1.1. SERIES NUMÉRICAS Y FUNCIONALES.

Transcripción

1 .. SERIES NUMÉRICAS Y FUNCIONALES. Dado el cojuto de los úmeros reales, ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació de la forma: + a : Z verificado que a () = a, (2),, ( ), a = a 2 a = a. Usualmete e lugar de utilizar dicha aplicació cuado se hace referecia a ua sucesió, se cosidera el cojuto { a, a 2, a 3,, a, } el cual se epresa mediate { a } = La idea del cocepto de serie de úmeros reales surge cuado a partir de ua sucesió de úmeros reales, os pregutamos qué pasa co la suma de todos sus térmios. Dada la sucesió de úmeros reales de térmio geeral { a } =, se puede costruir otra sucesió cuyos térmios sea: S = a, S 2 = a + a2,, S = a + a2 + + a, y estudiar el siguiete límite: lim S Defiició. Serie de úmeros reales. Se llama serie de úmeros reales asociada a la sucesió { } a = al par de sucesioes ({ a} =,{ S} = ). La sucesió de térmio geeral { S } = recibe el ombre de sucesió de las sumas parciales de la serie y a es el térmio geeral de la serie. Defiició 2. Serie covergete. Se dice que la serie es covergete y que su suma vale a si la sucesió de sus sumas parciales coverge al úmero real a, es decir si lim S = a. Esto se suele represetar como ak = a k= E lo que sigue la serie de térmio geeral a se represeta por Clasificació de las series. Podemos clasificar las series e:. Series covergetes cuado eiste lim S = a 2. Series divergetes si o eiste lim S o es ifiito. a k k= 2.. Propiamete divergetes, cuado la sucesió de las sumas parciales diverge a ( + ) o ( ) Fiitamete oscilates. Cuado { S } = o coverge pero está acotada, es decir cuado es fiitamete oscilate la sucesió de las sumas parciales Ifiitamete oscilates. Cuado la sucesió de las sumas parciales o coverge, o está acotada y o es propiamete divergete, es decir cuado la sucesió de las sumas parciales es ifiitamete oscilate.

2 Ejemplos 3. Veamos como se puede calcular la suma de ua serie covergete utilizado el programa Mathematica. La istrucció Sum[ f(k), { k, vi, vf, ic} ] permite calcular la siguiete suma: f(vi)+f(vi+ic)+f(vi+2*ic)+... +f(vi+*ic) dode verifica la siguiete relació: vi+*ic vf<vi+(+)*ic. Si se omite el térmio ic etoces el programa toma por defecto ic=. Por ejemplo: I[]:= Sum[/(4*k^2-),{k,,}] Out[]= /2 Si embargo para calcular la suma de ua serie, e el caso e que ésta eista, o ua suma e que el térmio fial esté e fució de ua variable, es ecesario hacer uso de la librería del programa Mathematica <<Algebra`SymbolicSum` pues e otro caso el programa devuelve la epresió itroducida si calcularla. I[2]:= Sum[k,{k,,}] Out[2]= Sum[k, {k,, }] I[3]:= <<Algebra`SymbolicSum` I[4]:= Sum[k,{k,,}] Out[4]= ( + )/2 I[5]:= Sum[k,{k,,m}] Out[5]= ( + m - ) (m + )/2 I[6]= Sum[/(4k^2-),{k,,Ifiity}] Out[6]= /2 I[7]= Sum[/k^2,{k,,Ifiity}] Out[7]= Pi^2/6 I[8]= Sum[(-)^(k+)/k,{k,,Ifiity}] Out[8]=

3 Log[2] Puede observarse que el úmero se escribe Ifiity co el Mathematica. Si la serie es propiamete divergete el Mathematica devuelve el valor + o. E cambio si la serie es fiitamete oscilate o ifiitamete oscilate el programa o devuelve igua epresió. I[9]= Sum[/k,{k,,Ifiity}] Out[9]= Ifiity I[]= Sum[(-)^k,{k,,Ifiity}] Out[]= Sum[(-)^k,{k,, Ifiity}] Para observar el carácter de estas últimas series puede calcularse las sumas parciales, S, para distitos valores de, y observar el resultado e forma de ua lista co el comado: Table[ g(),{,vi,vf,ic} ] siedo la variable, vi el valor iicial de la misma, vf el valor fial y ic el icremeto que e cada paso toma la variable. Co ello se geera la lista formada por {f(vi),f(vi+ic), f(vi+2ic),...,f(vi+*ic)} dode cumple la relació: vi+*ic vf<vi+(+)*ic. I[]:= Table[Sum[(-)^k,{k,,}],{,,6}] Out[]= {-,, -,, -, } y se observa que la sucesió de las sumas parciales o coverge. El programa Mathematica trabaja co la aritmética de los úmeros complejos y e alguas ocasioes el resultado puede estar epresado e fució de u úmero complejo auque el térmio geeral de la serie sea ua sucesió de úmeros reales. Es el caso del siguiete ejemplo: I[2]:= Sum[/k*Si[k*Pi/2],{k,,Ifiity}] Out[2]= -I*(-Log[ - I] + Log[ + I])/2 E cambio al aproimar el resultado e otació decimal co el comado //N se obtiee la correspodiete aproimació real de la suma de la serie. I[3]:=

4 %//N Out[3]= I Si el valor de la suma es u úmero irracioal cuya otació es descoocida para el Mathematica, el resultado sólo puede obteerse si se trabaja co aritmética decimal, o se usa la fució NSum la cual permite aproimar la suma de ua serie y cuya sitais es similar a la de la fució Sum. Por ejemplo: I[4]:= Sum[(/k-Log[+(/k)]),{k,,Ifiity}] Out[4]= Sum[(/k-Log[+(/k)]),{k,,Ifiity}] I[5]:= NSum[(/k-Log[+(/k)]),{k,,Ifiity}] Out[5]= El comado Table[] permite observar que la covergecia de esta última serie e las 4 primeras cifras decimales es bastate leta. I[6]:= Table[Sum[(/k-Log[+(/k)]),{k,,}],{,,,}]//N Out[6]= {, , , , ,.57627, ,.57652,.57659,.57666,.57676} Defiició 4. Serie fucioal. Dada ua sucesió de fucioes reales de variable real { f ( )} serie fucioal como el par de sucesioes de fucioes: = se defie ua ({ f ( )},{ S ( )} ) = = dode f () es el térmio geeral de la serie y la sucesió de las sumas parciales de la serie viee dada por: { S( ) = f ( ) + f ( ) + + f( )} = 2 Defiició 5. Covergecia de la serie fucioal. Se dice que ua serie fucioal f ( ) coverge putualmete a ua fució f k= k e u subcojuto de deotado por B, si para cada B se cumple que lim S ( ) = f ( ) La suma de la serie fucioal es otra fució defiida e el subcojuto de e el que la serie coverge. Ejemplo 6. Dada la serie geométrica: k k=, obteer su suma. Se trata de ua serie fucioal suya suma puede obteerse co el programa Mathematica e los valores de e los que esta coverge:

5 I[7]:= Sum[^k,{k,,Ifiity}] Out[7]= /(-) Hay que aalizar los valores de e los que la serie es divergete pues, por ejemplo, si se calcula la suma para =2, el resultado es ifiito. I[8]:= Sum[2^k,{k,,Ifiity}] Out[8]= Ifiity Puede comprobarse que la serie geométrica coverge e los valores tales que < <, es propiamete divergete para, es fiitamete oscilate cuado = e ifiitamete oscilate e los valores e que <. Pero e otras ocasioes el cálculo de los valores de e los que la serie coverge puede ser complicado si o se hace uso de algú criterio capaz de idicar el domiio de covergecia y/o divergecia de la serie. Es el caso de la serie dada e el siguiete ejemplo: I[9]:= Sum[4^(2)/(+2)(-3)^,{,,Ifiity}] Out[9]= ( ^2 - Log[49-6 ])/(256 (-3 + )) Criterio de D'Alembert o del cociete. Dada ua serie de úmeros reales o ulos, supogamos que lim a a Etoces se cumple que a) Si λ < la serie coverge. b) Si λ > la serie diverge. + = λ El criterio del cociete o proporcioa igú tipo de iformació para el caso e que λ =. Dicho caso tiee que ser aalizado por medio de otros criterios. De todas formas es iteresate teer e cueta la siguiete propiedad. Propiedad 7. Si + a k k= coverge etoces lim a = Como cosecuecia de esta propiedad se verifica que si el límite del térmio geeral es distito de cero la serie debe ser divergete.

6 Ejemplo 8. A cotiuació vamos a estudiar la covergecia de la serie fucioal estudiada e el ejemplo aterior y cuya suma ha sido calculada e Out[9]. Para ello recordamos que la fució: Solve[ f()==g(),] permite hallar las solucioes de ua ecuació de la forma f()=g(). La forma de proceder co el Mathematica es la siguiete: I[2]:= a[_,_]=4^(2)/(+2)(-3)^ I[2]:= co[_]:=limit[a[+,]/a[,],->ifiity] Out[2]= 4^(2) (-3 + )^/(2+) I[22]:= co[] Out[22]= 6 (-3 + ) I[23]:= Solve[co[]==,] Out[23]= {{ -> 49/6}} I[24]:= Solve[co[]==-,] Out[24]= {{ -> 47/6}} I[25]:= %//N Out[25]= {{ -> }} I[26]:= %%%//N Out[26]= {{ -> 3.625}} Co ello se observa que la serie sólo coverge e el itervalo [2.9375,3.625]. De esta forma el valor eacto de la suma de la serie que el Mathematica proporcioa para =2 o coicide co el verdadero. I[27]:= Sum[a[,],{,,Ifiity}]/.->2 Out[27]= (-2 - Log[7])/256 Si por ejemplo se calcula la suma de los cie primeros valores de la serie se observa la divergecia de la misma. Lo mismo ocurre si se calcula el valor aproimado de la suma de la serie para =2 co la fució NSum. E cambio para valores de e los que la serie coverge los valores co las fucioes NSum y Sum coicide.

7 I[28]:= Sum[a[,],{,,}]/.->2//N Out[28]= I[29]:= NSum[a[,],{,,Ifiity}]/.->2.95 Out[29]= I[3]:= Sum[a[,],{,,Ifiity}]/.->2.95 Out[3]= Cabe señalar que el programa o siempre es capaz de calcular la suma de ua + serie fucioal. Ello ocurre por ejemplo co la suma de la serie: = + k, co >. k Después de aplicar el criterio del cociete se observa que el programa o puede epresar el limite lim a a + = λ como ua fució cotiua e. De hecho para valores de > el limite tiede a y e cambio para valores < el resultado es igual a. Dado que e este último caso el límite del térmio geeral o tiede a cero etoces la serie sólo coverge para valores de >. E dichos valores de es posible calcular la suma de la serie co el comado Sum[]//N o co NSum. I[3]:= co[_]:=limit[a[+,]/a[,],->ifiity] I[32]:= a[_,_]:=/(+^) I[33]:= co[] Out[33]= + limit[, > Ifiity] + + I[34]:= <<Calculus` Limit` I[35]: co[] Out[35]= Idetermiate I[36]:= Sum[a[,],{,,Ifiity}] Out[36]= Sum[/(+^), {,, Ifiity}] I[37]: NSum[a[,],{,,Ifiity}] Out[37]=

8 NSum[/(+^), {,, Ifiity}] I[38]:= Table[NSum[/(+^),{,,Ifiity}],{,,}] Out[38]= {CompleIfiity,.7645,.4463,.2794,.2562,.7548,.48393,.28724,.3736,.92} I[39]:= Table[NSum[/(+^),{,,Ifiity}],{,.,,.}] Out[39]= {CompleIfiity,CompleIfiity,CompleIfiity,CompleIfiity, CompleIfiity, CompleIfiity,CompleIfiity, CompleIfiity, CompleIfiity, CompleIfiity} Defiició 9. Serie de potecias. Se llama serie de potecias e toro a a toda serie fucioal de la forma + = a ( ) () dode si a,,,, la serie de deomia serie de potecias real y e caso cotrario serie de potecias compleja. Trabajaremos co series de potecias reales. Defiició. Radio de covergecia. Dada u serie de potecias defiida por () y supuesto que λ = lim se defie radio de covergecia al valor: a ρ =, si λ, a ρ = + si λ = y a ρ = si λ = + λ Teorema. Dada la serie de potecias (), etoces dicha serie coverge e el cojuto A={ : < ρ}, llamado itervalo de covergecia y es divergete e. { : > ρ}. Además la covergecia es uiforme e cada subcojuto compacto icluido e A. Teorema 2. Dada u serie de potecias epresada mediate () se cumple: + = ) la fució f ( ) = a ( ) es cotiua e el itervalo de covergecia. 2) f ( ) es derivable e el itervalo de covergecia, y la derivada es otra serie de potecias: + + df ( ) d( a( ) ) = = a( ) d d = = co el mismo radio de covergecia que f ( ).

9 + + a 3) f ( t) dt = a( t ) dt = ( ) + = = y esta última serie tiee el mismo radio de covergecia que f ( ). Ejemplos 3. El aterior teorema proporcioa u método para obteer uevas series de potecias a partir de alguas cuya suma es coocida. Por ejemplo a partir de la serie + / a geométrica: (siedo a > > ua costate) cuya suma es, derivado a = a se obtiee otra serie umérica que tiee el mismo itervalo de covergecia de la primera. I[4]:= Sum[*^(-)/a^,{,,Ifiity}] Out[4]= 2 a a + Teorema 4. Fórmula de Taylor. Si ua fució f ( ) tiee derivada de orde (+) y dicha derivada es cotiua e el cojuto de los úmeros reales etoces, dado u puto, f ( ) se puede epresar alrededor de de esta forma: (2) () f ( ) 2 f ( ) = f ( ) + f ( )( ) + ( ) + 2! + ( ) f ( ) ( ) +! f ( + ) ( ) + ( ) ( + )! (2) ( ) siedo u puto compredido etre y y dode f ( ) deota la derivada de orde de la fució f (). La fórmula (2) se cooce como fórmula de Taylor y el térmio f ( + ) ( ) ( + )! ( ) deomiado resto. Si ocurre que lim f ( + ) ( ) + = + ( + )! ( ) + es el etoces tomado límites e (2) se cumple que la fórmula de Taylor coverge hacia f ( ), es decir: f ( (2) ( ) () f 2 = f ( ) f ( ) f ( )( ) ( ) + ( ) + = 2! ) (! )

10 = + = k f ( k ) ( k! ) ( ) k Co ello f ( ) puede epresarse como ua serie de potecias deotada como serie de Taylor. Ejemplo 5. Las fucioes se( ), cos( ), ep( ) puede epresarse como ua serie de Taylor. El programa Mathematica dispoe del comado Series[f(),{,a,}] para calcular la fórmula de Taylor e el puto = a para el valor de "" prefijado de ua fució f ( ) que cumpla las ecesarias codicioes de cotiuidad y derivabilidad. Co ello puede calcularse el desarrollo alrededor del cero para =8, de las fucioes se( ), cos( ), ep( ). I[4]:= Series[Si[],{,,8}] Out[4]= I[42]:= Series[Cos[],{,,8}] Out[42]= o[ ] o[ ] I[43]:= Series[Ep[],{,,5}] Out[43]= o[ ] El térmio o[ ] 6 es el valor del resto de la fórmula de Taylor. Epresa u ifiitésimo de orde mayor que el del térmio aterior e la fórmula. A partir del comado Series[] se podrá obteer la fórmula de Taylor, pero si el resto, utilizado la fució Normal[epr]. Es el coocido como poliomio de Taylor. I[44]:= Normal[Series[Ep[],{,,5}]] Out[44]= Los poliomios de Taylor se podrá represetar de maera simultáea co la propia fució a través del comado Plot[ ] y la fució Evaluate[ ], que evaluará la lista obteida e cada uo de los valores utilizados. Recordemos que el comado: 9 9

11 Plot[{f(),f2(),...,f()},{,mi,ma}] dibuja las fucioes, f,f2,...,f cojutamete para valores de compredidos etre mi y ma. Utilizado el comado: Show[{G,G2,...}] o Show[GraphicsArray[{{...},{...}}]] se puede dibujar los gráficos G,G2,...y co ello puede observarse mejor el comportamieto de los poliomios de Taylor para distitos valores de. I[43]:= M[_]:=Normal[Series[Cos[],{,,}]] I[44]:= G[_]:= Plot[Evaluate[{Cos[],M[]}],{,-Pi,Pi}] I[45]:= Show[GraphicsArray[{{G[2],G[4]},{G[6],G[8]}}]] Puede observarse que co el poliomio de Taylor se obtiee ua buea aproimació alrededor del puto = a, auque a medida que os alejamos de dicho puto a el error aumeta. Dicho error e la aproimació dismiuye al aumetar el grado del poliomio de Taylor.