Sucesiones y series numéricas

Transcripción

1 TEMA 6 Sucesioes y series uméricas Objetivos: Los objetivos so: () estudiar la covergecia de las sucesioes uméricas, (2) Coocer las series uméricas y sus propiedades; (3) saber aplicar los criterios y estudiar la covergecia de las series uméricas. Prerrequisitos: Maipulació de expresioes y propiedades de las fucioes elemetales. Cocepto de límite de ua fució y cálculo de límites (regla de L Hôpital). Coteido: Lecció 6. Sucesioes uméricas. Defiició, características y covergecia. Estudio de la covergecia y cálculo de límites. Ifiitésimos equivalete. Lecció 6.2 Series uméricas. Defiició, propiedades elemetales y suma de series. Criterios de covergecia. Lecció 6.3 Series fucioales. Itroducció: fucioes defiidas mediate series. Series de potecias y series de Taylor. Aplicacioes a la suma y aproximació de series uméricas. Series trigoométricas y serie de Fourier. Igeiería Iformática. Cálculo para la computació 27

2 28 Cálculo para la computació LECCIÓN 6. Sucesioes uméricas La palabra sucesió desiga ua colecció ordeada de objetos, de modo que uo de ellos se idetifica como el primero, otro como el segudo, etc. Por lo tato, ua sucesió umérica es ua secuecia de úmeros ordeados. Defiició 6. Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació a: N R a 0 a a 2 a 3... a... Estas fucioes se represeta co otació de subídices e lugar de co parétesis, es decir, al 0 le hace correspoder a 0 (e lugar de a(0)), al le hace correspoder a (e lugar de a()), y así sucesivamete. Los úmeros reales a 0, a, a 2, a 3,..., a,... so los térmios de la sucesió; a es el térmio -ésimo de la sucesió, es decir, el térmio que ocupa la posició y se deomia térmio geeral de la sucesió; y la sucesió completa se deota {a }, o simplemete a. E alguas ocasioes o será posible o o iteresará comezar la sucesió co a 0, sio e cualquier otro térmio, de modo que la sucesió será: {a k, a k+, a k+2,... } para algú k > 0. Ejemplo 6.. Veamos alguos ejemplos de sucesioes: Los térmios de la sucesió a = co so, 2, 3, 4,...,... Los térmios de la sucesió b = ( ) so,,,,,..., ( ),... Los térmios de la sucesió c = 2 2 co so 2 2, , , =, 3 4, 7 9, 5 6,... Los térmios de la sucesió d = co so, , , , =, 3 4, 2 9, 5 28,... E.T.S.I.Iformática

3 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 29 E los ejemplos ateriores, hemos defiido la sucesió a partir de la fórmula que proporcioa el térmio geeral. Si embargo, existe otras formas de expresar o dar a coocer los térmios de ua sucesió. Ua de ellas es utilizado ua propiedad característica. Por ejemplo, la sucesió de úmeros aturales acabados e 7 es {7, 7, 27, 37, 47, 57, 67,... }, la sucesió de úmeros pares es {2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8,... }, la sucesió de múltiplos de 3 es {3, 6, 9, 2, 5,... } o la sucesió de úmeros primos es {2, 3, 5, 7,, 3, 7,... }. Otra forma de defiir ua sucesió es mediate ua ley de recurrecia o fórmula que permita calcular u térmio a partir de los térmios que le precede. E este caso será ecesario coocer uo o varios térmios iiciales. Por ejemplo, la ley de recurrecia: a = a = + a si > defie la sucesió {, 3, 6, 0, 5, 2, 28,... } dode a es la suma de los primeros úmeros aturales, que tambié se puede expresar así: ( + ) a = k = 2 k= Depediedo de la ley de recurrecia, a veces es ecesario coocer más de u térmio de la sucesió. Por ejemplo, la ley de recurrecia a = a 2 = a = a + a 2 si > 2 que defie la sucesió {,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,... }, coocida como sucesió de Fiboacci. Como e el caso aterior, para calcular el térmio geeral de la sucesió será ecesario resolver la ecuació de recurrecia (coteidos de la asigatura de Matemática Discreta) y, e este caso, obteemos que: ( ) ( ) a = Mootoía de ua sucesió Como vemos e la siguiete defiició, el palabra mootoía se refiere a las propiedades de crecimieto o decrecimieto de los térmios de la sucesió. Defiició 6.2 Sea a ua sucesió de úmeros reales:. Decimos que a es moótoa creciete o simplemete creciete si a a + para todo y decimos que es estrictamete creciete si a < a + para todo. Igeiería Iformática

4 220 Cálculo para la computació 2. Decimos que a es moótoa decreciete o simplemete decreciete si a a + para todo y decimos que es estrictamete decreciete si a > a + para todo. Para estudiar la mootoía de ua sucesió, tedremos que probar que se cumple algua de las desigualdades ateriores y, para ello, podemos utilizar métodos de demostració como iducció o reducció al absurdo. Otro método alterativo cosiste e cosiderar (si tiee setido) la fució de variable real f defiida e [, ) y tal que f() = a, y determiar el crecimieto de esta fució estudiado el sigo de la primera derivada. Si f es moótoa etoces a tambié lo será. Ejemplo 6..2 E el ejemplo 6.., las sucesioes a y d so decrecietes, la sucesió b o es moótoa y la sucesió c es creciete. Acotació de ua sucesió Defiició 6.3 Sea a ua sucesió de úmeros reales:. Decimos que a está acotada superiormete si el cojuto {a N} está acotado superiormete; es decir, si existe u úmero real M tal que a M para todo. 2. Decimos que a está acotada iferiormete si el cojuto {a N} está acotado iferiormete; es decir, si existe u úmero real M tal que M a para todo. 3. Decimos que a está acotada si el cojuto {a N} está acotado superior e iferiormete; es decir, si existe u úmero real positivo M tal que a M para todo. Ejemplo 6..3 E el ejemplo 6.., las sucesioes a, b y d está acotadas, y la sucesió c está acotada iferior pero o superiormete. E.T.S.I.Iformática

5 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 22 Subsucesioes Ua subsucesió es u subcojuto de térmios de la sucesió ordeados de la misma forma y que costituye ua ueva sucesió. Defiició 6.4 Decimos que la sucesió b es ua subsucesió de a si existe ua aplicació f : N N estrictamete creciete tal que: b = a f(). La codició de crecimieto de f asegura que el orde de los térmios de la subsucesió es el mismo que el de los térmios de la sucesió de orige. Por ejemplo, para ua sucesió cualquiera, a, los térmios correspodietes a los ídices pares forma ua subsucesió que es a 2 = {a 2, a 4, a 6, a 8, a 0, a 2,... } e igualmete, los térmios correspodietes a los ídices impares tambié forma ua subsucesió que es a 2 = {a, a 3, a 5, a 7, a 9, a,... } Ejemplo 6..4 La subsucesió a 2 de la sucesió a = ( ) es 3, 8, 5, 24, 35, 48, Covergecia de ua sucesió La característica más importate que se estudia e ua sucesió es su comportamieto a largo plazo, es decir, la tedecia de los térmios de la sucesió hacia u valor límite. Esta posible propiedad se deomia covergecia. Defiició 6.5 Sea a ua sucesió.. Decimos que l R es el límite de la sucesió a si para todo ε > 0, existe u úmero atural N tal que a l < ε para todo N (véase la figura 6.). E tal caso escribimos lím a = lím a = l y decimos que a es covergete y coverge a l. Si la sucesió o es covergete, decimos que es divergete. 2. Decimos que + es el límite de la sucesió a si para todo M R, existe u úmero atural N tal que a > M para todo N. E tal caso decimos que la sucesió diverge a + y escribimos lím a = +. Igeiería Iformática

6 222 Cálculo para la computació Figura 6.: Si lím a = l etoces para N los térmios de la sucesió dista de l meos de ε uidades. 3. Decimos que es el límite de la sucesió a si para todo M R, existe u úmero atural N tal que a < M para todo N. E tal caso decimos que la sucesió diverge a y escribimos lím a =. E adelate utilizaremos la siguiete otació: R = R {, + }; este cojuto se deomia R ampliado. Veamos ahora ua serie de resultados relacioados co la covergecia de sucesioes. Proposició 6.6 Ua sucesió covergete tiee u úico límite. Proposició 6.7 Sea a y b dos sucesioes covergetes a l y m respectivamete; etoces:. lím(a + b ) = l + m 2. lím a b = l m 3. Si b 0 para todo y m 0, etoces lím b = m. 4. Si b > 0 para todo N y m = 0, etoces lím b = + 5. Si b < 0 para todo N y m = 0, etoces lím b = Esta proposició se geeraliza a límites ifiitos co la proposició siguiete. E el euciado de la misma vamos a utilizar varias expresioes dode se utiliza el símbolo ; tales expresioes debe cosiderarse como abreviaturas; E.T.S.I.Iformática

7 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 223 por ejemplo, + + l = + debe leerse como sigue: el límite de ua sucesió que es suma de ua sucesió divergete a + y otra covergete a l, es +. Proposició 6.8 Las siguietes igualdades simbólicas so válidas:. ± + l = ± 2. (+ ) + (+ ) = (+ ), ( ) + ( ) = ( ). 3. (+ )(+ ) = +, ( )( ) = +, (+ )( ) =. 4. /(± ) = 0 Como se puede ver, las siguietes situacioes o está cotempladas e la proposició aterior y, por tato, o puede resolverse directamete: ( ( ) 0,, (0 ), ((+ ) (+ )) ) 0 Si, e ua primera evaluació, os ecotramos co uo de estos casos, diremos que el límite está idetermiado (a priori). E estos casos ecesitaremos realizar trasformacioes algebraicas que covierta la expresió de la sucesió e otra que sí permita calcular el límite. Este tipo de problemas se cooce como cálculo de límites y e él, se estudia alguos resultados o criterios de covergecia que facilita este cálculo de límites. Ejemplo 6..5 La sucesió a = del ejemplo 6.. es covergete y su límite es 0 aplicado la propiedad 4 de la proposició 6.8. A partir de ella, podemos deducir el límite de cualquier expresió racioal si más que aplicar las propiedades de la proposició 6.7. Estudio de la covergecia y cálculo de límites E esta secció vamos a presetar alguos resultados que se utiliza para estudiar la covergecia de ua sucesió y que se cooce como criterios de covergecia. Tambié estudiaremos alguos resultados que se utiliza para determiar que ua sucesió es divergete, so los llamados métodos de refutació. Y, por último, presetaremos alguas técicas de cálculo de límites para aplicar e aquellas sucesioes que sea covergetes. Los resultados que vamos a presetar sólo se puede aplicar a uas determiadas sucesioes, de modo que para utilizarlos será ecesario verificar que se cumple todas las codicioes exigidas. Si embargo, el estudio de la covergecia y el cálculo del límite de ua sucesió está relacioado co el Igeiería Iformática

8 224 Cálculo para la computació comportamieto de los térmios de la sucesió a largo plazo; por tato, las codicioes que se exija e u criterio o es ecesario que se verifique para todos los térmios de la sucesió, sio a partir de u lugar. Por ejemplo, si u criterio exige que la sucesió sea de térmios positivos, o importará que los primeros térmios de la sucesió (u subcojuto fiito de ellos) sea egativos y, por lo tato, tambié podremos aplicar el criterio e este caso. Mootoía y covergecia Las siguietes resultados relacioa las codicioes de mootoía y de covergecia. Proposició 6.9 Toda sucesió covergete está acotada. Proposició 6.0 Toda sucesió moótoa y acotada es covergete, y e particular se verifica Toda sucesió creciete y acotada superiormete es covergete. Toda sucesió decreciete y acotada iferiormete es covergete. Toda sucesió creciete y o acotada superiormete diverge a +. Toda sucesió decreciete y o acotada iferiormete diverge a. Ejemplo 6..6 La sucesió a = es creciete y o acotada y por tato, lím = +. La sucesió b = es decreciete y acotada iferiormete y e cosecuecia covergete. Por la proposició 6.8 podemos afirmar que: lím = 0 Ejemplo 6..7 La sucesió a = ( + ) es ua sucesió creciete y acotada y e cosecuecia es covergete. El límite de esta sucesió es u úmero irracioal y trascedete (es decir, o es raíz de igú poliomio de coeficietes racioales) y se deota por e siedo su valor aproximado 2, De hecho, de esta forma se defie el úmero e, base del logaritmo eperiao y de la fució expoecial. Además, e geeral, se verifica que, si x es ua sucesió divergete a ±, etoces ( lím + ) x = e x E.T.S.I.Iformática

9 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 225 Alguos límites, que iicialmete respode a la idetermiació ( ) puede resolverse utilizado estas sucesioes. ( ) 2 ( 3 lím = lím + ) ( ( = lím + ) 3 ) 2/(3 ) = e 2/3 3 Ejemplo 6..8 La sucesió a = log es ua sucesió decreciete y acotada y, e cosecuecia, covergete. El límite se deomia costate de Euler, se deota por γ y su valor aproximado es 0, De este úmero se cooce muchas meos propiedades que para el úmero e o el úmero π; por ejemplo, o se sabe aú si este úmero es racioal. Tambié podemos utilizar este límite para estudiar otras sucesioes. lím log == lím a + log log = lím ( ) a log + = Acotació y covergecia El siguiete resultado se aplica e alguos casos dode la sucesió está acotada Teorema 6. (Teorema de Compresió). Sea a, b y c tres sucesioes tales que a c b y lím a = lím b = l R; etoces, lím c = l. 2. Sea a ua sucesió covergete a 0 y b ua sucesió acotada; etoces, lím a b = 0. Ejemplo 6..9 Para estudiar la covergecia de la sucesió c = buscamos dos sucesioes covergetes y co el mismo límite que permita acotar el térmio geeral de la sucesió c : = Si observamos que las sucesioes a = 0 y b = so covergetes a 0, podemos deducir, aplicado el teorema 6. que la sucesió c es tambié covergete a 0. Igeiería Iformática

10 226 Cálculo para la computació Ejemplo 6..0 Aplicado el teorema 6. podemos deducir que lím se = 0 pues la sucesió a = se se puede expresar como producto de ua sucesió acotada (se ) por otra sucesió ( ) covergete a 0. Criterio de Stöltz-Cesaro El siguiete resultado se aplica e el cálculo de límites de sucesioes y se asemeja bastate a la regla de L Hôpital utilizada e el cálculo de límites de fucioes. Teorema 6.2 (Criterio de Stöltz-Cesaro) Sea b ua sucesió creciete y divergete a + y sea a otra sucesió: si el límite lím a + a b + b existe, etoces el límite lím a b tambié existe y ambos coicide. Ejemplo 6.. Cosideremos la sucesió que verifica las codicioes del teorema 6.2. Etoces lím = lím 2 + ( + ) 2 2 = lím = 2. Obsérvese e el ejemplo aterior, la coveiecia de aplicar este criterio cuado la sucesió del umerador o del deomiador está costituida por ua suma de térmios. Si embargo, debemos teer e cueta que auque este resultado se suele aplicar e forma de igualdad, lím a b = lím a + a b + b, si al estudiar el límite del segudo miembro deducimos que o existe, etoces o podemos cocluir que el límite del primer miembro tampoco exista; e estas situacioes debemos desestimar el uso de este criterio e itetar otro método. Ejemplo 6..2 Sea a = ( ) y b = (b es creciete y divergete a + ); e este caso, la sucesió a + a es la sucesió { 2, 2, 2,... } que b + b es divergete y, si embargo, la sucesió a = ( ) es covergete a 0. b E.T.S.I.Iformática

11 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 227 Corolario 6.3 (Criterio del cociete) Sea x ua sucesió de térmios positivos tal que lím x + x = l, etoces, lím x = l. Este resultado es, efectivamete, ua cosecuecia del Criterio de Stoltz e igualmete se suele escribir como ua igualdad: lím x = lím x + x Si embargo, debemos teer e cueta que puede existir el límite del primer miembro y o existir el límite del segudo. Ejemplo 6..3 Si reescribimos la sucesió a = utilizado la fució logaritmo, observamos que ua primera evaluació de su límite os coduce a ua idetermiació ( ) lím log = lím exp = exp(0 ) Si embargo, podemos utilizar el criterio del cociete para su cálculo, ya que lím + = y e cosecuecia lím = lím + = Subsucesioes y covergecia Las subsucesioes permite estudiar el límite de ua sucesió por casos. El resultado fudametal es el siguiete: Teorema 6.4 Ua sucesió a coverge a l R si y solo si toda subsucesió coverge a l. Si embargo, utilizaremos ua cosecuecia de este resultado que euciamos así: Proposició 6.5 Supogamos que dos subsucesioes b y c de a verifica que lím b = lím c = l y {a } = {b } {c }; etoces, lím a = l. Este resultado se puede geeralizar a cualquier úmero de subsucesioes co tal de que la uió de sus térmios sea la sucesió origial, como vemos e el siguiete ejemplo. Igeiería Iformática

12 228 Cálculo para la computació Ejemplo 6..4 Cosideremos la sucesió a = cos(π/2). Las cuatro subsucesioes a 4, a 4 2, a 4 3 y a 4 so covergetes a 0 y costituye ua partició (clasificació exhaustiva y excluyete) de los térmios de la sucesió a. Por lo tato, lím cos(π/2) = 0. Covergecia de sucesioes y fucioes Los coceptos de límite de sucesió y límite de fució está estrechamete relacioados. De hecho, la covergecia de fucioes se puede defiir e térmios de límites de sucesioes: Teorema 6.6 (Caracterizació secuecial) Cosideremos ua fució f : D R R y a R. lím f(x) = l R si y solo si: para toda sucesió x a {x } D, co x a para todo, y lím x = a, se verifica que lím f(x ) = l. Si trabajamos co fucioes cotiuas, etoces podemos sustituir l por f(a) e el teorema. Este resultado tiee importates cosecuecias prácticas respecto del cálculo de límites. Si recordamos que:. todas las fucioes elemetales so cotiuas e su domiio, y 2. si ua fució está determiada por operacioes algebraicas (suma, producto, cociete y composició) etre fucioes elemetales e u etoro de u puto a (etoro e Dom(f)), etoces la fució es cotiua e a. etoces podemos utilizar la caracterizació secuecial para calcular límites de sucesioes utilizado las propiedades de cotiuidad de las fucioes. Ejemplo 6..5 lím se π = se π 3 3 = 2 haciedo uso de que cotiua e R. lím x π/3 se x = se π 3 por ser la fució seo ua fució Otras importate cosecuecia de la caracterizació secuecial es que podemos utilizar todos los métodos de cálculo de límites de fucioes e sucesioes, por ejemplo, la regla de L Hôpital. E.T.S.I.Iformática

13 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 229 Ejemplo 6..6 Para calcular el límite de sucesioes lím log correspodiete límite de fucioes lím para obteer el resultado: x log x x log x lím x x = lím /x x = lím x x = 0 como cosecuecia de la caracterizació secuecial lím log cosideramos el y aplicamos la regla de L Hôpital = 0. Obsérvese que o se ha aplicado L Hôpital e el límite de sucesioes sio e u uevo límite de fucioes. Es decir, cambiar la por la x o es u simple cambio de variable, sio que implica la cosideració de ua fució, e lugar de ua sucesió. U tipo de expresioes que o hemos cosiderado hasta ahora so aquellas de la forma a = x y ; para trabajar co ellas usaremos siempre la siguiete igualdad: y x y log x = e y teiedo e cueta que la fució expoecial es cotiua e R, y que lím x + ex = +, y lím x ex = 0, podemos escribir que: y lím x lím(y log x) = e E este tipo sucesioes, surge tres uevos tipos de idetermiacioes, que se reduce, por la igualdad aterior, a la idetermiació 0. Métodos por refutació Co este ombre se cooce los distitos métodos utilizados para demostrar la divergecia de ua sucesió. U primer método cosiste e utilizar la caracterizació secuecial del siguiete modo: ecotrado dos sucesioes e las hipótesis del teorema, pero cuyas imágees o tega el mismo límite. Ejemplo 6..7 Vamos a probar que la fució se x NO tiee límite e +, es decir, lím se x o existe. Para ello, haciedo uso de la caracterizació x + secuecial, vamos a tomar dos sucesioes divergetes a + : x = 2π y = π 2 + 2π Igeiería Iformática

14 230 Cálculo para la computació Dado que: lím se x = lím 0 = 0 = lím = lím se y podemos cocluir que la fució se x o tiee límite e +. Otro método para demostrar la divergecia de ua sucesió es utilizado las subsucesioes. Por ejemplo, si cosideramos la sucesió a = ( ) observamos que los térmios correspodietes a los ídices pares es costatemete, mietras que los térmios correspodietes a los ídices impares es costatemete ; esto os lleva a la coclusió de que la sucesió o puede ser covergete. El resultado fudametal es teorema 6.4 ya euciado, si embargo, utilizaremos la siguiete formulació equivalete: Corolario 6.7 Supogamos que dos subsucesioes b y c de a verifica que lím b lím c ; etoces, la sucesió a o es covergete. Ejemplo 6..8 Por ejemplo, si a = ( ), etoces a 2 = y a 2+ = ; dado que lím a 2 = = lím a 2+, cocluimos que la sucesió a o es covergete. Ifiitésimos e ifiitos equivaletes Defiició 6.8 Decimos que la fució f(x) es u ifiitésimo e a si lím f(x) = 0 y f(x) 0 e u etoro reducido de a. x a Defiició 6.9 Decimos que dos fucioes f y g, so equivaletes e a si f(x) lím x a g(x) = La equivalecia de fucioes es realmete importate e los casos e que las dos fucioes so ifiitésimos e a o las fucioes so divergetes a ± e a, ya que e ellos la defiició de equivalecia da idetermiacioes del tipo 0 0 y respectivamete. Ejemplo 6..9 Para ver que se x y x so dos ifiitésimos equivaletes ecesitamos comprobar que. efectivamete so ifiitésimos lím se x = 0 y lím x = 0 x 0 x 0 E.T.S.I.Iformática

15 Tema 6: Sucesioes y series uméricas y que so equivaletes lím x 0 se x x (L H) cos x = lím = x 0 E el teorema siguiete vemos cómo se puede utilizar la equivalecia de ifiitésimos e el cálculo de límites de fucioes; la caracterizació secuecial de límites de fucioes hace que esta técica sea igualmete útil para el cálculo de límites de sucesioes. Teorema 6.20 Sea f y g dos ifiitésimos equivaletes e a y h(x) otra fució defiida e u etoro de a. Etoces: lím f(x)h(x) existe si y solo x a si lím g(x)h(x) existe, y e tal caso coicide. x a Este teorema justifica la técica que se cooce como sustitució de ifiitésimos equivaletes ya que, e la práctica, las equivalecias dadas e el euciado, se covierte e igualdades, de forma que, e las codicioes del teorema, escribimos: h(x) lím x a f(x) = lím h(x) x a g(x) Los ifiitésimos tambié puede sustituirse si aparece dividiedo al resto de la fució o sucesió y e geeral tedríamos que, e las codicioes del teorema aterior, y para cualquier α R: lím x a h(x) (f(x)) α = lím x a h(x) (g(x)) α No podemos sustituir ifiitésimos e otras situacioes y, e particular, o se puede sustituir si aparece como sumado. E el siguiete ejemplo, ua icorrecta sustitució de ifiitésimos os lleva a u resultado erróeo. Ejemplo El siguiete desarrollo es icorrecto x se x x x lím x 0 x 3 lím x 0 x 3 = 0 pues se ha aplicado ifiitésimos equivaletes(se x x) e ua suma. El límite puede calcularse correctamete utilizado la regla de L Hôpital: x se x cos x lím x 0 x 3 = lím x 0 3x 2 = se x 6x = 6 Igeiería Iformática

16 232 Cálculo para la computació Las equivalecias fudametales so: se x x e 0 tg x x e 0 cos x x2 e 0 2 arc se x x e 0 arc tg x x e 0 e x x e 0 log( + x) x e 0 A partir de estas se puede obteer muchas otras co los siguietes resultados: Teorema 6.2 Sea f y g dos ifiitésimos equivaletes e a y sea h(x) cotiua e b y tal que h(b) = a. Etoces, f h y g h so ifiitésimos equivaletes e b. (Queda implícito que las composicioes se puede realizar e u etoro de b). Proposició 6.22 Si f y g so ifiitésimos equivaletes e a y λ R, etoces λf y λg tambié so ifiitésimos equivaletes e a. Co estos resultados se puede deducir otras equivalecias: tg(x 2 ) x 2 e a x x log a e 0 log x x e De maera aáloga a las fucioes, podemos defiir las sucesioes equivaletes y trabajar co ifiitésimos. Defiició 6.23 Decimos que dos sucesioes a y b, so equivaletes si lím a b = Defiició 6.24 Decimos que la sucesió a es u ifiitésimo si lím a = 0 y a 0 para todo N. La caracterizació secuecial de límite de fució, permite crear equivalecias etre sucesioes ifiitesimales. Proposició 6.25 Sea f y g dos ifiitésimos equivaletes e a y a ua sucesió covergete a a y coteida e u etoro reducido de a. Etoces, f(a ) y g(a ) so ifiitésimos equivaletes. E.T.S.I.Iformática

17 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 233 Ejemplo 6..2 La equivalecia se es válida, ya que las dos sucesioes so covergetes a cero y las fucioes f(x) = se x y g(x) = x so ifiitésimos equivaletes e 0. Todo lo dicho e las seccioes ateriores para ifiitésimos equivaletes es válido para ifiitos equivaletes. Ua de las equivalecias de sucesioes divergetes a ifiito más utilizada es la coocida Fórmula de Stirlig: lím e 2π! = Ejemplo Para calcular el límite de la sucesió a =! utilizamos la fórmula de stirlig sustituyedo! por la expresió e 2π para obteer: lím! = lím 2π e = 0 dode la última igualdad se prueba usado el criterio de Stöltz o la caracterizació secuecial (Regla de L Hôpital). Ejemplo El cálculo hecho e el ejemplo 6..8 demuestra que las sucesioes y log so ifiitos equivaletes. Igeiería Iformática

18 234 Cálculo para la computació Ejercicios básicos. Cosideremos las siguietes sucesioes: a = ( ), b = a) Calcule los primeros térmios de las sucesioes y deduzca ituitivamete las características de las sucesioes (mootoía, acotació y covergecia). b) Estudie formalmete las propiedades de mootoía, acotació y covergecia. 2. Cosideremos la siguiete sucesió defiida por: a = a = 3a si > a) Calcule los primeros térmios de las sucesioes y deduzca ituitivamete las características de las sucesioes (mootoía, acotació y covergecia). b) Determie el térmio geeral de la sucesió y calcule su límite. 3. Calcule los siguietes límites lím , + 33 lím 3 + 4, 3 5 lím Deduzca la regla que determia el límite del cociete de dos expresioes racioales. a = 3 4. Cosideremos la sucesió a = + a a) Determie los 5 primeros térmios de la sucesió. b) Demuestre por iducció que la sucesió es decreciete. c) Demuestre por iducció que a 3 para todo N. d) Podemos afirmar que la sucesió es covergete? E tal caso, calcule su límite. 5. Calcule los siguietes límites utilizado las costates e y γ. a) lím ( ) 5 + 2, b) lím( ) E.T.S.I.Iformática

19 Tema 6: Sucesioes y series uméricas Utilice el teorema de compresió para calcular: lím k= 7. Utilice subsucesioes para calcular el límite de la sucesió 2 + k. {, 0, 2, 2, 0, 4, 3, 0, 8,..., 3 + 2, 0, 2 /3,... } 8. Utilice el criterio de Stöltz y el del cociete para calcular los siguietes límites: a) lím log( 2 ), b) lím (3 + )(3 + 2)... (3 + ) log 9. Cosideremos la sucesió a = 2+( ) a) Es posible utilizar el criterio del cociete para calcula su límite? b) Utilice subsucesioes para calcular su límite. 0. Demuestre que o existe el límite lím se x 0 x siguiete: x lím x se x y calcule, si es posible, el. Calcule el límite lím( 4 4 ). Igeiería Iformática

20 236 Cálculo para la computació LECCIÓN 6.2 Series Numéricas Estamos acostumbrados a sumar ua catidad fiita de úmeros (dos úmeros, tres, cuatro,... ) pero es posible sumar u cojuto ifiito de úmeros? La ituició os puede jugar ua mala pasada, haciédoos pesar que al sumar ifiitos úmeros se obtedrá ifiito. Y, auque e alguas ocasioes sea así, tambié es posible que el resultado de sumar ifiitos úmeros sea u úmero real. Por ejemplo, supogamos que os colocamos a u metro de distacia a u determiado puto y que os queremos acercar a él dado pasos de la siguiete forma: cada paso tiee como logitud exactamete la mitad de la distacia que os separa del destio. Si fuéramos capaces de dar pasos ta pequeños, esta claro que uca llegaríamos a uestro objetivo, es decir, por muchos pasos que demos, como mucho recorreríamos metro. Si pudiésemos dar pasos idefiidamete, la distacia recorrida sería y esta suma ifiita valdría exactamete. Además de formalizar la oció de suma ifiita, e esta lecció os vamos a platear dos cuestioes. Por u lado, vamos a estudiar codicioes que debe cumplir ua sucesió de úmeros para poder afirmar que puede ser sumada; por otra parte, e aquellos casos e los que podamos obteer la suma, estudiaremos si es posible hallar el valor exacto o, e caso cotrario, obtedremos valores aproximados. Para represetar las sumas co las que trabajamos e este tema, vamos a utilizar el símbolo. Esté símbolo va acompañado de ua serie de parámetros que idica la expresió a sumar (f()), la variable respecto de la que se suma () y los valores iicial (a) y fial (b) que toma la variable: b f() = f(a) + f(a + ) + + f(b) =a E muchos leguajes de programació o e programas de cálculo simbólico, esta expresió tiee ua sitaxis similar a sum(f(),, a, b) Defiició 6.26 Sea a ua sucesió de úmeros reales. Cosideremos la sucesió S dada por: S = a + + a. A esta sucesió S se la deomia E.T.S.I.Iformática

21 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 237 serie umérica asociada a a y se deota a. El úmero a se deomia térmio -ésimo de la serie y S es la -ésima suma parcial. Deomiaremos suma de la serie al límite, si existe, de la sucesió de sumas parciales; si este límite es l, escribiremos a = a + + a + = l. Si este límite es u úmero real, diremos que la serie es covergete, e caso cotrario diremos que es divergete; si el límite es + o, diremos que la serie diverge a + o respectivamete. La covergecia o divergecia de ua serie se deomia carácter de la serie. E la defiició aterior hemos cosiderado que el primer elemeto de la suma es exactamete a. Esto lo hacemos por simplicidad, pero e la práctica podremos iiciar la suma e cualquier térmio de la sucesió. Si bie esto puede repercutir e el valor real de la suma, veremos a cotiuació que o ifluye e el carácter de la serie Propiedades elemetales y ejemplos destacados Proposició 6.27 Si la sucesió b se obtiee a partir de la sucesió a añadiedo, elimiado o modificado u cojuto fiito de térmios, etoces las series asociadas tiee el mismo carácter. E particular, si a = b m para todo N y para todo m N 2, etoces las series asociadas a a y b tiee el mismo carácter. U ejemplo imediato dode se ve la importacia de esta propiedad es el siguiete: las series a y a tiee el mismo carácter. =5 Esta propiedad es de gra utilidad pues os dice que, al igual que ocurría co las sucesioes, cuado estudiamos la covergecia de ua serie, podemos prescidir de los primeros térmios (u cojuto fiito cualquiera de ellos). Por ejemplo, si la codició de u teorema es que los térmios de la serie sea positivos, tambié podremos aplicar este resultado a ua serie cuyos primeros térmios o los sea, co tal de que, a partir de u térmio, todos los demás sea positivos. Atediedo a esta propiedad, e adelate, cuado simplemete estemos estudiado el carácter de ua serie, o será ecesario idicar cuál es el primer térmio de la misma escribiedo simplemete: a. Si embargo, a la hora de calcular la suma de ua serie sí es ecesario coocer el primer térmio. Igeiería Iformática

22 238 Cálculo para la computació Teorema 6.28 Si la serie b, etoces se verifica que a coverge a a y la serie b coverge a. la serie 2. la serie (a + b ) coverge a a + b, y c a coverge a c a, para todo c R. A partir de este resultado se deduce que si a es covergete y es divergete, etoces la serie (a + b ) es divergete. b se deomia serie armói- Teorema 6.29 (Serie armóica) La serie ca y es divergete a +. Dado que la serie es de térmios positivos, la sucesió de sumas parciales es creciete y para demostrar el teorema basta comprobar que algua subsucesió diverge a + ; sea S la sucesió de sumas parciales y cosideremos la subsucesió S 2 : ( ) ( S 2 = () ) ( ) 8 ( ) 2 ( ) ( () ) ( ) 8 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = () = Dado que la sucesió miorate diverge a +, la sucesió S 2 tambié. Teorema 6.30 (Codició Necesaria) Si ua serie a es covergete, etoces lím a = 0. La demostració de esta propiedad se basa e la siguiete relació etre el térmio -ésimo de la serie y la sucesió de sumas parciales: a = S S E.T.S.I.Iformática

23 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 239 Como S es ua subsucesió de S que, por hipótesis es covergete, etoces S y S tiee el mismo límite y, por lo tato, lím a = 0. Ejemplo 6.2. Sabiedo que la sucesió de sumas parciales de ua serie es S = + e podemos averiguar el térmio geeral de la serie a = S S = + e ( e) + = e e Como lím + e = 0, etoces (por defiició) la serie es covergete y, aplicado la codició ecesaria, se obtiee que lím ( e) + e = 0 Obsérvese que este resultado se puede utilizar como criterio de covergecia para calcular el límite de ua sucesió (a ) a partir de la covergecia de la serie correspodiete a. Otra aplicació de la codició ecesaria es utilizarla como método de refutació e el estudio de la covergecia de ua serie, cosiderado el siguiete resultado equivalete: Corolario 6.3 Si lím a 0, etoces a es divergete. Ejemplo Aplicado la codició ecesaria, la serie es divergete pues la sucesió + o tiede a 0. + Es importate observar que la codició ecesaria o es ua caracterizació y que por tato, si el térmio geeral de ua serie tiede a 0, etoces este resultado o dice ada sobre la covergecia. Por ejemplo, la sucesió tiede a 0 y la codició ecesaria o aporta iformació sobre el carácter de la serie ; que, como sabemos, es divergete. Teorema 6.32 (Serie telescópica) Sea b ua sucesió umérica. La serie (b b + ) se deomia serie telescópica. Esta serie coverge si y solo =N si la sucesió b coverge y e tal caso, (b b + ) = b N lím b +. Este resultado es ua cosecuecia directa de la defiició de suma de serie como límite de la sucesió de sumas parciales (b b + ) = lím S =N =N = lím(b N b N+ + b N+ b N b b + ) = b N lím b + Igeiería Iformática

24 240 Cálculo para la computació Ejemplo Para sumar la serie =2 log + = =2 log + (log( + ) log ) = lím S = procedemos así: =2 = lím( log 3 log 2) + ( log 4 log 3) + ( log 5 log 4) ( log( + ) log ) = = log 2 + lím log( + ) = + U error muy comú es tratar las series como sumas fiitas, operar de la siguiete maera: (log( + ) log ) = ( log 3 log 2) + ( log 4 log 3) + ( log 5 log 4) +... =2 y simplificar los térmios opuestos para obteer u resultado icorrecto ( log 2). Curiosamete, co este método se hubiese obteido u resultado correcto si la sucesió b, de la que os hemos olvidado, tediese a cero, que o es este caso. Teorema 6.33 (Serie Geométrica) Si a 0, la serie ar = a + ar + ar ar +... se deomia serie geométrica de térmio iicial a y razó r. Esta serie verifica: a ar coverge a si r < r =0 diverge si r =0 El resultado aterior es ua cosecuecia del siguiete proceso: S = a + ar + ar ar rs = ar ar 2... ar ar ( r)s = a ar y de esta última expresió se obtiee que S = a ar r y aplicado la defiició de serie (tomado límites) alcazamos el resultado. Corolario 6.34 La serie =N a es geométrica si a + a = r R para todo. Y, además, esta serie coverge si y solo si r < y e tal caso a = =N a N r. E.T.S.I.Iformática

25 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 24 Ejemplo Estudiamos las siguietes series geométricas 3 +2 : Como a + = 3+2 a 3 +3 = = r, etoces la serie es geométri- 3 ca de razó / 3 y primer térmio / 27 ; por tato, la serie es covergete y su suma es / : Como a + = a = 8 = r, etoces la serie es 7 geométrica de razó 8 / 7 y e cosecuecia divergete a +. ( ) + 5 : Como a + = = r, etoces la serie es geométrica a 5 de razó / 5 y primer térmio ; por tato, la serie es covergete y su suma es 5 / 6. Teorema 6.35 (Serie Aritmético-Geométrica) Las series del tipo (a + b)r =N se deomia series aritmético-geométrica y coverge si y solo si r <. E el caso de que sea covergetes, las series aritmético-geométricas se suma aplicado u proceso similar al utilizado e las series geométricas. Ejemplo La serie 2 = es ua serie aritmético geométrica de razó y, por lo tato, covergete. Su suma se calcula así: S = S = S = que permite obteer la siguiete expresió: y tomado límite se obtiee S = 3 + ( ) /2 = = lím S = = 8 /2 sabiedo que lím( ) = (serie geométrica) y que lím +3 2 = 0 (aplicado, por ejemplo, el criterio de Stöltz). Igeiería Iformática

26 242 Cálculo para la computació Defiició 6.36 Se dice que la serie a es hipergeométrica si a > 0 para todo y el térmio geeral verifica a + a = α + β α + γ Teorema 6.37 (Serie hipergeométrica) Ua serie a hipergeométrica co a + a = α+β α+γ es covergete si y sólo si γ > α + β. E el caso de que sea covergetes, las series hipergeométricas se suma aplicado el siguiete proceso: () Escribimos por filas la igualdad a + (α + γ) = a (α + β) para =, = 2,..., (2) sumamos todos los miembros derechos y todos los miembros izquierdos, y (3) operamos para obteer ua expresió de S lo más simplificada posible para poder calcular su límite. Ejemplo Para sumar la serie hipergeométrica ( + ) procedemos de la siguiete maera: Como a + = escribimos, por filas, la expresió a + 2 ( + 2)a + = a para los distitos valores de : 3a 2 = a 4a 3 = 2a 2 5a 4 = 3a 3... =... ( + 2)a + = a 3a 2 + 4a 3 + 5a ( + 2)a + = a + 2a 2 + 3a a a + a 2 + a 3 + a a + ( + 2)a + = 0 S 2a + ( + 2)a + = 0 y de la última expresió deducimos que S = 2a ( + 2)a + = ( + )( + 2) y, por lo tato ( + ) = + 2 ( + )( + 2) = Criterios de covergecia Estudiar la covergecia de ua serie utilizado las sumas parciales o siempre será secillo; ecotrar ua expresió para las sumas parciales que permita calcular su límite es, e geeral, u problema bastate difícil. Por E.T.S.I.Iformática

27 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 243 esta razó, el estudio de las series se hará e dos etapas: e primer lugar, se estudiará solamete el carácter de la serie; e segudo lugar, si la serie es covergete, afrotaremos el cálculo de su suma o bie aproximaremos su valor. E esta secció vamos a estudiar alguos resultados que establece codicioes que permite cocluir la covergecia de ua serie sea covergete. Estos resultados se cooce como criterios de covergecia y para aplicarlos será muy importate comprobar que se verifica todas las codicioes exigidas. Por ejemplo, los primeros resultados so aplicables solamete a series cuyos térmios (a partir uo dado) so siempre positivos. Estas series verifica la siguiete propiedad, que auque bastates ituitiva, tiee importates aplicacioes de cara a la evaluació aproximada de series. Proposició 6.38 Si a es ua sucesió de térmios positivos, la sucesió de sumas parciales asociada a ella es creciete y e cosecuecia, la serie a es o bie covergete o bie divergete a +. Teorema 6.39 (Criterio de codesació) Sea a ua sucesió decreciete de térmios positivos. Etoces las series a y 2 k a 2 k tiee el mismo carácter. Este resultado geeraliza el procedimieto que habíamos empleado para demostrar la divergecia de la serie armóica. Corolario 6.40 (Series p-armóicas) Las series deomia p armóicas; coverge si p >, y diverge si 0 < p. p para p > 0 se Por el criterio de codesació, la serie p tiee el mismo carácter que la serie geométrica 2 k 2 kp = ( ) k 2 covergete si y solo si p >. p La importacia de las series p armóicas está e que os ayudará a estudiar otras series si las utilizamos cojutamete co otros criterios, como los de comparació o codesació. Ejemplo Para estudiar el carácter de la serie k= (log ) 2 utilizamos el criterio de codesació (la aparició de la fució logaritmo os idica que puede ser el método adecuado). Dado que las sucesioes y log so crecietes, la sucesió (log ) 2 es tambié creciete y (log ) 2 es decreciete; por el criterio de codesació, la serie propuesta tiee el mismo carácter que 2 k 2 k (log 2 k ) 2 = (log 2) 2 k 2 k= =2 Igeiería Iformática

28 244 Cálculo para la computació que es covergete por ser la serie 2 armóica. Teorema 6.4 (Criterio de comparació) Sea a y b dos series tales que 0 a b para todo N.. Si b coverge etoces a tambié coverge. 2. Si a diverge etoces b tambié diverge. Ejemplo La serie + 2 es covergete ya que y la serie 2 es covergete (geométrica de razó /2). A veces, e situacioes parecidas o es posible aplicar este criterio de comparació estádar. Por ejemplo, la serie 2 es parecida a la del ejemplo aterior e ituimos que tambié será covergete; si embargo, o podemos utilizar el criterio de comparació. E estos casos, ecesitamos u criterio que permita comparar las expresioes e térmios relativos (cociete). Teorema 6.42 (Comp. por paso al límite) Sea a y b dos series de térmios positivos, tal que b 0 para todo. Si l = lím a se verifica: b etoces. Si l > 0 ambas series tiee el mismo carácter. 2. Si l = 0 y b coverge, etoces a tambié coverge. 3. Si l = y a coverge, etoces b tambié coverge. Ejemplo Veamos varios casos:. La serie 2 es covergete ya que 2 es covergete y lím = lím ( 2 ) = La serie se 2 es divergete pues diverge y se lím 2 / = lím se 2 / 2 = E.T.S.I.Iformática

29 Tema 6: Sucesioes y series uméricas La serie es covergete ya que! lím! = lím! = 0 4. La serie log es divergete pues diverge y lím log = lím log = es covergete y El criterio de comparació por paso al límite se utiliza frecuetemete para elimiar expresioes despreciables e el térmio geeral de ua serie, ates de aplicarle u criterio, co el fi de que los cálculo sea más secillos. Ejemplo E el deomiador de la expresió log el térmio 5 + log es despreciable frete a 2 para valores grades de. Por lo tato, cosidero la expresió 3 2 que comparo co la origial lím log = lím log 2 = Aplicado el criterio de comparació por paso al límite se deduce que el carácter de las series log y 3 2 es el mismo; y como 3 2 es covergete (series aritmético geométrica), etoces puedo afirmar que es covergete log Corolario 6.43 Sea a y b dos sucesioes positivas e ifiitésimos equivaletes; etoces las series a y b tiee el mismo carácter. La siguiete propiedad se deduce fácilmete aplicado el criterio de comparació a las sucesioes a y /, y es útil para el cálculo de alguos límites. Corolario 6.44 Si a es ua serie de térmios positivos y covergete, etoces lím a = 0 Teorema 6.45 (Criterio de la raíz) Sea a ua serie de térmios positivos y cosideremos el límite l = lím a ; etoces:. Si l < la serie coverge. 2. Si l > la serie diverge. Igeiería Iformática

30 246 Cálculo para la computació 3. Si l = o podemos deducir ada: y 2 verifica que el límite de la codició vale para ambas series y, si embargo, la primera es divergete y la seguda es covergete. Ua importate característica de las series de térmios positivos es que las sumas parciales permite aproximar, por defecto, la suma de la serie. Para poder utilizar estas aproximacioes es ecesario estimar el error cometido. Si determiamos la covergecia de ua serie utilizado el criterio de la raíz, podemos estimar este error utilizado el siguiete resultado: Proposició 6.46 Sea a ua serie covergete tal que a r < para todo N; si S es su sucesió de sumas parciales y S su suma, etoces: S S N rn+ r Si el límite lím a = l es estrictamete meor que, podemos aplicar el resultado aterior porque teemos asegurada la existecia del úmero r y para cada r la existecia del úmero N. Lo podemos usar para acotar el error cometido al tomar ua suma parcial e lugar de la suma exacta, pero e este caso ecesitamos determiar el úmero r correspodiete; de la misma forma, si queremos saber cual es la suma parcial que estima la suma co u error máximo deseado, ecesitaríamos determiar los úmeros r y N adecuados. Los siguietes casos particulares, auque bastate sigificativos, os facilitará la realizació de este tipo de tareas: Si a es creciete, para cada N podemos tomar r = lím a. Si a es decreciete, para cada N podemos tomar r = N a N, siempre y cuado este úmero sea meor estrictamete que. El criterio de la raíz y el criterio del cociete para el calculo de límites permite deducir el siguiete criterio para la covergecia de series. Corolario 6.47 (Criterio del cociete) Sea a ua serie de térmios positivos y cosideremos el límite l = lím a + ; etoces: a. Si l < la serie coverge. 2. Si l > la serie diverge. 3. Si l = o podemos deducir ada: y 2 verifica que el límite de la codició vale para ambas series y, si embargo, la primera es divergete y la seguda es covergete. E.T.S.I.Iformática

31 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 247 Igual que el criterio de la raíz, el uso del criterio del cociete os da iformació para estimar errores. Proposició 6.48 Sea a ua serie covergete tal que lím a + r < a para todo N; si S es su sucesió de sumas parciales y S su suma, etoces: S S N a N+ r Teiedo e cueta las mismas cosideracioes que hicimos para el criterio de la raíz, los siguietes casos particulares os ayudará a aplicar este resultado e la estimació de errores. Si a + a es creciete, para cada N podemos tomar r = lím a + a. Si a + es decreciete, para cada N podemos tomar r = a N+, siempre a a N y cuado este úmero sea estrictamete meor que. Ejemplo 6.2. Aplicamos los resultados ateriores a la serie para! =0 demostrar que es covergete y determiar la suma parcial que estima su suma co u error meor que 0 3 : lím /( + )! /! = lím + = 0 Etoces, por el criterio del cociete, la serie es covergete. Además, dado que a + = es decreciete y meor que para cada, si S es la suma a + de la serie y S la sucesió de sumas parciales: S S N < /(N + )! N + = N N! Si queremos que este error sea meor que 0 3, basta cosiderar N = 6: 6! = = 2,780 5 =0 E el tema siguiete veremos que la suma de esta serie es el úmero e y el valor aproximado que os da cualquier calculadora es 2, Ejemplo Para la serie podemos utilizar los mismos resultados: lím 2 ( + )2 + 2 = lím 2( + ) = 2 Igeiería Iformática

32 248 Cálculo para la computació Etoces, por el criterio del cociete, la serie es covergete. Si x = a + a = 2( + ), etoces: x + 2( + )( + ) = = x 2( + 2) 2 2 > + 4 y e cosecuecia a + a y S la sucesió de sumas parciales: S S N < es creciete. Por lo tato, si S es la suma de la serie (N + )2 N ( 2 ) = (N + )2 N Si queremos que este error sea meor que 0 3, basta cosiderar N = 8: 8 2 = = 0, E el tema siguiete veremos que la suma de esta serie es log 2 y la aproximació que os da cualquier calculadora es 0, Teorema 6.49 (Criterio de Raabe) Sea ( a ua serie de térmios positivos y cosideremos el límite l = lím a ) + ; etoces: a. Si l > la serie coverge. 2. Si l < la serie diverge. 3. Si l = o podemos deducir ada: para, el límite de la codició de Raabe vale y es divergete; para la serie (log ) 2 el límite de la codició es y la serie es covergete. =2 Es recomedable utilizar el criterio de Raabe después del criterio del cociete e el caso e que este o decida ada. Debemos teer e cueta que las simplificacioes realizadas al aplicar el criterio del cociete puede ser útiles al aplicar el criterio de Raabe, pero NO las posibles sustitucioes de ifiitésimos. Como e los ateriores, el uso del criterio de Raabe tambié os da iformació para estimar errores. E.T.S.I.Iformática

33 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 249 Proposició 6.50 Sea ( a ua serie covergete tal que a ) + r > para todo N; si S es su sucesió de sumas parciales y S su suma, etoces: S S N Na N+ r Teiedo e cueta las mismas cosideracioes que hicimos para el criterio de la raíz, los siguietes casos particulares os ayudará a aplicar este resultado e la estimació de errores. ( Si la sucesió a ) + es decreciete, para cada N podemos tomar a ( r = lím a ) + a ( Si la sucesió a ) + es creciete, para cada N podemos tomar a r = N ( a ) N+ a N siempre que este úmero sea estrictamete mayor que. Ejemplo Vamos a usar el criterio de Raabe para probar que la serie 2 es covergete (auque ya lo hemos hecho ateriormete) y determiar la suma parcial que estima su suma co u error meor que 0 3. ( lím ) / ( + ) 2 = lím 22 + / 2 ( + ) 2 = 2 Por el criterio de Raabe, ( deducimos que la serie es efectivamete covergete. Por otra parte, si x = a ) + = 22 + a ( + ) 2, teemos que: x + = (2( + )2 + + )( + ) 2 x ( + 2) 2 (2 2 + ) ( Es decir, la sucesió a ) + de la serie y S su sucesió de sumas parciales: S S N = a N (N+) 2 2N 2 +N (N+) 2 N N 2 N < = a > es creciete y, por lo tato, si S es la suma N N 2 N N = N 2 Igeiería Iformática

34 250 Cálculo para la computació Si queremos que este error sea meor que 0 3, basta cosiderar N = 002. E el tema siguiete, calcularemos la suma exacta de esta serie y demostraremos que S = π2 / 6 ; si utilizamos u ordeador para calcular la suma parcial, obtedremos que: 002, mietras que el valor aproximado de π2 / 6 que os da cualquier calculadora es, Series alteradas Los teoremas vistos hasta ahora so válidos solamete para series de térmios positivos. E esta, vamos a ver dos resultados que permite estudiar alguas series co térmios de sigo arbitrario. Defiició 6.5 Decimos que ua serie a es absolutamete covergete si la serie a es covergete. Teorema 6.52 Toda serie absolutamete covergete es covergete. Ua serie covergete pero o absolutamete covergete se dice codicioalmete covergete. Defiició 6.53 Ua serie a se dice alterada si para todo se verifica que a /a + < 0; es decir, su térmio geeral es de la forma ( ) b o ( ) + b dode b es ua sucesió de térmios positivos. Teorema 6.54 (Criterio de Leibiz) Sea ( ) a ua serie tal que. la sucesió a es decreciete y de térmios positivos, 2. lím a = 0, etoces, la serie es covergete. (Obsérvese que, segú hemos visto, la codició lím a = 0 es ecesaria para cualquier serie.) Proposició 6.55 Sea ( ) a ua serie e las codicioes del criterio de Leibiz, S su sucesió de sumas parciales y S su suma; etoces: S N S < a N+ E.T.S.I.Iformática

35 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 25 E la acotació del error teemos que usar el valor absoluto porque e este caso el error puede ser por exceso o por defecto. Ejemplo Vamos a usar el criterio de Leibiz para probar que la serie ( ) armóica alterada es covergete y determiar la suma parcial que estima su suma co u error meor que la sucesió es decreciete y de térmios positivos, 2. lím = 0, Por el criterio de Leibiz, deducimos que la serie es efectivamete covergete. Por otra parte, si S es la suma de la serie y S su sucesió de sumas parciales: S N S < + Si queremos que este error sea meor que 0 3, basta cosiderar N = 999. E el tema siguiete, calcularemos la suma exacta de esta serie y demostraremos que S = l 2; si utilizamos u ordeador para calcular la suma parcial, obtedremos que: 999 ( ) mietras que el valor aproximado de l 2 que os da cualquier calculadora es Aexo: esquemas prácticos E esta secció vamos a presetar alguas estrategias para abordar el estudio de la covergecia de series uméricas. Se trata de uas secillas recomedacioes fruto de la experiecia. Determiació del carácter El siguiete esquema resume los criterios que hemos itroducido e el orde más adecuado para su aplicació.. Comprobar si es ua serie coocida: geométrica, armóica, cociete de poliomios, telescópica,... (A lo largo de este tema y el siguiete, se estudia distitos tipos de series; teer e cueta las series ya coocidas puede ahorrar mucho trabajo). Igeiería Iformática

36 252 Cálculo para la computació 2. Codició ecesaria. Esta es la primera comprobació que debe hacerse si el límite es fácil de calcular. 3. Criterios del cociete Raabe o criterio de la raíz. El criterio del cociete o el de la raíz so los primeros que coviee utilizar; elegir uo u otro depede de la forma del térmio geeral de la serie. Optaremos preferiblemete por el criterio del cociete cuado sea posible, ya que permite utilizar posteriormete el de Raabe. 4. Criterio de codesació. Es coveiete utilizarlo, cuado sea posible, e series dode iterviee la fució logaritmo. 5. Comparació. Si iguo de los criterios ateriores decide el carácter de la serie, itetaremos buscar ua serie coocida co la que poder compararla; solo la práctica y la resolució de bastates problemas facilita esta etapa. El cociete a + /a Como ya se habrá comprobado, el estudio del cociete a + a es de gra utilidad para la determiació del carácter de ua serie. E esta secció, recogemos toda la iformació que puede obteerse de dicho cociete. Detro del esquema de la secció aterior, el estudio de este cociete se icluirá e el primer paso.. Si a + a = r R etoces la serie es ua serie geométrica. a + a 2. Si = α + β α + γ ejercicios). co α, β, γ R la serie es hipergeométrica (ver 3. Si a > 0 y a + a > para todo > N, la sucesió a es creciete y por tato su límite o puede ser 0: la serie es divergete. 4. Si a > 0 y a + a < para todo > N, la sucesió a es decreciete. Sucesioes decrecietes El criterio de codesació y el criterio de Leibiz icluye, etre sus codicioes, el decrecimieto de ua sucesió. Para demostrar que ua sucesió es decreciete podemos utilizar los siguietes métodos:. Si a a + > 0, etoces a es decreciete. E.T.S.I.Iformática

37 Tema 6: Sucesioes y series uméricas Si a + a <, etoces a es decreciete. 3. Si f : [N, + ) R es ua fució decreciete tal que f() = a para todo N, etoces a es ua sucesió decreciete a partir de N (para determiar si ua fució es decreciete podemos utilizar su derivada). 4. Por último, podemos utilizar las propiedades algebraicas de la relació de orde para deducir alguas propiedades sobre mootoía de sucesioes y fucioes como por ejemplo: a) Si f y g so fucioes crecietes, etoces f + g creciete. b) Si f y g so fucioes crecietes y positivas, etoces f g es creciete. c) f es creciete si y solo si f es decreciete. d) Si f es positiva, etoces f es creciete si y solo si /f es decreciete. e) Si f y g so fucioes crecietes, etoces f g es creciete. f ) Si f es ua fució creciete y d es ua sucesió decreciete, etoces f(d ) es ua sucesió decreciete. g) Si h es ua fució decreciete y d es ua sucesió decreciete, etoces f(d ) es ua sucesió creciete. Igeiería Iformática

38 254 Cálculo para la computació Ejercicios básicos ( ). Calcule la suma de la serie + utilizado los siguietes métodos de la lecció aterior: co la ayuda de las costate de Euler determie los límites de las subsucecioes S 2 y S 2+ y deduzca a partir de ahí el límite de la sucesió de sumas parciales S. 2. Estudie la covergecia de las siguietes series aalizado si so telescópicas. a) 2( + ) b) ( ) ( + ) 2 log ( + 2) 3. Utilice las propiedades elemetales para estudiar la covergecia de las siguietes series y obtega la suma de las covergetes. a) ( ) =0 b) ( 2) c) = Determie cuáles de las siguietes series so aritmético-geométricas y súmelas si utilizar igua fórmula: a) =0 2 3 b) c) (2 )e =2 5. Determie cuáles de las siguietes series so hipergeométricas y súmelas si utilizar igua fórmula. a), b) (a + ) (a + ), c)! =2 2 =3 6. Las tablas de ifiitésimos e ifiitos equivaletes que hemos estudiado e la lecció aterior os ayuda a determiar series co el mismo carácter a través del criterio de comparació. Utilizar esta idea para estudiar el carácter de las siguietes series: a) , b) log Cosideremos la sucesió a = x! para algú x > 0. a) Estudie la covergecia de la serie a. E.T.S.I.Iformática

39 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 255 b) Podemos deducir le valor lím a? 8. Demuestre que la serie de su suma co u error meor que Demuestre que la serie (2 + ) es covergete y aproxime el valor ( ) log suma co u error meor que Estudiar el carácter de las siguietes series: es covergete y aproxime su a) c) e) g) i) k) se b) (log ) a d) =2! ( 2) f ) ( a + a ) h) ( ) j ) ( + ) a , (a 0) l) se x 2 a! ( ) (!) 2 (2)! ( ) (9 a 2 ) Igeiería Iformática

40 256 Cálculo para la computació LECCIÓN 6.3 Series fucioales E la lecció aterior hemos estudiado ejemplos de series uméricas cuyo térmio geeral depede de u parámetro. Icluso hemos podido sumar algua de ellas dado su suma e fució de ese parámetro: x = x, x < =0 Como hemos podido comprobar, o siempre es asequible sumar ua serie, pero au así podemos estar iteresados e estudiar las propiedades de la relació de depedecia de la serie respecto de u parámetro. E defiitiva, queremos estudiar las propiedades de fucioes defiidas mediate series, auque estas o pueda expresarse e térmios de fucioes elemetales. Esta lecció y la siguiete está dedicadas a estudiar dos tipos específicos de series fucioales. Los resultados y métodos que estudiamos aquí solo so aplicables a estos tipos específicos de series y por lo tato debemos de teer cuidado para idetificar correctamete la serie ates de aplicar lo que vamos a estudiar e estas leccioes Series de potecias Defiició 6.56 Ua serie de potecias es ua fució defiida por ua expresió de la forma: f(x) = a (x a) El úmero a se deomia cetro de la serie. Tal y como acordamos e la lecció aterior, omitimos los límites de los sumatorios por simplicidad y porque el sumado iicial de la serie o ifluye e sus características. Sí tedremos que explicitarlo cuado ecesitemos trabajar co el valor real de la suma. Ejemplo (x ) es ua serie de potecias cetrada e ; e este caso, a =. 2. se x o es ua serie de potecias. Teorema 6.57 Toda serie de potecias a (x a) coverge absolutamete para cada x I, e dode I es, o bie R, o bie u itervalo tal que (a E.T.S.I.Iformática

41 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 257 R, a + R) I [a R, a + R]. E el segudo caso, el úmero R se deomia radio de covergecia de la serie. El itervalo I se deomia campo de covergecia de la serie y es el domiio de la fució determiada por la serie de potecias. Por las características de la expresió de ua serie de potecias, bastará co aplicar el criterio del cociete o el de la raíz para hallar el radio de covergecia, si embargo, ecesitaremos trabajar algo más para estudiar la covergecia de la serie e los dos extremos del campo. Ejemplo 6.3. Para hallar el campo de covergecia de (x ) log, aplicamos el criterio del cociete a la sucesió de valores absolutos: lím x + log( + ) log log x = x lím = x log( + ) Por lo tato, la serie coverge si x <. Por el teorema aterior, solo teemos que aalizar la covergecia de la serie para x = 0 y x = 2 para determiar completamete el campo de covergecia. Para x = 0 la serie resultate es ( ) cuya covergecia podemos deducir co el criterio de log Leibiz. Para x = 2 la serie resultate es, cuya divergecia podemos log deducir co el criterio de codesació. Por lo tato, el campo de covergecia de la serie es [0, 2). El siguiete resultado establece la cotiuidad y derivabilidad de las fucioes defiidas por series de potecias y extiede la propiedades algebraicas de la derivació e itegració a series. Teorema 6.58 Para la serie de potecias S(x) = a (x a) se verifica que:. (Teorema de Abel) la fució S es cotiua e su campo de covergecias. 2. S es ua fució derivable e el iterior del campo de covergecia y su derivada se obtiee derivado térmio a térmio la serie : ( ) d a (x a) = a (x a) dx Además, el radio de covergecia de la derivada coicide co el de S. 3. Ua primitiva de la fució S es: ( ) a (x a) dx = a (x a)+ + Igeiería Iformática

42 258 Cálculo para la computació Además, el radio de covergecia de la primitiva coicide co el de S. E los dos último putos del teorema aterior se afirma la coicidecia de los radios de covergecia, pero o de los campos de covergecia, es decir, la covergecia e los extremos del campo puede variar al derivar o itegrar. Ejemplo El campo de covergecia de la serie de potecias x [, ], si embargo, la serie de las derivadas, x, o coverge e x = y por lo tato su campo de covergecia es [, ). 2 es Las propiedades de derivació e itegració de series de potecias costituye ua herramieta fudametal para sumar series, tal y como vemos e el ejemplo siguiete. Ejemplo E el tema aterior hemos probado que: x =, si x <. x =0 Aplicado el operador primitiva obteemos: =0 x + + = log x + C = log( x) + C, si x <. Evaluado ambas expresioes e x = 0, deducimos que C = 0. Además, para x =, la serie coverge (criterio de Leibiz) y por el apartado 2 del teorema de Abel, la igualdad tambié se verifica e ese puto. Por lo tato: =0 x + + = log( x), si x < Series de Taylor Las fucioes expresadas mediate series de potecias se comporta esecialmete como poliomios, por esta razó, os plateamos e esta secció expresar cualquier fució como serie de potecias. Vamos a ver que, e particular, todas las fucioes elemetales puede represetarse de esta forma. Auque e muchos casos, el método seguido e el ejemplo 6.3.3, permitirá expresar ua fució como series de potecias, e la mayoría de los casos ecesitaremos costruirla a partir de su poliomio de Taylor, que defiimos y estudiamos e el tema. Recordemos que el poliomio de Taylor de orde E.T.S.I.Iformática

43 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 259 de ua fució f e el puto x 0 es u poliomio de grado meor o igual que tal que su valor e x 0 y el valor de las primeras derivadas coicide co los de f. Su expresió aálitica es: f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f () (x 0 ) (x x 0 ) =! i=0 f (i) (x 0 ) (x x 0 ) i i! Auque tiee setido determiar el poliomio de Taylor e cualquier puto, e la práctica solo es iteresate e aquellos putos para los cuales es posible hallar el valor de sus derivadas sucesivas de maera exacta y poder obteer así poliomios cuyos coeficietes sea úmeros racioales. E la secció 3 repasamos la familia de fucioes coocidas como fucioes elemetales y determiamos sus poliomios de Taylor e el puto más adecuado. Tambié apredimos e el primer tema que la siguiete caracterizació es ua herramieta fudametal para demostrar que u poliomio es poliomio de Taylor: el poliomio de Taylor de orde de f e x 0 es el úico poliomio tal que f(x) T (x) lím x x 0 (x x 0 ) = 0 Este resultado establece que T es la mejor aproximació, e u etoro de x 0, por poliomios de grado meor o igual que. Otra aplicació de este resultado es método mostrado e el siguiete corolario para obteer uevos pares de ifiitésimos equivaletes. Corolario 6.59 Sea f ua fució ( + )-veces derivable e u etoro abierto de x 0. Etoces, f(x) T (x) y f (+) (x 0 ) (x x ( + )! 0 ) + so ifiitésimos equivaletes e x 0. Ejemplo Para la fució expoecial y para = 0, obteemos la equivalecia e x x, e x = 0, que apredimos e el tema aterior. Para = obteemos que e x x x2, e x = 0. 2 Auque podemos demostrar fácilmete esta equivalecia usado el Teorema de L Hôpital, el poliomio de Taylor es la herramieta para costruirlos. Como ya observamos e el tema aterior, la posibilidad de aproximar el valor de ua expresió matemática, solo es útil si podemos cotrolar el error Igeiería Iformática

44 260 Cálculo para la computació que se comete. El teorema siguiete os da u método para hacerlo cuado usamos poliomios de Taylor. Teorema 6.60 (de Lagrage) Sea f ua fució defiida e u etoro abierto de x 0 y supogamos que f es ( + )-veces derivable e este etoro. Sea T el poliomio de Taylor de orde de f e x 0 y E (x) = f(x) T (x). Etoces, para cada x x 0 existe u úmero c (que depede de x y de ) compredido estrictamete etre x y x 0 y tal que: E (x) = f (+) (c) ( + )! (x x 0) + La fórmula del resto dada e este teorema se cooce como fórmula de Lagrage. Auque o es la úica posible, sí es la más utilizada por su simplicidad. La expresió E puede ser egativa, si embargo, al trabajar co errores, o distiguimos etre errores por exceso y por defecto, y por eso etedemos que el error es su valor absoluto: ε = E. Ejemplo Para calcular el úmero e co u tres decimales exactos, debemos de evaluar la fució expoecial e el puto x = co u error ε < 0 4. Si utilizamos el poliomio de Taylor de orde e 0 de la fució expoecial que calculamos e el primer tema (ver secció 3), cometeremos el siguiete error: ε = e c ( + )! + = e c, c (0, ) ( + )! Dado que o coocemos el valor de c (y o podemos, i pretederemos calcularlo), o podemos coocer el error exacto. Por esta razó, lo que hacemos es estimar dicho error e fució de, sustituyedo el valor de c, o las subexpresioes e dóde aparece, por valores mayores. E este caso, e c < e = e < 3 y por lo tato: ε = e c ( + )! < 3 ( + )! Si queremos que el error sea meor que 0 4, basta co ecotrar el primer 3 úmero atural tal que ( + )! < 0 4, es decir, tal que ( + )! > Co = 7 lo coseguimos y por lo tato: e ! + 4! + 5! + 6! + 7! = = 2, Solo podemos estar seguros de los tres primeros decimales, auque podemos comprobar que los cuatro primeros decimales coicide co los que os da cualquier calculadora. E.T.S.I.Iformática

45 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 26 No es difícil observar que los poliomios de Taylor o so más que la sucesió de sumas parciales de la serie asociada a la sucesió f () (x 0 ) (x x! 0 ) ; la correspodiete serie se deomia serie de Taylor de la fució f. Defiició 6.6 Dada ua fució f ifiitamete derivable e u itervalo abierto I, deomiamos serie de Taylor de f e x 0 I a la serie: =0 f () (x 0 ) (x x 0 ) x I! Decimos que la serie represeta a f e x si coverge a f(x), es decir: =0 f () (x 0 ) (x x 0 ) = f(x)! Evidetemete la serie de Taylor para x 0 represeta a f e x 0 pero puede o hacerlo e otros putos. La represetació de la serie e otros putos está caracterizada por la covergecia a 0 de la expresió del resto. Teorema 6.62 La serie de Taylor de f e x 0 represeta a f e x si y solo si: lím E f (+) (c) (x) = lím ( + )! (x x 0) + = 0 Ejemplo La serie de Taylor de la fució expoecial la represeta e todo su domiio, R: lím E (x) = lím e c ( + )! x+ Para comprobar que este límite es 0, podemos trabajar más fácilmete co su valor absoluto. Si x < 0, etoces e c < y por lo tato Si x > 0, e c < e x y por lo tato e c ( + )! x + < x + 0 ( + )! e c ( + )! x+ < e x x+ 0 ( + )! E los dos límite calculados, hemos utilizado la relació que apredimos e el tema aterior etre poliomios y fució expoecial. Por otra parte, obsérvese la ecesidad de elimiar el úmero c ates de calcular el límite, ya que este úmero depede tato de x como de y por lo tato tambié está afectado por el operador límite. Igeiería Iformática

46 262 Cálculo para la computació Fucioes elemetales Repasamos e esta secció la familia de fucioes coocidas como fucioes elemetales y determiamos para cada ua de ellas la correspodiete serie de Taylor. E particular, e las figuras de las págias siguietes, vemos la represetació simultáea de las fucioes expoecial, seo y arcotagete co alguos poliomios de Taylor. Recordemos que el domiio de la fució expoe- Fució Expoecial. cial, e x = exp x, es R y El desarrollo de Taylor es: d dx ex = e x e x dx = e x e x = + x + x x! + ec x + ( + )!, (c etre 0 y x) E el ejemplo??, hemos deducido que la serie de Taylor represeta a la fució expoecial e todo su domiio: e x = =0 x! x R Fució Logaritmo Neperiao. El domiio de la fució logaritmo eperiao, log x, es el itervalo (0, ) y d dx log x = x Hallamos es desarrollo de Taylor e x 0 = : log x dx = x log x x log x = (x ) 2 (x )2 + 3 (x )3 + + ( )+ (x ) + ( ) c + ( + ) (x )+ Estado c etre y x. Para establecer la covergecia de la serie de Taylor o hace falta estudiar la covergecia del resto de Taylor. Sabemos que la serie x coverge si y solo si x < y e tal caso =0 x = x =0 E.T.S.I.Iformática

47 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 263 Itegrado la igualdad aterior y estudiado la covergecia e los extremos de la serie obteida, llegamos a x + + = x = log( x), x [, ) =0 (E la serie diverge y e la serie coverge por el criterio de Leibiz). Por lo tato, ( x) ( ) + log x = = (x ) x (0, 2] Alterativamete, esta serie se puede escribir como: + x log(x + ) = ( ) x (, ] Fució Seo. El domiio es R y d se x = cos x dx El desarrollo de Taylor es se x dx = cos x x 2+2 se x = x x3 3! + x5 x ( ) 5! (2 + )! + ( )+ (se c) (2 + 2)! siedo c u úmero etre 0 y x. Además, es fácil comprobar que la serie de Taylor represeta a la fució seo e todo su domiio: se x = ( ) x2+ (2 + )! =0 E la figura de la págia 264, podemos ver las gráficas de la fució seo y de alguos de sus poliomios de Taylor. Vemos que, igual que ocurre co la fució expoecial, la covergecia de la serie es muy rápida, es decir, co pocos sumado coseguimos uas aproximacioes muy bueas e etoros bastate amplios de 0. Fució Coseo. El domiio de la fució coseo es R y d cos x = se x cos x dx = se x dx El desarrollo de Taylor es x 2+ cos x = x2 2! + x4 x2 + + ( ) 4! (2)! + ( )+ (se c) (2 + )! siedo c u úmero etre 0 y x. Además, la serie de Taylor represeta a la fució coseo e todo su domiio: cos x = ( ) x2 (2)! =0 Igeiería Iformática

48 264 Cálculo para la computació f(x) = si x Y X T (x) = x f(x) = si x Y X T 5 (x) = x x3 3! + x5 5! f(x) = si x Y X T 3 (x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x! + x3 3! Figura 6.2: Fució seo y alguos poliomios de Taylor. E.T.S.I.Iformática

49 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 265 Fució Seo Hiperbólico. La fució seo hiperbólico se defie como seh x = ex e x, su domiio es R y 2 d seh x = cosh x dx seh x dx = cosh x El desarrollo de Taylor es seh x = x + x3 3! + x5 5! + + x2+ (2 + )! + (seh c) x 2+2 (2 + 2)! siedo c u úmero etre 0 y x. Además, la serie de Taylor represeta a esta fució e todo su domiio: x 2+ seh x = (2 + )! =0 Fució Coseo Hiperbólico. La fució coseo hiperbólico se defie como cosh x = ex + e x, su domiio es R y 2 d cosh x = seh x dx cosh(x) dx = seh x El desarrollo de Taylor es cosh x = + x2 2 + x4 4! + + x2 (2)! + (seh c) x 2+ (2 + )! siedo c u úmero etre 0 y x. Además, la serie de Taylor represeta a esta fució e todo su domiio: x 2 cosh x = (2)! =0 Fució Potecial. La fució potecial se defie como p α (x) = ( + x) α α R N El domiio de esta fució depede de α: el itervalo [, ) es el domiio para α > 0 y su domiio es (, ) si α < 0. La fució potecial es derivable e (, ) y d dx ( + x)α = α( + x) α Si α >, la fució tambié es derivable e. El desarrollo de Taylor es: ( α ( + x) α = + αx + 2 ) x ( ) ( ) α α x + ( + c) α x + + Igeiería Iformática

50 266 Cálculo para la computació Auque o es ta simple como para el resto de las fucioes elemetales, podemos probar que el resto coverge a 0 si x (, ) y por lo tato, para todo α: ( ) α ( + x) α = x x (, ) =0 La covergecia e los extremos depede de α. No mostramos los detalles que os lleva a las siguietes igualdades: ( + x) α ) = x, x [, ], α > 0 ( + x) α = ( + x) α = ( α =0 ( α =0 ( α =0 ) x, x (, ], < α < 0 ) x, x (, ), α Nos queda por repasar las fucioes trigoométricas e hiperbólicas iversas. Las propiedades algebraicas de las series de potecias os ayudará a determiar los desarrollos de estas fucioes, pero o podremos utilizar las expresioes del resto de Taylor. Fució Arco Seo. El codomiio de la fució arco-seo es [ π / 2, π / 2 ], es decir: y = arc se x si y solo si π / 2 y π / 2 y se y = x. d dx arc se x = x 2 arc se x dx = x arc se x + x 2 Obteemos la serie de Taylor a partir de la serie de Taylor de su derivada: d ( ) /2 ( ) /2 dx arc se x = ( + ( x2 )) /2 = ( x 2 ) = ( ) =0 para x <. Tras itegrar y estudiar la covergecia e los extremos co el criterio de Raabe, obteemos: ( ) ( ) /2 arc se x = x 2+ (2)! = 2 + (2!) 2 (2 + ) x2+ para x. =0 =0 =0 x 2 Fució Arco Coseo. El codomiio de la fució arco-coseo es [0, π], es decir: y = arc cos x si y solo si 0 y π y cos y = x. d dx arc cos x = x 2 arc cos x dx = x arc cos x x 2 E.T.S.I.Iformática

51 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 267 El desarrollo de Taylor de la fució arco-coseo se obtiee fácilmete a partir de su relació co la fució arco-seo: arc cos x = π arc se x. Obsérvese 2 que, por lo tato, para aproximar el arco-coseo de u úmero, tedremos que utilizar a su vez ua aproximació adecuada de π. Fució Arco tagete. El codomiio de la fució arco-tagete es el itervalo [ π / 2, π / 2 ], es decir: y = arc tg x si y solo si π / 2 y π / 2 y tg y = x. d arc tg x = dx + x 2 arc tg x dx = x arc tg x log( + x 2 ) Nuevamete, obteemos la serie de Taylor a partir de su derivada; por la suma de la serie geométrica sabemos que: d arc tg x = dx + x 2 = ( ) x 2 x < =0 Itegrado y determiado la covergecia e los extremos co el criterio de Leibiz, obteemos: arc tg x = ( ) x2+ x 2 + =0 Fució Argumeto del Seo Hiperbólico. La fució iversa del seo hiperbólico se deomia argumeto del seo hiperbólico, siedo R su domiio y codomiio: argseh x = log(x + + x 2 ) d dx argseh x = + x 2 argseh x dx = x argseh x + x 2 Obteemos el desarrollo e serie de Taylor como sigue: d ( ) /2 dx argseh x = ( + x2 ) /2 = x 2 para x <. Itegrado esta serie y deduciedo la covergecia e los extremos co el criterio de Raabe, obteemos: ( ) /2 argseh x = x 2+ = ( ) (2)! 2 + (2!) 2 (2 + ) x2+ para x. =0 =0 =0 Igeiería Iformática

52 268 Cálculo para la computació Y π/2 X f(x) = arcta x π/2 T 3 (x) = x x3 3 Y π/2 X f(x) = arcta x π/2 T 7 (x) = x x3 3 + x5 5 x7 7 Y π/2 X f(x) = arcta x π/2 T 3 (x) = x x3 3 + x5 5 x7 7 + x9 9 x + x3 3 Figura 6.3: Fució arcotagete y alguos poliomios de Taylor. E.T.S.I.Iformática

53 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 269 Fució Argumeto del Coseo Hiperbólico. La fució iversa del coseo hiperbólico se deomia argumeto del coseo hiperbólico, siedo [, ) su domiio y [0, ) su codomiio: argcosh x = log(x + x 2 ) d dx argcosh x = x 2 argcosh x dx = x argseh x x 2 Fució Argumeto de la Tagete Hiperbólica. La fució iversa de la tagete hiperbólica se deomia argumeto de la tagete hiperbólica, siedo el itervalo (, ) su domiio y R su codomiio: argtgh x = log d dx argtgh x = x 2 + y y 2 argtgh x dx = x argtgh x + log( x 2 ) Por la suma de la serie geométrica sabemos que: d dx argtgh x = x 2 = para x <. Itegrado esta serie obteemos: x 2+ argtgh x = 2 + =0 =0 x 2 x < La serie o coverge e iguo de los dos extremos. Evaluació aproximada de Fucioes Como ya sabemos, la pricipal aplicació del desarrollo de Taylor es la evaluació aproximada de fucioes mediate los desarrollos deducidos e la secció aterior. Debemos teer e cueta que la evaluació aproximada o tiee igua utilidad si o se acompaña de ua estimació del error cometido. Para esto, podemos utilizar el resto de Taylor o, cuado se posible, las fórmulas de estimació asociadas a los criterios de covergecia de Leibiz, raíz, cociete y Raabe; e estos casos, tras escribir el valor de la fució e u puto como ua serie umérica y aplicar el criterio adecuado. Sabemos que alguos desarrollos de Taylor so válidos solamete e ua parte del domiio, e estos casos, tedremos que utilizar alguas maipulacioes algebraicas para evaluar las fucioes e el resto de los putos: Igeiería Iformática

54 270 Cálculo para la computació Fució logaritmo. El desarrollo de Taylor de la fució logaritmo permite evaluar log x para x (0, 2]; para a (2, ) podemos utilizar la siguiete igualdad: log a = log a Fució potecial. Para evaluar ua fució potecial fuera del itervalo (, ) podemos utilizar el método que se muestra e el siguiete ejemplo: si queremos aproximar 3 0, multiplicamos y dividimos detro de la raiz por 2 3 : 3 0 = = = 2p /3( / 4 ) Fució arcocoseo. No dispoemos de serie de Taylor para la fució arcocoseo, pero la igualdad: arc cos x = π 2 arc se x ayuda a evaluar de forma aproximada esta fució utilizado la fució arcoseo y ua aproximació de π. Fució arcotagete. Fuera del itervalo [, ] podemos utilizar la siguiete igualdad para aproximar la fució arcotagete: arc tg x = π 2 arc tg x Suma de series uméricas Las series de potecias, y las series trigoométricas que estudiamos e la secció siguietes, permite sumar muchas series uméricas. E la siguiete tabla resumimos las series de Taylor que hemos deducido ateriormete para las fucioes elemetales: =0 x! = ex, x R x = log( x), x [, ) ( ) x2+ = se x, (2 + )! x R ( ) x2 = cos x, (2)! x R =0 =0 E.T.S.I.Iformática

55 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 27 x 2+ = seh x, x R (2 + )! =0 x 2 = cosh x, (2)! x R =0 ( ) α x = ( + x) α, x (, ) =0 ( ) α ( ) = 0, α > 0 =0 ( ) α = 2 α, α >, α 0 =0 ( ) ( ) /2 x 2+ = arc se x, x 2 + =0 (2)! (2!) 2 (2 + ) x2+ = arc se x, x =0 ( ) x2+ = arc tg x, x 2 + =0 ( ) /2 x 2+ = argseh x, x < 2 + =0 ( ) (2)! (2!) 2 (2 + ) x2+ = argseh x, x < =0 x 2+ = argtgh x, x < 2 + =0 Series del tipo P ()/! A partir de la serie = e podemos sumar todas las series del tipo! =0 P (), e dode P es u poliomio de grado p y q Z. El criterio del ( + q)! cociete permite demostrar que todas ellas so covergetes y el método que presetamos a cotiuació permite calcular su suma. Partimos de la siguiete descomposició del poliomio P : P () = a p ( + q)( + q ) ( + q p + ) + P () dode P es u poliomio de grado meor o igual que p (y que puede ser descompuesto de la misma forma) y a p es el coeficiete de p e P. Tal descomposició se obtiee fácilmete impoiedo la igualdad y acumulado e P, los térmios que o esté e el primer sumado. A partir de esta Igeiería Iformática

56 272 Cálculo para la computació descomposició se obtiee que: P () ( + q)! = a p ( + q p)! + P () ( + q)! La primera serie se suma utilizado la serie de Taylor de la fució expoecial, como veremos a cotiuació, y la seguda es ua serie del mismo tipo iicial pero de tal forma que el poliomio del umerador tiee grado estrictamete meor. Si aplicamos la descomposició hasta coseguir que el poliomio del umerador se reduzca a ua costate, habremos reducido el problema a sumar varias series del tipo ( + k)! : =N ( + k)! = =N =N+k! = N+k! =0 =0 N+k! = e =0! Series de Fourier Si a y b so dos sucesioes uméricas, la siguiete serie fucioal se deomia serie trigoométrica: S(x) = (a cos x + b se x) =0 Es evidete que las fucioes defiidas por esta series so periódicas. Más complicado es determiar e qué codicioes estas fucioes so cotiuas o derivables. Por ejemplo, sabemos que si las series asociadas a a y b so absolutamete covergetes, la serie trigoométrica determia ua fució cotiua y derivable. Así como las series de Taylor permite aproximar cualquier fució mediate poliomios, queremos que las series trigoométricas os ayude a aproximar fucioes periódicas mediate combiacioes lieales de fucioes del tipo se x y cos x. Supogamos que f(x) = a (a cos x + b se x) y que las propiedades de f permite permutar los operados de itegració y E.T.S.I.Iformática

57 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 273 de serie. E este caso, podríamos realizar el siguiete desarrollo: π π f(x) cos mx = a 0 2 cos mx + (a cos x cos mx + b se x cos mx) f(x) cos mx dx = π π a cos mx dx+ π (a cos x cos mx dx+ π + b π π ) se x cos mx dx = a m π Repitiedo el mismo proceso multiplicado f por se mx, coseguimos expresar todos los coeficietes a m e fució de f: a 0 = π a m = π b m = π π π π π π π f(x) dx f(x) cos mx dx f(x) se mx dx Debe quedar claro que la el paso e el que permutamos la itegral co la serie o es e geeral válido. Como hemos visto ateriormete, sí lo podemos hacer e las series de potecias y lo podremos hacer e alguas series trigoométricas, pero o es válido para cualquier serie de fució. El estudio de las codicioes que debe verificar ua serie geeral para que tales trasformacioes sea posibles, queda fuera de los objetivos de este curso. E cualquier caso, el desarrollo aterior justifica la defiició que vemos a cotiuació; si existiera ua serie trigoométrica que represete ua fució f, sus coeficietes debería de verificar las igualdades obteidas arriba. Defiició 6.63 Sea f ua fució periódica de periodo 2π e itegrable y cosideremos las sucesioes a y b defiidas por a 0 = π a = π b = π π π π π π π f(x) dx f(x) cos x dx, f(x) se x dx, Llamamos serie de Fourier asociada a f a la serie trigoométrica y escribimos f(x) S(x). S(x) = a (a cos x + b se x) Igeiería Iformática

58 274 Cálculo para la computació Ejemplo Vamos a determiar la serie de Fourier asociada a la fució periódica de periodo 2π tal que Hallamos los coeficietes como sigue: a 0 = π a = π b = π π π/2 π/2 π/2 π/2 0 si x [ π, π/2) f(x) = si x [ π/2, π/2) 0 si x [π/2, π) f(x) dx = π/2 [ x dx = π π π/2 π [ cos x dx = se x π [ se x dx = cos x π ] π/2 π/2 ] π/2 π/2 ] π/2 π/2 = = 2 π se π 2 Podemos simplificar los coeficietes a teiedo e cueta que, si = 2k, etoces se π (2k + )π = se kπ = 0 y si = 2k+, etoces se = ( ) k. 2 2 Por lo tato, la serie de Fouries es: f(x) 2 + ( ) k 2 cos(2k + )x 2k + k=0 = 0 Notació compleja Ua represetació alterativa para las series de Fourier, y e muchas ocasioes más secilla de maejar, es la que se obtiee al utilizar la defiició de las fucioes trigoométricas utilizado la expoecial compleja: S(x) = a (a cos x + b se x) = a (a (e ix + e ix ) ib (e ix e ix )) 2 = a ((a ib )e ix + (a + ib )e ix ) 2 Defiimos: c 0 = 2 a 0, c = 2 (a ib ), c = 2 (a + ib ) = c 0 + (c e ix + c e ix ) E.T.S.I.Iformática

59 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 275 = c 0 + (c e ix + c e ix ) [ Extediedo la otació : = c 0 + = = c e ix + c e ix = c e ix Los coeficietes c itroducidos puede describirse más facilmete como sigue: c 0 = 2 a 0 = π π π f(x)dx π c = 2 (a ib ) = 2π = π f(x)e ix dx 2π π c = 2 (a + ib ) = 2π = π f(x)e ix dx 2π π π π π f(x)(cos x i se x)dx f(x)(cos x + i se x)dx Es decir, la serie de Fourier de la fució f es: S(x) = c e ix e dode: = c = π f(x)e ix dx, 2π π Z Simplificació del cálculo Las posibles propiedades de simetría de la fució f facilita el cálculo de los coeficietes, como e los casos que recoge el siguiete resultado. Proposició 6.64 Sea f ua fució periódica de periodo 2π.. Si f es ua fució par, es decir, f( x) = f(x) para todo x, etoces e dode: a = 2 π π 0 f(x) a a cos x f(x) cos x dx Igeiería Iformática

60 276 Cálculo para la computació 2. Si f es impar, es decir, f( x) = f(x) para todo x, etoces, e dode: b = 2 π π 0 f(x) b se x f(x) se x dx Tambié será útil teer e cueta que el itervalo de itegració [ π, π] utilizado e la defiició de los coeficietes puede ser sustituido por cualquier otro de amplitud 2π, ya que si ua fució es periódica de periodo 2π, las itegrales e cualquier itervalo de periodo 2π so iguales: a+2π a H(x)dx = π π H(x)dx E particular, es frecuete utilizar idistitamete los itervalos [ π, π] y [0, 2π]. Propiedades Tal y como hemos advertido ates, la igualdad etre la fució y su serie de Fourier o es válida e geeral, auque sí se verifica e determiadas codicioes, segú establece el teorema de Dirichlet que vemos a cotiuació. Ates de ver este resultado recordamos alguos coceptos y otacioes. f(a + ) deota el límite por la derecha de f e a si este existe: f(a + ) = lím x a + f(x). f(a ) deota el límite por la izquierda de f e a si este existe: f(a ) = lím x a f(x). f (a + ) deota la derivada por la derecha de f e a si esta existe: f (a + ) = f(x) f(a lím + ). x a + x a f (a ) deota la derivada por la izquierda de f e a si esta existe f (a f(x) f(a ) = lím ). x a x a Ua fució f defiida e el itervalo [a, b] se dice que es derivable a trozos si existe ua partició {a = x 0, x,..., x = b} del itervalo, de tal forma que la fució es derivable e cada subitervalo (x i, x + ) y existe las derivadas laterales e cada x i. E.T.S.I.Iformática

61 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 277 Teorema 6.65 (de Dirichlet) Sea f ua fució periódica de periodo 2π y derivable a trozos e el itervalo [ π, π); cosideremos la serie de Fourier asociada a f, S. Etoces, se verifica que para cada x R, S(x) = 2 [f(x+ ) + f(x )]; e particular, si f es cotiua e x, S(x) = f(x). Es decir, e los itervalos de cotiuidad la serie coicide co la fució y e los putos de discotiuidad, la serie coverge al puto itermedio etre los límites laterales. Para el ejemplo 6.3.7, lo vemos gráficamete e la figura 6.4 Tambié hemos advertido varias veces que el operador serie o permuta, e geeral, co los de derivació e itegració. Para las series trigoométricas, e determiadas codicioes sí podremos hacerlo. Teorema 6.66 Sea f ua fució periódica de periodo 2π, derivable e [ π, π] y verificado:. f( π + ) = f(π ); 2. f es derivable a trozos e [ π, π]; 3. f(x) = a (a cos x + b se x). Etoces, f (x) ( a se x + b cos x) Si ua serie de Fourier tiee termio idepediete, su itegral, térmio a térmio o es ua serie trigoométrica. Por lo tato, o sería cierto afirmar que la itegral de la serie de Fourier es la serie de Fourier de la itegral. Si embargo, sí podremos realizar este operació para geerar uevas series de Fourier. Ates de ver el correspodiete resultado, vamos a observar que, auque e geeral la primitiva x 0 f(t)dt de ua fució periódica f, o tiee que ser periódica, la siguiete fució sí lo es: g(x) = x 0 f(t)dt a 0 2 x Igeiería Iformática

62 278 Cálculo para la computació Fució impulso π π X S 0 (x) = π cos x π π/2 π/2 π X S (x) = π cos x 2 3π cos 3x π π/2 π/2 π X S 4 (x) = π cos x π cos 3x + 5π cos 5x 7π cos 7x + 9π cos 9x π π/2 π/2 π X Figura 6.4: Fució impulso, defiida e el ejemplo 6.3.7, y varias sumas parciales de su serie de Fourier. E.T.S.I.Iformática

63 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 279 x+2π 0 f(t)dt a 0 (x + 2π) 2 = 2π 0 = a 0 π + = x+2π 2π f(t)dt + x+2π 2π x+2π 2π f(t)dt a 0 2 x a 0π f(t)dt a 0 2 x a 0π f(t)dt a 0 2 x = x 0 f(t + 2π)dt a 0 2 x = x 0 f(t)dt a 0 2 x De hecho, el teorema de itegració de series de Fourier que vemos a cotiuació os dice si itegramos térmio a térmio la serie de Fourier de f, obteemos la serie de Fourier de g. Teorema 6.67 Sea f ua fució periódica de periodo 2π y derivable a trozos e [ π, π] co el siguiete desarrollo e serie de Fourier: 2 [f(t+ ) + f(t )] = a (a cos t + b se t) Etoces, para cada x se verifica que g(x) = x e dode, A 0 = π 0 f(t)dt a 0 2 x = A ( a se x b ) cos x, π π g(x)dx. Naturalmete, la fució g puede expresarse co cualquier primitiva de f; el coeficiete A 0 depederá de la primitiva elegida, pero e cualquier caso los resultados solo diferirá e ua costate. Ejemplo Vamos a aplicar el resultado aterior a la serie del ejemplo Dado que ya hemos demostrado que la fució x 0 f(t)dt a 0 2 x es periódica de periodo 2π, solo ecesitamos calcularla explícitamete e el itervalo [ π, π]: Si x [ π, π/2]: x 0 f(t)dt = ] π π π/2 [t dt = = π π/2 2. Si x [ π/2, π/2]: x 0 f(t)dt = ] x x 0 [t dt = = x. 0 Si x [π/2, π]: x 0 f(t)dt = ] π π π/2 [t dt = = π π/2 2. Igeiería Iformática

64 280 Cálculo para la computació π π/4 π X Figura 6.5: Fució g del ejemplo Por lo tato, la fució g(x) = x 0 f(t)dt x 2 coicide co π x 2 si x [ π, π/2) g(x) = x 2 si x [ π/2, π/2) π x 2 si x [π/2, π) E la figura 6.5, podemos ver la gráfica de la fució g, y tal y como establece el teorema aterior, observamos que es cotiua e R. Su coeficiete A 0 lo teemos que calcular explícitamete, si embargo, por la simetría impar de g podemos afirmar que dicho coeficiete es ulo, si ecesidad de hacer el cálculo. Fialmete, itegramos la serie de f para obteer la de g segú establece el teorema: g(x) = ( ) k 2 (2k + ) 2 se(2k + )x k=0 Ejemplo Podemos utilizar las series de Fourier para sumar series uméricas. Vamos a obteer la suma de la serie (2k + ) 2 usado el desarrollo k=0 del ejemplo aterior. Si tomamos x = π/2, teemos que π 4 = g(π/2) = ( ) k+ 2 π(2k + ) (2k + ) 2 se = 2 k=0 = ( ) k 2 (2k + ) 2 ( )k = Por lo tato, k=0 (2k + ) 2 = π 8. k=0 k=0 2 (2k + ) 2 Extesioes periódicas de fucioes E muchas ocasioes estaremos iteresados e el desarrollo e serie trigoométrica de fucioes defiidas e u domiio restrigido. La forma de hacerlo será exteder el domiio de forma periódica y utilizar los métodos ateriores para ecotrar el desarrollo buscado. Haremos este estudio para el E.T.S.I.Iformática

65 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 28 domiio restrigido [ π, π], la extesió a u domiio más geeral es imediata teiedo e cueta la secció aterior. Cosideremos ua fució f arbitraria; se puede presetar dos situacioes:. El domiio que os iteresa es [ π, π] (o cualquier otro itervalo de amplitud 2π); e este caso, desarrollamos la fució g defiida como extesió periódica de f. 2. Solo os iteresa el domiio [0, π]. E este caso teemos dos posibilidades, las dadas al cosiderar las fucioes f y f 2 defiidas como extesió periódica de: f(x) si x [0, π] f (x) = f( x) si x [ π, 0) f(x) si x [0, π] f 2 (x) = f( x) si x [ π, 0) que coicide co f e [0, π]. La fució f es par y por tato su serie de Fourier es ua serie de coseos; la fució f 2 es impar y por lo tato su serie de Fourier es ua serie de seos. Cosiderado ua u otra fució como extesió de f teemos las siguietes series de Fourier asociadas a f: Serie de coseos. Si f está defiida e [0, π], su serie de coseos es e dode: a = 2 π Serie de seos. e dode b = 2 π f(x) a a cos x, x [0, π] π 0 f(x) cos x dx Si f está defiida e [0, π], su serie de seos es f(x) b se x, x [0, π]. π 0 f(x) se x dx. Fucioes de periodo arbitrario Es posible defiir la serie de Fourier asociada a cualquier fució periódica auque el periodo sea distito de 2π. Tal defiició se hace a partir de la dada e la secció aterior y mediate ua simple cambio de variable. Igeiería Iformática

66 282 Cálculo para la computació Si f(x) es periódica de periodo 2T, etoces g(t) = f( T π t) es periódica de periodo 2π; a esta fució le podemos hallar su serie de Fourier, g(t) S(t); ua vez hecho esto, y teiedo e cueta que f(x) = g( π T x), obteemos la serie de Fourier de f, f(x) S( π T x). Los resultados obteidos os lleva a la serie f(x) a (a cos π T x + b se π T x), e dode a 0 = T a = T b = T T T T T T T f(x) dx f(x) cos π T x dx f(x) se π T x dx Utilizado la otació co la expoecial compleja, si f es ua fució de periodo 2T, su serie de Fourier es: e dode: c = 2T S(x) = T T = c e iπx/t f(x)e iπx/t dx, Z De la misma forma que para las fucioes de periodo 2π, e las fucioes de periodo 2T podemos utilizar cualquier itervalo co esta amplitud, e las itegrales que defie los coeficietes de Fourier. E.T.S.I.Iformática

67 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 283 Ejercicios básicos. Hallar los campos de covergecia de las series de potecias siguietes: a) d) x! b) ( )! 2 (x ) e) (x 5) c) (!) 2 (2)! x (x + 3)! 2. Queremos aproximar el valor de e, qué fució cosidera más adecuada para este objetivo, la fució expoecial o la fució raíz cuadrada? Razoe la respuesta y utilice la fució elegida para aproximar dicho úmero co u error meor que 0 3 (dos decimales exactos). 3. Lea la parte de la secció dedicada a las fucioes poteciales y posteriormete coteste los siguietes apartados a) Evalúe y simplifique el úmero combiatorio ( ) /2 para = 0,..., 4. b) Simplifique la expresió ( ) /2 c) Utilice la expresió obteida e el apartado aterior para excribir el poliomio de Taylor de orde e 0 de la fució f(x) = + x. d) Siguiedo las idicacioes de la secció 6.3.3, costruya ua serie cuya suma sea 5 y elija el método más adecuado para aproximar su valor co u error meor que Cosidere la fució f(x) = x 2 e x. a) Utilice el poliomio de Taylor de la fució expoecial, su expresió del resto de Lagrage y las propiedades algebraicas para obteer el poliomio de Taylor de f y ua expresió de su resto. b) El resto obteido e el apartado aterior es el resto de Lagrage de la fució f? E cualquier caso, utilícelo para hallar f( / 4 ) co u error meor que Utilice el resultado para determiar u ifiitésimo equivalete x 2 cos x 2 + e 0. Úselo para calcular el siguiete límite x 2 cos x 2 + lím x 0 x 3 e x 6. Determie la serie de Taylor de la fució f(x) = siguiete proceso. x ( x) 2 usado el Igeiería Iformática

68 284 Cálculo para la computació a) A partir de la serie de x, obtega por derivació la de ( x) 2. b) Exprese la fució g como suma de fraccioes simples. c) Utilice las propiedades algebraicas y los apartados ateriores para costruir la serie de Taylor de f. 7. Obtega la suma de la serie ( ) 2 2+ usado el siguiete proceso: =3 a) Sume la serie de potecias 2 x usado las propiedades de derivació y las propiedades algebraicas de las series de potecias que permita reducirla a ua serie más simple. b) Evalúe la serie del apartado aterior e u valor de x adecuado para poder sumar la serie propuesta. 8. Lea la secció y utilícela para sumar la serie 2 2.! 9. Halle la serie de Fourier de la fució f, periódica de periodo 2π y tal 0 e ( π, 0] que h(x) =. x e (0, π] Utilice esta serie para calcular la suma de la serie umérica (2 ) a) Justifique la igualdad: x 2 = π ( ) cos x 2, x [ π, π]. b) Deduzca que: x = ( ) + 2 se x, x [ π, π]. c) Deduzca que: x(x 2 π 2 ) = 2 ( ) se x 3, x [ π, π] d) Calcule las sumas de las series: 2 y =2 ( ) 2. Lea la secció y aplique su coteido para desarrollar e serie de coseos la fució se x para x [0, π]. 2. Lea la secció y aplique su coteido para obteer la serie de Fourier la fució de periodo 3 defiida e [, 2) por f(x) = E[x]. 3. Exprese como suma de fucioes racioales simples la sucesió racioal a = ( ) ( + ) 2. Etre las series que ha apredido a sumar e esta lecció ecotrará aquellas que le permite evualuar a. =2 E.T.S.I.Iformática

69 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 285 Relació de ejercicios (I). Respoder las siguietes pregutas razoado las respuestas co precisió : a) Dadas dos sucesioes a y b cosideramos los cojutos de sus elemetos: A = {a }, B = {b }. Si A = B, podemos afirmar que lím a = lím b? b) Es cierto que toda sucesió acotada es covergete? c) Es correcto escribir la igualdad simbólica 0 =? d) Si a + = se, podemos afirmar que el límite lím a a o existe? e) Las sucesioes a = se y b so ifiitésimos equivaletes? 2. Determie el térmio geeral de la siguiete sucesió y calcule su límite 0, 0 9, 0 99, 0 999, , Cosideremos las siguietes sucesioes: a = 3 + 5, b = ( 3), c = 2 3!, d = + 4 Para cada ua de ellas, calcule los primeros térmios, aalice ituitivamete sus propiedades (mootoía, acotació y covergecia) y fialmete estúdielas formalmete. 4. Calcule y exprese de la forma más simplificada posible los primeros térmios de las siguietes sucesioes a = k= k, b = ( + )( + 2) ( + 2(2 + )(2 + 2)... (2 + ) 5. Cosideramos la siguiete sucesió defiida por recurrecia: a = 2 a = a 3 si > a) Calcule los diez primeros térmios de la sucesió y aalice ituitivamete sus características (mootoía, acotació y covergecia). b) Estudie formalmete las propiedades de mootoía, acotació y covergecia. c) Deduzca el térmio geeral de la sucesió. Igeiería Iformática

70 286 Cálculo para la computació 6. Cosideramos la sucesió a defiida recursivamete por a 0 = 2 a + = a + si 0 2 a a) Utilice iducció para demostrar que la sucesió es decreciete. b) Del puto aterior se deduce que a 2; utilice iducció para demostrar que además a c) Podemos cocluir etoces que a es covergete; demuestre que su límite l verifica que l 2 = 2. Todo úmero real se puede costruir como límite de ua sucesió de úmeros racioales. Co este ejercicio, hemos costruido ua sucesió cuyo límite es Demuestre que si k p es el térmio de grado mayor e el poliomio P (), etoces a = P () y b = k p so ifiitos equivaletes. 8. Demuestre que a = log( + k), b = log(k) y c = log so ifiitos equivaletes y utilícelo para calcular el límite lím 3 log( 7) 2 log(5) 9. Demuestre que a = ( + ) α α y b = α α so ifiitos equivaletes. 0. Calcule el límite lím e e 3 e... e. Escribiedo el cociete como suma de fraccioes simples, simplifique la expresió de la sucesió e siguiete límite para m(m + ) calcularlo: ( lím 2 + ) ( ) + ( + ) 2. Resuelva los siguietes límites: ( a) lím ) ( + a)( + b) b) lím ( a a) 3. Los siguietes límites se resuelve utilizado el criterio de Stöltz o el criterio del cociete: a) lím p + 2 p + + p p+, (p N) b) lím ( + )( + 2)... ( + ) E.T.S.I.Iformática

71 Tema 6: Sucesioes y series uméricas Sea a ua sucesió tal que lím a = a; utilice el criterio de Stöltz para calcular a + a a 2 lím log 5. Utilice el teorema de compresió para calcular el límite de las sucesioes: a) ( )! ( + )( + 2)... ( + ) b) ( ) 6. Utilice la costate de Euler para calcular el siguiete límite lím Utilice la caracterizació secuecial y el teorema de L Hôpital para calcular lím α e. 8. Razoar co exactitud sobre la veracidad de las siguietes afirmacioes: a) Si a ua serie le quitamos u cojuto fiito de térmios, la suma de la serie o varía. b) Si ua serie es covergete, el límite de su térmio geeral es 0. c) Si el límite de ua sucesió es 0, la serie asociada es covergete. d) Si a es ua serie de térmios positivos y covergete, etoces a 2 tambié es covergete. e) Si a es ua serie de térmios positivos y covergete, etoces a tambié es covergete. f ) Cosideremos la serie ( ) /; por el criterio de codesació, el carácter de esta serie coicide co el de la serie 2 k ( ) 2k 2 k = que es divergete. Por tato, la serie ( ) / es divergete. 9. Demuestre que la siguiete serie es telescópica, estudie su covergecia y súmela si es posible. a) ( ) (2 + ) ( + ) 20. Estudie la covergecia de la serie siguiete procedimieto: (4 2 ) y súmela aplicado el a) Escriba el térmio geeral como suma de fraccioes simples. Igeiería Iformática

72 288 Cálculo para la computació b) Simplifique la expresió de la sucesió de sumas parciales utilizado la costate de Euler. c) Calcule el límite de la expresió de la sucesió de sumas parciales obteida e el apartado aterior. 2. Estudie el carácter y sume si es posible las siguietes series: 2 a) +3 ( ) 3 b) Sume la serie = =0 23. Sume las siguietes series aritmético-geométricas: c) 5 d) ( ) 2 2 =3 24. Teiedo e cueta que es ua serie hipergeométrica, sume la serie ( + ) =3 25. Criterio del logaritmo. Sea a ua serie de térmios positivos. Si etoces se verifica que Si k < la serie diverge. Si k > la serie coverge. k = lím log a log a) Estudie el criterio del logaritmo para estudiar la covergecia de series p-armóicas (corolario 6.40). b) Si es posible, aplique el criterio del logaritmo para estudiar la covergecia de las siguietes series: ( ) a) 2 b) 2 c) d) =2 26. Aplique ifiitos equivaletes para ecotrar series p-armóicas co el mismo carácter que las siguietes y deduzca su carácter: =0 =3 =4 a) b) = P () 27. Repita el ejercicio aterior para ua serie del tipo, e dode Q() P y Q so dos poliomios de grados p y q respectivamete para deducir que: E.T.S.I.Iformática

73 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 289 a) Si q p la serie diverge. b) Si q p > la serie coverge 28. Sea f y g dos fucioes crecietes y estrictamete positivas e su domiio, h ua fució decreciete, c ua sucesió creciete y d ua sucesió decreciete. Utilice las propiedades algebraicas de la relació de orde para demostrar que: a) f + g es ua fució creciete. b) f g es ua fució creciete. c) /f es ua fució decreciete. d) f es ua fució decreciete. e) f g es ua fució creciete y f h es ua fució decreciete. f ) f(c ) es ua sucesió creciete y f(d ) es ua sucesió decreciete. g) h(c ) es ua sucesió decreciete y h(d ) es ua sucesió creciete. 29. Estudie el carácter de las siguietes series: 3 2 =2 2! ! 3 (log ) r (log ) =2 =2 ( ) ( ) + 2 (a + ) (a + ) a! [( ) + ] 2 + (log ) 2 = cos (! log ( ) + 2 ( ) log =2 =2 a! 3 2 ) 2 (3 + 2) 4/3 cos 2 π 3 2 si a (a > 0) ( ) ( ) se a(a + )... (a + ) ( ) π (!) se c b(b + )... (b + ) 4 2 (3)! a ( ) (!) 3 (a)! Igeiería Iformática

74 290 Cálculo para la computació 30. Halle los campos de covergecia de las series de potecias siguietes: a) c) e) g) i) k) m) ñ) p) r) t) x b) (x ) 2 d) + x f ) x h) ( ) 2 + (x + 2) j )! (x + ) l) ( + )! 5 (x 2) )! ( + ) x o) x log 2 + q) ( ) 2 + (x + ) s) log x u) x 2 x + x + 2 ( ) + x ( ) 3 3 (x + 3) (x ) log( + ) (log )x =2 x 2 2 (2)! x (x ) =2 x (log ) 3. a) Calcule e co u error meor que 0 8. Cuátas cifras decimales de esta aproximació so exactas? b) Calcule se co u error meor que 0 4. c) Calcule log 5 co u error meor que Lea la secció y utilícela para costruir ua serie cuya suma sea log 5. Aproxime la suma de dicha serie, es decir, el valor de log 5, co u error meor que Para = y = 2, exprese la fució + x como suma de su poliomio de Taylor de orde más el correspodiete resto. Deduzca, para x > 0, las siguietes desigualdades: + x 2 x2 8 + x + x Para x > 0, pruebe que: ( + x)/3 ( + x 3 x2 9 ) 5x3 8 E.T.S.I.Iformática

75 Tema 6: Sucesioes y series uméricas Utilizado series de Taylor para determiar los ifiitésimos adecuados para calcular el límite x 2 + log( x 2 ) lím x 0 2 cos x + e x Represete mediate serie de potecias de x las siguietes fucioes: a) f(x) = seh x b) f(x) = log + x x 37. Sume la siguiete serie de potecias 38. Sume las siguietes series: a) ( + )! =2 ( + )x = b) 2 ( + 2)! 39. Cosidere las siguietes fucioes: e ( π, 0] f(x) = ; g(x) = x, x [ π, π]; e (0, π] a) Use la defiició para calcular la serie de Fourier de f y deducir a partir de ella la serie de Fourier de g. b) Use la defiició para calcular la serie de Fourier de g y deducir a partir de ella la serie de Fourier de f. 40. Desarrolle e serie de Fourier las fucioes de periodo 2π: π/4 si x (0, π] a) f(x) = π/4 si x ( π, 0] ; π x si x (0, π] b) g(x) = π + x si x ( π, 0] Aplique dichos desarrollos para calcular las sumas de las siguietes series: ( ) y 2 + (2 + ) 2 =0 =0 4. Desarrolle e serie de Fourier la fució de periodo 4 defiida e [ 2, 2) por f(x) = x. Igeiería Iformática

76 292 Cálculo para la computació Relació de ejercicios (II). Cosideramos la siguiete sucesió defiida por recurrecia: b = 3 b = b + si > a) Calcule los diez primeros térmios de la sucesió y aalice ituitivamete sus características (mootoía, acotació y covergecia). b) Estudie formalmete las propiedades de mootoía, acotació y covergecia. c) Deduzca el térmio geeral de la sucesió. 2. Justifique que las siguietes sucesioes so covergetes y calcule sus límites c = 2 c = 2 c d = a > 0 d = a + (d ) 2 3. Resolver los siguietes límites: a) lím log log 5 b) lím log( + 3) log 4. Los siguietes límites se resuelve utilizado el criterio de Stöltz o el criterio del cociete: a) lím 2 + b) lím 32 2 (2 + 2 c) lím (log )2 d) lím ( + ) ) 5. Utilice el criterio de Stöltz y la equivalecia ( + ) α α α α para calcular el límite lím a = 8/3 e. Razoe que, aplicado sucesivamete el criterio de Stöltz, se puede llegar a la misma coclusió para el límite lím a = α e, para cada α 6. Calcule el límite lím! utilizado el teorema de compresió. 7. Utilice el teorema de acotació para calcular los siguietes límites: a) lím 2 + ( + ) ( + ) 2 E.T.S.I.Iformática

77 Tema 6: Sucesioes y series uméricas Calcule el siguiete límite lím log( ) log(log ) 9. Para la siguiete sucesió, determie el térmio geeral de la sucesió y calcule su límite. 0 3, 0 33, 0 333, , Para la siguiete sucesió, determie ua forma recursiva de su térmio geeral y calcule su límite , 4 5 4, ,.... Supogamos que lím a = a; halle los siguietes límites: a) lím a + 2a a 2 b) lím ea + e a 2/2 + + e a/ log( + ) 2. Demuestre que las siguietes series so telescópicas, estudie su carácter y súmelas si es posible. a) c) ( + )( + 2) ( ) + b) d) ( + ) 2 + ( + ) 3. Estudie el carácter y sume si es posible la serie = Sume las siguietes series aritmético-geométricas: e) ( + 3) ( ) 2 f ) =5 0 =0 5. Deduzca la fórmula geeral de la suma de la serie aritmético geométrica: (a + b)r si r < =N es hipergeométri-! a 6. Demuestre que la serie ( + a)( + 2a) ( + a) ca y súmela si es posible. Igeiería Iformática

78 294 Cálculo para la computació 7. Demuestre que la serie súmela si es posible. a(a + )... (a + ) b(b + )... (b + ) es hipergeométrica y 8. Deduzca ua fórmula geeral para la suma de ua serie hipergeométrica. 9. Deduzca el criterio de Prigsheim como corolario del criterio de comparació por paso al límite. Criterio de Prigsheim. Sea a ua sucesió de térmios positivos y supogamos que lím c a 0. Probar que: () si c > etoces, a coverge; (2) si c etoces, a o coverge. 20. Series uméricas e itegrales impropias: Si f es positiva, cotiua y decreciete e x y a = f(), etoces a y f(x) dx tiee el mismo carácter. Estudie el carácter de las siguietes series utilizado este resultado cuado sea posible. 2 +, =3 2 +, se 2, e, Cosideremos la serie R()r, e dode R es ua fució racioal. a) Si r, utilice el criterio del cociete para demostrar que la serie coverge si y solo si r <. b) Si r =, e la relació aterior hemos aalizado el carácter de la serie resultate. Para r =, demuestre que: ) Si q p > la serie coverge absolutamete. 2) Si q p = la serie coverge codicioalmete. 3) Si q p < la serie diverge. e dode p es el grado del poliomio del umerador y q es el grado del poliomio del deomiador 22. Progresioes aritméticas. So sucesioes e las que cada térmio se obtiee a partir del aterior sumádole ua catidad fija que llamamos diferecia. Ua progresió aritmética queda determiada cuado coocemos uo de sus térmios y la diferecia; e particular, si a 0 es el primer térmio y d es la diferecia, etoces el térmio geeral es a = a 0 + d para todo N E.T.S.I.Iformática

79 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 295 a) Si a = 0 y d = 3 cuáto vale a 8? b) Si a 0 = 4 y d = 2 cuáto vale a 0? c) Determie el térmio geeral de ua progresió aritmética de la que coocemos su térmio k-ésimo (a k ) y la diferecia (d). d) Si 2a, 2a + y 3a 2 so térmios cosecutivos de ua progresió aritmética, cuáto vale a?, cuál es el térmio geeral de la progresió? e) Iterpole cico úmeros e progresió aritmética etre los úmeros 20 y 44. f ) Calcule la suma de los 0 primeros térmios de la progresió aritmética a = 2. g) Ecuetre la suma de los 00 primeros úmeros pares. Y los 500 primeros? h) Deduzca la fórmula de la suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética. i) Demuestre que la siguiete fórmula de la suma de los primeros úmeros aturales: = ( + ) Progresioes geométricas. So sucesioes e las que cada térmio se obtiee a partir del aterior multiplicádolo por ua catidad fija que llamamos razó. Por lo tato, ua progresió geométrica queda determiada cuado coocemos uo de sus térmios y la razó. E particular, si a es el primer térmio y r es la razó, el térmio geeral es a = a r para todo a) Demuestre que el cociete etre dos térmios cosecutivos de ua progresió geométrica es costate. b) Deduzca las codicioes que debe cumplir la razó de ua progresió geométrica creciete. Y decreciete? Y costate? c) Ecuetre la razó y el vigésimo térmio de las progresioes: 2, 6, 8, 54, 62,... 5, 5, 5, 5, 5, 5,... 8, 4, 2,,..., 3, 3, 3 3, 9,... d) Calcule el valor de a para que los úmeros represetados por a, a+2, a + 8 sea térmios cosecutivos de ua progresió geométrica. e) Iterpole cuatro úmeros e progresió geométrica etre los úmeros 4 5 y Igeiería Iformática

80 296 Cálculo para la computació f ) Deduzca la fórmula de la suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica y aplique la fórmula para demostrar que: = 2 2 g) Si = 4095, cuáto vale? h) Ua persoa comuica u secreto a otras tres. Diez miutos después cada ua de ellas lo ha comuicado a otras tres, y cada ua de estas a otras tres uevas e los diez miutos siguietes, y así sucesivamete. Cuátas persoas cooce el secreto después de dos horas? i) Segú ua leyeda idia, el ivetor del ajedrez solicitó como recompesa que se pusiera grao de trigo e la primera casilla del tablero, 2 e la seguda, 4 e la tercera, y así sucesivamete; e cada ua el doble que e la aterior. El rey aceptó, pero su sorpresa fue grade cuado vio o sólo que o cabía los graos e las casillas, sio que o había suficiete trigo e todo el reio para cumplir el compromiso. Supoiedo que 0 graos de trigo pesa aproximadamete gr. podrías averiguar cuátos Kg. de trigo solicitó el ivetor? 24. a) Calcule e co error meor que 0 5. b) Calcule e 2 co error meor que 0 5. c) Calcule se 2 co u error meor que Para f(x) = x 2 cos x, hallar f( 7π / 8 ) co u error meor que Para x [0, ] y N, pruebe que: x2 log( + x) (x 2 + x3 x + + ( ) 3 ) < x Utilizado series de Taylor para determiar los ifiitésimos adecuados para calcular el límite 2( cos x) se x x 3 4 x lím 2 x 0 x 5 se 5 x (= ) 28. Sume la serie = ! 29. Desarrolle e serie de Fourier la fució de periodo 2π dada por f(x) = x e ( π, π). Deducir de dicho desarrollo la fució suma de la serie se α para cada α R. E.T.S.I.Iformática

81 Tema 6: Sucesioes y series uméricas a) Si f es ua fució de periodo 2π y cotiua, etoces se verifica la idetidad de Parseval: [ π [f(x)] 2 a 2 ] 0 dx = π 2 + (a 2 + b 2 ), π e dode a y b so los coeficietes de la serie de Fourier de f. b) Aplique la idetidad de Parseval a la fució de periodo 2π dada por f(x) = x, x [ π, π]. c) Desarrolle e serie de coseos la fució f(x) = se x e [0, π]; a la serie resultate aplíquele la idetidad de Parseval para sumar la serie (2 + ) 2 (2 + 3) 2. =0 3. Para cada ua de las siguietes fucioes dé su represetació gráfica y su desarrollo e serie de Fourier como fucioes periódicas defiidas a partir del itervalo idicado por periodicidad: 2 x si 0 < x 4 se x si 0 < x π a) f(x) = b) f(x) = x 6 si 4 < x 8 0 si π < x 2π c) f(x) = x, x [ 2, 2) d) f(x) = x, x [0, 2π) 32. Desarrolle e serie de Fourier y = cosh αx, x [0, π] y deducir de dicho desarrollo la suma de la serie α α R {0} Igeiería Iformática