Universidad Simón Bolıvar. Departamento de Matemáticas puras y aplicadas. Autoevaluación No. 1 MA2115 Enero 2009

Transcripción

1 Uiversidad Simó Bolıvar. Departameto de Matemáticas puras y aplicadas. Autoevaluació No. MA25 Eero 2009 I. Evaluació Teórica.. Diga la defiició de ua sucesió covergete, la defiició de ua sucesió divergete y la defiició de ua sucesió acotada. De ejemplos de cada ua de ellas. 2. Diga para cuáles valores de p, la serie a 3. E el criterio de la razó, se defie L = lim + a e el criterio de la raiz, se defie L = lim los criterios cuado L=?. p es covergete.. Aálogamete, a Qué ocurre co 4. Diga la defiició de ua serie covergete, ua serie codicioalmete covergete y la defiició de ua serie absolutamete covergete. Ua serie codicioalmete covergete, es absolutamete covergete?. Ua serie absolutamete covergete, es codicioalmete covergete?. 5. Decida si es verdadero o falso, justificado su respuesta. a) Si lim a = 0, la serie coverge? b) Si la serie 0 a diverge, la serie 0 a2 diverge? c) Si {a } y {b } so dos sucesioes divergetes, etoces {a +b } es divergete? II. Evaluació Práctica.. Cosidere la sucesio defiida por a = 24 a +3 4 si ya 0 =. a) Demuestre que la sucesió es covergete. b) Calcule su límite. 2. Halle el valor de la serie

2 3. Decida si cada ua de las siguietes series, coverge codicioalmete, coverge absolutamete o diverge. a) d) ( ) + l b) 2 e) l 4 () se () (2)! c) f) ( )/ ( ) + arcta() 4. Determie el cojuto y radio de covergecia de la serie 3 (x +) 5 5. Hallar el desarrollo de Maclauri de x 0 cos(t2 )dx. 2

3 Respuestas. I. Parte teórica.. Las defiicioes so las siguietes: Sucesió covergete: Diremos que ua sucesió {a } 0 es covergete, si existe u valor L R, L fiito, tal que lim a = L. Por ejemplo, la sucesió a =+2, co 0, es covergete, porque lim (+2 )=. Sucesió divergete: Ua sucesió {a } 0 es divergete, cuado el límite de la sucesió {a } 0 o existe, o lim a = ±. Por ejemplo, la sucesió defiida por a = {, 3 si es par, si es impar, es divergete (o o covergete) porque el limite o existe. (No sabemos si L=0 o L=). Por otra parte, si cosideramos a = 2 +, la sucesió diverge, porque lim ( 2 +)=. Sucesió acotada: Ua sucesió {a } 0 es acotada, si existe u valor M>0, tal que a M, para todo 0. Por ejemplo, a = cos 2 () es acotada, porque cos 2 (), para todo 0. (Si embargo, la sucesió o es covergete). 2. Utilizamos el criterio de la itegral, que os dice que la serie p coverge si y sòlo si la itegral dx es covergete. Para ello x p cosideramos los siguietes casos: a) Si p 0: es obvio que la serie diverge, porque el tèrmio geeral o tiede a cero. b) Si p>0: evaluamos la itegral impropia a dx = lim xp a x pdx = Observado que lim a l(a) = y lim a coluimos que la serie a p+ p + = a {lim p+ a p+ p si p lim a l(a), si p =. { 0, si p>, si p<, coverge a, cuado p>. p p 3

4 3. El criterio del cociete, os dice que si cosideramos ua serie de térmios positivos, 0 a a, y defiimos L = lim + a, etoces la serie coverge si L<, diverge si L>yo dice ada, cuado L =. Similar, es el euciado del criterio de la raiz, dode defiimos L = lim a. Cuado L =, los criterios o so cocluyetes. Los siguietes ejemplos, demuestra esta afirmació. diverge, pero lim a + a = lim =. + a coverge, pero lim + 2 a = lim 2 =. (+) 2 diverge, porque el límite del térmio geeral o es cero, pero lim a = lim =. coverge, pero lim 3 a = lim 3 =. 4. Sea ua serie a. Defiimos: Serie covergete: Ua serie es covergete, si la sucesio de sus sumas parciales, S = k= a k, es ua sucesio covergete. Es decir; existe u valor L (fiito), tal que lim S = L. Serie codicioalmete covergete: Ua serie es codicioalmete covergete si a coverge, pero a diverge. Serie absolutamete covergete: Ua serie es absolutamete covergete, si a coverge. Covergecia absoluta, implica covergecia codicioal. Basta ver, aplicado la desigualdad triagular, que a a a. Covergecia codicioal o implica covergecia absoluta. Basta cosiderar la serie ( ). Esta serie coverge codicioalmete aplicado el criterio de Leibiz. Cosiderado la sucesió a =/, ob- servamos que: a 0, para todo, a es decreciete, ya que como +, etoces a + = = a + y además, diverge, gracias al criterio de la ite- lim a =0. Pero la serie a = gral. 4

5 5. a) Falso. Para desmotrar esto, cosideramos la serie armóica, dode a =. La serie es divergete, pero el límite del térmio geeral tiede a cero. b) Falso. Basta cosiderar las series,y. La primera 2 diverge, pero la seguda coverge. c) Falso. Cosideremos las sucesioes a = 2 y b + = 2, para 0. Ambas sucesioes diverge, porque lim 2 + = y lim 2 =, pero lim (a b ) = lim 2 = 2, por lo tato, {a + b } coverge. Por otra parte, si cosideramos a = 2 y b = 3, ambas defie sucesioes divergetes y además, lim (a + b ) = lim =. Por lo tato, la suma de dos sucesioes divergetes, puede coverger o diverger. II. Ejercicios prácticos.. a) Al evaluar, por ejemplo, los primeros tres térmios de la sucesió, a 0 =, a =/4, a 2 =3/96,... ituimos que la sucesió es decreciete. Vamos a demostrar que la sucesió decrece utilizado iducció. Es obvio que se cumple a a 0. Supoemos que a k a k y teemos que demostrar que a k+ a k. Por defiició, a k+ = 2(k+)4 +3(k+) 4 a k. Si deotamos por f(k) = 2k4 +3k 4, podemos expresar a k+ = f(k +)a k y a k = f(k)a k. Ahora, utilizado la hipótesis iductiva, teemos que a k+ = 2(k +)4 +3(k +) 4 a k 2(k +)4 +3(k +) 4 a k = f(k +)a k. 5,

6 Luego, basta demsotrar que f(x) = 2x4 +3x 4 es decreciete, para cocluir que la sucesió {a k } k es tambié decreciete. Como f (x) = 4x3 ( + 3x 4 ) 2 y f (x) < 0six>0, cocluimos que f decrece. Así, a k+ f(k +)a k f(k)a k = a k. E coclusió, la sucesió es positiva, decreciete y acotada iferiormete por cero. Por el teorema, {a k } k es covergete. b) Si deotamos por lim a = L, como lim a 2 4 = lim +3 a, 4 teemos que L = 2 L y por lo tato, ( 2 )L = 0, cocluyedo 3 3 que L = Observamos que es ua serie geómetrica covergete, porque 2 r = <, cuyo valor de covergecia es dado por 2 ( ) 3 ( ) 2 =3 2 =3 = Por otra parte, es ua serie telescópica. E efecto, aálogo 2 + al método de fraccioes simples, podemos expresar 2 = E cosecuecia, las sumas parciales S m so m S m = 2 = m ( ) 2 + Por lo tato, = = = 2 m + 2 m+. ( = lim 2+ m 2 m + ) = 2 m+ 2. 6

7 E coclusió, = = a) 2 + diverge, porque lim = 0. 2 b) 2 coverge, ya que mediate el criterio de la itegral y l 4 () el cambio de variable u =lx, 2 dx x l 4 (x) = l 2 du e 4u = 2 6. c) ( )/ diverge, porque si aplicamos el criterio de comparació por el límite, cosiderado la serie y deotamos b = y a = ( )/, teemos que a lim = lim ( )/ = lim / = b y como la serie diverge, cocluimos que la serie del ejercicio diverge. d) l ( ) + es ua serie de térmios positivos y teléscopica, ya podemos expresar l ( ) + =l( +) l() y sus sumas parciales m S m = l( +) l() = l(m +) l(2). = E cosecuecia, ( ) + l y por lo tato, diverge. e) = lim l(m +) l(2) = m se () (2)! coverge, porque como (2)!, etoces se () (2)! se () (2)! (2)! y mediate el criterio de la raíz, teemos que porque lim = lim =0<. 7 coverge,

8 ( ) + arcta() es ua serie alterada que o puede coverger, de- e) bido a que lim arcta() = 2 π Cosiderado, lim a + (x +) + a (x +) = lim 3 + (x +) (x +) ( + )3 = 3 x+ lim 5 +, observamos que 3 x + <, si y sólo si x + < 5. E cosecuecia, 5 3 R =5/3 yx ( 8, 2 ). 3 3 Ahora, estudiamos las series e los extremos del itervalo aterior. Si sustituimos x = 2/3 e la serie de potecias del ejercicio, obteemos la serie umérica, la cual diverge. Si sustituimos x = 8/3 e la serie de potecias, obteemos la serie umérica ( ), la cual coverge. E coclusió, el radio de covergecia es R =5/3 y el itervalo de covergecia es x [ 8, 2) Partiedo del desarrollo de la fució cos(x), ( ) x 2 cos(x) = para todo x R, (2)! =0 y realizado el cambio de variable x = t 2, cos(t 2 ( ) t 4 )= para todo t R. (2)! 0 =0 Itegrado la igualdad aterior, térmio a térmio los elemetos de la serie, obteemos x cos(t 2 ( ) x )dt = t 4 ( ) x 4+ dt = (2)! (4 + )(2)!. Por lo tato, x 0 cos(t 2 )dt = =0 =0 0 ( ) x 4+ (4 + )(2)! =0 para todo x R. Nota: observacioes y sugerecias escribir a iathamai@usb.ve 8