1. Sucesiones y series numéricas

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1 ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3, 3 4, 3 4 5,,, 6, 4, 0,, 3, 3 5, 3 5 7, e), 4, 6, 8, 0, f),,,,,,, Determiar la covergecia o divergecia de la sucesió cuyo térmio -ésimo se da E caso de covergecia, determiar el límite a = 3/ a = a = a = log( ) e) a = cos π f) a =! g) a = p, (p > 0) e h) a = + i) a = j) a = E el estudio de la procreació de coejos, Fiboacci (hacia 75-50) ecotró la hoy famosa sucesió que lleva su ombre, defiida por recurrecia como Escribir sus primeros térmios a + = a + a +, a =, a = Escribir los 0 primeros térmios de la sucesió defiida por b = a + a, para

2 CI Igeiero Técico e Iformática Curso Usado la defiició del apartado aterior, probar que b = + b Si lim b = α usar los apartados ateriores para verificar que α = + α Resolver esta ecuació e α (α se cooce como la secció áure 4 Verificar que la serie dada es divergete e) =0 + ( ) (, 055) =0 + +! 5 Verificar que la serie dada coverge: (0, 9) =0 (Usar fraccioes simples) ( + ) ( + ) 6 Calcular la suma de las series covergetes dadas ( ) 4 ( + ) ( + )( + 3) ( ) 3 7 Expresar cada decimal periódico como ua serie geométrica y escribir su suma e forma de cociete de dos úmeros eteros 0, , 55

3 CI Igeiero Técico e Iformática Curso Sea a ua serie covergete y sea R = a + + a + + el resto de la serie tras los primeros térmios Demostrar que lim R = 0 9 Hallar dos series divergete a y b tales que (a + b ) sea covergete Si a coverge y b diverge, demostrar que (a + b ) diverge 0 Usar el criterio de comparació directa para saber si la serie coverge o o e) f) =0 = = log +! e =0 4 3 Usar el criterio de comparació e el límite para determiar si la serie es covergete o divergete e) = ( + ) k k +, k > ( ) tg Usar el criterio de comparació e el límite co la serie armóica para demostrar que la serie a (co a 0) diverge si lim a 0 3 Probar que la serie si( ) diverge Ayuda: Usa el apartado aterior 4 Probar que si P () y Q() so poliomios de grados respectivos j y k, la serie

4 CI Igeiero Técico e Iformática Curso coverge si j < k y diverge si j k P () Q() 5 Aalizar si la serie dada es covergete o divergete, usado el criterio de series alteradas e) f) ( ) + si ( ) + ( ) + log( + ) + ( + )π ( ) ()! ( ) + e e 6 Determiar si la serie dada es codicioal o absolutamete covergete e) f) = ( ) + ( + ) ( ) + + ( ) log ( ) 3 cos si[( )π/] 7 Demostrar que la serie armóica alterada geeralizada ( ) ( ) p coverge si p > 0 8 Probar que si a coverge, etoces a coverge 9 Determiar si la serie dada es covergete o divergete

5 CI Igeiero Técico e Iformática Curso e) f) g) h) i) j) k) l) m) ) 3 ( ) + ( ) + ( + ) ( + ) ( ) =0! 3! 3 ( + ) ( ) +! 3 5 ( + ) e =0 ( ) 3! =0 cos ( 3) ( + ) a(a + )(a + ) (a + + ), a, b > 0 b(b + )(b + ) (b + + ) 0 Aproximar la suma de la serie covergete co u error meor que ɛ e) =0 ( ) + 3 co ɛ = 000 ( ) co ɛ = 000! co ɛ = 0 co ɛ = ! co ɛ = 00

6 CI Igeiero Técico e Iformática Curso Sucesioes y series de fucioes Se defie, para cada IN, la fució f : [0, ) IR dada por: f (x) = + x k, k IR+ Ecotrar la fució límite putual de la sucesió fucioal {f } Justificar que la covergecia o es uiforme Sea {f } co f : [0, ] IR la sucesió de fucioes dada por: f (x) = xe x Comparar lim f co lim 0 0 Qué se deduce de este resultado? f 3 Exame Se defie, para cada IN, la fució f : [ π, π] IR dada por f (x) = x + x Se pide ecotrar la fució límite putual de {f } y justifica que la covergecia o es uiforme 4 Exame Demostrar que la serie si(x) 3 coverge uiformemete e R y además π 0 si(x) 3 dx = ( ) 4

7 CI Igeiero Técico e Iformática Curso P-: + ( + )( + )! 3 5 ( ) e) ( ) + f) ( ) Solucioes a los ejercicios Sucesioes y series uméricas P-: e) Sucesió o covergete a = 0, a = ( ) f) E pricipio se tiee: lim a = Para resolver vamos a usar el Teorema del sadwich (o ecaje) Observemos que: 0! = Sea b = 0 y c = / como ambas tiee límite 0 y al estar a =! etoces se tiee: lim a = 0 ecajada etre ellas, g) Se tiee que: lim a = para resolver esta idetermiació, usamos la propiedad que relacioa el límite de ua fució co el de ua sucesió Para ello cosideremos la fució f(x) = xp e x que cumple que f() = a Por tato, se tiee que lim a = lim f(x) x Abordamos la idetermiació lim x f(x) = lim f(x) = lim p xp x x e x = mediate la Regla de L Hôpital, obteiédose: { 0 p 0 p > 0 E el caso e que p > 0, aplicamos de uevo L Hôpital: { xp 0 p 0 lim f(x) = lim p(p ) x x e x = p > 0 Por tato, aplicado L Hôpital exactamete p -veces llegamos a: lim f(x) = 0 x

8 CI Igeiero Técico e Iformática Curso h) 0 i) j) Para calcular el siguiete límite, lim a, recurrimos a la Regla de Stolz, dode a = c b co c = y b = Veamos que se satisface las codicioes de esta regla: Es claro que b es estrictamete creciete lim b = Por tato, pasamos a calcular el siguiete límite: lim c c b b = lim ( ) = lim al existir, coicide co el límite de a = c /b Por tato, teemos lim a = lim =, P-3:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 3/, 573, 8/5, 3/8, /3, 34/, 55/34, 89/55, 44/89 + = + = a + a = a + = b b a a a a Tomado límite e los dos extremos de la idetidad del apartado aterior, se tiee: lim b = + lim b usado que lim b = lim b, y deotado lim b por α llegamos a la ecuació: resolviédola se tiee: α = ± 5 α = + α, P-4: Diverge pues lim + = 0 Diverge por ser ua serie geométrica de razó 3/ > Diverge por ser ua serie geométrica de razó, 055 > Diverge pues lim + + = 0 e) Diverge pues lim! = lim 3 > lim = > 0, por tato, o verifica el teorema del límite del térmio geeral de ua serie covergete P-5: Covergete por ser serie geométrica de razó 0, 9 < Es ua serie telescópica: ( + ) = ( ) + Por el criterio de comparació por paso al límite: lim /(( + )) / = Como coverge, etoces ( + ) tambié

9 CI Igeiero Técico e Iformática Curso P-6: Serie geométrica de razó / La suma es: 4 ( + ) = 4 / ( /) = /3 ( + = + ) = 3 Para resolver este tipo de ejercicios, dode se os pide calcular la suma exacta de ua serie umérica, debemos caer e el hecho de que e teoría sólo hemos visto como se suma dos tipos de series: las geométricas y las telescópicas Por ello, lo primero que debemos hacer es ver a que modelo de las dos ateriores se ajusta mejor, la serie que pretedemos sumar E este caso es claro que o se parece a ua geométrica Ahora, vamos a descompoer el cociete e fraccioes simples, para ver si se ajusta al modelo de las telescópicas: ( + )( + 3) ( + )( + 3) = A + + B + 3 operado teemos A = / y B = / Además observamos que si b = / + etoces b + = / +3, por tato teemos: ( + )( + 3) = ( / + / ) = + 3 (b b + ) = b lim b + = b = /6 Teiedo e cueta que las series y 3 so geométricas de razó r = / y r = /3, respectivamete Por tato, ambas covergetes, se tiee que: Además, ( ) 3 = 3 = / / = y 3 = /3 = / Así pues: /3 ( ) 3 = / P-7: = = = 75 ( ) 0 0 = 75 /0 0 /0 = = = P-8: Llamado S = a i y S = i= ( ) 0 = a i, teemos que S + R = S Tomado límite e esta igualdad i= última y usado la propiedad de los límites, teemos: lim S + lim R = lim S usado que lim S = S (límite de ua sucesió costate) y que lim S = S (por defiició), deducimos que lim R = 0

10 CI Igeiero Técico e Iformática Curso P-9: Por ejemplo, y + es covergete so divergetes, pero ( + ) = + ( + ) Si a coverge y b diverge, demostrar que (a + b ) diverge: Por reducció al absurdo, supoer que (a + b ) coverge Etoces ((a + b ) a ) = b tambié covergería lo que cotradice la hipótesis P-0: Para cualquier atural se tiee: + > + < + como sabemos que coverge, etoces + tambié Coverge Comparar co ( ) 3 Para 3, se tiee: < l + < l + =3 + =3, l +, l como sabemos que diverge, etoces tambié (Obsérvese que la serie de + + =3 =3 este apartado comieza la suma e =, pero sabemos que el carácter de ua serie o depede del valor dode se comiece la sum Coverge Comparar co e) Coverge Comparar co f) Diverge Comparar co ( ) 4 3 P-: Divergete Comparar co Covergete Comparar co 3 Covergete Comparar co 3 Divergete Comparar co e) Divergete Comparar co P-: Supoiedo que lim a es distito de cero Comparado a co, teemos que: Como diverge, etoces a tambié lim a / = lim a 0

11 CI Igeiero Técico e Iformática Curso P-3: La serie diverge Podemos probarlo, al meos, de dos formas: Usar el apartado aterior Dode a = si( ), es claro que Etoces la serie diverge a > 0 y lim a = 0 Usar el criterio de comparició por paso al límite co la serie P-4: Los poliomios so de la forma: P () = a j j + a j j + + a + a 0 y Q() = a k k + a k k + + a + a 0, co a j 0 a k Por el criterio de comparació, lim P ()/Q() / j+k = a j a k que es fiito y distito de cero Por tato, como la serie si j + k, así ocurre co la del ejercicio j+k coverge si j + k > y diverge P-5: Obviamete se trata de ua serie alterada, pues se ajusta al modelo ( ) a (o ( ) + a ) co a 0 Vamos a ver que se satisface las codicioes del criterio de covergecia para series alteradas: a es ua sucesió decreciete Para ello cosideremos la fució f(x) = x que satisface que f() = a Estudiamos el crecimieto de f(x), del modo habitual, e el itervalo [, ) Para ello calculamos, f (x) = x, y estudiamos su sigo e [, ) que obviamete resulta ser egativo Por tato, teemos que f(x) es decreciete e [, ), cosecuetemete hemos probado que a es ua sucesió decreciete lim a = 0 Lo cual resulta obvio Teemos que la serie e cuestió es covergete No covergete pues o satisface la codició ecesaria de covergecia para ua serie (ie b coverge lim b = 0) Covergete No covergete pues o satisface la codició ecesaria de covergecia para ua serie e) Covergete f) Covergete P-6: Absolutamete covergete Codicioalmete covergete Codicioalmete covergete Absolutamete covergete e) Absolutamete covergete f) Codicioalmete covergete P-7: Usado el criterio para series alteradas: La sucesió {/ p } es decreciete Basta ver que la fució f(x) = /x p es decreciete para x y p > 0 pues f (x) = px p es egativa x [, )

12 CI Igeiero Técico e Iformática Curso lim /p = 0 cuado p > 0 P-8: Usado el criterio de comparació por paso al límite: P-9: lim a a = lim a = 0 (por ser a covergete) Por tato, como a coverge, tambié lo hace a Serie de térmios positivos Por el criterio de la raíz, lim = /3 <, luego la serie 3 coverge Serie de térmios positivos Por el criterio de la raíz la serie coverge Serie de térmios positivos Por el criterio de la raíz la serie coverge Serie covergete codicioalmete Usar el criterio de series alterada para ver que la serie coverge Comparar la serie e valor absoluto co la armóica para ver que diverge e) Coverge absolutamete Usar el criterio de la raíz f) Diverge Usar criterio del cociete g) Diverge Usar el criterio del cociete h) Coverge Usar el criterio de la raíz i) Coverge absolutamete Usar el criterio del cociete j) Coverge Usar el criterio de la raíz k) Coverge absolutamete Usar el criterio del cociete l) Coverge absolutamete Comparar la serie e valor absoluto co / m) Coverge absolutamete Usar el criterio del cociete ) Se trata de ua serie de térmios positivos Vamos abordar el estudio del carácter mediate el criterio del cociete Para ello estudiamos el siguiete límite: lim a + a = lim a + + b + + = a(a + )(a + ) (a + + ) dode a = Al ser el límite, el criterio del cociete o aporta b(b + )(b + ) (b + + ) iformació Ahora, aplicamos el criterio de Raabe, para ello estudiamos el límite: ( ) a (b lim = lim a + + a + = b a Si b a >, la serie coverge Si b a <, la serie diverge Si b = a +, etoces teemos la serie límite co ) a la cual diverge, (compárala por paso al a + + P-0: Lo primero que hay que hacer e este tipo de ejercicios es asegurarse que la serie e cuestió es covergete Pero el euciado ya os asegura que lo so Se trata de ua serie alterada covergete Por teoría el error cometido al tomar S e lugar de S es meor que el valor absoluto del primer térmio que se desprecia ( ) + ( + ) 3 < 0, 00 si y sólo si 3 + 0, 00 <, es decir 7 0, 00

13 CI Igeiero Técico e Iformática Curso Se trata tambié de ua serie alterada covergete ( ) + ( + )! < 0, 00 si y sólo si 000 < ( + )! Probado co =,, llegamos a que 6 Se trata de ua serie de térmios positivos Aplicamos el método de la mayorate Pues observamos que el térmio geeral de los sumados de la serie se puede mayorar muy fácilmete por los de ua serie fácilmete sumable (geométric, 0 <, esto os permite obteer la cota de R siguiete: R = k=+ k k k=+ k = R = + = El problema os pide que determiemos, para que el error sea meor que ɛ, lo cual se cosigue si R < ɛ, R ɛ, R < ɛ < 0 0 < lo cual se tiee, tomado = 4 Por tato S 4 = 4 error meor que 0 k=+ aproxima a S = co u Se trata de ua serie de térmios positivos Aplicamos el criterio itegral para obteer ua cota del error y obteemos: R = [ ] t 5 t 5 dx = 4t 4 = t= 4 4, Por tato, para coseguir que S = tega u error meor que ɛ, es suficiete que 5 4 < 000, o sea > 4 50 = 397, es decir, bastará co tomar los 4 primeros sumados, de los que se obtiee: S 4 = = e) Se trata de ua serie de térmios positivos Aplicamos el método del cociete, pues el criterio de la mayorate o es factible de ser aplicado al igual que el itegral (se deja al alumo que itete aplicarlos y observe las dificultades que aparece) El método del cociete cosiste e hallar u úmero atural N y u úmero real 0 < k < tal que a + a k <, N Ua vez hallados k y N, se tiee la siguiete cota del error: R = k=+ a a k, dode es cualquier atural mayor o igual que N k E uestro caso, a = 3 Itetamos determiar u valor para N y otro para k, para ello! b = a + a = 3 +,

14 CI Igeiero Técico e Iformática Curso se tiee que además b es decreciete, por tato b = 3 + < >, 0 < b b 3 <, si 3 Así pues podemos tomar N = 3 k = b 3 = 3 4, por cosiguiete, teemos la siguiete cota del error R 3! 3/4 3/4 = 3+! Por tato, para coseguir que S tega u error meor que ɛ, es suficiete que 3 +! < 0, o sea es decir, bastará co tomar los primeros sumados, S = 3! Sucesioes y series de fucioes P-: La fució límite putual es f(x) = { 0 si x > 0 si x > 0 Dado que las fucioes f so cotiuas, pero la fució límite o, se deduce que la covergecia e [0, +) o es uiforme P-: Por u lado, f(x) =lim f (x) = 0 para todo x [0, ] por tato 0 lim f =0 Por otro lado, lim 0 f = De este resultado se deduce que la covergecia o es uiforme P-3: El problema os pide que calculemos el siguiete límite: f(x) = lim f (x) que evidetemete va a depeder del valor cocreto de la x Es muy fácil ver que f(x) = lim f (x) = si < x π / si x = 0 si x < La fució límite f o es cotiua e [ π, π] (estudiar la cotiuidad e x = o ) Si embargo, las f si so cotiuas Por tato, podemos iferir que o existe covergecia uiforme de {f } e [ π, π] P-4: Usamos el criterio de la mayorate de Weierstrass Primero vemos que satisface las codicioes de este criterio: Para cualquier IN se tiee que si x 3, x IR,

15 CI Igeiero Técico e Iformática Curso La serie umérica Por tato, si x 3 es covergete coverge uiformemete e IR Gracias a la covergecia uiforme de la serie, podemos garatizar que se pueda itegrar térmio a térmio π π 0 si x 3 dx = 0 si x 3 dx = [ cos x ] π 4 = 0 cos π + 4 = ( ) 4