Sucesiones y series numéricas

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1 TEMA 6 Sucesioes y series uméricas Objetivos: Los objetivos so: () estudiar la covergecia de las sucesioes uméricas, (2) Coocer las series uméricas y sus propiedades; (3) saber aplicar los criterios y estudiar la covergecia de las series uméricas. Prerrequisitos: Maipulació de expresioes y propiedades de las fucioes elemetales. Cocepto de límite de ua fució y cálculo de límites (regla de L Hôpital). Coteido: Lecció 6. Sucesioes uméricas. Defiició, características y covergecia. Estudio de la covergecia y cálculo de límites. Ifiitésimos equivalete. Lecció 6.2 Series uméricas. Defiició, propiedades elemetales y suma de series. Criterios de covergecia. Lecció 6.3 Series fucioales. Itroducció: fucioes defiidas mediate series. Series de potecias y series de Taylor. Aplicacioes a la suma y aproximació de series uméricas. Series trigoométricas y serie de Fourier. Igeiería Iformática. Cálculo para la computació 27

2 28 Cálculo para la computació LECCIÓN 6. Sucesioes uméricas La palabra sucesió desiga ua colecció ordeada de objetos, de modo que uo de ellos se idetifica como el primero, otro como el segudo, etc. Por lo tato, ua sucesió umérica es ua secuecia de úmeros ordeados. Defiició 6. Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació a: N R a 0 a a 2 a 3... a... Estas fucioes se represeta co otació de subídices e lugar de co parétesis, es decir, al 0 le hace correspoder a 0 (e lugar de a(0)), al le hace correspoder a (e lugar de a()), y así sucesivamete. Los úmeros reales a 0, a, a 2, a 3,..., a,... so los térmios de la sucesió; a es el térmio -ésimo de la sucesió, es decir, el térmio que ocupa la posició y se deomia térmio geeral de la sucesió; y la sucesió completa se deota {a }, o simplemete a. E alguas ocasioes o será posible o o iteresará comezar la sucesió co a 0, sio e cualquier otro térmio, de modo que la sucesió será: {a k, a k+, a k+2,... } para algú k > 0. Ejemplo 6.. Veamos alguos ejemplos de sucesioes: Los térmios de la sucesió a = co so, 2, 3, 4,...,... Los térmios de la sucesió b = ( ) so,,,,,..., ( ),... Los térmios de la sucesió c = 2 2 co so 2 2, , , =, 3 4, 7 9, 5 6,... Los térmios de la sucesió d = co so, , , , =, 3 4, 2 9, 5 28,... E.T.S.I.Iformática

3 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 29 E los ejemplos ateriores, hemos defiido la sucesió a partir de la fórmula que proporcioa el térmio geeral. Si embargo, existe otras formas de expresar o dar a coocer los térmios de ua sucesió. Ua de ellas es utilizado ua propiedad característica. Por ejemplo, la sucesió de úmeros aturales acabados e 7 es {7, 7, 27, 37, 47, 57, 67,... }, la sucesió de úmeros pares es {2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8,... }, la sucesió de múltiplos de 3 es {3, 6, 9, 2, 5,... } o la sucesió de úmeros primos es {2, 3, 5, 7,, 3, 7,... }. Otra forma de defiir ua sucesió es mediate ua ley de recurrecia o fórmula que permita calcular u térmio a partir de los térmios que le precede. E este caso será ecesario coocer uo o varios térmios iiciales. Por ejemplo, la ley de recurrecia: a = a = + a si > defie la sucesió {, 3, 6, 0, 5, 2, 28,... } dode a es la suma de los primeros úmeros aturales, que tambié se puede expresar así: ( + ) a = k = 2 k= Depediedo de la ley de recurrecia, a veces es ecesario coocer más de u térmio de la sucesió. Por ejemplo, la ley de recurrecia a = a 2 = a = a + a 2 si > 2 que defie la sucesió {,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,... }, coocida como sucesió de Fiboacci. Como e el caso aterior, para calcular el térmio geeral de la sucesió será ecesario resolver la ecuació de recurrecia (coteidos de la asigatura de Matemática Discreta) y, e este caso, obteemos que: ( ) ( ) a = Mootoía de ua sucesió Como vemos e la siguiete defiició, el palabra mootoía se refiere a las propiedades de crecimieto o decrecimieto de los térmios de la sucesió. Defiició 6.2 Sea a ua sucesió de úmeros reales:. Decimos que a es moótoa creciete o simplemete creciete si a a + para todo y decimos que es estrictamete creciete si a < a + para todo. Igeiería Iformática

4 220 Cálculo para la computació 2. Decimos que a es moótoa decreciete o simplemete decreciete si a a + para todo y decimos que es estrictamete decreciete si a > a + para todo. Para estudiar la mootoía de ua sucesió, tedremos que probar que se cumple algua de las desigualdades ateriores y, para ello, podemos utilizar métodos de demostració como iducció o reducció al absurdo. Otro método alterativo cosiste e cosiderar (si tiee setido) la fució de variable real f defiida e [, ) y tal que f() = a, y determiar el crecimieto de esta fució estudiado el sigo de la primera derivada. Si f es moótoa etoces a tambié lo será. Ejemplo 6..2 E el ejemplo 6.., las sucesioes a y d so decrecietes, la sucesió b o es moótoa y la sucesió c es creciete. Acotació de ua sucesió Defiició 6.3 Sea a ua sucesió de úmeros reales:. Decimos que a está acotada superiormete si el cojuto {a N} está acotado superiormete; es decir, si existe u úmero real M tal que a M para todo. 2. Decimos que a está acotada iferiormete si el cojuto {a N} está acotado iferiormete; es decir, si existe u úmero real M tal que M a para todo. 3. Decimos que a está acotada si el cojuto {a N} está acotado superior e iferiormete; es decir, si existe u úmero real positivo M tal que a M para todo. Ejemplo 6..3 E el ejemplo 6.., las sucesioes a, b y d está acotadas, y la sucesió c está acotada iferior pero o superiormete. E.T.S.I.Iformática

5 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 22 Subsucesioes Ua subsucesió es u subcojuto de térmios de la sucesió ordeados de la misma forma y que costituye ua ueva sucesió. Defiició 6.4 Decimos que la sucesió b es ua subsucesió de a si existe ua aplicació f : N N estrictamete creciete tal que: b = a f(). La codició de crecimieto de f asegura que el orde de los térmios de la subsucesió es el mismo que el de los térmios de la sucesió de orige. Por ejemplo, para ua sucesió cualquiera, a, los térmios correspodietes a los ídices pares forma ua subsucesió que es a 2 = {a 2, a 4, a 6, a 8, a 0, a 2,... } e igualmete, los térmios correspodietes a los ídices impares tambié forma ua subsucesió que es a 2 = {a, a 3, a 5, a 7, a 9, a,... } Ejemplo 6..4 La subsucesió a 2 de la sucesió a = ( ) es 3, 8, 5, 24, 35, 48, Covergecia de ua sucesió La característica más importate que se estudia e ua sucesió es su comportamieto a largo plazo, es decir, la tedecia de los térmios de la sucesió hacia u valor límite. Esta posible propiedad se deomia covergecia. Defiició 6.5 Sea a ua sucesió.. Decimos que l R es el límite de la sucesió a si para todo ε > 0, existe u úmero atural N tal que a l < ε para todo N (véase la figura 6.). E tal caso escribimos lím a = lím a = l y decimos que a es covergete y coverge a l. Si la sucesió o es covergete, decimos que es divergete. 2. Decimos que + es el límite de la sucesió a si para todo M R, existe u úmero atural N tal que a > M para todo N. E tal caso decimos que la sucesió diverge a + y escribimos lím a = +. Igeiería Iformática

6 222 Cálculo para la computació Figura 6.: Si lím a = l etoces para N los térmios de la sucesió dista de l meos de ε uidades. 3. Decimos que es el límite de la sucesió a si para todo M R, existe u úmero atural N tal que a < M para todo N. E tal caso decimos que la sucesió diverge a y escribimos lím a =. E adelate utilizaremos la siguiete otació: R = R {, + }; este cojuto se deomia R ampliado. Veamos ahora ua serie de resultados relacioados co la covergecia de sucesioes. Proposició 6.6 Ua sucesió covergete tiee u úico límite. Proposició 6.7 Sea a y b dos sucesioes covergetes a l y m respectivamete; etoces:. lím(a + b ) = l + m 2. lím a b = l m 3. Si b 0 para todo y m 0, etoces lím b = m. 4. Si b > 0 para todo N y m = 0, etoces lím b = + 5. Si b < 0 para todo N y m = 0, etoces lím b = Esta proposició se geeraliza a límites ifiitos co la proposició siguiete. E el euciado de la misma vamos a utilizar varias expresioes dode se utiliza el símbolo ; tales expresioes debe cosiderarse como abreviaturas; E.T.S.I.Iformática

7 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 223 por ejemplo, + + l = + debe leerse como sigue: el límite de ua sucesió que es suma de ua sucesió divergete a + y otra covergete a l, es +. Proposició 6.8 Las siguietes igualdades simbólicas so válidas:. ± + l = ± 2. (+ ) + (+ ) = (+ ), ( ) + ( ) = ( ). 3. (+ )(+ ) = +, ( )( ) = +, (+ )( ) =. 4. /(± ) = 0 Como se puede ver, las siguietes situacioes o está cotempladas e la proposició aterior y, por tato, o puede resolverse directamete: ( ( ) 0,, (0 ), ((+ ) (+ )) ) 0 Si, e ua primera evaluació, os ecotramos co uo de estos casos, diremos que el límite está idetermiado (a priori). E estos casos ecesitaremos realizar trasformacioes algebraicas que covierta la expresió de la sucesió e otra que sí permita calcular el límite. Este tipo de problemas se cooce como cálculo de límites y e él, se estudia alguos resultados o criterios de covergecia que facilita este cálculo de límites. Ejemplo 6..5 La sucesió a = del ejemplo 6.. es covergete y su límite es 0 aplicado la propiedad 4 de la proposició 6.8. A partir de ella, podemos deducir el límite de cualquier expresió racioal si más que aplicar las propiedades de la proposició 6.7. Estudio de la covergecia y cálculo de límites E esta secció vamos a presetar alguos resultados que se utiliza para estudiar la covergecia de ua sucesió y que se cooce como criterios de covergecia. Tambié estudiaremos alguos resultados que se utiliza para determiar que ua sucesió es divergete, so los llamados métodos de refutació. Y, por último, presetaremos alguas técicas de cálculo de límites para aplicar e aquellas sucesioes que sea covergetes. Los resultados que vamos a presetar sólo se puede aplicar a uas determiadas sucesioes, de modo que para utilizarlos será ecesario verificar que se cumple todas las codicioes exigidas. Si embargo, el estudio de la covergecia y el cálculo del límite de ua sucesió está relacioado co el Igeiería Iformática

8 224 Cálculo para la computació comportamieto de los térmios de la sucesió a largo plazo; por tato, las codicioes que se exija e u criterio o es ecesario que se verifique para todos los térmios de la sucesió, sio a partir de u lugar. Por ejemplo, si u criterio exige que la sucesió sea de térmios positivos, o importará que los primeros térmios de la sucesió (u subcojuto fiito de ellos) sea egativos y, por lo tato, tambié podremos aplicar el criterio e este caso. Mootoía y covergecia Las siguietes resultados relacioa las codicioes de mootoía y de covergecia. Proposició 6.9 Toda sucesió covergete está acotada. Proposició 6.0 Toda sucesió moótoa y acotada es covergete, y e particular se verifica Toda sucesió creciete y acotada superiormete es covergete. Toda sucesió decreciete y acotada iferiormete es covergete. Toda sucesió creciete y o acotada superiormete diverge a +. Toda sucesió decreciete y o acotada iferiormete diverge a. Ejemplo 6..6 La sucesió a = es creciete y o acotada y por tato, lím = +. La sucesió b = es decreciete y acotada iferiormete y e cosecuecia covergete. Por la proposició 6.8 podemos afirmar que: lím = 0 Ejemplo 6..7 La sucesió a = ( + ) es ua sucesió creciete y acotada y e cosecuecia es covergete. El límite de esta sucesió es u úmero irracioal y trascedete (es decir, o es raíz de igú poliomio de coeficietes racioales) y se deota por e siedo su valor aproximado 2, De hecho, de esta forma se defie el úmero e, base del logaritmo eperiao y de la fució expoecial. Además, e geeral, se verifica que, si x es ua sucesió divergete a ±, etoces ( lím + ) x = e x E.T.S.I.Iformática

9 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 225 Alguos límites, que iicialmete respode a la idetermiació ( ) puede resolverse utilizado estas sucesioes. ( ) 2 ( 3 lím = lím + ) ( ( = lím + ) 3 ) 2/(3 ) = e 2/3 3 Ejemplo 6..8 La sucesió a = log es ua sucesió decreciete y acotada y, e cosecuecia, covergete. El límite se deomia costate de Euler, se deota por γ y su valor aproximado es 0, De este úmero se cooce muchas meos propiedades que para el úmero e o el úmero π; por ejemplo, o se sabe aú si este úmero es racioal. Tambié podemos utilizar este límite para estudiar otras sucesioes. lím log == lím a + log log = lím ( ) a log + = Acotació y covergecia El siguiete resultado se aplica e alguos casos dode la sucesió está acotada Teorema 6. (Teorema de Compresió). Sea a, b y c tres sucesioes tales que a c b y lím a = lím b = l R; etoces, lím c = l. 2. Sea a ua sucesió covergete a 0 y b ua sucesió acotada; etoces, lím a b = 0. Ejemplo 6..9 Para estudiar la covergecia de la sucesió c = buscamos dos sucesioes covergetes y co el mismo límite que permita acotar el térmio geeral de la sucesió c : = Si observamos que las sucesioes a = 0 y b = so covergetes a 0, podemos deducir, aplicado el teorema 6. que la sucesió c es tambié covergete a 0. Igeiería Iformática

10 226 Cálculo para la computació Ejemplo 6..0 Aplicado el teorema 6. podemos deducir que lím se = 0 pues la sucesió a = se se puede expresar como producto de ua sucesió acotada (se ) por otra sucesió ( ) covergete a 0. Criterio de Stöltz-Cesaro El siguiete resultado se aplica e el cálculo de límites de sucesioes y se asemeja bastate a la regla de L Hôpital utilizada e el cálculo de límites de fucioes. Teorema 6.2 (Criterio de Stöltz-Cesaro) Sea b ua sucesió creciete y divergete a + y sea a otra sucesió: si el límite lím a + a b + b existe, etoces el límite lím a b tambié existe y ambos coicide. Ejemplo 6.. Cosideremos la sucesió que verifica las codicioes del teorema 6.2. Etoces lím = lím 2 + ( + ) 2 2 = lím = 2. Obsérvese e el ejemplo aterior, la coveiecia de aplicar este criterio cuado la sucesió del umerador o del deomiador está costituida por ua suma de térmios. Si embargo, debemos teer e cueta que auque este resultado se suele aplicar e forma de igualdad, lím a b = lím a + a b + b, si al estudiar el límite del segudo miembro deducimos que o existe, etoces o podemos cocluir que el límite del primer miembro tampoco exista; e estas situacioes debemos desestimar el uso de este criterio e itetar otro método. Ejemplo 6..2 Sea a = ( ) y b = (b es creciete y divergete a + ); e este caso, la sucesió a + a es la sucesió { 2, 2, 2,... } que b + b es divergete y, si embargo, la sucesió a = ( ) es covergete a 0. b E.T.S.I.Iformática

11 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 227 Corolario 6.3 (Criterio del cociete) Sea x ua sucesió de térmios positivos tal que lím x + x = l, etoces, lím x = l. Este resultado es, efectivamete, ua cosecuecia del Criterio de Stoltz e igualmete se suele escribir como ua igualdad: lím x = lím x + x Si embargo, debemos teer e cueta que puede existir el límite del primer miembro y o existir el límite del segudo. Ejemplo 6..3 Si reescribimos la sucesió a = utilizado la fució logaritmo, observamos que ua primera evaluació de su límite os coduce a ua idetermiació ( ) lím log = lím exp = exp(0 ) Si embargo, podemos utilizar el criterio del cociete para su cálculo, ya que lím + = y e cosecuecia lím = lím + = Subsucesioes y covergecia Las subsucesioes permite estudiar el límite de ua sucesió por casos. El resultado fudametal es el siguiete: Teorema 6.4 Ua sucesió a coverge a l R si y solo si toda subsucesió coverge a l. Si embargo, utilizaremos ua cosecuecia de este resultado que euciamos así: Proposició 6.5 Supogamos que dos subsucesioes b y c de a verifica que lím b = lím c = l y {a } = {b } {c }; etoces, lím a = l. Este resultado se puede geeralizar a cualquier úmero de subsucesioes co tal de que la uió de sus térmios sea la sucesió origial, como vemos e el siguiete ejemplo. Igeiería Iformática

12 228 Cálculo para la computació Ejemplo 6..4 Cosideremos la sucesió a = cos(π/2). Las cuatro subsucesioes a 4, a 4 2, a 4 3 y a 4 so covergetes a 0 y costituye ua partició (clasificació exhaustiva y excluyete) de los térmios de la sucesió a. Por lo tato, lím cos(π/2) = 0. Covergecia de sucesioes y fucioes Los coceptos de límite de sucesió y límite de fució está estrechamete relacioados. De hecho, la covergecia de fucioes se puede defiir e térmios de límites de sucesioes: Teorema 6.6 (Caracterizació secuecial) Cosideremos ua fució f : D R R y a R. lím f(x) = l R si y solo si: para toda sucesió x a {x } D, co x a para todo, y lím x = a, se verifica que lím f(x ) = l. Si trabajamos co fucioes cotiuas, etoces podemos sustituir l por f(a) e el teorema. Este resultado tiee importates cosecuecias prácticas respecto del cálculo de límites. Si recordamos que:. todas las fucioes elemetales so cotiuas e su domiio, y 2. si ua fució está determiada por operacioes algebraicas (suma, producto, cociete y composició) etre fucioes elemetales e u etoro de u puto a (etoro e Dom(f)), etoces la fució es cotiua e a. etoces podemos utilizar la caracterizació secuecial para calcular límites de sucesioes utilizado las propiedades de cotiuidad de las fucioes. Ejemplo 6..5 lím se π = se π 3 3 = 2 haciedo uso de que cotiua e R. lím x π/3 se x = se π 3 por ser la fució seo ua fució Otras importate cosecuecia de la caracterizació secuecial es que podemos utilizar todos los métodos de cálculo de límites de fucioes e sucesioes, por ejemplo, la regla de L Hôpital. E.T.S.I.Iformática

13 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 229 Ejemplo 6..6 Para calcular el límite de sucesioes lím log correspodiete límite de fucioes lím para obteer el resultado: x log x x log x lím x x = lím /x x = lím x x = 0 como cosecuecia de la caracterizació secuecial lím log cosideramos el y aplicamos la regla de L Hôpital = 0. Obsérvese que o se ha aplicado L Hôpital e el límite de sucesioes sio e u uevo límite de fucioes. Es decir, cambiar la por la x o es u simple cambio de variable, sio que implica la cosideració de ua fució, e lugar de ua sucesió. U tipo de expresioes que o hemos cosiderado hasta ahora so aquellas de la forma a = x y ; para trabajar co ellas usaremos siempre la siguiete igualdad: y x y log x = e y teiedo e cueta que la fució expoecial es cotiua e R, y que lím x + ex = +, y lím x ex = 0, podemos escribir que: y lím x lím(y log x) = e E este tipo sucesioes, surge tres uevos tipos de idetermiacioes, que se reduce, por la igualdad aterior, a la idetermiació 0. Métodos por refutació Co este ombre se cooce los distitos métodos utilizados para demostrar la divergecia de ua sucesió. U primer método cosiste e utilizar la caracterizació secuecial del siguiete modo: ecotrado dos sucesioes e las hipótesis del teorema, pero cuyas imágees o tega el mismo límite. Ejemplo 6..7 Vamos a probar que la fució se x NO tiee límite e +, es decir, lím se x o existe. Para ello, haciedo uso de la caracterizació x + secuecial, vamos a tomar dos sucesioes divergetes a + : x = 2π y = π 2 + 2π Igeiería Iformática

14 230 Cálculo para la computació Dado que: lím se x = lím 0 = 0 = lím = lím se y podemos cocluir que la fució se x o tiee límite e +. Otro método para demostrar la divergecia de ua sucesió es utilizado las subsucesioes. Por ejemplo, si cosideramos la sucesió a = ( ) observamos que los térmios correspodietes a los ídices pares es costatemete, mietras que los térmios correspodietes a los ídices impares es costatemete ; esto os lleva a la coclusió de que la sucesió o puede ser covergete. El resultado fudametal es teorema 6.4 ya euciado, si embargo, utilizaremos la siguiete formulació equivalete: Corolario 6.7 Supogamos que dos subsucesioes b y c de a verifica que lím b lím c ; etoces, la sucesió a o es covergete. Ejemplo 6..8 Por ejemplo, si a = ( ), etoces a 2 = y a 2+ = ; dado que lím a 2 = = lím a 2+, cocluimos que la sucesió a o es covergete. Ifiitésimos e ifiitos equivaletes Defiició 6.8 Decimos que la fució f(x) es u ifiitésimo e a si lím f(x) = 0 y f(x) 0 e u etoro reducido de a. x a Defiició 6.9 Decimos que dos fucioes f y g, so equivaletes e a si f(x) lím x a g(x) = La equivalecia de fucioes es realmete importate e los casos e que las dos fucioes so ifiitésimos e a o las fucioes so divergetes a ± e a, ya que e ellos la defiició de equivalecia da idetermiacioes del tipo 0 0 y respectivamete. Ejemplo 6..9 Para ver que se x y x so dos ifiitésimos equivaletes ecesitamos comprobar que. efectivamete so ifiitésimos lím se x = 0 y lím x = 0 x 0 x 0 E.T.S.I.Iformática

15 Tema 6: Sucesioes y series uméricas y que so equivaletes lím x 0 se x x (L H) cos x = lím = x 0 E el teorema siguiete vemos cómo se puede utilizar la equivalecia de ifiitésimos e el cálculo de límites de fucioes; la caracterizació secuecial de límites de fucioes hace que esta técica sea igualmete útil para el cálculo de límites de sucesioes. Teorema 6.20 Sea f y g dos ifiitésimos equivaletes e a y h(x) otra fució defiida e u etoro de a. Etoces: lím f(x)h(x) existe si y solo x a si lím g(x)h(x) existe, y e tal caso coicide. x a Este teorema justifica la técica que se cooce como sustitució de ifiitésimos equivaletes ya que, e la práctica, las equivalecias dadas e el euciado, se covierte e igualdades, de forma que, e las codicioes del teorema, escribimos: h(x) lím x a f(x) = lím h(x) x a g(x) Los ifiitésimos tambié puede sustituirse si aparece dividiedo al resto de la fució o sucesió y e geeral tedríamos que, e las codicioes del teorema aterior, y para cualquier α R: lím x a h(x) (f(x)) α = lím x a h(x) (g(x)) α No podemos sustituir ifiitésimos e otras situacioes y, e particular, o se puede sustituir si aparece como sumado. E el siguiete ejemplo, ua icorrecta sustitució de ifiitésimos os lleva a u resultado erróeo. Ejemplo El siguiete desarrollo es icorrecto x se x x x lím x 0 x 3 lím x 0 x 3 = 0 pues se ha aplicado ifiitésimos equivaletes(se x x) e ua suma. El límite puede calcularse correctamete utilizado la regla de L Hôpital: x se x cos x lím x 0 x 3 = lím x 0 3x 2 = se x 6x = 6 Igeiería Iformática

16 232 Cálculo para la computació Las equivalecias fudametales so: se x x e 0 tg x x e 0 cos x x2 e 0 2 arc se x x e 0 arc tg x x e 0 e x x e 0 log( + x) x e 0 A partir de estas se puede obteer muchas otras co los siguietes resultados: Teorema 6.2 Sea f y g dos ifiitésimos equivaletes e a y sea h(x) cotiua e b y tal que h(b) = a. Etoces, f h y g h so ifiitésimos equivaletes e b. (Queda implícito que las composicioes se puede realizar e u etoro de b). Proposició 6.22 Si f y g so ifiitésimos equivaletes e a y λ R, etoces λf y λg tambié so ifiitésimos equivaletes e a. Co estos resultados se puede deducir otras equivalecias: tg(x 2 ) x 2 e a x x log a e 0 log x x e De maera aáloga a las fucioes, podemos defiir las sucesioes equivaletes y trabajar co ifiitésimos. Defiició 6.23 Decimos que dos sucesioes a y b, so equivaletes si lím a b = Defiició 6.24 Decimos que la sucesió a es u ifiitésimo si lím a = 0 y a 0 para todo N. La caracterizació secuecial de límite de fució, permite crear equivalecias etre sucesioes ifiitesimales. Proposició 6.25 Sea f y g dos ifiitésimos equivaletes e a y a ua sucesió covergete a a y coteida e u etoro reducido de a. Etoces, f(a ) y g(a ) so ifiitésimos equivaletes. E.T.S.I.Iformática

17 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 233 Ejemplo 6..2 La equivalecia se es válida, ya que las dos sucesioes so covergetes a cero y las fucioes f(x) = se x y g(x) = x so ifiitésimos equivaletes e 0. Todo lo dicho e las seccioes ateriores para ifiitésimos equivaletes es válido para ifiitos equivaletes. Ua de las equivalecias de sucesioes divergetes a ifiito más utilizada es la coocida Fórmula de Stirlig: lím e 2π! = Ejemplo Para calcular el límite de la sucesió a =! utilizamos la fórmula de stirlig sustituyedo! por la expresió e 2π para obteer: lím! = lím 2π e = 0 dode la última igualdad se prueba usado el criterio de Stöltz o la caracterizació secuecial (Regla de L Hôpital). Ejemplo El cálculo hecho e el ejemplo 6..8 demuestra que las sucesioes y log so ifiitos equivaletes. Igeiería Iformática

18 234 Cálculo para la computació Ejercicios básicos. Cosideremos las siguietes sucesioes: a = ( ), b = a) Calcule los primeros térmios de las sucesioes y deduzca ituitivamete las características de las sucesioes (mootoía, acotació y covergecia). b) Estudie formalmete las propiedades de mootoía, acotació y covergecia. 2. Cosideremos la siguiete sucesió defiida por: a = a = 3a si > a) Calcule los primeros térmios de las sucesioes y deduzca ituitivamete las características de las sucesioes (mootoía, acotació y covergecia). b) Determie el térmio geeral de la sucesió y calcule su límite. 3. Calcule los siguietes límites lím , + 33 lím 3 + 4, 3 5 lím Deduzca la regla que determia el límite del cociete de dos expresioes racioales. a = 3 4. Cosideremos la sucesió a = + a a) Determie los 5 primeros térmios de la sucesió. b) Demuestre por iducció que la sucesió es decreciete. c) Demuestre por iducció que a 3 para todo N. d) Podemos afirmar que la sucesió es covergete? E tal caso, calcule su límite. 5. Calcule los siguietes límites utilizado las costates e y γ. a) lím ( ) 5 + 2, b) lím( ) E.T.S.I.Iformática

19 Tema 6: Sucesioes y series uméricas Utilice el teorema de compresió para calcular: lím k= 7. Utilice subsucesioes para calcular el límite de la sucesió 2 + k. {, 0, 2, 2, 0, 4, 3, 0, 8,..., 3 + 2, 0, 2 /3,... } 8. Utilice el criterio de Stöltz y el del cociete para calcular los siguietes límites: a) lím log( 2 ), b) lím (3 + )(3 + 2)... (3 + ) log 9. Cosideremos la sucesió a = 2+( ) a) Es posible utilizar el criterio del cociete para calcula su límite? b) Utilice subsucesioes para calcular su límite. 0. Demuestre que o existe el límite lím se x 0 x siguiete: x lím x se x y calcule, si es posible, el. Calcule el límite lím( 4 4 ). Igeiería Iformática

20 236 Cálculo para la computació LECCIÓN 6.2 Series Numéricas Estamos acostumbrados a sumar ua catidad fiita de úmeros (dos úmeros, tres, cuatro,... ) pero es posible sumar u cojuto ifiito de úmeros? La ituició os puede jugar ua mala pasada, haciédoos pesar que al sumar ifiitos úmeros se obtedrá ifiito. Y, auque e alguas ocasioes sea así, tambié es posible que el resultado de sumar ifiitos úmeros sea u úmero real. Por ejemplo, supogamos que os colocamos a u metro de distacia a u determiado puto y que os queremos acercar a él dado pasos de la siguiete forma: cada paso tiee como logitud exactamete la mitad de la distacia que os separa del destio. Si fuéramos capaces de dar pasos ta pequeños, esta claro que uca llegaríamos a uestro objetivo, es decir, por muchos pasos que demos, como mucho recorreríamos metro. Si pudiésemos dar pasos idefiidamete, la distacia recorrida sería y esta suma ifiita valdría exactamete. Además de formalizar la oció de suma ifiita, e esta lecció os vamos a platear dos cuestioes. Por u lado, vamos a estudiar codicioes que debe cumplir ua sucesió de úmeros para poder afirmar que puede ser sumada; por otra parte, e aquellos casos e los que podamos obteer la suma, estudiaremos si es posible hallar el valor exacto o, e caso cotrario, obtedremos valores aproximados. Para represetar las sumas co las que trabajamos e este tema, vamos a utilizar el símbolo. Esté símbolo va acompañado de ua serie de parámetros que idica la expresió a sumar (f()), la variable respecto de la que se suma () y los valores iicial (a) y fial (b) que toma la variable: b f() = f(a) + f(a + ) + + f(b) =a E muchos leguajes de programació o e programas de cálculo simbólico, esta expresió tiee ua sitaxis similar a sum(f(),, a, b) Defiició 6.26 Sea a ua sucesió de úmeros reales. Cosideremos la sucesió S dada por: S = a + + a. A esta sucesió S se la deomia E.T.S.I.Iformática

21 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 237 serie umérica asociada a a y se deota a. El úmero a se deomia térmio -ésimo de la serie y S es la -ésima suma parcial. Deomiaremos suma de la serie al límite, si existe, de la sucesió de sumas parciales; si este límite es l, escribiremos a = a + + a + = l. Si este límite es u úmero real, diremos que la serie es covergete, e caso cotrario diremos que es divergete; si el límite es + o, diremos que la serie diverge a + o respectivamete. La covergecia o divergecia de ua serie se deomia carácter de la serie. E la defiició aterior hemos cosiderado que el primer elemeto de la suma es exactamete a. Esto lo hacemos por simplicidad, pero e la práctica podremos iiciar la suma e cualquier térmio de la sucesió. Si bie esto puede repercutir e el valor real de la suma, veremos a cotiuació que o ifluye e el carácter de la serie Propiedades elemetales y ejemplos destacados Proposició 6.27 Si la sucesió b se obtiee a partir de la sucesió a añadiedo, elimiado o modificado u cojuto fiito de térmios, etoces las series asociadas tiee el mismo carácter. E particular, si a = b m para todo N y para todo m N 2, etoces las series asociadas a a y b tiee el mismo carácter. U ejemplo imediato dode se ve la importacia de esta propiedad es el siguiete: las series a y a tiee el mismo carácter. =5 Esta propiedad es de gra utilidad pues os dice que, al igual que ocurría co las sucesioes, cuado estudiamos la covergecia de ua serie, podemos prescidir de los primeros térmios (u cojuto fiito cualquiera de ellos). Por ejemplo, si la codició de u teorema es que los térmios de la serie sea positivos, tambié podremos aplicar este resultado a ua serie cuyos primeros térmios o los sea, co tal de que, a partir de u térmio, todos los demás sea positivos. Atediedo a esta propiedad, e adelate, cuado simplemete estemos estudiado el carácter de ua serie, o será ecesario idicar cuál es el primer térmio de la misma escribiedo simplemete: a. Si embargo, a la hora de calcular la suma de ua serie sí es ecesario coocer el primer térmio. Igeiería Iformática

22 238 Cálculo para la computació Teorema 6.28 Si la serie b, etoces se verifica que a coverge a a y la serie b coverge a. la serie 2. la serie (a + b ) coverge a a + b, y c a coverge a c a, para todo c R. A partir de este resultado se deduce que si a es covergete y es divergete, etoces la serie (a + b ) es divergete. b se deomia serie armói- Teorema 6.29 (Serie armóica) La serie ca y es divergete a +. Dado que la serie es de térmios positivos, la sucesió de sumas parciales es creciete y para demostrar el teorema basta comprobar que algua subsucesió diverge a + ; sea S la sucesió de sumas parciales y cosideremos la subsucesió S 2 : ( ) ( S 2 = () ) ( ) 8 ( ) 2 ( ) ( () ) ( ) 8 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = () = Dado que la sucesió miorate diverge a +, la sucesió S 2 tambié. Teorema 6.30 (Codició Necesaria) Si ua serie a es covergete, etoces lím a = 0. La demostració de esta propiedad se basa e la siguiete relació etre el térmio -ésimo de la serie y la sucesió de sumas parciales: a = S S E.T.S.I.Iformática

23 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 239 Como S es ua subsucesió de S que, por hipótesis es covergete, etoces S y S tiee el mismo límite y, por lo tato, lím a = 0. Ejemplo 6.2. Sabiedo que la sucesió de sumas parciales de ua serie es S = + e podemos averiguar el térmio geeral de la serie a = S S = + e ( e) + = e e Como lím + e = 0, etoces (por defiició) la serie es covergete y, aplicado la codició ecesaria, se obtiee que lím ( e) + e = 0 Obsérvese que este resultado se puede utilizar como criterio de covergecia para calcular el límite de ua sucesió (a ) a partir de la covergecia de la serie correspodiete a. Otra aplicació de la codició ecesaria es utilizarla como método de refutació e el estudio de la covergecia de ua serie, cosiderado el siguiete resultado equivalete: Corolario 6.3 Si lím a 0, etoces a es divergete. Ejemplo Aplicado la codició ecesaria, la serie es divergete pues la sucesió + o tiede a 0. + Es importate observar que la codició ecesaria o es ua caracterizació y que por tato, si el térmio geeral de ua serie tiede a 0, etoces este resultado o dice ada sobre la covergecia. Por ejemplo, la sucesió tiede a 0 y la codició ecesaria o aporta iformació sobre el carácter de la serie ; que, como sabemos, es divergete. Teorema 6.32 (Serie telescópica) Sea b ua sucesió umérica. La serie (b b + ) se deomia serie telescópica. Esta serie coverge si y solo =N si la sucesió b coverge y e tal caso, (b b + ) = b N lím b +. Este resultado es ua cosecuecia directa de la defiició de suma de serie como límite de la sucesió de sumas parciales (b b + ) = lím S =N =N = lím(b N b N+ + b N+ b N b b + ) = b N lím b + Igeiería Iformática

24 240 Cálculo para la computació Ejemplo Para sumar la serie =2 log + = =2 log + (log( + ) log ) = lím S = procedemos así: =2 = lím( log 3 log 2) + ( log 4 log 3) + ( log 5 log 4) ( log( + ) log ) = = log 2 + lím log( + ) = + U error muy comú es tratar las series como sumas fiitas, operar de la siguiete maera: (log( + ) log ) = ( log 3 log 2) + ( log 4 log 3) + ( log 5 log 4) +... =2 y simplificar los térmios opuestos para obteer u resultado icorrecto ( log 2). Curiosamete, co este método se hubiese obteido u resultado correcto si la sucesió b, de la que os hemos olvidado, tediese a cero, que o es este caso. Teorema 6.33 (Serie Geométrica) Si a 0, la serie ar = a + ar + ar ar +... se deomia serie geométrica de térmio iicial a y razó r. Esta serie verifica: a ar coverge a si r < r =0 diverge si r =0 El resultado aterior es ua cosecuecia del siguiete proceso: S = a + ar + ar ar rs = ar ar 2... ar ar ( r)s = a ar y de esta última expresió se obtiee que S = a ar r y aplicado la defiició de serie (tomado límites) alcazamos el resultado. Corolario 6.34 La serie =N a es geométrica si a + a = r R para todo. Y, además, esta serie coverge si y solo si r < y e tal caso a = =N a N r. E.T.S.I.Iformática

25 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 24 Ejemplo Estudiamos las siguietes series geométricas 3 +2 : Como a + = 3+2 a 3 +3 = = r, etoces la serie es geométri- 3 ca de razó / 3 y primer térmio / 27 ; por tato, la serie es covergete y su suma es / : Como a + = a = 8 = r, etoces la serie es 7 geométrica de razó 8 / 7 y e cosecuecia divergete a +. ( ) + 5 : Como a + = = r, etoces la serie es geométrica a 5 de razó / 5 y primer térmio ; por tato, la serie es covergete y su suma es 5 / 6. Teorema 6.35 (Serie Aritmético-Geométrica) Las series del tipo (a + b)r =N se deomia series aritmético-geométrica y coverge si y solo si r <. E el caso de que sea covergetes, las series aritmético-geométricas se suma aplicado u proceso similar al utilizado e las series geométricas. Ejemplo La serie 2 = es ua serie aritmético geométrica de razó y, por lo tato, covergete. Su suma se calcula así: S = S = S = que permite obteer la siguiete expresió: y tomado límite se obtiee S = 3 + ( ) /2 = = lím S = = 8 /2 sabiedo que lím( ) = (serie geométrica) y que lím +3 2 = 0 (aplicado, por ejemplo, el criterio de Stöltz). Igeiería Iformática

26 242 Cálculo para la computació Defiició 6.36 Se dice que la serie a es hipergeométrica si a > 0 para todo y el térmio geeral verifica a + a = α + β α + γ Teorema 6.37 (Serie hipergeométrica) Ua serie a hipergeométrica co a + a = α+β α+γ es covergete si y sólo si γ > α + β. E el caso de que sea covergetes, las series hipergeométricas se suma aplicado el siguiete proceso: () Escribimos por filas la igualdad a + (α + γ) = a (α + β) para =, = 2,..., (2) sumamos todos los miembros derechos y todos los miembros izquierdos, y (3) operamos para obteer ua expresió de S lo más simplificada posible para poder calcular su límite. Ejemplo Para sumar la serie hipergeométrica ( + ) procedemos de la siguiete maera: Como a + = escribimos, por filas, la expresió a + 2 ( + 2)a + = a para los distitos valores de : 3a 2 = a 4a 3 = 2a 2 5a 4 = 3a 3... =... ( + 2)a + = a 3a 2 + 4a 3 + 5a ( + 2)a + = a + 2a 2 + 3a a a + a 2 + a 3 + a a + ( + 2)a + = 0 S 2a + ( + 2)a + = 0 y de la última expresió deducimos que S = 2a ( + 2)a + = ( + )( + 2) y, por lo tato ( + ) = + 2 ( + )( + 2) = Criterios de covergecia Estudiar la covergecia de ua serie utilizado las sumas parciales o siempre será secillo; ecotrar ua expresió para las sumas parciales que permita calcular su límite es, e geeral, u problema bastate difícil. Por E.T.S.I.Iformática

27 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 243 esta razó, el estudio de las series se hará e dos etapas: e primer lugar, se estudiará solamete el carácter de la serie; e segudo lugar, si la serie es covergete, afrotaremos el cálculo de su suma o bie aproximaremos su valor. E esta secció vamos a estudiar alguos resultados que establece codicioes que permite cocluir la covergecia de ua serie sea covergete. Estos resultados se cooce como criterios de covergecia y para aplicarlos será muy importate comprobar que se verifica todas las codicioes exigidas. Por ejemplo, los primeros resultados so aplicables solamete a series cuyos térmios (a partir uo dado) so siempre positivos. Estas series verifica la siguiete propiedad, que auque bastates ituitiva, tiee importates aplicacioes de cara a la evaluació aproximada de series. Proposició 6.38 Si a es ua sucesió de térmios positivos, la sucesió de sumas parciales asociada a ella es creciete y e cosecuecia, la serie a es o bie covergete o bie divergete a +. Teorema 6.39 (Criterio de codesació) Sea a ua sucesió decreciete de térmios positivos. Etoces las series a y 2 k a 2 k tiee el mismo carácter. Este resultado geeraliza el procedimieto que habíamos empleado para demostrar la divergecia de la serie armóica. Corolario 6.40 (Series p-armóicas) Las series deomia p armóicas; coverge si p >, y diverge si 0 < p. p para p > 0 se Por el criterio de codesació, la serie p tiee el mismo carácter que la serie geométrica 2 k 2 kp = ( ) k 2 covergete si y solo si p >. p La importacia de las series p armóicas está e que os ayudará a estudiar otras series si las utilizamos cojutamete co otros criterios, como los de comparació o codesació. Ejemplo Para estudiar el carácter de la serie k= (log ) 2 utilizamos el criterio de codesació (la aparició de la fució logaritmo os idica que puede ser el método adecuado). Dado que las sucesioes y log so crecietes, la sucesió (log ) 2 es tambié creciete y (log ) 2 es decreciete; por el criterio de codesació, la serie propuesta tiee el mismo carácter que 2 k 2 k (log 2 k ) 2 = (log 2) 2 k 2 k= =2 Igeiería Iformática

28 244 Cálculo para la computació que es covergete por ser la serie 2 armóica. Teorema 6.4 (Criterio de comparació) Sea a y b dos series tales que 0 a b para todo N.. Si b coverge etoces a tambié coverge. 2. Si a diverge etoces b tambié diverge. Ejemplo La serie + 2 es covergete ya que y la serie 2 es covergete (geométrica de razó /2). A veces, e situacioes parecidas o es posible aplicar este criterio de comparació estádar. Por ejemplo, la serie 2 es parecida a la del ejemplo aterior e ituimos que tambié será covergete; si embargo, o podemos utilizar el criterio de comparació. E estos casos, ecesitamos u criterio que permita comparar las expresioes e térmios relativos (cociete). Teorema 6.42 (Comp. por paso al límite) Sea a y b dos series de térmios positivos, tal que b 0 para todo. Si l = lím a se verifica: b etoces. Si l > 0 ambas series tiee el mismo carácter. 2. Si l = 0 y b coverge, etoces a tambié coverge. 3. Si l = y a coverge, etoces b tambié coverge. Ejemplo Veamos varios casos:. La serie 2 es covergete ya que 2 es covergete y lím = lím ( 2 ) = La serie se 2 es divergete pues diverge y se lím 2 / = lím se 2 / 2 = E.T.S.I.Iformática

29 Tema 6: Sucesioes y series uméricas La serie es covergete ya que! lím! = lím! = 0 4. La serie log es divergete pues diverge y lím log = lím log = es covergete y El criterio de comparació por paso al límite se utiliza frecuetemete para elimiar expresioes despreciables e el térmio geeral de ua serie, ates de aplicarle u criterio, co el fi de que los cálculo sea más secillos. Ejemplo E el deomiador de la expresió log el térmio 5 + log es despreciable frete a 2 para valores grades de. Por lo tato, cosidero la expresió 3 2 que comparo co la origial lím log = lím log 2 = Aplicado el criterio de comparació por paso al límite se deduce que el carácter de las series log y 3 2 es el mismo; y como 3 2 es covergete (series aritmético geométrica), etoces puedo afirmar que es covergete log Corolario 6.43 Sea a y b dos sucesioes positivas e ifiitésimos equivaletes; etoces las series a y b tiee el mismo carácter. La siguiete propiedad se deduce fácilmete aplicado el criterio de comparació a las sucesioes a y /, y es útil para el cálculo de alguos límites. Corolario 6.44 Si a es ua serie de térmios positivos y covergete, etoces lím a = 0 Teorema 6.45 (Criterio de la raíz) Sea a ua serie de térmios positivos y cosideremos el límite l = lím a ; etoces:. Si l < la serie coverge. 2. Si l > la serie diverge. Igeiería Iformática

30 246 Cálculo para la computació 3. Si l = o podemos deducir ada: y 2 verifica que el límite de la codició vale para ambas series y, si embargo, la primera es divergete y la seguda es covergete. Ua importate característica de las series de térmios positivos es que las sumas parciales permite aproximar, por defecto, la suma de la serie. Para poder utilizar estas aproximacioes es ecesario estimar el error cometido. Si determiamos la covergecia de ua serie utilizado el criterio de la raíz, podemos estimar este error utilizado el siguiete resultado: Proposició 6.46 Sea a ua serie covergete tal que a r < para todo N; si S es su sucesió de sumas parciales y S su suma, etoces: S S N rn+ r Si el límite lím a = l es estrictamete meor que, podemos aplicar el resultado aterior porque teemos asegurada la existecia del úmero r y para cada r la existecia del úmero N. Lo podemos usar para acotar el error cometido al tomar ua suma parcial e lugar de la suma exacta, pero e este caso ecesitamos determiar el úmero r correspodiete; de la misma forma, si queremos saber cual es la suma parcial que estima la suma co u error máximo deseado, ecesitaríamos determiar los úmeros r y N adecuados. Los siguietes casos particulares, auque bastate sigificativos, os facilitará la realizació de este tipo de tareas: Si a es creciete, para cada N podemos tomar r = lím a. Si a es decreciete, para cada N podemos tomar r = N a N, siempre y cuado este úmero sea meor estrictamete que. El criterio de la raíz y el criterio del cociete para el calculo de límites permite deducir el siguiete criterio para la covergecia de series. Corolario 6.47 (Criterio del cociete) Sea a ua serie de térmios positivos y cosideremos el límite l = lím a + ; etoces: a. Si l < la serie coverge. 2. Si l > la serie diverge. 3. Si l = o podemos deducir ada: y 2 verifica que el límite de la codició vale para ambas series y, si embargo, la primera es divergete y la seguda es covergete. E.T.S.I.Iformática

31 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 247 Igual que el criterio de la raíz, el uso del criterio del cociete os da iformació para estimar errores. Proposició 6.48 Sea a ua serie covergete tal que lím a + r < a para todo N; si S es su sucesió de sumas parciales y S su suma, etoces: S S N a N+ r Teiedo e cueta las mismas cosideracioes que hicimos para el criterio de la raíz, los siguietes casos particulares os ayudará a aplicar este resultado e la estimació de errores. Si a + a es creciete, para cada N podemos tomar r = lím a + a. Si a + es decreciete, para cada N podemos tomar r = a N+, siempre a a N y cuado este úmero sea estrictamete meor que. Ejemplo 6.2. Aplicamos los resultados ateriores a la serie para! =0 demostrar que es covergete y determiar la suma parcial que estima su suma co u error meor que 0 3 : lím /( + )! /! = lím + = 0 Etoces, por el criterio del cociete, la serie es covergete. Además, dado que a + = es decreciete y meor que para cada, si S es la suma a + de la serie y S la sucesió de sumas parciales: S S N < /(N + )! N + = N N! Si queremos que este error sea meor que 0 3, basta cosiderar N = 6: 6! = = 2,780 5 =0 E el tema siguiete veremos que la suma de esta serie es el úmero e y el valor aproximado que os da cualquier calculadora es 2, Ejemplo Para la serie podemos utilizar los mismos resultados: lím 2 ( + )2 + 2 = lím 2( + ) = 2 Igeiería Iformática

32 248 Cálculo para la computació Etoces, por el criterio del cociete, la serie es covergete. Si x = a + a = 2( + ), etoces: x + 2( + )( + ) = = x 2( + 2) 2 2 > + 4 y e cosecuecia a + a y S la sucesió de sumas parciales: S S N < es creciete. Por lo tato, si S es la suma de la serie (N + )2 N ( 2 ) = (N + )2 N Si queremos que este error sea meor que 0 3, basta cosiderar N = 8: 8 2 = = 0, E el tema siguiete veremos que la suma de esta serie es log 2 y la aproximació que os da cualquier calculadora es 0, Teorema 6.49 (Criterio de Raabe) Sea ( a ua serie de térmios positivos y cosideremos el límite l = lím a ) + ; etoces: a. Si l > la serie coverge. 2. Si l < la serie diverge. 3. Si l = o podemos deducir ada: para, el límite de la codició de Raabe vale y es divergete; para la serie (log ) 2 el límite de la codició es y la serie es covergete. =2 Es recomedable utilizar el criterio de Raabe después del criterio del cociete e el caso e que este o decida ada. Debemos teer e cueta que las simplificacioes realizadas al aplicar el criterio del cociete puede ser útiles al aplicar el criterio de Raabe, pero NO las posibles sustitucioes de ifiitésimos. Como e los ateriores, el uso del criterio de Raabe tambié os da iformació para estimar errores. E.T.S.I.Iformática

33 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 249 Proposició 6.50 Sea ( a ua serie covergete tal que a ) + r > para todo N; si S es su sucesió de sumas parciales y S su suma, etoces: S S N Na N+ r Teiedo e cueta las mismas cosideracioes que hicimos para el criterio de la raíz, los siguietes casos particulares os ayudará a aplicar este resultado e la estimació de errores. ( Si la sucesió a ) + es decreciete, para cada N podemos tomar a ( r = lím a ) + a ( Si la sucesió a ) + es creciete, para cada N podemos tomar a r = N ( a ) N+ a N siempre que este úmero sea estrictamete mayor que. Ejemplo Vamos a usar el criterio de Raabe para probar que la serie 2 es covergete (auque ya lo hemos hecho ateriormete) y determiar la suma parcial que estima su suma co u error meor que 0 3. ( lím ) / ( + ) 2 = lím 22 + / 2 ( + ) 2 = 2 Por el criterio de Raabe, ( deducimos que la serie es efectivamete covergete. Por otra parte, si x = a ) + = 22 + a ( + ) 2, teemos que: x + = (2( + )2 + + )( + ) 2 x ( + 2) 2 (2 2 + ) ( Es decir, la sucesió a ) + de la serie y S su sucesió de sumas parciales: S S N = a N (N+) 2 2N 2 +N (N+) 2 N N 2 N < = a > es creciete y, por lo tato, si S es la suma N N 2 N N = N 2 Igeiería Iformática

34 250 Cálculo para la computació Si queremos que este error sea meor que 0 3, basta cosiderar N = 002. E el tema siguiete, calcularemos la suma exacta de esta serie y demostraremos que S = π2 / 6 ; si utilizamos u ordeador para calcular la suma parcial, obtedremos que: 002, mietras que el valor aproximado de π2 / 6 que os da cualquier calculadora es, Series alteradas Los teoremas vistos hasta ahora so válidos solamete para series de térmios positivos. E esta, vamos a ver dos resultados que permite estudiar alguas series co térmios de sigo arbitrario. Defiició 6.5 Decimos que ua serie a es absolutamete covergete si la serie a es covergete. Teorema 6.52 Toda serie absolutamete covergete es covergete. Ua serie covergete pero o absolutamete covergete se dice codicioalmete covergete. Defiició 6.53 Ua serie a se dice alterada si para todo se verifica que a /a + < 0; es decir, su térmio geeral es de la forma ( ) b o ( ) + b dode b es ua sucesió de térmios positivos. Teorema 6.54 (Criterio de Leibiz) Sea ( ) a ua serie tal que. la sucesió a es decreciete y de térmios positivos, 2. lím a = 0, etoces, la serie es covergete. (Obsérvese que, segú hemos visto, la codició lím a = 0 es ecesaria para cualquier serie.) Proposició 6.55 Sea ( ) a ua serie e las codicioes del criterio de Leibiz, S su sucesió de sumas parciales y S su suma; etoces: S N S < a N+ E.T.S.I.Iformática

35 Tema 6: Sucesioes y series uméricas. 25 E la acotació del error teemos que usar el valor absoluto porque e este caso el error puede ser por exceso o por defecto. Ejemplo Vamos a usar el criterio de Leibiz para probar que la serie ( ) armóica alterada es covergete y determiar la suma parcial que estima su suma co u error meor que la sucesió es decreciete y de térmios positivos, 2. lím = 0, Por el criterio de Leibiz, deducimos que la serie es efectivamete covergete. Por otra parte, si S es la suma de la serie y S su sucesió de sumas parciales: S N S < + Si queremos que este error sea meor que 0 3, basta cosiderar N = 999. E el tema siguiete, calcularemos la suma exacta de esta serie y demostraremos que S = l 2; si utilizamos u ordeador para calcular la suma parcial, obtedremos que: 999 ( ) mietras que el valor aproximado de l 2 que os da cualquier calculadora es Aexo: esquemas prácticos E esta secció vamos a presetar alguas estrategias para abordar el estudio de la covergecia de series uméricas. Se trata de uas secillas recomedacioes fruto de la experiecia. Determiació del carácter El siguiete esquema resume los criterios que hemos itroducido e el orde más adecuado para su aplicació.. Comprobar si es ua serie coocida: geométrica, armóica, cociete de poliomios, telescópica,... (A lo largo de este tema y el siguiete, se estudia distitos tipos de series; teer e cueta las series ya coocidas puede ahorrar mucho trabajo). Igeiería Iformática

36 252 Cálculo para la computació 2. Codició ecesaria. Esta es la primera comprobació que debe hacerse si el límite es fácil de calcular. 3. Criterios del cociete Raabe o criterio de la raíz. El criterio del cociete o el de la raíz so los primeros que coviee utilizar; elegir uo u otro depede de la forma del térmio geeral de la serie. Optaremos preferiblemete por el criterio del cociete cuado sea posible, ya que permite utilizar posteriormete el de Raabe. 4. Criterio de codesació. Es coveiete utilizarlo, cuado sea posible, e series dode iterviee la fució logaritmo. 5. Comparació. Si iguo de los criterios ateriores decide el carácter de la serie, itetaremos buscar ua serie coocida co la que poder compararla; solo la práctica y la resolució de bastates problemas facilita esta etapa. El cociete a + /a Como ya se habrá comprobado, el estudio del cociete a + a es de gra utilidad para la determiació del carácter de ua serie. E esta secció, recogemos toda la iformació que puede obteerse de dicho cociete. Detro del esquema de la secció aterior, el estudio de este cociete se icluirá e el primer paso.. Si a + a = r R etoces la serie es ua serie geométrica. a + a 2. Si = α + β α + γ ejercicios). co α, β, γ R la serie es hipergeométrica (ver 3. Si a > 0 y a + a > para todo > N, la sucesió a es creciete y por tato su límite o puede ser 0: la serie es divergete. 4. Si a > 0 y a + a < para todo > N, la sucesió a es decreciete. Sucesioes decrecietes El criterio de codesació y el criterio de Leibiz icluye, etre sus codicioes, el decrecimieto de ua sucesió. Para demostrar que ua sucesió es decreciete podemos utilizar los siguietes métodos:. Si a a + > 0, etoces a es decreciete. E.T.S.I.Iformática