TEMA IV INTEGRALES INDEFINIDAS

Transcripción

1 Tema IV-Itegrales Ideiidas TEMA IV INTEGRALES INDEFINIDAS Dada ua ució ( ) deiida e u cierto domiio D, os plateamos si eiste ua ució F( ) deiida e el mismo domiio, tal que su derivada coicida co la ució dada, es decir: F ( ) = ( ). E caso airmativo se dice que F( ) es ua ució PRIMITIVA de ( ) e el domiio D. Ejemplos es ua primitiva de. cos( ) es ua primitiva de se( ) L( ) es ua primitiva de.. Si F( ) es ua primitiva de ( ), cualquier ució de la orma F( ) ( = costate ) es tambié ua primitiva de ( ), pues: derivada F( ) = derivada( F( )) + derivada( ) = F ( ) + 0 = ( ). ( ) Al cojuto de todas las ucioes primitivas de ua ució dada se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de ( ) y se emplea la otació: ( ) d= F( ) Por tato, para calcular la itegral ideiida de ua ució, basta coocer ua primitiva de la ució dada y sumarle ua costate arbitraria. Ejemplos. d =. L( ) d =. se( d ) = cos( ) 4. ed= e PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA [ ]. ( ) + g( ) d= ( ) d+ g( ) d. K ( ) d= K ( ) d Jua Puerma:

2 Tema IV-Itegrales Ideiidas INTEGRALES INMEDIATAS So aquellas itegrales que se calcula directamete a partir de la deiició de derivada. Las itegrales imediatas más secillas so: +. d = ; +. d = L. 4. e d e a d = + a = L( a) 5. se( d ) = cos( ) 6. cos( d ) = se( ) d = + 7. sec ( ) ta( ) 8. cosec ( ) cota( ) d = + 9. d = arcta( ) + 0. d = arcse( ) Jua Puerma:

3 Tema IV-Itegrales Ideiidas INTEGRAIÓN POR AMBIO DE VARIABLE (AJUSTE) Para aplicar esta técica de itegració es ecesario coocer la tabla aterior (tabla de itegrales imediatas) pero e lugar de para la ució ( ) =, para ua ució ( ) cualquiera. +. d = ; +. d = L. 4. = + e d e a a d = L( a) 5. se( ) d = cos( ) 6. cos( ) d = se( ) d = 7. sec ( ) ta( ) d = 8. cosec ( ) cota( ) 9. d = arcta( ) + 0. d = arcse( ) INTEGRAIÓN POR PARTES Sea dos ucioes derivables u y v. alculamos el producto u.v y la derivada: duv ( ) = duv + u dv despejamos u dv, y obteemos: u dv= d( u v) du v y por último itegramos los dos miembros teemos: que es la órmula de la itegració por partes. u dv= u v v du Este método es útil e los casos dode el itegrado se puede epresar como producto de ua ució por la derivada de otra. Jua Puerma:

4 Tema IV-Itegrales Ideiidas 4 REGLA DE ALPES ALPES " u" Nos orieta sobre a que ució llamaremos u A:arcos L:logaritmos P:poliomios E:epoeciales S:se,cos (trigoométricos que o sea arcos) INTEGRAIÓN DE FUNIONES RAIONALES Se trata de itegrales del tipo co coeicietes reales. Eiste dos tipos: (a) grad P( ) grad Q( ) (b) grad P( ) < grad Q( ) P ( ) d Q ( ) dode P ( ) y Q ( ) so dos poliomios e E el caso (a) basta co dividir los dos poliomios para pasar al caso (b). (a) Dividimos los dos poliomios: P ( ) Q ( ) ( ) R ( ) Se veriica que: P ( ) = Q ( ) ( ) + R ( ) co grad R( ) grad Q( ) P ( ) R ( ) lo tato la itegral quedará: d = ( ) d + d. Q ( ) Q ( ) < por La primera es la itegral de u poliomio y por tato imediata, la seguda es ua itegral del tipo (b). Todo se reduce a resolver las itegrales del tipo (b) que se presete. Veamos alguos casos. (b.) Q() tiee todas las raíces reales y distitas Si las raíces de Q() so α α α α la epresió = + + +,,,, P ( ) A A A Q ( ) α α α P ( ) Q ( ),,,, se descompoe e: dode A A A A so úmeros reales que hay que calcular, y por tato las itegrales que obteemos so todas imediatas del tipo logaritmo eperiao. (b.) Q() tiee todas las raíces reales auque alguas so múltiples Si las raíces de Q() so α, α, α,, α, β, β, β,, βm, dode las raíces α i so simples y las raíces β j so múltiples co multiplicidad p, p, p,, pj la epresió P ( ) Q ( ) se descompoe e: Jua Puerma:

5 Tema IV-Itegrales Ideiidas 5 P ( ) A A A B B = p p Q ( ) α α α ( β) ( β) Bp p p p ( β ) ( β ) ( β ) ( β ) A B so úmeros reales que hay que calcular, y por tato las dode,,, i j k itegrales que obteemos so todas imediatas del tipo logaritmo eperiao y del tipo potecial. Jua Puerma: