Ejercicios de preparación para olimpiadas. Funciones

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1 Ejercicios de preparació para olimpiadas. Fucioes 5 de diciembre de 04. Fucioes covexas Comezamos estas otas hablado de fucioes covexas. Auque la covexidad de ua fució se puede estudiar por técicas de difereciabilidad, e estas otas evitaremos tales técicas relacioadas co el cálculo ifiitesimal y optaremos u efoque más elemetal de las mismas. Fució covexa: Ua fució f : I R, dode I es u itervalo coteiedo los extremos o o, se dice covexa si para todo x e y e I y λ [0, ] debe cumplirse que f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y). Ejercicio. Dados x e y como ates, qué cojuto de putos represeta λx + ( λ)y si λ [0, ]?, y si λ < 0?, y si λ >? Ejercicio. Dar ua iterpretació geométrica (visual) de la codició de covexidad de ua fució. Ua de las fucioes covexas más útiles y mejor coocida es f(x) = para x (0, ), x la fució armóica. Veamos que efectivamete es ua fució covexa si acudir a técicas de difereciabilidad. Sea x, y (0, ) y λ [0, ], etoces se tiee que (λy + ( λ)x)(λx + ( λ)y) = xy + λ( λ)(x + y) xy, y, dividiedo por xy y (λx + ( λ)y), λ x + ( λ) y = λy + ( λ)x xy λx + ( λ)y. El próximo ejercicio propoe probar que la desigualdad de la covexidad se ivierte cuado salimos del itervalo que defie los putos x e y. Cotrasta este ejercicio co el Ejercicio. A cotiuació se propoe demostrar la desigualdad de Jese, si duda ua desigualdad de gra utilidad e problemas de cocursos de matemáticas.

2 Ejercicio 3. Sea f : I R ua fució covexa. Muestra que para cualquier atural y úmeros x,..., x I y úmeros o egativos λ,..., λ tales que λ + + λ =, se tiee que λ f(x ) + λ f(x ) + + λ f(x ) f(λ x + λ x + + λ x ). Ua primera cosecuecia de la desigualdad de Jese es la desigualdad etre las medias aritmética y armóica de úmeros positivos. Ejercicio 4. Dado atural y úmeros reales λ i y x i para i dode los λ i s so como e el ejercicio aterior y los x i so positivos, prueba que x + + x x + x + x. El próximo ejercicio da ua propiedad muy característica de las fucioes covexas. Ejercicio 5. Prueba que si ua fució covexa está defiida sobre u itervalo cerrado y acotado etoces alcaza su máximo absoluto e uo de los extremos del itervalo. Otras desigualdades relacioadas so: Desigualdades de las medias: mi(a, b) ab a + b ab a + b a + b max(a, b). Las desigualdades ateriores se extiede a cualquier catidad de úmeros, o sólo a dos.

3 . Alguos problemas variados. Ejercicio 6. Sobre la fució f sabemos que f(x) + f(8 x) = x. Puedes calcular el valor de f e? Puedes dar ua expresió explícita de f? Ejercicio 7. Cosidera el siguiete resultado: Lema: La mayor potecia de u úmero primo p que divide a! viee dada por E( p ), i dode E( ) es la parte etera. i= Ecuetra el úmero de ceros cosecutivos al fial de 04! + 05! !. Ejercicio 8. Determia la mayor raíz del poliomio x 4 x 3 5x + x + 6. Ejercicio 9. Prueba que si P (x) es u poliomio de coeficietes eteros e i es u úmero atural tal que P (i) es divisible por u úmero primo p, etoces P (i + p) es divisible por p para todo atural. Aplica este hecho para probar que o hay igú poliomio de coeficietes eteros P (o costate) de modo que P () sea primo para todo atural. Ejercicio 0. Utiliza las desigualdades sobre las medias para probar que si x, y, z 0 etoces x 5 yz + xy 5 z + xyz 5 x 3 y z + x 3 y 3 z + x y z 3. Esta desigualdad es ua cosecuecia imediata de la desigualdad de Muirhead, la idea aquí es probarla directamete a partir de las desigualdades de las medias geométricas y aritméticas. 3

4 3. Ecuacioes fucioales La ecuacioes dode las icógitas so las fucioes recibe el ombre de ecuacioes fucioales. Auque o hay ua estrategia uificada para resolverlas, sí hay alguas relacioes fucioales que suele aparecer mucho e distitos problemas de igeio matemático. A cotiuació eumeramos alguas de estas relacioes. Ecuacioes fucioales de Cauchy. Estas ecuacioes se refiere pricipalmete a los siguietes tipos de ecuacioes de fucioes co dos variables: f(x + y) = f(x) + f(y), f(x + y) = f(x)f(y), f(xy) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y). Ecuació fucioal de Jese. ( ) x + y f = f(x) + f(y). Ecotrar todas las solucioes a este tipo de ecuacioes fucioales o siempre es fácil, si embargo el problema suele ser mucho más atacable si se pide codicioes adicioales como mootoía, cotiuidad o ciertas codicioes putuales sobre las solucioes. Ejemplo. Nos propoemos ecotrar todas las solucioes a la ecuació f(xy) = f(x) + f(y) para todo x, y e el domiio de f y sabiedo que 0 está e el domiio de f. E este caso, podemos hacer y = 0 y teemos que f(0) = f(x) + f(0) para todo x e el domiio de f y, por tato, f 0. Es decir, esta ecuació tiee ua úica solució que es la fució idéticamete igual a cero. Ejercicio. Sobre la misma ecuació fucioal aterior supoemos ahora que los úmeros y está e el domiio de f, deduce que el domiio de f es simétrico respecto al orige (es decir, si f está defiida e x etoces tambié lo está e x ) y que toda solució debe ser par (es decir, ecesariamete f( x) = f(x)). Cómo será las fucioes que verifica la relació f(x + y) = f(x) + f(y)? E geeral puede ser muy raras pero qué ocurre si pedimos que su domiio sea toda la recta real, por ejemplo? 4

5 Lo primero que observamos es que si hacemos y = 0, etoces f(x) = f(x) + f(0) por tato que f(0) = 0. Tomado y = x además obteemos que 0 = f(0) = f(x) + f( x), es decir, que uestra fució es impar y por tato que basta co estudiarla para x > 0. Si hacemos y = x además teemos que f(x) = f(x), de dode se deduce, utilizado la relació fucioal que debe satisfacer la fució, que f(x) = f(x) para N. Supogamos ahora que x es racioal y por tato que x = m. E particular teemos que x = m y, por lo aterior, f(x) = f(m) y f(x) = mf(), de dode f(x) = m f(). Si hacemos f() = c etoces acabamos de probar que f(x) = c x para todo x racioal. Cometario. A partir de lo aterior, y coociedo co cierta profudidad las propiedades de la recta real, es fácil deducir que si f es cotiua o moótoa etoces f(x) = cx para todo x real. Ejercicio. Ecuetra todas las fucioes moótoas f : R R + tales que para todo x e y reales. f(x + y) = f(x)f(y) Ejercicio 3. Ecuetra todas las fucioes cotiuas f : R R + tales que f(xy) = f(x)f(y) para todo x e y reales. Ayuda: Buscamos solucioes que o sea idéticamete cero. Prueba que tal fució debe madar úmeros positivos a úmeros positivos y cosidera la fució g(t) = log(f(e t )). Prueba que g(s + t) = g(s) + g(t). Ejercicio 4. (Shortlist IMO 04) Cosidera las fucioes f : N {0} N {0} y tales que:. Para todo x e y, f(xy) = f(x)f(y).. f(30) =. 3. Para todo co último dígito igual a 7, f() =. La fució idéticamete igual a es ua solució, pero es la úica? Si o, determia todas las solucioes posibles. Ejercicio 5. Determia todas las fucioes f, g, h: R R tales que f(x+y) = g(x)+h(y). Ejercicio 6. Prueba que si existe ua costate a tal que para todo x f(x + a) = + f(x) f(x) etoces f es ua fució periódica, es decir, existe b tal que f(x + b) = f(x) para todo x. Ayuda: Estudia el valor de f(x + a). Ejercicio 7. Determia todas las fucioes cotiuas tales que f(x + y) + f(x y) = [f(x) + f(y)]. Ayuda: Prueba que para x racioal f(x) = cx. 5