(a n a n+1 ) n(n + 1) = Comprobar que las siguientes series no son convergentes. ( 1) n. 2 n+2 3 n 2,

Transcripción

1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 4. Probar que si la serie es covergete, etoces la serie =m+ tambié lo es y además a) = m + =m+ b) lím =m+ = 0 2. a) Probar que si ( ) es ua sucesió covergete, etoces tambié lo es la serie ( + ) Calcular su suma. Qué pasa co esta serie cuado la sucesió ( ) diverge u oscila? b) Demostrar la fórmula ( + ) = 3. Sea ( ) creciete y tal que > 0 para todo N. Probar a) diverge b) ( ) o coverge 4. Comprobar que las siguietes series o so covergetes ( ), k, k= m= m m m!, k= k + k 5. Calcular la suma de las siguietes series 3 2, 5 =0 ( ) 3 +, = , 5 ( )

2 2 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE Usado el criterio de Cauchy o el de D Alembert, estudiar la covergecia de las series cuyo térmio geeral es a) = 3 2 b) = 5 c) = d) = e e) = f) = (2 + 3) (3 2) g) = (32 + )4 h) = (5 + 2 ) 2 7. Usar el segudo criterio de comparació para aalizar la covergecia de las series cuyo térmio geeral es = , = , = , = π , = l 2 8. Estudiar la covergecia y covergecia absoluta de la serie, siedo = ( ) 3 2, = ( ) +, = ( ) 2 2, = ( ) l 9. Verificar que la serie 0 3. ( ) + 6 es covergete y calcular su suma co error meor que 0. Estudiar la covergecia de las series de térmio geeral ( ) 2 + ( ) a) b) c) d) (2 + ) e) ( + ) 3 f) g) h) e 2 + e ( e) 7 i) j) k) ( + 2)! l) ( ) l ( +2 )

3 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE Suma parcial APÉNDICE: DEFINICIONES Y RESULTADOS Sea ( ) ua sucesió de úmeros reales. A partir de ( ) costruimos uueva sucesió cuyo térmio geeral que llamaremos suma parcial está dado por A = k= Serie Sea ( ) ua sucesió de úmeros reales. Llamamos serie a la sucesió cuyo térmio geeral es la suma parcial de ( ); es decir, co lotació de la defiició aterior, (A ) es la serie cuyo térmio geeral es. Covergecia Suma de la serie Cuado la serie (es decir, la sucesió de sumas parciales) coverge, se llama suma de la serie a su límite. E símbolos, = lím A m = lím m Divergecia Se dice que la serie de térmio geeral diverge cuado o coverge. Propiedades Si y so covergetes y α R, etoces ( + ) = + y c = c Sea covergete, etoces 0.

4 4 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 (Serie armóica Serie armóica geeralizada) Para cada p R, se cosidera Esta serie coverge si p > diverge si p. p Criterios para series de térmios positivos PRIMER CRITERIO DE COMPARACIÓN Si coverge y 0 para todo 0, etoces coverge. SEGUNDO CRITERIO DE COMPARACIÓN Si ( ) y ( ) so dos sucesioes de úmeros reales tales que 0, > 0 para todo 0 y lím = l, etoces si l > 0 coverge si l = 0 coverge coverge y coverge diverge diverge si l = + diverge diverge y coverge coverge CRITERIO DE CAUCHY Sea ( ) ua sucesió de úmero positivos tales que a l. Etoces, (i) si l <, etoces coverge (ii) si l > o l = +, etoces diverge CRITERIO DE D ALEMBERT Sea ( ) ua sucesió de úmero positivos tales que (i) si l <, etoces etoces coverge (ii) si l > o l = +, etoces diverge + l. Etoces,

5 FCEYN UBA COMPLEMENTOS DE ANALISIS SEGUNDO CUATRIMESTRE Serie geométrica Se deomia serie geométrica a aquella cuyo térmio geeral es = r, para u cierto r R. La serie =0 r coverge si y sólo si r < y el valor de su suma es r = r =0 Covergecia absoluta Se dice que ua serie es absolutamete covergete o bie que coverge absolutamete si coverge la serie de térmios positivos Toda serie absolutamete covergete es covergete. Serie alterada Dada ua sucesió ( ), se llama serie alterada a la que tiee por térmio geeral ( ) Criterio de Leibiz Sea ( ) ua sucesió tal que 0 ( ) es decreciete 0 Etoces, la serie alterada ( ) + coverge. Co las hipótesis del criterio aterior se tiee m ( ) + ( ) + < a m cualquiera sea m N.