6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

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1 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió: a + a a +... = que, para simplificar, muchas veces se expresa simplemete por a. Como a veces ocurre, o es ecesario que la suma comiece e =, pudiédolo hacer e otro valor cualquiera de. Carácter de ua serie Dada ua serie a, se llama sucesió de las sumas parciales a {S }, dode S = a + a a es la suma de los primeros sumados de la serie. Etoces: Si la sucesió de las sumas parciales coverge a S, se dice que la serie es covergete y su suma es S: lim S = S = a = S Si la sucesió de las sumas parciales es divergete u oscilate, se dice que la serie es divergete u oscilate. Propiedades de las series a. Si λ R, a = A y b = B, etoces: λa = λa (a + b ) = A + B (a b ) = A B 2. Si se quita o añade ua catidad fiita de sumados el carácter de la serie o varía, auque sí la suma. 3. No se puede aplicar la propiedad asociativa a los sumados de ua serie. Codició ecesaria de covergecia: Si a coverge, etoces lim a = 0. Es importate observar que esta codició es ecesaria pero o suficiete: existe series divergetes cuyo térmio geeral de la sucesió tiede a cero: =. Como cosecuecia imediata, se obtiee el siguiete criterio del térmio eésimo para la divergecia de ua serie: Si la sucesió {a } o coverge a cero, la serie a o coverge (es divergete u oscilate). E particular, si lim a = a 0 la serie a es divergete.. Estudia la covergecia o divergecia de las series: ( 2 ) + ( ) 2. Estudia la covergecia o divergecia de las series: 2 se 2 (e) ( )

2 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas SERIES SUMABLES Serie telescópica Se llama serie telescópica a cualquier serie de la forma a dode a = b b +. Observa que las sumas parciales de esta serie so: S = a + a 2 + a a = (b b 2 ) + (b 2 b 3 ) + (b 3 b 4 ) (b b + ) = b b + de dode se deduce que la serie es covergete si el límite de {b } es fiito, siedo su suma: Serie geométrica a = (b b + ) = lim(b b + ) = b lim b Se llama serie geométrica a cualquier serie de la forma ar = a + ar + ar ar +..., co a 0. La serie geométrica diverge si r > o r =, oscila si r = y coverge si r <, e cuyo caso: Serie aritmético-geométrica =0 ar = a + ar + ar ar +... = =0 Se llama serie aritmético-geométrica a cualquier serie de la forma a r P ()r, dode P () es u poliomio e. La serie aritmético-geométrica coverge siempre que r <. Para calcular su suma S se aplica repetidamete, hasta llegar a ua serie geométrica, el hecho de que =0 S rs = k + Q()r dode Q es u poliomio de grado iferior a P Serie hipergeométrica Se llama serie hipergeométrica a cualquier serie de la forma a, dode a + = α + β, co α > 0, β 0 a =0 α + γ y α + β γ 0. Esta serie diverge cuado α + β γ > 0, y coverge cuado α + β γ < 0, siedo la suma e este caso: a γ a = γ α β. Calcula la suma de las series: ( + ) ; Calcula la suma de las series: =0 2 3 ; ; = Usa series geométricas para ecotrar la expresió fraccioaria de: a = 2, 3; a = 2, Se deja caer ua pelota desde ua altura de 2 metros y se deja botar idefiidamete hasta que se para. Si la altura alcazada e cada salto igual a 3/4 de la altura alcazada e el salto aterior, cuál es la distacia vertical recorrida por la pelota? 5. Calcula la suma de las series: 3 ; =2 4 2 ; ( + ) ( + a ), a >.

3 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas CRITERIOS DE COMPARACIÓN Criterio de comparació co la itegral Si f es positiva, cotiua y decreciete para x, y a = f(), etoces la serie tiee el mismo carácter (ambas coverge o ambas diverge). Series armóicas Se llama serie armóica a la siguiete serie divergete: = = a y la itegral f(x) dx Se llama serie armóica geeralizada a la serie p = + 2 p + 3 p + 4 p + 5 p +... que es { divergete, si 0 < p covergete, si p > Criterio de comparació de Gauss Si 0 a b para todo (o, al meos, a partir de u ), etoces: b coverge = a coverge a diverge = b diverge Criterio de comparació e el límite Si a y b so dos series de térmios positivos tales que existe lim a b = l co 0 < l <, etoces las dos series tiee el mismo carácter (ambas coverge o ambas diverge).. Estudia la covergecia o divergecia de las series: =2 l =2 (l ) 2 2. Aplica el criterio de comparació para estudiar el carácter de las series: se =2 l ( + ) 3. Aplica el criterio de comparació e el límite para estudiar el carácter de las series:

4 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas OTROS CRITERIOS DE CONVERGENCIA Criterio de la raíz Sea a ua serie de térmios positivos tal que existe lim a = l. Etoces: Si 0 l <, la serie a es covergete Si l >, la serie a es divergete Si l =, este criterio o decide el carácter de la serie. Criterio del cociete Sea a ua serie de térmios positivos tal que existe lim a + a = l. Etoces: Si 0 l <, la serie a es covergete Si l >, la serie a es divergete Si l =, este criterio o decide el carácter de la serie. Criterio de Raabe Sea ( ) a ua serie de térmios positivos tal que existe lim a + a = l. Etoces: Si l <, la serie a es divergete Si l >, la serie a es covergete Si l =, este criterio o decide el carácter de la serie. Observació: El criterio de Raabe suele decidir cuado o lo hace el criterio del cociete.. Estudia la covergecia o divergecia de las series: ( ) [( ) + 2 ] =0! 2. Estudia la covergecia o divergecia de las series: ( )! ( + )( + 2)... ( + ) ( ) (3 2)

5 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas SERIES ALTERNADAS Y ARBITRARIAS Series alteradas Se dice que a es ua serie alterada si a a + < 0 para todo, es decir, si es de la forma ( ) a = a + a 2 a 3 + a 4... o ( ) a = a a 2 + a 3 a co a > 0 Criterio de covergecia de series alteradas Ua serie alterada a es covergete siempre que se verifique las dos codicioes siguietes: es decir, cuado { a } 0. lim a = 0 a + a, para todo Suma aproximada de series alteradas Si ua serie alterada a verifica las codicioes del criterio de covergecia (lim a = 0 y a + a ), su suma se puede aproximar por cualquier suma parcial co u error meor que el valor absoluto del primer térmio desechado: N S = a y S N = a = S S N a N+ E cocreto, cuado el primer térmio desechado es positivo la aproximació es por defecto, y cuado es egativo por exceso. Series de térmios arbitrarios. Covergecia absoluta y codicioal Se dice que la serie a es absolutamete covergete si la serie a es covergete. Toda serie absolutamete covergete es tambié covergete. Ua serie se dice codicioalmete covergete si es covergete pero o absolutamete covergete. Toda serie covergete de térmios positivos es tambié absolutamete covergete, por lo que o puede ser codicioalmete covergete. Reordeació de series E ua serie absolutamete covergete, cualquier reordeació es tambié covergete a la misma suma. E ua serie codicioalmete covergete, existe reordeacioes covergetes (a cualquier valor prefijado), divergetes y oscilates.. Estudia la covergecia o divergecia de las series: ( ) + ; ( 2). ( ) + 2. Estudia la covergecia o divergecia de la serie:. E caso de covergecia, aproxima su! suma por la de sus seis primeros térmios y determia ua cota del error cometido. 3. Estudia el carácter y la covergecia (absoluta o codicioal) de las siguietes series: =0 ( )! 2 ( ) ( ) (+)/2 3 ( ) l( + )

6 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas EJERCICIOS. Cotesta razoadamete si so ciertas o falsas las siguietes afirmacioes: Si a es covergete etoces a 0. Si a 0 etoces a es covergete. Toda sucesió de térmios positivos cuya sucesió de sumas parciales está acotada es covergete. Si ua serie es covergete debe ser ulos todos los térmios de ua sucesió a partir de uo dado. (e) Si a ua serie se le quita los 00 primeros sumados, su carácter o varía. 2. Calcula la suma de las series: 4 2 ; ( + )( + 2) ; De u itervalo cerrado de logitud se quita el itervalo abierto cetral de logitud /3. Si se repite esta operació sobre cada uo de los itervalos cerrados que va quedado, quitado siempre el itervalo abierto cetral de logitud /3 del itervalo origial, el cojuto que queda al fial del proceso se llama cojuto de Cator. Cuál es la suma de las logitudes de todos los itervalos que se quita? Cuál es la logitud del cojuto de Cator? 4. Se llama curva de Koch a la curva que se obtiee después del siguiete proceso ifiito: Cuál es la logitud de la curva de Koch? Cuál es el área ecerrada por la curva de Koch sobre el segmeto iicial? 5. E u cuadrado Q de lado se iscribe u círculo C, detro de este se iscribe u cuadrado Q 2 y detro de él u círculo C 2, y así sucesivamete. Halla la suma de las áreas de todos los cuadrados; Halla la suma de las áreas de todos los círculos; Halla la suma de los perímetros de todos los cuadrados; Halla la suma de los perímetros de todos los círculos. 6. Estudia el carácter de las siguietes series:! e (l ) (e) (f) 4 + l + (g) (h) ( + p), p N 7. Aaliza el carácter de las siguietes series, y suma las que coverja: =2 2 se 2 8. Estudia la covergecia de las siguietes series segú los valores del parámetro: (i) a / + a, a > 0 (ii) (a + ) 2 a, a > 0 (iii) ( ) a, a + a 9. Se costruye ua columa de esferas apiladas (cada ua ecima de la aterior) de radios sucesivos:, 2, 3,... metros. Cuál es la altura de la columa? Cuál es el área de la superficie total de todas las esferas? Si las esferas está hechas de u material que pesa ewto por metro cúbico, cuál es el peso total de la columa?