Series de potencias Introducción. Temas Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencias.

Transcripción

1 Sesió 27 Series de potecias Temas Series de potecias. Itervalo y radio de covergecia de ua serie de potecias. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de serie de potecias. Determiar el itervalo y el radio de covergecia de ua series de potecias Itroducció Jea D Alembert Fracés. ( ). E esta sesió iiciamos el último tema de este módulo: las series de potecias. El estudio de las series de potecias, va a permitir abordar uevas situacioes problemáticas y tambié aporta uevos recursos para efretar de otra maera alguas situacioes ya estudiadas, etre otras, calcular límites idetermiados, determiar valores aproximados de itegrales defiidas e las cuales o es posible ecotrar ua primitiva de la fució ivolucrada, resolver ecuacioes difereciales, y calcular sumas de alguas series de costates. 195

2 Sesió 27 Serie de potecias 27.2 Defiició de serie de potecias Sea (a ) ua sucesió. Ua serie de la forma: a (x a) = + =0 a (x a) = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) 2 + a 3 (x a) 3 recibe el ombre de ua serie de potecias e (x a), o e toro al puto a. E particular, ua serie de la forma: a x = + =0 a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 recibe el ombre de ua serie de potecias e x, o e toro al 0. Nota 27.1 E la defiició precedete, x es ua variable y los a costates, deomiadas coeficietes de la serie. para u valor dado de x, la covergecia de la serie puede ser estudiado co los criterios de covergecia ya revisados. es claro que la serie puede coverger para alguos valores de x y diverger para otros. se ha usado la coveció de aceptar que x 0 = 1, aú e el caso que x sea igual a 0. Nota 27.2 Es iteresate observar y teer presete que, ua serie de potecias geeraliza el cocepto de poliomio. Se puede otar que ua serie de potecias es como u poliomio co ifiitos térmios. Ejercicio 27.1 La afirmació todo poliomio es ua serie de potecias es verdadera o falsa?. Nota 27.3 El problema que se aborda a cotiuació es, dada ua serie de potecias, determiar todos los valores de x para los cuales, ella es covergete. Es decir, dada ua serie de potecias a (x a), iteresa determiar el cojuto S = {x R / la serie a (x a) es covergete} Observar que S uca es vacío ( por qué?). Los siguietes ejemplos y ejercicios ilustra ua maera de determiar el cojuto S, como así mismo las formas que puede teer este cojuto. Ejemplo 27.1 Determiar el cojuto de todos los x para los cuales la serie de potecias es covergete. + =1 x 2 3 Istituto de Matemática y Física 196 Uiversidad de Talca

3 Sesió 27 Serie de potecias Solució: Usado el criterio del cuociete, se tiee que la serie coverge cuado: x +1 ( ) lim + = lim x 2 = x (+1) 2 3 (+1) x 2 3 Luego la serie de potecias coverge por lo meos para x 3 coverge al meos e el itervalo ] 3, 3[. Veamos que sucede e los putos 3 y 3. < 1, es decir, la serie de potecias Para x = 3, la serie toma la forma 1 p = 2 > 1). 2, que es covergete (serie e p co Para x = 3, la serie es ( 1), que es covergete (criterio de Leibiz para series 2 alteradas). Luego, la serie de potecias estudiada coverge e el itervalo cerrado [ 3, 3]. Ejemplo 27.2 Determiar el cojuto de todos los x para los cuales la serie de potecias es covergete. + =1 x Solució: Usado el criterio de la raíz, se tiee que la serie coverge cuado: x lim + = lim x + = x Luego la serie de potecias coverge por lo meos para x < 1, es decir, la serie de potecias coverge al meos e el itervalo ] 1, 1[. Veamos que sucede e los putos 1 y 1. Para x = 1, la serie toma la forma ( 1), que es covergete (criterio de Leibiz para series alteradas.) Para x = 1, la serie es 1, que es divergete (serie e p co p = 1). Luego, la serie de potecias estudiada coverge e el itervalo cerrado-abierto [ 1, 1[. Ejercicio 27.2 Determiar el cojuto de todos los x para los cuales las siguietes series de potecias so covergetes. 1) + ( 1) x =1 2) + =1!x 3) + =1 x! 4) + ( 1) =1 2 (x 2) 5) + (x+1) =1 2 Solució: 1) ] 1, 1] 2) {0} 3) R 4) ]0, 4] 5) [ 2, 0] Teorema 27.1 Sea x 0 R + u úmero para el cual la serie + =1 a x coverge y x 1 R tal que x 1 < x 0, etoces esta serie coverge absolutamete e x 1. Demostració: Istituto de Matemática y Física 197 Uiversidad de Talca

4 Sesió 27 Serie de potecias Por demostrar que + =1 a x 1 = + =1 a x 1 es covergete. Como + =1 a x 0 coverge se tiee que lim + a x 0 = 0. Luego, la sucesió (a x 0 ) está acotada. Por lo tato, existe u K > 0, tal que para todo N: a x 0 < K. Ahora bie, como 0 a x 1 = a x 0 ( x 1 x 0 ) = a x 0 x 1 x 0 K x 1 x 0 y recordado el criterio de comparació, se tiee que la serie + =1 a x 1 es covergete. Corolario Sea x 0 R + u úmero para el cual la serie + =1 a x diverge. Si x 1 R tal que x 1 > x 0, etoces la serie + =1 a x diverge e x 1. Nota 27.4 El siguiete teorema caracteriza los tipos de cojutos que correspode a los úmeros reales dode coverge ua serie de potecias. Teorema 27.2 Sea S el cojuto de putos x para los cuales las serie de potecias a x coverge. Etoces, o bie: 1) S cosiste solo del puto x = 0, es decir, S = {0}, o bie 2) S cosiste de todos los úmeros reales, es decir, S = R; o bie 3) S es u itervalo de ua de las siguietes formas: ] R, R[, [ R, R], [ R, R[, o ] R, R], dode R es u úmero real positivo. Nota 27.5 Aálogamete, e el caso de la serie de potecias a (x a), S puede ser {a}, R o u itervalo de la forma ]a R, a+r[, [a R, a+r], [a R, a+r[, o ]a R, a+r], dode R es u úmero real positivo. Nota 27.6 Observar que el teorema precedete es coherete ( y o puede ser de otra maera!) co los ejemplos (27.1), (27.2) y las solucioes del ejercicio (27.2) Defiició de itervalo de covergecia El cojuto S de putos x para los cuales la serie de potecias a x coverge es llamado itervalo de covergecia, y el úmero R es llamado radio de covergecia. E e caso (1) del Teorema precedete, se defie R = 0, y e el caso (2) se aota R = +. Por lo tato, 0 R +. Istituto de Matemática y Física 198 Uiversidad de Talca

5 Sesió 27 Serie de potecias Ejemplo 27.3 Ecotrar el itervalo y radio de covergecia de la serie 2 (x 3) =1. Solució: Por el criterio del cuociete, 2 +1 (x 3) (x 3) = 2 x x 3 luego la serie coverge cuado 2 x 3 < < x < 7 2. Luego, la serie coverge (absolutamete) cuado 5 2 < x < 7 2. Chequeado los putos extremos, se tiee: E x = 5 2 la serie es ( 1) =1, la cual es covergete (Criterio de Leibiz). E x = 7 2 la serie es =1 1, la cual diverge (serie p, co p = 1 2 < 1). Por lo tato, S = [ 5 2, 7 2 [ y R = 1 2. Itervalo de covergecia de 2 (x 3) Teorema 27.3 El radio de covergecia de la serie de potecias a (x a) es R = lim a a +1, dode 0 R +, e caso que este límite exista. + R = 1 lim = 0. a, e caso que este límite exista, y co las covecioes 1 0 = + y Nota 27.7 Ua serie de potecias defie ua fució cuyo domiio es justamete, su itervalo de covergecia. Por ejemplo, la serie de potecias + =0 x tiee como itervalo de covergecia a ] 1, 1[, y e este itervalo la serie defie la fució f(x) = 1 1 x. Es decir, x = x, para x ] 1, 1[ = Autoevaluació Determiar el itervalo y radio de covergecia de cada ua de las siguietes series de potecias. Istituto de Matemática y Física 199 Uiversidad de Talca

6 Sesió 27 Serie de potecias 1) 1 + x2 2! + x4 4! + x6 6! ) l 2 (x 5) l 3 (x 5)2 l 4 (x 5) ) ( 2) + 2 ( x + 1 ) ) 3 x Solució: 1) ], [= R, R = +. 2) [4, 6[, R = 1. 3) ] 1, 1[, R = ) ] 1 3, 1 3 [, R = Desafío Determiar el o los valor(es) de a de maera que el itervalo de covergecia de la serie sea ] 3, 1[. ( 1) 4 (x + 1) a l Istituto de Matemática y Física 200 Uiversidad de Talca