplcado la defcó ( k) ( ) log( + ) l + + log 4 ( + ) = = = log( ) l + + k ' 4 ( ) ( ) m k m k ' = ( m ) + ( + k ' ) 4 Profesora: Elea Álvare Sá S 9

20 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos sedo kk Z, Polomos Hallar los úmeros complejos tales que = Sea = a+ b debemos ecotrar a y b de forma que: ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) = a b + ab+ a b 4ab+ b+ 9= a b + = 9 (a b + 9) + ( ab+ b) = ab+ b= Se dstgue dos casos: Caso : b=, etoces por la prmera ecuacóa =, esto es absurdo pues a y b so úmeros reales. Caso : b, etoces a=+, y susttuyedo e la prmera ecuacó b b=± Luego los úmeros complejos so: =+ + =+ Cuátas raíces tee los polomos? Puedes decr algo sobre el úmero de raíces reales? Por qué? px ( ) = + x + x + (a) ( ) 5 5 raíces e C. No se puede decr ada sobre las reales porque px ( ) o es u polomo co coefcetes e R. Profesora: Elea Álvare Sá

21 Ejerccos: Números Complejos Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I 7 6 (b) px ( ) = x + x + 7 raíces e C. Tee al meos ua real por ser el grado mpar. 5 (c) px ( ) = x + x + 5 raíces e C. Tee al meos ua real por ser grado mpar. 7 6 (d) px ( ) = x + ( + x ) + 7 raíces e C. No se puede decr ada sobre las reales porque px ( ) o es u polomo co coefcetes e R. S F( ) es u polomo co coefcetes reales y F( + ) = a qué es gual F( ) determada F( a b) coocedo F( a+ b), s los coefcetes de F( ) o so todos reales?. Queda a) Sea F ( ) = a+ a a a, etoces como sus coefcetes so reales luego, ( ) F ( ) = a + a a = a + a a = F ( ) F( ) = F( ) = = + b) E el caso de que los coefcetes de F( ) o sea todos reales o se determa el valor de F( a b) coocdo el de F( a b) +. Por ejemplo, e el caso def ( ) = F(+ ) = (+ ) = (4+ 9) = ( 5+ ) = 5 F( ) = ( ) = (4 9) = ( 5 ) = 5 Hallar la relacó que debe verfcar los coefcetes a, b, c, d reales para que las raíces de la ecuacó tega el msmo argumeto. + ( a+ b) + ( c+ d) = Sea, las raíces. Expresádolas e forma expoecal será Profesora: Elea Álvare Sá S

22 Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos θ = ρ θ = ρ e e Como, ( )( ) = ( + ) + = + ( a+ b ) + ( c+ d) se cumple que c d = + y ( a b) + = +. Por lo tato, luego, De dode, θ * ρρ = c+ d e = c+ d + = θ ( ρ + ρ) e θ ( ρ + ρ) e = a b + = ( a+ b) ρρ cosθ= c ρρ seθ= d ( ρ+ ρ) cosθ= a ( ρ+ ρ) seθ= b d b tgθ= tgθ= c a de relacoar la tagete del águlo doble co la tagete se ecotrará la relacó etre los coefcetes. Como seθ seθ cosθ tgθ tgθ= = = cos cos θ θ seθ tgθ Etoces b d ab = a = c b a b a La relacó buscada es d ab = s a b c a b Nota: S e la solucó de algú ejercco crees que hay algú error pote e cotacto co la profesora para su correccó. Profesora: Elea Álvare Sá